Aflarea unui număr când se cunoaște un procent din el

În lecția anterioară ai învățat să afli cât reprezintă un procent dintr-un număr cunoscut. Acum întoarcem problema pe dos: cunoaștem cât valorează un procent, dar nu cunoaștem numărul întreg și trebuie să-l descoperim. Este exact ce face un comerciant când știe că reducerea de 20% a fost de 60 de lei și vrea să afle prețul de pornire, sau un chimist care știe câte grame de sare are o soluție și ce concentrație are. Hai să vedem cum dezlegăm acest tip de problemă, pas cu pas.

Ce vei învăța

• Vei ști să afli numărul întreg atunci când cunoști un procent din el și valoarea acelui procent.
• Vei ști să rezolvi problema atât prin proporție, cât și prin regula de trei simplă.
• Vei ști să folosești metoda în probleme cu concentrația unei soluții.
• Vei ști să afli prețul inițial al unui produs după o reducere sau o scumpire.
• Vei ști să verifici dacă rezultatul găsit este corect.

Hai să descoperim împreună

De la o problemă directă la una inversă

Gândește-te la o pizza tăiată în felii. Dacă știi că pizza întreagă are 8 felii și mănânci 25% din ea, calculezi ușor: $25\%$ din $8=\frac{25}{100}\cdot 8=2$ felii. Aceasta este o problemă directă: cunoști întregul și afli partea.

Acum imaginează-ți situația inversă. Cineva îți spune: „Am mâncat 25% dintr-o pizza, adică 2 felii. Câte felii avea pizza întreagă?” De data aceasta nu cunoști întregul (numărul total de felii), ci cunoști partea (2 felii) și procentul (25%). Trebuie să mergi înapoi, de la parte spre întreg. Aceasta se numește problemă inversă.

Ideea centrală a întregii lecții este aceasta:

Întregul reprezintă întotdeauna 100%. Dacă știm cât valorează un anumit procent $p\%$, putem urca până la 100% și aflăm numărul întreg.

Reține clar cele trei mărimi

În orice problemă cu procente apar trei mărimi. Le notăm așa:

• întregul $N$ — numărul pe care de obicei nu îl cunoaștem aici (corespunde lui 100%);
• procentul $p\%$ — câte sutimi luăm;
• valoarea procentului $V$ — cât reprezintă acel $p\%$ din întreg.

Legătura dintre ele este formula pe care o știi deja: $$V=\frac{p}{100}\cdot N$$

În lecția trecută cunoșteam $p$ și $N$ și calculam $V$. Acum cunoaștem $p$ și $V$ și vrem să aflăm $N$. Practic, avem o ecuație în care necunoscuta este $N$.

Metoda 1 — prin proporție

Pornim de la relația $V=\frac{p}{100}\cdot N$. O putem scrie sub formă de proporție, gândind așa: „raportul dintre partea $V$ și întregul $N$ este același cu raportul dintre $p$ și 100”.

$$\frac{V}{N}=\frac{p}{100}$$

Această egalitate de două rapoarte este o proporție. Aplicăm proprietatea fundamentală a proporției (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor):

$$V\cdot 100=p\cdot N$$

De aici scoatem necunoscuta $N$:

$$\boxed{N=\frac{V\cdot 100}{p}}$$

Aceasta este formula-cheie a lecției. În cuvinte: înmulțim valoarea cunoscută cu 100 și împărțim la procent.

Metoda 2 — prin regula de trei simplă

Aceeași problemă se rezolvă elegant cu regula de trei simplă, pe care o vei studia mai amănunțit în lecția Regula de trei simplă. Ideea e să așezăm datele pe două rânduri, punând în corespondență procentul cu valoarea lui:

Mărimile sunt direct proporționale: cu cât luăm un procent mai mare, cu atât valoarea este mai mare. De aceea înmulțim „pe diagonală" și împărțim la numărul rămas:

$$N=\frac{100\cdot V}{p}$$

Observi că ajungem la exact aceeași formulă ca prin proporție. Cele două metode sunt două fețe ale aceleiași monede; folosește-o pe cea care ți se pare mai limpede.

Să rezolvăm primul exemplu împreună

20% dintr-un număr este 30. Care este numărul?

Aici $p=20$ și $V=30$. Aplicăm formula: $$N=\frac{V\cdot 100}{p}=\frac{30\cdot 100}{20}=\frac{3000}{20}=150.$$

Deci numărul este 150.

Hai să gândim și „cu mintea", ca să simțim de ce e corect. $20\%$ înseamnă o cincime, pentru că $20\%=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$. Dacă o cincime din număr este 30, atunci întregul are 5 cincimi, adică $5\cdot 30=150$. Se potrivește perfect!

Trucul cu 1%

Există o cale foarte intuitivă, numită metoda reducerii la unitate. În loc să sărim direct la 100%, coborâm mai întâi la 1%, apoi urcăm la 100%.

Reluăm exemplul: 20% este 30.

• Dacă 20% înseamnă 30, atunci 1% înseamnă de 20 de ori mai puțin: $30:20=1,5$.
• Atunci 100% (adică numărul întreg) înseamnă de 100 de ori mai mult decât 1%: $1,5\cdot 100=150$.

Aceeași valoare, 150. Această cale e foarte utilă când nu reții formula: mai întâi afli cât face 1%, apoi înmulțești cu 100.

Hai să mai facem un exercițiu mental, cu un alt procent, ca să prinzi tehnica. Spunem că „40% dintr-un număr este 80; care e numărul?”. Coborâm la 1%: $80:40=2$. Urcăm la 100%: $2\cdot 100=200$. Deci numărul este 200. Verifică tu: $40\%$ din $200=\frac{40}{100}\cdot 200=80$. ✓ Observă cât de simplu devine totul când treci prin 1% — acel 1% este ca o „cărămidă", iar întregul este format din exact 100 de astfel de cărămizi.

Verificarea rezultatului — pasul pe care nu-l sări niciodată

După ce ai aflat numărul, verifică întotdeauna. Întorci problema în direcția directă: calculezi $p\%$ din numărul găsit și vezi dacă obții valoarea $V$ din enunț.

Pentru exemplul nostru: $20\%$ din $150=\frac{20}{100}\cdot 150=\frac{1}{5}\cdot 150=30$. ✓ Corect!

Dacă verificarea nu dă valoarea din enunț, înseamnă că ai greșit pe undeva (probabil ai înmulțit unde trebuia să împarți). Verificarea te apără de greșeli.

Cum aplicăm la concentrația unei soluții

O soluție se obține amestecând o substanță (de exemplu sare sau zahăr) cu un lichid (de obicei apă). Concentrația ne spune ce procent din masa totală a soluției îl reprezintă substanța dizolvată. Formula este:

$$\text{concentrația}=\frac{\text{masa substanței dizolvate}}{\text{masa soluției}}\cdot 100\%.$$

Când ni se dau masa substanței și concentrația și ni se cere masa soluției, avem exact o problemă inversă! Masa soluției este întregul (100%), substanța dizolvată este partea, iar concentrația este procentul.

Exemplu rapid: o soluție are concentrația 5% și conține 8 g de sare. Atunci masa soluției este $$N=\frac{8\cdot 100}{5}=160\text{ g}.$$ Adică în 160 g de soluție sunt 8 g de sare și restul, $160-8=152$ g, este apă.

Cum aflăm prețul inițial

Sunt două situații pe care trebuie să le deosebești cu grijă, pentru că elevii le confundă des.

Situația A — ți se dă cât a fost reducerea (sau scumpirea) în lei. Dacă reducerea de $p\%$ a fost de $V$ lei, atunci $V$ este chiar $p\%$ din prețul inițial. Aplici direct formula. De exemplu, dacă o reducere de 25% a însemnat 60 de lei, prețul inițial a fost $\frac{60\cdot 100}{25}=240$ lei.

Situația B — ți se dă prețul final după reducere (sau scumpire). Aici e nevoie de un pas în plus, fiindcă prețul final nu corespunde lui $p\%$.

• După o reducere de $p\%$, prețul final reprezintă $(100-p)\%$ din prețul inițial (am scăzut reducerea din întreg).
• După o scumpire de $p\%$, prețul final reprezintă $(100+p)\%$ din prețul inițial (am adăugat scumpirea la întreg).

De exemplu, dacă după o reducere de 20% un telefon costă 960 lei, atunci 960 lei reprezintă $100\%-20\%=80\%$ din prețul inițial. Deci prețul inițial este $\frac{960\cdot 100}{80}=1200$ lei. Vom mai întâlni acest tip de raționament în lecția Probleme cu procente: reduceri, scumpiri, TVA și dobândă.

Reține deosebirea: în situația A, valoarea dată este partea ruptă (procentul propriu-zis); în situația B, valoarea dată este ce a rămas (sau cât a devenit), deci trebuie întâi să afli ce procent reprezintă ea.

Cum recunoști repede o problemă inversă

De multe ori, cel mai greu lucru nu este calculul, ci să-ți dai seama ce tip de problemă ai în față. Iată un truc simplu: caută în enunț necunoscuta și întreabă-te dacă ea este întregul sau o parte din el.

• Dacă enunțul îți dă întregul și îți cere o parte din el („Cât este 20% din 150?”), este o problemă directă — înmulțești cu procentul.
• Dacă enunțul îți dă o parte (împreună cu procentul ei) și îți cere întregul („20% dintr-un număr este 30; care e numărul?”), este o problemă inversă — împarți la procent și înmulțești cu 100.

Cuvinte-semnal pentru problema inversă: „câți erau în total”, „care era prețul inițial”, „care este masa soluției”, „câte pagini are cartea”. Toate cer întregul, adică acel 100% pe care îl cauți.

Un al doilea reflex util este estimarea: înainte de a calcula, întreabă-te dacă răspunsul trebuie să iasă mai mare sau mai mic decât valoarea dată. La o problemă inversă, întregul este întotdeauna mai mare decât partea cunoscută (cu excepția cazului când procentul este chiar 100%, când sunt egale). Dacă procentul este mic (de pildă 5% sau 10%), întregul va fi de multe ori mai mare. Dacă procentul este mare (de pildă 80%), întregul va fi doar puțin mai mare decât valoarea dată. Această estimare te ajută să prinzi din zbor o greșeală: dacă „caut numărul” și îți iese ceva mai mic decât valoarea cunoscută, sigur ai înmulțit unde trebuia să împarți.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — aflarea numărului direct cu formula

15% dintr-un număr este 45. Află numărul.

Avem $p=15$ și $V=45$. Folosim formula $N=\frac{V\cdot 100}{p}$: $$N=\frac{45\cdot 100}{15}=\frac{4500}{15}=300.$$

Verificare: $15\%$ din $300=\frac{15}{100}\cdot 300=\frac{15\cdot 300}{100}=\frac{4500}{100}=45$. ✓

Numărul căutat este 300.

Exemplul 2 — rezolvare prin regula de trei

8% dintr-un număr este 56. Cât este numărul?

Așezăm datele cu regula de trei, punând procentul în corespondență cu valoarea: $$ \begin{aligned} 8%\ &\rightarrow\ 56 \ 100%\ &\rightarrow\ N \end{aligned} $$ Mărimile sunt direct proporționale, deci înmulțim pe diagonală și împărțim la 8: $$N=\frac{100\cdot 56}{8}=\frac{5600}{8}=700.$$

Verificare: $8\%$ din $700=\frac{8}{100}\cdot 700=\frac{5600}{100}=56$. ✓

Numărul este 700.

Exemplul 3 — concentrația unei soluții

Într-un pahar avem o soluție cu zahăr. Cantitatea de zahăr este de 12 g și reprezintă 4% din masa soluției. Care este masa soluției? Câtă apă conține?

Masa soluției este întregul (100%), iar zahărul (12 g) reprezintă 4%. Deci: $$N=\frac{12\cdot 100}{4}=\frac{1200}{4}=300\text{ g}.$$

Masa soluției este 300 g. Apa reprezintă restul: $300-12=288$ g.

Verificare: $4\%$ din $300=\frac{4}{100}\cdot 300=\frac{1200}{100}=12$ g de zahăr. ✓

Exemplul 4 — prețul inițial când știm cât a fost reducerea

La un magazin, un ghiozdan a fost redus cu 25%, ceea ce a însemnat o reducere de 60 de lei. Care era prețul inițial al ghiozdanului?

Aici reducerea în lei (60 lei) este chiar $25\%$ din prețul inițial. Deci: $$N=\frac{60\cdot 100}{25}=\frac{6000}{25}=240\text{ lei}.$$

Verificare: $25\%$ din $240=\frac{1}{4}\cdot 240=60$ lei. ✓

Prețul inițial era 240 de lei. (Prețul nou, după reducere, este $240-60=180$ lei.)

Exemplul 5 — problema cu elevii (procent invers din viața reală)

La un club de șah, 12% dintre membri, adică 54 de elevi, au participat la un concurs. Câți membri are clubul în total?

Numărul total de membri este întregul (100%), iar cei 54 de elevi reprezintă 12%: $$N=\frac{54\cdot 100}{12}=\frac{5400}{12}=450.$$

Verificare: $12\%$ din $450=\frac{12}{100}\cdot 450=\frac{5400}{100}=54$. ✓

Clubul are 450 de membri.

Exemplul 6 — prețul inițial când știm prețul final

După o reducere de 20%, o pereche de adidași costă 960 de lei. Care era prețul inițial?

Atenție: 960 de lei este prețul după reducere, deci reprezintă $100\%-20\%=80\%$ din prețul inițial. Aplicăm formula cu $p=80$ și $V=960$: $$N=\frac{960\cdot 100}{80}=\frac{96000}{80}=1200\text{ lei}.$$

Verificare: reducerea ar fi $20\%$ din $1200=\frac{1}{5}\cdot 1200=240$ lei, iar prețul final $1200-240=960$ lei. ✓

Prețul inițial era 1200 de lei.

Exemplul 7 — câte pagini are cartea

Maria a citit 35% dintr-o carte, adică 84 de pagini. Câte pagini are cartea în total? Câte pagini mai are de citit?

Numărul total de pagini este întregul (100%), iar cele 84 de pagini citite reprezintă 35%: $$N=\frac{84\cdot 100}{35}=\frac{8400}{35}=240\text{ pagini}.$$

Cartea are 240 de pagini. Maria mai are de citit restul: $240-84=156$ pagini, adică $100\%-35\%=65\%$ din carte.

Verificare: $35\%$ din $240=\frac{35}{100}\cdot 240=\frac{8400}{100}=84$ pagini. ✓

Exemplul 8 — problemă în doi pași

30% dintr-un număr este 24. Cât reprezintă 75% din acel număr?

Aici nu putem calcula direct $75\%$, pentru că nu cunoaștem încă numărul. Lucrăm în doi pași.

Pasul 1 — aflăm întregul. Avem $p=30$ și $V=24$: $$N=\frac{24\cdot 100}{30}=\frac{2400}{30}=80.$$

Pasul 2 — aflăm 75% din întregul găsit. Acum este o problemă directă obișnuită: $$75\%\text{ din }80=\frac{75}{100}\cdot 80=\frac{6000}{100}=60.$$

Verificare: controlăm întâi întregul — $30\%$ din $80=\frac{30}{100}\cdot 80=24$ ✓ — apoi avem siguranța că $75\%$ din $80=60$.

Răspunsul este 60. Reține tiparul: când ți se cere un alt procent din același număr, afli mai întâi întregul (problemă inversă), apoi calculezi procentul cerut (problemă directă).

Să exersăm

Rezolvă în caiet. La fiecare problemă, fă și verificarea.

1. 10% dintr-un număr este 7. Află numărul.

2. 50% dintr-un număr este 32. Cât este numărul?

3. 25% dintr-un număr este 15. Află numărul.

4. 20% dintr-un număr este 18. Cât este numărul?

5. Completează: dacă 1% dintr-un număr este 4, atunci numărul întreg (100%) este ______ .

6. Adevărat sau fals? „Dacă 30% dintr-un număr este 60, atunci numărul este 180." Justifică.

7. Încercuiește răspunsul corect. 40% dintr-un număr este 24. Numărul este:   a) 60   b) 96   c) 9,6

8. Rezolvă prin regula de trei: 8% dintr-un număr este 56. Cât reprezintă 100% (numărul întreg)?

9. O soluție conține 12 g de zahăr, care reprezintă 4% din masa soluției. Care este masa soluției?

10. După o reducere de 15%, un produs s-a ieftinit cu 30 de lei. Care era prețul inițial?

11. După o reducere de 30%, o carte costă acum 49 de lei. Care era prețul inițial al cărții?

12. 75% dintr-un număr este 150. Află numărul.

13. Potrivește fiecare informație din coloana A cu numărul corect din coloana B:   A: (i) 5% este 10  (ii) 20% este 10  (iii) 10% este 10   B: 50   100   200

14. La un test, 60% dintre elevii unei clase au promovat, adică 18 elevi. Câți elevi au dat testul?

15. Un abonament la sală s-a scumpit cu 8%, ceea ce a însemnat o creștere de 6 lei. Care era prețul inițial al abonamentului?

16. 2,5% dintr-un număr este 5. Află numărul.

17. După o scumpire de 25%, un produs costă acum 150 de lei. Care era prețul inițial?

18. Desenează o bandă întreagă care reprezintă 100%. Dacă 25% din ea înseamnă 20 de unități, câte unități are banda întreagă?

19. Andrei a citit 40% dintr-o carte, adică 96 de pagini. Câte pagini are cartea? Câte pagini mai are de citit?

20. (în doi pași) 20% dintr-un număr este 16. Cât reprezintă 45% din acel număr?

21. După o scumpire de 12%, un produs costă acum 56 de lei. Care era prețul inițial?

22. O soluție de sare are concentrația 8% și conține 20 g de sare. Care este masa soluției și câtă apă conține?

Răspunsuri și explicații

1. $N=\frac{7\cdot 100}{10}=70$. Verificare: $10\%$ din $70=7$. ✓

2. $N=\frac{32\cdot 100}{50}=64$. (50% înseamnă jumătate, deci numărul e dublul lui 32.) ✓

3. $N=\frac{15\cdot 100}{25}=60$. (25% înseamnă un sfert, deci $4\cdot 15=60$.) ✓

4. $N=\frac{18\cdot 100}{20}=90$. Verificare: $20\%$ din $90=18$. ✓

5. 400. Dacă 1% este 4, atunci 100% este de 100 de ori mai mult: $4\cdot 100=400$.

6. Fals. Numărul corect este $\frac{60\cdot 100}{30}=200$, nu 180. (Verificare: $30\%$ din $200=60$.)

7. a) 60. $N=\frac{24\cdot 100}{40}=60$. (Varianta c, 9,6, este de fapt 40% din 24, capcana clasică a problemei inverse.)

8. $N=\frac{100\cdot 56}{8}=700$. Verificare: $8\%$ din $700=56$. ✓

9. $N=\frac{12\cdot 100}{4}=300$ g. Soluția are 300 g (din care 288 g apă). ✓

10. $N=\frac{30\cdot 100}{15}=200$ lei. (Reducerea de 30 lei = 15% din prețul inițial.) ✓

11. Prețul final reprezintă $100\%-30\%=70\%$. $N=\frac{49\cdot 100}{70}=70$ lei. Verificare: reducerea $30\%$ din $70=21$ lei, iar $70-21=49$ lei. ✓

12. $N=\frac{150\cdot 100}{75}=200$. (75% înseamnă trei sferturi; un sfert e $150:3=50$, deci întregul $4\cdot 50=200$.) ✓

13. (i) 5% este 10 → 200; (ii) 20% este 10 → 50; (iii) 10% este 10 → 100. (Cu cât procentul e mai mic, cu atât întregul e mai mare, pentru aceeași valoare.)

14. $N=\frac{18\cdot 100}{60}=30$ elevi. Verificare: $60\%$ din $30=18$. ✓

15. Creșterea de 6 lei = 8% din prețul inițial. $N=\frac{6\cdot 100}{8}=75$ lei. ✓

16. $N=\frac{5\cdot 100}{2,5}=\frac{500}{2,5}=200$. Verificare: $2,5\%$ din $200=\frac{2,5}{100}\cdot 200=5$. ✓

17. Prețul final reprezintă $100\%+25\%=125\%$. $N=\frac{150\cdot 100}{125}=120$ lei. Verificare: scumpirea $25\%$ din $120=30$ lei, iar $120+30=150$ lei. ✓

18. 80 de unități. $N=\frac{20\cdot 100}{25}=80$. Banda are 4 sferturi a câte 20 de unități: $4\cdot 20=80$.

o bandă orizontală împărțită în 4 părți egale; prima parte e colorată și scrie „25% = 20", iar sub întreaga bandă scrie „100% = 80"

19. $N=\frac{96\cdot 100}{40}=\frac{9600}{40}=240$ pagini. Mai are de citit $240-96=144$ pagini (adică $100\%-40\%=60\%$ din carte). Verificare: $40\%$ din $240=96$. ✓

20. Pasul 1: $N=\frac{16\cdot 100}{20}=80$. Pasul 2: $45\%$ din $80=\frac{45}{100}\cdot 80=36$. Răspuns: 36. (Verifică întâi întregul: $20\%$ din $80=16$. ✓)

21. Prețul final reprezintă $100\%+12\%=112\%$. $N=\frac{56\cdot 100}{112}=\frac{5600}{112}=50$ lei. Verificare: scumpirea $12\%$ din $50=6$ lei, iar $50+6=56$ lei. ✓

22. $N=\frac{20\cdot 100}{8}=\frac{2000}{8}=250$ g. Soluția are 250 g, din care apa $250-20=230$ g. Verificare: $8\%$ din $250=20$ g de sare. ✓

De reținut

• Întregul este întotdeauna 100%. Când cunoști un procent $p\%$ și valoarea lui $V$, numărul întreg este $N=\frac{V\cdot 100}{p}$.
• În cuvinte: înmulțești valoarea cunoscută cu 100 și împarți la procent.
• Poți rezolva și prin regula de trei simplă: $p\%\to V$, $100\%\to N$, de unde $N=\frac{100\cdot V}{p}$.
• Trucul cu 1%: află mai întâi cât face 1% (împarți $V$ la $p$), apoi înmulțești cu 100.
• Verifică mereu: calculezi $p\%$ din numărul găsit și trebuie să obții $V$.
• Pentru prețul inițial după reducere/scumpire, atenție dacă ți se dă reducerea în lei (atunci e direct $p\%$) sau prețul final (atunci e $(100-p)\%$ sau $(100+p)\%$).

Pune cele două tipuri de probleme una lângă alta, ca să nu le mai confunzi niciodată:

Greșeli frecvente

• Înmulțesc cu procentul în loc să împart. Mulți elevi calculează $\frac{p}{100}\cdot V$ (ca la problema directă) și obțin un număr mai mic. Întreabă-te: „Caut întregul sau o parte din el?" Întregul este mai mare decât partea cunoscută, deci trebuie să crească, nu să scadă.
• Confund prețul final cu valoarea procentului. Dacă enunțul spune „după reducere produsul costă 49 lei", acel 49 NU este reducerea, ci ce a rămas. Trebuie întâi să afli ce procent reprezintă: $100\%-p\%$ la reducere, $100\%+p\%$ la scumpire.
• Uit verificarea. Fără verificare, o mică greșeală de calcul trece neobservată. Întoarce mereu problema: $p\%$ din $N$ trebuie să dea $V$.
• Greșesc la procente cu virgulă. La $2,5\%$ împărțirea $V:2,5$ pare grea. Truc: înmulțește și deîmpărțitul, și împărțitorul cu 10, ca să scapi de virgulă ($5:2,5=50:25=2$).

Joc acasă

1. Detectivul de reduceri. Caută în casă o etichetă de produs sau un bon vechi cu o reducere afișată în procente (de exemplu „−30%"). Dacă pe el scrie prețul redus, calculează prețul inițial folosind $(100-p)\%$. Apoi verifică: scade procentul din prețul găsit și vezi dacă obții prețul de pe bon.

2. Bucătarul-chimist. Cere ajutorul unui adult și prepară un pahar de „apă sărată". Pune 10 g de sare (poți cântări cu o lingură și un cântar de bucătărie) și adaugă apă până ai în total 200 g de soluție. Concentrația este $\frac{10}{200}\cdot 100\%=5\%$. Acum testează problema inversă: spune-i unui părinte „am 5% sare și 10 g de sare — câtă soluție am?" și verificați împreună că răspunsul este 200 g.

3. Ghicitul numărului secret. Scrie pe o hârtie un număr secret, de exemplu 80. Calculează cât este 25% din el (adică 20) și provoacă pe cineva din familie: „Un sfert din numărul meu secret este 20. Care e numărul?" Lasă-i să descopere că numărul este 80. Schimbați rolurile și folosiți procente diferite (10%, 20%, 50%).

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce problema inversă cu procente, una dintre cele mai utile abilități din viața de zi cu zi (reduceri, dobânzi, concentrații). Dificultatea principală a copilului este să recunoască direcția problemei: aici cunoaștem partea și căutăm întregul, invers față de lecția anterioară.

Sfaturi practice:

• Începeți cu reprezentarea pe bandă. Desenați o bandă împărțită în părți egale și arătați că, de exemplu, dacă o cincime (20%) este 30, întregul are 5 astfel de bucăți. Imaginea fixează mai bine ideea decât formula.
• Insistați pe verificare. Cereți copilului ca după fiecare rezultat să calculeze procentul din numărul găsit. Este cel mai bun mod de a-l face independent: descoperă singur dacă a greșit.
• Întrebări bune de pus: „Numărul căutat va fi mai mare sau mai mic decât valoarea dată? De ce?”; „Ce reprezintă întregul în această problemă — 100% din ce?”; „Dacă reducerea a fost de 60 de lei, prețul vechi era mai mare sau mai mic decât 60?”.
• Atenție la situația cu prețul final. Aceasta este capcana cea mai frecventă. Verificați separat dacă elevul deosebește „reducerea în lei" de „prețul după reducere".
• Cum verificați că a înțeles: dați-i o problemă scurtă inventată de dumneavoastră, de tipul „18% dintr-un număr este 90; cât e numărul?” (răspuns 500) și cereți-i să explice cu voce tare fiecare pas, inclusiv verificarea.
• Legați totul de bani. Procentele se fixează cel mai bine prin exemple din viața reală: reduceri la cumpărături, bacșiș la restaurant, dobânda la un cont de economii. Când mergeți la magazin, întrebați-l „dacă reducerea de 20% a fost de 40 de lei, cât costa produsul înainte?”. Aceste exerciții spontane, fără caiet, sunt adesea mai eficiente decât o oră de teme, pentru că elevul vede la ce folosește ceea ce învață.
• Nu vă grăbiți spre formulă. Dacă observați că reține formula mecanic, dar greșește când enunțul e formulat altfel, întoarceți-vă la metoda cu 1% sau la reprezentarea pe bandă. Înțelegerea profundă a faptului că „întregul are 100 de bucăți de câte 1%” valorează mai mult decât memorarea unei formule pe care o uită peste vară.

Întrebări frecvente

Cum afli un număr când știi un procent din el? Înmulțești valoarea cunoscută cu 100 și împarți la procent: $N=\frac{V\cdot 100}{p}$. De exemplu, dacă 20% dintr-un număr este 30, numărul este $\frac{30\cdot 100}{20}=150$. La final, verifică: 20% din 150 chiar este 30.

Care este diferența dintre a afla un procent dintr-un număr și a afla numărul? La aflarea unui procent dintr-un număr cunoști întregul și cauți partea (înmulțești cu procentul). La problema inversă cunoști partea și un procent și cauți întregul (împarți la procent). În prima situație rezultatul e mai mic, în a doua e mai mare. Detalii despre prima situație găsești în lecția Aflarea unui procent dintr-un număr.

Cum rezolvi problema prin regula de trei simplă? Scrii pe două rânduri: $p\%\to V$ și $100\%\to N$. Pentru că mărimile sunt direct proporționale, înmulțești pe diagonală și împarți la procentul cunoscut: $N=\frac{100\cdot V}{p}$. Obții același rezultat ca prin proporție.

Cum afli masa unei soluții dacă știi concentrația? Concentrația este procentul, iar substanța dizolvată este valoarea cunoscută. Masa soluției (întregul) este $N=\frac{\text{masa substanței}\cdot 100}{\text{concentrația}}$. De exemplu, 8 g de sare la 5% înseamnă o soluție de $\frac{8\cdot 100}{5}=160$ g.

Cum afli prețul inițial dacă știi cât costă produsul după reducere? Prețul final reprezintă $(100-p)\%$ din prețul inițial. Împarți prețul final la acest procent și înmulțești cu 100. De exemplu, după o reducere de 20%, un produs de 960 lei avea prețul inițial $\frac{960\cdot 100}{80}=1200$ lei.

De ce uneori scad procentul din 100 și alteori nu? Scazi din 100 doar când valoarea dată este prețul rămas după reducere. Dacă valoarea dată este chiar reducerea în lei (sau partea care reprezintă procentul), folosești direct procentul, fără să scazi. La scumpiri, adaugi procentul la 100.

Cum verific dacă rezultatul este corect? Calculează procentul din numărul găsit și vezi dacă obții valoarea din enunț. Dacă, de exemplu, ai aflat că numărul este 300 pentru „15% este 45", calculezi 15% din 300 și trebuie să-ți dea exact 45. Dacă da, răspunsul e sigur corect.

Ce fac dacă procentul are virgulă, ca 2,5%? Procedezi la fel, dar la împărțire poți elimina virgula înmulțind și deîmpărțitul, și împărțitorul cu 10 (sau 100). De exemplu, pentru „2,5% este 5", afli 1% împărțind $5:2,5=2$, apoi numărul este $2\cdot 100=200$.