Triunghiul lui Pascal (M2, științe ale naturii)

În multe laboratoare de fizică există o placă verticală cu rânduri de cuie așezate în zigzag. O bilă lăsată de sus lovește câte un cui pe fiecare rând și trece fie în stânga lui, fie în dreapta, până ajunge într-unul dintre sertarele de jos. Dacă lași să cadă sute de bile, sertarele din mijloc se umplu vizibil mai repede decât cele de la margini. Aparatul se numește placa lui Galton, iar numărul drumurilor care duc spre fiecare sertar se citește dintr-un tablou numeric construit cu creionul, numai prin adunări: triunghiul lui Pascal. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul „Metode de numărare”, și îți arată cum se construiește tabloul, ce numere conține și cum îl folosești în probleme din fizică și biologie. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține combinările și numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi, fără să numească triunghiul lui Pascal.

Lecția se sprijină pe formula de recurență a combinărilor: tabloul de aici este chiar acea formulă, aplicată rând după rând.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești triunghiul lui Pascal numai prin adunări și să scrii corect liniile lui.
• Vei ști că pe linia $n$, poziția $k$ (ambele numărate de la $0$) stă $C_n^k$ și să citești combinări direct din tablou.
• Vei ști să folosești simetria fiecărei linii și să găsești numărul cel mai mare al unei linii.
• Vei ști de ce suma numerelor de pe linia $n$ este $2^n$, prin numărarea submulțimilor.
• Vei ști să recunoști triunghiul în placa lui Galton și în genetica poligenică, numărând drumuri și combinații.
• Vei ști să citești diagonalele și să descrii algoritmul care generează o linie din cea precedentă.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se construiește triunghiul?

Triunghiul lui Pascal este tabloul numeric în care linia $0$ conține doar numărul $1$, orice linie următoare are câte un $1$ la ambele margini, iar între margini fiecare poziție primește totalul celor doi vecini situați pe linia de sus, unul la stânga, celălalt la dreapta ei. Regula aceasta e tot ce îți trebuie; formulele vin abia după.

Aplic-o de câteva ori. Linia $1$ are doar capetele: $1,1$. Linia $2$ primește la mijloc suma $1+1$, deci este $1,2,1$. Linia $3$ are la interior $1+2=3$ și $2+1=3$, deci este $1,3,3,1$. Linia $4$ are la interior $1+3$, $3+3$ și $3+1$, deci este $1,4,6,4,1$. Observă că linia $n$ are $n+1$ numere și că, de la o linie la următoarea, numerele cresc rapid, chiar dacă faci doar adunări.

2. Ce număr stă pe linia $n$, poziția $k$?

Numerotează liniile de sus în jos, începând cu $0$, iar pozițiile de pe fiecare linie de la stânga la dreapta, tot începând cu $0$. Atunci numărul de pe linia $n$, poziția $k$ este $C_n^k$. Motivul: tabloul și combinările respectă aceleași două reguli. La capete, triunghiul are $1$, iar $C_n^0=C_n^n=1$. În interior, triunghiul adună cele două numere de deasupra, iar combinările respectă $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$. Două tablouri care pornesc la fel și cresc după aceeași regulă coincid linie cu linie.

Convenția numerotării de la zero nu e un capriciu. Cu ea, linia se identifică după numărul elementelor mulțimii, iar poziția după numărul elementelor alese. Combinarea încadrată în figură, $C_4^1$, stă pe linia $4$, poziția $1$: al doilea număr al liniei, fiindcă primul are poziția $0$.

3. Cum arată tabloul mai departe?

Continuând adunările, obții liniile până la $8$. În figura de mai jos, numărul $10$ de pe linia $5$ este încadrat împreună cu cele două numere din care provine, $4$ și $6$, de pe linia $4$.

Din figură citești pe loc valori pe care altfel le-ai calcula cu factoriale: de exemplu, $C_8^3=56$ (linia $8$, poziția $3$) sau $C_7^4=35$. Încadrarea din figură arată recurența $C_5^2=C_4^1+C_4^2$, adică $10=4+6$.

4. Ce vezi dacă citești o linie în oglindă?

Fiecare linie se citește la fel de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga. Motivul e formula combinărilor complementare, $C_n^k=C_n^{n-k}$: poziția $k$ și poziția $n-k$ se află la aceeași distanță de centrul liniei, una în stânga, cealaltă în dreapta. Simetria nu spune însă cum variază numerele de la capăt spre mijloc; asta vine din raportul a două combinări vecine, $\frac{n-k}{k+1}$, studiat în aceeași lecție: pe fiecare linie, numerele cresc până la mijloc și apoi descresc. Pe o linie cu $n$ par există un singur număr maxim, cel de pe poziția $\frac{n}{2}$; pe o linie cu $n$ impar există două numere maxime egale, pe pozițiile $\frac{n-1}{2}$ și $\frac{n+1}{2}$. În figură, linia $8$ are maximul $70$, singur, iar linia $7$ are maximul $35$, de două ori.

Simetria e și un instrument de control: dacă ai construit o linie și ea nu se citește la fel din ambele capete, ai greșit o adunare.

5. Cât face suma numerelor de pe o linie?

Adună numerele primelor linii: $1$; $1+1=2$; $1+2+1=4$; $1+3+3+1=8$; $1+4+6+4+1=16$. Apar puterile lui $2$, iar faptul nu e o coincidență. Numerele de pe linia $n$ numără submulțimile unei mulțimi cu $n$ elemente, grupate după mărime: $C_n^0$ submulțimi fără niciun element, $C_n^1$ cu un element și așa mai departe, până la $C_n^n$. Suma lor este, deci, numărul tuturor submulțimilor, iar acesta este $2^n$, cum ai arătat la regula produsului: fiecare element se ia sau nu se ia, independent de celelalte.

Aceeași mulțime, numărată o dată pe grupe de mărime și o dată element cu element, dă același rezultat. O altă demonstrație, algebrică, și alte sume de acest fel se văd în lecția despre identitățile cu coeficienți binomiali.

6. Ce șiruri apar pe diagonale?

Citește tabloul pe diagonale, pornind de la marginea din stânga. Prima diagonală are numai $1$, fiindcă $C_n^0=1$. A doua are numerele naturale $1,2,3,4,\dots$, fiindcă $C_n^1=n$. A treia are numerele $1,3,6,10,15,21,28,\dots$, adică $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$. Acestea sunt sumele $1$, $1+2$, $1+2+3$ și așa mai departe, pe care le-ai întâlnit la suma primilor termeni ai unei progresii aritmetice. Se numesc numere triunghiulare, fiindcă atâtea bile se pot așeza într-un triunghi echilateral cu $1,2,3,\dots$ bile pe rânduri.

7. Ce legătură are placa lui Galton cu triunghiul?

Idealizăm aparatul: pe fiecare rând bila lovește exact un cui și trece fie la stânga, fie la dreapta lui; nu sare peste rânduri și nu se oprește. Numărăm doar drumurile posibile; cât de des ajunge bila într-un sertar e o întrebare de probabilități, pentru unitatea următoare. Ia o placă cu trei rânduri de cuie și patru sertare. Un drum spre sertarul $k$ (numărat de la stânga, de la $0$) înseamnă că bila a trecut spre dreapta pe exact $k$ dintre cele trei rânduri. Alegi rândurile acelea, deci sunt $C_3^k$ drumuri: $1,3,3,1$.

Regula triunghiului apare și direct. Într-un loc de pe placă bila poate ajunge doar din unul dintre cele două locuri de deasupra, stânga-sus sau dreapta-sus. Numărul drumurilor până acolo este, deci, suma drumurilor până la cele două locuri de deasupra, exact regula de construcție a triunghiului. Cele $1+3+3+1=8$ drumuri reprezintă toate cele $2\cdot 2\cdot 2$ succesiuni de „stânga/dreapta”.

8. Cum generezi o linie cu un program scurt?

Programa recomandă aplicații simple, de exemplu în Python, pentru a ilustra recurența. Algoritmul se spune în trei rânduri: păstrezi linia curentă ca listă de numere; linia nouă începe cu $1$, continuă cu sumele perechilor de numere vecine din lista curentă și se termină cu $1$; înlocuiești linia curentă cu cea nouă și repeți. Un program de câteva instrucțiuni afișează astfel zeci de linii, fără nicio înmulțire. Merită să-l scrii o dată: vei vedea că numerele cresc foarte repede spre mijlocul liniilor, dar la capete rămân mici. Legătura acestor linii cu dezvoltarea puterilor unui binom este subiectul lecției despre binomul lui Newton.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Placa lui Galton cu cinci rânduri

O placă Galton are $5$ rânduri de cuie și $6$ sertare, numerotate de la $0$ la $5$ de la stânga la dreapta. În modelul idealizat din lecție, câte drumuri duc spre fiecare sertar? Câte drumuri duc spre cele două sertare din mijloc? Câte drumuri sunt în total?

Rezolvare. Un drum spre sertarul $k$ alege cele $k$ rânduri pe care bila trece spre dreapta, deci are $C_5^k$ variante. Linia $5$ a triunghiului dă numărul drumurilor pe sertare:

$$1,5,10,10,5,1.$$

Spre sertarele $2$ și $3$ duc $10+10=20$ de drumuri, iar în total sunt $1+5+10+10+5+1=32$ de drumuri, adică $2^5$. Mai mult de jumătate dintre drumuri, $20$ din $32$, se termină în cele două sertare din mijloc; de aceea, la multe bile, acolo se strâng cele mai multe.

Exemplul 2 — Culoarea boabelor de grâu

La unele soiuri de grâu, culoarea roșie a boabelor e controlată de două gene, fiecare cu o alelă „colorată” și una „necolorată”. O plantă din a doua generație primește $4$ alele (două pentru fiecare genă), iar nuanța depinde numai de câte dintre ele sunt „colorate”. Considerăm cele $16$ combinații posibile de alele, rezultate din alegerea, pentru fiecare dintre cele $4$ poziții, a unei alele colorate sau necolorate. Câte combinații au exact $2$ alele colorate? Câte au cel puțin $3$?

Rezolvare. O combinație cu exact $k$ alele colorate e determinată de pozițiile acestor alele, alese dintre cele $4$; sunt $C_4^k$ combinații. Linia $4$ a triunghiului dă distribuția pe nuanțe:

$$1,4,6,4,1.$$

Exact $2$ alele colorate au $C_4^2=6$ combinații. Cel puțin $3$ au $C_4^3+C_4^4=4+1=5$ combinații. Cele cinci numere adună $16$, câte combinații sunt în total. Genetica numește acest tip de moștenire poligenică: nuanțele formează o gamă, cu cele intermediare mai numeroase decât extremele, exact ca linia din triunghi.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev vrea să afle $C_8^2$ din linia $7$, care este $1,7,21,35,35,21,7,1$. Scrie: „$C_8^2$ este suma numerelor de pe pozițiile $2$ și $3$ ale liniei $7$, adică $21+35=56$”. Găsiți greșeala și corectați.

Rezolvare. Numărul de pe linia $8$, poziția $2$, stă sub pozițiile $1$ și $2$ ale liniei $7$, nu sub pozițiile $2$ și $3$: $C_8^2=C_7^1+C_7^2$. Elevul a luat perechea deplasată cu o poziție spre dreapta și a obținut, de fapt, $C_8^3$. Corect:

$$C_8^2=7+21=28.$$

Controlul cu figura: pe linia $8$, poziția $2$ stă $28$, iar $56$ stă pe poziția $3$.

Exemplul 4 — Celula greșită

Un program afișează linia $18$ a triunghiului astfel: „$1,18,153,816,3060,8568,18564,31824,43758,48260,43758,31824,18564,8568,3060,816,153,18,1$”. Un număr a fost tastat greșit la copiere. Explicați de ce simetria nu îl găsește, apoi găsiți-l folosind suma liniei.

Rezolvare. Linia afișată se citește la fel din ambele capete, deci simetria nu semnalează nimic: numărul greșit este chiar cel din mijloc, care nu are pereche. Suma liniei $18$ trebuie să fie $2^{18}=262144$. Suma numerelor afișate este

$$2\cdot (1+18+153+816+3060+8568+18564+31824+43758)+48260=2\cdot 106762+48260=261784,$$

cu $360$ mai puțin decât trebuie. Numărul din mijloc corect este $48260+360=48620$. La copiere s-au inversat două cifre, $6$ și $2$; o astfel de inversare schimbă numărul cu un multiplu de $9$, iar aici diferența este $360=9\cdot 40$.

Exemplul 5 — Pe ce linii apare un număr?

Pe ce linii ale triunghiului apare numărul $21$?

Rezolvare. Căutăm pe diagonale. Pe a doua diagonală stau numerele naturale, deci $21$ apare pe linia $21$, pozițiile $1$ și $20$. Pe a treia diagonală stau numerele $C_n^2$: $C_7^2=21$, deci $21$ apare și pe linia $7$, pozițiile $2$ și $5$. Pe diagonalele următoare numerele cresc mai repede: $C_n^3$ trece de la $20$ (linia $6$) la $35$ (linia $7$), sărind peste $21$, iar $C_n^k$ cu $3\le k\le n-3$ e cel puțin $C_6^3=20$ și crește cu $n$. Rămân de verificat liniile de până la $6$, unde toate numerele interioare sunt cel mult $20$. Numărul $21$ apare, deci, numai pe liniile $7$ și $21$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimea $A=\{2,3,5,7,11,13\}$. a) Arătați că mulțimea $A$ are $64$ de submulțimi. b) Determinați numărul submulțimilor lui $A$ care au cel puțin două elemente. c) Determinați numărul submulțimilor lui $A$ formate numai din numere impare.

Rezolvare. a) Mulțimea $A$ are $6$ elemente, deci $2^6=64$ de submulțimi; suma liniei $6$ a triunghiului, $1+6+15+20+15+6+1$, dă tot $64$.

b) Din toate submulțimile scădem mulțimea vidă și cele $6$ submulțimi cu un element: $64-1-6=57$.

c) Singurul număr par din $A$ este $2$, deci submulțimile cerute sunt submulțimile mulțimii $\{3,5,7,11,13\}$, cu $5$ elemente: $2^5=32$ (inclusiv mulțimea vidă).

Exemplul reproduce forma cerințelor scurte de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat 2026, unde cerința de numărare a modelului publicat e formulată ca o probabilitate; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat, deci structura ei nu se poate anticipa.

Să exersăm

Scrie de fiecare dată linia pe care lucrezi și numără pozițiile de la $0$. La problemele de fizică și biologie, spune ce reprezintă linia și ce reprezintă poziția.

1. Jumătatea stângă a liniei $16$, până la numărul din mijloc, este $1,16,120,560,1820,4368,8008,11440,12870$. Scrie jumătatea stângă a liniei $17$ și explică de ce ea ajunge ca să cunoști toată linia $17$.

2. Câte numere are linia $77$ a triunghiului? Care sunt al doilea și al treilea număr de pe ea?

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice număr de pe linia $n$, $n\ge 2$, în afară de cele două capete, este divizibil cu $n$.”

4. Citește din figura lecției $C_6^4$ și $C_6^2$ și explică, fără calcul, de ce sunt egale.

5. (Problemă aplicată.) Culoarea pielii la om e un exemplu clasic de moștenire poligenică. Într-un model simplificat, trei gene cu câte două alele fiecare dau $6$ poziții de alele, iar nuanța depinde numai de numărul alelelor „închise”. Câte dintre cele $64$ de combinații au mai multe alele închise decât deschise? Folosește simetria liniei, fără să aduni toate numerele de care ai nevoie.

6. O placă Galton are $6$ rânduri de cuie. Câte drumuri trec prin cuiul de pe rândul $2$, poziția $1$ (numărând rândurile și pozițiile de la $0$), și ajung apoi în sertarul $3$?

7. Fără să construiești linia $63$, scrie al patrulea număr de pe ea. Pe ce altă poziție a liniei mai apare acest număr?

8. Câte adunări faci ca să construiești linia $10$ din linia $9$? Dar ca să construiești toate liniile de la $2$ la $10$, pornind de la linia $1$?

9. Care este prima linie a triunghiului pe care apare un număr mai mare decât $3000$? Ce număr este?

10. Pe o linie a triunghiului, numărul de pe poziția $1$ este $73$. Ce număr stă pe aceeași linie, pe poziția $71$?

11. Pe ce poziții se află numerele maxime ale liniei $21$?

12. Câte submulțimi cu cel mult trei elemente are o mulțime cu $39$ de elemente?

13. Câte numere impare are linia $6$? Dar linia $7$? Colorează numerele impare din figură și descrie desenul care apare.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră o mulțime $M$ cu $10$ elemente. a) Arătați că $M$ are $1024$ de submulțimi. b) Determinați numărul submulțimilor nevide ale lui $M$. c) Determinați numărul submulțimilor lui $M$ care au cel puțin $9$ elemente.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră o mulțime $B$ cu $15$ elemente. a) Arătați că $B$ are $32768$ de submulțimi. b) Determinați numărul submulțimilor lui $B$ cu exact $9$ elemente. c) Arătați că numărul găsit la b) este suma numerelor submulțimilor cu $8$ și cu $9$ elemente ale unei mulțimi cu $14$ elemente.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $D=\{1,2,3,\dots ,26\}$. a) Arătați că $D$ are tot atâtea submulțimi cu $24$ de elemente câte submulțimi cu $2$ elemente. b) Determinați numărul submulțimilor lui $D$ cu $2$ elemente. c) Determinați numărul submulțimilor lui $D$ cu $24$ de elemente care nu îl conțin pe $26$.

17. Aplică de trei ori algoritmul din lecție (linia nouă: $1$, sumele vecinilor, $1$), pornind de la linia $1,2,1$. Scrie cele trei linii obținute.

18. (Provocare.) O placă Galton idealizată are $n$ rânduri de cuie. Explică, fără formule, de ce spre sertarul $k$ duc tot atâtea drumuri câte duc spre sertarul $n-k$. Indicație: ce devine un drum dacă înlocuiești fiecare „stânga” cu „dreapta” și fiecare „dreapta” cu „stânga”?

Răspunsuri și explicații

1. Capătul este $1$, iar celelalte numere se obțin adunând vecinii: $1+16=17$, $16+120=136$, $120+560=680$, $560+1820=2380$, $1820+4368=6188$, $4368+8008=12376$, $8008+11440=19448$ și $11440+12870=24310$. Jumătatea stângă a liniei $17$ este $1,17,136,680,2380,6188,12376,19448,24310$. Linia $17$ are $18$ numere, deci două la mijloc, pe pozițiile $8$ și $9$, egale; restul liniei se scrie în oglindă, fiindcă fiecare linie este simetrică.

2. Linia $77$ are $78$ de numere. Al doilea este $C_{77}^1=77$, al treilea este $C_{77}^2=\frac{77\cdot 76}{2}=2926$.

3. Fals. Pe linia $4$, numărul din mijloc este $6$, care nu se împarte la $4$. Un singur contraexemplu ajunge. (Afirmația e adevărată pentru unele linii, de exemplu $5$ sau $7$, dar nu pentru toate.)

4. Linia $6$ este $1,6,15,20,15,6,1$: $C_6^2=15$ și $C_6^4=15$. Pozițiile $2$ și $4$ sunt simetrice față de mijloc, fiindcă $2+4=6$.

5. Numărul combinațiilor cu exact $k$ alele închise este $C_6^k$, deci distribuția este linia $6$: $1,6,15,20,15,6,1$. Combinațiile cu tot atâtea alele închise câte deschise ($3$ și $3$) sunt $C_6^3=20$. Celelalte $64-20=44$ se împart, prin simetria liniei, în două grupe la fel de mari: cele cu mai multe alele închise și cele cu mai multe alele deschise. Răspunsul este $44:2=22$ de combinații. Control: $C_6^4+C_6^5+C_6^6=15+6+1=22$.

6. Până la cuiul de pe rândul $2$, poziția $1$, bila a trecut o dată spre dreapta în două rânduri: $C_2^1=2$ drumuri. De acolo, până în sertarul $3$ mai trebuie exact $2$ treceri spre dreapta în cele $4$ rânduri rămase: $C_4^2=6$ drumuri. Prin regula produsului, $2\cdot 6=12$ drumuri.

7. Al patrulea număr stă pe poziția $3$, fiindcă pozițiile se numără de la $0$: $C_{63}^3=\frac{63\cdot 62\cdot 61}{6}=21\cdot 31\cdot 61=39711$. Prin simetrie, același număr stă și pe poziția $63-3=60$.

8. Linia $10$ are $11$ numere, dintre care $9$ în interior, deci $9$ adunări. Pentru liniile de la $2$ la $10$ faci $1+2+\dots +9=45$ de adunări, fiindcă linia $n$ are $n-1$ numere interioare.

9. Maximul liniei $13$ este $1716$, iar maximul liniei $14$ este $3432$, numărul din mijloc, $C_{14}^7$. Pe liniile de până la $13$ toate numerele sunt cel mult $1716$, deci prima linie cu un număr mai mare decât $3000$ este linia $14$, iar numărul este $3432$.

10. Numărul de pe poziția $1$ al liniei $n$ este $n$, deci linia este $73$. Poziția $71$ e simetrică poziției $2$, fiindcă $71+2=73$: $C_{73}^{71}=C_{73}^2=\frac{73\cdot 72}{2}=2628$.

11. Linia $21$ are $n$ impar, deci două maxime egale, pe pozițiile $10$ și $11$.

12. $C_{39}^0+C_{39}^1+C_{39}^2+C_{39}^3=1+39+741+9139=9920$, cu $C_{39}^2=\frac{39\cdot 38}{2}=741$ și $C_{39}^3=\frac{39\cdot 38\cdot 37}{6}=13\cdot 19\cdot 37=9139$.

13. Linia $6$ este $1,6,15,20,15,6,1$ și are $4$ numere impare: $1$, $15$, $15$ și $1$. Linia $7$ este $1,7,21,35,35,21,7,1$ și are toate cele $8$ numere impare. Colorând numerele impare pe mai multe linii apare un desen format din triunghiuri tot mai mici, repetate, în care liniile $1$, $3$ și $7$ sunt complet colorate.

14. a) $M$ are $2^{10}=1024$ de submulțimi. b) Scădem mulțimea vidă: $1024-1=1023$. c) Cu $9$ elemente sunt $C_{10}^9=10$, cu $10$ elemente este una singură, deci $10+1=11$.

15. a) $2^{15}=32768$. b) $C_{15}^9=C_{15}^6=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10}{720}=5005$. c) Fixăm un element $x$ al lui $B$; celelalte $14$ elemente formează o mulțime cu $14$ elemente. Submulțimile lui $B$ cu $9$ elemente care îl conțin pe $x$ își aleg restul de $8$ elemente dintre cele $14$, iar cele fără $x$ își aleg toate $9$ elementele dintre ele. Deci $C_{15}^9=C_{14}^8+C_{14}^9$: în triunghi, numărul de pe linia $15$, poziția $9$, stă chiar sub pozițiile $8$ și $9$ ale liniei $14$.

16. a) O submulțime cu $24$ de elemente e determinată de cele $2$ elemente lăsate afară, deci $C_{26}^{24}=C_{26}^2$: pozițiile $24$ și $2$ ale liniei $26$ sunt simetrice, fiindcă $24+2=26$. b) $C_{26}^2=\frac{26\cdot 25}{2}=325$. c) Numărul $26$ trebuie să fie printre cele $2$ elemente lăsate afară, iar al doilea se alege dintre celelalte $25$: $25$ de submulțimi.

17. Din $1,2,1$ obții $1,3,3,1$, apoi $1,4,6,4,1$, apoi $1,5,10,10,5,1$.

18. Un drum este un șir de $n$ decizii „stânga” sau „dreapta”, câte una pe fiecare rând. Schimbând în el fiecare „stânga” cu „dreapta” și invers, obții drumul oglindit față de axa verticală a plăcii. Un drum care a trecut spre dreapta pe $k$ rânduri devine unul care trece spre dreapta pe celelalte $n-k$ rânduri, deci ajunge în sertarul $n-k$. Oglindirea făcută de două ori redă drumul de la care ai pornit, așa că drumurile spre cele două sertare se potrivesc unul câte unul: sunt la fel de multe. Ai obținut simetria liniei $n$ numai din geometria plăcii.

De reținut

• Triunghiul lui Pascal se construiește numai prin adunări: marginile sunt $1$, iar orice poziție dintre margini primește totalul celor doi vecini de pe linia de sus.
• Pe linia $n$, poziția $k$ (ambele de la $0$) stă $C_n^k$; linia $n$ are $n+1$ numere.
• Fiecare linie este simetrică, iar numărul maxim stă la mijloc: unul singur pentru $n$ par, două egale pentru $n$ impar.
• Suma numerelor de pe linia $n$ este $2^n$, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente.
• Drumurile unei bile pe placa lui Galton și combinațiile de alele din genetica poligenică se numără cu liniile triunghiului.

Greșeli frecvente

• Perechea de părinți deplasată. Numărul de pe linia $n$, poziția $k$, provine din pozițiile $k-1$ și $k$ ale liniei $n-1$. Cine adună pozițiile $k$ și $k+1$ obține numărul vecin din dreapta, $C_n^{k+1}$.
• Încrederea oarbă în simetrie. O linie simetrică nu e neapărat corectă: o greșeală în numărul din mijloc sau o greșeală repetată simetric nu strică simetria. Controlul complet cere și suma, $2^n$, sau recurența.
• Confuzia între numărul de drumuri și numărul de bile. Pe placa lui Galton, linia triunghiului numără drumurile idealizate, nu bilele dintr-un experiment real. Într-un experiment cu puține bile, sertarele se umplu neregulat, iar numerele observate nu reproduc exact linia.
• Un singur maxim căutat pe o linie impară. Pe linia $7$, unii elevi caută „numărul din mijloc” și aleg unul dintre cei doi $35$, apoi răspund că maximul apare o singură dată. Liniile cu $n$ impar au un număr par de poziții, deci două poziții centrale, cu valori egale.
• Citirea diagonalelor pe linii. Numerele triunghiulare stau pe a treia diagonală, nu pe a treia linie. Linia $3$ este $1,3,3,1$, iar diagonala a treia începe cu $1,3,6,10$.

Aplică acasă

1. Interviul numeric. Roagă un membru al familiei să-ți spună o linie între $5$ și $9$ și o poziție de pe ea. Tu găsești numărul construind liniile prin adunări, iar el îl verifică pe un calculator științific, cu funcția pentru combinări. Notează cât timp ți-a luat fiecare încercare și observă cum scade timpul după primele linii.
2. Programul de trei rânduri. Scrie, pe hârtie sau pe calculator, algoritmul care generează o linie din precedenta și rulează-l în minte sau pe calculator până la linia $12$. Verifică fiecare linie cu simetria și cu suma.
3. Multiplii lui 3 colorați. Desenează triunghiul până la linia $9$ pe o foaie cu pătrățele și colorează numai numerele divizibile cu $3$. Nu ai nevoie de numerele întregi: scrie în fiecare căsuță doar restul împărțirii la $3$ și obține fiecare rest adunând resturile celor doi vecini de deasupra (dacă suma trece de $2$, scazi $3$). Descrie în două rânduri desenul care apare.

Pentru părinți și profesori

Triunghiul lui Pascal este, în programa de științe ale naturii, tabloul care leagă formula de recurență a combinărilor de aplicațiile vizuale ale numărării. Lecția îl construiește numai prin adunări, apoi arată de ce numerele lui sunt combinările, și îl folosește pentru a număra drumuri pe placa lui Galton și combinații de alele în genetica poligenică. Ambele modele sunt idealizate și rămân la numărare; probabilitățile corespunzătoare aparțin unității următoare. Programa recomandă instrumente digitale și aplicații simple în Python pentru ilustrarea recurenței, iar lecția descrie algoritmul în cuvinte, ca elevul să-l poată scrie singur.

Ce merită urmărit în caiet: dacă elevul numără liniile și pozițiile de la zero; dacă folosește simetria și suma ca două controale diferite; dacă, la aplicații, spune ce reprezintă linia și ce reprezintă poziția. Întrebări bune de control: „Din ce două numere provine acesta?”, „Ce numără suma liniei?”, „Ce idealizare ai făcut pe placa lui Galton?”. Semn că a înțeles: citește corect din tablou o combinare dată, numărând linia și poziția de la zero, și spune din ce două numere de deasupra provine.

Tabloul folosește toate proprietățile studiate înainte: combinările, combinările complementare și recurența. Testul de metode de numărare verifică triunghiul împreună cu celelalte proprietăți ale combinărilor. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: triunghiul lui Pascal.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Metode de numărare” de clasa a X-a, unde programa scrie „triunghiul lui Pascal - formula de recurență a combinărilor”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține combinările și, printre proprietățile lor, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente, dar nu numește triunghiul lui Pascal; de aceea exercițiile marcate aici cu Bacalaureat M2 privesc numărul submulțimilor. În modelul oficial publicat pentru 2026, numărarea apare la Subiectul I într-o cerință de probabilitate. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă între triunghiul lui Pascal la M2 și la mate-info (M1)? Construcția și proprietățile sunt aceleași. La științe ale naturii lecția îl folosește pentru a număra drumuri pe placa lui Galton și combinații de alele în genetica poligenică, descrie algoritmul care generează liniile, cum recomandă programa, și leagă suma unei linii de numărul submulțimilor, fără să dezvolte binomul.

La ce subiect apare triunghiul lui Pascal la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 nu numește triunghiul, dar conține combinările și numărul tuturor submulțimilor, fără să împartă temele pe subiecte. În modelul oficial 2026, cerința de numărare a Subiectului I este o probabilitate. Pentru MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

De ce se numără liniile și pozițiile de la zero? Pentru ca linia să coincidă cu numărul elementelor mulțimii, iar poziția cu numărul elementelor alese. Linia $0$ corespunde mulțimii vide, care are o singură submulțime. Cu această convenție, numărul de pe linia $n$, poziția $k$, este exact $C_n^k$, fără nicio corecție de indici.

Ce legătură are placa lui Galton cu probabilitățile? Placa numără drumurile: câte succesiuni de „stânga” și „dreapta” duc spre fiecare sertar. Dacă bila alege la fiecare cui la fel de ușor ambele direcții, sertarele cu mai multe drumuri primesc, în medie, mai multe bile. Această trecere de la numărare la probabilitate se face în unitatea despre probabilități.

Cum verific repede o linie pe care am scris-o? Folosește trei controale diferite: linia trebuie să fie simetrică, suma ei trebuie să fie $2^n$, iar al doilea număr trebuie să fie chiar $n$. Dacă un control e îndeplinit și altul nu, ai o greșeală de adunare; caut-o apoi cu recurența, pe perechea de numere de deasupra.

Chiar se folosește triunghiul în biologie? Da, ca model de numărare. Când o trăsătură depinde de mai multe gene cu efect egal, numărul combinațiilor de alele care dau aceeași nuanță se citește pe o linie a triunghiului. Modelul real e mai complicat, fiindcă mediul influențează și el trăsătura, dar forma distribuției rămâne asemănătoare.