Raportul a două numere

Câte fete și câți băieți sunt în clasa ta? De câte ori e mai mare distanța reală decât cea de pe hartă? Cum compari prețul a două telefoane ca să vezi care e mai „scump pe gram"? Toate aceste întrebări au un singur instrument matematic în spate: raportul a două numere. Este una dintre cele mai folositoare idei din toată matematica de gimnaziu și, vestea bună, o vei înțelege complet în lecția de astăzi. Hai să descoperim cum două numere pot fi „puse față în față" pentru a ne spune ceva nou.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii corect raportul a două numere folosind notația $\frac{a}{b}$ sau $a:b$, cu condiția $b\ne 0$.
• Vei ști să citești un raport și să-i calculezi valoarea (rezultatul împărțirii).
• Vei ști să recunoști rapoarte egale și să verifici dacă două rapoarte au aceeași valoare.
• Vei ști să dai exemple de rapoarte din viața reală: sport, bani, hărți, rețete, tehnologie.
• Vei ști să folosești raportul pentru a înțelege scara unei hărți și raportul a două mărimi.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă, de fapt, un raport?

Imaginează-ți că la un meci de baschet echipa ta a marcat 48 de puncte, iar echipa adversă 32. Te poți întreba: „de câte ori am marcat noi mai mult?" Ca să afli, împarți cele două numere:

$$48:32=\frac{48}{32}=1,5.$$

Adică echipa ta a marcat de 1,5 ori (de o dată și jumătate) mai multe puncte. Tocmai ai calculat un raport: ai comparat două numere prin împărțire.

Reține ideea de bază: a compara prin împărțire înseamnă a forma un raport. Nu aduni, nu scazi — împarți.

Definiția raportului

Definiție. Fie $a$ și $b$ două numere, cu $b\ne 0$. Se numește raportul numerelor $a$ și $b$ câtul împărțirii lui $a$ la $b$, scris $$\frac{a}{b}\text{sau}a:b.$$ Numerele $a$ și $b$ se numesc termenii raportului.

Două lucruri foarte importante, pe care le subliniez de pe acum:

1. Numitorul nu poate fi zero. Condiția $b\ne 0$ nu e un capriciu — împărțirea la 0 nu are sens în matematică. Nu putem împărți 7 prăjituri „în zero farfurii". De aceea, ori de câte ori scrii un raport $\frac{a}{b}$, trebuie să te asiguri că $b\ne 0$.
2. Ordinea contează. Raportul $\frac{a}{b}$ nu este același lucru cu $\frac{b}{a}$. La meciul de baschet, $\frac{48}{32}=1,5$, dar $\frac{32}{48}\approx 0,67$. Primul spune „de câte ori echipa ta a marcat mai mult", al doilea spune „ce parte din punctele tale a marcat adversarul". Numere diferite, înțelesuri diferite.

Cum se citește un raport

Raportul $\frac{a}{b}$ se citește în mai multe feluri, toate corecte:

• „a supra b" (cel mai des, mai ales scris ca fracție);
• „a pe b";
• „raportul dintre a și b";
• „a la b" (mai ales când scriem $a:b$).

De exemplu, $\frac{5}{3}$ citim „cinci supra trei" sau „raportul dintre cinci și trei", iar $7:4$ citim „șapte la patru" sau „raportul lui șapte la patru".

Raport sau fracție? Atenție la diferență

Te poți întreba: „dar $\frac{a}{b}$ nu e fix o fracție?" Ai dreptate că se scrie la fel și că se calculează la fel (tot o împărțire). Diferența este de rol și de înțeles:

• O fracție (de la clasa a V-a) ne arată o parte dintr-un întreg: $\frac{3}{4}$ dintr-o pizza.
• Un raport ne arată o comparație între două mărimi, care pot fi de orice fel: 48 de puncte față de 32, 200 km față de 4 cm, 12 lei față de 3 lei.

În plus, la fracție termenii sunt de obicei numere naturale, pe când la raport termenii pot fi și numere zecimale: de exemplu, raportul $\frac{1,5}{0,5}$ este perfect valabil. Așadar, orice raport seamănă cu o fracție, dar îl folosim ca să comparăm. E ca diferența dintre un cuțit și o șurubelniță cu lamă: arată asemănător, dar le folosești pentru lucruri diferite.

Valoarea unui raport

Hai să dăm un nume rezultatului.

Definiție. Valoarea raportului $\frac{a}{b}$ (cu $b\ne 0$) este numărul obținut efectuând împărțirea $a:b$.

Câteva exemple, pas cu pas:

• $\frac{20}{5}=20:5=4$. Valoarea raportului este 4.
• $\frac{9}{4}=9:4=2,25$. Valoarea raportului este 2,25.
• $\frac{3}{12}=3:12=0,25$. Valoarea raportului este 0,25 (sau, scris ca fracție ireductibilă, $\frac{1}{4}$).

Observă un lucru frumos: valoarea unui raport ne spune imediat ce relație au cele două numere.

• Dacă valoarea este mai mare ca 1, atunci primul număr (numărătorul) este mai mare decât al doilea. Exemplu: $\frac{20}{5}=4>1$, deci 20 > 5.
• Dacă valoarea este egală cu 1, cele două numere sunt egale. Exemplu: $\frac{7}{7}=1$.
• Dacă valoarea este mai mică decât 1, primul număr este mai mic decât al doilea. Exemplu: $\frac{3}{12}=0,25<1$, deci 3 < 12.

Rapoarte egale

Acum, ideea-vedetă a lecției. Privește aceste două rapoarte:

$$\frac{6}{8}\text{și}\frac{3}{4}.$$

Calculăm valorile: $6:8=0,75$ și $3:4=0,75$. Aceeași valoare! Spunem că aceste rapoarte sunt egale:

$$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$$

Definiție. Două rapoarte sunt egale dacă au aceeași valoare.

De ce sunt egale, deși au cifre diferite? Pentru că le-am obținut unul din altul amplificând sau simplificând, exact ca la fracții (lecția despre fracții ireductibile — vezi Aplicații ale c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Fracții ireductibile). Dacă înmulțești ambii termeni ai unui raport cu același număr nenul, valoarea nu se schimbă:

$$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{6}{8}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20}=\dots$$

La fel, dacă împarți ambii termeni la același divizor comun (simplificare), valoarea rămâne aceeași:

$$\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}.$$

Cum verifici rapid dacă două rapoarte sunt egale? Ai două metode:

Metoda 1 — calculezi valorile. Dacă $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$ au aceeași valoare, sunt egale. Exemplu: $\frac{10}{4}=2,5$ și $\frac{15}{6}=2,5\Rightarrow$ egale.

Metoda 2 — produsul „în cruce". Rapoartele $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$ sunt egale exact atunci când $a\cdot d=b\cdot c$ (produsul termenilor „în diagonală" este egal). Pentru $\frac{10}{4}$ și $\frac{15}{6}$: $10\cdot 6=60$ și $4\cdot 15=60$ — egale! Vei studia temeinic această regulă la lecția despre proporții (vezi Proporția și proprietatea fundamentală); aici doar o folosim ca verificare rapidă.

Forma cea mai simplă a unui raport (raport ireductibil)

Dintre toate rapoartele egale între ele — de pildă $\frac{6}{8}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{15}{20}$, $\frac{30}{40}$ — există unul „cel mai simplu": acela ai cărui termeni nu mai au niciun divizor comun în afară de 1. Îl numim forma ireductibilă a raportului, exact ca la fracțiile ireductibile studiate anterior (vezi Aplicații ale c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Fracții ireductibile).

Cum o obținem? Simplificăm ambii termeni prin cel mai mare divizor comun al lor (cMMDC). De exemplu, pentru $\frac{18}{24}$:

$$\text{cMMDC}(18,24)=6,\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}.$$

Raportul $\frac{3}{4}$ este ireductibil, fiindcă 3 și 4 nu mai au divizori comuni în afară de 1. Forma ireductibilă este un fel de „carte de identitate" a raportului: oricât de mari ar fi numerele dintr-un raport egal cu el, toate se reduc la aceeași pereche simplă. De aceea, când vrem să comparăm două rapoarte sau să verificăm dacă sunt egale, cel mai sigur este să le aducem pe fiecare la forma ireductibilă și să le punem alături — dacă au aceeași formă ireductibilă, sunt egale.

Atenție: simplificarea funcționează doar prin împărțirea ambilor termeni la același număr. Nu ai voie să scazi același număr din cei doi termeni! De exemplu, $\frac{6}{8}$ nu este egal cu $\frac{6-2}{8-2}=\frac{4}{6}$ (verifică: $6:8=0,75$, dar $4:6=0,666\dots$). Doar înmulțirea și împărțirea păstrează valoarea raportului — niciodată adunarea sau scăderea.

Rapoarte folositoare din jurul nostru

Ca să vezi cât de des apar rapoartele, iată câteva pe care le întâlnești fără să-ți dai seama:

• Formatul ecranelor. Aproape toate televizoarele și telefoanele moderne au raportul lățime : înălțime egal cu $16:9$. Acest raport ireductibil descrie forma dreptunghiului ecranului, indiferent dacă e mic sau uriaș.
• Viteza. Când spui „60 km într-o oră", compari distanța cu timpul: este tot un raport, $\frac{60\text{ km}}{1\text{ h}}$.
• Prețul „pe bucată". La magazin, $\frac{12\text{ lei}}{4\text{ caiete}}=3$ lei pe caiet — un raport care te ajută să compari ofertele.
• Rezultatele la teste. „18 din 20 de exerciții rezolvate corect" se scrie $\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$, adică 9 răspunsuri corecte la fiecare 10.

În toate aceste cazuri, raportul transformă două numere „brute" într-o informație care se poate compara ușor. Asta este, de fapt, superputerea raportului.

Raportul a două mărimi de același fel

Foarte des comparăm două mărimi (lungimi, sume de bani, mase, timpi). Aici apare o regulă de aur:

Pentru a forma raportul a două mărimi de același fel, exprimă-le mai întâi în aceeași unitate de măsură, apoi împarte. Raportul a două mărimi de același fel este un număr fără unitate (un număr „pur").

Exemplu. Care este raportul dintre 2 m și 50 cm? Nu împărțim direct 2 la 50! Aducem la aceeași unitate:

$$2\text{ m}=200\text{ cm},\frac{200\text{ cm}}{50\text{ cm}}=\frac{200}{50}=4.$$

Raportul este 4: lungimea de 2 m este de 4 ori mai mare decât cea de 50 cm. Observă cum centimetrii „se simplifică" și rămâne doar numărul 4, fără unitate.

Scara unei hărți — un raport foarte folositor

Pe orice hartă scrie ceva de genul 1 : 100 000. Acela este un raport, numit scara hărții: ne spune că 1 cm pe hartă reprezintă 100 000 cm în realitate. Mai pe înțeles:

$$1:100000\Rightarrow 1\text{ cm pe harta˘}=100000\text{ cm}=1000\text{ m}=1\text{ km ıˆn realitate}.$$

Așadar, scara este raportul dintre distanța de pe hartă și distanța reală, exprimate în aceeași unitate. Dacă pe hartă două orașe sunt la 5 cm distanță, în realitate sunt la:

$$5\text{ cm}\times 100000=500000\text{ cm}=5\text{ km}.$$

Vom aprofunda scara hărții într-o lecție dedicată (vezi Scara unei hărți și alte aplicații ale proporțiilor). Pentru acum, e suficient să reții că scara este un raport și că ne ajută să trecem de la hartă la realitate și invers.

O mică poveste ca să fixezi ideea

Ana și Mihai pregătesc limonadă. Rețeta zice: la fiecare 2 pahare de apă pui 1 pahar de suc de lămâie, adică raportul apă : suc este $2:1$. Mihai vrea să facă mai multă limonadă și pune 6 pahare de apă. Câte pahare de suc trebuie? El păstrează același raport: $\frac{6}{3}=2=\frac{2}{1}$, deci pune 3 pahare de suc. Dacă ar fi pus 6 pahare de apă și doar 1 de suc, raportul ar fi fost $6:1$ — cu totul alt gust, mult mai apos! Morala: a păstra gustul = a păstra raportul, chiar dacă numerele cresc. Exact asta înseamnă rapoarte egale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — scriere și citire

Cerință. Scrie raportul dintre numerele 7 și 5, citește-l și precizează termenii.

Rezolvare. Raportul dintre 7 și 5 (în această ordine) este $$\frac{7}{5}\text{sau}7:5.$$ Se citește „șapte supra cinci" sau „raportul dintre 7 și 5". Termenii raportului sunt 7 (numărătorul) și 5 (numitorul). Deoarece numitorul este $5\ne 0$, raportul are sens.

Exemplul 2 — valoarea unui raport

Cerință. Calculează valoarea rapoartelor: a) $\frac{45}{9}$; b) $\frac{7}{20}$; c) $\frac{2,4}{0,6}$.

Rezolvare. a) $\frac{45}{9}=45:9=5$. Valoarea este 5 (mai mare ca 1, deci 45 > 9). b) $\frac{7}{20}=7:20=0,35$. Valoarea este 0,35 (mai mică decât 1, deci 7 < 20). c) La punctul c) avem termeni zecimali. Un truc util: înmulțim ambii termeni cu 10 ca să scăpăm de virgulă (valoarea nu se schimbă): $$\frac{2,4}{0,6}=\frac{2,4\cdot 10}{0,6\cdot 10}=\frac{24}{6}=4.$$ Valoarea este 4.

Exemplul 3 — verifică dacă rapoartele sunt egale

Cerință. Sunt egale rapoartele $\frac{12}{18}$ și $\frac{10}{15}$?

Rezolvare. Folosim metoda produsului în cruce: $12\cdot 15=180$ și $18\cdot 10=180$. Produsele sunt egale, deci $$\frac{12}{18}=\frac{10}{15}.$$ Verificare prin valoare: $12:18=0,666\dots$ și $10:15=0,666\dots$ — aceeași valoare. Putem și simplifica: $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$ și $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$. Da, rapoartele sunt egale.

Exemplul 4 — raportul a două mărimi (atenție la unități)

Cerință. Află raportul dintre o sumă de 3 lei și o sumă de 75 de bani.

Rezolvare. Mărimile trebuie aduse la aceeași unitate. Știm că $1\text{ leu}=100\text{ bani}$, deci $3\text{ lei}=300\text{ bani}$. Acum: $$\frac{300\text{ bani}}{75\text{ bani}}=\frac{300}{75}=4.$$ Raportul este 4: 3 lei reprezintă de 4 ori mai mult decât 75 de bani. Dacă am fi împărțit greșit „3 la 75", am fi obținut 0,04 — un rezultat fără sens pentru întrebare, tocmai pentru că nu am uniformizat unitățile.

Exemplul 5 — completează ca să obții rapoarte egale

Cerință. Află numărul necunoscut $x$ astfel încât $\frac{x}{12}=\frac{5}{4}$.

Rezolvare. Două rapoarte sunt egale când produsele în cruce sunt egale: $$x\cdot 4=12\cdot 5\Rightarrow 4x=60\Rightarrow x=60:4=15.$$ Deci $x=15$, iar rapoartele egale sunt $\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$ (ambele au valoarea 1,25). Vom numi această procedură „aflarea unui termen necunoscut" și o vom relua la proporții (vezi Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție).

Exemplul 6 — scara unei hărți

Cerință. Pe o hartă cu scara $1:200000$, distanța dintre două localități este de 8 cm. Care este distanța reală, în kilometri?

Rezolvare. Scara $1:200000$ înseamnă că 1 cm pe hartă = 200 000 cm în realitate. Pentru 8 cm: $$8\times 200000=1600000\text{ cm}.$$ Transformăm în kilometri: $1600000\text{ cm}=16000\text{ m}=16\text{ km}$ (pentru că $1\text{ km}=100000\text{ cm}$, iar $1600000:100000=16$). Distanța reală este de 16 km.

Exemplul 7 — adu raportul la forma ireductibilă

Cerință. Simplifică raportul $\frac{42}{56}$ până la forma ireductibilă.

Rezolvare. Căutăm cel mai mare divizor comun al termenilor. Avem $42=2\cdot 3\cdot 7$ și $56=2^3\cdot 7$, deci $\text{cMMDC}(42,56)=2\cdot 7=14$. Împărțim ambii termeni la 14: $$\frac{42}{56}=\frac{42:14}{56:14}=\frac{3}{4}.$$ Forma ireductibilă este $\frac{3}{4}$ (3 și 4 nu mai au divizori comuni). Valoarea raportului este $3:4=0,75$.

Exemplul 8 — formatul unui ecran

Cerință. Un televizor are lățimea de 96 cm și înălțimea de 54 cm. Află raportul lățime : înălțime și adu-l la forma ireductibilă.

Rezolvare. Raportul este $\frac{96}{54}$. Calculăm $\text{cMMDC}(96,54)=6$ și simplificăm: $$\frac{96}{54}=\frac{96:6}{54:6}=\frac{16}{9}.$$ Ecranul are deci formatul 16 : 9, exact raportul standard al televizoarelor moderne. Valoarea este $16:9\approx 1,78$, adică lățimea este de aproape 1,78 ori mai mare decât înălțimea.

Exemplul 9 — comparație „pe unitate" (cine consumă mai puțin)

Cerință. O mașină consumă 33 de litri de benzină pentru 500 km, iar alta 24 de litri pentru 400 km. Care mașină este mai economică (consumă mai puțin pe kilometru)?

Rezolvare. Pentru fiecare mașină formăm raportul litri : kilometri, adică valoarea consumului pe un kilometru: $$\text{prima: }\frac{33}{500}=0,066\text{ l/km},\text{a doua: }\frac{24}{400}=0,06\text{ l/km}.$$ Comparăm valorile: $0,06<0,066$, deci a doua mașină consumă mai puțin pe kilometru — este mai economică. Observă cum raportul ne-a permis să comparăm corect, deși numerele de litri și de kilometri erau diferite: nu ne uităm la cine pune mai mulți litri în total, ci la consumul raportat la distanță.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La final ai cheia completă cu explicații. Nu te uita la răspunsuri decât după ce încerci singur!

1. Scrie sub formă de raport (fracție) și citește-l: a) raportul dintre 9 și 4; b) raportul dintre 11 și 6.

2. Precizează termenii raportului $\frac{13}{8}$ și spune care este numărătorul și care numitorul.

3. Calculează valoarea rapoartelor: a) $\frac{36}{6}$; b) $\frac{15}{60}$; c) $\frac{49}{7}$.

4. Pentru fiecare raport, spune dacă valoarea este mai mare, egală sau mai mică decât 1: a) $\frac{8}{3}$; b) $\frac{5}{5}$; c) $\frac{4}{9}$.

5. Adevărat sau fals? a) $\frac{a}{b}$ are sens și când $b=0$. b) Raportul $\frac{a}{b}$ este același cu raportul $\frac{b}{a}$. c) Două rapoarte cu aceeași valoare se numesc rapoarte egale.

6. Calculează valoarea raportului cu termeni zecimali: a) $\frac{3,5}{0,5}$; b) $\frac{1,2}{0,3}$.

7. Verifică dacă rapoartele sunt egale (folosește produsul în cruce): a) $\frac{8}{12}$ și $\frac{6}{9}$; b) $\frac{7}{4}$ și $\frac{20}{12}$.

8. Completează numărul lipsă ca rapoartele să fie egale: a) $\frac{3}{5}=\frac{\square }{20}$; b) $\frac{\square }{8}=\frac{9}{6}$.

9. Scrie încă două rapoarte egale cu $\frac{2}{3}$ (unul prin amplificare, unul prin altă amplificare).

10. Află raportul dintre cele două mărimi (atenție la unități): a) 4 m și 25 cm; b) 2 ore și 30 de minute; c) 5 kg și 250 g.

11. Într-o clasă sunt 18 fete și 12 băieți. a) Care este raportul dintre numărul fetelor și numărul băieților? b) Simplifică acest raport.

12. Pe o hartă cu scara $1:50000$, două puncte sunt la 6 cm distanță. Care este distanța reală, în metri și în kilometri?

13. Potrivește fiecare raport din coloana stângă cu valoarea sa din coloana dreaptă:

• (A) $\frac{14}{4}$ • (B) $\frac{9}{36}$ • (C) $\frac{40}{8}$
• (1) $0,25$ • (2) $5$ • (3) $3,5$

14. Află $x$ din egalitatea de rapoarte $\frac{x}{15}=\frac{4}{3}$.

15. Un suc se prepară amestecând apă și concentrat în raportul $5:1$. Dacă pui 35 de pahare de apă, câte pahare de concentrat trebuie să folosești ca să păstrezi același raport?

16. Două telefoane: primul costă 1 200 lei și are 6 GB memorie; al doilea costă 1 800 lei și are 9 GB. a) Calculează pentru fiecare raportul preț : memorie (lei pe GB). b) Sunt rapoartele egale? Ce înseamnă asta?

17. Desenează un dreptunghi împărțit în 12 pătrățele egale și colorează atâtea pătrățele cât să arăți raportul $\frac{3}{4}$ din întreg. Câte pătrățele colorezi?

18. Provocare. La un test, Bianca a rezolvat corect 21 din 28 de exerciții, iar Radu 15 din 20. a) Scrie raportul „exerciții corecte : total" pentru fiecare. b) Cine a avut rezultatul mai bun, adică raportul mai mare? Justifică prin valoarea raportului.

19. Adu fiecare raport la forma ireductibilă: a) $\frac{24}{36}$; b) $\frac{30}{45}$; c) $\frac{50}{100}$.

20. Un steag are lățimea de 40 cm și înălțimea de 25 cm. Scrie raportul lățime : înălțime și adu-l la forma ireductibilă. Care este valoarea lui?

21. O imprimantă tipărește 120 de pagini în 4 minute, iar alta 200 de pagini în 8 minute. a) Scrie pentru fiecare raportul pagini : minute. b) Care imprimantă este mai rapidă?

22. Un magazin vinde 6 caiete cu 18 lei, iar altul vinde 10 caiete cu 25 lei. a) Calculează pentru fiecare raportul preț : număr de caiete (lei pe caiet). b) Sunt rapoartele egale? În ce magazin este caietul mai ieftin?

23. Provocare. Raportul a două numere este $\frac{3}{5}$, iar suma lor este 40. Află cele două numere. (Indiciu: gândește-te la 3 „părți" și 5 „părți".)

Răspunsuri și explicații

1. a) $\frac{9}{4}$ — „nouă supra patru"; b) $\frac{11}{6}$ — „unsprezece supra șase". Ordinea din enunț dă numărătorul și numitorul.

2. Termenii sunt 13 și 8. Numărătorul este 13, numitorul este 8 ($8\ne 0$, deci raportul are sens).

3. a) $36:6=6$; b) $15:60=0,25$; c) $49:7=7$.

4. a) $\frac{8}{3}\approx 2,67>1$ (numărătorul mai mare); b) $\frac{5}{5}=1$ (egale); c) $\frac{4}{9}\approx 0,44<1$ (numărătorul mai mic).

5. a) Fals — numitorul nu poate fi 0. b) Fals — ordinea contează, $\frac{a}{b}\ne \frac{b}{a}$ în general. c) Adevărat — exact definiția rapoartelor egale.

6. a) $\frac{3,5}{0,5}=\frac{35}{5}=7$ (am înmulțit ambii termeni cu 10); b) $\frac{1,2}{0,3}=\frac{12}{3}=4$.

7. a) $8\cdot 9=72$ și $12\cdot 6=72$ → egale. b) $7\cdot 12=84$ și $4\cdot 20=80$; $84\ne 80$ → nu sunt egale.

8. a) $\frac{3}{5}=\frac{\square }{20}$: amplificăm cu 4 ($20=5\cdot 4$), deci $\square =3\cdot 4=12$. b) $\frac{\square }{8}=\frac{9}{6}$: produs în cruce, $\square \cdot 6=8\cdot 9=72$, deci $\square =72:6=12$.

9. Exemple corecte: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ (amplificare cu 2) și $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$ (amplificare cu 5). Orice amplificare cu un număr nenul este acceptată.

10. a) $4\text{ m}=400\text{ cm}$; $\frac{400}{25}=16$. b) $2\text{ ore}=120\text{ min}$; $\frac{120}{30}=4$. c) $5\text{ kg}=5000\text{ g}$; $\frac{5000}{250}=20$.

11. a) $\frac{18}{12}$. b) Simplificăm cu 6: $\frac{18}{12}=\frac{3}{2}=1,5$ (de 1,5 ori mai multe fete decât băieți).

12. $6\text{ cm}\times 50000=300000\text{ cm}$. Transformăm: $300000\text{ cm}=3000\text{ m}=3\text{ km}$.

13. (A) $\frac{14}{4}=3,5\to$ (3); (B) $\frac{9}{36}=0,25\to$ (1); (C) $\frac{40}{8}=5\to$ (2). Deci A-3, B-1, C-2.

14. $x\cdot 3=15\cdot 4=60$, deci $x=60:3=20$. Verificare: $\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$ (ambele = $1,333\dots$).

15. Raportul apă : concentrat este $5:1$, adică pentru fiecare 5 pahare de apă, 1 de concentrat. La 35 de pahare de apă: $35:5=7$ pahare de concentrat. Verificare: $\frac{35}{7}=5=\frac{5}{1}$.

16. a) Primul: $\frac{1200}{6}=200$ lei/GB; al doilea: $\frac{1800}{9}=200$ lei/GB. b) Da, sunt egale (ambele 200 lei/GB). Înseamnă că cele două telefoane costă la fel „pe gigabaitul de memorie" — același preț raportat la memorie.

17. Colorezi $\frac{3}{4}$ din 12 pătrățele, adică $12:4\cdot 3=9$ pătrățele colorate (3 rămân necolorate).

dreptunghi 3×4 cu 12 pătrățele, dintre care 9 colorate și 3 albe, cu eticheta „9 din 12 = 3/4".

18. a) Bianca: $\frac{21}{28}$; Radu: $\frac{15}{20}$. b) $\frac{21}{28}=0,75$ și $\frac{15}{20}=0,75$ — rapoartele sunt egale! Au avut același rezultat (amândoi 75% corect), deci niciunul nu a fost mai bun decât celălalt.

19. a) $\text{cMMDC}(24,36)=12$, deci $\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$. b) $\text{cMMDC}(30,45)=15$, deci $\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$. c) $\text{cMMDC}(50,100)=50$, deci $\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$.

20. Raportul este $\frac{40}{25}$; simplificăm cu 5: $\frac{40}{25}=\frac{8}{5}$. Valoarea este $8:5=1,6$ (lățimea este de 1,6 ori mai mare decât înălțimea).

21. a) Prima: $\frac{120}{4}=30$ pagini/minut; a doua: $\frac{200}{8}=25$ pagini/minut. b) Prima imprimantă este mai rapidă, fiindcă $30>25$ pagini pe minut.

22. a) Primul: $\frac{18}{6}=3$ lei/caiet; al doilea: $\frac{25}{10}=2,5$ lei/caiet. b) Nu sunt egale ($3\ne 2,5$); caietul este mai ieftin în al doilea magazin (2,5 lei față de 3 lei pe caiet).

23. Cele două numere au $3$ părți, respectiv $5$ părți, deci în total $3+5=8$ părți egale. Cum suma este 40, o parte valorează $40:8=5$. Atunci numerele sunt $3\cdot 5=15$ și $5\cdot 5=25$. Verificare: $15+25=40$ și $\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$. ✓

De reținut

• Raportul a două numere $a$ și $b$ (cu $b\ne 0$) este câtul $\frac{a}{b}=a:b$; $a$ și $b$ sunt termenii raportului.
• Numitorul nu poate fi 0, iar ordinea termenilor contează: $\frac{a}{b}\ne \frac{b}{a}$ în general.
• Valoarea raportului este rezultatul împărțirii; dacă e $>1$ numărătorul e mai mare, dacă e $=1$ sunt egale, dacă e $<1$ numărătorul e mai mic.
• Două rapoarte sunt egale când au aceeași valoare; le obții prin amplificare/simplificare, iar verificarea rapidă e produsul „în cruce" ($a\cdot d=b\cdot c$).
• Forma ireductibilă a unui raport se obține împărțind ambii termeni la cMMDC-ul lor; este cea mai simplă scriere și ajută la recunoașterea rapoartelor egale. Atenție: simplifici prin împărțire, niciodată prin scădere.
• La mărimi de același fel, transformă întâi în aceeași unitate; raportul iese un număr fără unitate. Scara hărții este și ea un raport.

Greșeli frecvente

• Uiți condiția $b\ne 0$. Un raport cu numitorul 0 nu există. Verifică mereu numitorul înainte de a calcula.
• Inversezi ordinea termenilor. „Raportul dintre $a$ și $b$" se scrie $\frac{a}{b}$, nu $\frac{b}{a}$. Citește cu atenție ce e „primul" în enunț.
• Împarți mărimi cu unități diferite. 3 lei și 75 de bani nu se împart direct! Adu-le întâi la aceeași unitate (toate în bani sau toate în lei), apoi formează raportul.
• Confunzi „cu cât mai mult" (scădere) cu „de câte ori mai mult" (raport). „Cu cât" cere o scădere; „de câte ori" cere o împărțire, adică un raport. Citește verbul din întrebare.

Joc acasă

1) Detectivul de rapoarte din bucătărie. Ia o rețetă simplă (de exemplu clătite: 2 ouă la 250 ml lapte). Scrie raportul ouă : lapte. Apoi „dublează rețeta" pentru de două ori mai multe clătite și verifică, prin produsul în cruce, că noul raport este egal cu cel inițial. Notează-ți concluzia: gustul rămâne același dacă raportul rămâne același.

2) Harta camerei tale. Măsoară lungimea camerei cu metrul (de exemplu 4 m). Desenează camera pe o foaie astfel încât 1 cm pe desen să reprezinte 50 cm reali (scara $1:50$). Calculează câți centimetri va avea desenul ($400\text{ cm}:50=8\text{ cm}$) și verifică pe foaie. Ai folosit scara — adică un raport!

3) Turneul de rapoarte. Cu un coleg sau un părinte, fiecare scrie pe un bilețel un raport (ex.: $\frac{15}{6}$). Schimbați bilețelele și fiecare calculează valoarea raportului primit. Câștigă cine răspunde corect mai repede. După 5 runde, faceți o pereche de rapoarte egale și verificați împreună cu produsul în cruce.

Pentru părinți și învățători

Această lecție pune temelia pentru tot capitolul de rapoarte, proporții și procente, deci merită fixată bine. Iată cum o puteți sprijini:

• Porniți de la concret. Folosiți comparații reale: scoruri sportive, prețuri, rețete, distanțe pe hartă. Întrebarea-cheie care „cheamă" un raport este „de câte ori mai mult/mai mare?" — diferită de „cu cât mai mult?", care cere o scădere. Subliniați mereu această distincție.
• Întrebări utile de pus elevului: „Care e numărătorul și care numitorul aici?"; „Ce condiție trebuie să respecte numitorul?"; „Dacă schimb ordinea, obțin același raport?"; „Cum verifici dacă două rapoarte sunt egale?"; „Aceste două mărimi sunt în aceeași unitate?".
• Verificați înțelegerea cerând un exemplu inventat de el (un raport din viața lui) și valoarea acestuia. Dacă poate explica de ce $\frac{6}{8}$ și $\frac{3}{4}$ sunt egale (prin simplificare sau produs în cruce), a înțeles esența.
• Capcana clasică este împărțirea mărimilor cu unități diferite. Insistați pe pasul „aducem la aceeași unitate" înainte de a împărți. Legați lecția de fracțiile ireductibile studiate anterior (vezi Aplicații ale c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Fracții ireductibile), pentru că simplificarea rapoartelor folosește exact aceleași tehnici.
• Privire înainte: raportul este pasul 1; urmează procentul ca raport (vezi Procentul ca raport. Raportul procentual) și proporția (vezi Proporția și proprietatea fundamentală). Dacă raportul e solid, restul capitolului devine mult mai ușor.

Întrebări frecvente

Ce este raportul a două numere la clasa a 6-a? Raportul a două numere $a$ și $b$ (cu $b\ne 0$) este câtul împărțirii lor, scris $\frac{a}{b}$ sau $a:b$. El compară cele două numere, arătând de câte ori unul este mai mare sau mai mic decât celălalt.

Cum se scrie un raport în clasa a 6-a? Se scrie ca o fracție, $\frac{a}{b}$, sau cu două puncte, $a:b$, unde $a$ este primul termen (numărătorul), iar $b$ al doilea (numitorul). Numitorul trebuie să fie diferit de zero, iar ordinea termenilor respectă ordinea din enunț.

Care este valoarea unui raport? Valoarea unui raport este numărul obținut efectuând împărțirea $a:b$. De exemplu, valoarea raportului $\frac{9}{4}$ este $9:4=2,25$.

Când sunt două rapoarte egale? Două rapoarte sunt egale atunci când au aceeași valoare. Le poți obține unul din altul prin amplificare sau simplificare, iar egalitatea o verifici rapid cu produsul „în cruce": $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ dacă și numai dacă $a\cdot d=b\cdot c$.

Care e diferența dintre un raport și o fracție? Se scriu și se calculează la fel, dar le folosim diferit: o fracție arată o parte dintr-un întreg, iar un raport compară două mărimi (care pot avea și valori zecimale). Practic, orice raport arată ca o fracție, însă rolul lui este de comparație.

De ce numitorul unui raport nu poate fi zero? Pentru că împărțirea la zero nu are sens în matematică — nu poți împărți ceva „în zero părți". De aceea, în orice raport $\frac{a}{b}$ se cere obligatoriu $b\ne 0$.

Ce înseamnă scara unei hărți și de ce este un raport? Scara, de exemplu $1:100000$, este raportul dintre distanța de pe hartă și distanța reală, exprimate în aceeași unitate. Ea ne spune că 1 cm pe hartă reprezintă 100 000 cm (adică 1 km) în realitate.

Cum aduc un raport la forma cea mai simplă (ireductibilă)? Împarți ambii termeni la cel mai mare divizor comun al lor (cMMDC). De exemplu, $\frac{18}{24}$ se simplifică prin 6 și devine $\frac{3}{4}$, formă în care termenii nu mai au divizori comuni în afară de 1. Important: simplificarea se face doar prin împărțire, nu prin scădere.

Cum compar două mărimi de același fel folosind un raport? Le aduci mai întâi la aceeași unitate de măsură, apoi le împarți. Rezultatul este un număr fără unitate; de exemplu, raportul dintre 2 m și 50 cm este $\frac{200}{50}=4$.