Aproximări ale fracțiilor zecimale prin lipsă și prin adaos; rotunjiri

Când vezi pe etichetă „aproximativ 3 kg" sau auzi la meteo „temperatura va fi în jur de 21 de grade", nimeni nu te minte — pur și simplu se folosește o aproximare. Numerele zecimale sunt foarte precise, dar de multe ori nu avem nevoie de toate zecimalele: vrem o valoare mai simplă, ușor de reținut și de calculat. În această lecție vei învăța cum să aproximezi o fracție zecimală prin lipsă și prin adaos și cum să o rotunjești corect la întregi, la zecimi și la sutimi. Sunt instrumente pe care le vei folosi tot restul vieții, de la cumpărături până la științe.

Ce vei învăța

• Vei ști să aproximezi prin lipsă și prin adaos un număr zecimal la o anumită poziție.
• Vei ști să rotunjești o fracție zecimală la întregi, la zecimi și la sutimi.
• Vei ști să aplici corect regula cifrei de rotunjire (sub 5 dai în jos, 5 sau peste dai în sus).
• Vei ști să folosești aproximările pentru a estima rapid rezultatul unui calcul.
• Vei ști să verifici dacă un rezultat este rezonabil, comparându-l cu estimarea ta.

Hai să descoperim împreună

Pornim de la o întrebare simplă

Imaginează-ți că un coleg măsoară lungimea băncii și obține 1,374 metri. Dacă cineva îl întreabă repede „cât e banca?", el nu va spune „un metru, trei sute șaptezeci și patru de miimi". Va spune scurt: „cam un metru și jumătate" sau „aproape 1,4 m". Adică a aproximat numărul: l-a înlocuit cu unul mai simplu, apropiat de cel real.

A aproxima înseamnă a înlocui un număr cu altul apropiat de el, dar mai simplu (cu mai puține zecimale). Vom învăța să facem asta ordonat, nu „din ochi", ci după reguli clare.

Reamintește-ți din lecția despre fracția zecimală: scriere, citire, partea întreagă și partea zecimală că un număr ca 1,374 are:

• partea întreagă: 1
• partea zecimală: 374, formată din cifra zecimilor (3), cifra sutimilor (7) și cifra miimilor (4).

Aproximarea prin lipsă și prin adaos

Hai să așezăm numărul 1,374 între două repere simple. Dacă vrem să-l aproximăm la zecimi (adică să păstrăm o singură cifră după virgulă), atunci numărul nostru se află între:

• 1,3 (mai mic decât 1,374)
• 1,4 (mai mare decât 1,374)

Definim astfel:

• Aproximarea prin lipsă este numărul mai mic, cel din stânga. Pentru 1,374 la zecimi, aproximarea prin lipsă este 1,3. Se numește „prin lipsă" pentru că este sub valoarea reală — îi lipsește ceva ca să ajungă la numărul adevărat.
• Aproximarea prin adaos este numărul mai mare, cel din dreapta. Pentru 1,374 la zecimi, aproximarea prin adaos este 1,4. Se numește „prin adaos" pentru că am adăugat ceva și am trecut puțin peste valoarea reală.

Cum le găsim practic? Foarte simplu:

• Prin lipsă: tai (arunci) toate cifrele de după poziția la care aproximezi și păstrezi cifra de pe acea poziție așa cum este. La 1,374, la zecimi: păstrăm 1,3 și aruncăm „74". Rezultat: 1,3.
• Prin adaos: tai cifrele de după poziție, dar adaugi o unitate la ultima cifră păstrată. La 1,374, la zecimi: 1,3 devine 1,4.

Regula de aur, ușor de ținut minte: prin lipsă tai și păstrezi; prin adaos tai și mai pui unu.

Mai multe exemple de prelucrare

Să aproximăm numărul 5,289 la sutimi (păstrăm două cifre după virgulă):

• prin lipsă: păstrăm 5,28 (am tăiat ultimul 9);
• prin adaos: 5,29 (am adăugat o unitate la cifra sutimilor).

Să aproximăm numărul 12,6 la întregi:

• prin lipsă: 12 (tăiem zecimea);
• prin adaos: 13 (adăugăm o unitate la partea întreagă).

Observă un lucru important: aproximarea prin adaos și cea prin lipsă diferă mereu cu o unitate de acea poziție. La zecimi diferă cu 0,1; la sutimi diferă cu 0,01; la întregi diferă cu 1.

Care aproximare e mai bună? Aici intervine rotunjirea

Aproximarea prin lipsă și cea prin adaos sunt amândouă corecte, dar una dintre ele este de obicei mai apropiată de numărul real. A alege aproximarea cea mai apropiată se numește rotunjire.

La 1,374, ce e mai aproape de el: 1,3 sau 1,4? Numărul 1,374 e mai aproape de 1,4 (diferența până la 1,4 este doar 0,026, iar până la 1,3 este 0,074). Deci rotunjit la zecimi, 1,374 ≈ 1,4.

Semnul ≈ se citește „aproximativ egal" și se folosește la aproximări. Atenție: la rotunjire NU mai punem semnul =, ci ≈, pentru că nu este o egalitate adevărată!

Cum decidem rapid spre care reper rotunjim, fără să calculăm de fiecare dată distanțele? Folosim regula cifrei de rotunjire.

Regula cifrei de rotunjire

Pentru a rotunji un număr la o anumită poziție, ne uităm la prima cifră aruncată (cifra imediat după poziția la care rotunjim). Aceasta se numește cifra de rotunjire și ea decide totul:

• Dacă cifra de rotunjire este 0, 1, 2, 3 sau 4 (adică sub 5), rotunjim prin lipsă: păstrăm cifra de pe poziție neschimbată.
• Dacă cifra de rotunjire este 5, 6, 7, 8 sau 9 (adică 5 sau peste 5), rotunjim prin adaos: adăugăm o unitate la cifra de pe poziție.

Pe scurt: sub 5 cobori, 5 sau peste urci.

De ce această regulă? Pentru că, dacă prima cifră aruncată este sub 5, numărul este mai aproape de reperul de jos; dacă este 5 sau mai mare, numărul este mai aproape de reperul de sus (sau, la fix 5, alegem prin convenție reperul de sus). Așa obținem mereu aproximarea cea mai apropiată.

Pașii rotunjirii (rețeta completă)

1. Stabilește poziția la care rotunjești: întregi, zecimi sau sutimi.
2. Subliniază cifra de pe acea poziție — pe ea o vei păstra sau o vei mări.
3. Privește prima cifră de după ea (cifra de rotunjire).
4. Aplică regula: sub 5 → păstrezi; 5 sau peste → mai pui o unitate.
5. Taie toate cifrele de după poziție și scrie rezultatul cu semnul ≈.

Hai să rotunjim 3,267 la sutimi:

1. Poziția: sutimi (a doua cifră după virgulă).
2. Cifra sutimilor este 6 → o subliniez: 3,267.
3. Prima cifră aruncată este 7.
4. 7 este „peste 5" → adaug o unitate la 6, deci devine 7.
5. Rezultat: 3,267 ≈ 3,27.

Atenție la „mersul peste 9" (transportul)

Uneori, când adaugi o unitate, cifra era 9 și devine 10. Atunci se întâmplă un mic „lanț", exact ca la adunare. Privește numărul 4,98 rotunjit la zecimi:

• cifra zecimilor este 9, cifra de rotunjire este 8 (peste 5) → trebuie să adaug 1 la 9;
• 9 + 1 = 10, deci scriu 0 la zecimi și „duc" 1 la întregi;
• 4 devine 5.
• Rezultat: 4,98 ≈ 5,0 (sau scris simplu 5).

Nu te speria de acest caz: e doar adunarea obișnuită care „se revarsă" spre stânga.

Uneori revărsarea merge chiar mai departe, peste două poziții deodată. Privește 9,96 rotunjit la zecimi:

• cifra zecimilor este 9, iar cifra de rotunjire este 6 (peste 5) → adaug 1 la 9;
• 9 + 1 = 10, deci scriu 0 la zecimi și „duc" 1 la întregi;
• partea întreagă era 9 și ea, deci 9 + 1 = 10.
• Rezultat: 9,96 ≈ 10,0.

Vezi cum un singur „+1" a urcat de la zecimi tocmai până la zeci? Asta se întâmplă ori de câte ori ai un șir de 9 chiar înainte de poziția pe care o mărești. Trucul rămâne același: tratează totul exact ca la o adunare obișnuită și lasă transportul să curgă spre stânga atât cât e nevoie.

Estimarea calculelor cu ajutorul aproximărilor

La ce ne folosesc, de fapt, aproximările? La estimare — adică a ghici rapid, în minte, cam cât trebuie să iasă un calcul, înainte (sau după) ce îl faci exact. Ai mai văzut ideea de estimare la numere naturale în lecția estimarea și verificarea rezultatelor; acum o ducem la numere zecimale.

Exemplu: vrei să aduni 19,8 + 4,15 + 9,92. Înainte de calculul exact, rotunjește fiecare termen la întregi:

• 19,8 ≈ 20
• 4,15 ≈ 4
• 9,92 ≈ 10

Estimarea: 20 + 4 + 10 = 34. Deci rezultatul real ar trebui să fie aproape de 34. (Adunarea exactă dă 33,87 — chiar lângă estimare! Vei învăța tehnica exactă în lecția adunarea și scăderea fracțiilor zecimale.)

Estimarea este ca un „far": dacă faci calculul exact și îți iese, de exemplu, 3,387 sau 338,7, îți dai seama imediat că ai greșit virgula, pentru că estimarea spunea „pe la 34". Estimarea nu înlocuiește calculul exact, dar te ajută să prinzi greșelile mari.

Estimarea funcționează și la înmulțiri sau împărțiri. Dacă vrei să afli cam cât costă 4 caiete a câte 3,90 lei, rotunjești prețul la 4 lei și estimezi 4 × 4 = 16 lei. Suma reală (15,60 lei) este chiar lângă. Cu cât rotunjești la o poziție mai fină (zecimi în loc de întregi), cu atât estimarea este mai precisă, dar și mai greu de calculat în minte. Alege poziția în funcție de cât de precis vrei să fii: pentru o verificare rapidă, întregii sunt de obicei suficienți.

Cum alegem poziția potrivită de rotunjire

Nu există o singură rotunjire „corectă" pentru un număr — depinde de la ce poziție vrei. Același număr, 7,648, are trei rotunjiri diferite, toate corecte:

• la întregi: 8 (cifra de rotunjire 6, urcăm);
• la zecimi: 7,6 (cifra de rotunjire 4, sub 5);
• la sutimi: 7,65 (cifra de rotunjire 8, urcăm).

Cum alegi în viața reală? La bani lucrăm de obicei la sutimi (bani, adică doi zecimali), pentru că leul are 100 de bani. La distanțe lungi (kilometri parcurși) e suficientă rotunjirea la zecimi sau la întregi. La temperatură, de obicei la întregi. Regula practică: rotunjește cât de mult poți, dar nu atât de mult încât să pierzi informația de care chiar ai nevoie.

Același număr, trei rotunjiri — un exemplu complet

Hai să luăm un singur număr și să-l plimbăm prin toate cele trei poziții, ca să vezi cum se schimbă rezultatul. Fie masa unui pepene: 2,756 kg.

• La întregi: cifra de rotunjire este cea a zecimilor, 7 (peste 5) → urcăm partea întreagă. 2,756 ≈ 3 kg.
• La zecimi: cifra de rotunjire este cea a sutimilor, 5 (5 sau peste) → urcăm zecimea de la 7 la 8. 2,756 ≈ 2,8 kg.
• La sutimi: cifra de rotunjire este cea a miimilor, 6 (peste 5) → urcăm sutimea de la 5 la 6. 2,756 ≈ 2,76 kg.

Observă că de fiecare dată am privit altă cifră de rotunjire (7, apoi 5, apoi 6), pentru că poziția la care rotunjim s-a mutat. Niciodată nu „lanțuim" rezultatele între ele: pornim de fiecare dată curat, din 2,756.

În viața de zi cu zi alegem poziția în funcție de context. Iată cum ar arăta același număr citit de oameni diferiți:

Niciuna nu este „greșită": fiecare a ales cât de precis avea nevoie să fie. Regula practică rămâne: rotunjește cât poți de mult, dar nu atât încât să pierzi informația de care chiar ai nevoie.

De ce decide cifra aruncată — privește pe axă

Mulți elevi învață regula „sub 5 cobori, 5 sau peste urci" pe de rost, fără să înțeleagă de ce funcționează. Hai să o vedem pe axă, ca să nu o mai uiți niciodată.

Când rotunjești la zecimi, împarți distanța dintre două repere (de exemplu 4,6 și 4,7) în zece bucățele egale, fiecare de mărime 0,01. Mijlocul dintre cele două repere este la 4,65. Acum:

• dacă a doua zecimală (cifra aruncată) este 0, 1, 2, 3 sau 4, numărul stă în prima jumătate, deci mai aproape de reperul de jos (4,6);
• dacă este 5, 6, 7, 8 sau 9, numărul stă în a doua jumătate sau chiar la mijloc, deci mai aproape de reperul de sus (4,7), sau exact la jumătate (la 5), caz în care alegem prin convenție reperul de sus.

Așadar regula nu este o invenție arbitrară: ea spune pur și simplu „du-te la reperul de care ești mai aproape", iar cifra aruncată îți arată instantaneu în care jumătate te afli. Odată ce vezi asta pe axă, nu mai ai nevoie să calculezi distanțe de fiecare dată.

O poveste scurtă ca să nu uiți

Ana și Radu fac cumpărături. Au în coș produse de 7,89 lei, 3,40 lei și 11,25 lei. Radu, la casă, vrea să știe rapid dacă îi ajung banii (25 de lei). Rotunjește în minte la întregi: 8 + 3 + 11 = 22 de lei. „Ne ajung!", spune el. Casierul anunță 22,54 lei — exact lângă estimarea lui Radu. Aproximarea i-a dat siguranță în câteva secunde, fără calculator. Asta este puterea estimării.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aproximare prin lipsă și prin adaos la zecimi

Cerință: Aproximează numărul 8,476 prin lipsă și prin adaos la zecimi.

Rezolvare:

• La zecimi păstrăm o singură cifră după virgulă. Numărul se află între 8,4 și 8,5.
• Prin lipsă (reperul de jos): tăiem „76" și păstrăm cifra zecimilor → 8,4.
• Prin adaos (reperul de sus): adăugăm o unitate la cifra zecimilor → 8,5.

Răspuns: prin lipsă 8,4; prin adaos 8,5.

Exemplul 2 — Aproximare prin lipsă și prin adaos la sutimi

Cerință: Aproximează 0,732 prin lipsă și prin adaos la sutimi.

Rezolvare:

• La sutimi păstrăm două cifre după virgulă. Numărul se află între 0,73 și 0,74.
• Prin lipsă: tăiem ultimul 2 → 0,73.
• Prin adaos: adăugăm o unitate la cifra sutimilor → 0,74.

Răspuns: prin lipsă 0,73; prin adaos 0,74.

Exemplul 3 — Rotunjire la întregi cu regula cifrei

Cerință: Rotunjește la întregi numerele 6,3 și 6,7.

Rezolvare:

• Pentru 6,3: cifra de rotunjire (prima zecimală) este 3 → sub 5 → păstrăm partea întreagă. 6,3 ≈ 6.
• Pentru 6,7: cifra de rotunjire este 7 → 5 sau peste → adăugăm o unitate la partea întreagă. 6,7 ≈ 7.

Răspuns: 6,3 ≈ 6 și 6,7 ≈ 7. Observă cum aceeași poziție (întregi) dă rezultate diferite, în funcție de cifra de rotunjire.

Exemplul 4 — Rotunjire la zecimi și la sutimi pentru același număr

Cerință: Rotunjește 5,8473 la zecimi și apoi la sutimi.

Rezolvare:

• La zecimi: poziția zecimilor are cifra 8; prima cifră aruncată este 4 (din 5,8473) → sub 5 → păstrăm 8. 5,8473 ≈ 5,8.
• La sutimi: poziția sutimilor are cifra 4; prima cifră aruncată este 7 (din 5,8473) → peste 5 → adăugăm o unitate la 4, devine 5. 5,8473 ≈ 5,85.

Foarte important: rotunjim direct din numărul original, NU pas cu pas. La sutimi ne uităm DOAR la cifra miimilor (7), nu la ce am obținut la zecimi.

Răspuns: la zecimi 5,8; la sutimi 5,85.

Exemplul 5 — Rotunjire cu transport (cifra 9)

Cerință: Rotunjește 2,396 la sutimi.

Rezolvare:

• Poziția sutimilor are cifra 9; prima cifră aruncată este 6 → peste 5 → adăugăm o unitate la 9.
• 9 + 1 = 10 → scriem 0 la sutimi și ducem 1 la zecimi: 3 devine 4.
• Rezultat: 2,396 ≈ 2,40.

Răspuns: 2,40. Păstrăm zeroul de la sutimi pentru a arăta că am rotunjit la sutimi.

Exemplul 6 — Estimarea unui calcul

Cerință: Estimează, rotunjind la întregi, rezultatul calculului 38,7 − 12,4 + 5,6. Apoi compară cu rezultatul exact 31,9.

Rezolvare:

• 38,7 ≈ 39 (cifra de rotunjire 7, peste 5);
• 12,4 ≈ 12 (cifra de rotunjire 4, sub 5);
• 5,6 ≈ 6 (cifra de rotunjire 6, peste 5).
• Estimare: 39 − 12 + 6 = 33.

Răspuns: estimarea este 33, foarte aproape de rezultatul exact 31,9. Diferența mică confirmă că rezultatul exact este rezonabil — nu am greșit virgula sau vreo cifră mare.

Exemplul 7 — Aceeași cifră de rotunjire, poziții diferite

Cerință: Rotunjește 3,452 la zecimi și la sutimi.

Rezolvare:

• La zecimi: cifra zecimilor este 4; prima cifră aruncată este 5 (din 3,452) → 5 sau peste → urcăm 4 la 5. 3,452 ≈ 3,5.
• La sutimi: cifra sutimilor este 5; prima cifră aruncată este 2 (din 3,452) → sub 5 → păstrăm 5. 3,452 ≈ 3,45.

Răspuns: la zecimi 3,5; la sutimi 3,45. Observă: faptul că la zecimi am urcat NU înseamnă că urcăm și la sutimi — fiecare poziție își are propria cifră de rotunjire.

Exemplul 8 — Verificăm regula prin distanțe

Cerință: Rotunjește 4,62 la zecimi și demonstrează, calculând distanțele, că ai ales reperul cel mai apropiat.

Rezolvare:

• La zecimi, 4,62 se află între reperele 4,6 și 4,7.
• Cifra de rotunjire este 2 (sub 5) → regula spune să păstrăm zecimea: 4,62 ≈ 4,6.
• Verificare prin distanțe: de la 4,62 până la 4,6 este 0,02; de la 4,62 până la 4,7 este 0,08. Cum 0,02 < 0,08, reperul cel mai apropiat este chiar 4,6.

Răspuns: 4,62 ≈ 4,6. Regula cifrei de rotunjire (2 → sub 5 → cobori) ne-a dat exact același rezultat ca măsurarea distanțelor, dar mult mai repede.

Exemplul 9 — Estimarea unei înmulțiri (cumpărături)

Cerință: O familie cumpără 5 bilete la film, fiecare 19,80 lei. Estimează, rotunjind prețul la întregi, cât plătesc în total. Apoi compară cu suma exactă 99 lei.

Rezolvare:

• Rotunjim prețul unui bilet: 19,80 ≈ 20 lei (cifra de rotunjire 8, peste 5).
• Estimăm totalul: 5 × 20 = 100 lei.

Răspuns: estimarea este 100 lei, foarte aproape de suma exactă 99 lei. Diferența mică (1 leu) ne arată că un calcul exact apropiat de 100 este rezonabil; dacă ne-ar fi ieșit, de exemplu, 9,9 lei sau 990 lei, am ști imediat că am greșit virgula.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Scrie de fiecare dată semnul ≈ la rotunjiri.

1. Aproximează 4,82 prin lipsă și prin adaos la zecimi.
2. Aproximează 0,615 prin lipsă și prin adaos la sutimi.
3. Aproximează 27,4 prin lipsă și prin adaos la întregi.
4. Rotunjește la întregi: a) 3,2; b) 3,5; c) 3,9.
5. Rotunjește la zecimi: a) 1,42; b) 1,48; c) 1,45.
6. Rotunjește la sutimi: a) 0,613; b) 0,617; c) 0,615.
7. Rotunjește numărul 9,476 la întregi, la zecimi și la sutimi (toate trei, din numărul original).
8. Completează: cifra de rotunjire la rotunjirea lui 5,732 la zecimi este ____, deci rotunjim prin ____.
9. Adevărat sau fals? a) 6,49 rotunjit la zecimi este 6,5. b) 8,3 rotunjit la întregi este 9. c) Aproximarea prin lipsă a lui 2,7 la întregi este 2.
10. Încercuiește varianta corectă: 12,95 rotunjit la zecimi este: A) 12,9 B) 13,0 C) 12,90.
11. Potrivește fiecare număr cu rotunjirea lui la întregi: (a) 4,2 (b) 4,8 (c) 4,5 → cu valorile {4, 5, 5}.
12. Rotunjește la sutimi numărul 7,995 (atenție la transport!).
13. Estimează, rotunjind la întregi, rezultatul: 21,3 + 8,7 + 4,2.
14. Estimează, rotunjind la întregi: 49,8 − 19,6.
15. Mică problemă: La un magazin, un caiet costă 4,90 lei, un pix 2,80 lei și o gumă 1,40 lei. Estimează, rotunjind la întregi, cât plătești în total. Îți ajung 10 lei?
16. Mică problemă: Alergi 3,87 km luni, 4,12 km marți și 2,95 km miercuri. Estimează, rotunjind la întregi, câți kilometri ai alergat în total.
17. Scrie un număr zecimal care, rotunjit la zecimi, dă 6,3, dar rotunjit la întregi dă 6.
18. Completează tabelul pentru numărul 15,648: rotunjire la întregi = ____, la zecimi = ____, la sutimi = ____.
19. Rotunjește la zecimi: a) 3,64; b) 3,65; c) 3,69.
20. Rotunjește la sutimi numărul 19,996 (atenție: transportul curge peste mai multe poziții!).
21. Estimează, rotunjind prețul la întregi, cât costă 6 caiete a câte 4,80 lei fiecare.
22. Scrie un număr zecimal care, rotunjit la întregi, dă 5, dar rotunjit la zecimi dă 4,8.

Răspunsuri și explicații

1. Prin lipsă 4,8; prin adaos 4,9. (Tăiem cifra sutimilor; prin adaos adăugăm 0,1.)
2. Prin lipsă 0,61; prin adaos 0,62. (Tăiem miimea 5; prin adaos adăugăm 0,01.)
3. Prin lipsă 27; prin adaos 28. (Reperele întregi din jurul lui 27,4.)
4. a) 3 (cifra 2, sub 5); b) 4 (cifra 5, urcăm); c) 4 (cifra 9, urcăm).
5. a) 1,4 (cifra 2, sub 5); b) 1,5 (cifra 8, urcăm); c) 1,5 (cifra 5, urcăm).
6. a) 0,61 (cifra 3, sub 5); b) 0,62 (cifra 7, urcăm); c) 0,62 (cifra 5, urcăm).
7. La întregi: cifra de rotunjire 4 → 9. La zecimi: cifra de rotunjire 7 → 9,5. La sutimi: cifra de rotunjire 6 → 9,48. (Mereu privim numărul original 9,476.)
8. La rotunjirea la zecimi, cifra de rotunjire este prima cifră aruncată, adică cifra sutimilor: 3 (din 5,732). Fiind sub 5, rotunjim prin lipsă, deci 5,732 ≈ 5,7.
9. a) Adevărat (cifra 9, urcăm: 6,49 ≈ 6,5). b) Fals (cifra 3, sub 5: 8,3 ≈ 8). c) Adevărat (reperul de jos al lui 2,7 la întregi este 2).
10. B) 13,0. (Cifra de rotunjire 5 → urcăm 9 la 10, transport: 12,95 ≈ 13,0.)
11. (a) 4,2 → 4; (b) 4,8 → 5; (c) 4,5 → 5.
12. 8,00. (Cifra de rotunjire 5 → 99 + 1 face transport dublu: 7,995 ≈ 8,00.)
13. 21 + 9 + 4 = 34. (21,3≈21; 8,7≈9; 4,2≈4.)
14. 50 − 20 = 30. (49,8≈50; 19,6≈20.)
15. 5 + 3 + 1 = 9 lei (estimare). Da, îți ajung 10 lei (totalul exact e 9,10 lei).
16. 4 + 4 + 3 = 11 km (estimare). (3,87≈4; 4,12≈4; 2,95≈3.)
17. Exemplu de răspuns: 6,28 (la zecimi → 6,3; la întregi → 6). Sunt corecte și 6,31, 6,34 etc. — orice număr între 6,25 și 6,349…
18. La întregi 16 (cifra 6, urcăm); la zecimi 15,6 (cifra 4, sub 5); la sutimi 15,65 (cifra 8, urcăm).
19. a) 3,6 (cifra 4, sub 5); b) 3,7 (cifra 5, urcăm); c) 3,7 (cifra 9, urcăm).
20. 20,00. (Cifra de rotunjire 6 → adăugăm 1 la sutimea 9: transportul curge 9→0 la sutimi, 9→0 la zecimi, 19→20 la întregi: 19,996 ≈ 20,00.)
21. 6 × 5 = 30 lei (estimare; 4,80 ≈ 5). Suma exactă este 28,80 lei — chiar lângă estimare.
22. Exemplu de răspuns: 4,78 (la întregi → 5, cifra 7; la zecimi → 4,8, cifra 8). Sunt corecte și 4,75, 4,83 etc. — orice număr de la 4,75 până sub 4,85.

De reținut

• Aproximarea prin lipsă este reperul mai mic (tai și păstrezi); prin adaos este reperul mai mare (tai și mai pui o unitate).
• Rotunjirea alege aproximarea cea mai apropiată, după cifra de rotunjire (prima cifră aruncată): sub 5 cobori, 5 sau peste urci.
• Rotunjim mereu din numărul original, privind o singură cifră — cea imediat după poziție.
• La rotunjire scriem semnul ≈ („aproximativ egal"), nu =.
• Estimarea cu numere rotunjite ne ajută să verificăm dacă un rezultat este rezonabil și să prindem greșelile de virgulă.

Greșeli frecvente

• Confunzi „prin lipsă" cu „mai mare". Prin lipsă înseamnă valoarea sub numărul real (reperul de jos), nu deasupra. Ține minte: „lipsă" = îi lipsește ceva = e mai mic.
• Rotunjești în lanț, pas cu pas. Greșit: rotunjești 5,8473 întâi la sutimi (5,85), apoi la zecimi (5,9). Corect: la zecimi privești direct numărul original și cifra 4 → 5,8. Privește mereu O singură cifră, cea de după poziție.
• Uiți transportul când cifra este 9. La 4,98 rotunjit la zecimi, 9 + 1 = 10, deci rezultatul este 5,0, nu 4,10. Tratează-l ca la adunare: se „revarsă" spre stânga.
• Pui semnul = în loc de ≈. Rotunjirea nu este o egalitate exactă; folosește întotdeauna ≈.

Joc acasă

1. Vânătoarea de etichete. Caută prin casă 5 produse cu prețuri sau cantități zecimale (de exemplu 1,5 L suc, 0,75 kg făină, 4,99 lei). Rotunjește fiecare valoare la întregi și notează-le. Apoi adună estimările și compară cu suma reală a prețurilor.

2. Bonul de la cumpărături. Ia un bon real de la magazin. Înainte de a citi totalul, rotunjește fiecare preț la întregi și estimează suma în minte. Apoi verifică pe bon: cât de aproape ai fost? Repetă cu mai multe bonuri și vei deveni tot mai rapid.

3. Cronometrul. Cu un telefon, cronometrează cât stai sub apă, cât alergi prin curte sau cât ții echilibrul într-un picior — vei obține valori ca 12,47 secunde. Rotunjește rezultatul la zecimi și apoi la întregi. Compară de la o încercare la alta.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă două idei: alegerea celor două repere (prin lipsă / prin adaos) și alegerea celui mai apropiat (rotunjirea). Sprijiniți copilul să le vadă pe axă, nu doar ca reguli mecanice.

Cum predați eficient:

• Folosiți axa numerelor. Desenați segmentul între cele două repere și marcați numărul. Întrebarea cheie: „de care reper e mai aproape?". Așa regula „sub 5 / 5 sau peste" devine evidentă, nu memorată orbește.
• Insistați pe «o singură cifră». Cea mai frecventă greșeală este rotunjirea în lanț. Reformulați mereu: „pentru sutimi, ne uităm DOAR la cifra miimilor".
• Legați de bani și sport. Estimarea prețurilor și a distanțelor de alergare face lecția imediat utilă.

Întrebări utile de pus:

• „Care este cifra de rotunjire aici și ce ne spune ea?"
• „Aceasta este aproximarea prin lipsă sau prin adaos? De ce?"
• „Estimează rezultatul înainte să-l calculezi. Ți se pare rezonabil ce a ieșit?"

Cum verificați înțelegerea: cereți copilului să rotunjească același număr (de exemplu 7,648) la întregi, zecimi și sutimi și să explice cu voce tare cifra de rotunjire de fiecare dată. Dacă explică corect alegerea, a înțeles esența.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă aproximare prin lipsă și prin adaos? Aproximarea prin lipsă este numărul simplu cel mai apropiat care este mai mic decât numărul dat (reperul de jos), iar aproximarea prin adaos este cel mai mare (reperul de sus). De exemplu, 3,47 la zecimi are aproximarea prin lipsă 3,4 și prin adaos 3,5.

Cum rotunjesc un număr zecimal la zecimi? Te uiți la cifra zecimilor (prima după virgulă) și la cifra sutimilor (a doua). Dacă cifra sutimilor este sub 5, păstrezi zecimea; dacă este 5 sau peste, mărești zecimea cu o unitate. De exemplu, 1,48 ≈ 1,5, iar 1,42 ≈ 1,4.

Care este regula de rotunjire la clasa a 5-a? Regula cifrei de rotunjire: privești prima cifră aruncată. Dacă este 0, 1, 2, 3 sau 4 (sub 5), rotunjești prin lipsă (păstrezi cifra). Dacă este 5, 6, 7, 8 sau 9 (5 sau peste), rotunjești prin adaos (adaugi o unitate).

Ce fac dacă cifra de rotunjire este exact 5? Prin convenția folosită la școală, când cifra de rotunjire este exact 5, rotunjești în sus (prin adaos). De exemplu, 2,45 rotunjit la zecimi este 2,5.

De ce se folosesc aproximările în calcule? Pentru a estima rapid rezultatul și a verifica dacă un calcul exact este rezonabil. Dacă rotunjești termenii și aduni în minte, obții o valoare apropiată care te ajută să prinzi greșelile mari, mai ales cele de virgulă.

Rotunjesc la sutimi privind mai multe cifre? Nu. Privești o singură cifră: prima aruncată, adică cifra miimilor. Nu rotunji pas cu pas (întâi miimi, apoi sutimi), pentru că poți obține un rezultat greșit. Mereu pleci de la numărul original.

Ce semn folosesc la rotunjire, = sau ≈? Folosești semnul ≈, care se citește „aproximativ egal". Numărul rotunjit nu este egal exact cu cel original, ci doar apropiat, de aceea nu se pune semnul =.

Ce se întâmplă dacă, adăugând o unitate, cifra era 9? Apare un transport, exact ca la adunare: 9 devine 0 și mărești cu 1 cifra din stânga. De exemplu, 4,98 rotunjit la zecimi dă 5,0, iar 7,995 rotunjit la sutimi dă 8,00.