Triunghiul lui Pascal: pe scurt

Regula de construcție: fiecare linie începe și se termină cu $1$, iar fiecare număr din interior este suma celor două numere de deasupra lui. Liniile se numerotează de la $0$, iar pozițiile de pe fiecare linie tot de la $0$: numărul de pe linia $n$, poziția $k$, este exact $C_n^k$ — triunghiul e formula de recurență $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ pusă în tabel.

Simetria fiecărei linii vine din combinările complementare, $C_n^k=C_n^{n-k}$: cel mai mare număr de pe o linie este întotdeauna cel din mijloc. Diagonalele poartă șiruri cunoscute: prima e mereu $1$, a doua sunt numerele naturale ($C_n^1=n$), a treia sunt numerele triunghiulare ($C_n^2$).

Suma numerelor de pe linia $n$ este $2^n$ — numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente, numărate o dată direct (prin $2^n$) și o dată grupate după mărime (prin sumă). Liniile triunghiului sunt exact coeficienții dezvoltării $(a+b{)}^n$: linia $4$, $1,4,6,4,1$, dă dezvoltarea lui $(a+b{)}^4$. Numerotarea de la $0$, nu de la $1$, este esențială — altfel toate corespondențele se decalează.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați suma numerelor de pe linia $7$ a triunghiului lui Pascal.

   • a) $128$
   • b) $64$
   • c) $256$
   • d) $49$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $128$

   Suma numerelor de pe linia $n$ este $2^n$: pentru $n=7$, suma este $2^7=128$.

2. Folosind triunghiul lui Pascal, determinați $C_9^3$.

   • a) $126$
   • b) $84$
   • c) $36$
   • d) $9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $84$

   Linia $9$ este $1,9,36,84,126,126,84,36,9,1$. Poziția $3$ (numerotată de la $0$) este $84$.

3. Câte submulțimi cu cel mult $2$ elemente are o mulțime cu $6$ elemente?

   • a) $15$
   • b) $64$
   • c) $22$
   • d) $21$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $22$

   Sunt primele trei numere de pe linia $6$: $C_6^0+C_6^1+C_6^2=1+6+15=22$.