Volumul tetraedrului (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Un aparat care măsoară forma unui obiect — scanerul cu care se ridică relieful unei cariere, cel care digitizează o piesă turnată — nu returnează niciodată „volumul". El returnează puncte: liste de câte trei numere. Volumul se obține abia după aceea, printr-o idee care ține de geometrie, nu de aparat: corpul se taie în bucăți mici de aceeași formă, iar bucățile se adună. Forma aleasă este tetraedrul, pentru că patru puncte din spațiu, dacă nu sunt așezate în același plan, determină un tetraedru și numai unul. Lecția aceasta, din geometria analitică în spațiu de clasa a XII-a de la profilul științe ale naturii (M2), răspunde la întrebarea de la temelia construcției — cum afli volumul unui tetraedru din coordonatele celor patru vârfuri — și se dă la bacalaureatul M2 din 2030, proba MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie".

Capitolul este o temă nouă, adusă de programa aprobată prin OMEC 6930/2025; ea ajunge la clasă în anul școlar 2029–2030. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte. Dacă ești în prima promoție care învață după programa nouă, formula din lecția aceasta este una dintre cele pe care merită să le știi pe de rost.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi volumul unui tetraedru din coordonatele celor patru vârfuri, cu o șesime din modulul unui determinant.
Vei ști să reduci determinantul de ordinul patru la unul de ordinul al treilea, scăzând o linie din celelalte, ca să lucrezi cu numere mici.
Vei ști să citești cazul volumului nul ca test de coplanaritate și să explici de ce atunci tetraedrul nu există.
Vei ști să afli o coordonată necunoscută a unui vârf dintr-un volum dat și să discuți cele două răspunsuri.
Vei ști să verifici un rezultat pe altă cale — cu formula piramidei din gimnaziu sau prin descompunerea unui corp în tetraedre.
Vei ști să folosești volumul într-un model din științe, cu unitatea de măsură scrisă la fiecare rezultat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce formulă căutăm și cum arată ea?

În clasa a XI-a ai văzut că aria unui triunghi se citește dintr-un determinant: la Aria triunghiului cu determinant ai scris cele două coordonate ale fiecărui vârf pe câte o linie, ai adăugat o coloană de $1$ și ai luat jumătate din modulul rezultatului. În spațiu se schimbă două lucruri și numai două: fiecare vârf aduce trei coordonate în loc de două, deci determinantul crește de la ordinul trei la ordinul patru, iar în locul jumătății apare o șesime.

Volumul tetraedrului cu vârfurile $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ , $B (x_{B}, y_{B}, z_{B})$ , $C (x_{C}, y_{C}, z_{C})$ și $D (x_{D}, y_{D}, z_{D})$ , patru puncte necoplanare, este a șasea parte din modulul determinantului format cu cele trei coordonate ale fiecărui vârf, așezate pe câte o linie, și cu o coloană de valori de $1$ :

$V_{A B C D} = \frac{1}{6} ∣ Δ ∣, Δ = det x_{A} x_{B} x_{C} x_{D} y_{A} y_{B} y_{C} y_{D} z_{A} z_{B} z_{C} z_{D} 1111$

Condiția de necoplanaritate nu e un amănunt de redactare. Patru puncte așezate în același plan nu închid niciun corp, iar determinantul lor este nul — este exact testul studiat la Condiția de coplanaritate a patru puncte. Formula rămâne adevărată și atunci, doar că rezultatul ei este zero și nu mai descrie un tetraedru.

Determinantul de ordinul patru nu este o noutate: l-ai calculat la Determinantul de ordin 4, unde ai văzut și de ce programa de la științe ale naturii se oprește la acest ordin.

2. De unde vine șesimea?

Ia un tetraedru pe care îl poți calcula și fără formula nouă: cel cu vârfurile $O (0, 0, 0)$ , $P (5, 0, 0)$ , $Q (0, 7, 0)$ și $R (0, 0, 6)$ — un „colț" decupat din reper, cu trei muchii pe cele trei axe. Baza $O P Q$ este un triunghi dreptunghic cu catetele $5$ și $7$ , deci are aria $\frac{5 \cdot 7}{2} = \frac{35}{2}$ . Înălțimea corespunzătoare este muchia $O R$ , adică $6$ , pentru că $O R$ este perpendiculară pe planul $x O y$ . Cu formula piramidei din gimnaziu, volumul piramidei fiind o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime, obții

$V_{O P QR} = \frac{1}{3} \cdot \frac{35}{2} \cdot 6 = 35.$

Acum calculează determinantul acelorași patru puncte. Prima linie este $(0, 0, 0, 1)$ , iar celelalte trei conțin, fiecare, un singur număr nenul; dezvoltarea dă $Δ = - 210$ , deci $\frac{1}{6} ∣ Δ ∣ = 35$ — același număr.

Aici se vede de unde vine șesimea: ea este produsul dintre treimea adusă de formula piramidei și jumătatea adusă de aria triunghiului de la bază, adică $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ . Determinantul măsoară, până la semn, volumul paralelipipedului construit pe cele trei muchii care pornesc dintr-un vârf, iar tetraedrul este a șasea parte din el.

3. Cum se calculează practic determinantul?

Un determinant de ordinul patru dezvoltat direct înseamnă patru determinanți de ordinul trei — mult de scris și multe ocazii de greșeală. Există o scurtătură, aceeași ca la aria triunghiului: scazi prima linie din celelalte trei. Ultima coloană devine atunci $1$ , $0$ , $0$ , $0$ , iar dezvoltarea după ea lasă un singur determinant de ordinul al treilea, format din diferențe:

$Δ^{'} = det x_{B} - x_{A} x_{C} - x_{A} x_{D} - x_{A} y_{B} - y_{A} y_{C} - y_{A} y_{D} - y_{A} z_{B} - z_{A} z_{C} - z_{A} z_{D} - z_{A}$

Legătura dintre cei doi este $Δ = - Δ^{'}$ , fiindcă poziția unicului element nenul din ultima coloană aduce semnul minus. Cum formula conține modulul, semnul nu schimbă nimic, așa că în practică lucrezi direct cu $Δ^{'}$ și scrii $V = \frac{1}{6} ∣ Δ^{'} ∣$ .

Două obiceiuri bune: alege drept punct de scădere vârful cu cele mai multe coordonate nule, ca diferențele să iasă chiar coordonatele celorlalte, și calculează determinantul de ordinul trei cu regula lui Sarrus, care are doar șase produse.

4. Ce înseamnă un determinant nul?

Dacă $Δ = 0$ , volumul iese zero. Un corp cu volum zero nu este un corp „foarte mic", ci unul turtit complet: cele patru puncte se află în același plan. Așa se leagă lecția aceasta de cea precedentă — aceeași expresie, citită în două feluri. Când te interesează volumul, calculezi $\frac{1}{6} ∣ Δ ∣$ ; când te interesează dacă patru puncte sunt coplanare, te uiți doar dacă $Δ$ este nul.

De aici iese și un obicei bun de redactare: la o cerință de tipul „arată că punctele formează un tetraedru și calculează-i volumul", primul pas este $Δ \neq = 0$ , nu volumul. Volumul fără verificarea prealabilă este un răspuns care poate fi corect din întâmplare.

Un caz de margine merită privit separat, pentru că arată o limită a testului. Punctele $P (1, - 1, 4)$ , $Q (3, 1, 6)$ și $R (6, 4, 9)$ sunt coliniare: trecerea de la $P$ la $Q$ și de la $Q$ la $R$ se face de fiecare dată adunând aceeași cantitate la fiecare coordonată, în proporții egale. Atunci determinantul se anulează oricare ar fi al patrulea punct $S$ , fiindcă prin trei puncte coliniare trec o infinitate de plane și oricare punct al spațiului stă pe unul dintre ele. Testul spune, corect, „coplanare", dar nu mai spune nimic despre $S$ : informația s-a pierdut înainte de a începe calculul. De aceea enunțurile serioase cer trei puncte necoliniare atunci când vor să fixeze un plan.

5. Ce spune semnul determinantului?

Nimic despre mărimea corpului și totul despre ordinea în care ai scris vârfurile. Schimbând între ele două linii ale unui determinant, valoarea lui își schimbă semnul — proprietate știută din clasa a XI-a. Cum liniile sunt chiar vârfurile, rescrierea aceluiași tetraedru cu vârfurile luate în altă ordine poate schimba semnul lui $Δ$ , dar nu și volumul, care conține modulul.

Concluzia practică e scurtă: un volum negativ nu se scrie niciodată. Dacă îți iese unul, ai uitat modulul. Invers, un $Δ$ negativ nu e semn de eroare: înseamnă doar că ai numerotat vârfurile într-o anumită ordine.

6. Cum verifici formula pe un tetraedru regulat?

Cea mai convingătoare probă se face pe un corp al cărui volum îl poți afla și altfel. Ia cubul cu muchia $6$ , cu un vârf în origine și cu muchiile pe axe, și alege din el patru vârfuri care nu sunt vecine două câte două: $(0, 0, 0)$ , $(6, 6, 0)$ , $(6, 0, 6)$ și $(0, 6, 6)$ . Fiecare două dintre ele sunt capetele unei diagonale de față, deci toate cele șase muchii ale tetraedrului obținut au aceeași lungime, $62$ — o poți verifica cu formula distanței din Distanța dintre două puncte în spațiu. Tetraedrul este așadar regulat, corpul studiat în gimnaziu la Tetraedrul regulat.

Determinantul celor patru puncte este $432$ , deci volumul este $\frac{432}{6} = 72$ .

Verificarea nu cere nicio formulă nouă. Din cub, tetraedrul regulat se obține tăind patru colțuri; fiecare colț este un tetraedru cu trei muchii perpendiculare de lungime $6$ , deci are volumul $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6}{6} = 36$ . Cubul are volumul $216$ , iar $216 - 4 \cdot 36 = 216 - 144 = 72$ — exact cât a dat determinantul.

7. La ce folosește volumul într-un model din științe?

Prima folosință este cea din deschidere: descompunerea. Orice poliedru se taie în tetraedre, iar volumele se adună; o piramidă cu baza dreptunghi se taie în două tetraedre cu un singur plan. Metoda merge și pe corpuri strâmbe, unde formulele din gimnaziu nu se aplică, fiindcă tetraedrul nu cere nicio simetrie.

A doua folosință vine din fizică și chimie, iar acolo volumul este doar pasul intermediar. Densitatea se definește ca raportul dintre masă și volum, $ρ = \frac{m}{V}$ ; dacă ai cântărit o piesă și îi cunoști vârfurile, îi poți afla densitatea fără s-o scufunzi în apă și, comparând-o cu valorile tabelate, poți spune din ce material este.

Atenție însă la un lucru pe care matematica nu ți-l spune: formula acceptă orice coordonate, dar modelul nu. Un volum are sens numai dacă unitatea de măsură e aceeași pe toate cele trei axe, iar rezultatul se scrie cu unitatea la cub — decimetri cubi, adică litri, dacă ai măsurat în decimetri. Trecând de la centimetri la decimetri, lungimile se împart la $10$ , dar volumele la $1000$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un tetraedru cu vârful în origine

Calculează volumul tetraedrului $O A B C$ , cu $O (0, 0, 0)$ , $A (8, 0, 0)$ , $B (0, 3, 0)$ și $C (0, 0, 5)$ .

Rezolvare. Scădem linia lui $O$ din celelalte trei; cum toate coordonatele lui $O$ sunt nule, diferențele sunt chiar coordonatele celorlalte vârfuri:

$Δ^{'} = det 800030005 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$

Deci $V_{O A B C} = \frac{120}{6} = 20$ . Control: baza $O A B$ este un triunghi dreptunghic cu catetele $8$ și $3$ , deci are aria $12$ , iar înălțimea din $C$ este $5$ ; formula piramidei dă $\frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5 = 20$ .

Exemplul 2 — Un tetraedru oarecare

Calculează volumul tetraedrului cu vârfurile $A (4, 1, 2)$ , $B (7, 7, 3)$ , $C (3, 0, 7)$ și $D (0, 3, 4)$ .

Rezolvare. Scădem coordonatele lui $A$ din ale celorlalte trei: $B - A$ dă $(3, 6, 1)$ , $C - A$ dă $(- 1, - 1, 5)$ , iar $D - A$ dă $(- 4, 2, 2)$ . Determinantul acestor diferențe este

$Δ^{'} = det 3 - 1 - 4 6 - 1 2 152 = 3 (- 2 - 10) - 6 (- 2 + 20) + 1 (- 2 - 4) = - 36 - 108 - 6 = - 150$

Cele patru puncte nu sunt coplanare, fiindcă $Δ^{'} \neq = 0$ , iar volumul este $V_{A B C D} = \frac{150}{6} = 25$ .

Exemplul 3 — Când volumul iese zero

Arată că punctele $A (6, 0, 0)$ , $B (0, 5, 0)$ , $C (0, 0, - 4)$ și $D (6, 5, 4)$ sunt coplanare.

Rezolvare. Scădem linia lui $A$ : $B - A$ dă $(- 6, 5, 0)$ , $C - A$ dă $(- 6, 0, - 4)$ , $D - A$ dă $(0, 5, 4)$ . Atunci

$Δ^{'} = - 6 (0 + 20) - 5 (- 24 - 0) + 0 = - 120 + 120 = 0$

Determinantul fiind nul, volumul este $0$ , deci cele patru puncte sunt coplanare și nu formează un tetraedru. Observă că nu a fost nevoie să scriem planul lor; testul răspunde la întrebarea „sunt în același plan?" fără să spună în care plan.

Exemplul 4 — O coordonată aflată dintr-un volum dat

Determină numerele reale $m$ pentru care tetraedrul $O A B D$ , cu $O (0, 0, 0)$ , $A (6, 0, 0)$ , $B (0, 8, 0)$ și $D (2, 3, m)$ , are volumul $40$ .

Rezolvare. Scădem linia lui $O$ și obținem determinantul diferențelor

$Δ^{'} = det 602083 00 m = 6 \cdot (8 m - 0) = 48 m$

Condiția devine $\frac{1}{6} ∣ 48 m ∣ = 40$ , adică $8 ∣ m ∣ = 40$ , de unde $∣ m ∣ = 5$ și $m \in {- 5, 5}$ . Ambele valori sunt bune, iar deosebirea dintre ele este doar de partea planului $x O y$ în care se află $D$ .

Merită observat de ce primele două coordonate ale lui $D$ nu apar deloc în rezultat: baza $O A B$ se află în planul $x O y$ , deci înălțimea din $D$ este chiar $∣ m ∣$ , indiferent unde s-ar afla $D$ deasupra sau dedesubtul planului. Toate punctele situate la aceeași înălțime dau același volum.

Exemplul 5 — Un model din științe: densitatea unei piese

O piesă turnată în formă de tetraedru are vârfurile, măsurate în centimetri, în $O (0, 0, 0)$ , $A (9, 0, 0)$ , $B (0, 6, 0)$ și $C (0, 0, 4)$ . Cântărită, piesa are masa de $97, 2$ grame. Află volumul și densitatea materialului.

Rezolvare. Diferențele față de $O$ sunt chiar coordonatele celorlalte trei vârfuri, iar determinantul lor este $9 \cdot 6 \cdot 4 = 216$ . Volumul este

$V = \frac{216}{6} = 36 cm^{3}$

Densitatea se obține din definiție: $ρ = \frac{97 , 2 g}{36 cm ^{3}} = 2, 7 g / cm^{3}$ . Valoarea este cea tabelată pentru aluminiu, deci piesa este, cel mai probabil, de aluminiu. Reține ordinea: coordonatele dau volumul, volumul și masa dau densitatea, iar densitatea, comparată cu un tabel, dă materialul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră punctele $A (2, 1, 0)$ , $B (8, 1, 0)$ , $C (2, 7, 0)$ și $D (4, 3, 5)$ .

a) Arată că punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ nu sunt coplanare.

b) Calculează volumul tetraedrului $A B C D$ .

c) Determină numerele reale $m$ pentru care tetraedrul $A B C E$ , cu $E (4, 3, m)$ , are volumul $18$ .

Rezolvare. a) Scădem linia lui $A$ : $B - A$ dă $(6, 0, 0)$ , $C - A$ dă $(0, 6, 0)$ , $D - A$ dă $(2, 2, 5)$ . Determinantul diferențelor este $6 \cdot (6 \cdot 5 - 0) = 180 \neq = 0$ , deci punctele nu sunt coplanare.

b) $V_{A B C D} = \frac{180}{6} = 30$ .

c) Cu $E$ în locul lui $D$ , ultima linie devine $(2, 2, m)$ , iar determinantul diferențelor este $6 \cdot 6 \cdot m = 36 m$ . Condiția $\frac{1}{6} ∣ 36 m ∣ = 18$ înseamnă $6 ∣ m ∣ = 18$ , deci $∣ m ∣ = 3$ și $m \in {- 3, 3}$ .

Să exersăm

La fiecare cerință: scrie determinantul diferențelor, constată că nu este nul, apoi scrie volumul ca o șesime din modulul lui. Unitatea de măsură se trece la fiecare rezultat care are una.

1. Calculează volumul tetraedrului $O A B C$ , cu $O (0, 0, 0)$ , $A (4, 0, 0)$ , $B (0, 9, 0)$ și $C (0, 0, 7)$ .

2. Calculează volumul tetraedrului cu vârfurile $O (0, 0, 0)$ , $M (- 2, 0, 0)$ , $N (0, - 3, 0)$ și $P (0, 0, 7)$ .

3. Calculează volumul tetraedrului $A (2, - 1, 0)$ , $B (6, 1, 2)$ , $C (0, 5, 3)$ , $D (1, 0, 7)$ .

4. Calculează volumul tetraedrului $A (1, 1, 1)$ , $B (6, 1, 1)$ , $C (1, 6, 1)$ , $D (1, 1, 6)$ .

5. Arată că punctele $A (9, 0, 0)$ , $B (0, 6, 0)$ , $C (0, 0, - 5)$ și $D (9, 6, 5)$ sunt coplanare.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $E$ este mijlocul muchiei $A D$ a tetraedrului $A B C D$ , atunci tetraedrul $A B C E$ are volumul egal cu jumătate din volumul lui $A B C D$ ."

7. Calculează volumul tetraedrului $A (0, 0, 0)$ , $B (7, 0, 0)$ , $C (7, 5, 0)$ , $D (3, 2, 9)$ .

8. Un cub cu muchia $8$ are un vârf în origine și trei muchii pe axe. Calculează volumul tetraedrului cu vârfurile în $O (0, 0, 0)$ , în vârful opus lui $O$ și în vârfurile $(8, 0, 0)$ și $(0, 8, 0)$ .

9. Un plan taie axele în $A (5, 0, 0)$ , $B (0, 6, 0)$ și $C (0, 0, 3)$ . Calculează volumul tetraedrului $O A B C$ , unde $O$ este originea.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă la fiecare dintre cele patru vârfuri schimbi între ele abscisa și ordonata, determinantul $Δ^{'}$ își păstrează valoarea."

11. Piramida cu baza dreptunghiul $O (0, 0, 0)$ , $A (8, 0, 0)$ , $B (8, 6, 0)$ , $C (0, 6, 0)$ și cu vârful $V (4, 3, 7)$ se taie în două tetraedre, $O A B V$ și $O B C V$ . Calculează volumul fiecăruia și verifică suma cu formula piramidei.

12. (Problemă aplicată.) Un vas de laborator în formă de tetraedru are vârfurile, măsurate în decimetri, în $O (0, 0, 0)$ , $A (7, 0, 0)$ , $B (0, 4, 0)$ și $C (0, 0, 3)$ . Câți litri de soluție încap în el și ce condiție cerută de fizică nu se citește din coordonate?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră $O (0, 0, 0)$ , $A (3, 0, 0)$ , $B (0, 6, 0)$ , $C (0, 0, 9)$ . a) Arată că cele patru puncte nu sunt coplanare. b) Calculează volumul tetraedrului $O A B C$ . c) Determină $m > 0$ pentru care tetraedrul $O A B D$ , cu $D (0, 0, m)$ , are volumul $12$ .

14. Determină numărul real $m$ pentru care punctele $A (5, 0, 0)$ , $B (0, 7, 0)$ , $C (0, 0, - 3)$ și $D (5, 7, m)$ sunt coplanare.

15. Calculează volumul tetraedrului $A (1, 3, 0)$ , $B (6, 0, 2)$ , $C (0, 7, 1)$ , $D (2, 2, 8)$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră $A (1, 2, 3)$ , $B (7, 2, 3)$ , $C (1, 8, 3)$ , $D (3, 4, 11)$ . a) Arată că $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nu sunt coplanare. b) Calculează volumul tetraedrului $A B C D$ . c) Arată că înălțimea din $D$ pe planul bazei $A B C$ este $8$ și verifică volumul cu formula piramidei.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră $O (0, 0, 0)$ , $A (0, 0, 9)$ , $B (5, 0, 0)$ , $C (0, 8, 0)$ . a) Arată că cele patru puncte nu sunt coplanare. b) Calculează volumul tetraedrului $O A B C$ . c) Determină numerele reale $m$ pentru care tetraedrul $O B C E$ , cu $E (0, 0, m)$ , are volumul $20$ .

18. (Provocare.) Un plan taie axele în punctele $A (p, 0, 0)$ , $B (0, q, 0)$ și $C (0, 0, r)$ , cu $p$ , $q$ , $r$ numere reale nenule. Arată că volumul tetraedrului $O A B C$ este $\frac{∣ pq r ∣}{6}$ și explică de ce rezultatul nu se schimbă dacă unul dintre cele trei numere este negativ.

Răspunsuri și explicații

1. Diferențele față de $O$ sunt chiar coordonatele celorlalte vârfuri, iar determinantul lor este $4 \cdot 9 \cdot 7 = 252$ , deci $V = \frac{252}{6} = 42$ .

2. Determinantul diferențelor este $(- 2) \cdot (- 3) \cdot 7 = 42$ , deci $V = 7$ . Semnele negative ale coordonatelor nu deranjează: modulul le absoarbe, iar corpul este oglindirea celui cu coordonate pozitive.

3. Cu $A$ ca punct de scădere, diferențele sunt $(4, 2, 2)$ , $(- 2, 6, 3)$ și $(- 1, 1, 7)$ ; determinantul lor este $186$ , deci $V = \frac{186}{6} = 31$ .

4. Diferențele față de $A$ sunt $(5, 0, 0)$ , $(0, 5, 0)$ și $(0, 0, 5)$ , cu determinantul $125$ ; volumul este $\frac{125}{6}$ . Tetraedrul este „colțul" obișnuit, mutat din origine în $(1, 1, 1)$ — mutarea nu schimbă volumul, fiindcă diferențele rămân aceleași.

5. Diferențele față de $A$ sunt $(- 9, 6, 0)$ , $(- 9, 0, - 5)$ și $(0, 6, 5)$ . Determinantul lor este $- 9 (0 + 30) - 6 (- 45 - 0) + 0 = - 270 + 270 = 0$ , deci volumul este nul și cele patru puncte sunt coplanare.

6. Adevărat. Scădem linia lui $A$ din celelalte: liniile lui $B$ și $C$ rămân aceleași, iar a treia devine $E - A$ . Cum $E$ este mijlocul muchiei $A D$ , fiecare coordonată a lui $E - A$ este jumătate din cea a lui $D - A$ , deci a treia linie se înmulțește cu $\frac{1}{2}$ . O linie înmulțită cu un număr înmulțește determinantul cu acel număr, deci $Δ^{'}$ — și odată cu el volumul — se înjumătățește.

7. Diferențele față de $A$ sunt $(7, 0, 0)$ , $(7, 5, 0)$ și $(3, 2, 9)$ ; determinantul este $7 (45 - 0) = 315$ , deci $V = \frac{315}{6} = \frac{105}{2}$ .

8. Vârful opus originii este $(8, 8, 8)$ . Cu $O$ ca punct de scădere, determinantul diferențelor $(8, 8, 8)$ , $(8, 0, 0)$ , $(0, 8, 0)$ este $512$ , deci $V = \frac{512}{6} = \frac{256}{3}$ .

9. Determinantul diferențelor față de $O$ este $5 \cdot 6 \cdot 3 = 90$ , deci $V_{O A B C} = 15$ .

10. Fals. Schimbarea abscisei cu ordonata la toate vârfurile înseamnă schimbarea între ele a primelor două coloane ale determinantului diferențelor, iar o schimbare de coloane îi inversează semnul, la fel ca o schimbare de linii: $Δ^{'}$ devine $- Δ^{'}$ . Volumul rămâne însă același, fiindcă formula conține modulul — enunțul ar fi fost adevărat despre volum, nu despre determinant.

11. Pentru $O A B V$ : diferențele față de $O$ sunt $(8, 0, 0)$ , $(8, 6, 0)$ , $(4, 3, 7)$ , cu determinantul $336$ , deci volumul este $56$ . Pentru $O B C V$ : diferențele sunt $(8, 6, 0)$ , $(0, 6, 0)$ , $(4, 3, 7)$ , cu determinantul $336$ , deci tot $56$ . Suma este $112$ , iar formula piramidei dă $\frac{1}{3} \cdot (8 \cdot 6) \cdot 7 = 112$ . Cele două tetraedre au același volum pentru că au baze de arii egale — cele două jumătăți ale dreptunghiului — și același vârf.

12. Determinantul diferențelor față de $O$ este $7 \cdot 4 \cdot 3 = 84$ , deci $V = \frac{84}{6} = 14 dm^{3}$ , adică $14$ litri. Condiția nescrisă în coordonate este așezarea vasului: coordonatele dau volumul corpului, dar suprafața liberă a lichidului este orizontală, așa că cei $14$ litri încap numai dacă vasul stă cu deschiderea sus. Înclinat, același vas ține mai puțin, deși volumul corpului nu s-a schimbat.

13. a) Determinantul diferențelor față de $O$ este $3 \cdot 6 \cdot 9 = 162 \neq = 0$ , deci punctele nu sunt coplanare. b) $V_{O A B C} = \frac{162}{6} = 27$ . c) Pentru $D (0, 0, m)$ , determinantul devine $3 \cdot 6 \cdot m = 18 m$ , iar condiția $\frac{1}{6} ∣ 18 m ∣ = 12$ dă $3 ∣ m ∣ = 12$ , adică $∣ m ∣ = 4$ ; cum se cere $m > 0$ , rămâne $m = 4$ .

14. Diferențele față de $A$ sunt $(- 5, 7, 0)$ , $(- 5, 0, - 3)$ și $(0, 7, m)$ . Determinantul lor este $- 5 (0 + 21) - 7 (- 5 m - 0) + 0 = - 105 + 35 m$ , iar condiția de coplanaritate $- 105 + 35 m = 0$ dă $m = 3$ .

15. Diferențele față de $A$ sunt $(5, - 3, 2)$ , $(- 1, 4, 1)$ și $(1, - 1, 8)$ . Determinantul lor este $5 (32 + 1) + 3 (- 8 - 1) + 2 (1 - 4) = 165 - 27 - 6 = 132$ , deci $V = \frac{132}{6} = 22$ .

16. a) Diferențele față de $A$ sunt $(6, 0, 0)$ , $(0, 6, 0)$ și $(2, 2, 8)$ , cu determinantul $6 \cdot 6 \cdot 8 = 288 \neq = 0$ . b) $V_{A B C D} = \frac{288}{6} = 48$ . c) Punctele $A$ , $B$ și $C$ au toate a treia coordonată egală cu $3$ , deci baza se află într-un plan paralel cu $x O y$ ; înălțimea din $D$ este atunci diferența cotelor, $11 - 3 = 8$ . Baza $A B C$ este un triunghi dreptunghic cu catetele $6$ și $6$ , deci are aria $18$ , iar formula piramidei dă $\frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 8 = 48$ .

17. a) Diferențele față de $O$ sunt $(0, 0, 9)$ , $(5, 0, 0)$ și $(0, 8, 0)$ , cu determinantul $360 \neq = 0$ . b) $V_{O A B C} = \frac{360}{6} = 60$ . c) Pentru tetraedrul $O B C E$ , diferențele față de $O$ sunt $(5, 0, 0)$ , $(0, 8, 0)$ și $(0, 0, m)$ , cu determinantul $40 m$ ; condiția $\frac{1}{6} ∣ 40 m ∣ = 20$ dă $∣ m ∣ = 3$ , deci $m \in {- 3, 3}$ .

18. Diferențele față de $O$ sunt $(p, 0, 0)$ , $(0, q, 0)$ și $(0, 0, r)$ , iar determinantul unei astfel de matrice, care are elemente nenule doar pe diagonală, este produsul lor, $pq r$ . Volumul este așadar $\frac{∣ pq r ∣}{6}$ . Dacă unul dintre numere este negativ, punctul respectiv se află pe semiaxa negativă, deci tetraedrul este oglindit față de un plan de coordonate; oglindirea nu schimbă lungimile, deci nici volumul, iar în formulă acest lucru se vede prin modul.

De reținut

Formula: cu patru puncte necoplanare, $V = \frac{1}{6} ∣ Δ ∣$ , unde $Δ$ este determinantul de ordinul patru format cu cele trei coordonate ale fiecărui vârf și cu o coloană de $1$ .
Calculul practic: scazi coordonatele unui vârf din ale celorlalte trei și calculezi determinantul de ordinul al treilea al diferențelor; alegi ca vârf de scădere pe cel cu cele mai multe zerouri.
Șesimea este $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ : treimea vine din formula piramidei, jumătatea din aria triunghiului de la bază.
Volum nul înseamnă puncte coplanare; verificarea $Δ \neq = 0$ se face înaintea calculului volumului, nu după.
Semnul determinantului depinde numai de ordinea vârfurilor; volumul nu, fiindcă formula are modul, iar unitatea de măsură se scrie la cub.

Greșeli frecvente

Se împarte la $2$ în loc de $6$ . Formula ariei din plan se transferă din reflex, cu jumătatea ei cu tot. În spațiu numitorul este $6$ ; jumătatea rămâne, dar i se adaugă treimea din formula piramidei.
Se uită coloana de $1$ sau se pune în altă parte. Determinantul trebuie să aibă exact trei coloane de coordonate și una de valori de $1$ , în această ordine. Cu o coloană de zerouri în locul ei, determinantul se anulează întotdeauna, iar elevul „demonstrează" că orice patru puncte sunt coplanare.
Se scade prima linie din celelalte, dar se lasă și ultima coloană neschimbată. După scădere, coloana de $1$ devine $1$ , $0$ , $0$ , $0$ ; cine păstrează toate valorile de $1$ obține un determinant cu totul alt rezultat. Cel mai sigur e să scrii direct determinantul de ordinul al treilea al diferențelor.
Se raportează un volum negativ. Determinantul poate fi negativ, volumul nu. Semnul minus nu se „pierde pe drum" și nu se corectează schimbând ordinea vârfurilor la final — se închide în modul.
Se amestecă unitățile de măsură. Dacă o coordonată este în metri și alta în centimetri, rezultatul nu înseamnă nimic. Se aduc toate la aceeași unitate înainte de calcul, iar rezultatul se scrie cu unitatea la cub.

Aplică acasă

Colțul camerei. Alege un colț al camerei ca origine, cu muchiile drept axe, și măsoară în centimetri trei distanțe diferite pe cele trei muchii. Calculează volumul tetraedrului determinat de colț și de cele trei puncte, apoi verifică-l cu formula piramidei, luând drept bază triunghiul de pe podea. Compară rezultatul cu volumul paralelipipedului construit pe aceleași trei distanțe: ce raport iese și de ce?
Cubul tăiat. Ia o cutie cubică sau un cub desenat pe carton și marchează patru vârfuri care nu sunt vecine două câte două. Așază cubul într-un reper cu un vârf în origine, măsoară muchia și calculează volumul tetraedrului obținut. Verifică-l scăzând din volumul cubului cele patru colțuri tăiate și spune ce fracțiune din cub reprezintă tetraedrul.
Densitatea unui obiect neregulat. Cântărește un obiect mic și compact — o piatră, o piesă metalică — și află-i volumul prin scufundare într-un vas gradat cu apă. Calculează densitatea ca raport între masă și volum și caută în manualul de fizică materialul cu densitatea cea mai apropiată. Scrie apoi de ce metoda coordonatelor nu s-ar fi putut aplica direct acestui obiect.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică patru lucruri măsurabile: dacă elevul scrie corect determinantul de ordinul patru, cu coloana de $1$ la locul ei; dacă folosește scurtătura diferențelor; dacă verifică necoplanaritatea înainte de a calcula volumul; și dacă scrie rezultatul cu modul și cu unitatea de măsură la cub.

Dificultatea reală nu este calculul, ci acceptarea faptului că un volum se poate afla fără să măsori nimic din corp: fără muchii, fără unghiuri, fără desen. Elevul care a lucrat în gimnaziu numai cu formule de tipul „aria bazei ori înălțimea" are nevoie de o punte, iar puntea cea mai bună este exemplul cu colțul de reper, unde ambele drumuri se pot face și compara.

Întrebări de control: „De ce se împarte la $6$ și nu la $2$ ?", „Ce înseamnă geometric un determinant nul?", „Poate un volum să iasă negativ?". Semne că a înțeles: alege singur vârful cu cele mai multe zerouri ca punct de scădere; verifică rezultatul cu formula piramidei, în loc să refacă același determinant; și, la cerințele cu parametru, discută ambele valori obținute din modul.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, unitatea XII.2. Elemente de geometrie analitică în spațiu, la conținutul „Volumul tetraedrului". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), unde geometria analitică în spațiu nu apare deloc — nici la clasă, nici în subiecte. Pentru ei, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Care este formula volumului tetraedrului cunoscând coordonatele vârfurilor?

Volumul este o șesime din modulul determinantului de ordinul patru format cu cele trei coordonate ale fiecărui vârf, așezate pe câte o linie, și cu o coloană de valori de $1$ . Cele patru puncte trebuie să fie necoplanare; altfel determinantul este nul și nu există niciun tetraedru. În scris: $V = \frac{1}{6} ∣ Δ ∣$ .

De ce se împarte la $6$ și nu la $2$ , ca la aria triunghiului?

Pentru că numitorul adună două surse. Formula piramidei aduce o treime, iar aria triunghiului de la bază aduce o jumătate; produsul lor este o șesime. Altfel spus, determinantul măsoară volumul paralelipipedului construit pe trei muchii care pornesc din același vârf, iar tetraedrul este a șasea parte din acel paralelipiped.

Ce fac dacă determinantul îmi iese negativ?

Nimic special: iei modulul. Semnul depinde numai de ordinea în care ai scris vârfurile, iar schimbarea a două linii îl inversează. Un determinant negativ nu arată nicio greșeală și nu înseamnă că punctele n-ar forma un tetraedru; doar un determinant nul spune că punctele sunt coplanare.

Cum verific repede dacă patru puncte formează într-adevăr un tetraedru?

Calculezi determinantul diferențelor și te uiți dacă este nenul. Dacă este nul, punctele sunt coplanare și nu închid niciun corp. Verificarea aceasta se scrie întotdeauna înainte de volum, pentru că altfel răspunsul „volumul este zero" poate fi luat, greșit, drept volumul unui corp foarte turtit.

Se dă volumul tetraedrului și la mate-info (M1)?

Nu. Geometria analitică în spațiu este o temă exclusiv a profilului științe ale naturii: la matematică-informatică, geometria clasei a XII-a este dedicată conicelor din plan, iar determinanții se folosesc acolo pentru arii, nu pentru volume. Pentru comparație, formula înrudită din plan la mate-info (M1): Aria triunghiului cu determinant.

La ce subiect apare volumul tetraedrului la examen?

Tema intră în probă abia din 2030, la MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie", unitatea XII.2. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, geometria analitică — cea din plan — apare ca o cerință scurtă la Subiectul I. Structura probei MAT_P2 nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial.

Pot folosi formula pentru un corp care nu este tetraedru?

Direct, nu. Indirect, da: orice poliedru se poate tăia în tetraedre, iar volumele lor se adună. O piramidă cu baza dreptunghi se taie în două tetraedre printr-un plan care trece prin vârf și printr-o diagonală a bazei. Metoda merge și acolo unde corpul nu are nicio simetrie.

Cum aleg vârful din care fac scăderea?

Pe cel cu cele mai multe coordonate nule, de obicei originea, dacă ea este printre vârfuri. Alegerea nu schimbă rezultatul, fiindcă se poate scădea oricare linie din celelalte trei, dar scurtează mult calculul: diferențele devin chiar coordonatele celorlalte puncte, iar determinantul de ordinul trei are atunci multe zerouri și se calculează aproape din ochi.