Piramida și piramida regulată: descriere, elemente și desfășurare

Gândește-te la piramidele din Egipt, la un vârf de creion bine ascuțit, la un cort tip „tepee", la o mansardă cu patru ape sau la un cristal de cuarț: toate se ridică dintr-un poligon la sol până la un singur vârf, sus. Aceasta este forma piramidei — primul corp geometric „cu vârf" pe care îl studiem după prisme. Spre deosebire de prismă, care avea două baze identice, piramida are o singură bază și toate fețele laterale se întâlnesc într-un punct. În lecția de față învățăm să descriem corect piramida, să recunoaștem piramida regulată, să denumim elementele ei (înălțimea, apotema bazei, apotema piramidei, muchia laterală) și să realizăm desfășurarea ei — fundamentul de care vom avea nevoie ca să calculăm, în lecțiile următoare, aria și volumul.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici o piramidă și să-i denumești corect elementele: bază, fețe laterale, vârf, muchii ale bazei și muchii laterale.
• Vei ști să recunoști o piramidă regulată și să explici cele două condiții care o definesc.
• Vei ști să folosești relația $a_p^2=h^2+a_b^2$ pentru a lega înălțimea, apotema bazei și apotema piramidei.
• Vei ști să deosebești muchia laterală de apotema piramidei și să recunoști triunghiurile dreptunghice utile în calcule.
• Vei ști să construiești și să interpretezi desfășurarea unei piramide regulate.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se naște o piramidă

Pornim de la o figură plană cunoscută: un poligon (triunghi, pătrat, hexagon etc.). Imaginează-ți acest poligon desenat pe podea. Acum alege un punct undeva deasupra lui, în spațiu, pe care îl numim vârf. Unește vârful cu fiecare vârf al poligonului prin câte un segment. Segmentele acestea, împreună cu poligonul de la sol, închid un corp geometric ascuțit la vârf: aceasta este o piramidă.

Definiție. Se numește piramidă corpul geometric mărginit de:

• un poligon numit baza piramidei;
• mai multe triunghiuri care au un vârf comun, numite fețe laterale. Punctul comun al tuturor fețelor laterale se numește vârful piramidei.

Observă diferența esențială față de prismă: prisma avea două baze poligonale și fețe laterale dreptunghiuri; piramida are o singură bază și fețele laterale sunt triunghiuri care „se strâng" toate într-un singur punct, vârful. Dacă prisma seamănă cu o cutie, piramida seamănă cu un cort sau cu un acoperiș.

Cum notăm o piramidă? Scriem întâi vârful, apoi vârfurile bazei. De exemplu, piramida $VABCD$ are vârful $V$ și baza $ABCD$. Fața laterală $VBC$ este triunghiul format din vârf și latura $[BC]$ a bazei.

Numele piramidei vine, ca și la prismă, de la forma bazei:

• baza triunghi → piramidă triunghiulară (are 3 fețe laterale);
• baza patrulater → piramidă patrulateră (4 fețe laterale);
• baza hexagon → piramidă hexagonală (6 fețe laterale) etc.

De reținut. Piramida triunghiulară este specială: ea are patru fețe, toate triunghiuri (baza + 3 fețe laterale), și se mai numește tetraedru (din grecescul tetra = patru). Cazul ei cel mai simetric, tetraedrul regulat, îl studiem separat în lecția Tetraedrul regulat: descriere, elemente și desfășurare.

2. Elementele piramidei (orice piramidă)

Înainte de a impune vreo condiție de „regularitate", stabilim vocabularul valabil pentru orice piramidă. La Evaluarea Națională ți se cere să folosești acești termeni exact.

Baza. Este poligonul de la „fund". Dă numele piramidei.

Vârful. Este punctul în care se întâlnesc toate fețele laterale. Îl notăm de obicei cu $V$.

Fețele laterale. Sunt triunghiurile dintre vârf și fiecare latură a bazei. Numărul lor este egal cu numărul de laturi ale bazei.

Fețele piramidei (în total) = fețele laterale + baza (o singură bază!).

Muchiile. Sunt segmentele în care se întâlnesc câte două fețe. Distingem două feluri:

• muchiile bazei — laturile poligonului de la bază;
• muchiile laterale — segmentele care unesc vârful $V$ cu vârfurile bazei (de exemplu $[VA]$, $[VB]$, ...).

Înălțimea piramidei ($h$). Este segmentul perpendicular coborât din vârful $V$ pe planul bazei; îl notăm $[VO]$, unde $O$ este piciorul înălțimii (punctul în care înălțimea „atinge" baza). Lungimea $VO=h$ este distanța de la vârf la planul bazei.

Deocamdată atât. Ca să vorbim despre apotema bazei și apotema piramidei avem nevoie de o piramidă „cuminte", în care fețele laterale să fie toate la fel. Aici intră în scenă piramida regulată.

3. Piramida regulată: două condiții

O piramidă oarecare poate fi „strâmbă": vârful poate atârna deasupra unui colț al bazei, iar fețele laterale pot fi triunghiuri complet diferite ca formă. Ca să obținem un corp frumos, simetric, cerem două condiții.

Definiție. O piramidă se numește regulată dacă:

1. baza este un poligon regulat (toate laturile egale și toate unghiurile egale — triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat etc.);
2. piciorul înălțimii cade în centrul bazei (înălțimea $[VO]$ ajunge exact în centrul $O$ al poligonului regulat).

Cele două condiții împreună au o consecință foarte importantă: toate muchiile laterale sunt egale, iar toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente (identice). Intuitiv: dacă vârful stă fix deasupra centrului, atunci este „la fel de departe" de fiecare colț al bazei, deci toate muchiile laterale $VA$, $VB$, $VC$, ... au aceeași lungime.

Cele trei piramide regulate pe care trebuie să le cunoști:

a) Piramida triunghiulară regulată — baza este un triunghi echilateral, iar vârful stă deasupra centrului triunghiului. Are 3 fețe laterale (triunghiuri isoscele congruente). Atenție: nu confunda „piramidă triunghiulară regulată" cu „tetraedru regulat" — la tetraedrul regulat și fețele laterale sunt echilaterale (toate cele 4 fețe la fel), pe când la piramida triunghiulară regulată doar baza e echilaterală.

b) Piramida patrulateră regulată — baza este un pătrat, vârful deasupra centrului pătratului. Are 4 fețe laterale. Este forma clasică a piramidelor egiptene.

c) Piramida hexagonală regulată — baza este un hexagon regulat, vârful deasupra centrului. Are 6 fețe laterale. Seamănă cu un vârf de creion cu 6 fețe sau cu vârful unui cristal.

De ce cade înălțimea în centru și nu oriunde? Pentru că vârful $V$ este egal depărtat de toate colțurile bazei, deci proiecția lui pe planul bazei (piciorul înălțimii $O$) este egal depărtată de toate vârfurile poligonului — adică este centrul cercului circumscris, care la un poligon regulat coincide cu centrul poligonului. Faptul că $[VO]$ este perpendiculară pe planul bazei îl folosim exact ca în lecția Drepte perpendiculare. Dreapta perpendiculară pe un plan: din perpendicularitate obținem unghiurile drepte de care avem nevoie în calcule.

4. Cele trei mărimi-cheie: $h$, $a_b$ și $a_p$

Aici e inima lecției. La o piramidă regulată definim trei distanțe, toate „lucrând" în același desen.

Înălțimea piramidei $h=VO$ — de la vârf, drept în jos, până în centrul $O$ al bazei.

Apotema bazei $a_b=OM$ — de la centrul $O$ al bazei până la mijlocul $M$ al unei laturi a bazei. Este chiar apotema poligonului regulat de la bază (noțiune din geometria plană, clasa a VII-a). Pentru poligoanele uzuale: $$\text{pa˘trat de latura˘ }\ell :a_b=\frac{\ell }{2};\text{triunghi echilateral: }{a}_b=\frac{\ell \sqrt{3}}{6};\text{hexagon regulat: }{a}_b=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}.$$

Apotema piramidei $a_p=VM$ — de la vârful $V$ până la mijlocul $M$ al unei laturi a bazei. Este înălțimea unei fețe laterale (a triunghiului isoscel), coborâtă din $V$ pe latura bazei. O mai găsești numită apotema laterală.

Acum urmărește cu atenție punctul $M$ (mijlocul unei laturi a bazei). Trei puncte — $V$ (vârful), $O$ (centrul bazei) și $M$ (mijlocul laturii) — formează un triunghi dreptunghic:

• $[VO]$ este perpendiculară pe planul bazei, deci este perpendiculară pe $[OM]$ (care e în plan). Unghiul drept este în $O$.
• catetele sunt $VO=h$ și $OM=a_b$;
• ipotenuza este $VM=a_p$.

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $VOM$ (drept în $O$):

$$\boxed{a_p^2=h^2+a_b^2}$$

Aceasta este relația-vedetă a lecției. Din ea poți afla oricare dintre cele trei mărimi dacă le cunoști pe celelalte două: $$a_p=\sqrt{h^2+a_b^2},h=\sqrt{a_p^2-a_b^2},a_b=\sqrt{a_p^2-h^2}.$$ Reține: apotema piramidei este ipotenuza, deci este cea mai mare dintre cele trei ($a_p>h$ și $a_p>a_b$).

Un truc de memorare. În orice triunghi dreptunghic, ipotenuza e cea mai lungă. Aici ipotenuza este $a_p$ (apotema piramidei). Deci apotema piramidei este mereu mai mare atât decât înălțimea, cât și decât apotema bazei. Dacă la un exercițiu îți iese $a_p$ mai mică decât $h$, sigur ai greșit.

5. Muchia laterală vs. apotema piramidei — nu le confunda!

Aceasta este greșeala numărul unu la piramide. Ambele pornesc din vârful $V$ și „coboară" pe o față laterală, dar ajung în locuri diferite:

• apotema piramidei $a_p=VM$ ajunge în mijlocul $M$ al unei laturi a bazei (pe latură);
• muchia laterală $ml=VA$ ajunge într-un vârf $A$ al bazei (pe colț).

Ca să calculăm muchia laterală avem alt triunghi dreptunghic. Notăm cu $R=OA$ distanța de la centrul $O$ până la un vârf al bazei (adică raza cercului circumscris bazei). Triunghiul $VOA$ este dreptunghic în $O$ (din nou pentru că $[VO]\perp$ plan), cu catetele $h$ și $R$ și ipotenuza $ml$:

$$m{l}^2=h^2+R^2.$$

Există și o a treia relație, foarte utilă, care leagă direct apotema piramidei de muchia laterală. Pe fața laterală $VAB$ (triunghi isoscel), $M$ este mijlocul bazei $[AB]$, deci $[VM]$ este înălțime în acest triunghi și $MA=\frac{\ell }{2}$. Triunghiul $VMA$ este dreptunghic în $M$, cu catetele $a_p$ și $\frac{\ell }{2}$ și ipotenuza $ml$:

$$m{l}^2=a_p^2+{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2.$$

Toate cele trei triunghiuri dreptunghice „se potrivesc" între ele. În baza plană avem, tot cu Pitagora în triunghiul $OMA$ (drept în $M$): $$R^2=a_b^2+{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2.$$ Punând totul cap la cap, se verifică: $m{l}^2=h^2+R^2=h^2+a_b^2+{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2=a_p^2+{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2$. Frumos, nu? Cele trei triunghiuri dreptunghice sunt „cheile" cu care rezolvi aproape orice problemă cu piramide.

Rezumatul triunghiurilor dreptunghice utile (piramidă regulată):

1. $VOM$ (drept în $O$): $a_p^2=h^2+a_b^2$ — leagă $h$, $a_b$, $a_p$;
2. $VOA$ (drept în $O$): $m{l}^2=h^2+R^2$ — leagă $h$, $R$, $ml$;
3. $VMA$ (drept în $M$): $m{l}^2=a_p^2+{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2$ — leagă $a_p$, $\frac{\ell }{2}$, $ml$.

6. Câte vârfuri, muchii și fețe are o piramidă?

Ca și la prismă, nu memorezi cifre: înțelegi structura. Fie o piramidă cu baza un poligon cu $n$ laturi.

Vârfurile. Baza are $n$ vârfuri, plus vârful $V$ al piramidei: $$V_{\text{aˆrf}}=n+1.$$

Muchiile. Sunt $n$ muchii ale bazei (laturile poligonului) plus $n$ muchii laterale (câte una din vârf spre fiecare colț): $$M=n+n=2n.$$

Fețele. Sunt $n$ fețe laterale (triunghiuri) plus 1 bază: $$F=n+1.$$

Observă un lucru elegant: la orice piramidă numărul vârfurilor este egal cu numărul fețelor ($V_{\text{aˆrf}}=F=n+1$). E o verificare rapidă. Și relația lui Euler ($V-M+F=2$, valabilă la orice poliedru convex) se confirmă: $$(n+1)-2n+(n+1)=2.✓$$

Verificare pe cele trei piramide:

Truc de examen. Dacă știi numărul de muchii $M$, afli tipul bazei: $n=\frac{M}{2}$. Din numărul de fețe (sau de vârfuri): $n=F-1$ (respectiv $n=V_{\text{aˆrf}}-1$).

7. Desfășurarea piramidei regulate

Ce înseamnă desfășurare? La fel ca la prismă: dacă „tai" piramida de-a lungul muchiilor laterale și o întinzi pe masă, obții o figură plană formată din toate fețele, lipite pe muchii comune. Aceasta este desfășurarea corpului.

Desfășurarea unei piramide regulate are un tipar foarte clar:

• baza — un poligon regulat (în centru sau într-o parte);
• fețele laterale — $n$ triunghiuri isoscele congruente, atașate câte unul pe fiecare latură a bazei, cu vârfurile „ieșind" în afară.

Dacă „închizi" desfășurarea (ridici triunghiurile în sus), toate vârfurile lor se întâlnesc într-un singur punct: vârful $V$ al piramidei.

Observă pe desfășurare cele două mărimi pe care le-am definit:

• înălțimea fiecărui triunghi isoscel (de la vârful triunghiului până la mijlocul laturii bazei) este apotema piramidei $a_p$;
• latura oblică a triunghiului (de la vârf până la un colț al bazei) este muchia laterală $ml$.

Iată de ce apotema piramidei se mai numește și „apotema laterală": pe desfășurare, ea este pur și simplu înălțimea unei fețe (a triunghiului isoscel). Această observație va da, în lecția Aria laterală și aria totală a piramidei regulate, formula ariei laterale: aria unei fețe $=\frac{\ell \cdot a_p}{2}$, iar aria laterală = suma celor $n$ fețe. Deocamdată reține imaginea: desfășurarea = 1 poligon (baza) + $n$ triunghiuri isoscele congruente.

Test rapid al unei desfășurări. O piramidă cu baza de $n$ laturi trebuie să aibă în desfășurare exact 1 poligon + $n$ triunghiuri = $n+1$ piese (fix numărul de fețe). Dacă îți lipsește o piesă sau ai una în plus, desfășurarea e greșită. Și triunghiurile trebuie să fie isoscele și identice — la o piramidă regulată nu pot fi de forme diferite.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identificarea și denumirea elementelor

Enunț. Se dă piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$ și centrul bazei $O$. a) Care este vârful piramidei? b) Enumeră muchiile laterale. c) Ce reprezintă segmentul $[VO]$? d) Dacă $M$ este mijlocul laturii $[BC]$, ce reprezintă segmentul $[VM]$?

Rezolvare. a) Vârful piramidei este punctul comun al fețelor laterale, adică $V$. b) Muchiile laterale unesc vârful cu colțurile bazei: $[VA],[VB],[VC],[VD]$ (patru muchii laterale, câte una pentru fiecare vârf al pătratului). c) $[VO]$ este perpendiculară pe planul bazei și cade în centrul bazei, deci este înălțimea piramidei ($h=VO$). d) $[VM]$ unește vârful cu mijlocul unei laturi a bazei, deci este apotema piramidei ($a_p=VM$) — totodată înălțimea feței laterale $VBC$.

Exemplul 2 — Numărarea elementelor și verificarea Euler

Enunț. O piramidă are baza un pentagon (poligon cu 5 laturi). a) Câte fețe laterale are? b) Câte vârfuri, muchii și fețe are în total? Verifică cu relația lui Euler.

Rezolvare. a) Numărul fețelor laterale = numărul laturilor bazei = $n=5$. b) Cu $n=5$: $$V_{\text{aˆrf}}=n+1=6,M=2n=10,F=n+1=6.$$ Verificare Euler: $V_{\text{aˆrf}}-M+F=6-10+6=2.✓$ (Observă și $V_{\text{aˆrf}}=F=6$.) Deci piramida pentagonală are 6 vârfuri, 10 muchii și 6 fețe.

Exemplul 3 — Reconstituire din numărul de muchii

Enunț. O piramidă are 16 muchii. Ce fel de piramidă este? Câte vârfuri și câte fețe are?

Rezolvare. Din $M=2n$ obținem $n=\frac{M}{2}=\frac{16}{2}=8$. Baza are 8 laturi, deci este o piramidă octogonală. Vârfuri: $V_{\text{aˆrf}}=n+1=9$; fețe: $F=n+1=9$. Verificare: $9-16+9=2.✓$ Deci: piramidă octogonală, cu 9 vârfuri și 9 fețe.

Exemplul 4 — Relația $a_p^2=h^2+a_b^2$ (aflăm apotema piramidei)

Enunț. O piramidă patrulateră regulată are înălțimea $h=8$ cm, iar apotema bazei $a_b=6$ cm. Cât este apotema piramidei $a_p$?

Rezolvare. În triunghiul dreptunghic $VOM$ (drept în centrul $O$), catetele sunt $h$ și $a_b$, iar ipotenuza este $a_p$. Aplicăm teorema lui Pitagora: $$a_p^2=h^2+a_b^2=8^2+6^2=64+36=100\Rightarrow a_p=\sqrt{100}=10\text{ cm}.$$ Deci apotema piramidei este $a_p=10$ cm. (Observă că $a_p=10>h=8$ și $a_p=10>a_b=6$: apotema piramidei, fiind ipotenuză, e cea mai mare — verificare de bun-simț.)

Exemplul 5 — Aflăm înălțimea din $a_p$ și $a_b$

Enunț. O piramidă hexagonală regulată are apotema piramidei $a_p=13$ cm și apotema bazei $a_b=5$ cm. Cât este înălțimea piramidei?

Rezolvare. Din relația $a_p^2=h^2+a_b^2$ scoatem înălțimea (apotema piramidei este ipotenuza, deci $h$ e catetă): $$h^2=a_p^2-a_b^2=13^2-5^2=169-25=144\Rightarrow h=\sqrt{144}=12\text{ cm}.$$ Înălțimea piramidei este $h=12$ cm.

Exemplul 6 — Muchia laterală vs. apotema piramidei

Enunț. O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $\ell =6$ cm și înălțimea $h=4$ cm. Centrul bazei este $O$, iar $M$ este mijlocul laturii $[AB]$. a) Calculează apotema bazei $a_b$. b) Calculează apotema piramidei $a_p$. c) Calculează muchia laterală $ml$.

Rezolvare. a) Baza este un pătrat de latură $6$ cm, iar apotema pătratului este jumătate din latură: $$a_b=\frac{\ell }{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}.$$ b) În triunghiul dreptunghic $VOM$: $a_p^2=h^2+a_b^2=4^2+3^2=16+9=25\Rightarrow a_p=5$ cm. c) Muchia laterală ajunge într-un colț. Folosim triunghiul dreptunghic $VMA$ (drept în $M$), cu catetele $a_p$ și $MA=\frac{\ell }{2}=3$ cm: $$m{l}^2=a_p^2+{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2=5^2+3^2=25+9=34\Rightarrow ml=\sqrt{34}\approx 5,83\text{ cm}.$$ Deci $a_b=3$ cm, $a_p=5$ cm, iar $ml=\sqrt{34}$ cm. Observă că $ml>a_p$: muchia laterală (până la colț) este mai lungă decât apotema piramidei (până la mijlocul laturii), lucru firesc, colțul fiind mai departe de $M$.

Exemplul 7 — Item tip Evaluare Națională (adevărat/fals cu justificare)

Enunț. Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt. (1) O piramidă are întotdeauna două baze. (2) La o piramidă regulată, toate muchiile laterale sunt egale. (3) Apotema piramidei este mai mică decât înălțimea piramidei. (4) Numărul muchiilor unei piramide este dublul numărului de laturi ale bazei.

Rezolvare. (1) Fals. Piramida are o singură bază; fețele laterale sunt triunghiuri care se întâlnesc în vârf. (Prisma avea două baze.) (2) Adevărat. La piramida regulată vârful este deasupra centrului bazei, deci este egal depărtat de toate colțurile; muchiile laterale $VA,VB,\dots$ au aceeași lungime. (3) Fals. În triunghiul dreptunghic $VOM$, apotema piramidei $a_p$ este ipotenuza ($a_p^2=h^2+a_b^2$), deci este mai mare decât cateta $h$. Corect: $a_p>h$. (4) Adevărat. $M=2n$: sunt $n$ muchii ale bazei și $n$ muchii laterale, în total dublul numărului de laturi.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificări scrise îngrijit (ca la examen). Unde e cazul, fă un desen.

1. Completează: o piramidă cu baza de $n$ laturi are $\dots$ vârfuri, $\dots$ muchii și $\dots$ fețe.

2. Câte fețe laterale are: a) o piramidă triunghiulară; b) o piramidă patrulateră; c) o piramidă hexagonală?

3. Se dă piramida patrulateră regulată $VABCD$. Precizează: a) baza; b) vârful; c) toate muchiile laterale; d) o față laterală care conține latura $[CD]$.

4. O piramidă are baza un heptagon (poligon cu 7 laturi). Câte vârfuri, muchii și fețe are? Verifică prin relația lui Euler.

5. O piramidă are 20 de muchii. Ce fel de piramidă este? Câte fețe are?

6. O piramidă are 10 fețe. Ce poligon are la bază? Câte vârfuri și câte muchii are?

7. Adevărat sau fals (cu justificare): „Există o piramidă cu exact 4 fețe." Dacă da, cum se numește ea?

8. Enumeră cele două condiții care fac dintr-o piramidă o piramidă regulată.

9. O piramidă patrulateră regulată are înălțimea $h=3$ cm și apotema bazei $a_b=4$ cm. Calculează apotema piramidei $a_p$.

10. O piramidă regulată are apotema piramidei $a_p=17$ cm și apotema bazei $a_b=8$ cm. Calculează înălțimea $h$.

11. O piramidă hexagonală regulată are înălțimea $h=40$ cm și apotema piramidei $a_p=41$ cm. Cât este apotema bazei $a_b$?

12. Adevărat sau fals (cu justificare): „La orice piramidă regulată, apotema piramidei este cea mai mare dintre mărimile $h$, $a_b$ și $a_p$."

13. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $\ell =10$ cm și înălțimea $h=12$ cm. a) Cât este apotema bazei $a_b$? b) Cât este apotema piramidei $a_p$?

14. Explică în două-trei propoziții diferența dintre muchia laterală și apotema piramidei. În ce punct al bazei ajunge fiecare?

15. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $\ell =16$ cm și apotema piramidei $a_p=10$ cm. a) Cât este apotema bazei? b) Cât este înălțimea? c) Cât este muchia laterală $ml$? (Indicație: folosește $m{l}^2=a_p^2+(\ell /2{)}^2$.)

16. Un elev desenează desfășurarea unei piramide astfel: un pătrat în mijloc și, pe fiecare latură, câte un triunghi isoscel identic. a) Câte piese are desfășurarea? b) Ce piramidă reprezintă? c) Ce reprezintă înălțimea unui triunghi și ce reprezintă latura lui oblică?

17. Adevărat sau fals (cu justificare): „Desfășurarea unei piramide hexagonale regulate conține un hexagon și 6 triunghiuri echilaterale."

18. Item tip EN (sinteză). O piramidă regulată are baza un poligon regulat și un total de $M$ muchii, $F$ fețe și $V_{\text{aˆrf}}$ vârfuri, cu $M+F+V_{\text{aˆrf}}=24$. Află $n$ (numărul de laturi ale bazei) și precizează ce piramidă este. (Indicație: $M+F+V_{\text{aˆrf}}=2n+(n+1)+(n+1)=4n+2$.)

Răspunsuri și explicații

1. $n+1$ vârfuri, $2n$ muchii, $n+1$ fețe. Un vârf al piramidei plus cele $n$ ale bazei; $n$ muchii ale bazei + $n$ muchii laterale; $n$ fețe laterale + 1 bază.

2. a) 3 fețe laterale ($n=3$); b) 4 ($n=4$); c) 6 ($n=6$). Numărul fețelor laterale = numărul laturilor bazei.

3. a) baza $ABCD$; b) vârful $V$; c) muchiile laterale $[VA],[VB],[VC],[VD]$; d) fața laterală care conține $[CD]$ este triunghiul $VCD$.

4. $n=7$: $V_{\text{aˆrf}}=8$, $M=14$, $F=8$. Euler: $8-14+8=2.✓$ Deci 8 vârfuri, 14 muchii, 8 fețe.

5. $n=\frac{M}{2}=\frac{20}{2}=10$ → baza este un decagon; piramidă decagonală. Fețe: $F=n+1=11$.

6. $n=F-1=10-1=9$ → baza este un nonagon (9 laturi); piramidă nonagonală. Vârfuri: $V_{\text{aˆrf}}=10$; muchii: $M=2\cdot 9=18$.

7. Adevărat. $F=4\Rightarrow n=F-1=3$: este piramida triunghiulară, adică tetraedrul (baza + 3 fețe laterale = 4 fețe). Este piramida cu cel mai mic număr de fețe.

8. (1) Baza este un poligon regulat; (2) piciorul înălțimii cade în centrul bazei (înălțimea ajunge în centrul poligonului regulat). Consecință: muchiile laterale sunt egale, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

9. $a_p^2=h^2+a_b^2=3^2+4^2=9+16=25\Rightarrow a_p=5$ cm. (Triplet 3-4-5.)

10. $h^2=a_p^2-a_b^2=17^2-8^2=289-64=225\Rightarrow h=\sqrt{225}=15$ cm. (Triplet 8-15-17.)

11. $a_b^2=a_p^2-h^2=41^2-40^2=1681-1600=81\Rightarrow a_b=\sqrt{81}=9$ cm. (Triplet 9-40-41.)

12. Adevărat. În triunghiul dreptunghic $VOM$, $a_p$ este ipotenuza, deci $a_p>h$ și $a_p>a_b$ (ipotenuza e mai mare decât fiecare catetă). Prin urmare $a_p$ este cea mai mare dintre cele trei.

13. a) Pătrat de latură $10$: $a_b=\frac{\ell }{2}=5$ cm. b) $a_p^2=h^2+a_b^2=12^2+5^2=144+25=169\Rightarrow a_p=13$ cm. (Triplet 5-12-13.)

14. Amândouă pornesc din vârful $V$, dar muchia laterală ($ml=VA$) ajunge într-un vârf/colț al bazei, iar apotema piramidei ($a_p=VM$) ajunge în mijlocul unei laturi a bazei. Colțul e mai departe de centru decât mijlocul laturii, deci $ml>a_p$.

15. Pătrat $\ell =16$, deci $\frac{\ell }{2}=8$. a) $a_b=\frac{\ell }{2}=8$ cm. b) $h^2=a_p^2-a_b^2=10^2-8^2=100-64=36\Rightarrow h=6$ cm. c) $m{l}^2=a_p^2+{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2=10^2+8^2=100+64=164\Rightarrow ml=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,81$ cm.

16. a) $1+4=5$ piese (un pătrat + 4 triunghiuri). b) O piramidă patrulateră regulată. c) Înălțimea unui triunghi (din vârf spre mijlocul laturii bazei) = apotema piramidei $a_p$; latura oblică (din vârf spre un colț) = muchia laterală $ml$.

17. Fals. Desfășurarea are un hexagon și 6 triunghiuri isoscele, dar acestea nu pot fi echilaterale niciodată: la hexagonul regulat, distanța de la centru la un colț este chiar latura ($R=\ell$), deci muchia laterală $ml=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{h^2+{\ell }^2}>\ell$ pentru orice înălțime $h>0$. Latura oblică a fiecărui triunghi este mereu mai mare decât baza lui, așa că triunghiurile laterale ale unei piramide hexagonale regulate sunt isoscele, dar niciodată echilaterale.

18. $4n+2=24\Rightarrow 4n=22\Rightarrow n=5,5$. Nu este număr natural! Deci nu există o piramidă cu $M+F+V_{\text{aˆrf}}=24$. (Sumele posibile sunt de forma $4n+2$ cu $n\ge 3$: $14,18,22,26,\dots$ — mereu pare, dar niciodată $24$.) Acesta este un item de tip „analizează condiția": recunoști că cerința nu poate fi îndeplinită.

De reținut

• Piramida = o bază poligon + fețe laterale triunghiuri cu vârf comun (vârful piramidei). Are o singură bază.
• Piramida regulată = (1) baza poligon regulat ȘI (2) piciorul înălțimii în centrul bazei ⟹ muchii laterale egale și fețe laterale triunghiuri isoscele congruente.
• Pentru baza cu $n$ laturi: vârfuri $n+1$, muchii $2n$, fețe $n+1$ (și mereu $V_{\text{aˆrf}}=F$); verificare Euler $V-M+F=2$.
• Relația-cheie în triunghiul dreptunghic $VOM$: $\boxed{a_p^2=h^2+a_b^2}$ (apotema piramidei $a_p$ = ipotenuză, deci cea mai mare).
• Muchia laterală ajunge în colț ($m{l}^2=h^2+R^2=a_p^2+(\ell /2{)}^2$); apotema piramidei ajunge în mijlocul laturii — nu le confunda.
• Desfășurarea = 1 poligon (baza) + $n$ triunghiuri isoscele congruente; înălțimea unui triunghi = $a_p$, latura oblică = $ml$.

Greșeli frecvente

• Confuzia muchie laterală ↔ apotema piramidei. Sunt segmente diferite: muchia laterală ($VA$) merge la un colț, apotema piramidei ($VM$) merge la mijlocul unei laturi. Întotdeauna $ml>a_p$. Fă un desen cu ambele și marchează unde ajung.
• Așezarea greșită a lui $a_p$ în teorema lui Pitagora. Apotema piramidei este ipotenuza în triunghiul $VOM$, deci $a_p^2=h^2+a_b^2$, NU $h^2=a_p^2+a_b^2$. Reține: ipotenuza (cea mai mare) stă singură de o parte a egalului.
• A crede că piramida are două baze. Are una singură. Cele două baze erau la prismă. Piramida „se termină" într-un vârf.
• Confuzia „regulată" ↔ orice piramidă. O piramidă e regulată doar dacă baza e poligon regulat și vârful stă deasupra centrului. Fără aceste condiții, muchiile laterale pot fi inegale și nu putem vorbi de o singură apotemă a piramidei.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de piramide. Găsește în jurul tău trei obiecte în formă de piramidă (un vârf de creion ascuțit, un cort tip „tepee", un acoperiș în patru ape, un abajur, o felie de tort tăiată în vârf). Pentru fiecare, spune ce poligon are la bază și numără fețele, muchiile și vârfurile; verifică cu formulele $n+1$, $2n$, $n+1$.

2. Construiește o piramidă din desfășurare. Pe o coală de carton, desenează un pătrat cu latura de 6 cm și, pe fiecare latură, câte un triunghi isoscel identic cu înălțimea (dinspre latura pătratului) de 5 cm. Decupează „floarea", îndoaie triunghiurile în sus și lipește-le: obții o piramidă patrulateră regulată. Măsoară apoi apotema piramidei (5 cm, înălțimea unui triunghi) și, cu rigla, muchia laterală — compară cu $\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\approx 5,83$ cm.

3. Mini-Cheops. Piramida lui Keops are baza pătrat cu latura de circa 230 m și înălțimea de circa 147 m. Calculează, folosind $a_p^2=h^2+a_b^2$ cu $a_b=230/2=115$ m, cât ar fi apotema piramidei (înălțimea unei fețe). Vei obține $a_p=\sqrt{147^2+115^2}$ — estimează cu calculatorul și compară cu valoarea reală (≈ 186 m).

Pentru părinți și profesori

Această lecție continuă capitolul corpurilor geometrice, temă centrală la Evaluarea Națională (subiectul al III-lea conține aproape mereu o problemă de geometrie în spațiu, iar piramida regulată este printre cele mai frecvente). Aici elevul nu calculează încă arii și volume, ci învață limbajul, structura și, mai ales, cele trei triunghiuri dreptunghice cu care se rezolvă toate problemele ulterioare de la piramidă — fundamentul lecțiilor 75–77.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i un obiect real în mână. Un „cort" din carton sau chiar o piramidă improvizată ajută enorm: „Arată-mi o muchie laterală. Acum apotema piramidei. Unde cade înălțimea?" Manipularea fizică fixează diferența dintre a ajunge într-un colț și a ajunge în mijlocul unei laturi.
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „Care sunt cele două condiții ca o piramidă să fie regulată?"; „De ce apotema piramidei e mai mare decât înălțimea?" (e ipotenuză); „Câte muchii are o piramidă cu baza de 5 laturi și de ce?" ($2n=10$); „Care e diferența dintre muchia laterală și apotema piramidei?".
• Semnal că a înțeles: poate desena corect triunghiul dreptunghic $VOM$ și poate scrie fără ezitare $a_p^2=h^2+a_b^2$, așezând apotema piramidei ca ipotenuză; și poate trece corect între numărul de laturi ale bazei și numărul de muchii/vârfuri/fețe.
• Unde apare la EN: în enunțuri de tipul „Se consideră piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $AB=\dots$ și $VO=\dots$" — dacă elevul identifică imediat $a_b$, $a_p$ și triunghiul dreptunghic potrivit, rezolvă rapid; altfel pierde timp și puncte la subiectul III.

Întrebări frecvente

Ce este o piramidă, pe scurt? Este un corp geometric cu o singură bază poligonală și cu fețe laterale triunghiulare care se întâlnesc toate într-un punct numit vârf. Exemple: piramidele egiptene (bază pătrat), un cort „tepee", un vârf de creion.

Care este diferența dintre o piramidă oarecare și o piramidă regulată? La piramida regulată se cer două condiții: baza să fie un poligon regulat (pătrat, triunghi echilateral, hexagon regulat) și vârful să fie exact deasupra centrului bazei. Ca urmare, toate muchiile laterale sunt egale și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele identice. La o piramidă oarecare acestea pot fi diferite.

Ce este apotema piramidei și cu ce diferă de apotema bazei? Apotema piramidei ($a_p$) este distanța de la vârf până la mijlocul unei laturi a bazei (adică înălțimea unei fețe laterale). Apotema bazei ($a_b$) este distanța de la centrul bazei până la mijlocul unei laturi (apotema poligonului regulat din bază). Ele sunt legate prin $a_p^2=h^2+a_b^2$, unde $h$ este înălțimea piramidei.

Cum aflu apotema piramidei dacă știu înălțimea și apotema bazei? Folosești teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format din înălțime, apotema bazei și apotema piramidei: $a_p=\sqrt{h^2+a_b^2}$. De exemplu, dacă $h=8$ și $a_b=6$, atunci $a_p=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$.

De ce apotema piramidei este mai mare decât înălțimea? Pentru că, în triunghiul dreptunghic $VOM$, apotema piramidei este ipotenuza, iar ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât oricare catetă. Deci $a_p>h$ și, la fel, $a_p>a_b$.

Câte muchii, fețe și vârfuri are o piramidă? O piramidă cu baza de $n$ laturi are $2n$ muchii ($n$ ale bazei + $n$ laterale), $n+1$ fețe ($n$ triunghiuri + 1 bază) și $n+1$ vârfuri (colțurile bazei + vârful). De exemplu, piramida patrulateră are 8 muchii, 5 fețe și 5 vârfuri.

Care este diferența dintre muchia laterală și apotema piramidei? Ambele pornesc din vârful piramidei, dar muchia laterală ajunge într-un colț al bazei, iar apotema piramidei ajunge în mijlocul unei laturi a bazei. Muchia laterală este mereu mai lungă: $m{l}^2=a_p^2+(\ell /2{)}^2$, unde $\ell$ este latura bazei.

Cum arată desfășurarea unei piramide regulate? Este formată din baza (un poligon regulat) și din $n$ triunghiuri isoscele congruente, atașate câte unul pe fiecare latură a bazei, ca petalele unei flori. Înălțimea fiecărui triunghi este apotema piramidei, iar latura oblică este muchia laterală.