Trecerea între forme: pe scurt

Algoritmul de trecere de la forma algebrică la cea trigonometrică are cinci pași: calculezi modulul $r=\sqrt{a^2+b^2}$; stabilești cadranul din semnele lui $a,b$; scrii $\cos \phi =\frac{a}{r}$, $\sin \phi =\frac{b}{r}$; identifici $\phi$ în intervalul cadranului; verifici revenind la forma algebrică. Cadranul se stabilește înainte de argument — este cel mai eficient control al răspunsului.

Capcana tangentei: din $\mathrm{tg}\phi =\frac{b}{a}$ nu poți determina singur argumentul, pentru că tangenta are perioada $\pi$, nu $2\pi$: în $[0,2\pi )$ există două valori cu aceeași tangentă, în cadrane diagonal opuse (de exemplu $1+i$ și $-1-i$). Perechea $(\cos \phi ,\sin \phi )$, în schimb, determină argumentul fără ambiguitate.

Drumul invers, de la forma trigonometrică la cea algebrică, este direct: $a=r\cos \phi$, $b=r\sin \phi$.

Pentru numere înrudite: $|\bar{z}|=|-z|=|z|$, iar $\arg \bar{z}=2\pi -\arg z$ (conjugatul se „oglindește” față de axa reală), respectiv $\arg (-z)=\arg z\pm \pi$ (opusul e la o jumătate de tură distanță), semnul ales astfel încât rezultatul să rămână în $[0,2\pi )$.

O precauție care merită reținută pe de rost: dacă $a=0$, tangenta nici măcar nu există, iar argumentul se citește direct, $\frac{\pi }{2}$ sau $\frac{3\pi }{2}$, după semnul lui $b$ — nu are rost să cauți un raport pentru un număr de pe axa imaginară.

Exerciții din această mini-lecție

1. Numerele $2+2i\sqrt{3}$ și $-2-2i\sqrt{3}$ au aceeași tangentă a argumentului. În ce cadran se află imaginea lui $-2-2i\sqrt{3}$?

   • a) cadranul III
   • b) cadranul I
   • c) cadranul II
   • d) cadranul IV
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) cadranul III

   Ambele componente sunt negative, deci imaginea e în cadranul III — deși tangenta e aceeași cu a lui $2+2i\sqrt{3}$ (cadranul I), tangenta singură nu distinge un număr de opusul lui.

2. Care este argumentul redus al numărului $z=-5+5i$?

   • a) $\frac{\pi }{4}$
   • b) $\frac{3\pi }{4}$
   • c) $\frac{5\pi }{4}$
   • d) $\frac{7\pi }{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{3\pi }{4}$

   $r=5\sqrt{2}$; semnele $(-,+)$ dau cadranul II; $\cos \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{3\pi }{4}$.

3. Care este argumentul redus al conjugatului unui număr cu argument redus $\frac{\pi }{5}$?

   • a) $\frac{4\pi }{5}$
   • b) $\frac{\pi }{5}$
   • c) $\frac{9\pi }{5}$
   • d) $\frac{6\pi }{5}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{9\pi }{5}$

   $\arg \bar{z}=2\pi -\arg z=2\pi -\frac{\pi }{5}=\frac{9\pi }{5}$.