Determină numerele reale $$m$$ pentru care tetraedrul $$OABD$$, cu $$O(0,0,0)$$, $$A(3,0,0)$$, $$B(0,8,0)$$ și $$D(2,1,m)$$, are volumul $$44$$.

$$m \in \left\{-\dfrac{11}{6},\ \dfrac{11}{6}\right\}$$

Cum aflu înălțimea tetraedrului din coordonate?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Volumul tetraedrului

Calculezi volumul cu determinantul, apoi aria feței luate ca bază, iar înălțimea este $h = \frac{3 V}{A _{baz \overset{a}{˘}}}$ . Exemplu: $O (0, 0, 0)$ , $A (4, 0, 0)$ , $B (0, 3, 0)$ , $C (1, 1, 6)$ . Determinantul coordonatelor lui $A$ , $B$ , $C$ este $4 \cdot 3 \cdot 6 = 72$ , deci $V = 12$ . Baza $O A B$ este un triunghi dreptunghic cu aria $6$ , iar $h = \frac{36}{6} = 6$ . Control: baza stă în planul $x O y$ , iar cota lui $C$ este exact $6$ .

Patru puncte care nu încap într-un plan închid un tetraedru, iar mărimea lui se citește din determinantul care hotăra coplanaritatea: $V = \frac{1}{6} ∣ Δ ∣$ , cu $Δ$ având pe fiecare rând cele trei coordonate ale unui vârf și, la capăt, o coloană plină cu $1$ .

Numitorul $6$ vine din două locuri: treimea o dă formula piramidei, jumătatea o dă aria triunghiului de la bază. Privit altfel, determinantul arată cât cuprinde paralelipipedul ridicat pe trei muchii pornite dintr-un vârf, iar corpul nostru ocupă a șasea parte din el.

Nimeni nu desface, la lucru, un tablou de ordinul $4$ . Iei un vârf, îl scazi din celelalte și calculezi determinantul de ordin $3$ al diferențelor; e de ales vârful cel mai bogat în zerouri, adesea originea, pentru că atunci diferențele coincid cu coordonatele celorlalte puncte.

Semnul ține doar de ordinea în care ai numerotat vârfurile, deci un minus nu arată nicio eroare — îl absoarbe modulul. Volumul nu se raportează niciodată negativ. Când determinantul se anulează, corpul lipsește: punctele s-au așezat toate în același plan, iar controlul acesta se scrie înainte de a calcula mărimea, nu după. Cele trei axe trebuie gradate la fel, iar răspunsul poartă unitatea ridicată la a treia putere.

De reținut

$V = \frac{1}{6} ∣ Δ ∣$ , cu $Δ$ determinantul diferențelor față de un vârf
înălțimea: $h = \frac{3 V}{A _{baz \overset{a}{˘}}}$
coordonatele înmulțite cu $k$ : volumul se înmulțește cu $k^{3}$

Greșeala tipică

Se dă ca volum chiar modulul determinantului, uitând factorul $\frac{1}{6}$ ; acel număr este volumul paralelipipedului construit pe aceleași trei muchii, de șase ori mai mare decât tetraedrul.

Exerciții din această mini-lecție

Volumul tetraedrului $O A B C$ , cu $O (0, 0, 0)$ , $A (2, 0, 0)$ , $B (0, 9, 0)$ și $C (0, 0, 8)$ , este:
- a) $144$
- b) $72$
- c) $24$
- d) $48$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $24$

Diferențele față de $O$ sunt chiar coordonatele celorlalte vârfuri, iar determinantul lor, având elemente nenule numai pe diagonală, este produsul $2 \cdot 9 \cdot 8 = 144$ . Volumul este a șasea parte din modulul lui, adică $\frac{144}{6} = 24$ . Control cu formula piramidei: baza $O A B$ are aria $\frac{2 \cdot 9}{2} = 9$ , înălțimea din $C$ este $8$ , iar $\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 8 = 24$ . Varianta a) uită șesimea; b) împarte la $2$ , ca la aria triunghiului; d) împarte la $3$ , luând numai treimea din formula piramidei.
Volumul tetraedrului cu vârfurile $A (1, 2, 1)$ , $B (4, 2, 1)$ , $C (1, 8, 1)$ și $D (2, 3, 12)$ este:
- a) $33$
- b) $198$
- c) $99$
- d) $66$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $33$

Scădem coordonatele lui $A$ : $B - A$ dă $(3, 0, 0)$ , $C - A$ dă $(0, 6, 0)$ , iar $D - A$ dă $(1, 1, 11)$ . Determinantul diferențelor, dezvoltat după prima linie, este $3 \cdot (6 \cdot 11 - 0 \cdot 1) = 198$ , nenul, deci punctele nu sunt coplanare, iar volumul este $\frac{198}{6} = 33$ . Varianta b) uită șesimea; c) împarte la $2$ ; d) împarte la $3$ . Control: baza $A B C$ stă în planul de cotă $1$ , are aria $\frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ , iar înălțimea din $D$ este $12 - 1 = 11$ , deci $\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 11 = 33$ .
Determină numerele reale $m$ pentru care tetraedrul $O A B D$ , cu $O (0, 0, 0)$ , $A (3, 0, 0)$ , $B (0, 8, 0)$ și $D (2, 1, m)$ , are volumul $44$ .
- a) $m = 11$
- b) $m \in {- 11, 11}$
- c) $m \in {- \frac{11}{6}, \frac{11}{6}}$
- d) $m \in {- 44, 44}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $m \in {- 11, 11}$

Diferențele față de $O$ sunt $(3, 0, 0)$ , $(0, 8, 0)$ și $(2, 1, m)$ , iar determinantul lor, dezvoltat după prima linie, este $3 \cdot (8 m - 0) = 24 m$ . Condiția $\frac{1}{6} ∣ 24 m ∣ = 44$ înseamnă $4 ∣ m ∣ = 44$ , deci $∣ m ∣ = 11$ și $m \in {- 11, 11}$ ; cele două valori dau tetraedre oglindite față de planul $x O y$ , cu același volum. Varianta a) păstrează o singură valoare, uitând că modulul dă două; c) sare peste șesime, rezolvând $∣ 24 m ∣ = 44$ ; d) identifică volumul cu parametrul.

Întrebări conexe

Cum aflu un vârf al tetraedrului dacă știu volumul?

Scrii volumul în funcție de parametru și rezolvi o ecuație cu modul. Pentru $O$ , $A (2, 0, 0)$ , $B (0, 3, 0)$ , $D (0, 0, m)$ și volumul $5$ : determinantul este $6 m$ , deci $\frac{∣ 6 m ∣}{6} = 5$ și $m = 5$ sau $m = - 5$ , câte un vârf de fiecare parte a bazei.

Ce volum are un tetraedru regulat cu muchia $a$ ?

Volumul este $\frac{a ^{3} 2}{12}$ . Pentru $a = 6$ se obține $\frac{216 2}{12} = 182 \approx 25, 46$ . Cu coordonate se verifică pe tetraedrul cu vârfurile în patru colțuri alternante ale unui cub, ale cărui muchii sunt diagonale ale fețelor cubului.

Ce masă are o piesă de metal în formă de tetraedru?

Înmulțești volumul cu densitatea. O piesă de aluminiu cu vârfurile, în centimetri, în $O$ , $(3, 0, 0)$ , $(0, 4, 0)$ , $(0, 0, 5)$ are $V = \frac{60}{6} = 10$ cm³; cu densitatea $2, 7$ g/cm³, masa ei este $27$ g.

Cum se schimbă volumul tetraedrului dacă dublez toate coordonatele?

Se înmulțește cu $2^{3} = 8$ . Fiecare linie a determinantului diferențelor se dublează, iar determinantul se înmulțește cu $2$ pentru fiecare dintre cele trei linii. Tetraedrul cu volumul $10$ devine unul cu volumul $80$ .

Ce volum are tetraedrul tăiat dintr-un colț de cub?

Planul prin trei vârfuri vecine cu un colț desprinde un tetraedru ale cărui trei muchii din colț sunt perpendiculare și au lungimea $a$ , deci volumul lui este $\frac{a ^{3}}{6}$ . La un cub cu latura $6$ acesta are $36$ , adică a șasea parte din volumul cubului, $216$ .

Oamenii mai întreabă și: înălțimea tetraedrului din volum · distanța de la un vârf la fața opusă a tetraedrului · înălțimea unei piramide triunghiulare cu coordonate · h egal cu 3V supra aria bazei