Scrierea fracțiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 ca fracții zecimale

Ai întâlnit deja fracțiile ordinare, cu numărător, numitor și linie de fracție, și ai cunoscut fracția zecimală cu virgula ei. Astăzi construim podul dintre cele două lumi: vei învăța cum o fracție ordinară care are la numitor 10, 100 sau 1000 se transformă, simplu și sigur, într-o fracție zecimală. Este una dintre cele mai utile transformări din toată matematica de gimnaziu, pentru că exact așa „citește" calculatorul, banca și magazinul fracțiile. Hai să descoperim regula și să o stăpânim perfect.

Ce vei învăța

• Vei ști să transformi o fracție cu numitor 10, 100 sau 1000 (o putere a lui 10) într-o fracție zecimală.
• Vei ști să afli, dintr-o privire, câte zecimale are rezultatul, numărând zerourile numitorului.
• Vei ști să adaugi zerourile lipsă în fața numărătorului, atunci când acesta are prea puține cifre.
• Vei ști să verifici corectitudinea transformării prin citirea cu voce tare a numărului zecimal.
• Vei ști să recunoști când o fracție ordinară poate fi scrisă direct ca fracție zecimală.

Hai să descoperim împreună

O fracție zecimală este, de fapt, tot o fracție cu numitor putere a lui 10

Hai să pornim de la ceva ce deja știi. Când ai învățat despre fracția zecimală, ai văzut că numărul $0,7$ se citește „șapte zecimi". Iar „șapte zecimi" înseamnă, scris ca fracție ordinară, exact $\frac{7}{10}$.

Așadar:

$$\frac{7}{10}=0,7$$

Surpriza plăcută este aceasta: fracția zecimală nu e un lucru nou și ciudat, ci doar o altă haină pentru o fracție ordinară care are la numitor o putere a lui 10. Numerele zecimale s-au inventat tocmai ca să nu mai scriem mereu numitorii 10, 100, 1000 — îi ascundem în poziția virgulei.

Reamintim: ce înseamnă „putere a lui 10"

O putere a lui 10 este un număr de forma $10$, $100$, $1000$, $10000$ și așa mai departe — adică $1$ urmat de unul sau mai multe zerouri. Le putem scrie și cu exponent:

• $10=10^1$ (un zero)
• $100=10^2$ (două zerouri)
• $1000=10^3$ (trei zerouri)
• $10000=10^4$ (patru zerouri)

Reține ideea de aur, pe care o vom folosi tot timpul: numărul de zerouri din numitor este egal cu exponentul lui 10. Iar acel număr de zerouri va decide câte zecimale are rezultatul.

Pasul 1 — Numărăm zerourile de la numitor

Aceasta este cheia întregii lecții. Regula spune:

Numărul de zecimale al rezultatului este egal cu numărul de zerouri din numitor.

Hai să o aplicăm pe trei fracții ușoare, cu numărător de o singură cifră:

• $\frac{3}{10}$ — numitorul are un zero → rezultatul are o zecimală → $0,3$
• $\frac{3}{100}$ — numitorul are două zerouri → rezultatul are două zecimale → $0,03$
• $\frac{3}{1000}$ — numitorul are trei zerouri → rezultatul are trei zecimale → $0,003$

Observă cum se schimbă numărul! Deși numărătorul a rămas mereu $3$, valoarea scade pe măsură ce numitorul crește, fiindcă împărțim aceeași felie ($3$) în tot mai multe părți ($10$, apoi $100$, apoi $1000$).

Pasul 2 — Adăugăm zerourile care lipsesc la stânga numărătorului

Aici apare singura mică dificultate a lecției, dar o vei stăpâni repede. Uneori numărătorul are mai puține cifre decât numărul de zecimale cerut. În acest caz, completăm cu zerouri în fața numărătorului (la stânga), până avem suficiente cifre după virgulă.

Hai să vedem de ce. Privește din nou:

$$\frac{3}{100}=0,03$$

Numitorul $100$ cere două zecimale. Dar numărătorul $3$ are o singură cifră. Dacă am scrie greșit $0,3$, am avea doar o zecimală — am greși! Ne trebuie încă o cifră după virgulă, așa că punem un $0$ înaintea lui $3$ și obținem $0,03$. Acum avem două zecimale, exact câte cere numitorul $100$.

Regula de lucru, pas cu pas:

1. Numără zerourile numitorului — acesta este numărul de zecimale dorit.
2. Numără cifrele numărătorului.
3. Dacă numărătorul are mai puține cifre decât numărul de zecimale, adaugă zerouri în față până le egalezi.
4. Pune virgula astfel încât după ea să rămână exact atâtea cifre câte zerouri are numitorul.
5. Dacă în fața virgulei nu mai rămâne nicio cifră, scrie un $0$ acolo (un singur zero înainte de virgulă).

Hai să urmărim un exemplu cu numitorul $1000$ (trei zerouri, deci trei zecimale):

• $\frac{452}{1000}$: numărătorul $452$ are deja $3$ cifre → $0,452$. Perfect, nu lipsește niciun zero.
• $\frac{52}{1000}$: numărătorul $52$ are doar $2$ cifre, ne trebuie $3$ → adăugăm un zero în față: $052$ → $0,052$.
• $\frac{5}{1000}$: numărătorul $5$ are o cifră, ne trebuie $3$ → adăugăm două zerouri în față: $005$ → $0,005$.

Foarte important: zerourile se adaugă doar la stânga numărătorului, niciodată la dreapta. Un zero la dreapta ar înmulți numărătorul cu 10 și ar strica numărul! $\frac{5}{1000}$ este $0,005$, nu $0,050$.

Pasul 3 — Așezarea virgulei, „numărând de la dreapta"

Există un truc rapid pe care îl folosesc mulți elevi. După ce ai numărătorul scris (eventual cu zerourile de completare în față), pui virgula numărând cifrele de la dreapta spre stânga, atâtea câte zerouri are numitorul.

Exemplu: $\frac{1234}{100}$. Numitorul $100$ are două zerouri. Pornim de la cifra din dreapta a lui $1234$ și numărăm două poziții: $4$ (una), $3$ (două) → punem virgula chiar înaintea lui $3$:

$$\frac{1234}{100}=12,34$$

Vezi că aici numărătorul era mai mare decât numitorul, deci rezultatul este supraunitar (mai mare decât $1$) și are și parte întreagă: $12$ întregi și $34$ de sutimi.

Pasul 4 — Verificarea prin citire

De fiecare dată, verifică-ți rezultatul citindu-l cu voce tare. Dacă citirea îți redă exact fracția de la care ai plecat, transformarea e corectă.

• $\frac{7}{10}$ se citește „șapte zecimi". Citim $0,7$ → „zero întregi și șapte zecimi". ✔️ Se potrivește.
• $\frac{9}{100}$ se citește „nouă sutimi". Citim $0,09$ → „zero întregi și nouă sutimi". ✔️ Se potrivește.
• $\frac{9}{1000}$ se citește „nouă miimi". Citim $0,009$ → „nouă miimi". ✔️ Se potrivește.

Locurile după virgulă au nume: prima poziție = zecimi, a doua = sutimi, a treia = miimi. Numitorul îți spune exact unde „se oprește" ultima cifră: la $10$ se oprește la zecimi, la $100$ la sutimi, la $1000$ la miimi.

Și dacă numărătorul este foarte mare?

Regula nu se schimbă! Numărul de zecimale rămâne mereu egal cu numărul de zerouri al numitorului, indiferent cât de mare e numărătorul. Diferența e doar că apare o parte întreagă mai mare.

• $\frac{3057}{1000}$: trei zecimale → numărăm trei cifre de la dreapta ($7,5,0$), virgula cade înaintea lui $0$ → $3,057$. Citim: „trei întregi și cincizeci și șapte de miimi".
• $\frac{80}{10}$: o zecimală → o cifră de la dreapta ($0$), virgula înaintea lui $0$ → $8,0=8$. Aici rezultatul este chiar numărul natural $8$, fiindcă $80:10=8$.

Ultimul exemplu ascunde o idee frumoasă: transformarea fracției cu numitor putere a lui 10 într-o fracție zecimală nu e altceva decât împărțirea numărătorului la numitor. Iar a împărți la $10$, $100$, $1000$ înseamnă a muta virgula spre stânga cu unul, două, respectiv trei locuri. Despre împărțirea cu $10$, $100$, $1000$ vei învăța pe larg în lecția despre împărțirea fracției zecimale.

O analogie cu banii

Gândește-te la lei și bani (sutimi de leu). Un leu are $100$ de bani. Atunci:

• $\frac{50}{100}$ dintr-un leu = $50$ de bani = $0,50$ lei (jumătate de leu).
• $\frac{5}{100}$ dintr-un leu = $5$ bani = $0,05$ lei.
• $\frac{99}{100}$ dintr-un leu = $99$ de bani = $0,99$ lei.

Observă cum „$5$ bani" se scrie $0,05$ și nu $0,5$: numitorul $100$ cere două zecimale, iar numărătorul $5$ are nevoie de un zero în față. Exact ce am învățat! Banii din viața reală respectă fix regula noastră.

O regulă scurtă, în cinci cuvinte

Ca să ții minte toată lecția, reține propoziția: „Atâtea zecimale câte zerouri." De câte ori vezi o fracție cu numitor $10$, $100$ sau $1000$, spune-ți în gând această propoziție și deja știi forma rezultatului. Restul este doar așezarea cifrelor și, dacă e nevoie, completarea cu zerouri în față.

Hai să mai facem un mic exercițiu de antrenament mental, fără să scriem, doar numărând zerourile:

• $\frac{12}{10}$ → un zero → o zecimală → $1,2$ (numărătorul $12$ are două cifre, deci apare și o parte întreagă).
• $\frac{12}{100}$ → două zerouri → două zecimale → $0,12$.
• $\frac{12}{1000}$ → trei zerouri → trei zecimale → $0,012$ (un zero adăugat în față).

Vezi cum aceeași pereche de cifre, $12$, „alunecă" tot mai mult spre dreapta virgulei pe măsură ce numitorul crește. Asta e toată magia fracțiilor zecimale: poziția cifrelor față de virgulă spune cât de mari sau de mici sunt.

Subunitar sau supraunitar? Ghicește mărimea înainte de a scrie

Înainte chiar de a așeza virgula, te poți întreba: rezultatul va fi mai mic sau mai mare decât $1$? Răspunsul ține de o comparație simplă între numărător și numitor:

• Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul (de exemplu $\frac{7}{100}$, fiindcă $7<100$), fracția este subunitară: rezultatul începe cu $0,\dots$ și se află între $0$ și $1$.
• Dacă numărătorul este egal cu numitorul (de exemplu $\frac{100}{100}$), fracția valorează exact $1$: $\frac{100}{100}=1,00=1$.
• Dacă numărătorul este mai mare decât numitorul (de exemplu $\frac{327}{100}$, fiindcă $327>100$), fracția este supraunitară: rezultatul are parte întreagă și este mai mare decât $1$.

Acest control rapid te ferește de greșeli grave. Dacă, de pildă, ai transformat $\frac{7}{100}$ și ai obținut $0,7$, oprește-te: $0,7$ este aproape un întreg, dar $\frac{7}{100}$ înseamnă doar șapte sutimi, o felie minusculă — semn clar că ai pus virgula greșit. Întotdeauna verifică dacă mărimea rezultatului „se potrivește la simțit" cu fracția de la care ai plecat.

Tabelul pozițiilor — o unealtă care nu greșește niciodată

Dacă vrei o metodă pe care să te poți baza chiar și când ești obosit sau grăbit, desenează un mic tabel al pozițiilor. El are o coloană pentru partea întreagă, apoi virgula, apoi câte o coloană pentru zecimi, sutimi și miimi:

Tabelul de mai sus arată numărul $0,08$, adică $\frac{8}{100}$: cifra $8$ stă fix în coloana sutimi, fiindcă numitorul este $100$. Iată cum lucrezi cu el, pas cu pas:

1. Te uiți la numitor și afli ultima coloană care trebuie completată: la $10$ te oprești la zecimi, la $100$ la sutimi, la $1000$ la miimi.
2. Scrii cifrele numărătorului în tabel, începând din ultima coloană și mergând spre stânga. Așa, ultima cifră a numărătorului ajunge exact pe poziția cerută de numitor.
3. Orice coloană rămasă goală între virgulă și prima cifră o umpli cu $0$.
4. Dacă rămâne gol în fața virgulei, scrii și acolo un $0$.

Hai să completăm tabelul pentru $\frac{52}{1000}$: numitorul $1000$ cere miimi, deci ultima cifră ($2$) merge în coloana miimi, $5$ în coloana sutimi, iar coloana zecimi rămâne goală → o umplem cu $0$. În fața virgulei punem $0$. Rezultă $0,052$ — exact ce am obținut și mai sus prin numărarea zerourilor. Tabelul și regula „atâtea zecimale câte zerouri" sunt două fețe ale aceleiași idei; folosește-l pe cel care îți dă mai multă siguranță.

Legătura cu lecția anterioară și cu cele care urmează

Această lecție continuă în mod direct lecția despre fracția zecimală: scriere, citire, parte întreagă. Acolo ai învățat cum arată și cum se citește un număr zecimal; aici înveți cum fabrici un astfel de număr pornind de la o fracție ordinară.

Drumul invers — de la fracție zecimală înapoi la fracție ordinară — îl vei parcurge în transformarea fracției zecimale finite în fracție ordinară. Iar ce te faci când numitorul nu este o putere a lui 10 (de exemplu $\frac{3}{4}$)? Atunci ai două variante: fie amplifici fracția până numitorul devine $10$, $100$ sau $1000$ (folosind amplificarea și simplificarea), fie împarți direct numărătorul la numitor — subiectul lecției transformarea fracției ordinare în zecimală; periodicitate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Numitor 10, numărător de o cifră

Transformă $\frac{4}{10}$ în fracție zecimală.

Rezolvare. Numitorul $10$ are un zero → rezultatul are o zecimală. Numărătorul $4$ are deja o cifră, deci nu lipsește niciun zero. Punem virgula astfel încât după ea să rămână o cifră, iar în fața virgulei un $0$:

$$\frac{4}{10}=0,4$$

Verificare prin citire: $\frac{4}{10}$ = „patru zecimi"; $0,4$ = „zero întregi și patru zecimi". Se potrivește. ✔️

Exemplul 2 — Numitor 100, lipsește un zero

Transformă $\frac{7}{100}$ în fracție zecimală.

Rezolvare. Numitorul $100$ are două zerouri → ne trebuie două zecimale. Numărătorul $7$ are o singură cifră, deci lipsește un zero. Îl adăugăm la stânga: $7\to 07$. Așezăm virgula cu un $0$ în față:

$$\frac{7}{100}=0,07$$

Atenție la capcană: $0,7$ ar fi greșit — acela ar fi $\frac{7}{10}$. Numitorul $100$ obligă la două zecimale.

Verificare: „șapte sutimi" = $0,07$. ✔️

Exemplul 3 — Numitor 1000, lipsesc două zerouri

Transformă $\frac{6}{1000}$ în fracție zecimală.

Rezolvare. Numitorul $1000$ are trei zerouri → trei zecimale. Numărătorul $6$ are o cifră, deci lipsesc două zerouri. Le punem în față: $6\to 006$. Apoi virgula și un $0$ înainte:

$$\frac{6}{1000}=0,006$$

Verificare: „șase miimi" = $0,006$. ✔️

Exemplul 4 — Numărător mai mare decât numitorul (fracție supraunitară)

Transformă $\frac{327}{100}$ în fracție zecimală.

Rezolvare. Numitorul $100$ cere două zecimale. Numărătorul $327$ are $3$ cifre, deci nu trebuie să adăugăm zerouri. Numărăm două cifre de la dreapta ($7$ și $2$) și punem virgula înaintea lui $2$:

$$\frac{327}{100}=3,27$$

Rezultatul este supraunitar: are $3$ întregi și $27$ de sutimi. Asta se potrivește, fiindcă $327$ este mai mare decât $100$, deci fracția este mai mare decât $1$.

Verificare: „trei sute douăzeci și șapte de sutimi" = $3,27$. ✔️

Exemplul 5 — Numărător cu zerouri la dreapta

Transformă $\frac{40}{1000}$ în fracție zecimală.

Rezolvare. Numitorul $1000$ cere trei zecimale. Numărătorul $40$ are $2$ cifre → lipsește un zero, pe care îl adăugăm la stânga: $40\to 040$. Punem virgula cu $0$ în față:

$$\frac{40}{1000}=0,040$$

De obicei scriem $0,04$, fiindcă un zero de la capătul din dreapta al unei fracții zecimale nu schimbă valoarea: $0,040=0,04$. Și are sens: $\frac{40}{1000}$ se simplifică la $\frac{4}{100}=0,04$. Ai grijă însă — am tăiat un zero din dreapta, nu din cel pe care l-am adăugat la stânga. Acela era obligatoriu.

Verificare: „patruzeci de miimi" = $0,040$ = „patru sutimi" = $0,04$. ✔️

Exemplul 6 — De la fracție ordinară oarecare la zecimală prin amplificare

Transformă $\frac{3}{20}$ în fracție zecimală.

Rezolvare. Aici numitorul $20$ nu este o putere a lui 10. Dar îl putem transforma! Amplificăm fracția cu $5$, ca să obținem numitorul $100$:

$$\frac{3}{20}=\frac{3\times 5}{20\times 5}=\frac{15}{100}$$

Acum avem numitor putere a lui 10 și aplicăm regula: două zerouri → două zecimale, numărător $15$ are deja două cifre:

$$\frac{15}{100}=0,15$$

Verificare: $0,15$ = „cincisprezece sutimi" = $\frac{15}{100}$, care simplificat cu $5$ dă $\frac{3}{20}$. ✔️ Trucul: caută cu cât amplifici ca numitorul să devină $10$, $100$ sau $1000$.

Exemplul 7 — Numărător cu un zero la mijloc

Transformă $\frac{305}{1000}$ în fracție zecimală.

Rezolvare. Numitorul $1000$ cere trei zecimale. Numărătorul $305$ are deja $3$ cifre, deci nu adăugăm niciun zero în față. Numărăm trei cifre de la dreapta ($5$, $0$, $3$) și punem virgula înaintea lui $3$:

$$\frac{305}{1000}=0,305$$

Atenție: zeroul din mijlocul numărului ($0$ dintre $3$ și $5$) rămâne neapărat acolo — el ține locul poziției „sutimi". Nu îl putem șterge, fiindcă $0,305\ne 0,35$. Doar zerourile de la capătul din dreapta pot fi eliminate, iar aici nu avem așa ceva.

Verificare prin citire: $\frac{305}{1000}$ = „trei sute cinci miimi"; $0,305$ = „zero întregi și trei sute cinci miimi". Se potrivește. ✔️

Exemplul 8 — Numitor 10, numărător mare

Transformă $\frac{608}{10}$ în fracție zecimală.

Rezolvare. Numitorul $10$ cere o zecimală. Numărătorul $608$ are $3$ cifre, deci nu adăugăm zerouri. Numărăm o singură cifră de la dreapta ($8$) și punem virgula înaintea ei:

$$\frac{608}{10}=60,8$$

Rezultatul are parte întreagă mare ($60$) și o singură zecimală ($8$ zecimi), exact cât cere numitorul $10$. Observă că virgula s-a așezat foarte aproape de capătul din dreapta, fiindcă numitorul mic ($10$) cere puține zecimale.

Verificare: $608:10=60,8$. ✔️ Citim „șaizeci de întregi și opt zecimi".

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare transformare, spune mai întâi câte zecimale va avea rezultatul, apoi scrie-l. Verifică prin citire.

1. Scrie ca fracție zecimală: $\frac{5}{10}$.
2. Scrie ca fracție zecimală: $\frac{8}{10}$.
3. Scrie ca fracție zecimală: $\frac{23}{100}$.
4. Scrie ca fracție zecimală: $\frac{9}{100}$.
5. Scrie ca fracție zecimală: $\frac{4}{1000}$.
6. Scrie ca fracție zecimală: $\frac{75}{1000}$.
7. Completează: numitorul $\frac{}{1000}$ cere ____ zecimale, iar pentru numărătorul $6$ adaug ____ zerouri în față.
8. Adevărat sau fals? $\frac{2}{100}=0,2$.
9. Adevărat sau fals? $\frac{2}{100}=0,02$.
10. Încercuiește scrierea corectă a lui $\frac{7}{1000}$: a) $0,7$ b) $0,07$ c) $0,007$.
11. Scrie ca fracție zecimală (fracție supraunitară): $\frac{146}{100}$.
12. Scrie ca fracție zecimală: $\frac{2050}{1000}$.
13. Potrivește fiecare fracție cu numărul zecimal corect: A) $\frac{3}{10}$ B) $\frac{3}{100}$ C) $\frac{3}{1000}$ cu (i) $0,003$ (ii) $0,3$ (iii) $0,03$.
14. Transformă în zecimală amplificând întâi la numitor $100$: $\frac{7}{25}$.
15. Transformă în zecimală amplificând întâi la numitor $10$: $\frac{4}{5}$.
16. Mică problemă: O sticlă conține $\frac{375}{1000}$ litri de suc. Scrie cantitatea ca număr zecimal, în litri.
17. Mică problemă: Un creion costă $\frac{250}{100}$ lei. Cât costă, scris ca număr zecimal? Este mai scump sau mai ieftin de $3$ lei?
18. Desenează o axă a numerelor de la $0$ la $1$, împărțită în $10$ părți egale, și marchează punctele corespunzătoare lui $\frac{2}{10}$ și $\frac{7}{10}$, scriind sub fiecare valoarea zecimală.
19. Scrie ca fracție zecimală: $\frac{406}{1000}$ (atenție la zeroul din mijloc).
20. Scrie ca fracție zecimală: $\frac{30}{100}$, apoi simplifică zeroul de la capăt, dacă există.
21. Completează tabelul pozițiilor pentru $\frac{7}{100}$: în ce coloană ajunge cifra $7$ și ce cifră pui în coloana zecimi?
22. Adevărat sau fals? $0,305=0,35$. Justifică.
23. Ordonează crescător numerele: $\frac{4}{10}$, $\frac{4}{100}$, $\frac{4}{1000}$ (transformă-le întâi în zecimale).
24. Mică problemă: Un atlet aleargă $\frac{1500}{1000}$ km la antrenament. Scrie distanța ca număr zecimal, în kilometri. Este mai mult sau mai puțin de $2$ km?

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{5}{10}=0,5$. Un zero → o zecimală; numărătorul $5$ are deja o cifră.
2. $\frac{8}{10}=0,8$. La fel, o singură zecimală.
3. $\frac{23}{100}=0,23$. Două zerouri → două zecimale; numărătorul $23$ are exact două cifre.
4. $\frac{9}{100}=0,09$. Două zecimale, dar $9$ are o cifră → adaug un zero în față: $09$.
5. $\frac{4}{1000}=0,004$. Trei zecimale; $4$ are o cifră → adaug două zerouri: $004$.
6. $\frac{75}{1000}=0,075$. Trei zecimale; $75$ are două cifre → adaug un zero: $075$.
7. Numitorul cu trei zerouri cere 3 zecimale; pentru numărătorul $6$ adaug 2 zerouri în față ($006$), deci $\frac{6}{1000}=0,006$.
8. Fals. $\frac{2}{100}$ are două zecimale, deci este $0,02$, nu $0,2$. ($0,2$ ar fi $\frac{2}{10}$.)
9. Adevărat. $\frac{2}{100}=0,02$, exact două zecimale.
10. Corect este c) $0,007$. Trei zerouri la numitor → trei zecimale; $7$ are o cifră → două zerouri în față.
11. $\frac{146}{100}=1,46$. Două zecimale; numărând două cifre de la dreapta ($6,4$), virgula cade după $1$. Fracție supraunitară ($146>100$).
12. $\frac{2050}{1000}=2,050=2,05$. Trei zecimale → $2,050$; zeroul final din dreapta poate fi omis, deci $2,05$.
13. A–(ii) $\frac{3}{10}=0,3$; B–(iii) $\frac{3}{100}=0,03$; C–(i) $\frac{3}{1000}=0,003$.
14. $\frac{7}{25}=\frac{7\times 4}{25\times 4}=\frac{28}{100}=0,28$. (Amplific cu $4$ ca să obțin numitorul $100$.)
15. $\frac{4}{5}=\frac{4\times 2}{5\times 2}=\frac{8}{10}=0,8$. (Amplific cu $2$ ca să obțin numitorul $10$.)
16. $\frac{375}{1000}=0,375$ litri. Trei zecimale; $375$ are deja trei cifre.
17. $\frac{250}{100}=2,50=2,5$ lei. Este mai ieftin decât $3$ lei (fiindcă $2,5<3$).
18. Pe axa de la $0$ la $1$ cu $10$ diviziuni: $\frac{2}{10}$ se află la a doua diviziune, valoarea $0,2$; $\frac{7}{10}$ la a șaptea diviziune, valoarea $0,7$.

    🖼️ [Imagine: axă de la 0 la 1 cu 10 diviziuni egale; punct marcat la a 2-a diviziune cu eticheta 2/10 = 0,2 și punct la a 7-a diviziune cu eticheta 7/10 = 0,7.]

19. $\frac{406}{1000}=0,406$. Trei zecimale; numărătorul $406$ are deja trei cifre. Zeroul din mijloc rămâne — el ține locul poziției „sutimi" și nu poate fi șters.
20. $\frac{30}{100}=0,30=0,3$. Două zecimale → $0,30$; zeroul de la capătul din dreapta poate fi omis, deci $0,3$. (Are sens: $\frac{30}{100}$ se simplifică la $\frac{3}{10}$.)
21. Cifra $7$ ajunge în coloana sutimi (fiindcă numitorul este $100$), iar în coloana zecimi pui $0$. Rezultă $0,07$.
22. Fals. $0,305$ are cifra $0$ în poziția sutimi, pe când $0,35$ are acolo $5$. Sunt numere diferite: $0,305=\frac{305}{1000}$, iar $0,35=\frac{350}{1000}$. Un zero din mijloc nu poate fi șters.
23. Transformăm: $\frac{4}{10}=0,4$; $\frac{4}{100}=0,04$; $\frac{4}{1000}=0,004$. Ordinea crescătoare: $0,004<0,04<0,4$, adică $\frac{4}{1000}<\frac{4}{100}<\frac{4}{10}$.
24. $\frac{1500}{1000}=1,500=1,5$ km. Trei zecimale → $1,500$; zerourile finale se pot omite, deci $1,5$ km. Este mai puțin de $2$ km (fiindcă $1,5<2$).

De reținut

• O fracție ordinară cu numitor $10$, $100$, $1000$ (putere a lui 10) se scrie ca fracție zecimală.
• Numărul de zecimale al rezultatului = numărul de zerouri din numitor. ($10\to 1$ zecimală, $100\to 2$, $1000\to 3$.)
• Dacă numărătorul are prea puține cifre, adaugă zerouri în fața lui (la stânga), niciodată la dreapta.
• Dacă în fața virgulei nu rămâne nicio cifră, pune un singur $0$ acolo: $\frac{3}{100}=0,03$.
• Verifică mereu rezultatul citindu-l cu voce tare: citirea trebuie să redea fracția de la care ai plecat.

Greșeli frecvente

• Confunzi numărul de zecimale. Scrii $\frac{7}{100}=0,7$ în loc de $0,07$. Remediu: numără întâi zerourile numitorului ($100\to$ două zerouri $\to$ două zecimale) și abia apoi scrie numărul.
• Adaugi zerourile la dreapta în loc de stânga. Scrii $\frac{5}{1000}=0,500$ în loc de $0,005$. Remediu: zerourile lipsă merg mereu în fața numărătorului; un zero la dreapta înmulțește cu 10 și strică valoarea.
• Uiți zeroul din fața virgulei. Scrii $\frac{3}{10}=,3$. Remediu: când nu există parte întreagă, scrie un $0$ înainte de virgulă: $0,3$.
• Tai zerouri din mijloc sau din stânga. Crezi că $0,05=0,5$. Remediu: poți elimina zerouri doar de la capătul din dreapta ($0,040=0,04$); un zero dintre virgulă și prima cifră nenulă este obligatoriu.

Joc acasă

1. Cursa monedelor. Adună din casă monede de $5$, $10$ și $50$ de bani. Ia câte un pumn la întâmplare, numără banii și scrie suma de două feluri: ca fracție din leu (de exemplu $\frac{35}{100}$ lei) și ca număr zecimal ($0,35$ lei). Verifică pe etichetă/preț că numărul tău e scris corect, cu două zecimale.

2. Fabrica de zecimale. Scrie pe bilețele numărătorii $1,5,7,9,50,125$ și pe alte bilețele numitorii $10$, $100$, $1000$. Trage câte un bilet din fiecare grămadă, formează fracția și transform-o în zecimală spunând cu voce tare câte zecimale are. Câștigi un punct pentru fiecare transformare corectă. Joacă cu un părinte sau un coleg și vezi cine ajunge primul la $10$ puncte.

3. Detectivul de erori. Roagă un părinte să scrie cinci transformări, dintre care două greșite (de exemplu $\frac{4}{100}=0,4$). Sarcina ta: găsește greșelile, explică de ce sunt greșite și scrie varianta corectă. Apoi schimbați rolurile.

Pentru părinți și învățători

Această lecție este o „poartă" esențială către tot calculul cu zecimale care urmează (adunare, scădere, înmulțire, împărțire). Dacă elevul stăpânește solid ideea că numărul de zerouri din numitor dă numărul de zecimale, restul capitolului devine mult mai ușor.

Cum să sprijiniți pas cu pas:

• Cereți copilului să verbalizeze întâi regula: „Numitorul are … zerouri, deci rezultatul are … zecimale." Verbalizarea fixează algoritmul.
• Insistați pe distincția $0,3$ vs $0,03$ vs $0,003$ — este sursa principală a greșelilor. Folosiți banii (lei și bani) ca model concret: $5$ bani = $0,05$ lei.
• Pentru zerourile de completare, folosiți imaginea „facem loc după virgulă": dacă numitorul cere trei zecimale și avem o cifră, trebuie să umplem celelalte două locuri cu zerouri la stânga cifrei.

Întrebări de verificare a înțelegerii:

• „Câte zecimale va avea $\frac{8}{1000}$? De unde știi înainte să-l scrii?" (Răspuns: trei, după cele trei zerouri.)
• „De ce $\frac{7}{100}$ nu este $0,7$?" (Pentru că numitorul $100$ cere două zecimale.)
• „Unde adăugăm zerourile lipsă și de ce nu la dreapta?" (La stânga; la dreapta ar înmulți cu 10.)

Dacă elevul greșește sistematic, întoarceți-vă o lecție, la fracția zecimală: scriere și citire, pentru a reîntări sensul pozițiilor zecimi–sutimi–miimi.

Întrebări frecvente

Cum transform o fracție cu numitor 100 într-un număr zecimal? Numitorul $100$ are două zerouri, deci rezultatul are două zecimale. Scrii numărătorul și pui virgula astfel încât după ea să rămână două cifre; dacă numărătorul are o singură cifră, adaugi un zero în fața lui. De exemplu $\frac{9}{100}=0,09$.

Câte zecimale are o fracție cu numitor putere a lui 10? Exact atâtea câte zerouri are numitorul. La $10$ ai o zecimală, la $100$ două zecimale, la $1000$ trei zecimale și așa mai departe. Numeri pur și simplu zerourile.

De ce $\frac{3}{100}$ se scrie $0,03$ și nu $0,3$? Pentru că numitorul $100$ cere două zecimale, dar numărătorul $3$ are o singură cifră. Trebuie să completezi cu un zero la stânga lui $3$, obținând $03$, deci $0,03$. Scrierea $0,3$ ar însemna $\frac{3}{10}$, o fracție de zece ori mai mare.

Unde adaug zerourile care lipsesc — la stânga sau la dreapta numărătorului? Mereu la stânga (în fața) numărătorului. Un zero adăugat la dreapta ar înmulți numărătorul cu 10 și ar schimba complet valoarea. De aceea $\frac{5}{1000}=0,005$, nu $0,050$.

Ce fac dacă numărătorul este mai mare decât numitorul? Procedezi la fel: numeri zerourile numitorului și așezi virgula numărând atâtea cifre de la dreapta. Rezultatul va avea și parte întreagă, fiind o fracție supraunitară. De exemplu $\frac{327}{100}=3,27$.

Cum verific dacă am transformat corect fracția? Citește numărul zecimal cu voce tare. Dacă citirea redă exact fracția de la care ai pornit (de exemplu $0,07$ se citește „șapte sutimi", adică $\frac{7}{100}$), transformarea este corectă. Citirea este cel mai sigur control.

Pot transforma în zecimală o fracție al cărei numitor nu este 10, 100 sau 1000? Uneori da, prin amplificare: cauți cu cât să înmulțești numitorul ca să devină $10$, $100$ sau $1000$ și amplifici și numărătorul cu același număr. De exemplu $\frac{3}{20}=\frac{15}{100}=0,15$. Când numitorul nu poate deveni o putere a lui 10, împarți numărătorul la numitor, lucru pe care îl studiezi în lecția despre periodicitate.

Pot șterge zerourile de la sfârșitul unui număr zecimal? Da, dar numai pe cele de la capătul din dreapta: $0,040=0,04$ și $2,50=2,5$. Nu poți șterge un zero aflat între virgulă și prima cifră nenulă, fiindcă acela ține locul unei poziții și schimbă valoarea: $0,05\ne 0,5$.

Cum știu repede dacă rezultatul va fi mai mic sau mai mare decât 1? Compară numărătorul cu numitorul. Dacă numărătorul este mai mic (de exemplu $\frac{7}{100}$), fracția este subunitară și rezultatul începe cu $0,\dots$; dacă este mai mare (de exemplu $\frac{327}{100}$), fracția este supraunitară și rezultatul are parte întreagă; dacă sunt egale, valoarea este exact $1$.

Ce înseamnă cifrele de pe pozițiile de după virgulă? Prima poziție după virgulă este a zecimilor (numitor $10$), a doua a sutimilor (numitor $100$), a treia a miimilor (numitor $1000$). Numitorul fracției îți spune fix pe ce poziție „se oprește" ultima cifră a numărătorului, iar restul pozițiilor dintre virgulă și acea cifră se umplu cu zerouri.