Ce configurație formează planele $$2x+y-z-1=0$$, $$x-y+2z-4=0$$ și $$3x+3y-4z+7=0$$?

Se întâlnesc într-un singur punct.

Când au trei plane o dreaptă comună?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Trei plane și interpretarea unui sistem

Când determinantul sistemului e $0$ , iar una dintre ecuații se obține din celelalte două cu tot cu termenul liber, fără ca planele să coincidă. Exemplu: $x + y + z = 3$ , $x - y = 1$ și $2 x + z = 4$ . A treia ecuație este suma primelor două, inclusiv $3 + 1 = 4$ . Cu $y = t$ obții $x = 1 + t$ și $z = 2 - 2 t$ , deci punctele comune sunt $(1 + t, t, 2 - 2 t)$ , o dreaptă. Probă în a treia ecuație: $2 + 2 t + 2 - 2 t = 4$ .

Trei egalități liniare cu aceleași necunoscute sunt, citite geometric, trei suprafețe plane, iar soluțiile sistemului sunt punctele comune tuturor trei. Vocabularul algebric se traduce scurt: soluție unică — un colț; o infinitate de soluții — o dreaptă sau chiar o suprafață întreagă; nicio soluție — nimic în comun.

Cele trei nume nu acoperă însă toate așezările din spațiu. Un determinant nenul încheie discuția, fiindcă lasă un singur colț, aflat cu formulele deprinse la sisteme. Când se anulează, lista se deschide: mănunchi de suprafețe sprijinite pe aceeași dreaptă, suprafețe suprapuse, trei paralele, două paralele străpunse de a treia sau prismă.

Prisma e cazul care scapă: oricare pereche se taie, cele trei muchii rezultate ies paralele, deci niciun punct nu le aparține tuturor.

Deosebirea dintre mănunchi și prismă iese la iveală abia la numerele libere: dacă partea cu litere a unei egalități se obține din celelalte, iar numărul ei liber urmează aceeași combinație, avem mănunchi; altfel, acordul se rupe.

Cazul omogen e simplu: originea le verifică pe toate, deci prisma și paralelele sunt excluse din capul locului.

De reținut

$Δ \neq = 0$ : un singur punct comun
dreaptă comună: $Δ = 0$ și o ecuație este combinația celorlalte, inclusiv la termenul liber
termenii liberi decid, la $Δ = 0$ , între dreaptă comună și prismă

Greșeala tipică

Din $Δ = 0$ se trage concluzia că planele nu au niciun punct comun; ele pot avea o dreaptă comună sau pot chiar coincide, iar decizia vine abia din termenii liberi.

Exerciții din această mini-lecție

Care este punctul comun al planelor $x + y - z - 4 = 0$ , $2 x - y + z - 2 = 0$ și $x + 2 y - 3 z - 5 = 0$ ?
- a) $(1, 2, 3)$
- b) $(3, 1, 2)$
- c) $(2, 3, 1)$
- d) $(2, 1, 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(2, 3, 1)$

Determinantul coeficienților este $3 \neq = 0$ , deci sistemul are soluție unică. Punctul $(2, 3, 1)$ verifică toate trei ecuațiile: $2 + 3 - 1 - 4 = 0$ , $4 - 3 + 1 - 2 = 0$ și $2 + 6 - 3 - 5 = 0$ . Celelalte trei cad deja la prima ecuație: $1 + 2 - 3 - 4 = - 4$ , $3 + 1 - 2 - 4 = - 2$ și $2 + 1 - 3 - 4 = - 4$ . Fiind $Δ \neq = 0$ , punctul găsit este singurul.
Planele $x + 2 y - z - 3 = 0$ , $2 x - y + 3 z - 1 = 0$ și $3 x + y + 2 z + k = 0$ au determinantul sistemului nul, oricare ar fi $k$ . Pentru ce valoare a lui $k$ ele au o dreaptă comună?
- a) $k = - 4$
- b) $k = 4$
- c) $k = - 2$
- d) Pentru nicio valoare reală.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $k = - 4$

Linia a treia de coeficienți este suma primelor două: $1 + 2 = 3$ , $2 - 1 = 1$ și $- 1 + 3 = 2$ . Ca a treia ecuație să fie o consecință a celorlalte, trebuie ca și termenul ei liber să respecte aceeași combinație: $- 3 + (- 1) = - 4$ , deci $k = - 4$ . Atunci orice punct care verifică primele două ecuații o verifică și pe a treia, iar cum primele două plane sunt secante, punctele comune formează o dreaptă — un fascicul.
Ce configurație formează planele $2 x + y - z - 1 = 0$ , $x - y + 2 z - 4 = 0$ și $3 x + 3 y - 4 z + 7 = 0$ ?
- a) Fascicul.
- b) Prismă.
- c) Trei plane paralele distincte.
- d) Se întâlnesc într-un singur punct.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Prismă.

Linia a treia se obține din primele două: $2 \cdot (2, 1, - 1) - (1, - 1, 2) = (3, 3, - 4)$ , deci $Δ = 0$ și soluția unică e exclusă. Acordul cere însă și pentru termenul liber $2 \cdot (- 1) - (- 4) = 2$ , în timp ce ecuația a treia are $7$ : sistemul este incompatibil. Comparând planele două câte două, niciuna dintre cele trei perechi de triplete nu este proporțională, deci oricare două se taie: configurația este o prismă, nu plane paralele.

Întrebări conexe

Cum aflu punctul comun a trei plane cu determinantul nenul?

Rezolvi sistemul. Pentru $x + y + z = 6$ , $x - y + z = 2$ , $x + y - z = 0$ : adunând prima cu a treia, $x + y = 3$ , deci $z = 3$ ; scăzând a doua din prima, $2 y = 4$ , deci $y = 2$ și $x = 1$ . Planele se întâlnesc în $(1, 2, 3)$ .

Ce se obține în sistem când cele trei plane sunt paralele distincte?

Tripletele de coeficienți sunt proporționale, iar termenii liberi nu. Planele $z = 0$ , $z = 1$ , $z = 2$ dau un sistem în care ecuațiile se contrazic două câte două, deci incompatibil. Toate liniile matricei sistemului sunt proporționale, iar rangul ei este $1$ .

Ce înseamnă geometric un sistem compatibil cu rangul $1$ ?

Toate cele trei ecuații descriu același plan, scris de trei ori cu alți coeficienți. De exemplu, $x + y + z = 1$ , $2 x + 2 y + 2 z = 2$ , $3 x + 3 y + 3 z = 3$ . Soluțiile sunt punctele planului, cu doi parametri: $y = α$ , $z = β$ , $x = 1 - α - β$ .

Unde vezi trei plane care se taie într-un singur punct?

În colțul unei camere: podeaua, $z = 0$ , și doi pereți, $x = 0$ și $y = 0$ , se întâlnesc doar în origine. Sistemul format de ele are determinantul $1$ , deci soluția unică $(0, 0, 0)$ , exact colțul.

Ce se schimbă dacă mut un plan paralel cu el însuși?

Se schimbă doar termenul lui liber, deci $Δ$ rămâne același. La $Δ \neq = 0$ planele au tot un punct comun, doar mutat. La trei plane cu o dreaptă comună însă, mutarea unuia strică potrivirea termenilor liberi, iar dreapta comună dispare: planele formează o prismă.

Oamenii mai întreabă și: trei plane cu o dreaptă comună · fasciculul de plane · când se intersectează trei plane după o dreaptă · trei plane care trec prin aceeași dreaptă