Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție

Ai învățat deja ce este o proporție și ai descoperit „secretul" ei cel mai puternic: proprietatea fundamentală. Acum facem un pas mai departe, un pas care îți va fi de folos toată viața de elev: ce te faci când dintr-o proporție îți lipsește un număr? Când în locul unui termen apare un semn de întrebare, un pătrățel gol sau litera $x$? Vestea bună este că nu trebuie să ghicești. Există o metodă sigură, scurtă și elegantă care îți spune exact cât este numărul necunoscut. În această lecție vei învăța aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție, pas cu pas, până când îți va ieși la fel de natural ca o adunare simplă.

Ce vei învăța

• Vei ști să afli un extrem necunoscut dintr-o proporție folosind proprietatea fundamentală.
• Vei ști să afli un mez necunoscut dintr-o proporție.
• Vei ști să rezolvi ecuații de tip proporție, în care necunoscuta este notată cu $x$.
• Vei ști să verifici soluția găsită, ca să fii sigur că răspunsul tău este corect.
• Vei ști să recunoști și să eviți greșelile tipice când lucrezi cu proporții.

Hai să descoperim împreună

1. Ne reamintim limbajul proporțiilor

O proporție este egalitatea a două rapoarte. O scriem așa:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

și o citim „$a$ pe $b$ este egal cu $c$ pe $d$". Cele patru numere $a$, $b$, $c$, $d$ se numesc termenii proporției. Ei nu sunt toți la fel de „importanți" în calcule, de aceea au nume aparte:

• $a$ și $d$ se numesc extremii proporției (sunt „la capete", la margini).
• $b$ și $c$ se numesc mezii proporției (sunt „la mijloc").

Un truc simplu ca să nu îi mai confunzi niciodată: scrie proporția pe un singur rând, ca o egalitate de rapoarte $a:b=c:d$. Atunci primul și ultimul număr sunt extremii, iar cele două din mijloc sunt mezii. La fel ca la un sandviș: feliile de pâine de la capete sunt extremii, umplutura din mijloc sunt mezii.

2. Inima lecției: proprietatea fundamentală

Tot ce facem în această lecție se sprijină pe o singură regulă, pe care ai întâlnit-o în lecția anterioară, Proporția și proprietatea fundamentală:

Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

Cu litere:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟹a\cdot d=b\cdot c$$

Cu alte cuvinte, dacă înmulțești numărul de sus al primului raport cu numărul de jos al celui de-al doilea raport, obții același rezultat ca atunci când înmulțești numărul de jos al primului cu numărul de sus al celui de-al doilea. Această înmulțire „în cruce" este cheia care deschide orice proporție.

De ce ne ajută asta atât de mult? Pentru că, atunci când unul dintre cele patru numere lipsește, proprietatea fundamentală transformă proporția într-o înmulțire și o împărțire pe care le știi deja foarte bine. Practic, scoatem necunoscuta dintr-un „etaj" al fracției și o aducem la lumină.

3. Cum aflăm un EXTREM necunoscut

Să luăm un exemplu blând. Avem proporția:

$$\frac{x}{6}=\frac{10}{15}$$

Aici necunoscuta $x$ stă în stânga sus. Să verificăm ce fel de termen este: scriem proporția pe un rând, $x:6=10:15$. Primul și ultimul număr sunt $x$ și $15$ — aceștia sunt extremii. Deci $x$ este un extrem.

Pasul 1 — Aplicăm proprietatea fundamentală (înmulțirea în cruce):

$$x\cdot 15=6\cdot 10$$

Pasul 2 — Calculăm produsul cunoscut (partea fără necunoscută):

$$x\cdot 15=60$$

Pasul 3 — Aflăm necunoscuta. Avem o înmulțire $x\cdot 15=60$. Ca să găsim un factor dintr-o înmulțire, împărțim produsul la celălalt factor:

$$x=\frac{60}{15}=4$$

Gata! Termenul necunoscut este $x=4$.

Observă tiparul care se repetă mereu la aflarea unui extrem: extremul necunoscut = produsul mezilor împărțit la extremul cunoscut. Aici: $x=\frac{6\cdot 10}{15}=\frac{60}{15}=4$. Reține ideea, dar nu o memora mecanic — dacă aplici de fiecare dată proprietatea fundamentală pas cu pas, formula iese singură.

4. Cum aflăm un MEZ necunoscut

Acum mutăm necunoscuta la mijloc. Avem proporția:

$$\frac{8}{x}=\frac{12}{9}$$

Scriem pe un rând: $8:x=12:9$. Cele două numere din mijloc sunt $x$ și $12$ — aceștia sunt mezii. Deci de data aceasta $x$ este un mez.

Pasul 1 — Proprietatea fundamentală. Produsul extremilor = produsul mezilor:

$$8\cdot 9=x\cdot 12$$

Pasul 2 — Calculăm produsul cunoscut:

$$72=x\cdot 12$$

Pasul 3 — Aflăm necunoscuta împărțind la factorul cunoscut:

$$x=\frac{72}{12}=6$$

Deci $x=6$.

Și aici avem un tipar geamăn: mezul necunoscut = produsul extremilor împărțit la mezul cunoscut. Aici: $x=\frac{8\cdot 9}{12}=\frac{72}{12}=6$.

5. Un singur algoritm pentru toate cazurile

Ești poate îngrijorat: „Trebuie să țin minte două formule diferite, una pentru extrem și una pentru mez?" Vestea cea mai bună a lecției: NU. Există un singur drum care funcționează indiferent unde se află necunoscuta. Iată-l, în patru pași:

1. Înmulțește în cruce (aplică proprietatea fundamentală): scrie egalitatea „produsul extremilor = produsul mezilor". Acum ai o ecuație simplă, fără fracții.
2. Strânge calculele cunoscute: înmulțește cele două numere care nu conțin necunoscuta și obține un singur număr.
3. Izolează necunoscuta: necunoscuta este înmulțită cu un număr; ca să o afli, împarți rezultatul la acel număr.
4. Verifică soluția: pune valoarea găsită înapoi în proporție și controlează că produsul extremilor chiar este egal cu produsul mezilor.

Dacă urmezi acești patru pași, nu trebuie să te mai întrebi „este extrem sau mez?". Înmulțirea în cruce le rezolvă pe amândouă la fel. De aceea, multe probleme de tip „aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție" se mai numesc și ecuații de tip proporție: pur și simplu rezolvi o ecuație în care necunoscuta a fost ascunsă într-o fracție.

6. De ce funcționează? (intuiția din spate)

Poate te întrebi de unde apare împărțirea de la pasul 3. Gândește-te la egalitatea $x\cdot 15=60$. Ea spune: „un număr necunoscut, înmulțit cu 15, dă 60". Înmulțirea și împărțirea sunt operații inverse, adică una o „desface" pe cealaltă. Dacă $x$ a fost înmulțit cu 15, atunci ca să-l aducem singur trebuie să facem operația opusă: să împărțim la 15. Așa $15$ „dispare" din stânga și rămâne doar $x$:

$$x=\frac{60}{15}=4.$$

E exact ca atunci când deschizi un lacăt: ai folosit cheia ca să-l închizi (înmulțirea), folosești aceeași cheie întoarsă invers ca să-l deschizi (împărțirea).

7. Verificarea — pasul pe care campionii nu îl sar niciodată

Mulți elevi se opresc imediat ce au găsit un număr. Dar un matematician adevărat își verifică răspunsul. Verificarea este simplă și te apără de greșeli de calcul.

Reluăm prima proporție rezolvată, $\frac{x}{6}=\frac{10}{15}$, unde am găsit $x=4$. Punem $4$ în locul lui $x$:

$$\frac{4}{6}=\frac{10}{15}?$$

Folosim proprietatea fundamentală pe noua egalitate: produsul extremilor este $4\cdot 15=60$, iar produsul mezilor este $6\cdot 10=60$. Cele două produse sunt egale ($60=60$), deci egalitatea este adevărată și soluția este corectă. Bonus: $\frac{4}{6}$ se simplifică prin $2$ și devine $\frac{2}{3}$, iar $\frac{10}{15}$ se simplifică prin $5$ și devine tot $\frac{2}{3}$ — încă o confirmare frumoasă.

Reține regula de aur: dacă produsul extremilor iese egal cu produsul mezilor după ce ai pus valoarea găsită, soluția este corectă. Dacă nu sunt egale, undeva s-a strecurat o greșeală și o cauți liniștit.

8. Atenție la fracțiile care se pot simplifica

Uneori, după ce înmulțești în cruce, numerele ies mari și împărțirea pare grea. Două trucuri te ajută:

• Simplifică rapoartele înainte de înmulțire, dacă poți. De exemplu, în $\frac{x}{20}=\frac{3}{4}$, raportul $\frac{3}{4}$ este deja ireductibil, dar poți observa că $20=4\cdot 5$, deci probabil $x=3\cdot 5=15$. Totuși, metoda sigură rămâne înmulțirea în cruce: $x\cdot 4=20\cdot 3=60$, deci $x=15$.
• Nu te speria de numere mari: dacă produsul este, de exemplu, $144$ și împarți la $12$, calculează liniștit $144:12=12$. Important este să nu schimbi operația.

9. O mini-poveste ca să ții minte

Imaginează-ți o balanță aflată în echilibru perfect. Pe talerul din stânga ai pus „extremii", pe cel din dreapta ai pus „mezii". O proporție corectă înseamnă o balanță echilibrată: produsul extremilor cântărește exact cât produsul mezilor. Când unul dintre numere lipsește, este ca și cum ai pierdut o greutate de pe balanță. Tu trebuie să afli cât cântărea ca echilibrul să se păstreze. Înmulțirea în cruce îți spune greutatea totală de pe talerul plin, iar împărțirea îți spune cât trebuie să pui în locul gol. La final, verifici că balanța s-a oprit din nou perfect orizontală.

Acum că ai metoda completă, hai să o vedem la lucru pe mai multe tipuri de exemple.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Extrem necunoscut, numere mici

Află $x$ din proporția $\frac{x}{7}=\frac{20}{28}$.

Identificăm: pe un rând, $x:7=20:28$. Capetele sunt $x$ și $28$, deci $x$ este extrem.

Proprietatea fundamentală: $x\cdot 28=7\cdot 20$.

Calcul: $x\cdot 28=140$.

Izolăm $x$: $x=\frac{140}{28}=5$.

Verificare: $5\cdot 28=140$ și $7\cdot 20=140$. Egale, deci $\boxed{x=5}$ este corect.

Exemplul 2 — Mez necunoscut

Află $y$ din proporția $\frac{18}{y}=\frac{6}{5}$.

Identificăm: $18:y=6:5$. La mijloc sunt $y$ și $6$, deci $y$ este mez.

Proprietatea fundamentală: $18\cdot 5=y\cdot 6$.

Calcul: $90=y\cdot 6$.

Izolăm $y$: $y=\frac{90}{6}=15$.

Verificare: produsul extremilor $18\cdot 5=90$; produsul mezilor $15\cdot 6=90$. Egale, deci $\boxed{y=15}$.

Exemplul 3 — Necunoscuta în al doilea raport

Află $a$ din proporția $\frac{9}{12}=\frac{a}{8}$.

Identificăm: $9:12=a:8$. Capetele sunt $9$ și $8$ (extremii), mijlocul este $12$ și $a$ (mezii). Deci $a$ este mez.

Proprietatea fundamentală: $9\cdot 8=12\cdot a$.

Calcul: $72=12\cdot a$.

Izolăm $a$: $a=\frac{72}{12}=6$.

Verificare: $9\cdot 8=72$ și $12\cdot 6=72$. Egale, deci $\boxed{a=6}$.

Exemplul 4 — Numere mai mari, fără frică

Află $x$ din proporția $\frac{x}{25}=\frac{36}{15}$.

Identificăm: $x:25=36:15$. Capetele sunt $x$ și $15$, deci $x$ este extrem.

Proprietatea fundamentală: $x\cdot 15=25\cdot 36$.

Calcul: $x\cdot 15=900$.

Izolăm $x$: $x=\frac{900}{15}=60$.

Verificare: $60\cdot 15=900$ și $25\cdot 36=900$. Egale, deci $\boxed{x=60}$.

Observă cât de util a fost să nu ne speriem de $900$: împărțirea $900:15$ s-a făcut curat și a dat $60$.

Exemplul 5 — Soluție care nu este număr întreg

Află $m$ din proporția $\frac{m}{4}=\frac{7}{10}$.

Identificăm: $m$ este extrem ($m:4=7:10$, capetele $m$ și $10$).

Proprietatea fundamentală: $m\cdot 10=4\cdot 7$.

Calcul: $m\cdot 10=28$.

Izolăm $m$: $m=\frac{28}{10}=\frac{14}{5}=2,8$.

Verificare: $2,8\cdot 10=28$ și $4\cdot 7=28$. Egale, deci $\boxed{m=2,8}$.

Aici am învățat ceva important: nu orice termen necunoscut iese număr întreg. Răspunsul poate fi o fracție sau un număr cu virgulă. Asta e perfect corect — important e ca verificarea să iasă.

Exemplul 6 — O mică problemă din viață

La un magazin, $3$ caiete costă $12$ lei. Câți lei costă $5$ caiete de același fel?

Traducem în proporție. Numărul de caiete și prețul sunt mărimi care „cresc împreună": mai multe caiete, preț mai mare. Notăm cu $x$ prețul celor $5$ caiete și scriem:

$$\frac{3\text{ caiete}}{12\text{ lei}}=\frac{5\text{ caiete}}{x\text{ lei}}$$

(păstrând caietele sus și prețul jos, în ambele rapoarte).

Proprietatea fundamentală: $3\cdot x=12\cdot 5$.

Calcul: $3\cdot x=60$.

Izolăm $x$: $x=\frac{60}{3}=20$.

Verificare: $3\cdot 20=60$ și $12\cdot 5=60$. Egale. Deci $5$ caiete costă $\boxed{20\text{ lei}}$.

Vezi? Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție nu e doar un exercițiu sec — este unealta cu care rezolvi probleme practice. Vei folosi exact această idee în lecția Regula de trei simplă.

Exemplul 7 — Necunoscuta ascunsă într-o sumă

Uneori termenul necunoscut nu apare singur, ci „îmbrăcat" într-o expresie, de exemplu $x+3$. Nu te speria: tratezi toată expresia ca pe un singur bloc și aplici exact aceeași metodă. Află $x$ din proporția:

$$\frac{x+3}{4}=\frac{15}{6}$$

Identificăm blocul necunoscut. Aici „termenul" din stânga sus este întreaga expresie $x+3$. O privim ca pe un singur număr deocamdată.

Proprietatea fundamentală: $(x+3)\cdot 6=4\cdot 15$.

Calcul: $(x+3)\cdot 6=60$.

Aflăm blocul: blocul $x+3$ este înmulțit cu $6$, deci îl aflăm împărțind: $x+3=\frac{60}{6}=10$.

Desfacem blocul: dacă $x+3=10$, atunci $x=10-3=7$.

Verificare: punem $x=7$, adică $x+3=10$, în proporție: $\frac{10}{4}=\frac{15}{6}$? Produsul extremilor $10\cdot 6=60$, produsul mezilor $4\cdot 15=60$. Egale, deci $\boxed{x=7}$.

Ține minte ordinea: întâi afli blocul (prin înmulțire în cruce și împărțire), abia apoi desfaci suma sau diferența ca să rămâi cu $x$ singur. E ca atunci când deschizi un cadou: mai întâi scoți cutia din ambalaj, apoi deschizi cutia.

Exemplul 8 — Scara unei hărți

Pe o hartă cu scara $1:200000$, o șosea măsurată cu rigla are $4$ cm. Câți kilometri are șoseaua în realitate?

Înțelegem scara. Scara $1:200000$ înseamnă că $1$ cm pe hartă reprezintă $200000$ cm în realitate. Scriem proporția dintre lungimea de pe hartă și lungimea reală, notând cu $x$ lungimea reală în centimetri:

$$\frac{1}{200000}=\frac{4}{x}$$

Proprietatea fundamentală: $1\cdot x=200000\cdot 4$.

Calcul: $x=800000$ cm.

Transformăm în unități potrivite: $800000$ cm $=8000$ m $=8$ km.

Răspuns: șoseaua are $\boxed{8\text{ km}}$ în realitate. Vezi cum o singură proporție leagă harta de lumea reală — același tipar, doar cu numere mai mari.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu cu necunoscută, aplică proprietatea fundamentală și apoi verifică soluția.

1. Spune ce fel de termen este necunoscuta (extrem sau mez) în fiecare caz, fără a o calcula: a) $\frac{x}{5}=\frac{2}{10}$; b) $\frac{6}{x}=\frac{3}{4}$; c) $\frac{7}{8}=\frac{x}{16}$; d) $\frac{9}{2}=\frac{18}{x}$.

2. Află $x$: $\frac{x}{3}=\frac{8}{12}$.

3. Află $x$: $\frac{5}{x}=\frac{15}{9}$.

4. Află $x$: $\frac{4}{9}=\frac{x}{18}$.

5. Află $x$: $\frac{10}{4}=\frac{25}{x}$.

6. Completează termenul lipsă astfel încât egalitatea să fie proporție: $\frac{\square }{6}=\frac{14}{21}$.

7. Adevărat sau fals? În proporția $\frac{2}{x}=\frac{8}{20}$, soluția este $x=5$. Justifică prin verificare.

8. Află $x$: $\frac{x}{12}=\frac{21}{36}$.

9. Află $y$: $\frac{16}{y}=\frac{8}{7}$.

10. Află $a$: $\frac{a}{15}=\frac{9}{5}$.

11. Încercuiește răspunsul corect. Soluția proporției $\frac{3}{8}=\frac{x}{40}$ este: A) $x=10$; B) $x=15$; C) $x=12$; D) $x=18$.

12. Află $x$, răspunsul poate fi cu virgulă: $\frac{x}{5}=\frac{9}{10}$.

13. Potrivește fiecare proporție cu soluția ei: (I) $\frac{x}{4}=\frac{6}{8}$ (II) $\frac{x}{4}=\frac{10}{8}$ (III) $\frac{x}{4}=\frac{14}{8}$ Soluții: (P) $x=5$ (Q) $x=3$ (R) $x=7$.

14. Află $x$: $\frac{2,5}{x}=\frac{5}{8}$.

15. Problemă. O imprimantă tipărește $4$ pagini în $6$ secunde. În câte secunde tipărește $10$ pagini, în același ritm? (Scrie o proporție și află necunoscuta.)

16. Problemă. Pentru o rețetă, la $200$ g de făină se pun $50$ g de zahăr. Câte grame de zahăr trebuie la $300$ g de făină, păstrând aceeași proporție?

17. Află $x$ și verifică: $\frac{x+1}{6}=\frac{10}{12}$. (Indiciu: află mai întâi cât este $x+1$, apoi cât este $x$.)

18. Provocare. Găsește un număr natural $x$ astfel încât $\frac{x}{9}=\frac{x+2}{12}$. (Indiciu: înmulțește în cruce și rezolvă ecuația obținută.)

19. Află $x$ și verifică: $\frac{x-2}{5}=\frac{12}{15}$. (Indiciu: află mai întâi blocul $x-2$.)

20. Problemă cu scară. Pe o hartă cu scara $1:50000$, distanța dintre două sate este de $6$ cm. Scrie o proporție și află distanța reală în kilometri.

21. Provocare. Află numărul natural $x$ pentru care $\frac{2x}{10}=\frac{6}{5}$. (Indiciu: tratează $2x$ ca pe un bloc, apoi împarte la $2$.)

Răspunsuri și explicații

1. a) extrem ($x:5=2:10$, capetele $x$ și $10$); b) mez ($6:x=3:4$, mijlocul $x$ și $3$); c) mez ($7:8=x:16$, mijlocul $8$ și $x$); d) extrem ($9:2=18:x$, capetele $9$ și $x$).

2. $x\cdot 12=3\cdot 8=24$, deci $x=\frac{24}{12}=2$. Verificare: $2\cdot 12=24=3\cdot 8$. $x=2$.

3. $5\cdot 9=x\cdot 15$, adică $45=15x$, deci $x=\frac{45}{15}=3$. Verificare: $5\cdot 9=45=3\cdot 15$. $x=3$.

4. $4\cdot 18=9\cdot x$, adică $72=9x$, deci $x=\frac{72}{9}=8$. Verificare: $4\cdot 18=72=9\cdot 8$. $x=8$.

5. $10\cdot x=4\cdot 25=100$, deci $x=\frac{100}{10}=10$. Verificare: $10\cdot 10=100=4\cdot 25$. $x=10$.

6. Notăm pătrățelul cu $x$: $x\cdot 21=6\cdot 14=84$, deci $x=\frac{84}{21}=4$. Termenul lipsă este $4$. Verificare: $4\cdot 21=84=6\cdot 14$.

7. Adevărat. Verificare cu $x=5$: produsul extremilor $2\cdot 20=40$; produsul mezilor $5\cdot 8=40$. Egale, deci $x=5$ este corect.

8. $x\cdot 36=12\cdot 21=252$, deci $x=\frac{252}{36}=7$. Verificare: $7\cdot 36=252=12\cdot 21$. $x=7$.

9. $16\cdot 7=y\cdot 8$, adică $112=8y$, deci $y=\frac{112}{8}=14$. Verificare: $16\cdot 7=112=14\cdot 8$. $y=14$.

10. $a\cdot 5=15\cdot 9=135$, deci $a=\frac{135}{5}=27$. Verificare: $27\cdot 5=135=15\cdot 9$. $a=27$.

11. $3\cdot 40=8\cdot x$, adică $120=8x$, deci $x=\frac{120}{8}=15$. Răspuns: B) $x=15$.

12. $x\cdot 10=5\cdot 9=45$, deci $x=\frac{45}{10}=4,5$. Verificare: $4,5\cdot 10=45=5\cdot 9$. $x=4,5$.

13. (I): $x\cdot 8=4\cdot 6=24$, $x=3$ → (Q). (II): $x\cdot 8=4\cdot 10=40$, $x=5$ → (P). (III): $x\cdot 8=4\cdot 14=56$, $x=7$ → (R). Deci I–Q, II–P, III–R.

14. $2,5\cdot 8=x\cdot 5$, adică $20=5x$, deci $x=\frac{20}{5}=4$. Verificare: $2,5\cdot 8=20=5\cdot 4$. $x=4$.

15. Proporție: $\frac{4}{6}=\frac{10}{x}$ (pagini sus, secunde jos). Atunci $4\cdot x=6\cdot 10=60$, deci $x=\frac{60}{4}=15$. 15 secunde. Verificare: $4\cdot 15=60=6\cdot 10$.

16. Proporție: $\frac{200}{50}=\frac{300}{x}$ (făină sus, zahăr jos). Atunci $200\cdot x=50\cdot 300=15000$, deci $x=\frac{15000}{200}=75$. 75 g de zahăr. Verificare: $200\cdot 75=15000=50\cdot 300$.

17. Notăm $x+1$ ca un singur bloc. $(x+1)\cdot 12=6\cdot 10=60$, deci $x+1=\frac{60}{12}=5$. De aici $x=5-1=4$. Verificare cu $x=4$: $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$, iar $5\cdot 12=60=6\cdot 10$. $x=4$.

18. Înmulțim în cruce: $12\cdot x=9\cdot (x+2)$, adică $12x=9x+18$. Scădem $9x$ din ambele părți: $3x=18$, deci $x=6$. Verificare: $\frac{6}{9}=\frac{8}{12}$; ambele se simplifică la $\frac{2}{3}$, iar $6\cdot 12=72=9\cdot 8$. $x=6$.

19. Tratăm $x-2$ ca un bloc: $(x-2)\cdot 15=5\cdot 12=60$, deci $x-2=\frac{60}{15}=4$. De aici $x=4+2=6$. Verificare cu $x=6$: $\frac{4}{5}=\frac{12}{15}$, iar $4\cdot 15=60=5\cdot 12$. $x=6$.

20. Scara $1:50000$ înseamnă $1$ cm pe hartă $=50000$ cm real. Proporție: $\frac{1}{50000}=\frac{6}{x}$. Atunci $1\cdot x=50000\cdot 6=300000$ cm. Transformăm: $300000$ cm $=3000$ m $=3$ km. Distanța reală este $3$ km.

21. Tratăm $2x$ ca un bloc: $2x\cdot 5=10\cdot 6=60$, deci $2x=\frac{60}{5}=12$, de unde $x=\frac{12}{2}=6$. Verificare: $\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$, iar $12\cdot 5=60=10\cdot 6$. $x=6$.

De reținut

• Într-o proporție $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, extremii sunt $a$ și $d$ (la capete), iar mezii sunt $b$ și $c$ (la mijloc).
• Proprietatea fundamentală: produsul extremilor = produsul mezilor, adică $a\cdot d=b\cdot c$. Ea transformă proporția într-o ecuație simplă.
• Pentru a afla orice termen necunoscut: înmulțește în cruce, strânge produsul cunoscut, apoi împarte la numărul cu care e înmulțită necunoscuta.
• Verifică întotdeauna: pune valoarea găsită înapoi și controlează că produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.
• Soluția poate fi un număr întreg, o fracție sau un număr cu virgulă — toate sunt corecte dacă verificarea iese.

Greșeli frecvente

• Confunzi extremii cu mezii. Soluție: scrie mereu proporția pe un rând, $a:b=c:d$; primul și ultimul sunt extremii, cele două din mijloc sunt mezii.
• Înmulțești în loc să împarți (sau invers) la ultimul pas. Dacă ai ajuns la $x\cdot 12=72$, necunoscuta este înmulțită cu 12, deci o afli împărțind: $x=72:12$. Nu înmulți $72\cdot 12$!
• Aduni „pe verticală" în loc să înmulțești în cruce. Proporția nu se rezolvă adunând $a+d$ sau $b+c$. Regula este produs cu produs, nu sumă cu sumă.
• Uiți verificarea. Fără verificare nu știi dacă ai greșit un calcul. E pasul care îți garantează nota mare: două produse egale = soluție sigură.

Joc acasă

1. Balanța proporțiilor (cu monede). Ia patru cartonașe și scrie pe trei dintre ele numerele unei proporții (de exemplu $\frac{4}{6}=\frac{?}{15}$), lăsând unul gol. Pune pe masă, în două grămezi, un număr de monede egal cu produsul extremilor și, separat, cu produsul mezilor. Cere cuiva din familie să găsească numărul lipsă astfel încât cele două grămezi să fie egale. Verificați împreună prin înmulțire în cruce. (Răspuns aici: $?=10$.)

2. Rețeta scalată. Alege o rețetă simplă din bucătărie (de exemplu limonadă: $2$ lămâi la $500$ ml apă). Scrie o proporție pentru o cantitate mai mare ($x$ lămâi la $1500$ ml apă), află $x$ și, dacă se poate, preparați băutura. Vei „gusta" rezultatul unei proporții corecte!

3. Vânătoarea de proporții. Timp de o zi, notează trei situații reale care se pot scrie ca proporție (prețuri, viteze, rețete, scări pe hartă). Pentru fiecare, inventează o întrebare cu un termen necunoscut și rezolvă-o cu proprietatea fundamentală. La final, verifică toate cele trei.

Pentru părinți și învățători

Această lecție îl învață pe elev să rezolve ecuații de tip proporție, fundament pentru regula de trei simplă, procente avansate și, mai târziu, pentru asemănare în geometrie. Cheia conceptuală este una singură: proprietatea fundamentală (produsul extremilor = produsul mezilor), aplicată ca „înmulțire în cruce".

Cum sprijiniți:

• Cereți-i să spună cu voce tare ce fel de termen caută (extrem sau mez), scriind proporția pe un rând cu două puncte. Verbalizarea fixează vocabularul.
• Insistați pe ordinea operațiilor inverse: dacă necunoscuta apare înmulțită cu un număr, se află prin împărțire. Multe greșeli vin din inversarea acestui pas.
• Faceți din verificare un obicei. Întrebați mereu: „De unde știi că răspunsul e corect?" Răspunsul așteptat: „Pentru că produsul extremilor iese egal cu produsul mezilor."
• Întrebări de control al înțelegerii: „Care sunt extremii aici?", „Cu ce împarți la final și de ce?", „Cum verifici?". Dacă elevul răspunde corect la acestea, a stăpânit lecția.
• Dacă apar dificultăți, întoarceți-vă o lecție la Proporția și proprietatea fundamentală pentru a reconsolida baza.

Întrebări frecvente

Cum aflu un termen necunoscut dintr-o proporție? Aplici proprietatea fundamentală: înmulțești în cruce, obținând „produsul extremilor = produsul mezilor". Apoi izolezi necunoscuta împărțind rezultatul la numărul cu care este înmulțită. La final verifici punând valoarea găsită înapoi în proporție.

Care este diferența dintre a afla un extrem și a afla un mez? Metoda este aceeași — înmulțirea în cruce. Singura diferență e ce numere înmulțești: pentru un extrem necunoscut împarți produsul mezilor la extremul cunoscut, iar pentru un mez necunoscut împarți produsul extremilor la mezul cunoscut. Dacă aplici mereu proprietatea fundamentală pas cu pas, nu trebuie să memorezi cele două variante separat.

Ce înseamnă „înmulțire în cruce"? Înseamnă să înmulțești termenii proporției „pe diagonală": numărul de sus din primul raport cu numărul de jos din al doilea, și invers. Pentru $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ obții $a\cdot d=b\cdot c$. Este forma practică a proprietății fundamentale.

Soluția unei proporții poate fi un număr cu virgulă? Da. Termenul necunoscut nu trebuie să fie neapărat număr întreg; poate fi o fracție sau un număr zecimal, de exemplu $2,8$ sau $4,5$. Atâta timp cât verificarea iese (produsele egale), soluția este corectă.

De ce trebuie să verific soluția dacă am rezolvat corect? Verificarea te apără de greșelile mici de calcul, care se strecoară ușor. Punând valoarea găsită înapoi și controlând că produsul extremilor este egal cu produsul mezilor, ai certitudinea că răspunsul este bun — un pas scurt care îți salvează multe puncte la test.

Cum rezolv o proporție în care necunoscuta apare ca $x+1$ sau $x+2$? Tratezi expresia cu necunoscuta ca pe un singur „bloc" și înmulțești tot în cruce. Obții o ecuație simplă (de exemplu $(x+1)\cdot 12=60$), o rezolvi ca de obicei și abia la final desfaci blocul (din $x+1=5$ rezultă $x=4$).

Ce fac dacă, după înmulțirea în cruce, numerele sunt foarte mari? Nu te speria. Calculează liniștit produsul, apoi fă împărțirea pas cu pas. Poți și să simplifici rapoartele înainte (de exemplu $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$), ca să lucrezi cu numere mai mici. Operațiile rămân aceleași.

Cum aflu o distanță reală folosind scara unei hărți? Scara, de exemplu $1:50000$, îți spune că $1$ cm pe hartă reprezintă $50000$ cm în realitate. Scrii proporția $\frac{1}{50000}=\frac{\text{cm pe harta˘}}{x}$, înmulțești în cruce, afli $x$ în centimetri, apoi transformi în metri sau kilometri. Este aceeași metodă, doar cu numere mai mari.

La ce îmi folosește în viața de zi cu zi aflarea unui termen necunoscut? La foarte multe: calculezi prețul mai multor produse, ajustezi cantitățile dintr-o rețetă, afli distanțe reale de pe o hartă cu scară sau timpi de lucru. Toate acestea se scriu ca proporții cu un termen necunoscut și se rezolvă exact cu metoda din această lecție, pe care o vei extinde la Regula de trei simplă.