Acasă · Clasa a V-a · Lecții · Transformarea unei fracții zecimale finite în fracție ordinară

Transformarea unei fracții zecimale finite în fracție ordinară

Ai învățat deja să citești și să scrii numere zecimale și să transformi fracțiile cu numitori 10, 100 sau 1000 în fracții zecimale. Acum facem drumul invers: pornim de la un număr zecimal, cum ar fi 0,75 sau 3,4, și îl scriem ca fracție ordinară. Vestea bună este că ai nevoie de o singură regulă simplă, plus puțină simplificare. La final vei putea privi orice fracție zecimală finită și vei ști imediat ce fracție ordinară se ascunde în spatele virgulei.

Ce vei învăța

Vei ști să transformi o fracție zecimală finită într-o fracție ordinară, scriind numărul fără virgulă la numărător.
Vei ști să alegi corect numitorul (10, 100 sau 1000) după numărul de zecimale.
Vei ști să simplifici fracția obținută până la forma ireductibilă.
Vei ști să verifici rezultatul prin transformarea inversă (din fracție ordinară înapoi în zecimală).
Vei ști să transformi și numere zecimale supraunitare (mai mari ca 1), de exemplu 2,5 sau 12,08.

Hai să descoperim împreună

De ce are sens această transformare

Un număr zecimal și o fracție ordinară sunt două haine diferite pentru același număr. La fel cum „o jumătate" se poate scrie 0,5 sau $\frac{1}{2}$ , orice fracție zecimală finită ascunde în interiorul ei o fracție ordinară. Transformarea pe care o învățăm azi nu schimbă valoarea numărului — doar schimbă forma în care îl scriem.

De ce ne-ar trebui? Pentru că fracțiile ordinare sunt uneori mult mai ușor de folosit. De exemplu, dacă vrei să aduni $0, 25 + \frac{1}{3}$ , e mai comod să transformi 0,25 în $\frac{1}{4}$ și apoi să lucrezi cu fracții. Sau, dacă un magazin spune că un produs e cu 0,2 mai ieftin, e util să recunoști că 0,2 înseamnă $\frac{1}{5}$ din preț.

Ce înseamnă „fracție zecimală finită"

O fracție zecimală finită este un număr scris cu virgulă, care are un număr finit (limitat) de zecimale — adică se termină. De exemplu: 0,7 are o zecimală, 0,45 are două zecimale, 3,128 are trei zecimale. Toate acestea se „opresc" undeva după virgulă. (Există și numere zecimale care nu se termină niciodată, cum ar fi 0,333..., dar pe acelea le studiem mai târziu, în lecția despre transformarea fracției ordinare în zecimală și periodicitate.)

În lecția de azi lucrăm doar cu fracții zecimale finite, fiindcă doar acestea se transformă ușor și exact în fracții ordinare.

Regula de aur, în trei pași

Ca să transformi o fracție zecimală finită în fracție ordinară, urmezi mereu aceiași trei pași:

Pasul 1 — Scrii numărul fără virgulă la numărător. Iei numărul așa cum e, ștergi virgula și pui rezultatul sus, la numărător. Atenție: dacă numărul are zerouri în față (ca în 0,07), pe acelea le ignori la scriere — 0,07 fără virgulă devine 7, nu 007.

Pasul 2 — Alegi numitorul: 10, 100 sau 1000, după numărul de zecimale. Numărul de zerouri din numitor este egal cu numărul de cifre de după virgulă:

1 zecimală → numitor 10 (un zero);
2 zecimale → numitor 100 (două zerouri);
3 zecimale → numitor 1000 (trei zerouri);
și așa mai departe.

Pasul 3 — Simplifici fracția (dacă se poate), până ajungi la o fracție ireductibilă.

Să vedem regula la lucru pe un exemplu simplu

Transformăm 0,3.

Pasul 1. Scriu numărul fără virgulă: 0,3 devine 3. (Zeroul din față dispare.) Acesta este numărătorul.
Pasul 2. Câte zecimale are 0,3? Una singură (cifra 3). Deci numitorul este 10.
Obțin fracția $\frac{3}{10}$ .
Pasul 3. Se poate simplifica? 3 și 10 nu au divizori comuni în afară de 1, deci fracția este deja ireductibilă.

Rezultat: $0, 3 = \frac{3}{10}$ .

Citim „trei zecimi" — exact cum citeam numărul 0,3 la lecția despre scrierea și citirea fracției zecimale. Vezi? Numele numărului îți „șoptește" deja fracția: zecimi înseamnă numitor 10.

Un truc de memorat: numele zecimalei = numitorul

Aceasta este o legătură foarte utilă. Felul în care citești numărul îți spune direct ce numitor să pui:

Cum citești	Câte zecimale	Numitor
zecimi	1	10
sutimi	2	100
miimi	3	1000

Deci 0,9 = „nouă zecimi" = $\frac{9}{10}$ . Iar 0,09 = „nouă sutimi" = $\frac{9}{100}$ . Atenție mare la zerouri: 0,9 și 0,09 nu sunt egale, pentru că au alt număr de zecimale, deci alt numitor!

Numărarea zecimalelor — partea în care greșesc mulți

Pasul cel mai delicat este numărarea cifrelor de după virgulă. Trebuie să le numeri pe toate, inclusiv zerourile care apar imediat după virgulă.

0,5 → o zecimală → numitor 10.
0,05 → două zecimale (cifrele 0 și 5) → numitor 100.
0,005 → trei zecimale → numitor 1000.

Un sfat practic: numără zecimalele pe degete, de la virgulă spre dreapta, fără să sari peste niciun zero. Numărul de degete = numărul de zerouri din numitor.

Hai să facem împreună un exemplu cu zero între virgulă și prima cifră, ca să fixăm ideea. Transformăm 0,012. Numărăm zecimalele: 0 (prima), 1 (a doua), 2 (a treia) — sunt trei zecimale, deci numitorul este 1000. La numărător scriem numărul fără virgulă, adică 12 (zerourile din față dispar). Obținem $\frac{12}{1000}$ , iar după simplificare cu 4 ajungem la $\frac{3}{250}$ . Dacă am fi numărat greșit doar o singură zecimală, am fi obținut $\frac{12}{10}$ , adică 1,2 — un număr de o mie de ori mai mare! Iată cât de important e fiecare zero.

Cum simplificăm fracția obținută

După ce ai scris fracția, întrebarea este: se poate face mai simplă? Da, ori de câte ori numărătorul și numitorul au un divizor comun mai mare ca 1. Simplificarea o știi din lecția despre amplificare, simplificare și fracții ireductibile: împarți și numărătorul, și numitorul la același număr.

Pentru fracțiile cu numitor 10, 100 sau 1000, divizorii utili sunt mai ales 2 și 5 (fiindcă $10 = 2 \cdot 5$ ). De aceea, dacă numărătorul este par sau se termină în 5 sau 0, aproape sigur poți simplifica.

Exemplu: $\frac{75}{100}$ .

75 și 100 sunt amândouă divizibile cu 5: $\frac{75 : 5}{100 : 5} = \frac{15}{20}$ .
Încă o dată cu 5: $\frac{15 : 5}{20 : 5} = \frac{3}{4}$ .
3 și 4 nu mai au divizori comuni → gata, $\frac{3}{4}$ este ireductibilă.

Sfat de viteză: în loc să simplifici de mai multe ori, poți împărți direct la cel mai mare divizor comun al celor două numere. La $\frac{75}{100}$ , cmmdc-ul lui 75 și 100 este 25, deci $\frac{75 : 25}{100 : 25} = \frac{3}{4}$ dintr-o singură mișcare. Ambele drumuri duc la același rezultat — alege-l pe cel care ți se pare mai comod.

Numere zecimale mai mari ca 1 (supraunitare)

Și până acum am lucrat cu numere mai mici ca 1. Dar regula este exact aceeași și pentru numere ca 2,5 sau 12,08. Scrii întreg numărul fără virgulă la numărător, iar numitorul îl alegi tot după numărul de zecimale.

Exemplu: 2,5.

Fără virgulă: 25.
O zecimală → numitor 10.
Obțin $\frac{25}{10}$ , apoi simplific cu 5: $\frac{5}{2}$ .
Rezultat: $2, 5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$ .

Observă că $\frac{5}{2}$ este o fracție supraunitară (numărătorul e mai mare ca numitorul), exact cum și 2,5 este mai mare ca 1. Asta confirmă că nu am greșit. Dacă vrei, poți scoate întregii: $\frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$ , adică „doi întregi și o jumătate" — vezi lecția despre introducerea și scoaterea întregilor dintr-o fracție.

Verificarea prin transformarea inversă

De fiecare dată poți să-ți verifici singur rezultatul: transformă fracția ordinară înapoi în zecimală și vezi dacă obții numărul de la care ai pornit. Drumul invers îl știi din lecția precedentă, scrierea fracțiilor cu numitori puteri ale lui 10 ca fracții zecimale.

Exemplu de verificare pentru $0, 75 = \frac{3}{4}$ :

Aduc $\frac{3}{4}$ la numitor 100, amplificând cu 25: $\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100}$ .
$\frac{75}{100}$ se citește „75 de sutimi", adică 0,75. ✓

Numărul de la care am pornit a reapărut, deci transformarea e corectă. Verificarea este ca o oglindă: dacă fracția ta arată la fel după ce o întorci, ai lucrat bine.

De ce funcționează regula (justificarea)

Poate te întrebi: de unde vine, de fapt, această regulă? Nu e o vrajă, ci o consecință a felului în care e construit sistemul zecimal. Gândește-te la 0,75. Cifra 7 stă la poziția zecimilor, deci valorează $\frac{7}{10}$ , iar cifra 5 stă la poziția sutimilor, deci valorează $\frac{5}{100}$ . Adunând:

$0, 75 = \frac{7}{10} + \frac{5}{100} = \frac{70}{100} + \frac{5}{100} = \frac{75}{100} .$

Vezi? Numitorul comun a ieșit exact 100, iar la numărător a apărut chiar numărul 75 — adică numărul scris fără virgulă. Asta este toată „magia": regula scurtă pe care o folosim nu face decât să sară peste acești pași și să scrie direct rezultatul. La fel s-ar întâmpla pentru orice altă fracție zecimală finită. De aceea funcționează mereu.

O mică poveste ca să rămână în minte

Imaginează-ți că numărul zecimal este un drumeț care poartă un rucsac cu virgulă. Ca să intre în „țara fracțiilor ordinare", trebuie să lase virgula la intrare (pasul 1), să primească la poartă un numitor egal cu numărul de pași pe care i-a făcut după virgulă (pasul 2: 10, 100 sau 1000) și, în sfârșit, să se „spele" de greutatea inutilă, simplificând (pasul 3). Așa ajunge ușor și curat în forma lui de fracție ordinară. De fiecare dată când uiți regula, gândește-te la drumețul care lasă virgula la poartă.

Cazuri speciale pe care e bine să le recunoști din ochi

Câteva transformări apar atât de des, încât merită să le memorezi ca pe tabla înmulțirii. Dacă le știi pe de rost, vei lucra mult mai repede la teste:

Număr zecimal	Fracție ireductibilă
0,5	$\frac{1}{2}$
0,25	$\frac{1}{4}$
0,75	$\frac{3}{4}$
0,2	$\frac{1}{5}$
0,1	$\frac{1}{10}$
0,125	$\frac{1}{8}$

Observă cum 0,25 (un sfert) și 0,75 (trei sferturi) sunt „rude": 0,75 este de trei ori 0,25, la fel cum $\frac{3}{4}$ este de trei ori $\frac{1}{4}$ . Aceste numere apar peste tot — la prețuri, la ore (un sfert de oră = 0,25 h), la cantități. Cu cât le recunoști mai repede, cu atât matematica zecimală devine mai ușoară.

Unde folosim transformarea: bani, timp și măsuri

Transformarea aceasta nu rămâne închisă în caiet — o întâlnești în viața de zi cu zi, chiar dacă nu o numești „transformare de fracții".

La bani. Un leu are 100 de bani, deci orice sumă în lei și bani este deja o fracție cu numitor 100. De exemplu, 2,50 lei înseamnă $2 \frac{50}{100} = 2 \frac{1}{2}$ lei, adică doi lei și jumătate. Iar 0,25 lei = $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ dintr-un leu — un „sfert de leu". Când vânzătorul spune „un sfert", el folosește, fără să-și dea seama, fracția ordinară a numărului 0,25.
La timp. O oră are 60 de minute. 0,5 h = $\frac{1}{2}$ h = 30 de minute; 0,25 h = $\frac{1}{4}$ h = 15 minute; 0,75 h = $\frac{3}{4}$ h = 45 de minute. De aceea „trei sferturi de oră" și „0,75 ore" sunt exact același lucru.
La măsuri. Pe o riglă, 0,5 cm este jumătate de centimetru ( $\frac{1}{2}$ cm), iar 2,5 cm este $\frac{5}{2}$ cm. Când construiești ceva sau gătești după o rețetă, fracțiile ordinare sunt deseori mai ușor de „văzut" decât zecimalele: „o jumătate de pahar" se înțelege mai repede decât „0,5 pahare".

Morala este simplă: ori de câte ori auzi „un sfert", „o jumătate", „trei sferturi", recunoști de fapt numerele 0,25, 0,5 și 0,75 deghizate în fracții ordinare. Cu cât treci mai ușor de la o haină la cealaltă, cu atât înțelegi mai bine lumea din jur.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — o singură zecimală

Transformă 0,4 în fracție ordinară.

Pasul 1: fără virgulă → 4 (numărător).
Pasul 2: o zecimală → numitor 10. Obțin $\frac{4}{10}$ .
Pasul 3: 4 și 10 se împart la 2: $\frac{4 : 2}{10 : 2} = \frac{2}{5}$ . Ireductibilă.

Rezultat: $0, 4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ . Verificare: $\frac{2}{5}$ amplificat cu 2 → $\frac{4}{10}$ = 0,4. ✓

Exemplul 2 — două zecimale, simplificare în mai mulți pași

Transformă 0,24.

Pasul 1: fără virgulă → 24.
Pasul 2: două zecimale → numitor 100. Obțin $\frac{24}{100}$ .
Pasul 3: ambele sunt pare, împart la 2: $\frac{12}{50}$ . Încă o dată la 2: $\frac{6}{25}$ . Acum 6 și 25 nu mai au divizori comuni.

Rezultat: $0, 24 = \frac{24}{100} = \frac{6}{25}$ . Verificare: $\frac{6}{25}$ amplificat cu 4 → $\frac{24}{100}$ = 0,24. ✓

Exemplul 3 — atenție la zeroul de după virgulă

Transformă 0,06.

Pasul 1: fără virgulă → 6 (nu 06, zeroul din față se ignoră).
Pasul 2: câte zecimale? Două: cifrele 0 și 6. Deci numitor 100. Obțin $\frac{6}{100}$ .
Pasul 3: împart la 2: $\frac{3}{50}$ . 3 și 50 nu au divizori comuni → ireductibilă.

Rezultat: $0, 06 = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}$ . Atenție: dacă greșeai și puneai numitor 10, obțineai $\frac{6}{10} = 0, 6$ , adică un număr de zece ori mai mare! Numărarea zecimalelor e esențială.

Exemplul 4 — trei zecimale

Transformă 0,125.

Pasul 1: fără virgulă → 125.
Pasul 2: trei zecimale → numitor 1000. Obțin $\frac{125}{1000}$ .
Pasul 3: 125 și 1000 se împart la 125 (cmmdc): $\frac{125 : 125}{1000 : 125} = \frac{1}{8}$ . (Dacă nu vezi imediat 125, poți merge treptat: ÷5 → $\frac{25}{200}$ , ÷5 → $\frac{5}{40}$ , ÷5 → $\frac{1}{8}$ .)

Rezultat: $0, 125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$ . Verificare: $\frac{1}{8}$ amplificat cu 125 → $\frac{125}{1000}$ = 0,125. ✓ Reține: 0,125 = o optime — un rezultat foarte des întâlnit.

Exemplul 5 — număr supraunitar

Transformă 3,6.

Pasul 1: fără virgulă → 36.
Pasul 2: o zecimală → numitor 10. Obțin $\frac{36}{10}$ .
Pasul 3: împart la 2: $\frac{18}{5}$ . 18 și 5 nu mai au divizori comuni.

Rezultat: $3, 6 = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}$ . Fracția este supraunitară, ceea ce se potrivește, fiindcă 3,6 > 1. Scoțând întregii: $\frac{18}{5} = 3 \frac{3}{5}$ . ✓

Exemplul 6 — număr cu parte întreagă și două zecimale

Transformă 1,08.

Pasul 1: fără virgulă → 108.
Pasul 2: două zecimale → numitor 100. Obțin $\frac{108}{100}$ .
Pasul 3: ambele pare, ÷2 → $\frac{54}{50}$ , ÷2 → $\frac{27}{25}$ . 27 și 25 nu au divizori comuni.

Rezultat: $1, 08 = \frac{108}{100} = \frac{27}{25}$ . Verificare: $\frac{27}{25}$ amplificat cu 4 → $\frac{108}{100}$ = 1,08. ✓

Exemplul 7 — patru zecimale și o simplificare „mare"

Transformă 0,0625.

Pasul 1: fără virgulă → 625 (zeroul din față dispare).
Pasul 2: numărăm zecimalele: 0, 6, 2, 5 — patru zecimale → numitor 10000 (patru zerouri). Obțin $\frac{625}{10000}$ .
Pasul 3: atât 625, cât și 10000 se împart la 625 (acesta este cmmdc-ul lor): $\frac{625 : 625}{10000 : 625} = \frac{1}{16}$ . Dacă nu vezi imediat 625, mergi treptat împărțind de patru ori la 5: $\frac{625}{10000} \to \frac{125}{2000} \to \frac{25}{400} \to \frac{5}{80} \to \frac{1}{16}$ .

Rezultat: $0, 0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$ . Verificare: $\frac{1}{16}$ amplificat cu 625 → $\frac{625}{10000}$ = 0,0625. ✓ Reține: 0,0625 = o șaisprezecime — apare des când împarți repetat la jumătate (jumătate din 0,125).

Exemplul 8 — fracție care se simplifică doar cu 5

Transformă 0,65.

Pasul 1: fără virgulă → 65.
Pasul 2: două zecimale → numitor 100. Obțin $\frac{65}{100}$ .
Pasul 3: numărătorul 65 este impar, deci NU se poate împărți la 2. Dar se termină în 5, așa că împart la 5: $\frac{65 : 5}{100 : 5} = \frac{13}{20}$ . Acum 13 este număr prim și nu divide 20, deci fracția este ireductibilă.

Rezultat: $0, 65 = \frac{65}{100} = \frac{13}{20}$ . Atenție: aici „reflexul" de a împărți la 2 nu merge, fiindcă numărătorul e impar. Când numărătorul e impar dar se termină în 5, simplifici doar cu 5. Acesta este un caz în care trebuie să te uiți la cifre, nu să aplici mecanic ÷2.

Exemplul 9 — parte întreagă și trei zecimale

Transformă 1,375.

Pasul 1: fără virgulă → 1375.
Pasul 2: trei zecimale → numitor 1000. Obțin $\frac{1375}{1000}$ .
Pasul 3: ambele se termină în cifre „prietene" cu 5; cmmdc-ul lor este 125, deci $\frac{1375 : 125}{1000 : 125} = \frac{11}{8}$ . (Treptat: ÷5 → $\frac{275}{200}$ , ÷5 → $\frac{55}{40}$ , ÷5 → $\frac{11}{8}$ .) Numărătorul 11 este prim și nu divide 8, deci fracția e ireductibilă.

Rezultat: $1, 375 = \frac{1375}{1000} = \frac{11}{8}$ . Fracția este supraunitară (numărătorul 11 > numitorul 8), ceea ce se potrivește cu 1,375 > 1. Scoțând întregii: $\frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8}$ , adică „un întreg și trei optimi". Verificare: $\frac{11}{8}$ amplificat cu 125 → $\frac{1375}{1000}$ = 1,375. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. Pentru fiecare cerință, scrie toți pașii, nu doar răspunsul. La transformări, dă mereu forma ireductibilă.

Transformă în fracție ordinară: 0,7.
Transformă în fracție ordinară: 0,9.
Transformă și simplifică: 0,5.
Transformă și simplifică: 0,8.
Transformă și simplifică: 0,15.
Transformă și simplifică: 0,35.
Transformă și simplifică: 0,04.
Transformă și simplifică: 0,250. (Atenție: zeroul final.)
Transformă și simplifică: 0,375.
Transformă numărul supraunitar: 2,4.
Transformă numărul supraunitar: 1,75.
Completează: 0,6 = $\frac{□}{10}$ = $\frac{3}{□}$ .
Adevărat sau fals? 0,2 = $\frac{1}{5}$ .
Adevărat sau fals? 0,07 = $\frac{7}{10}$ .
Încercuiește numărul care NU este egal cu $\frac{1}{4}$ : ; 0,25 ; ; ; 0,4 ; ; ; $\frac{25}{100}$ .
Potrivește fiecare număr zecimal cu fracția lui ireductibilă: a) 0,5 b) 0,2 c) 0,75 d) 0,125 I) $\frac{1}{8}$ II) $\frac{1}{2}$ III) $\frac{1}{5}$ IV) $\frac{3}{4}$
Mică problemă. Maria a băut 0,75 dintr-un litru de apă, iar Andrei 0,6 dintr-un litru. Scrie sub formă de fracții ordinare ireductibile cantitățile băute de fiecare.
Mică problemă. Un telefon s-a ieftinit cu 0,2 din preț de Black Friday. Ce fracție din preț reprezintă reducerea și ce fracție mai plătești?
Transformă și simplifică: 0,45.
Transformă și simplifică: 0,008.
Adevărat sau fals? 0,250 = 0,25.
Completează tabelul cu fracțiile ireductibile corespunzătoare:

Număr zecimal Fracție ordinară

0,5 ?

0,12 ?

0,6 ?

1,5 ?
Mică problemă. La un test, un elev a rezolvat corect 0,8 din exerciții. Ce fracție ireductibilă din test a rezolvat corect? Dacă testul a avut 15 exerciții, câte a rezolvat corect?
Transformă și simplifică: 0,55. (Atenție: numărător impar.)
Transformă și simplifică: 0,025.
Transformă numărul supraunitar: 3,25.
Adevărat sau fals? 0,4 = $\frac{2}{5}$ .
Mică problemă. La un concurs de atletism, un elev a sărit 1,25 m. Scrie lungimea săriturii ca fracție ordinară ireductibilă și apoi ca număr mixt (cu întregi scoși).
Transformă și simplifică: 0,85. (Atenție: numărător impar.)
Transformă și simplifică: 0,016.
Transformă numărul supraunitar: 2,75.

Număr zecimal	Fracție ordinară
0,5	?
0,12	?
0,6	?
1,5	?

Răspunsuri și explicații

$\frac{7}{10}$ . O zecimală → numitor 10; 7 și 10 nu se simplifică.
$\frac{9}{10}$ . La fel, „nouă zecimi", ireductibilă.
$\frac{1}{2}$ . $0, 5 = \frac{5}{10}$ , ÷5 → $\frac{1}{2}$ .
$\frac{4}{5}$ . $0, 8 = \frac{8}{10}$ , ÷2 → $\frac{4}{5}$ .
$\frac{3}{20}$ . $0, 15 = \frac{15}{100}$ , ÷5 → $\frac{3}{20}$ .
$\frac{7}{20}$ . $0, 35 = \frac{35}{100}$ , ÷5 → $\frac{7}{20}$ .
$\frac{1}{25}$ . Două zecimale → $\frac{4}{100}$ , ÷4 → $\frac{1}{25}$ .
$\frac{1}{4}$ . Aici 0,250 = 0,25 (zeroul final nu schimbă valoarea). $\frac{25}{100}$ , ÷25 → $\frac{1}{4}$ . (Dacă socoteai trei zecimale: $\frac{250}{1000}$ , ÷250 → tot $\frac{1}{4}$ . Același rezultat — frumos, nu?)
$\frac{3}{8}$ . Trei zecimale → $\frac{375}{1000}$ , ÷125 → $\frac{3}{8}$ .
$\frac{12}{5}$ . $2, 4 = \frac{24}{10}$ , ÷2 → $\frac{12}{5}$ (supraunitară, = $2 \frac{2}{5}$ ).
$\frac{7}{4}$ . $1, 75 = \frac{175}{100}$ , ÷25 → $\frac{7}{4}$ (= $1 \frac{3}{4}$ ).
6 și 5. $0, 6 = \frac{6}{10}$ ; simplificat cu 2 → $\frac{3}{5}$ , deci al doilea numitor este 5.
Adevărat. $0, 2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ .
Fals. 0,07 are două zecimale → $\frac{7}{100}$ , nu $\frac{7}{10}$ . ( $\frac{7}{10}$ ar fi 0,7.)
Se încercuiește 0,4. $0, 25 = \frac{1}{4}$ și $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ , dar $0, 4 = \frac{2}{5} \neq = \frac{1}{4}$ .
a–II, b–III, c–IV, d–I. $0, 5 = \frac{1}{2}$ ; $0, 2 = \frac{1}{5}$ ; $0, 75 = \frac{3}{4}$ ; $0, 125 = \frac{1}{8}$ .
Maria: $\frac{3}{4}$ ( $0, 75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ ); Andrei: $\frac{3}{5}$ ( $0, 6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ ).
Reducerea: $\frac{1}{5}$ ( $0, 2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ ). Mai plătești restul, adică $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ din preț.
$\frac{9}{20}$ . $0, 45 = \frac{45}{100}$ , ÷5 → $\frac{9}{20}$ .
$\frac{1}{125}$ . Trei zecimale → $\frac{8}{1000}$ , ÷8 → $\frac{1}{125}$ .
Adevărat. Zeroul de la sfârșit nu schimbă valoarea: $\frac{250}{1000} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ , la fel ca 0,25.
$\frac{1}{2}$ ; $\frac{3}{25}$ ; $\frac{3}{5}$ ; $\frac{3}{2}$ . Pe rând: $0, 5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ ; $0, 12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$ ; $0, 6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ ; $1, 5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ .
$\frac{4}{5}$ ( $0, 8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ ). Din 15 exerciții: $\frac{4}{5}$ din 15 = $15 : 5 \cdot 4 = 12$ exerciții rezolvate corect.
$\frac{11}{20}$ . $0, 55 = \frac{55}{100}$ ; numărătorul 55 e impar, deci nu cu 2, ci cu 5: ÷5 → $\frac{11}{20}$ (11 e prim, ireductibilă).
$\frac{1}{40}$ . Trei zecimale → $\frac{25}{1000}$ , ÷25 → $\frac{1}{40}$ .
$\frac{13}{4}$ . $3, 25 = \frac{325}{100}$ , ÷25 → $\frac{13}{4}$ (supraunitară, = $3 \frac{1}{4}$ ).
Adevărat. $0, 4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .
$\frac{5}{4}$ ( $1, 25 = \frac{125}{100}$ , ÷25 → $\frac{5}{4}$ ), iar ca număr mixt $\frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$ m (un metru și un sfert).
$\frac{17}{20}$ . $0, 85 = \frac{85}{100}$ ; 85 e impar, deci ÷5 → $\frac{17}{20}$ (17 e prim, ireductibilă).
$\frac{2}{125}$ . Trei zecimale → $\frac{16}{1000}$ , ÷8 → $\frac{2}{125}$ .
$\frac{11}{4}$ . $2, 75 = \frac{275}{100}$ , ÷25 → $\frac{11}{4}$ (supraunitară, = $2 \frac{3}{4}$ ).

De reținut

Trei pași: numărul fără virgulă la numărător → numitor 10 / 100 / 1000 după câte zecimale ai → simplifici.
Numărul de zerouri din numitor = numărul de cifre după virgulă (numără-le pe toate, inclusiv zerourile!).
Numele zecimalei îți dă numitorul: zecimi → 10, sutimi → 100, miimi → 1000.
Dă mereu rezultatul în forma ireductibilă; pentru numitori 10/100/1000 simplifici de obicei cu 2 și cu 5.
Verifică transformând fracția înapoi în zecimală: trebuie să obții numărul de la care ai pornit.

Greșeli frecvente

Numeri greșit zecimalele când există zerouri. 0,06 are două zecimale, nu una. Confuzia duce la $\frac{6}{10}$ în loc de $\frac{6}{100}$ — un număr de 10 ori mai mare. Numără cifrele de după virgulă pe degete.
Uiți să simplifici. $\frac{50}{100}$ este corect ca valoare, dar nu e forma finală cerută. Continuă până ajungi la $\frac{1}{2}$ . O fracție se consideră transformată corect doar când e ireductibilă.
Pui zerourile din față la numărător. 0,07 → numărător 7, nu 07. Zerourile dinaintea primei cifre nenule nu se scriu la numărător; ele se „simt" doar prin numitorul mai mare.
Crezi că 0,5 și 0,05 sunt egale. Au alt număr de zecimale, deci numitori diferiți: $\frac{1}{2}$ față de $\frac{1}{20}$ . Virgula și zerourile contează enorm.
Împarți mecanic la 2 un numărător impar. La $\frac{65}{100}$ , numărătorul 65 este impar, deci NU se împarte la 2 — încerci cu 5 și obții $\frac{13}{20}$ . Uită-te întâi la ultima cifră a numărătorului: par → poți ÷2; se termină în 5 → poți ÷5.
Te oprești prea devreme la simplificare. $\frac{24}{100} = \frac{12}{50}$ pare „mai simplu", dar 12 și 50 sunt încă pare. Continuă: $\frac{6}{25}$ . Verifică mereu dacă mai există un divizor comun înainte de a scrie rezultatul final.

Joc acasă

Cutia cu bonuri. Strânge câteva bonuri de cumpărături și caută prețuri „rotunde" gen 2,50 lei, 0,75 lei, 1,20 lei. Transformă fiecare preț în fracție ordinară ireductibilă și scrie-le pe o foaie. Cine găsește cele mai multe prețuri egale cu $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ sau $\frac{3}{4}$ dintr-un leu câștigă.
Rigla și sutimile. Ia o riglă de 10 cm. Fiecare milimetru este 0,1 cm. Alege puncte (de exemplu 2,5 cm; 7,5 cm; 0,4 cm) și transformă fiecare măsură în fracție ordinară. Verifică apoi: $\frac{1}{4}$ din 10 cm cade exact la 2,5 cm? Da! Așa „vezi" fracția pe riglă.
Duel de transformări. Joacă în doi. Unul spune un număr zecimal cu cel mult trei zecimale, celălalt are 30 de secunde să-l scrie ca fracție ireductibilă și să verifice transformând înapoi. Apoi schimbați rolurile. Un punct pentru fiecare răspuns corect și verificat.

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează legătura dintre cele două scrieri ale aceluiași număr rațional pozitiv. Algoritmul are trei pași și e bine ca elevul să-i verbalizeze de fiecare dată: „șterg virgula", „numitor după numărul de zecimale", „simplific".

Cum sprijiniți eficient:

Insistați pe numărarea zecimalelor, mai ales când apar zerouri (0,06; 0,250). Aici se nasc cele mai multe erori. Cereți copilului să numere cifrele de după virgulă cu voce tare.
Cereți forma ireductibilă ca standard. Întrebați mereu: „Se mai poate simplifica? Care e cel mai mare număr cu care împart și sus, și jos?". Asta exersează și cmmdc-ul.
Folosiți verificarea inversă ca obicei, nu ca opțiune. Transformarea fracției înapoi în zecimală îi dă elevului autonomie: nu mai depinde de cheia de răspunsuri ca să știe dacă e corect.
Întrebări de verificare a înțelegerii: „De ce 0,06 are numitor 100 și nu 10?", „Cum arăți că 0,2 = $\frac{1}{5}$ ?", „Poate o fracție zecimală mai mare ca 1 să dea o fracție subunitară? De ce nu?".

Dacă elevul greșește sistematic numitorul, reveniți o clipă la legătura cu citirea numărului (zecimi/sutimi/miimi) și la reprezentarea pe pătratul împărțit în 10 și în 100 de părți.

Întrebări frecvente

Cum transform un număr zecimal în fracție la clasa a 5-a? Scrii numărul fără virgulă la numărător, pui la numitor 10, 100 sau 1000 (atâtea zerouri câte zecimale ai) și apoi simplifici fracția. De exemplu, 0,75 → $\frac{75}{100}$ → $\frac{3}{4}$ .

Cum aleg numitorul: 10, 100 sau 1000? După numărul de cifre de după virgulă. O zecimală înseamnă numitor 10, două zecimale înseamnă 100, trei zecimale înseamnă 1000. Numeri toate cifrele de după virgulă, inclusiv zerourile.

De ce trebuie să simplific fracția? Pentru că forma cerută este cea ireductibilă, cea mai simplă scriere a aceleiași valori. $\frac{50}{100}$ și $\frac{1}{2}$ înseamnă același număr, dar $\frac{1}{2}$ e forma finală corectă. Simplifici împărțind numărătorul și numitorul la același număr.

Cât face 0,25 ca fracție? $0, 25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ , adică o pătrime. Este una dintre cele mai des întâlnite transformări, alături de 0,5 = $\frac{1}{2}$ și 0,75 = $\frac{3}{4}$ .

0,5 și 0,05 sunt la fel? Nu. 0,5 are o zecimală și dă $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ , iar 0,05 are două zecimale și dă $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ . Sunt numere foarte diferite ca valoare.

Cum verific dacă am transformat corect? Transformi fracția obținută înapoi în număr zecimal: o amplifici la numitor 10, 100 sau 1000 și o citești. Dacă obții exact numărul de la care ai pornit, transformarea este corectă.

Pot transforma și un număr mai mare ca 1, de exemplu 2,5? Da, regula e aceeași. 2,5 → fără virgulă 25 → numitor 10 → $\frac{25}{10}$ → simplificat $\frac{5}{2}$ . Rezultatul este o fracție supraunitară, fiindcă numărul e mai mare ca 1.

Ce este o fracție zecimală finită? Este un număr cu virgulă care are un număr limitat de zecimale, adică se termină (0,7; 0,45; 3,128). Doar acestea se transformă exact în fracții ordinare. Numerele zecimale care nu se termină (periodice) se studiază în lecția 69.

Contează zeroul de la sfârșit, ca în 0,40? Nu schimbă valoarea: 0,40 = 0,4, fiindcă un zero la coadă nu adaugă nimic. Poți să-l tai și să lucrezi cu 0,4 → $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ . Dacă, în schimb, păstrezi cele două zecimale, obții $\frac{40}{100}$ , care simplificat dă tot $\frac{2}{5}$ . Așadar rezultatul este același pe ambele drumuri. Atenție însă: zeroul de la început sau dintre virgulă și prima cifră (ca în 0,04) chiar contează, fiindcă schimbă numărul de zecimale.

Cu ce număr simplific cel mai des fracțiile cu numitor 10, 100 sau 1000? Cu 2 și cu 5, fiindcă numitorii aceștia sunt formați doar din factorii 2 și 5 ( $10 = 2 \cdot 5$ , $100 = 2^{2} \cdot 5^{2}$ etc.). Practic: dacă numărătorul este par, începi cu ÷2; dacă se termină în 5 sau 0, încerci ÷5. Repeți până când numărătorul devine impar și nu se mai termină în 5 — atunci fracția e ireductibilă.