Regula de trei simplă

Ți s-a întâmplat vreodată să știi prețul a 3 caiete și să vrei să afli cât costă 7? Sau să știi că 4 muncitori termină o lucrare în 9 zile și să te întrebi în câte zile o termină 6 muncitori? Toate aceste situații, foarte des întâlnite în viața de zi cu zi, se rezolvă rapid și elegant cu un instrument numit regula de trei simplă. În această lecție vei învăța să recunoști tipul de proporționalitate dintr-o problemă, să așezi corect datele și să afli mărimea necunoscută în doar câțiva pași siguri.

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi o problemă cu regula de trei simplă, atât la proporționalitate directă, cât și la cea inversă.
• Vei ști să decizi dacă două mărimi sunt direct proporționale sau invers proporționale, justificând alegerea.
• Vei ști să așezi datele ordonat, pe două coloane, ca să nu te încurci niciodată.
• Vei ști să scrii proporția corespunzătoare și să afli termenul necunoscut.
• Vei ști să verifici dacă răspunsul are sens, ca să prinzi din timp eventualele greșeli.

Hai să descoperim împreună

De la o întrebare simplă la o metodă puternică

Imaginează-ți că ești la papetărie. Un caiet costă același preț, indiferent câte cumperi. Vânzătorul îți spune: 3 caiete costă 15 lei. Tu vrei 7 caiete. Cât plătești?

Mintea ta face deja ceva inteligent. Dacă 3 caiete costă 15 lei, atunci un caiet costă $15:3=5$ lei. Iar 7 caiete vor costa $7\cdot 5=35$ lei. Tocmai ai folosit, fără să-i spui pe nume, regula de trei simplă. Metoda doar pune ordine în acest raționament și îl scrie frumos, ca să funcționeze și în cazuri mai complicate.

Regula de trei simplă este o metodă de calcul prin care, cunoscând trei valori dintr-o relație de proporționalitate între două mărimi, aflăm a patra valoare. De aici și numele: pleci de la trei numere cunoscute ca să-l afli pe al patrulea.

Primul pas: recunoaște cele două mărimi

În orice problemă de acest tip există două mărimi care se influențează una pe alta. La caiete, cele două mărimi sunt:

• numărul de caiete;
• prețul plătit (în lei).

Întreabă-te mereu: „Despre ce două lucruri care se schimbă vorbește problema?" Răspunsul îți dă cele două mărimi. Iată câteva exemple de perechi de mărimi pe care le vei întâlni des:

• număr de produse și preț total;
• număr de muncitori și timp de lucru;
• viteză și timp de parcurgere a aceluiași drum;
• cantitate de vopsea și suprafață acoperită;
• număr de zile și cantitate de hrană consumată.

Al doilea pas: stabilește tipul de proporționalitate

Acesta este pasul cel mai important din toată lecția. Înainte să calculezi orice, trebuie să decizi: mărimile sunt direct proporționale sau invers proporționale? Dacă greșești aici, tot calculul de după va fi greșit. De aceea, niciodată nu sărim peste justificare.

Direct proporționale înseamnă: când una crește, cealaltă crește de același număr de ori; când una scade, cealaltă scade de același număr de ori. (Ai studiat acest lucru în lecția Mărimi direct proporționale.)

Exemplu de gândire: Dacă iau mai multe caiete, plătesc mai mult sau mai puțin? Evident, mai mult. Dacă dublez numărul de caiete, se dublează și prețul. Deci numărul de caiete și prețul sunt direct proporționale.

Invers proporționale înseamnă: când una crește, cealaltă scade de același număr de ori; când una scade, cealaltă crește de același număr de ori. Produsul lor rămâne constant. (Vezi lecția Mărimi invers proporționale.)

Exemplu de gândire: Dacă pun mai mulți muncitori la aceeași lucrare, durează mai mult sau mai puțin? Evident, mai puțin. Dacă dublez numărul de muncitori, timpul se înjumătățește. Deci numărul de muncitori și timpul de lucru sunt invers proporționale.

Trucul săgeților. Pune-ți întrebarea „dacă prima mărime crește, a doua crește sau scade?" și desenează două săgeți:

• ↑↑ (ambele în sus) sau ↓↓ (ambele în jos) → direct proporționale;
• ↑↓ (una sus, una jos) → invers proporționale.

Al treilea pas: așază datele ordonat

Acum scriem datele pe două coloane, fiecare coloană pentru o mărime, și pe două rânduri: rândul cu valorile cunoscute împreună și rândul cu necunoscuta. Notăm necunoscuta cu $x$.

Revenim la caiete (direct proporționale):

Citește tabelul așa: „3 caiete costă 15 lei; 7 caiete costă $x$ lei". Datele care merg împreună stau pe același rând. Așezarea corectă a datelor este jumătate din rezolvare.

Al patrulea pas: scrie proporția și rezolvă

Cazul direct proporțional. La mărimi direct proporționale, rapoartele dintre valorile aceleiași mărimi sunt egale. Scriem proporția punând rapoartele în aceeași ordine (de sus în jos, pe ambele coloane):

$$\frac{3}{7}=\frac{15}{x}$$

Folosim proprietatea fundamentală a proporției (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor), pe care ai învățat-o în lecția Proporția și proprietatea fundamentală:

$$3\cdot x=7\cdot 15$$ $$3x=105$$ $$x=105:3=35$$

Deci 7 caiete costă 35 lei. Exact cât am calculat și la început prin „un caiet = 5 lei". Metoda confirmă intuiția.

O regulă practică pentru cazul direct. Necunoscuta $x$ se află înmulțind „în cruce" valorile cunoscute care sunt pe diagonală față de $x$ și împărțind la valoarea rămasă:

$$x=\frac{7\cdot 15}{3}=\frac{105}{3}=35.$$

Cazul invers proporțional. Aici lucrurile se schimbă puțin și trebuie să fii atent. La mărimi invers proporționale, produsul valorilor de pe fiecare rând este constant. Să luăm muncitorii.

Problemă: 4 muncitori termină o lucrare în 9 zile. În câte zile termină aceeași lucrare 6 muncitori?

Așezăm datele:

Am stabilit deja că mărimile sunt invers proporționale (mai mulți muncitori → mai puține zile, deci ↑↓). La proporționalitate inversă, proporția se scrie inversând unul dintre rapoarte. Cel mai sigur este să folosim faptul că produsul de pe rândul întâi = produsul de pe rândul al doilea:

$$4\cdot 9=6\cdot x$$ $$36=6x$$ $$x=36:6=6.$$

Deci 6 muncitori termină lucrarea în 6 zile. Are sens: mai mulți muncitori, mai puține zile (de la 9 la 6).

Cum reții diferența?

• Direct: proporția se scrie „în aceeași ordine", $\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$, sau înmulțești pe diagonală și împarți la valoarea de lângă $x$.
• Invers: produsul de pe primul rând = produsul de pe al doilea rând, $a\cdot c=b\cdot x$ (înmulțești valorile cunoscute care sunt pe același rând și împarți la valoarea cunoscută de pe rândul lui $x$... mai simplu: $x=\frac{a\cdot c}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt cunoscutele de pe coloana mărimii celeilalte, iar $c$ partenerul lui $a$ de pe rândul de sus).

Ca să nu te încurci în formule, reține esența:

• la direct împarți la valoarea de pe aceeași coloană cu necunoscuta;
• la invers valorile de pe același rând se înmulțesc, iar produsele de pe cele două rânduri sunt egale.

Al cincilea pas: verifică dacă răspunsul are sens

După ce ai aflat $x$, oprește-te o clipă și întreabă-te: „Este logic?"

• La direct: dacă numărul a crescut, valoarea trebuie să fi crescut și ea. 7 caiete (mai multe decât 3) costă 35 lei (mai mult decât 15). ✓
• La invers: dacă numărul a crescut, valoarea trebuie să fi scăzut. 6 muncitori (mai mulți decât 4) lucrează 6 zile (mai puține decât 9). ✓

Dacă răspunsul „merge invers" față de ce ai prezis, probabil ai confundat tipul de proporționalitate. Verificarea aceasta de bun-simț îți salvează multe puncte la lucrări și la Evaluarea Națională.

Rezumatul metodei (cinci pași)

1. Identifică cele două mărimi.
2. Stabilește tipul de proporționalitate (direct sau invers) și justifică.
3. Așază datele pe două coloane și două rânduri, cu $x$ pentru necunoscută.
4. Scrie proporția (direct) sau egalitatea produselor (invers) și rezolvă.
5. Verifică dacă răspunsul are sens.

O poveste scurtă ca să ții minte

Andrei vrea să facă limonadă pentru o petrecere. Rețeta lui spune că la 2 lămâi pune 3 căni de apă. Are la dispoziție 10 lămâi. De câtă apă are nevoie? Mărimile (lămâi și apă) sunt direct proporționale: mai multe lămâi → mai multă apă. Așază: $\frac{2}{10}=\frac{3}{x}$, deci $x=\frac{10\cdot 3}{2}=15$ căni de apă. Andrei reține: „cât crește una, atât crește și cealaltă" — și nu mai greșește niciodată proporțiile la limonadă. Aceeași regulă pe care o folosește Andrei o folosesc și inginerii, și bucătarii, și economiștii. E o unealtă pentru toată viața.

O metodă-soră: reducerea la unitate

Pe lângă regula de trei simplă, mai există o cale foarte intuitivă de a rezolva problemele de proporționalitate directă: metoda reducerii la unitate. Ideea ei e simplă — afli mai întâi cât revine unei singure unități, apoi înmulțești.

Să reluăm caietele: 3 caiete costă 15 lei. Cât costă un caiet? Împărțim: $15:3=5$ lei. Acum, dacă un caiet costă 5 lei, atunci 7 caiete costă $7\cdot 5=35$ lei. Același rezultat ca prin regula de trei, dar pe un drum pe care îl poți spune cu voce tare, fără tabel.

Reducerea la unitate are două mișcări:

1. Împarte ca să afli valoarea pentru o unitate (un caiet, un kilogram, o oră de muncă).
2. Înmulțește valoarea unei unități cu numărul cerut.

Această metodă este excelentă pentru a-ți verifica răspunsul obținut prin regula de trei: dacă cele două căi dau același număr, poți fi liniștit că ai rezolvat corect. Atenție însă: la proporționalitatea inversă reducerea la unitate este mai greu de aplicat direct, fiindcă acolo nu „prețul unei unități" rămâne constant, ci produsul celor două mărimi. De aceea regula de trei simplă rămâne metoda generală, bună pentru ambele tipuri.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — proporționalitate directă (preț)

Enunț. 5 pixuri identice costă 20 lei. Cât costă 8 astfel de pixuri?

Rezolvare. Pasul 1 — mărimile: numărul de pixuri și prețul. Pasul 2 — tipul: mai multe pixuri → preț mai mare, ambele cresc (↑↑), deci direct proporționale. Pasul 3 — datele:

Pasul 4 — proporția: $$\frac{5}{8}=\frac{20}{x}⟹5x=8\cdot 20=160⟹x=160:5=32.$$ Pasul 5 — verificare: 8 pixuri (mai multe) costă 32 lei (mai mult decât 20). ✓

Răspuns: 8 pixuri costă 32 lei.

Exemplul 2 — proporționalitate inversă (muncitori și timp)

Enunț. 3 imprimante identice tipăresc un set de afișe în 8 ore. În câte ore tipăresc același set 4 imprimante, lucrând la fel?

Rezolvare. Pasul 1 — mărimile: numărul de imprimante și timpul (ore). Pasul 2 — tipul: mai multe imprimante → mai puțin timp (↑↓), deci invers proporționale. Pasul 3 — datele:

Pasul 4 — egalitatea produselor: $$3\cdot 8=4\cdot x⟹24=4x⟹x=24:4=6.$$ Pasul 5 — verificare: 4 imprimante (mai multe) → 6 ore (mai puține decât 8). ✓

Răspuns: 6 ore.

Exemplul 3 — distanță și combustibil (direct)

Enunț. O mașină consumă 12 litri de benzină pe 150 km. Câți litri consumă pe 400 km, la același consum?

Rezolvare. Mărimile: distanța (km) și combustibilul (litri). Tipul: drum mai lung → mai multă benzină (↑↑), deci direct proporționale.

$$\frac{150}{400}=\frac{12}{x}⟹150x=400\cdot 12=4800⟹x=4800:150=32.$$ Verificare: 400 km (mai mult) → 32 l (mai mult decât 12). ✓

Răspuns: 32 litri.

Exemplul 4 — hrană și zile (invers)

Enunț. O rezervă de furaje ajunge pentru 20 de cai timp de 15 zile. Pentru câte zile ajunge aceeași rezervă dacă sunt 25 de cai? (Fiecare cal mănâncă la fel.)

Rezolvare. Mărimile: numărul de cai și numărul de zile. Tipul: mai mulți cai → rezerva se termină mai repede, deci mai puține zile (↑↓), invers proporționale.

$$20\cdot 15=25\cdot x⟹300=25x⟹x=300:25=12.$$ Verificare: 25 de cai (mai mulți) → 12 zile (mai puține decât 15). ✓

Răspuns: 12 zile.

Exemplul 5 — rețetă (direct, cu fracție de rezultat)

Enunț. Pentru 4 porții de prăjitură se folosesc 300 g de făină. Câtă făină trebuie pentru 7 porții?

Rezolvare. Mărimile: porții și grame de făină. Tipul: mai multe porții → mai multă făină (↑↑), direct proporționale.

$$\frac{4}{7}=\frac{300}{x}⟹4x=7\cdot 300=2100⟹x=2100:4=525.$$ Verificare: 7 porții (mai multe) → 525 g (mai mult decât 300). ✓

Răspuns: 525 g de făină.

Exemplul 6 — viteză și timp (invers)

Enunț. Un biciclist parcurge un traseu cu viteza de 18 km/h în 40 de minute. În cât timp parcurge același traseu dacă merge cu 24 km/h?

Rezolvare. Mărimile: viteza și timpul (pentru același drum). Tipul: viteză mai mare → timp mai mic (↑↓), invers proporționale.

$$18\cdot 40=24\cdot x⟹720=24x⟹x=720:24=30.$$ Verificare: viteză mai mare (24) → timp mai mic (30 min < 40 min). ✓

Răspuns: 30 de minute.

Exemplul 7 — aceeași problemă, două metode (direct)

Enunț. 6 saci de ciment cântăresc 240 kg. Cât cântăresc 10 saci identici?

Rezolvare prin regula de trei. Mărimile: numărul de saci și masa (kg). Tipul: mai mulți saci → masă mai mare (↑↑), direct proporționale.

$$\frac{6}{10}=\frac{240}{x}⟹6x=10\cdot 240=2400⟹x=2400:6=400.$$

Rezolvare prin reducerea la unitate. Un singur sac cântărește $240:6=40$ kg. Atunci 10 saci cântăresc $10\cdot 40=400$ kg.

Verificare: ambele metode dau 400 kg — răspunsul e sigur. 10 saci (mai mulți) → 400 kg (mai mult decât 240). ✓

Răspuns: 400 kg.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru fiecare problemă, scrie întâi tipul de proporționalitate și justificarea, apoi tabelul, apoi calculul.

1. Stabilește dacă mărimile sunt direct sau invers proporționale: a) numărul de bilete și suma plătită; b) numărul de robinete identice și timpul de umplere a unui bazin; c) numărul de pagini de citit și timpul necesar (citești constant); d) viteza unui tren și timpul în care parcurge un drum fix.

2. Completează: la mărimi direct proporționale, când una crește de 3 ori, cealaltă ……… de ……… ori.

3. Completează: la mărimi invers proporționale, când una se înmulțește cu 4, cealaltă se ……… la ……… .

4. 6 caiete costă 24 lei. Cât costă 9 caiete?

5. 4 muncitori sapă un șanț în 10 zile. În câte zile sapă același șanț 5 muncitori?

6. 7 kg de mere costă 28 lei. Cât costă 12 kg de aceleași mere?

7. Un tren merge cu 60 km/h și parcurge un traseu în 5 ore. În cât timp parcurge același traseu cu viteza de 75 km/h?

8. Pentru 3 tricouri identice se folosesc 4,5 m de material. Câți metri trebuie pentru 8 tricouri?

9. Adevărat sau fals? „Dacă 2 pompe umplu un bazin în 6 ore, atunci 3 pompe îl umplu în 9 ore." Justifică.

10. O rezervă de apă ajunge pentru 12 persoane timp de 8 zile. Pentru câte zile ajunge pentru 16 persoane?

11. 5 m de țesătură costă 65 lei. Câți metri poți cumpăra cu 104 lei?

12. Încercuiește varianta corectă. La problema „mai multe robinete umplu mai repede un bazin", mărimile sunt: a) direct proporționale b) invers proporționale.

13. Potrivește fiecare situație cu tipul ei (D = direct, I = invers): A) număr de creioane – preț total; B) număr de zugravi – timp de vopsire a unei case; C) cantitate de benzină – distanța parcursă; D) viteza unei mașini – timpul pe un drum fix.

14. 8 robinete identice umplu un bazin în 15 ore. Câte robinete sunt necesare pentru a umple același bazin în 12 ore?

15. Desenează un tabel cu două coloane („Ore lucrate" și „Plată în lei") pentru situația: 6 ore de muncă sunt plătite cu 90 lei; câți lei se plătesc pentru 10 ore? Apoi rezolvă.

16. O echipă de 9 voluntari strânge gunoiul dintr-un parc în 4 ore. În câte ore termină 12 voluntari aceeași muncă?

17. Pentru a tapeta un perete sunt necesare 5 role de tapet care acoperă, fiecare, aceeași suprafață. Dacă pentru un perete de 20 m² trebuie 5 role, câte role trebuie pentru 28 m²? (Atenție: D sau I?)

18. Problemă recapitulativă. Un magazin vinde 3 kg de cafea cu 75 lei. Un client cumpără 2 kg. Cât plătește? Apoi: cu 200 lei, câte kilograme de cafea poate cumpăra?

19. Rezolvă prin reducere la unitate și apoi verifică prin regula de trei: 9 caiete costă 36 lei; cât costă 5 caiete?

20. 5 tractoare ară un teren în 6 zile. Câte tractoare identice sunt necesare pentru a ara același teren în 3 zile? (Stabilește întâi tipul de proporționalitate.)

Răspunsuri și explicații

1. a) direct (mai multe bilete, mai mult de plătit, ↑↑); b) invers (mai multe robinete, timp mai scurt, ↑↓); c) direct (mai multe pagini, mai mult timp, ↑↑); d) invers (viteză mai mare, timp mai mic, ↑↓).

2. crește; 3 ori. (La direct, factorul de creștere este același.)

3. se împarte la 4. (La invers, dacă una se înmulțește cu un număr, cealaltă se împarte la același număr.)

4. Direct. $\frac{6}{9}=\frac{24}{x}\Rightarrow 6x=9\cdot 24=216\Rightarrow x=36$. 36 lei.

5. Invers (mai mulți muncitori, mai puține zile). $4\cdot 10=5\cdot x\Rightarrow 40=5x\Rightarrow x=8$. 8 zile.

6. Direct. $\frac{7}{12}=\frac{28}{x}\Rightarrow 7x=12\cdot 28=336\Rightarrow x=48$. 48 lei.

7. Invers (același drum, viteză mai mare → timp mai mic). $60\cdot 5=75\cdot x\Rightarrow 300=75x\Rightarrow x=4$. 4 ore.

8. Direct. $\frac{3}{8}=\frac{4,5}{x}\Rightarrow 3x=8\cdot 4,5=36\Rightarrow x=12$. 12 m.

9. Fals. Pompele și timpul sunt invers proporționale, nu direct. Corect: $2\cdot 6=3\cdot x\Rightarrow 12=3x\Rightarrow x=4$ ore. Cu mai multe pompe, timpul scade (la 4 ore), nu crește la 9.

10. Invers (mai multe persoane, mai puține zile). $12\cdot 8=16\cdot x\Rightarrow 96=16x\Rightarrow x=6$. 6 zile.

11. Direct. $\frac{5}{x}=\frac{65}{104}\Rightarrow 65x=5\cdot 104=520\Rightarrow x=8$. 8 metri.

12. b) invers proporționale. Mai multe robinete → timp mai scurt.

13. A → D; B → I; C → D; D → I.

14. Invers (vrei să umpli mai repede → îți trebuie mai multe robinete). $8\cdot 15=x\cdot 12\Rightarrow 120=12x\Rightarrow x=10$. 10 robinete.

15. Direct.

$\frac{6}{10}=\frac{90}{x}\Rightarrow 6x=10\cdot 90=900\Rightarrow x=150$. 150 lei.

16. Invers (mai mulți voluntari, mai puțin timp). $9\cdot 4=12\cdot x\Rightarrow 36=12x\Rightarrow x=3$. 3 ore.

17. Direct (suprafață mai mare → mai multe role). $\frac{5}{x}=\frac{20}{28}\Rightarrow 20x=5\cdot 28=140\Rightarrow x=7$. 7 role.

18. Direct. Pentru 2 kg: $\frac{3}{2}=\frac{75}{x}\Rightarrow 3x=150\Rightarrow x=50$. 50 lei. Pentru 200 lei: $\frac{3}{x}=\frac{75}{200}\Rightarrow 75x=600\Rightarrow x=8$. 8 kg.

19. Reducere la unitate: un caiet costă $36:9=4$ lei, deci 5 caiete costă $5\cdot 4=20$ lei. Verificare prin regula de trei (direct): $\frac{9}{5}=\frac{36}{x}\Rightarrow 9x=5\cdot 36=180\Rightarrow x=20$. Ambele dau 20 lei.

20. Invers (vrei să termini mai repede → îți trebuie mai multe tractoare). $5\cdot 6=x\cdot 3\Rightarrow 30=3x\Rightarrow x=10$. 10 tractoare. Verificare: mai multe tractoare (10 > 5) → mai puține zile (3 < 6). ✓

De reținut

• Regula de trei simplă află a patra valoare când cunoști trei valori dintr-o relație între două mărimi.
• Întâi stabilești tipul de proporționalitate și justifici; abia apoi calculezi. Greșeala de tip strică tot.
• Direct proporțional (↑↑ sau ↓↓): scrii proporția în aceeași ordine, $\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$, și $x=\frac{b\cdot c}{a}$.
• Invers proporțional (↑↓): produsul de pe primul rând = produsul de pe al doilea rând, $a\cdot c=b\cdot x$, deci $x=\frac{a\cdot c}{b}$.
• Verifică sensul răspunsului: la direct crește/scade împreună, la invers cresc/scad invers.

Greșeli frecvente

• Confundarea tipului de proporționalitate. Mulți elevi tratează totul ca direct proporțional. Cum eviți: folosește mereu trucul săgeților (↑↑ sau ↑↓) înainte de calcul și verifică logica răspunsului la final.
• Așezarea greșită a datelor. Valorile care merg împreună trebuie pe același rând, iar fiecare mărime pe coloana ei. Cum eviți: desenează întotdeauna tabelul cu cap de coloană (ce reprezintă fiecare număr).
• La invers, scrii proporția ca la direct. Dacă pui $\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$ la o problemă inversă, obții un rezultat absurd. Cum eviți: la invers folosește egalitatea produselor $a\cdot c=b\cdot x$, nu raportul direct.
• Uiți unitățile de măsură. Răspunsul „32" nu spune nimic; „32 litri" sau „6 zile" da. Cum eviți: notează unitatea în capul coloanei și o copiezi în răspunsul final.

Joc acasă

1. Detectivul prețurilor. Mergi (sau privește un bon de cumpărături) și alege un produs vândut la kilogram sau la bucată. Notează prețul pentru cantitatea de pe bon. Apoi inventează 3 întrebări de tip „cât costă … bucăți/kg?" și rezolvă-le cu regula de trei simplă. Verifică folosind „prețul unei bucăți".

2. Cronometrul echipei. Cu ajutorul familiei, măsoară în câte minute pun 2 persoane masa pentru cină. Estimează apoi, prin regulă de trei inversă, în cât timp ar pune-o 4 persoane. Faceți și proba practică: cât de aproape a fost estimarea? Discutați de ce realitatea nu e mereu perfect proporțională.

3. Bucătarul proporțiilor. Ia o rețetă simplă din casă (clătite, limonadă, salată). Rețeta e pentru un anumit număr de porții. Recalculează toate ingredientele pentru un alt număr de porții, folosind regula de trei directă pentru fiecare ingredient. Scrie noua „rețetă scalată" pe o foaie.

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează trecerea de la mărimi proporționale (lecțiile 30–31) la o metodă de calcul unitară. Cel mai valoros lucru pe care îl puteți întări nu este formula, ci reflexul de a stabili și justifica tipul de proporționalitate înainte de orice calcul.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i să spună cu voce tare: „Dacă prima mărime crește, a doua crește sau scade?" Acest singur reflex elimină majoritatea greșelilor.
• Insistați pe tabelul cu cap de coloană. Mulți elevi calculează corect, dar așază greșit datele; un tabel clar previne acest lucru.
• Folosiți întrebări de verificare a sensului: „Răspunsul tău e mai mare sau mai mic decât valoarea de pornire? E logic?"

Întrebări bune de pus:

• „De ce sunt aceste două mărimi invers proporționale și nu direct?"
• „Ai putea rezolva problema și prin metoda reducerii la unitate (cât costă o bucată)? Dă același rezultat?"
• „Ce s-ar întâmpla cu răspunsul dacă numărul ar fi de două ori mai mare?"

Cum verificați înțelegerea: dați-i o problemă inversă deghizată (de exemplu cu robinete sau viteză) și urmăriți dacă o tratează greșit ca directă. Dacă o face, reluați trucul săgeților. Un elev care stabilește corect tipul în 5 probleme la rând a înțeles esența lecției.

Întrebări frecvente

Ce este regula de trei simplă la clasa a 6-a? Este o metodă prin care afli a patra valoare dintr-o relație între două mărimi proporționale, atunci când cunoști celelalte trei valori. Se numește „de trei" pentru că pornești de la trei numere cunoscute ca să-l afli pe al patrulea, notat de obicei cu $x$.

Cum știu dacă o problemă este cu proporționalitate directă sau inversă? Întreabă-te: „dacă prima mărime crește, a doua crește sau scade?" Dacă cresc (sau scad) împreună, este directă; dacă una crește când cealaltă scade, este inversă. Folosește trucul săgeților ↑↑ pentru direct și ↑↓ pentru invers.

Cum se scrie proporția la regula de trei simplă? La proporționalitate directă scrii rapoartele în aceeași ordine, de exemplu $\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$, apoi folosești produsul mezilor egal cu produsul extremilor. La proporționalitate inversă folosești egalitatea produselor de pe fiecare rând: $a\cdot c=b\cdot x$.

Care e diferența dintre regula de trei directă și cea inversă? La cea directă împarți la valoarea de pe aceeași coloană cu necunoscuta (mărimile cresc împreună). La cea inversă valorile de pe același rând se înmulțesc, iar produsele de pe cele două rânduri sunt egale (când una crește, cealaltă scade).

Pot rezolva fără regula de trei, doar prin „cât costă o bucată"? Da, metoda reducerii la unitate funcționează la proporționalitatea directă: afli valoarea pentru o unitate, apoi înmulțești. Regula de trei simplă este însă mai generală și se aplică și la proporționalitatea inversă, unde reducerea la unitate este mai greu de gândit.

De ce trebuie să stabilesc tipul de proporționalitate înainte să calculez? Pentru că modul în care scrii proporția depinde de tip. Dacă tratezi o problemă inversă ca directă (sau invers), obții un rezultat greșit, chiar dacă faci calculele corect. Stabilirea tipului este pasul-cheie al întregii metode.

Ce greșeli se fac cel mai des la regula de trei simplă? Cele mai frecvente sunt: confundarea proporționalității directe cu cea inversă, așezarea greșită a datelor în tabel și uitarea unităților de măsură în răspuns. Le eviți folosind trucul săgeților, un tabel clar cu cap de coloană și verificarea logicii rezultatului.

Unde folosesc regula de trei simplă în viața reală? Peste tot: la calculul prețurilor (cât costă mai multe produse), la rețete (scalarea ingredientelor), la planificarea muncii (mai mulți oameni, mai puțin timp), la consumul de combustibil, la viteză și timp. Este una dintre cele mai utile metode din matematica de gimnaziu.

Care este formula regulii de trei simple? La proporționalitate directă, dacă $a$ corespunde lui $b$, atunci necunoscuta $x$ care corespunde lui $c$ se află cu $x=\frac{b\cdot c}{a}$. La proporționalitate inversă, dacă $a$ corespunde lui $b$, atunci $x$ care corespunde lui $c$ se află cu $x=\frac{a\cdot b}{c}$, fiindcă produsul celor două mărimi rămâne constant. Recomandarea este să nu memorezi formulele „pe de rost", ci să așezi datele în tabel și să scrii proporția (la direct) sau egalitatea produselor (la invers) — așa nu poți greși ordinea.