Trecerea de la forma algebrică la forma trigonometrică

Ai acum două limbi în care poți vorbi despre același număr complex: forma algebrică $a+bi$ și forma trigonometrică $r(\cos \phi +i\sin \phi )$. Lecția aceasta este dicționarul care le leagă — un algoritm scurt, pe care îl vei repeta de sute de ori până la Bacalaureatul M1, în ambele sensuri.

Vestea proastă este că există o singură greșeală care se face aici, dar se face foarte des: argumentul dintr-un cadran greșit. Aproape toți elevii încearcă, la un moment dat, să afle argumentul din relația $\mathrm{tg}\phi =\frac{b}{a}$, uită că tangenta se repetă la fiecare $\pi$, și ajung cu punctul pe partea cealaltă a planului. De aceea vom construi algoritmul astfel încât cadranul să fie stabilit înainte de argument, iar la final vom lucra sistematic câte un exemplu în fiecare dintre cele patru cadrane.

Ce vei învăța

• Vei ști să aplici algoritmul în cinci pași de trecere de la forma algebrică la cea trigonometrică.
• Vei ști să treci în sens invers, de la forma trigonometrică la cea algebrică, cu $a=r\cos \phi$ și $b=r\sin \phi$.
• Vei ști să determini argumentul corect în toate cele patru cadrane, cu exemple lucrate în fiecare.
• Vei ști de ce relația $\mathrm{tg}\phi =\frac{b}{a}$ singură nu ajunge și cum se folosește totuși, în siguranță.
• Vei ști să deduci argumentul conjugatului și al opusului unui număr, fără să reiei calculul.
• Vei ști să-ți verifici răspunsul în două moduri independente.

Hai să descoperim împreună

1. Algoritmul, în cinci pași

Fie $z=a+bi$ un număr complex nenul. Pentru a-l scrie sub forma $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ cu $\phi \in [0,2\pi )$ procedăm astfel.

1. Calculează modulul: $r=\sqrt{a^2+b^2}$. Este întotdeauna strict pozitiv.
2. Stabilește cadranul din semnele lui $a$ și $b$ (sau axa, dacă una dintre ele este zero), folosind tabelul de la semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane. Cadranul îți restrânge $\phi$ la un interval de lungime $\frac{\pi }{2}$.
3. Scrie cele două rapoarte: $\cos \phi =\frac{a}{r}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}$. Simplifică-le complet.
4. Identifică $\phi$ ca fiind singura valoare din intervalul stabilit la pasul 2 care are simultan acest cosinus și acest sinus.
5. Verifică: înlocuiește în $r(\cos \phi +i\sin \phi )$ și trebuie să obții exact $a+bi$.

Ordinea nu este decorativă. Pasul 2 înaintea pasului 4 este chiar mecanismul care te ferește de greșeala clasică: dacă la pasul 4 obții o valoare care nu e în intervalul cadranului, știi imediat că ai greșit.

2. Cadranul I: toate semnele pozitive

Fie $z=3+3i\sqrt{3}$.

Modulul: $r=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$.

Cadranul: $a=3>0$ și $b=3\sqrt{3}>0$, deci cadranul I și $\phi \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Rapoartele: $\cos \phi =\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Argumentul: în cadranul I, valoarea cu acest cosinus și acest sinus este $\phi =\frac{\pi }{3}$, adică $60^{\circ }$.

$$z=6\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right).$$

Verificare: $6\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=3+3i\sqrt{3}$ ✓.

3. Cadranul II: partea reală negativă

Fie $z=-3+3i$.

Modulul: $r=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$.

Cadranul: $a<0$, $b>0$, deci cadranul II și $\phi \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$.

Rapoartele: $\cos \phi =\frac{-3}{3\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin \phi =\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Argumentul: în cadranul II, $\phi =\frac{3\pi }{4}$, adică $135^{\circ }$.

$$z=3\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right).$$

Verificare: $3\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3+3i$ ✓.

Observă raționalizarea de la pasul 3: $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Fără ea nu recunoști valoarea din tabel.

4. Cadranul III: ambele părți negative

Fie $z=-2\sqrt{3}-2i$.

Modulul: $r=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$.

Cadranul: $a<0$, $b<0$, deci cadranul III și $\phi \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$.

Rapoartele: $\cos \phi =\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \phi =\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$.

Argumentul: în cadranul III, $\phi =\frac{7\pi }{6}$, adică $210^{\circ }$.

$$z=4\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right).$$

Verificare: $4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)=-2\sqrt{3}-2i$ ✓.

5. Cadranul IV: partea imaginară negativă

Fie $z=5-5i\sqrt{3}$.

Modulul: $r=\sqrt{25+75}=\sqrt{100}=10$.

Cadranul: $a>0$, $b<0$, deci cadranul IV și $\phi \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$.

Rapoartele: $\cos \phi =\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{-5\sqrt{3}}{10}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Argumentul: în cadranul IV, $\phi =\frac{5\pi }{3}$, adică $300^{\circ }$.

$$z=10\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right).$$

Verificare: $10\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=5-5i\sqrt{3}$ ✓.

Compară acest exemplu cu cel din cadranul I: cosinusurile diferă, dar tocmai semnul sinusului a fost cel care a mutat punctul jos. Din perechea $(\cos \phi ,\sin \phi )$ nu se pierde nicio informație.

6. Capcana tangentei

Din $a=r\cos \phi$ și $b=r\sin \phi$ rezultă, când $a\ne 0$,

$$\mathrm{tg}\phi =\frac{b}{a}.$$

Relația este corectă, dar nu determină singură argumentul, pentru că tangenta are perioada $\pi$, nu $2\pi$: în intervalul $[0,2\pi )$ există două valori cu aceeași tangentă, aflate în cadrane diagonal opuse.

Exemplu de capcană. Fie $z_1=-1+i\sqrt{3}$ și $z_2=1-i\sqrt{3}$. Pentru amândouă,

$$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}\text{și}\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}.$$

Tangentele coincid, dar numerele sunt opuse, deci imaginile lor sunt în cadrane diferite: $z_1$ în cadranul II, cu ${\phi }_1=\frac{2\pi }{3}$ ($120^{\circ }$), iar $z_2$ în cadranul IV, cu ${\phi }_2=\frac{5\pi }{3}$ ($300^{\circ }$). Diferența dintre ele este exact $\pi$.

Al doilea exemplu, în cealaltă diagonală: $1+i\sqrt{3}$ și $-1-i\sqrt{3}$ au amândouă $\frac{b}{a}=\sqrt{3}$, dar argumentele sunt $\frac{\pi }{3}$ ($60^{\circ }$), respectiv $\frac{4\pi }{3}$ ($240^{\circ }$).

Cum folosești totuși tangenta, în siguranță. Poți afla din tangentă unghiul de referință, apoi îl așezi în cadranul corect. Dar mult mai sigur, și la fel de rapid, este să lucrezi direct cu perechea $(\cos \phi ,\sin \phi )$: ea conține și mărimea, și cele două semne, deci determină argumentul fără ambiguitate. Aceasta este calea recomandată în toate lecțiile capitolului.

Regula de aur: dacă $a=0$, tangenta nici măcar nu există; argumentul este $\frac{\pi }{2}$ sau $\frac{3\pi }{2}$, după semnul lui $b$.

7. Drumul invers: de la forma trigonometrică la cea algebrică

Acest sens este mult mai simplu, pentru că nu mai există nicio ambiguitate: se înlocuiesc pur și simplu valorile funcțiilor trigonometrice.

$$z=r(\cos \phi +i\sin \phi )⟹a=r\cos \phi ,b=r\sin \phi .$$

Exemplu. $z=8\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$. Din tabelul valorilor remarcabile, $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$, deci

$$z=8\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)=-4\sqrt{3}+4i.$$

Control: $|z|=\sqrt{48+16}=8$ ✓, iar semnele $(-,+)$ dau cadranul II, în acord cu $\frac{5\pi }{6}\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ ✓.

Reține acest control: modulul calculat din forma algebrică obținută trebuie să fie egal cu $r$, iar cadranul trebuie să corespundă argumentului. Două verificări independente, care nu costă nimic.

8. Argumentul conjugatului și al opusului

Odată ce știi forma trigonometrică a lui $z$, două numere înrudite se scriu instantaneu.

Conjugatul. Imaginea lui $\bar{z}=a-bi$ este simetrica imaginii lui $z$ față de axa reală, deci $|\bar{z}|=|z|$, iar argumentul se „oglindește":

$$\arg \bar{z}=2\pi -\arg z,\text{daca˘ }\arg z\ne 0.$$

(Dacă $\arg z=0$, atunci $z$ este real pozitiv, $\bar{z}=z$ și argumentul rămâne $0$.)

Opusul. Imaginea lui $-z$ este simetrica imaginii lui $z$ față de origine, deci $|-z|=|z|$, iar argumentul se rotește cu o jumătate de tură:

$$\arg (-z)=\{\begin{array}{ll}\arg z+\pi ,& \text{daca˘ }\arg z\in [0,\pi ),\\ \arg z-\pi ,& \text{daca˘ }\arg z\in [\pi ,2\pi ).\end{array}$$

Se adună sau se scade $\pi$ tocmai pentru a rămâne în $[0,2\pi )$.

Exemplu. Fie $z=4\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$, adică $z=-2-2i\sqrt{3}$. Atunci $\bar{z}=-2+2i\sqrt{3}$, cu argumentul $2\pi -\frac{4\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$ — și, într-adevăr, imaginea lui $\bar{z}$ este în cadranul II ✓. Iar $-z=2+2i\sqrt{3}$, cu argumentul $\frac{4\pi }{3}-\pi =\frac{\pi }{3}$, adică în cadranul I ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cadranul I

Scrieți sub formă trigonometrică $z=6+6i$.

Rezolvare. $r=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}$. Semnele $(+,+)$ dau cadranul I. Rapoartele: $\cos \phi =\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{\pi }{4}$.

$$z=6\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right).$$

Verificare: $6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6$, atât pentru partea reală, cât și pentru cea imaginară ✓.

Exemplul 2 — Cadranul II

Scrieți sub formă trigonometrică $z=-4+4i\sqrt{3}$.

Rezolvare. $r=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8$. Semnele $(-,+)$ dau cadranul II, deci $\phi \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Rapoartele: $\cos \phi =-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\phi =\frac{2\pi }{3}$.

$$z=8\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right).$$

Verificare: $8\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-4+4i\sqrt{3}$ ✓.

Exemplul 3 — Cadranul III

Scrieți sub formă trigonometrică $z=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$.

Rezolvare. $r=\sqrt{2+2}=2$. Semnele $(-,-)$ dau cadranul III, deci $\phi \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$. Rapoartele: $\cos \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{5\pi }{4}$.

$$z=2\left(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}\right).$$

Verificare: $2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ ✓.

Exemplul 4 — Cadranul IV

Scrieți sub formă trigonometrică $z=2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}$.

Rezolvare. $r=\sqrt{8+8}=4$. Semnele $(+,-)$ dau cadranul IV, deci $\phi \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. Rapoartele: $\cos \phi =\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{7\pi }{4}$.

$$z=4\left(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}\right).$$

Verificare: $4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$ pentru partea reală și $-2\sqrt{2}$ pentru cea imaginară ✓.

Exemplul 5 — Două numere cu aceeași tangentă

Un elev afirmă că numerele $1+i$ și $-1-i$ au același argument, „pentru că amândouă au $\mathrm{tg}\phi =1$". Arătați că se înșală și determinați cele două argumente.

Rezolvare. Tangentele coincid într-adevăr: $\frac{1}{1}=1$ și $\frac{-1}{-1}=1$. Dar argumentele nu se citesc din tangentă.

Pentru $z_1=1+i$: $r=\sqrt{2}$, semnele $(+,+)$, cadranul I, $\cos \phi =\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci ${\phi }_1=\frac{\pi }{4}$ ($45^{\circ }$).

Pentru $z_2=-1-i$: $r=\sqrt{2}$, semnele $(-,-)$, cadranul III, $\cos \phi =\sin \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci ${\phi }_2=\frac{5\pi }{4}$ ($225^{\circ }$).

Argumentele diferă cu exact $\pi$ — ceea ce era de așteptat, pentru că $z_2=-z_1$. Elevul a folosit o relație care nu distinge un număr de opusul său.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numărul complex $z=\sqrt{3}-3i$. a) Calculați $|z|$. b) Scrieți $z$ sub formă trigonometrică. c) Determinați forma trigonometrică a lui $\bar{z}$ și a lui $-z$.

Rezolvare. a) $|z|=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

b) Semnele $(+,-)$ dau cadranul IV, deci $\phi \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. Rapoartele:

$$\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2},\sin \phi =\frac{-3}{2\sqrt{3}}=-\frac{3}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$

unde am raționalizat: $\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$. În cadranul IV, valoarea potrivită este $\phi =\frac{5\pi }{3}$, deci

$$z=2\sqrt{3}\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right).$$

Verificare: $2\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{3}-3i$ ✓.

c) Conjugatul: același modul, iar $\arg \bar{z}=2\pi -\frac{5\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$, deci

$$\bar{z}=2\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}+3i.✓$$

Opusul: cum $\frac{5\pi }{3}\in [\pi ,2\pi )$, scădem $\pi$ și obținem $\arg (-z)=\frac{5\pi }{3}-\pi =\frac{2\pi }{3}$, deci

$$-z=2\sqrt{3}\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)=2\sqrt{3}\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\sqrt{3}+3i.✓$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, respectând ordinea celor cinci pași. La fiecare exercițiu scrie explicit cadranul înainte de argument și verifică rezultatul prin revenire la forma algebrică.

1. Scrie sub formă trigonometrică $z=2+2i$.

2. Scrie sub formă trigonometrică $z=-1+i\sqrt{3}$.

3. Scrie sub formă trigonometrică $z=-\sqrt{3}-i$.

4. Scrie sub formă trigonometrică $z=1-i$.

5. Scrie sub formă trigonometrică $z=-4-4i$.

6. Scrie sub formă trigonometrică $z=\sqrt{3}-i$.

7. Scrie sub formă trigonometrică $z=-5\sqrt{3}+5i$.

8. Scrie sub formă trigonometrică $z=-6+6i$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două numere complexe nenule au aceeași tangentă a argumentului, atunci au același argument redus."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\mathrm{tg}\phi =1$ și $\phi$ este argumentul redus al unui număr complex, atunci $\phi =\frac{\pi }{4}$."

11. Scrie sub formă algebrică $z=8\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$.

12. Scrie sub formă algebrică $z=6\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$.

13. Se știe că $z=1+i\sqrt{3}$. Determină argumentul redus al lui $z$ și pe cel al lui $\bar{z}$.

14. Fie $z=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$. Determină forma trigonometrică a lui $-z$ și verifică rezultatul trecând ambele numere în formă algebrică.

15. (Problemă aplicată.) Un drum forestier pleacă din cabană pe direcția care face $210^{\circ }$ cu direcția est și are lungimea de $4$ kilometri. Luând cabana drept origine și estul drept semiaxa pozitivă $Ox$, scrie afixul capătului drumului în ambele forme și precizează cu cât te-ai deplasat spre vest și cu cât spre sud.

16. Determină forma algebrică a numărului complex $z$ cu $|z|=\sqrt{2}$ și $\arg z=\frac{3\pi }{4}$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z=-2-2i\sqrt{3}$. a) Calculați $|z|$. b) Precizați cadranul imaginii lui $z$. c) Scrieți $z$ sub formă trigonometrică. d) Scrieți $\bar{z}$ sub formă trigonometrică.

18. (Provocare.) Fie $z$ un număr complex nenul cu $\arg z=\phi \in (0,2\pi )$. a) Demonstrează, pornind de la $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ și folosind paritatea funcțiilor trigonometrice, că $\arg \bar{z}=2\pi -\phi$. b) Explică geometric de ce $\arg (-z)$ diferă de $\arg z$ prin exact $\pi$.

Răspunsuri și explicații

1. $r=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$; cadranul I; $\cos \phi =\sin \phi =\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{\pi }{4}$. Rezultat: $z=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$.

2. $r=\sqrt{1+3}=2$; semnele $(-,+)$, cadranul II; $\cos \phi =-\frac{1}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\phi =\frac{2\pi }{3}$ ($120^{\circ }$). Rezultat: $z=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$.

3. $r=\sqrt{3+1}=2$; semnele $(-,-)$, cadranul III; $\cos \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \phi =-\frac{1}{2}$, deci $\phi =\frac{7\pi }{6}$ ($210^{\circ }$). Rezultat: $z=2\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)$.

4. $r=\sqrt{2}$; semnele $(+,-)$, cadranul IV; $\cos \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{7\pi }{4}$ ($315^{\circ }$). Rezultat: $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}\right)$.

5. $r=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$; cadranul III; $\cos \phi =\sin \phi =\frac{-4}{4\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{5\pi }{4}$. Rezultat: $z=4\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}\right)$.

6. $r=2$; cadranul IV; $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \phi =-\frac{1}{2}$, deci $\phi =\frac{11\pi }{6}$ ($330^{\circ }$). Rezultat: $z=2\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)$.

7. $r=\sqrt{75+25}=10$; cadranul II; $\cos \phi =-\frac{5\sqrt{3}}{10}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \phi =\frac{1}{2}$, deci $\phi =\frac{5\pi }{6}$. Rezultat: $z=10\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$.

8. $r=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}$; cadranul II; $\cos \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{3\pi }{4}$. Rezultat: $z=6\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)$.

9. Fals. Tangenta are perioada $\pi$, deci în $[0,2\pi )$ există două valori cu aceeași tangentă, aflate în cadrane diagonal opuse. Contraexemplu: $1+i$ are argumentul $\frac{\pi }{4}$, iar $-1-i$ are argumentul $\frac{5\pi }{4}$, deși ambele au tangenta $1$.

10. Fals. Din $\mathrm{tg}\phi =1$ și $\phi \in [0,2\pi )$ rezultă $\phi =\frac{\pi }{4}$ sau $\phi =\frac{5\pi }{4}$. Decizia o dau semnele lui $a$ și $b$, nu tangenta.

11. $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$, deci $z=8\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)=-4\sqrt{3}+4i$. Control: $|z|=\sqrt{48+16}=8$ ✓, cadranul II ✓.

12. $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $z=6\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3-3i\sqrt{3}$. Control: $|z|=\sqrt{9+27}=6$ ✓, cadranul III ✓.

13. Pentru $z=1+i\sqrt{3}$: $r=2$, cadranul I, $\cos \phi =\frac{1}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\arg z=\frac{\pi }{3}$. Pentru conjugat: $\arg \bar{z}=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$. Control direct: $\bar{z}=1-i\sqrt{3}$ este în cadranul IV, iar $\frac{5\pi }{3}\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ ✓.

14. Cum $\frac{\pi }{6}\in [0,\pi )$, adunăm $\pi$: $\arg (-z)=\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$, deci $-z=2\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)$. Verificare în formă algebrică: $z=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)=\sqrt{3}+i$, iar $2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)=-\sqrt{3}-i=-z$ ✓.

15. $210^{\circ }=\frac{7\pi }{6}$ radiani, deci afixul este $z=4\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)$. Forma algebrică: $4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)=-2\sqrt{3}-2i$. Deplasarea spre vest este $2\sqrt{3}\approx 3,46$ km, iar spre sud, $2$ km.

16. $a=\sqrt{2}\cdot \cos \frac{3\pi }{4}=\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1$ și $b=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$, deci $z=-1+i$. Control: $|z|=\sqrt{2}$ ✓, cadranul II ✓.

17. a) $|z|=\sqrt{4+12}=4$. b) Semnele $(-,-)$ dau cadranul III, deci $\phi \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$. c) $\cos \phi =-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =-\frac{2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\phi =\frac{4\pi }{3}$ și $z=4\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$. Verificare: $4\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2-2i\sqrt{3}$ ✓. d) $\arg \bar{z}=2\pi -\frac{4\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$, deci $\bar{z}=4\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)=-2+2i\sqrt{3}$ ✓ (cadranul II, cum era de așteptat de la o simetrie față de axa reală).

18. a) Din $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ obținem $\bar{z}=r(\cos \phi -i\sin \phi )$. Folosim $\cos (-\phi )=\cos \phi$ și $\sin (-\phi )=-\sin \phi$, deci $\bar{z}=r(\cos (-\phi )+i\sin (-\phi ))$. Numărul $-\phi$ este un argument al lui $\bar{z}$, dar nu este redus pentru $\phi \in (0,2\pi )$; adunăm $2\pi$ și obținem argumentul redus $2\pi -\phi$, care aparține într-adevăr lui $(0,2\pi )$. b) Imaginea lui $-z$ se obține din cea a lui $z$ schimbând semnul ambelor coordonate, adică prin simetrie față de origine. O astfel de simetrie este rotația de unghi $\pi$ în jurul originii, deci direcția se schimbă cu exact o jumătate de tură, iar modulul rămâne același. Se adună sau se scade $\pi$ după cum e nevoie ca rezultatul să rămână în $[0,2\pi )$.

De reținut

• Algoritmul în cinci pași: modul, cadran, rapoartele $\cos \phi =\frac{a}{r}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}$, identificarea lui $\phi$ în intervalul cadranului, verificare.
• Cadranul se stabilește ÎNAINTE de argument. El restrânge $\phi$ la un interval de lungime $\frac{\pi }{2}$ și este cel mai eficient control al răspunsului.
• Tangenta nu determină argumentul. Relația $\mathrm{tg}\phi =\frac{b}{a}$ are, în $[0,2\pi )$, două soluții aflate în cadrane diagonal opuse. Perechea $(\cos \phi ,\sin \phi )$, în schimb, determină argumentul fără ambiguitate.
• Drumul invers este imediat: $a=r\cos \phi$ și $b=r\sin \phi$. Se verifică recalculând modulul și comparând cadranul cu argumentul.
• Numere înrudite: $|\bar{z}|=|-z|=|z|$, iar $\arg \bar{z}=2\pi -\arg z$ (pentru $\arg z\ne 0$) și $\arg (-z)=\arg z\pm \pi$, semnul fiind ales ca să rămâi în $[0,2\pi )$.

Greșeli frecvente

• Argumentul dintr-un cadran greșit. Este greșeala numărul unu la acest subiect. Ea apare când argumentul se deduce numai din tangentă. Antidotul: stabilește cadranul la pasul 2 și compară la final.
• Se uită raționalizarea. Rapoarte ca $\frac{1}{\sqrt{2}}$ sau $\frac{3}{2\sqrt{3}}$ nu se recunosc în tabel; scrie-le ca $\frac{\sqrt{2}}{2}$, respectiv $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Argument negativ lăsat ca atare. Pentru un număr din cadranul IV se obține uneori $-\frac{\pi }{3}$; argumentul redus este $2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$.
• Se folosește $\mathrm{tg}\phi$ când $a=0$. Pe axa imaginară tangenta nu există; argumentul este $\frac{\pi }{2}$ sau $\frac{3\pi }{2}$, după semnul lui $b$.
• Se confundă simetriile. Conjugatul este simetricul față de axa reală (argument $2\pi -\phi$), opusul este simetricul față de origine (argument $\phi \pm \pi$). Nu sunt același lucru.

Aplică acasă

1. Turul celor patru cadrane. Alege câte un număr complex în fiecare cadran, cu părțile întregi (de exemplu $3+4i$, $-3+4i$, $-3-4i$, $3-4i$). Calculează modulele — toate ies $5$ — și desenează cele patru puncte. Observă cum se leagă între ele prin simetrii și estimează argumentele de pe desen, cu raportorul.

2. Dicționarul personal. Fă un tabel cu două coloane, „formă algebrică" și „formă trigonometrică", și completează-l cu cele $16$ numere de modul $1$ având argumentele multipli de $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{4}$. Îl vei folosi la lecțiile despre înmulțire, Moivre și rădăcini de ordinul $n$.

3. Detectorul de greșeli. Roagă un coleg să scrie cinci numere complexe sub formă trigonometrică, dintre care două cu argumentul din cadranul greșit. Găsește-le, folosind doar semnele părților reale și imaginare.

Pentru părinți și profesori

Lecția este pur procedurală, dar procedura are un pas critic — stabilirea cadranului — care decide corectitudinea întregului rezultat. Verificați ca elevul să scrie cadranul explicit, ca linie separată în rezolvare; formularea „cadranul III, deci $\phi \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$" trebuie să devină un reflex. Al doilea reflex de format este verificarea finală prin revenire la forma algebrică: durează cincisprezece secunde și elimină practic toate erorile.

Întrebări bune de control: „De ce nu ajunge tangenta?"; „Care este argumentul unui număr din cadranul IV — poate fi $\frac{\pi }{3}$?"; „Cum se schimbă argumentul dacă iau conjugatul? Dar opusul?". Semne că elevul a înțeles: identifică singur cadranul înainte de a face vreun calcul cu funcții trigonometrice și își corectează argumentele negative fără să i se ceară.

La Bacalaureat M1, trecerea între forme apare ca punct de plecare pentru aproape orice exercițiu de numere complexe din a doua parte a capitolului: puteri prin formula lui Moivre, rădăcini de ordinul $n$, ecuații binome. Un argument greșit la primul pas invalidează tot restul, deci investiția în acest algoritm se întoarce înmulțită.

Întrebări frecvente

Cum trec un număr complex din forma algebrică în forma trigonometrică? În cinci pași: calculezi modulul $r=\sqrt{a^2+b^2}$; stabilești cadranul din semnele lui $a$ și $b$; scrii $\cos \phi =\frac{a}{r}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}$; identifici $\phi$ în intervalul cadranului; verifici revenind la forma algebrică.

De ce nu pot afla argumentul doar din $\mathrm{tg}\phi =\frac{b}{a}$? Pentru că tangenta are perioada $\pi$, deci în $[0,2\pi )$ există două valori cu aceeași tangentă, aflate în cadrane diagonal opuse. De exemplu $1+i$ și $-1-i$ au amândouă tangenta $1$, dar argumentele $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{5\pi }{4}$.

Cum determin cadranul unui număr complex? Din semnele părții reale și ale părții imaginare: $(+,+)$ înseamnă cadranul I, $(-,+)$ cadranul II, $(-,-)$ cadranul III, $(+,-)$ cadranul IV. Dacă una dintre părți este zero, punctul este pe o axă, iar argumentul este $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$ sau $\frac{3\pi }{2}$.

Ce fac dacă îmi iese un argument negativ? Adaugi $2\pi$, ca să ajungi în intervalul $[0,2\pi )$. De exemplu, $-\frac{\pi }{4}$ devine $\frac{7\pi }{4}$. Valoarea negativă este un argument corect, dar nu este cel redus, iar convenția cere argumentul redus.

Care este argumentul conjugatului unui număr complex? Dacă $\arg z=\phi \ne 0$, atunci $\arg \bar{z}=2\pi -\phi$, iar modulul rămâne același. Geometric, imaginea conjugatului este simetrica față de axa reală, deci direcția se „oglindește".

Cum trec din forma trigonometrică în cea algebrică? Înlocuiești valorile funcțiilor trigonometrice: $a=r\cos \phi$ și $b=r\sin \phi$. Este sensul ușor, fără ambiguități. Verifică recalculând modulul din $a$ și $b$: trebuie să obții exact $r$.

Unde se folosește trecerea între forme la Bacalaureat M1? La proba M1, ca prim pas al oricărui exercițiu care cere o putere mare a unui număr complex (formula lui Moivre), rădăcinile de ordinul $n$ sau rezolvarea unei ecuații binome. Un cadran greșit la început invalidează tot restul rezolvării.