Trei plane citite dintr-un sistem liniar (M2, științe ale naturii)

Într-un laborator, trei aparate diferite măsoară aceleași trei mărimi ale unei probe și, după calibrare, fiecare aparat livrează câte o lege liniară care le leagă. Întrebarea tehnicianului nu este „care lege e adevărată?", ci alta, mai practică: există o stare a probei care le respectă pe toate trei deodată? Răspunsul se obține rezolvând un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute, iar partea surprinzătoare e că acel sistem nu este doar algebră: fiecare ecuație descrie un plan, iar răspunsul lui spune cum stau cele trei plane unul față de altul. Citirea aceasta dublă este tema de față, din programa de clasa a XII-a pentru profilul științe ale naturii (M2), și se dă la Bacalaureatul M2 din 2030, la proba MAT_P2.

Lecția este puntea dintre cele două capitole mari ale anului: sistemele liniare, studiate la Sisteme liniare: forma matriceală și soluțiile, și geometria analitică în spațiu, începută la Ecuația generală a planului. Nu vom relua clasificarea sistemelor — ea este deja făcută acolo — ci o vom citi geometric. În probă, tema intră în domeniul „Geometrie. Trigonometrie"; elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte.

Ce vei învăța

• Vei ști să traduci un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute în trei plane și mulțimea soluțiilor lui în mulțimea punctelor comune.
• Vei ști să spui, din tipul de compatibilitate, ce configurație formează planele — un punct, o dreaptă, un plan sau nimic.
• Vei ști să deosebești prisma de fascicul atunci când sistemul nu are soluție unică, comparând planele două câte două.
• Vei ști să discuți configurația după un parametru, folosind determinantul sistemului.
• Vei ști să citești invers, scriind un sistem care are o configurație cerută, și să interpretezi un sistem incompatibil într-un model din laborator.

Hai să descoperim împreună

1. Ce citește geometria într-un sistem de trei ecuații?

Interpretarea geometrică a unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute este citirea fiecărei ecuații ca ecuație a unui plan — ceea ce se poate face exact când coeficienții necunoscutelor dintr-o ecuație nu sunt toți nuli — și a mulțimii soluțiilor sistemului ca mulțime a punctelor comune celor trei plane. Nimic nu se adaugă la algebră: aceleași numere, citite altfel.

Traducerea merge în ambele sensuri și merită ținută minte ca un mic dicționar. O soluție a sistemului este un punct comun al celor trei plane. Un sistem compatibil determinat înseamnă exact un punct comun. Un sistem compatibil nedeterminat înseamnă o infinitate de puncte comune, așezate pe o dreaptă sau chiar pe un plan întreg. Un sistem incompatibil înseamnă că cele trei plane nu au niciun punct comun. Numele acestea sunt cele fixate la Sisteme liniare: forma matriceală și soluțiile și folosite la Compatibilitatea unui sistem, prin rang; aici le folosim, nu le redefinim.

Un lucru merită subliniat de la început: cele trei situații de mai sus nu epuizează descrierea geometrică. „Niciun punct comun" acoperă mai multe așezări diferite ale planelor, iar „o infinitate de puncte comune" acoperă și ea două. Tocmai de aceea lecția nu se termină cu numele compatibilității.

2. Cum arată cazul obișnuit, cu determinant nenul?

Când sistemul este pătratic — trei ecuații, trei necunoscute — determinantul lui hotărăște cazul principal. Dacă $\Delta \ne 0$, sistemul este compatibil determinat și se rezolvă cu formulele lui Cramer; geometric, cele trei plane au exact un punct comun, ca trei fețe care se întâlnesc într-un colț de cutie.

Ia sistemul format din planele $2x+3y-7=0$, $2x+z-9=0$ și $2y+z-7=0$, adus la forma cu termenii liberi în dreapta. Determinantul coeficienților este

$$\Delta =\det \left(\begin{array}{ccc}2& 3& 0\\ 2& 0& 1\\ 0& 2& 1\end{array}\right)=-10$$

deci nenul, iar sistemul are soluție unică. Rezolvându-l, se obține punctul $(2,1,5)$, iar controlul este imediat: $4+3-7=0$, $4+5-9=0$ și $2+5-7=0$. Cele trei plane se întâlnesc, așadar, într-un singur punct din spațiu, și niciunul dintre ele nu este de prisos.

Reține și reciproca practică: dacă știi că planele au un singur punct comun, atunci $\Delta \ne 0$ și poți folosi formulele lui Cramer fără nicio grijă. Determinantul nul este cel care deschide discuția, nu cel care o închide.

3. Câte configurații sunt, de fapt?

Mai multe decât cele trei nume de compatibilitate. Le poți enumera ordonat, plecând de la numărul punctelor comune:

Cazul cel mai greu de bănuit este ultimul. Trei plane pot fi două câte două secante — deci orice două dintre ele au o dreaptă comună — și totuși să nu aibă niciun punct comun toate trei: cele trei drepte de intersecție ies paralele, ca muchiile lungi ale unei prisme triunghiulare.

4. Ce se întâmplă când determinantul se anulează?

Se deschide întreaga listă de mai sus, în afară de primul rând. Privește planele $3x+2z-6=0$, $3y+2z-4=0$ și $x-y+9=0$. Determinantul coeficienților este nul, deci soluția unică este exclusă. Scăzând a doua ecuație din prima rămâne $3x-3y-2=0$, adică $x-y-\frac{2}{3}=0$: partea cu necunoscute a ecuației a treia urmează din primele două, dar termenul ei liber nu — ar trebui să fie $-\frac{2}{3}$, iar în ecuație stă $9$. A treia ecuație nu este, așadar, o consecință a celorlalte, iar sistemul este incompatibil.

Geometric, ce s-a întâmplat? Comparând planele două câte două cu criteriul de la Pozițiile relative a două plane, tripletele $(3,0,2)$, $(0,3,2)$ și $(1,-1,0)$ nu sunt proporționale nici măcar pe o pereche: oricare două plane sunt secante. Cu toate acestea, nu există niciun punct pe care să-l aibă toate trei — configurația este o prismă, iar cele trei drepte de intersecție sunt paralele între ele.

Reține deosebirea, fiindcă e miezul lecției: determinantul nul spune doar că nu există soluție unică. Ce urmează — fascicul, prismă, plane paralele — se hotărăște comparând termenii liberi și privind planele două câte două.

5. Cum decizi, practic, fără să desenezi?

Drumul are trei pași și nu cere nicio figură.

Pasul întâi: calculezi $\Delta$. Dacă e nenul, ai terminat: un singur punct comun, aflat cu formulele lui Cramer. Pasul al doilea, când $\Delta =0$: te uiți dacă sistemul are sau nu soluții, adică dacă a treia ecuație este sau nu în acord cu primele două. Dacă are soluții, punctele comune formează o dreaptă (sau, în cazul extrem, un plan întreg, când două ecuații descriu același plan). Dacă nu are, planele nu au niciun punct comun. Pasul al treilea, numai în cazul fără soluții: compari planele două câte două. Dacă găsești o pereche cu triplete proporționale, ai plane paralele; dacă toate perechile sunt secante, configurația este prismă.

Ordinea contează, iar pasul al treilea nu se poate sări: două sisteme la fel de incompatibile în algebră pot arăta cu totul diferit în spațiu.

6. Cum scrii un sistem cu o configurație cerută?

Citirea inversă e mai ușoară decât pare și îți arată că nu ai de-a face cu o listă de cazuri învățate pe de rost, ci cu o construcție.

Pentru un fascicul pleci de la două plane secante și iei ca al treilea o combinație a lor: aduni ecuațiile, sau înmulțești una cu un număr și apoi le aduni. Orice punct care le verifică pe primele două o va verifica automat și pe a treia, deci dreapta comună a primelor două este comună tuturor. Pentru o prismă faci exact același lucru, dar schimbi la final termenul liber al ecuației a treia: partea cu necunoscute rămâne o combinație, iar acordul se rupe. Pentru plane paralele înmulțești o ecuație cu un număr nenul și schimbi termenul liber. Iar pentru un sistem cu soluție unică e de ajuns să alegi un punct și trei plane care trec prin el, având grijă ca tripletele să nu fie proporționale.

Un caz merită privit separat: sistemul omogen, cel cu toți termenii liberi nuli. Fiecare plan al lui trece prin origine, fiindcă $O(0,0,0)$ verifică orice ecuație cu termenul liber zero. Prin urmare, planele unui sistem omogen au întotdeauna cel puțin un punct comun, iar prisma și planele paralele sunt excluse din start: rămân doar colțul, fasciculul și planul întreg.

7. Ce înseamnă un sistem incompatibil într-un model?

Întoarce-te la laborator. Cele trei legi de calibrare, scrise ca ecuații liniare între aceleași trei mărimi, sunt trei plane. Dacă sistemul are soluție unică, există o singură stare a probei compatibilă cu toate trei — calibrarea e bună și completă. Dacă sistemul e nedeterminat, stările compatibile formează o dreaptă întreagă: aparatele nu se contrazic, dar nici nu determină proba, fiindcă una dintre legi nu adaugă informație nouă.

Dacă sistemul e incompatibil, concluzia e mai severă: nicio stare a probei nu poate respecta simultan cele trei legi, deci cel puțin o calibrare e greșită sau modelul liniar e prea sărac. Iar configurația spune unde să cauți. Două plane paralele distincte arată două legi cu aceiași coeficienți și constante diferite, adică aceeași măsurătoare făcută de două ori, cu rezultate care nu se potrivesc. O prismă arată altceva: fiecare pereche de legi e compatibilă, dar acordul se pierde abia când le pui pe toate trei — semn de eroare mică, împrăștiată în toate cele trei calibrări. Ambele se rezolvă în laborator, nu pe hârtie, dar matematica spune care dintre ele este.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un singur punct comun

Stabilește ce configurație formează planele $x-3z+5=0$, $2y+z-4=0$ și $x+z-3=0$ și află punctele lor comune.

Rezolvare. Determinantul coeficienților este $\Delta =\det \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -3\\ 0& 2& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=8$, deci nenul: sistemul este compatibil determinat, iar planele au exact un punct comun. Rezolvăm: din prima și a treia, $x=3z-5$ și $x=3-z$, deci $3z-5=3-z$, adică $z=2$ și $x=1$; din a doua, $2y=4-z=2$, deci $y=1$. Punctul comun este $(1,1,2)$. Control: $1-6+5=0$, $2+2-4=0$ și $1+2-3=0$.

Exemplul 2 — O dreaptă comună

Arată că planele $x-2z-1=0$, $3x+2y-5=0$ și $y+3z-1=0$ au o dreaptă comună și scrie două puncte ale ei.

Rezolvare. Determinantul coeficienților este nul, deci soluția unică este exclusă. Verificăm dacă sistemul are totuși soluții: din prima ecuație $x=2z+1$, iar din a treia $y=1-3z$; înlocuind în a doua obținem $3(2z+1)+2(1-3z)-5=6z+3+2-6z-5=0$, adevărat pentru orice $z$. A treia condiție nu aduce deci nimic nou, iar sistemul este compatibil nedeterminat: punctele comune sunt $(2z+1,1-3z,z)$, adică o dreaptă. Pentru $z=0$ obținem $(1,1,0)$, iar pentru $z=1$ obținem $(3,-2,1)$; amândouă verifică toate cele trei ecuații.

Exemplul 3 — Trei plane paralele

Stabilește configurația planelor $y-3z-9=0$, $2y-6z+5=0$ și $3y-9z-8=0$.

Rezolvare. Tripletele sunt $(0,1,-3)$, $(0,2,-6)$ și $(0,3,-9)$: al doilea este dublul primului, al treilea este triplul lui, deci toate trei au aceeași direcție. Comparăm termenii liberi cu aceiași factori: $2\cdot (-9)=-18$, iar al doilea plan are $5$; $3\cdot (-9)=-27$, iar al treilea are $-8$. Niciuna dintre perechi nu coincide, deci cele trei plane sunt paralele distincte două câte două și nu au niciun punct comun: sistemul este incompatibil.

Exemplul 4 — Două plane confundate

Stabilește configurația planelor $x-2z-3=0$, $3x-6z-9=0$ și $y+z-4=0$ și află punctele lor comune.

Rezolvare. A doua ecuație este prima înmulțită cu $3$, deci primele două plane sunt confundate — avem, de fapt, numai două plane distincte. Tripletele $(1,0,-2)$ și $(0,1,1)$ nu sunt proporționale, deci acestea două sunt secante, iar punctele comune formează o dreaptă. Din prima $x=2z+3$, din a treia $y=4-z$, deci punctele sunt $(2z+3,4-z,z)$: pentru $z=0$ obținem $(3,4,0)$, iar pentru $z=1$ obținem $(5,3,1)$. Sistemul este compatibil nedeterminat.

Exemplul 5 — Două paralele tăiate de al treilea

Stabilește configurația planelor $3x+z-5=0$, $6x+2z+4=0$ și $2y+3z-2=0$.

Rezolvare. Primele două au tripletele $(3,0,1)$ și $(6,0,2)$, proporționale cu factorul $2$; termenii liberi dau $2\cdot (-5)=-10$, iar al doilea plan are $4$, deci ele sunt paralele distincte și nu au niciun punct comun. Cum orice punct comun al celor trei ar fi în primul rând comun primelor două, sistemul este incompatibil. Al treilea plan le taie pe amândouă, fiindcă tripletul lui, $(0,2,3)$, nu este proporțional cu $(3,0,1)$: configurația este „două plane paralele, tăiate de al treilea", cu două drepte de intersecție paralele între ele.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră planele $\alpha :x+3y-17=0$, $\beta :y-z-1=0$ și ${\gamma }_m:x+my-13=0$, unde $m$ este un număr real.

a) Pentru $m=2$, arată că cele trei plane au un singur punct comun și află-l.

b) Determină valoarea lui $m$ pentru care determinantul sistemului este nul.

c) Pentru valoarea găsită la punctul b), precizează configurația celor trei plane.

Rezolvare. a) Pentru $m=2$, al treilea plan este $x+2y-13=0$. Scăzând această ecuație din prima obținem $y=4$, deci $x=17-12=5$, iar din a doua $z=y-1=3$. Punctul comun este $(5,4,3)$. Control: $5+12-17=0$, $4-3-1=0$ și $5+8-13=0$. Determinantul fiind nenul, punctul este singurul.

b) Determinantul coeficienților este $\Delta =\det \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 0& 1& -1\\ 1& m& 0\end{array}\right)=m-3$, deci $\Delta =0$ pentru $m=3$.

c) Pentru $m=3$, al treilea plan devine $x+3y-13=0$. El are același triplet ca $\alpha$, dar alt termen liber, deci $\alpha$ și ${\gamma }_3$ sunt paralele distincte; sistemul este incompatibil, iar configurația este „două plane paralele, tăiate de al treilea".

Să exersăm

1. Stabilește configurația planelor $y-3z+2=0$, $3x-2y-4=0$ și $x-z-2=0$ și află punctele lor comune.

2. Arată că planele $x-2z+3=0$, $3x-z-6=0$ și $x+z-6=0$ au o dreaptă comună și precizează cu ce axă este ea paralelă.

3. Stabilește configurația planelor $2x+z-5=0$, $4x+2z+3=0$ și $6x+3z-11=0$.

4. Stabilește configurația planelor $2x-3z+7=0$, $4x-6z-3=0$ și $3x+2y+3=0$.

5. Arată că planele $3y-z-1=0$, $2x-3y+2=0$ și $2x-z-6=0$ sunt două câte două secante, dar nu au niciun punct comun.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă trei plane au exact un punct comun, atunci oricare două dintre ele sunt secante.

7. Stabilește configurația planelor $x+2z-1=0$, $3x+6z-3=0$ și $y-z+3=0$ și scrie două puncte comune.

8. Află punctul comun al planelor $2y+z-5=0$, $3x-2y-5=0$ și $3x-z-8=0$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă două dintre cele trei plane sunt confundate, atunci sistemul are cel puțin o soluție.

10. Arată că planele $3x-z=0$, $y-2z=0$ și $6x-y=0$ au cel puțin un punct comun, fără să rezolvi sistemul, apoi scrie încă un punct comun al lor.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planele $x+4y-13=0$, $y+z-6=0$ și $x+mz-10=0$, cu $m$ real. a) Pentru $m=3$, află punctul comun al celor trei plane. b) Determină $m$ pentru care determinantul sistemului este nul. c) Pentru acea valoare, precizează configurația planelor.

12. (Problemă aplicată.) Trei aparate de laborator dau pentru aceleași trei mărimi $x$, $y$, $z$, măsurate în miligrame pe litru, legile $y+3z-9=0$, $3y+9z-2=0$ și $x+3z-1=0$. Arată că nu există nicio probă care să respecte toate trei legile și spune ce configurație formează planele lor.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planele $2y-3z+4=0$, $3x+2y-11=0$ și $3x+2z-11=0$. a) Calculează determinantul sistemului. b) Află punctul comun al celor trei plane. c) Arată că planul $x+y-5=0$ trece prin acest punct.

14. Arată că planele $x-2z+1=0$, $y+z-6=0$ și $x+2y-11=0$ au o dreaptă comună și scrie două puncte ale ei.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planele $x+2y-16=0$, $y-z-4=0$ și $x+mz-8=0$, cu $m$ real. a) Pentru $m=6$, află punctul comun al celor trei plane. b) Determină $m$ pentru care determinantul sistemului este nul. c) Pentru acea valoare, arată că planele au o dreaptă comună și scrie două puncte ale ei.

16. Un elev calculează determinantul sistemului format din planele $y-3z-1=0$, $2x+y+7=0$ și $2x+3z+8=0$, obține $0$ și scrie: „planele nu au niciun punct comun". Găsește greșeala și dă răspunsul corect.

17. Determină numărul real $d$ pentru care planele $x-3z+2=0$, $x-2y+14=0$ și $2y-3z+d=0$ au o dreaptă comună.

18. (Provocare.) Arată că, oricare ar fi numărul real $m$, planele $x+4y-11=0$, $y+mz-2=0$ și $x-4mz-3=0$ au o dreaptă comună.

Răspunsuri și explicații

1. Determinantul coeficienților este $\det \left(\begin{array}{ccc}0& 1& -3\\ 3& -2& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)=-3$, nenul, deci sistemul este compatibil determinat: planele au un singur punct comun. Din a treia $x=z+2$, din prima $y=3z-2$; înlocuind în a doua, $3z+6-6z+4-4=0$, deci $z=2$, iar punctul este $(4,4,2)$.

2. Determinantul este nul, deci soluția unică este exclusă. Rezolvând primele două ecuații găsim $x=3$ și $z=3$, valori care verifică și a treia, deci sistemul are soluții. Punctele comune sunt $(3,t,3)$, cu $t$ real: o dreaptă paralelă cu axa $Oy$, ceea ce era de așteptat, fiindcă niciunul dintre cele trei plane nu conține variabila $y$.

3. Tripletele $(2,0,1)$, $(4,0,2)$ și $(6,0,3)$ sunt proporționale cu factorii $2$ și $3$. Termenii liberi: $2\cdot (-5)=-10\ne 3$ și $3\cdot (-5)=-15\ne -11$, iar între al doilea și al treilea proporția cade la fel. Cele trei plane sunt paralele distincte, deci sistemul este incompatibil.

4. Primele două au tripletele $(2,0,-3)$ și $(4,0,-6)$, proporționale cu factorul $2$, iar termenii liberi dau $2\cdot 7=14\ne -3$: sunt paralele distincte, deci sistemul este incompatibil. Al treilea, cu tripletul $(3,2,0)$, le taie pe amândouă. Configurația este două plane paralele, tăiate de al treilea.

5. Tripletele sunt $(0,3,-1)$, $(2,-3,0)$ și $(2,0,-1)$: oricare două nu sunt proporționale, deci planele sunt două câte două secante. Cu toate acestea, al treilea triplet este suma primelor două, în timp ce termenii liberi nu respectă aceeași regulă, fiindcă $-1+2=1$, iar al treilea plan are $-6$. Sistemul este incompatibil: configurația este o prismă.

6. Adevărat. Dacă două dintre plane ar fi paralele distincte, ele n-ar avea niciun punct comun între ele, deci n-ar avea niciunul nici toate trei. Dacă două ar fi confundate, punctele comune ale celor trei ar fi punctele comune ale planului repetat cu al treilea: o dreaptă întreagă, un plan sau niciunul — niciodată exact un punct. Rămâne, așadar, ca oricare două să fie secante.

7. A doua ecuație este prima înmulțită cu $3$, deci primele două plane sunt confundate; al treilea le taie, fiindcă $(0,1,-1)$ nu este proporțional cu $(1,0,2)$. Punctele comune formează o dreaptă: din prima $x=1-2z$, din a treia $y=z-3$, deci punctele sunt $(1-2z,z-3,z)$. Pentru $z=0$ obținem $(1,-3,0)$, iar pentru $z=1$ obținem $(-1,-2,1)$.

8. Determinantul coeficienților este $\det \left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 3& -2& 0\\ 3& 0& -1\end{array}\right)=12$, nenul. Din a doua $3x=2y+5$, iar din a treia $z=3x-8=2y-3$; înlocuind în prima, $2y+2y-3-5=0$, deci $y=2$, apoi $z=1$ și $x=3$. Punctul comun este $(3,2,1)$.

9. Fals. Două plane confundate sunt unul și același plan, dar al treilea poate fi paralel distinct cu el, iar atunci niciun punct nu verifică toate cele trei ecuații. De pildă $4y-z+3=0$ și $8y-2z+6=0$ descriu același plan, în timp ce $12y-3z-5=0$ are tripletul proporțional cu al lor, dar termenul liber nepotrivit: sistemul este incompatibil, deși două dintre plane coincid.

10. Toți termenii liberi sunt nuli, deci sistemul este omogen și admite soluția banală: originea $O(0,0,0)$ aparține tuturor celor trei plane, oricare ar fi ceilalți coeficienți. Planele au deci cel puțin un punct comun. Aici au chiar o dreaptă întreagă, fiindcă al treilea triplet se obține din primele două; un alt punct comun este $(1,6,3)$, care verifică toate cele trei ecuații.

11. a) Pentru $m=3$, al treilea plan este $x+3z-10=0$. Din a doua $y=6-z$, din prima $x=13-4y=4z-11$; înlocuind în al treilea, $4z-11+3z-10=0$, deci $z=3$, $y=3$ și $x=1$: punctul comun este $(1,3,3)$. b) Determinantul este $\det \left(\begin{array}{ccc}1& 4& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& m\end{array}\right)=m+4$, deci se anulează pentru $m=-4$. c) Pentru $m=-4$, cele trei triplete sunt $(1,4,0)$, $(0,1,1)$ și $(1,0,-4)$, două câte două neproporționale, dar sistemul nu are soluții; configurația este o prismă.

12. Primele două legi au tripletele $(0,1,3)$ și $(0,3,9)$, proporționale cu factorul $3$, iar termenii liberi dau $3\cdot (-9)=-27\ne -2$: planele lor sunt paralele distincte, deci nicio probă nu le poate respecta pe amândouă, cu atât mai puțin pe toate trei. Configurația este două plane paralele, tăiate de al treilea, iar interpretarea practică este că primele două aparate măsoară aceeași combinație de mărimi și dau rezultate care nu se potrivesc: unul dintre ele trebuie recalibrat.

13. a) $\Delta =\det \left(\begin{array}{ccc}0& 2& -3\\ 3& 2& 0\\ 3& 0& 2\end{array}\right)=6$, nenul. b) Din a doua $3x=11-2y$, iar din a treia $2z=11-3x=2y$, deci $z=y$; înlocuind în prima, $2y-3y+4=0$, deci $y=4$, $z=4$ și $x=1$. Punctul comun este $(1,4,4)$. c) Înlocuind în $x+y-5$ obținem $1+4-5=0$, deci planul trece prin punctul găsit.

14. Determinantul este nul. Din prima $x=2z-1$, din a doua $y=6-z$; înlocuind în a treia, $2z-1+12-2z-11=0$, adevărat pentru orice $z$, deci sistemul este compatibil nedeterminat și punctele comune formează o dreaptă: $(2z-1,6-z,z)$. Pentru $z=0$ obținem $(-1,6,0)$, iar pentru $z=1$ obținem $(1,5,1)$.

15. a) Pentru $m=6$, al treilea plan este $x+6z-8=0$. Din a doua $y=z+4$, din prima $x=16-2y=8-2z$; înlocuind în al treilea, $8-2z+6z-8=0$, deci $z=0$, apoi $y=4$ și $x=8$: punctul comun este $(8,4,0)$. b) $\Delta =\det \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& -1\\ 1& 0& m\end{array}\right)=m-2$, deci $\Delta =0$ pentru $m=2$. c) Pentru $m=2$, al treilea plan este $x+2z-8=0$; înlocuind $x=16-2y$ și $z=y-4$ obținem $16-2y+2y-8-8=0$, adevărat pentru orice $y$, deci planele au o dreaptă comună. Două puncte ale ei sunt $(6,5,1)$ și $(4,6,2)$.

16. Greșeala este oprirea la determinant: valoarea nulă exclude doar soluția unică, nu și existența punctelor comune. Aici sistemul are soluții: din prima $y=3z+1$, din a doua $2x=-y-7=-3z-8$; înlocuind în a treia, $-3z-8+3z+8=0$, adevărat pentru orice $z$. Planele au deci o dreaptă comună, iar două puncte ale ei sunt $(-4,1,0)$ și $(-7,7,2)$.

17. Scăzând a doua ecuație din prima obținem $2y-3z-12=0$, adică partea cu necunoscute a ecuației a treia, cu termenul liber $-12$. Pentru ca a treia ecuație să fie în acord cu primele două, trebuie deci $d=-12$. Verificare: pentru $d=-12$, punctele comune sunt $(3z-2,\frac{3z+12}{2},z)$, iar pentru $z=0$ și $z=2$ obținem punctele $(-2,6,0)$ și $(4,9,2)$, care verifică toate cele trei ecuații.

18. Înmulțim a doua ecuație cu $4$ și o scădem din prima: $x+4y-11-4y-4mz+8=x-4mz-3$, adică exact membrul stâng al ecuației a treia. A treia ecuație este deci o consecință a primelor două, oricare ar fi $m$, iar sistemul are aceleași soluții ca primele două ecuații. Cum tripletele $(1,4,0)$ și $(0,1,m)$ nu sunt proporționale pentru nicio valoare reală a lui $m$, primele două plane sunt secante, iar punctele comune ale celor trei formează o dreaptă. Pentru $m=1$, de pildă, două puncte ale ei sunt $(3,2,0)$ și $(7,1,1)$.

De reținut

• Fiecare ecuație liniară cu trei necunoscute este un plan, iar mulțimea soluțiilor sistemului este mulțimea punctelor comune ale planelor.
• $\Delta \ne 0$ înseamnă exact un punct comun; $\Delta =0$ deschide toate celelalte configurații și nu decide singur nimic.
• Sistem incompatibil înseamnă trei așezări diferite: trei plane paralele, două paralele tăiate de al treilea sau prismă.
• Prisma este cazul care se uită: plane două câte două secante, fără niciun punct comun al tuturor.
• Un sistem omogen are întotdeauna soluția banală, deci planele lui trec toate prin origine: prisma și planele paralele sunt excluse din start.

Greșeli frecvente

• Oprirea la determinantul nul, cu concluzia „nu au puncte comune". Determinantul nul exclude doar unicitatea; planele pot avea o dreaptă întreagă comună.
• Uitarea prismei. Din „oricare două plane se taie" nu rezultă că toate trei au un punct comun; verificarea pe perechi este necesară, nu suficientă.
• Confundarea dreptei comune cu punctul comun. Când sistemul e nedeterminat, răspunsul nu este un punct, ci o listă de puncte scrisă cu un parametru; un singur punct este doar un exemplu, nu soluția.
• Compararea termenilor liberi înaintea coeficienților. Termenii liberi nu spun nimic despre direcția planelor; ei se compară abia după ce ai stabilit că partea cu necunoscute a unei ecuații se obține din celelalte.
• Aplicarea formulelor lui Cramer fără să verifici determinantul. Dacă $\Delta =0$, împărțirea nu are sens, iar „rezultatul" obținut mecanic nu înseamnă nimic.

Aplică acasă

1. Colțul camerei și o foaie. Podeaua și doi pereți alăturați sunt trei plane cu un singur punct comun — colțul camerei. Ține o foaie rigidă lipită de unul dintre pereți și mișc-o până când, împreună cu celelalte două, nu mai are niciun punct comun cu ele. Descrie în cuvinte, pentru fiecare poziție încercată, care dintre configurațiile din tabel ai obținut.

2. Fabrica de fascicule. Alege două plane secante cu ecuații simple, adună-le ecuațiile și scrie sistemul format din cele trei. Verifică, luând trei puncte ale dreptei comune primelor două, că ele verifică și a treia ecuație. Schimbă apoi termenul liber al ecuației a treia și arată, prin calcul, că sistemul a devenit incompatibil.

3. Trei aparate. Imaginează trei legi liniare între trei mărimi dintr-un experiment pe care l-ai făcut la fizică sau la chimie și scrie sistemul lor. Calculează determinantul, spune ce configurație formează planele și formulează în cuvinte ce ar însemna, pentru experiment, fiecare dintre cele trei tipuri de răspuns.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul traduce corect între limbajul algebric al compatibilității și cel geometric al configurațiilor, dacă știe că determinantul nul nu încheie discuția și dacă deosebește prisma de fascicul comparând planele două câte două. Calculele sunt cele din capitolul de sisteme; noutatea este citirea rezultatului.

Dificultatea reală este că elevul reduce totul la trei nume — determinat, nedeterminat, incompatibil — și crede că fiecărui nume îi corespunde o singură imagine. Nu e așa: „incompatibil" acoperă trei așezări diferite în spațiu. Un desen sumar, cu trei paralelograme, ajută mai mult decât încă un sistem rezolvat.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce înseamnă geometric un sistem incompatibil?", „Poți avea trei plane două câte două secante și fără punct comun?", „De ce planele unui sistem omogen nu pot forma o prismă?", „Când răspunsul la un sistem nu este un punct, ci o dreaptă?". Semne că a înțeles: după ce calculează un determinant nul, nu se oprește, ci trece imediat la verificarea acordului dintre ecuații; și, în fața unui sistem nedeterminat, scrie punctele cu un parametru, nu doar unul dintre ele.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, unitatea XII.2. Elemente de geometrie analitică în spațiu, la conținutul „Pozițiile relative ale două sau trei plane; interpretări geometrice ale sistemelor de ecuații liniare". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), unde geometria analitică în spațiu nu apare deloc; sistemele liniare apar acolo, dar numai algebric, la nivelul clasei a XI-a și cu cel mult trei necunoscute. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă, geometric, soluțiile unui sistem de trei ecuații cu trei necunoscute?

Fiecare ecuație descrie un plan, iar o soluție a sistemului este un punct care se află pe toate trei planele deodată. Mulțimea soluțiilor este deci mulțimea punctelor comune celor trei plane: un punct, o dreaptă, un plan întreg sau mulțimea vidă, după caz.

Ce configurație au trei plane când sistemul este compatibil determinat?

Se întâlnesc într-un singur punct, ca trei fețe într-un colț de cutie. Algebric, asta se întâmplă exact când determinantul coeficienților este nenul, iar punctul se află cu formulele lui Cramer. Reciproc, dacă planele au un singur punct comun, determinantul este sigur nenul.

Ce este prisma formată de trei plane?

Este configurația în care oricare două dintre cele trei plane se taie după o dreaptă, dar toate trei nu au niciun punct comun: cele trei drepte de intersecție ies paralele între ele, ca muchiile lungi ale unei prisme triunghiulare. Sistemul corespunzător este incompatibil, deși nicio pereche de plane nu este paralelă.

Cum deosebesc prisma de fasciculul de plane?

Amândouă au determinantul nul, deci diferența se vede abia în termenii liberi. Dacă partea cu necunoscute a unei ecuații se obține din celelalte două și termenul ei liber respectă aceeași combinație, planele au o dreaptă comună — fascicul. Dacă termenul liber nu o respectă, sistemul este incompatibil, iar configurația este prismă sau plane paralele.

De ce nu pot forma o prismă planele unui sistem omogen?

Pentru că toate ecuațiile au termenul liber nul, deci originea le verifică pe toate: planele au întotdeauna cel puțin punctul $O(0,0,0)$ în comun. Cum prisma și planele paralele înseamnă „niciun punct comun", ele sunt excluse; rămân doar colțul, fasciculul și cazul în care ecuațiile descriu același plan.

Se dă interpretarea geometrică a sistemelor și la mate-info (M1)?

Nu în spațiu. La matematică-informatică, sistemele se studiază în clasa a XI-a, iar legătura cu geometria se face doar în plan, între drepte. Pentru comparație, cazul omogen la mate-info (M1): Sisteme liniare omogene; acolo se discută soluția banală și cele nebanale, fără nicio lectură în spațiu.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

Tema intră în probă abia din 2030, la MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie", unitatea XII.2. Structura acelei probe nu e încă publicată, deci exemplul 6 e construit, nu preluat dintr-un model oficial. În modelul oficial al probei actuale de la științe ale naturii nu apare niciun sistem: prima problemă a Subiectului al II-lea e cu matrice, a doua despre un polinom. Sistemele sunt cerute de programa de examen din 2014, unde se tratează exclusiv algebric.

Ce legătură are lecția cu pozițiile relative a două plane?

Este continuarea directă. Criteriul cu triplete proporționale, construit la Pozițiile relative a două plane, se aplică aici pe fiecare dintre cele trei perechi și este exact instrumentul care deosebește prisma de planele paralele, atunci când sistemul s-a dovedit incompatibil. Noutatea este că perechile nu mai ajung singure: acordul dintre toate cele trei ecuații se citește din sistem, nu dintr-o comparație doi câte doi.