Reprezentarea fracțiilor zecimale pe axa numerelor

Ai învățat deja să scrii, să citești și să compari numere zecimale. Acum facem un pas mai vizual și foarte util: așezăm aceste numere pe axa numerelor, ca pe niște borne pe un drum drept. Vei vedea că un număr precum 2,7 are un loc precis, exact așa cum un oraș are un kilometru exact pe șosea. Reprezentarea fracțiilor zecimale pe axa numerelor te ajută să „simți" mărimea numerelor, nu doar să le calculezi — și asta îți va prinde bine în toate lecțiile care urmează.

Ce vei învăța

• Vei ști să alegi unitatea și să împarți un segment în zecimi egale.
• Vei ști să reprezinți o fracție zecimală pe axa numerelor, plasând punctul în locul corect.
• Vei ști să citești numărul zecimal indicat de un punct de pe axă.
• Vei ști să plasezi prin aproximare numere cu multe zecimale, când nu încap exact pe diviziuni.
• Vei ști să folosești axa pentru a compara repede două numere zecimale.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este axa numerelor și de ce o folosim

O axă a numerelor este o dreaptă pe care am stabilit trei lucruri:

1. un punct numit origine, care reprezintă numărul 0;
2. un sens (de obicei spre dreapta), arătat de o săgeată — în acest sens numerele cresc;
3. o unitate de măsură, adică distanța de la 0 la 1.

Odată ce am fixat aceste trei lucruri, fiecare număr are un singur loc pe axă, iar fiecare loc îi corespunde unui singur număr. Pe scurt: axa este ca o riglă infinită. De fapt, te poți gândi la axa numerelor exact ca la rigla din penar: are 0 la capăt, are gradații egale și citești unde se oprește un obiect.

Ai mai întâlnit axa numerelor când ai reprezentat numere naturale (lecția Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor) și când ai reprezentat fracții ordinare (lecția Reprezentarea fracțiilor ordinare pe axa numerelor). Astăzi facem același lucru, dar cu fracții zecimale precum 0,4; 1,25 sau 3,9. Vestea bună: regulile sunt aceleași, doar că împărțim segmentul dintre două numere întregi în părți mai mici.

2. De ce împărțim în zecimi

Un număr zecimal are o parte întreagă și o parte zecimală, despărțite de virgulă (revezi lecția Fracția zecimală: scriere, citire, partea întreagă și partea zecimală). De exemplu, în 2,7:

• partea întreagă este 2;
• partea zecimală este 7 zecimi, adică $\frac{7}{10}$.

A scrie 2,7 înseamnă „2 întregi și încă 7 zecimi dintr-un întreg". Așa că, pentru a-l așeza pe axă, trebuie să știm unde se află „a 7-a zecime" între 2 și 3.

Ideea cheie este simplă: distanța de la un număr întreg la următorul (de exemplu de la 2 la 3) o împărțim în 10 părți egale. Fiecare parte este o zecime, adică 0,1. Astfel:

• 2,1 este la 1 pas mic după 2;
• 2,2 este la 2 pași mici după 2;
• 2,7 este la 7 pași mici după 2;
• 3,0 este la 10 pași mici după 2, adică exact la 3.

O analogie ușoară: gândește-te la o bară de ciocolată cu 10 pătrățele. Bara întreagă este „1". Un pătrățel este o zecime, adică 0,1. Dacă mănânci 7 pătrățele, ai mâncat 0,7 din bară. Tot așa, 2,7 înseamnă două bare întregi plus 7 pătrățele din a treia.

3. Cei 4 pași pentru a reprezenta un număr zecimal pe axă

Hai să transformăm totul într-o rețetă clară, pe care o poți aplica de fiecare dată.

Pasul 1 — Alege unitatea (cât de lung e segmentul de la 0 la 1). Pe caiet, e comod ca distanța de la 0 la 1 să fie de 1 cm, adică exact 10 milimetri. De ce 10 mm? Pentru că atunci fiecare milimetru devine o zecime! Foarte practic: 0,1 = 1 mm, 0,5 = 5 mm, 0,9 = 9 mm. Dacă vrei desene mai mari și mai clare, alege 2 cm pentru unitate; atunci o zecime are 2 mm.

Pasul 2 — Marchează numerele întregi de care ai nevoie. Privește partea întreagă a numărului. Pentru 2,7, partea întreagă e 2, deci numărul stă între 2 și 3. Trasează axa și marchează cel puțin punctele 2 și 3 (poți marca și 0, 1 pentru claritate).

Pasul 3 — Împarte în zecimi segmentul potrivit. Împarte segmentul dintre cele două numere întregi (aici 2 și 3) în 10 părți egale. Vei avea 9 liniuțe mici între ele. Acestea sunt 2,1; 2,2; 2,3; …; 2,9.

Pasul 4 — Numără zecimile și pune punctul. Privește partea zecimală. Pentru 2,7 ea este 7. Pornind de la 2, numeri 7 diviziuni spre dreapta și acolo pui punctul. Notează-l cu o literă (de exemplu A) și scrie dedesubt 2,7.

Gata! Ai reprezentat 2,7. Observă că partea întreagă îți spune între care numere stai, iar prima zecimală îți spune a câta diviziune mică este.

4. Numere mai mici decât 1

Numerele zecimale precum 0,4 sau 0,9 au partea întreagă 0, deci stau între 0 și 1. Procedezi la fel: împarți segmentul de la 0 la 1 în 10 părți egale și numeri.

• 0,4 → a 4-a diviziune după 0;
• 0,9 → a 9-a diviziune după 0;
• 0,1 → prima diviziune mică după 0.

Un detaliu frumos: 0,5 cade exact la jumătatea segmentului dintre 0 și 1, pentru că 5 zecimi înseamnă jumătate (5 din 10). La fel, 2,5 e la jumătatea drumului dintre 2 și 3, iar 7,5 e la jumătatea dintre 7 și 8. Asta te ajută să verifici rapid dacă ai desenat corect.

5. Citirea poziției unui punct de pe axă

Acum invers: ni se dă un punct și trebuie să spunem ce număr este. Procedezi în oglindă față de reprezentare:

1. Vezi între ce numere întregi se află punctul — aceea e partea întreagă.
2. Numără câte diviziuni mici sunt de la numărul întreg din stânga până la punct — acela e numărul de zecimi, adică prima cifră zecimală.

Exemplu: un punct M se află între 3 și 4, la a 6-a diviziune după 3. Atunci M reprezintă 3,6.

Atenție la un truc des: dacă punctul este chiar pe un număr întreg, partea zecimală este 0. Un punct exact pe 5 reprezintă 5 (sau, dacă vrei să scoți zecimea în evidență, 5,0).

6. Reprezentarea prin aproximare (numere cu multe zecimale)

Ce facem cu numere ca 2,73 sau 1,486? Acestea au și sutimi, miimi… iar pe axa noastră obișnuită avem doar diviziuni din 10 în 10 (zecimi). Răspunsul: le reprezentăm prin aproximare, adică le punem în locul cel mai apropiat pe care îl putem desena, după ce le rotunjim.

Folosim ce ai învățat la Aproximări și rotunjiri ale fracțiilor zecimale. Regula de rotunjire la zecimi spune: privim cifra sutimilor.

• Dacă sutimea este 0, 1, 2, 3 sau 4 → rotunjim prin lipsă (păstrăm zecimea).
• Dacă sutimea este 5, 6, 7, 8 sau 9 → rotunjim prin adaos (mărim zecimea cu 1).

Exemple:

• 2,73 → sutimea este 3 (mai mică decât 5) → rotunjim la 2,7. Punem punctul pe diviziunea 2,7, dar puțin spre dreapta, fiindcă 2,73 e ceva mai mare decât 2,7.
• 1,486 → privim sutimea, care este 8 → rotunjim la 1,5. Punem punctul aproape de diviziunea 1,5.
• 0,62 → sutimea 2 → rotunjim la 0,6; punctul cade lângă 0,6, ușor spre dreapta.

Ideea de reținut: când spunem „reprezentare prin aproximare clasa 5", nu greșim — pur și simplu desenăm punctul în cea mai bună poziție posibilă pe diviziunile pe care le avem. Cu cât avem mai multe diviziuni (de exemplu, dacă împărțim și fiecare zecime în 10, obținând sutimi), cu atât plasarea e mai precisă. Dar pentru un desen normal, rotunjirea la zecimi este suficientă.

7. Mini-poveste: cursa de 100 de metri

Imaginează-ți o pistă de atletism de la 0 la 1 (un întreg = pista completă, lungă cât distanța dintre două borne mari). Antrenorul pune steaguri mici din 10 în 10 metri: la 0,1; 0,2; …; 0,9. Un alergător se oprește între steagul de 0,6 și cel de 0,7, foarte aproape de cel de 0,6. Timpul lui pe cronometru este 0,63. Pe axă, steagul nu există fix la 0,63, dar tu știi exact unde să-l pui: lângă steagul de 0,6, puțin spre 0,7. Asta e reprezentarea prin aproximare — folosești steagurile (zecimile) pe care le ai și estimezi restul.

8. De ce e utilă axa la comparare

Pe axă, numărul din dreapta este întotdeauna mai mare. Așadar, dacă reprezinți 1,4 și 1,7, vezi imediat că 1,7 este mai mare, pentru că stă mai la dreapta. Axa numerelor transformă compararea într-un lucru pe care îl „vezi cu ochii", confirmând ce ai învățat la Compararea și ordonarea fracțiilor zecimale.

9. Aceeași poziție, două nume: legătura cu fracțiile ordinare

Un lucru frumos despre axa numerelor este că un singur loc poate avea mai multe nume. De exemplu, punctul de la jumătatea segmentului dintre 0 și 1 se numește și 0,5, și $\frac{1}{2}$, și $\frac{5}{10}$ — toate arată exact aceeași poziție. Asta nu e o coincidență: 0,5 înseamnă „5 zecimi", iar 5 zecimi din întreg sunt fix jumătatea lui.

Iată câteva potriviri pe care e bine să le ai în minte, pentru că le vei recunoaște rapid pe axă:

• 0,5 este același punct cu $\frac{1}{2}$ → la jumătatea segmentului 0–1.
• 0,2 este același punct cu $\frac{1}{5}$ → la a doua zecime (2 din 10 = 1 din 5).
• 0,25 este același punct cu $\frac{1}{4}$ → la un sfert de drum, adică între 0,2 și 0,3, mai aproape de 0,3.
• 0,75 este același punct cu $\frac{3}{4}$ → la trei sferturi, între 0,7 și 0,8.

Această idee îți arată că reprezentarea fracțiilor zecimale pe axă nu este ceva izolat: este același desen pe care l-ai folosit la fracțiile ordinare, doar că numărul îl scriem cu virgulă. Când nu ești sigur unde cade un număr zecimal, transformă-l în fracție ordinară (sau invers) și verifică — cele două nume trebuie să indice mereu același punct.

10. Cum alegi „mărirea" potrivită pentru desen

Uneori segmentul de 1 cm este prea mic pentru a desena clar diviziunile. Gândește-te la axă ca la o hartă pe care poți mări (zoom):

• Dacă numerele tale stau toate între 2 și 3 (de exemplu 2,3; 2,5; 2,8), nu mai are rost să desenezi de la 0. Mărește doar segmentul 2–3, desenează-l lung (de exemplu 5 cm sau 10 cm) și împarte-l în 10. Așa diviziunile sunt depărtate și citești ușor.
• Dacă vrei să arăți și sutimi (de exemplu unde cade exact 2,73), mărește o singură zecime — segmentul dintre 2,7 și 2,8 — și împarte-l, la rândul lui, în 10 părți. Acum fiecare nouă diviziune valorează 0,01 (o sutime), iar 2,73 cade pe a treia.

Regula de aur: alegi mărirea în funcție de cât de precis vrei să fii. Pentru zecimi, împarți unitatea în 10. Pentru sutimi, împarți zecimea în 10. De fiecare dată numărul de „pași mici" rămâne 10 — se schimbă doar cât valorează un pas.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Reprezentarea unui număr simplu: 0,8

Cerință: Reprezintă pe axa numerelor numărul 0,8.

Rezolvare pas cu pas:

• Partea întreagă este 0, deci numărul stă între 0 și 1.
• Împart segmentul de la 0 la 1 în 10 părți egale (zecimi).
• Partea zecimală este 8, deci număr 8 diviziuni pornind de la 0.
• Pun punctul A la a 8-a diviziune.

Verificare: 0,8 este aproape de 1, mai exact la 2 diviziuni înainte de 1. Corect, fiindcă 0,8 = 1 − 0,2.

Exemplul 2 — Număr cu parte întreagă: 3,4

Cerință: Reprezintă 3,4.

Rezolvare:

• Partea întreagă 3 → numărul e între 3 și 4.
• Marchez 3 și 4 și împart segmentul în 10 zecimi.
• Partea zecimală 4 → număr 4 diviziuni de la 3.
• Pun punctul B(3,4).

Verificare: 3,4 este mai aproape de 3 decât de 4 (4 diviziuni din 10, adică sub jumătate). Corect.

Exemplul 3 — Citirea unui punct

Cerință: Pe o axă, segmentul dintre 5 și 6 este împărțit în 10 părți egale. Un punct C se află pe a 9-a diviziune după 5. Ce număr reprezintă C?

Rezolvare:

• Punctul e între 5 și 6 → partea întreagă 5.
• E pe a 9-a diviziune → 9 zecimi, adică 0,9.
• Deci C reprezintă 5,9.

Verificare: 5,9 e foarte aproape de 6 (la o singură diviziune înainte). Se potrivește cu „a 9-a diviziune". Corect.

Exemplul 4 — Reprezentare prin aproximare: 2,37

Cerință: Reprezintă prin aproximare numărul 2,37 pe o axă cu diviziuni de zecimi.

Rezolvare:

• Partea întreagă 2 → între 2 și 3.
• Pentru a-l plasa, rotunjesc la zecimi: privesc sutimea, care este 7 (≥ 5), deci rotunjesc prin adaos la 2,4.
• Pun punctul aproape de diviziunea 2,4. Mai exact, 2,37 e între 2,3 și 2,4, foarte aproape de 2,4.

Verificare: 2,37 este mai mare decât 2,35 (jumătatea dintre 2,3 și 2,4), deci cade în jumătatea dreaptă a acelei zecimi, lângă 2,4. Corect.

Exemplul 5 — Mai multe numere pe aceeași axă

Cerință: Reprezintă pe aceeași axă numerele 1,2; 1,5 și 1,8, apoi ordonează-le crescător citind de pe axă.

Rezolvare:

• Toate au partea întreagă 1 → toate sunt între 1 și 2.
• Împart segmentul 1–2 în 10 zecimi.
• 1,2 → a 2-a diviziune; 1,5 → a 5-a (la jumătate); 1,8 → a 8-a.
• Citind de la stânga la dreapta: 1,2 < 1,5 < 1,8.

Verificare: Ordinea de pe axă coincide cu ordinea cifrelor zecimale (2 < 5 < 8). Corect.

Exemplul 6 — De la poziție la număr, cu aproximare

Cerință: Un punct D se află între 4,2 și 4,3, cam la jumătatea acestei diviziuni. Ce număr aproximativ reprezintă D?

Rezolvare:

• D e între 4,2 și 4,3, deci este de forma 4,2… (zecimea 2, urmează sutimile).
• La jumătatea dintre 4,2 și 4,3 se află 4,25.
• Deci D ≈ 4,25.

Verificare: 4,25 este chiar mijlocul, fiindcă 5 sutimi reprezintă jumătate dintr-o zecime. Corect.

Exemplul 7 — Plasare exactă a sutimilor prin „lupă": 2,73

Cerință: Reprezintă cât mai exact numărul 2,73, folosind sutimi.

Rezolvare:

• Partea întreagă 2 → numărul e între 2 și 3. Prima zecimală este 7, deci e între 2,7 și 2,8.
• „Măresc" (fac zoom pe) zecimea dintre 2,7 și 2,8 și o împart în 10 părți egale. Fiecare parte valorează acum 0,01 (o sutime): 2,71; 2,72; 2,73; …; 2,79.
• A doua zecimală (sutimea) este 3, deci număr 3 părți mici pornind de la 2,7 și pun punctul.

Verificare: 2,73 este mai aproape de 2,7 decât de 2,8 (3 sutimi din 10), deci cade în prima treime a zecimii. Dacă aș rotunji la zecimi, ar deveni 2,7 — și într-adevăr punctul stă lângă 2,7. Corect.

Exemplul 8 — Alegerea unei alte unități: 7,5 desenat mare

Cerință: Reprezintă 7,5 pe o axă în care segmentul de la 7 la 8 are 2 cm.

Rezolvare:

• Partea întreagă 7 → numărul e între 7 și 8.
• Segmentul 7–8 are 2 cm = 20 mm. Îl împart în 10 zecimi, deci fiecare zecime are 2 mm.
• Zecimea este 5, deci număr 5 diviziuni de la 7: ajung la 5 × 2 mm = 10 mm de la 7, adică exact la jumătatea segmentului.

Verificare: 7,5 este la mijlocul dintre 7 și 8 (5 zecimi = jumătate), iar 10 mm este jumătatea celor 20 mm. Cele două verificări coincid. Corect.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru desene, folosește 1 cm pentru unitate (atunci o zecime = 1 mm).

1. Desenează o axă de la 0 la 1, împărțită în 10 zecimi, și reprezintă: 0,3; 0,7; 0,9.

2. Desenează o axă de la 2 la 3 și reprezintă numerele: 2,1; 2,6; 2,8.

3. Completează: numărul 4,5 se află exact la ……… segmentului dintre 4 și 5.

4. Citește numărul indicat: un punct se află între 7 și 8, pe a 3-a diviziune după 7. Ce număr este?

5. Adevărat sau fals? Pe axa numerelor, 3,2 se află mai la dreapta decât 3,7.

6. Încercuiește numărul care se află cel mai aproape de 6: 6,1 ; 6,4 ; 6,9.

7. Potrivește fiecare număr cu poziția lui: a) 0,5 b) 0,2 c) 0,8 I) lângă 1 II) la jumătate III) lângă 0

8. Reprezintă pe aceeași axă 1,3 și 1,6, apoi scrie semnul corect între ele: 1,3 ⬚ 1,6.

9. Un punct E se află între 5 și 6, foarte aproape de 6, la o singură diviziune înainte. Ce număr reprezintă E?

10. Rotunjește la zecimi și spune lângă ce diviziune îl reprezinți pe axă: a) 3,82 ; b) 3,84.

11. Reprezintă prin aproximare numărul 1,47 pe o axă cu zecimi. Lângă ce diviziune cade?

12. Adevărat sau fals? Numărul 0,50 și numărul 0,5 se reprezintă în același loc pe axă.

13. Ordonează crescător, folosind axa: 2,9 ; 2,4 ; 2,7 ; 2,1.

14. Desenează o axă de la 0 la 2 (marchează și 1) și reprezintă: 0,6 ; 1,0 ; 1,4 ; 1,9.

15. Mică problemă: La un concurs de sărituri în lungime, trei elevi au sărit 3,2 m; 3,8 m și 3,5 m. Reprezintă lungimile pe o axă între 3 și 4 și spune cine a sărit cel mai mult.

16. Un punct F se află la jumătatea diviziunii dintre 1,6 și 1,7. Ce număr aproximativ reprezintă F?

17. Adevărat sau fals? Dacă împărțim segmentul de la 0 la 1 în 10 părți egale, fiecare parte are valoarea 0,01.

18. Provocare: pe o axă, diviziunile sunt 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1 (deci segmentul e împărțit în 5 părți). Unde plasezi numărul 0,7?

19. Pe axă, ce nume zecimal are punctul aflat la jumătatea segmentului dintre 0 și 1? Dar fracția ordinară corespunzătoare?

20. „Lupă" pe sutimi: măresc zecimea dintre 4,5 și 4,6 și o împart în 10 părți egale. Pe a 7-a diviziune după 4,5 ce număr se află?

21. Adevărat sau fals? Numărul 0,25 se află exact la jumătatea segmentului dintre 0 și 1.

22. Reprezintă pe aceeași axă numerele 6,2 ; 6,25 și 6,3. Care dintre ele cade exact la jumătatea celorlalte două?

Răspunsuri și explicații

1. 0,3 = a 3-a diviziune după 0; 0,7 = a 7-a; 0,9 = a 9-a (lângă 1). Verifici numărând zecimile.

2. 2,1 = prima diviziune după 2; 2,6 = a 6-a; 2,8 = a 8-a (aproape de 3).

3. La jumătatea segmentului dintre 4 și 5, pentru că 5 zecimi înseamnă jumătate (5 din 10).

4. 7,3 — partea întreagă 7, a 3-a diviziune înseamnă 3 zecimi.

5. Fals. 3,2 este mai mic decât 3,7, deci stă mai la stânga, nu la dreapta.

6. 6,1 — este la o singură zecime de 6; 6,4 e la 4 zecimi, iar 6,9 la 1 zecime de 7 (deci la 9 zecimi de 6). Cel mai aproape de 6 este 6,1.

7. a–II (0,5 la jumătate); b–III (0,2 lângă 0); c–I (0,8 lângă 1).

8. 1,3 = a 3-a diviziune, 1,6 = a 6-a; deci 1,3 < 1,6 (1,6 e mai la dreapta).

9. 5,9 — o singură diviziune înainte de 6 înseamnă 9 zecimi după 5.

10. a) 3,82 → sutimea 2 (< 5) → rotunjește la 3,8, îl reprezinți lângă 3,8 (puțin spre dreapta). b) 3,84 → sutimea 4 (< 5) → tot 3,8; pe axă îl pui tot lângă 3,8, dar puțin mai spre dreapta decât 3,82 (fiindcă 3,84 > 3,82). Ambele rotunjesc la 3,8.

11. 1,47 → sutimea 7 (≥ 5) → rotunjește la 1,5; cade lângă diviziunea 1,5 (între 1,4 și 1,5, foarte aproape de 1,5).

12. Adevărat. 0,50 = 0,5 (zeroul de la final nu schimbă valoarea), deci același loc pe axă.

13. Crescător: 2,1 < 2,4 < 2,7 < 2,9 — citești de la stânga la dreapta pe axă.

14. 0,6 = a 6-a diviziune după 0; 1,0 = exact pe 1; 1,4 = a 4-a diviziune după 1; 1,9 = a 9-a după 1 (aproape de 2).

15. Pe axa 3–4: 3,2 (a 2-a), 3,5 (la jumătate), 3,8 (a 8-a). Cel mai la dreapta este 3,8 m, deci a sărit cel mai mult elevul cu 3,8 m.

16. 1,65 — jumătatea dintre 1,6 și 1,7 este 1,65 (5 sutimi = jumătate de zecime).

17. Fals. Fiecare parte are valoarea 0,1 (o zecime), nu 0,01. Valoarea 0,01 ar apărea dacă am împărți o zecime încă în 10 (sutimi).

18. 0,7 este între 0,6 și 0,8, la jumătatea acestei diviziuni (pentru că 0,7 e mijlocul dintre 0,6 și 0,8). Îl plasezi exact la mijlocul segmentului dintre marcajele 0,6 și 0,8.

19. 0,5, iar fracția ordinară este $\frac{1}{2}$. Ambele indică același punct, jumătatea segmentului 0–1.

20. 4,57 — fiecare diviziune din zecimea mărită valorează 0,01 (o sutime), deci a 7-a diviziune după 4,5 este 4,5 + 0,07 = 4,57.

21. Fals. Jumătatea segmentului 0–1 este 0,5. Numărul 0,25 este la un sfert de drum (mai aproape de 0), pentru că $0,25=\frac{1}{4}$.

22. Toate sunt între 6,2 și 6,3. Punctul 6,25 cade exact la jumătatea dintre 6,2 și 6,3 (5 sutimi = jumătate de zecime), deci 6,25 este la mijlocul celorlalte două.

De reținut

• Pe axa numerelor avem origine (0), sens (săgeata spre dreapta) și unitate (distanța de la 0 la 1).
• Pentru a reprezenta un număr zecimal, împărțim segmentul dintre două numere întregi vecine în 10 părți egale; fiecare parte este o zecime (0,1).
• Partea întreagă spune între ce numere stai; prima cifră zecimală spune a câta diviziune mică este.
• Numerele cresc spre dreapta: cel din dreapta este mai mare.
• Numerele cu multe zecimale se reprezintă prin aproximare, rotunjindu-le la zecimi și plasându-le lângă diviziunea cea mai apropiată.

Greșeli frecvente

• Confuzia zecime ↔ sutime. Când împarți segmentul 0–1 în 10 părți, fiecare parte valorează 0,1, nu 0,01. Sutimea apare doar dacă mai împarți o zecime în alte 10.
• Numărarea greșită a diviziunilor. Pentru 2,7 numeri 7 diviziuni de la 2, nu de la 0. Pornește mereu de la numărul întreg din stânga (partea întreagă).
• Ignorarea sensului la comparare. Mulți cred că „mai multe cifre = mai mare". Pe axă vezi clar: contează poziția, nu numărul de cifre. 2,4 este mai la dreapta decât 2,39, deci 2,4 > 2,39.
• Rotunjire greșită la aproximare. Pentru a plasa 2,37, te uiți la sutime (7 ≥ 5) și rotunjești prin adaos la 2,4. Nu „tăia" pur și simplu cifra fără să verifici dacă este ≥ 5.

Joc acasă

1. Rigla devine axă. Ia o riglă obișnuită. Spune că de la 0 la 10 cm reprezintă „de la 0 la 1". Atunci fiecare centimetru este o zecime! Cere unui părinte un număr (ex. 0,6) și pune un bob de orez sau o monedă pe centimetrul potrivit (6 cm). Verificați împreună. Schimbați rolurile: cineva pune obiectul, celălalt citește numărul.

2. Sfoara cu cârlige. Întinde o sfoară între două scaune. Prinde cu clești de rufe etichete „0", „1", „2". Împarte cu ochiul fiecare segment în 10 și prinde cârlige mici. Scrie numere zecimale pe bilețele (1,3; 2,7; 0,9) și agață-le la locul corect. Câștigă cine plasează corect mai multe.

3. Vânătoarea de aproximări. Scrie pe bilețele numere cu sutimi: 1,42; 0,68; 2,15. Pentru fiecare, spune cu voce tare la ce zecime se rotunjește și lângă ce diviziune l-ai pune pe axă. Verifică privind cifra sutimilor (≥ 5 urcă, < 5 rămâne).

Pentru părinți și învățători

Obiectivul lecției: elevul trebuie să poată (a) reprezenta o fracție zecimală pe axă împărțind unitatea în zecimi și (b) citi numărul indicat de un punct, inclusiv prin aproximare pentru numere cu sutimi/miimi.

Cum sprijiniți pas cu pas:

• Începeți cu rigla reală: legătura 1 cm = 0,1 face conceptul concret și elimină frica de abstract.
• Insistați pe ideea că partea întreagă alege segmentul, iar prima zecimală alege diviziunea. Cereți copilului să verbalizeze: „2,7 e între 2 și 3, pe a 7-a liniuță".
• Pentru aproximare, legați-o de lecția de rotunjiri: „ne uităm la sutime — e 5 sau mai mare?"

Întrebări bune de pus:

• „Între ce două numere întregi stă acest număr?"
• „A câta diviziune este? De unde începi să numeri?"
• „Care e mai mare și de unde știi privind axa?"
• „2,73 cade mai aproape de 2,7 sau de 2,8? De ce?"

Cum verificați înțelegerea: dați un punct desenat și cereți numărul (citire), apoi un număr și cereți desenul (reprezentare). Dacă elevul confundă zecimea cu sutimea, reluați împărțirea fizică a unei zecimi în alte 10 părți. Un semn bun de stăpânire: copilul plasează corect 0,5; 2,5; 7,5 „la jumătate" fără să numere de fiecare dată.

Întrebări frecvente

Cum reprezint o fracție zecimală pe axa numerelor la clasa a 5-a? Te uiți la partea întreagă pentru a vedea între ce numere stă (ex. 2,7 e între 2 și 3), împarți acel segment în 10 părți egale (zecimi) și numeri atâtea diviziuni cât arată prima cifră zecimală (7 diviziuni de la 2). Acolo pui punctul.

Ce înseamnă să împart segmentul în zecimi? Înseamnă să împarți distanța dintre două numere întregi vecine în 10 părți egale. Fiecare parte valorează 0,1 (o zecime). Practic, dacă unitatea are 1 cm, fiecare milimetru este o zecime.

Cum citesc numărul indicat de un punct de pe axă? Vezi între ce numere întregi se află (partea întreagă), apoi numeri câte diviziuni mici sunt de la numărul din stânga până la punct (prima cifră zecimală). Un punct între 3 și 4, pe a 6-a diviziune, este 3,6.

Cum reprezint prin aproximare un număr cu multe zecimale, ca 2,73? Rotunjești numărul la zecimi privind cifra sutimilor: dacă e 5 sau mai mare urci zecimea, dacă e sub 5 o păstrezi. 2,73 are sutimea 3, deci rămâne 2,7; pui punctul lângă diviziunea 2,7, puțin spre dreapta.

Unde se află 0,5 pe axa numerelor? Exact la jumătatea segmentului dintre 0 și 1, pentru că 5 zecimi reprezintă jumătate dintr-un întreg. La fel, 2,5 e la mijlocul dintre 2 și 3.

De ce 0,5 și 0,50 stau în același loc? Pentru că au aceeași valoare: zeroul adăugat la finalul părții zecimale nu schimbă mărimea numărului. Ambele înseamnă cinci zecimi, deci același punct pe axă.

Cum compar două numere zecimale folosind axa? Le reprezinți pe amândouă pe aceeași axă. Numărul aflat mai la dreapta este mai mare. De exemplu, 1,7 e mai la dreapta decât 1,4, deci 1,7 > 1,4.

Fiecare diviziune mică reprezintă 0,1 sau 0,01? Dacă ai împărțit un segment dintre două numere întregi în 10 părți, fiecare diviziune valorează 0,1 (o zecime). Valoarea 0,01 (o sutime) apare doar dacă mai împarți o zecime în alte 10 părți egale.