Tetraedrul regulat: descriere, elemente și desfășurare

Ai jucat vreodată table sau ai văzut un zar în formă de „piramidă"? Zarul cu patru fețe (de tip D4), folosit în multe jocuri de societate, este exact corpul geometric din această lecție: un tetraedru regulat. La fel arată și cristalele unor minerale, structura moleculei de metan sau multe modele de origami. După ce în lecția anterioară am descris piramida și piramida regulată, ne oprim acum asupra celei mai simetrice piramide posibile: aceea care are toate cele patru fețe triunghiuri echilaterale identice și toate muchiile egale. Vom învăța să-i identificăm muchia, înălțimea, apotema, să deducem relațiile metrice care leagă aceste mărimi de muchia $a$ și să-i construim desfășurarea. Sunt exact „cărămizile" de care vei avea nevoie ca să calculezi, în lecțiile următoare, aria și volumul.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii tetraedrul regulat ca piramidă triunghiulară cu patru fețe echilaterale congruente și să îi numeri corect muchiile, fețele și vârfurile.
• Vei ști să identifici muchia $a$, înălțimea $h$, apotema feței $a_p$ și apotema bazei $a_b$, precum și centrul bazei.
• Vei ști să deduci relațiile metrice $a_b=\frac{a\sqrt{3}}{6}$, $a_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ și $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, pornind de la muchia $a$.
• Vei ști să construiești desfășurarea tetraedrului regulat din patru triunghiuri echilaterale congruente.
• Vei ști să deosebești tetraedrul regulat de o piramidă triunghiulară oarecare și să înțelegi de ce este o piramidă regulată particulară.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un tetraedru și când este regulat

Cuvântul tetraedru vine din greacă: tetra = „patru", edra = „față". Deci un tetraedru este orice corp cu patru fețe, iar aceste fețe sunt, obligatoriu, triunghiuri. Cu alte cuvinte, tetraedrul este piramida triunghiulară: are o bază triunghi și încă trei fețe laterale triunghiulare care se întâlnesc într-un vârf.

Orice piramidă triunghiulară este un tetraedru, indiferent cât de „strâmbă" ar fi: baza poate fi un triunghi oarecare, iar vârful poate fi oriunde deasupra. Un astfel de corp are patru fețe, dar ele pot fi triunghiuri complet diferite ca formă și mărime.

Definiție. Se numește tetraedru regulat un tetraedru care are toate cele patru fețe triunghiuri echilaterale congruente (identice). În mod echivalent, este piramida cu toate cele șase muchii egale.

Cuvântul-cheie este „regulat". El adaugă la simplul tetraedru o condiție puternică de simetrie: toate fețele sunt la fel, toate muchiile au aceeași lungime $a$. Din această singură condiție decurge totul: toate unghiurile fețelor sunt de $60°$, toate cele patru vârfuri „arată la fel", iar oricare dintre cele patru fețe poate fi socotită „baza".

Muchia tetraedrului. Deoarece toate muchiile sunt egale, tetraedrul regulat este descris complet de o singură mărime: lungimea muchiei, notată de obicei cu $a$. Odată ce cunoști $a$, poți calcula orice altă mărime a corpului. Acesta este marele avantaj al regularității — un singur număr „controlează" întreaga figură.

2. Câte muchii, fețe și vârfuri are tetraedrul

Numărătoarea este simplă, dar merită înțeleasă, nu memorată. Tetraedrul este piramida cu baza triunghi, deci baza are $n=3$ laturi.

• Fețe: o bază + 3 fețe laterale $=4$ fețe (de aceea se numește tetraedru). Toate sunt triunghiuri echilaterale.
• Vârfuri: cele 3 vârfuri ale bazei + vârful de sus $=4$ vârfuri.
• Muchii: cele 3 laturi ale bazei + cele 3 muchii laterale $=6$ muchii, toate egale cu $a$.

Putem controla rezultatul cu relația lui Euler, valabilă la orice poliedru convex: $V-M+F=2$. Aici: $$V-M+F=4-6+4=2.✓$$

Observă o particularitate frumoasă a tetraedrului: are același număr de fețe și de vârfuri (câte 4) — de altfel, orice piramidă are atâtea fețe câte vârfuri. Ce îl face special pe tetraedrul regulat este că oricare dintre cele patru fețe poate juca rolul bazei.

3. De ce este o piramidă regulată particulară

În lecția precedentă am definit piramida regulată ca fiind piramida care are baza un poligon regulat, iar vârful se proiectează exact în centrul bazei (astfel încât muchiile laterale sunt egale, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente).

Tetraedrul regulat verifică toate aceste condiții:

• baza $ABC$ este un triunghi echilateral — adică poligon regulat cu 3 laturi;
• muchiile laterale $VA$, $VB$, $VC$ sunt egale (toate $=a$), deci vârful $V$ se proiectează chiar în centrul bazei;
• fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale (deci și isoscele) congruente.

Prin urmare, tetraedrul regulat este o piramidă triunghiulară regulată. Dar are un „bonus": la o piramidă triunghiulară regulată oarecare, fețele laterale sunt isoscele, iar muchia laterală poate fi diferită de latura bazei. La tetraedrul regulat, condiția suplimentară este că muchia laterală este egală cu latura bazei, ceea ce face fețele laterale echilaterale, la fel ca baza.

De reținut diferența.

• Piramidă triunghiulară (tetraedru oarecare): baza triunghi oarecare, fețe oarecare. Un singur lucru sigur: are 4 fețe.
• Piramidă triunghiulară regulată: baza triunghi echilateral, vârful deasupra centrului; fețele laterale sunt isoscele, dar nu neapărat echilaterale (muchia laterală poate fi $\ne a$).
• Tetraedru regulat: caz particular al celei de mai sus, în care toate muchiile sunt egale, deci toate fețele sunt echilaterale.

4. Elementele metrice: muchie, apotema bazei, apotema feței, înălțime

Pentru calcule vom folosi patru mărimi. Le introducem pe rând, urmărind figura. Fie tetraedrul regulat $VABC$ cu muchia $a$ și fie $O$ centrul bazei $ABC$ (locul unde se proiectează vârful $V$).

Muchia $a$ — lungimea comună a celor 6 muchii.

Apotema bazei $a_b$ — este apotema poligonului din bază, adică distanța de la centrul $O$ al triunghiului echilateral până la mijlocul unei laturi. Este o mărime din geometria plană a triunghiului echilateral.

Apotema feței $a_p$ (numită și apotema piramidei) — este înălțimea unei fețe laterale, adică distanța de la vârful $V$ până la mijlocul unei muchii a bazei, măsurată pe fața laterală. Cum fața laterală este un triunghi echilateral de latură $a$, apotema feței este chiar înălțimea acelui triunghi echilateral.

Înălțimea tetraedrului $h$ — este distanța de la vârful $V$ la planul bazei, adică segmentul $VO$, perpendicular pe bază.

Cheia întregii lecții este triunghiul dreptunghic $VOM$, unde $M$ este mijlocul muchiei $BC$:

• $VO=h$ este o catetă (înălțimea tetraedrului), perpendiculară pe bază;
• $OM=a_b$ este cealaltă catetă (apotema bazei), în planul bazei;
• $VM=a_p$ este ipotenuza (apotema feței).

De aici, prin teorema lui Pitagora, obținem relația fundamentală: $$a_p^2=h^2+a_b^2.$$ O vom folosi din plin. Dar mai întâi trebuie să exprimăm $a_b$ și $a_p$ în funcție de muchia $a$.

5. Deducerea relațiilor metrice pornind de la triunghiul echilateral

Totul se sprijină pe un singur obiect din geometria plană: triunghiul echilateral de latură $a$. Reamintim (fără a re-preda) cele două rezultate cheie, pe care le poți revedea la relațiile metrice în triunghi.

Înălțimea triunghiului echilateral. Într-un triunghi echilateral de latură $a$, înălțimea împarte baza în două segmente de câte $\frac{a}{2}$. Cu teorema lui Pitagora în semitriunghi: $$\text{ıˆna˘lțime}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Poziția centrului. Centrul $O$ al triunghiului echilateral (centrul de greutate, care coincide cu centrul cercurilor înscris și circumscris) se află pe fiecare mediană, la două treimi de vârf și la o treime de mijlocul laturii opuse. Deci:

• distanța de la $O$ la mijlocul unei laturi (apotema bazei) este $\frac{1}{3}$ din înălțime;
• distanța de la $O$ la un vârf (raza cercului circumscris) este $\frac{2}{3}$ din înălțime.

Acum putem calcula fiecare element.

(a) Apotema bazei. $$a_b=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

(b) Apotema feței. Fața laterală (de exemplu $VBC$) este un triunghi echilateral de latură $a$, iar apotema feței este înălțimea lui: $$a_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Reține și mărimea auxiliară raza bazei (distanța de la $O$ la un vârf al bazei, egală cu raza cercului circumscris triunghiului echilateral): $$R=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

(c) Înălțimea tetraedrului. Folosim triunghiul dreptunghic $VOM$ și relația $a_p^2=h^2+a_b^2$, de unde $h^2=a_p^2-a_b^2$: $$h^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{36}=\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{12}.$$ Aducem la același numitor ($12$): $$h^2=\frac{9a^2}{12}-\frac{a^2}{12}=\frac{8a^2}{12}=\frac{2a^2}{3}.$$ Deci: $$h=\sqrt{\frac{2a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$$

Formulele tetraedrului regulat cu muchia $a$: $$a_b=\frac{a\sqrt{3}}{6},a_p=\frac{a\sqrt{3}}{2},h=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$$

Verificarea alternativă a înălțimii (frumoasă și utilă la examen): privește triunghiul dreptunghic $VOA$, unde $A$ este un vârf al bazei. Aici $VA=a$ (muchie laterală), $OA=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ și $VO=h$. Teorema lui Pitagora: $$h^2=V{A}^2-O{A}^2=a^2-\frac{3a^2}{9}=a^2-\frac{a^2}{3}=\frac{2a^2}{3},$$ deci din nou $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Ambele drumuri dau același rezultat — un bun semn că raționamentul e corect.

Câteva ordine de mărime (utile ca să „simți" cifrele): pentru $a=1$ avem $a_b\approx 0,29$, $a_p\approx 0,87$ și $h\approx 0,82$. Observă că apotema feței este mai mare decât înălțimea ($a_p>h$): $0,87>0,82$. Are sens — apotema feței este ipotenuza triunghiului $VOM$, iar înălțimea este doar o catetă a lui, deci nu poate fi mai mare. Este o confuzie clasică pe care merită s-o eviți.

6. Desfășurarea tetraedrului regulat

Ce înseamnă desfășurare? Imaginează-ți că tetraedrul este confecționat din carton. Dacă îl „decupezi" de-a lungul a trei muchii care pornesc din vârful $V$ și îl întinzi pe masă, obții o figură plană alcătuită din toate cele patru fețe, lipite pe muchii comune. Această figură plană se numește desfășurarea (sau desfășurata) corpului. Este exact ce faci când desfaci un ambalaj și îl netezești.

Pentru că toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale congruente de latură $a$, desfășurarea tetraedrului regulat este deosebit de elegantă:

• în centru, un triunghi echilateral — baza;
• pe fiecare dintre cele trei laturi ale bazei, câte un alt triunghi echilateral — cele trei fețe laterale;
• când „ridici" cele trei triunghiuri exterioare, vârfurile lor libere se întâlnesc toate în vârful $V$ al tetraedrului.

Astfel, desfășurarea este formată din patru triunghiuri echilaterale de latură $a$: unul central și trei alipite de laturile lui.

Există și o formă și mai frumoasă: dacă alipești cele patru triunghiuri echilaterale astfel încât ele să umple un triunghi echilateral mare de latură $2a$, împărțit prin liniile mijloacelor în patru triunghiuri mici egale, obții tot o desfășurare validă a tetraedrului regulat. Triunghiul din mijloc devine baza, iar cele trei „colțuri" se pliază în sus și se întâlnesc în $V$.

Test rapid de corectitudine. O desfășurare a tetraedrului regulat trebuie să aibă exact 4 triunghiuri echilaterale de aceeași mărime (una pentru fiecare față). Dacă numeri altceva decât 4, sau dacă triunghiurile nu sunt toate echilaterale și congruente, desfășurarea este greșită.

Desfășurarea este pasul care pregătește aria totală: fiindcă suprafața tetraedrului este formată din patru triunghiuri echilaterale identice, aria totală se va obține adunând ariile lor — dar formula propriu-zisă o vom deduce în lecția Aria laterală și aria totală a piramidei regulate, iar volumul, care folosește înălțimea $h$ calculată aici, în lecția Volumul piramidei regulate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Descriere și numărarea elementelor

Enunț. Un corp geometric are patru fețe, iar fiecare față este un triunghi echilateral cu latura de $5$ cm. a) Ce corp este? b) Câte vârfuri și câte muchii are? c) Cât măsoară fiecare muchie? d) Verifică relația lui Euler.

Rezolvare. a) Are 4 fețe, toate triunghiuri echilaterale congruente — este un tetraedru regulat. b) Un tetraedru are $V=4$ vârfuri și $M=6$ muchii. c) La tetraedrul regulat toate muchiile sunt egale, deci fiecare muchie măsoară $a=5$ cm. d) $V-M+F=4-6+4=2.✓$

Exemplul 2 — Apotema bazei și apotema feței

Enunț. Un tetraedru regulat are muchia $a=6$ cm. Calculează apotema bazei $a_b$ și apotema feței $a_p$.

Rezolvare. Aplicăm direct formulele deduse: $$a_b=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\text{ cm}\approx 1,73\text{ cm};$$ $$a_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}\approx 5,20\text{ cm}.$$ Observă că $a_p=3a_b$ — nu întâmplător: apotema feței este de trei ori apotema bazei, fiindcă $O$ împarte mediana în raport $2:1$.

Exemplul 3 — Înălțimea tetraedrului

Enunț. Calculează înălțimea unui tetraedru regulat cu muchia $a=6$ cm. Verifică apoi rezultatul folosind triunghiul dreptunghic $VOM$.

Rezolvare. Cu formula înălțimii: $$h=\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}\text{ cm}\approx 4,90\text{ cm}.$$ Verificare cu $VOM$: din Exemplul 2, $a_p=3\sqrt{3}$ și $a_b=\sqrt{3}$. Atunci: $$h^2=a_p^2-a_b^2=(3\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2=27-3=24,$$ deci $h=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm. Rezultatele coincid.$✓$

Exemplul 4 — Aflarea muchiei dintr-un element dat

Enunț. Apotema feței unui tetraedru regulat este $a_p=4\sqrt{3}$ cm. a) Cât este muchia $a$? b) Cât este înălțimea tetraedrului?

Rezolvare. a) Din $a_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ scoatem $a$: $$\frac{a\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\Rightarrow a\sqrt{3}=8\sqrt{3}\Rightarrow a=8\text{ cm}.$$ b) Cu muchia aflată: $$h=\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{8\sqrt{6}}{3}\text{ cm}\approx 6,53\text{ cm}.$$

Exemplul 5 — Relația dintre cele trei elemente

Enunț. Arată că, pentru orice tetraedru regulat, are loc relația $a_p^2=h^2+a_b^2$ și verific-o numeric pentru $a=12$ cm.

Rezolvare. Justificarea generală: în triunghiul dreptunghic $VOM$ (unghiul drept în $O$), catetele sunt $h=VO$ și $a_b=OM$, iar ipotenuza este $a_p=VM$. Teorema lui Pitagora dă direct $a_p^2=h^2+a_b^2$. Verificare pentru $a=12$: $$a_p=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3},a_b=\frac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3},h=\frac{12\sqrt{6}}{3}=4\sqrt{6}.$$ Atunci $h^2+a_b^2=(4\sqrt{6}{)}^2+(2\sqrt{3}{)}^2=96+12=108$, iar $a_p^2=(6\sqrt{3}{)}^2=108$. Egalitatea se verifică.$✓$

Exemplul 6 — Desfășurarea și lungimea totală a muchiilor

Enunț. Pentru un tetraedru regulat cu muchia $a=5$ cm: a) descrie desfășurarea; b) câte triunghiuri și de ce fel are; c) cât este suma lungimilor tuturor muchiilor corpului?

Rezolvare. a) Desfășurarea are un triunghi echilateral central (baza) și, pe fiecare dintre cele trei laturi ale lui, câte un triunghi echilateral (fețele laterale). b) Are 4 triunghiuri echilaterale congruente, toate cu latura $5$ cm. c) Tetraedrul are $6$ muchii, fiecare de $5$ cm, deci suma lungimilor este $6\cdot 5=30$ cm.

Exemplul 7 — Item tip Evaluare Națională (adevărat/fals cu justificare)

Enunț. Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt. (1) Orice piramidă triunghiulară este un tetraedru regulat. (2) La un tetraedru regulat, apotema feței este mai mare decât înălțimea tetraedrului. (3) Tetraedrul regulat are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii. (4) Într-un tetraedru regulat, muchia laterală este egală cu latura bazei.

Rezolvare. (1) Fals. Orice piramidă triunghiulară este un tetraedru, dar este regulat doar dacă toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale congruente. O piramidă cu baza triunghi oarecare nu îndeplinește condiția. (2) Adevărat. Apotema feței $a_p$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic $VOM$, iar înălțimea $h$ este o catetă a lui; ipotenuza este mereu mai mare decât o catetă, deci $a_p>h$. (Numeric: $a_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}\approx 0,87a$, iar $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}\approx 0,82a$.) (3) Adevărat. Tetraedrul este piramida triunghiulară: $F=4$, $V=4$, $M=6$, iar $V-M+F=2$. (4) Adevărat. Este chiar definiția tetraedrului regulat: toate cele șase muchii sunt egale, deci muchia laterală $=$ latura bazei $=a$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificări scrise îngrijit (ca la examen). Unde e cazul, fă un desen și marchează unghiul drept.

1. Completează: tetraedrul regulat are $\dots$ fețe, $\dots$ vârfuri și $\dots$ muchii; toate fețele sunt triunghiuri $\dots$

2. Adevărat sau fals (cu justificare): „Orice tetraedru are toate muchiile egale."

3. Un tetraedru regulat are muchia $a=9$ cm. Calculează apotema bazei $a_b$.

4. Pentru același tetraedru ($a=9$ cm), calculează apotema feței $a_p$.

5. Un tetraedru regulat are muchia $a=3$ cm. Calculează înălțimea $h$.

6. Calculează, pentru un tetraedru regulat cu $a=12$ cm, toate cele trei elemente: $a_b$, $a_p$ și $h$.

7. Apotema bazei unui tetraedru regulat este $a_b=2\sqrt{3}$ cm. Cât este muchia $a$?

8. Înălțimea unui tetraedru regulat este $h=4\sqrt{6}$ cm. Cât este muchia $a$?

9. Adevărat sau fals (cu justificare): „La un tetraedru regulat, apotema feței este de trei ori apotema bazei."

10. Suma lungimilor tuturor muchiilor unui tetraedru regulat este $42$ cm. Cât este muchia $a$? Cât sunt apoi $a_b$ și $h$?

11. Desenează (descrie în cuvinte) desfășurarea unui tetraedru regulat cu muchia $a=4$ cm. Câte triunghiuri are și de ce fel?

12. Un elev spune că desfășurarea tetraedrului regulat este formată din 3 triunghiuri echilaterale. Are dreptate? Corectează, dacă e cazul.

13. Verifică prin calcul relația $a_p^2=h^2+a_b^2$ pentru un tetraedru regulat cu muchia $a=3$ cm.

14. Item tip EN. Se consideră tetraedrul regulat $VABC$ cu muchia $a=8$ cm și $O$ centrul bazei. a) Ce reprezintă segmentul $VO$? b) Cât este lungimea lui? c) Ce fel de triunghi este $VOM$, unde $M$ este mijlocul muchiei $BC$?

15. Adevărat sau fals (cu justificare): „Tetraedrul regulat este o piramidă triunghiulară regulată."

16. O piramidă triunghiulară regulată are baza un triunghi echilateral cu latura $6$ cm, iar muchia laterală de $10$ cm. Este ea un tetraedru regulat? Justifică.

17. Item tip EN (sinteză). Un tetraedru regulat are apotema feței $a_p=5\sqrt{3}$ cm. a) Află muchia $a$. b) Află apotema bazei $a_b$. c) Află înălțimea $h$. d) Verifică relația dintre $a_p$, $a_b$ și $h$.

18. Problemă aplicată. Vrei să confecționezi din carton un zar în formă de tetraedru regulat cu muchia $a=7$ cm. a) Câte triunghiuri decupezi și de ce fel? b) Ce lungime totală de muchii se lipesc/pliază? c) Descrie cum arată tiparul (desfășurarea) pe care îl desenezi pe carton.

Răspunsuri și explicații

1. 4 fețe, 4 vârfuri, 6 muchii; toate fețele sunt triunghiuri echilaterale (congruente).

2. Fals. Un tetraedru oarecare (piramidă triunghiulară) poate avea muchii diferite. Toate muchiile sunt egale numai la tetraedrul regulat.

3. $a_b=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm $\approx 2,60$ cm.

4. $a_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$ cm $\approx 7,79$ cm.

5. $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{3\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$ cm $\approx 2,45$ cm.

6. Pentru $a=12$: $a_b=\frac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}$ cm; $a_p=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm; $h=\frac{12\sqrt{6}}{3}=4\sqrt{6}$ cm.

7. Din $\frac{a\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}\Rightarrow a\sqrt{3}=12\sqrt{3}\Rightarrow a=12$ cm.

8. Din $\frac{a\sqrt{6}}{3}=4\sqrt{6}\Rightarrow a\sqrt{6}=12\sqrt{6}\Rightarrow a=12$ cm.

9. Adevărat. $a_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ și $a_b=\frac{a\sqrt{3}}{6}$, deci $\frac{a_p}{a_b}=\frac{a\sqrt{3}/2}{a\sqrt{3}/6}=\frac{6}{2}=3$. Cauza geometrică: centrul $O$ împarte mediana în raport $2:1$, deci apotema feței (întreaga înălțime a feței) este de trei ori apotema bazei (o treime din mediană).

10. Muchii: $6a=42\Rightarrow a=7$ cm. Apoi $a_b=\frac{7\sqrt{3}}{6}$ cm $\approx 2,02$ cm și $h=\frac{7\sqrt{6}}{3}$ cm $\approx 5,72$ cm.

11. Un triunghi echilateral central de latură $4$ cm (baza) și, pe fiecare dintre cele 3 laturi, câte un triunghi echilateral de latură $4$ cm (fețele laterale). În total 4 triunghiuri echilaterale congruente.

12. Nu are dreptate. Desfășurarea are 4 triunghiuri echilaterale (câte unul pentru fiecare față), nu 3. A uitat baza: 1 bază + 3 fețe laterale $=4$.

13. Pentru $a=3$: $a_p=\frac{3\sqrt{3}}{2}$, deci $a_p^2=\frac{27}{4}$; $a_b=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $a_b^2=\frac{3}{4}$; $h=\sqrt{6}$, deci $h^2=6$. Atunci $h^2+a_b^2=6+\frac{3}{4}=\frac{27}{4}=a_p^2.✓$

14. a) $VO$ este înălțimea tetraedrului (perpendiculara din vârf pe planul bazei, cu piciorul în centrul bazei). b) $h=\frac{8\sqrt{6}}{3}$ cm $\approx 6,53$ cm. c) $VOM$ este triunghi dreptunghic (unghiul drept în $O$), cu catetele $VO=h$ și $OM=a_b$ și ipotenuza $VM=a_p$.

15. Adevărat. Baza este triunghi echilateral (poligon regulat), iar vârful se proiectează în centrul bazei (muchiile laterale sunt egale), deci este piramidă triunghiulară regulată. În plus, are muchiile laterale egale cu latura bazei, ceea ce o face un caz particular de piramidă regulată.

16. Nu. Baza este echilaterală, dar muchia laterală ($10$ cm) este diferită de latura bazei ($6$ cm), deci fețele laterale sunt triunghiuri isoscele, nu echilaterale. Este o piramidă triunghiulară regulată, dar nu un tetraedru regulat (ar trebui toate muchiile egale).

17. a) Din $\frac{a\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\Rightarrow a=10$ cm. b) $a_b=\frac{10\sqrt{3}}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm. c) $h=\frac{10\sqrt{6}}{3}$ cm. d) $a_p^2=(5\sqrt{3}{)}^2=75$; $h^2+a_b^2=\frac{600}{9}+\frac{75}{9}=\frac{675}{9}=75.✓$ (am folosit $h^2=\frac{100\cdot 6}{9}=\frac{600}{9}$ și $a_b^2=\frac{25\cdot 3}{9}=\frac{75}{9}$).

18. a) 4 triunghiuri echilaterale cu latura $7$ cm. b) Pe conturul desfășurării, laturile se lipesc două câte două: $3$ lipituri de câte $7$ cm, deci prin lipire se „închid" $3\cdot 7=21$ cm de muchii (jumătate din totalul de $6\cdot 7=42$ cm); celelalte $3$ muchii ($21$ cm) sunt laturile bazei, care rămân în interiorul desfășurării ca linii de pliere. c) Desenezi un triunghi echilateral central de $7$ cm (baza) și, pe fiecare latură a lui, câte un triunghi echilateral de $7$ cm întors în afară; la pliere, cele trei vârfuri exterioare se întâlnesc în vârful $V$.

De reținut

• Tetraedru regulat = piramidă triunghiulară cu toate cele 4 fețe triunghiuri echilaterale congruente, adică toate cele 6 muchii egale (lungimea $a$).
• Are 4 fețe, 4 vârfuri, 6 muchii; verificare Euler: $V-M+F=4-6+4=2$.
• Relațiile metrice cu muchia $a$: $a_b=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ (apotema bazei), $a_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (apotema feței), $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ (înălțimea).
• Triunghiul cheie este $VOM$, dreptunghic în $O$: $a_p^2=h^2+a_b^2$; ca alternativă, $a^2=h^2+R^2$ cu $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
• Desfășurarea este formată din 4 triunghiuri echilaterale de latură $a$: unul central (baza) și trei alipite de laturile lui (fețele laterale).

Greșeli frecvente

• Confuzia tetraedru ↔ tetraedru regulat. Orice piramidă triunghiulară este un tetraedru, dar este regulat doar dacă toate fețele sunt echilaterale congruente (toate muchiile egale). La examen, „tetraedru regulat" cere musai muchii egale.
• Confuzia dintre apotema feței și înălțimea tetraedrului. $a_p=VM$ (pe fața laterală) este mai mare decât $h=VO$ (perpendiculara pe bază), pentru că $a_p$ este ipotenuză, iar $h$ este catetă în $VOM$. Reține: $a_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}>h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
• Confuzia dintre apotema bazei și raza bazei. $a_b=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ este distanța de la centru la mijlocul unei laturi; raza $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ este distanța de la centru la un vârf. $R=2a_b$. Folosește-o pe fiecare în triunghiul potrivit ($VOM$, respectiv $VOA$).
• Desfășurarea cu 3 triunghiuri. Se uită baza. Desfășurarea are 4 triunghiuri echilaterale: 1 bază + 3 fețe laterale.

Aplică acasă

1. Construiește-ți propriul zar D4. Desenează pe carton un triunghi echilateral mare de latură $12$ cm și trasează liniile mijloacelor: obții 4 triunghiuri echilaterale mici de $6$ cm. Adaugă „clapete" de lipit, decupează, pliază cele trei colțuri spre interior și lipește. Ai obținut un tetraedru regulat cu muchia $6$ cm. Verifică cu rigla că toate cele 6 muchii sunt egale.

2. Măsoară și confruntă cu formulele. La tetraedrul construit ($a=6$ cm), măsoară cât poți de exact înălțimea (distanța de la vârf la masă, ținându-l cu baza pe o suprafață plană). Compară cu valoarea teoretică $h=2\sqrt{6}\approx 4,9$ cm. Cât de aproape ai nimerit?

3. Vânătoarea de tetraedre. Caută în jur forme de tetraedru regulat sau apropiate: unele ambalaje de brânză topită, corturi tip „piramidă", structuri metalice din parcuri, molecule desenate în manualul de chimie (metanul $C{H}_4$ are atomii dispuși aproape ca vârfurile unui tetraedru regulat). Pentru fiecare, spune câte fețe, muchii și vârfuri are.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează trecerea de la piramida regulată generală la cazul ei cel mai simetric, tetraedrul regulat — o figură care apare frecvent la Evaluarea Națională în subiectul al III-lea, fie ca obiect de descriere, fie ca suport pentru calcule de arie și volum (lecțiile 76–77). Aici accentul cade pe două lucruri: vocabularul corect (muchie, apotema bazei, apotema feței, înălțime, centrul bazei) și deducerea relațiilor metrice din triunghiul echilateral, nu memorarea lor mecanică.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți deducerea, nu doar formula. Întrebarea „De unde vine $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$?" testează adevărata înțelegere. Elevul ar trebui să deseneze triunghiul $VOM$, să scrie $a_p$ și $a_b$ în funcție de $a$ și să aplice Pitagora.
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „Prin ce se deosebește tetraedrul regulat de o piramidă triunghiulară oarecare?"; „Ce este apotema feței și pe ce triunghi o măsurăm?"; „De ce apotema feței este mai mare decât înălțimea?"; „Câte triunghiuri are desfășurarea și de ce fel?".
• Semnal că a înțeles: poate trece corect, în ambele sensuri, între muchia $a$ și oricare element metric ($a_b$, $a_p$, $h$), poate justifica relația $a_p^2=h^2+a_b^2$ și poate schița o desfășurare cu exact 4 triunghiuri echilaterale.
• Unde apare la EN: în enunțuri de tipul „Se consideră tetraedrul regulat $VABC$ cu muchia..." — dacă elevul identifică rapid înălțimea, apotema și centrul bazei, rezolvarea de arie/volum din subiectul III devine directă. Redactarea îngrijită (figură, marcarea unghiului drept, teorema Pitagora scrisă explicit) aduce punctajul pe pași.

Întrebări frecvente

Ce este un tetraedru regulat, pe scurt? Este o piramidă triunghiulară în care toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale identice, deci toate cele șase muchii au aceeași lungime $a$. Are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii. Exemplu tipic: zarul cu patru fețe folosit în jocuri.

Care este diferența dintre un tetraedru și un tetraedru regulat? „Tetraedru" înseamnă orice corp cu patru fețe triunghiulare, adică orice piramidă triunghiulară, oricât de „strâmbă". „Tetraedru regulat" adaugă condiția ca toate fețele să fie triunghiuri echilaterale congruente, deci toate muchiile egale. Orice tetraedru regulat este un tetraedru, dar nu invers.

Care este formula înălțimii tetraedrului regulat? Înălțimea unui tetraedru regulat cu muchia $a$ este $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Se deduce din triunghiul dreptunghic format de înălțime, apotema bazei și apotema feței, cu teorema lui Pitagora, sau din triunghiul cu muchia laterală și raza bazei.

Cât este apotema tetraedrului regulat? Depinde despre care apotemă vorbim. Apotema feței (înălțimea unei fețe laterale) este $a_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, iar apotema bazei (distanța de la centrul bazei la mijlocul unei laturi) este $a_b=\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Apotema feței este de trei ori apotema bazei.

De ce este tetraedrul regulat o piramidă regulată? Pentru că are baza un poligon regulat (triunghiul echilateral), iar vârful se proiectează exact în centrul bazei, ceea ce face muchiile laterale egale și fețele laterale congruente. Este chiar cazul particular în care muchiile laterale sunt egale și cu latura bazei, deci fețele laterale sunt și ele echilaterale.

Cum arată desfășurarea tetraedrului regulat? Este formată din patru triunghiuri echilaterale de latură $a$: unul central (baza) și trei alipite pe laturile lui (fețele laterale). O variantă elegantă o obții împărțind un triunghi echilateral mare de latură $2a$ prin liniile mijloacelor în patru triunghiuri mici egale.

Este apotema feței egală cu înălțimea tetraedrului? Nu. Apotema feței $a_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}\approx 0,87a$ este mai mare decât înălțimea $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}\approx 0,82a$. Motivul: apotema feței este ipotenuza triunghiului dreptunghic $VOM$, iar înălțimea este doar o catetă a lui.

Câte muchii, fețe și vârfuri are tetraedrul regulat? Are 6 muchii (toate egale cu $a$), 4 fețe (triunghiuri echilaterale) și 4 vârfuri. Verificarea cu relația lui Euler dă $V-M+F=4-6+4=2$, exact cât trebuie pentru un poliedru convex.