Câte drumuri are o bilă pe placa lui Galton?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Triunghiul lui Pascal

Pe o placă cu $n$ rânduri de cuie, bila alege la fiecare cui stânga sau dreapta, deci are $2^{n}$ drumuri. Ca să ajungă în sertarul $k$ , numerotat de la $0$ , trebuie să meargă la dreapta de exact $k$ ori, adică $C_{n}^{k}$ drumuri, numărul de pe linia $n$ a triunghiului lui Pascal. Exemplu: la $6$ rânduri, sertarele primesc $1$ , $6$ , $15$ , $20$ , $15$ , $6$ , $1$ drumuri din $64$ .

Triunghiul lui Pascal se obține numai din adunări: în vârf stă un $1$ , capetele fiecărei linii noi sunt $1$ , iar orice alt număr adună perechea aflată imediat deasupra lui. Numerotând liniile și locurile de la zero, pe linia $n$ , locul $k$ găsești $C_{n}^{k}$ : combinările au aceleași capete și respectă aceeași regulă, formula de recurență.

Fiecare linie are $n + 1$ numere și se citește la fel din ambele capete (combinările complementare). Maximul stă la mijloc: unul pentru linii pare, două egale pentru linii impare. Suma liniei $n$ este $2^{n}$ : atâtea submulțimi are o mulțime cu $n$ elemente, pe care o numeri o dată pe mărimi și o dată element cu element. Diagonalele dau șirul de $1$ , numerele naturale și numerele triunghiulare.

Tabloul apare în științe: pe placa lui Galton, numărul drumurilor unei bile spre fiecare sertar este un număr de pe o linie; în genetica poligenică, o linie arată câte combinații de alele produc fiecare nuanță. Un program scurt, care adună vecinii unei liste, generează orice linie.

De reținut

pe linia $n$ , poziția $k$ (de la $0$ ) stă $C_{n}^{k}$
pe placa lui Galton cu $n$ rânduri, sertarul $k$ primește $C_{n}^{k}$ drumuri din $2^{n}$
fiecare număr interior este suma celor două numere de deasupra lui

Greșeala tipică

Se crede că sertarele Galton primesc tot atâtea drumuri; la $6$ rânduri, sertarul din mijloc primește $20$ de drumuri, iar cele de la margini doar câte unul.

Exerciții din această mini-lecție

Ce număr se află pe linia $n$ , poziția $k$ a triunghiului lui Pascal (numărând de la $0$ )?
- a) $C_{k}^{n}$
- b) $C_{n}^{k}$
- c) $C_{n + 1}^{k}$
- d) $n \cdot k$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $C_{n}^{k}$

Tabloul și combinările au aceleași margini și aceeași regulă de construcție, deci pe linia $n$ , poziția $k$ stă $C_{n}^{k}$ .
Care dintre numerele următoare NU se află pe linia $7$ a triunghiului lui Pascal?
- a) $21$
- b) $35$
- c) $28$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $28$

Linia $7$ este $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$ . Numărul $28$ stă pe linia $8$ , pe pozițiile $2$ și $6$ .
Câte numere are linia $30$ a triunghiului?
- a) $30$
- b) $31$
- c) $29$
- d) $60$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $31$

Pozițiile merg de la $0$ la $30$ , deci linia are $31$ de numere.

Întrebări conexe

Câte numere impare are linia $10$ a triunghiului lui Pascal?

Linia $10$ este $1$ , $10$ , $45$ , $120$ , $210$ , $252$ , $210$ , $120$ , $45$ , $10$ , $1$ , iar impare sunt doar $1$ , $45$ , $45$ , $1$ , adică $4$ numere. Există și o regulă: numărul lor este $2$ la puterea numărului de cifre $1$ din scrierea lui $n$ în baza $2$ , iar $10 = 101 0_{2}$ are două.

Cât este suma $1 + 3 + 6 + 10 + 15$ citită în triunghiul lui Pascal?

Numerele stau pe diagonala $C_{2}^{2}$ , $C_{3}^{2}$ , $C_{4}^{2}$ , $C_{5}^{2}$ , $C_{6}^{2}$ . Suma unei astfel de diagonale este numărul aflat sub ultimul termen, pe linia următoare și un loc mai la dreapta: $C_{7}^{3} = 35$ . Calculul direct confirmă: $1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35$ .

Cum generează un program linia următoare a triunghiului lui Pascal?

Pornește de la linia curentă, o listă cu $n + 1$ numere. Linia nouă începe cu $1$ , apoi fiecare poziție $k$ , de la $1$ la $n$ , primește suma elementelor de pe pozițiile $k - 1$ și $k$ ale liniei vechi, iar la final se adaugă încă un $1$ . Din $1$ , $3$ , $3$ , $1$ rezultă $1$ , $4$ , $6$ , $4$ , $1$ .

Ce arată linia $4$ despre copiii unei familii cu patru copii?

Dacă fiecare copil poate fi, cu aceeași șansă, băiat sau fată, cele $2^{4} = 16$ succesiuni se împart după numărul de fete în $1$ , $4$ , $6$ , $4$ , $1$ . Probabilitatea de a avea exact două fete este $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ , mai mare decât cea de a avea patru fete, $\frac{1}{16}$ .

Care linii ale triunghiului lui Pascal au toate numerele impare?

Liniile $0$ , $1$ , $3$ , $7$ , $15$ și, în general, liniile $n = 2^{m} - 1$ . De exemplu, linia $7$ este $1$ , $7$ , $21$ , $35$ , $35$ , $21$ , $7$ , $1$ , toate impare, pe când linia $6$ conține $6$ și $20$ , deci are și numere pare.

Oamenii mai întreabă și: placa lui Galton și triunghiul lui Pascal · numărul de drumuri spre un sertar Galton · câte drumuri duc bila în sertarul k · triunghiul lui Pascal pe placa lui Galton