Acasă · Clasa a VIII-a · Lecții · Trunchiul de piramidă regulată: descriere, reprezentare și elemente

Trunchiul de piramidă regulată: descriere, reprezentare și elemente

Uită-te la un abajur de lampă, la o găleată, la un ghiveci de flori sau la piramidele „retezate" ale civilizației aztece: toate au o bază largă jos, o „gură" mai mică sus și pereți înclinați care le unesc. Toate sunt, geometric vorbind, trunchiuri de piramidă. După ce am studiat piramida regulată și volumul ei, urmează corpul care se naște dintr-o piramidă căreia „i s-a tăiat vârful". În lecția de față învățăm cum se obține un trunchi de piramidă regulată, cum se numesc corect toate elementele lui (baza mare, baza mică, înălțimea, apotema trunchiului, apotemele bazelor), de ce fețele laterale sunt trapeze isoscele și cum arată desfășurarea lui — plus relația de aur care leagă înălțimea de apoteme: $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ . Este fundamentul indispensabil pentru a calcula, în lecția următoare, aria și volumul.

Ce vei învăța

Vei ști să descrii cum se obține un trunchi de piramidă regulată prin secționarea unei piramide cu un plan paralel cu baza.
Vei ști să denumești corect elementele trunchiului: baza mare, baza mică, muchii, vârfuri, înălțimea $h$ , apotema trunchiului $a_{p}$ și apotemele bazelor $a_{B}$ , $a_{b}$ .
Vei ști să recunoști fețele laterale ca trapeze isoscele congruente și să explici de ce.
Vei ști să construiești trapezul dreptunghic ajutător și să folosești relația $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ .
Vei ști să descrii desfășurarea unui trunchi de piramidă regulată și să numeri piesele ei.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se naște trunchiul: retezăm o piramidă

Pornim de la o piramidă regulată (studiată în lecția Piramida și piramida regulată): are baza un poligon regulat, iar vârful $V$ este exact deasupra centrului bazei. Imaginează-ți că iei un cuțit uriaș și tai piramida cu o „lamă" perfect orizontală, adică printr-un plan paralel cu baza, undeva între vârf și bază.

Ce se întâmplă? Piramida se rupe în două bucăți:

partea de sus — o piramidă mai mică, asemenea cu cea inițială (o „copie micșorată");
partea de jos — corpul care ne interesează, numit trunchi de piramidă.

Definiție. Se numește trunchi de piramidă corpul geometric obținut prin secționarea unei piramide cu un plan paralel cu baza și îndepărtarea piramidei mici de deasupra. Corpul rămas este mărginit de:

baza mare — baza piramidei inițiale (poligonul de jos);

baza mică — poligonul obținut din secțiune (poligonul de sus);

fețele laterale — figurile dintre cele două baze.

Cuvântul „trunchi" vine chiar din limbajul comun: la fel cum trunchiul unui copac este partea rămasă după ce i s-a tăiat coroana, trunchiul de piramidă este partea care rămâne după ce piramidei i s-a „tăiat" vârful.

De ce baza mică este asemenea cu baza mare? Pentru că planul de tăiere este paralel cu baza. La lecția Secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice ai văzut că o secțiune paralelă cu baza unei piramide este un poligon asemenea cu baza. Așadar, dacă baza mare e un pătrat, baza mică e tot un pătrat (mai mic); dacă baza mare e un hexagon regulat, baza mică e tot un hexagon regulat. Cele două baze sunt poligoane de același tip, regulate și asemenea, așezate în plane paralele.

2. Trunchiul de piramidă regulată

Nu orice trunchi de piramidă este „regulat". Ne interesează cazul frumos și ordonat, cel care apare la Evaluarea Națională.

Definiție. Un trunchi de piramidă regulată este trunchiul obținut dintr-o piramidă regulată tăiată cu un plan paralel cu baza. El are următoarele proprietăți:

cele două baze sunt poligoane regulate asemenea (de exemplu, două pătrate sau două hexagoane regulate);

centrele celor două baze se află pe aceeași verticală (axa trunchiului);

fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente (identice între ele).

Să înțelegem de ce fețele laterale sunt exact trapeze isoscele.

Ia o singură față laterală. Ea are:

o latură care este o latură a bazei mari (lungime $L$ );
latura paralelă cu ea, care este latura corespunzătoare a bazei mici (lungime $l$ , mai mică);
două laturi înclinate, care sunt muchii laterale ale trunchiului.

Cele două laturi de sus și de jos sunt paralele (sunt laturi corespunzătoare din două poligoane regulate asemenea, aflate în plane paralele) și inegale ( $L \neq = l$ ). Un patrulater cu exact o pereche de laturi paralele și inegale este un trapez. Iar pentru că trunchiul provine dintr-o piramidă regulată, toate muchiile laterale sunt egale între ele — deci laturile înclinate ale fiecărei fețe sunt egale, ceea ce face din fiecare față un trapez isoscel. Toate aceste trapeze sunt congruente pentru că baza este regulată (toate laturile și toate „feliile" sunt la fel).

Atenție la termeni. „Trunchi de piramidă regulată" NU înseamnă că fețele laterale sunt regulate (ele sunt trapeze, nu poligoane regulate). Înseamnă că piramida din care provine era regulată, deci bazele sunt poligoane regulate, iar fețele ies trapeze isoscele congruente.

3. Elementele caracteristice ale trunchiului

Aici este vocabularul pe care trebuie să-l stăpânești perfect. La examen, dacă încurci apotema trunchiului cu apotema bazei, greșești tot calculul. Le luăm pe rând, urmărind figura.

Baza mare (poligonul de jos) și baza mică (poligonul de sus) — cele două poligoane regulate asemenea. Notăm cu $L$ latura bazei mari și cu $l$ latura bazei mici.

Fețele laterale — trapezele isoscele congruente. Numărul lor este egal cu numărul de laturi al unei baze.

Muchiile. Ca la orice astfel de corp, avem trei feluri:

muchiile bazei mari (laturile poligonului de jos);
muchiile bazei mici (laturile poligonului de sus);
muchiile laterale — laturile oblice care unesc un vârf de jos cu vârful corespunzător de sus.

Vârfurile — colțurile celor două baze.

Acum vin cele patru elemente metrice esențiale. Fii foarte atent, pentru că trei dintre ele conțin cuvântul „apotemă", dar înseamnă lucruri diferite:

1) Înălțimea trunchiului $h$ (sau $H$ ). Este distanța dintre planele celor două baze, adică segmentul vertical $O O^{'}$ care unește centrul $O$ al bazei mari cu centrul $O^{'}$ al bazei mici. Acest segment este perpendicular pe ambele baze.

2) Apotema bazei mari $a_{B}$ . Este apotema poligonului regulat de jos — distanța de la centrul $O$ până la mijlocul unei laturi a bazei mari. (Amintește-ți: la un pătrat de latură $L$ , apotema este $a_{B} = \frac{L}{2}$ .)

3) Apotema bazei mici $a_{b}$ . Analog, apotema poligonului regulat de sus — distanța de la centrul $O^{'}$ până la mijlocul unei laturi a bazei mici. (La un pătrat de latură $l$ : $a_{b} = \frac{l}{2}$ .)

4) Apotema trunchiului $a_{p}$ . Aceasta este înălțimea unei fețe laterale (a trapezului isoscel), adică segmentul care unește mijlocul unei laturi a bazei mari cu mijlocul laturii corespunzătoare a bazei mici. Este cea mai importantă mărime „nouă" a trunchiului și se mai numește apotema trunchiului sau înălțimea trapezului lateral.

Nu confunda cele trei „apoteme"!

$a_{B}$ = apotema bazei mari (în planul de jos);

$a_{b}$ = apotema bazei mici (în planul de sus);

$a_{p}$ = apotema trunchiului (pe fața laterală, oblică). Prima și a doua sunt orizontale; a treia este înclinată. Confuzia dintre ele este cea mai frecventă greșeală de la acest capitol.

4. Relația de aur: trapezul dreptunghic ajutător

Aici este inima lecției. Vrem o relație care să lege înălțimea $h$ (pe care nu o putem măsura direct la o problemă) de mărimile din baze. Cheia este să „tăiem" trunchiul cu un plan vertical care trece prin cele două apoteme.

Imaginează-ți planul vertical care conține:

segmentul $O M = a_{B}$ (apotema bazei mari, de la centrul $O$ la mijlocul $M$ al unei laturi de jos);
segmentul $O^{'} M^{'} = a_{b}$ (apotema bazei mici, de la centrul $O^{'}$ la mijlocul $M^{'}$ al laturii de sus);
segmentul vertical $O O^{'} = h$ ;
segmentul $M M^{'} = a_{p}$ (apotema trunchiului).

Aceste patru segmente formează un trapez dreptunghic $O M M^{'} O^{'}$ :

laturile paralele sunt $O M = a_{B}$ și $O^{'} M^{'} = a_{b}$ (ambele orizontale, deci paralele între ele);
latura $O O^{'} = h$ este perpendiculară pe ambele (verticală) — de aici „dreptunghic";
latura oblică este $M M^{'} = a_{p}$ .

Cum obținem relația? „Decupăm" din trapez un dreptunghi și un triunghi dreptunghic. Coborâm din $M^{'}$ o perpendiculară pe latura mare $O M$ ; piciorul ei fie $P$ . Se formează:

un dreptunghi $O O^{'} M^{'} P$ cu $O P = O^{'} M^{'} = a_{b}$ și $M^{'} P = O O^{'} = h$ ;
un triunghi dreptunghic $M^{'} P M$ , cu unghiul drept în $P$ , în care:
- cateta verticală $M^{'} P = h$ ;
- cateta orizontală $P M = O M - O P = a_{B} - a_{b}$ ;
- ipotenuza $M^{'} M = a_{p}$ .

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $M^{'} P M$ :

$a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2} .$

Aceasta este relația fundamentală a trunchiului de piramidă regulată. Ea îți permite ca, din oricare două dintre mărimile $a_{p}$ , $h$ , $(a_{B} - a_{b})$ , să o afli pe a treia. Din ea desprindem imediat:

$h^{2} = a_{p}^{2} - (a_{B} - a_{b})^{2}, (a_{B} - a_{b})^{2} = a_{p}^{2} - h^{2} .$

De reținut sub forma unei imagini mentale. Apotema trunchiului $a_{p}$ este ipotenuza; înălțimea $h$ și diferența apotemelor $a_{B} - a_{b}$ sunt catetele. „Apotema trunchiului este cea mai lungă" — de aceea $a_{p} > h$ întotdeauna (o ipotenuză e mai mare decât o catetă).

Un exemplu-fulger, ca să simți relația: la un trunchi patrulater regulat cu $a_{B} = 6$ , $a_{b} = 3$ și $h = 4$ , avem $a_{p}^{2} = 4^{2} + (6 - 3)^{2} = 16 + 9 = 25 \Rightarrow a_{p} = 5.$ Simplu și curat. Vom lucra multe astfel de calcule în secțiunea următoare.

Observație (în afara scopului calculelor noastre). Există și o relație asemănătoare pentru muchia laterală $m$ , dar aceea folosește razele cercurilor circumscrise bazelor (nu apotemele): $m^{2} = h^{2} + (R - r)^{2}$ . La clasa a VIII-a lucrăm în principal cu apotema trunchiului $a_{p}$ , care apare în aria laterală. Nu confunda cele două relații: $a_{p}$ folosește apotemele $a_{B}, a_{b}$ , iar $m$ folosește razele $R, r$ .

5. Câte vârfuri, muchii și fețe are un trunchi?

Fie un trunchi de piramidă cu baza un poligon cu $n$ laturi (deci $n$ laturi și la baza mică, fiindcă bazele sunt asemenea).

Vârfuri. Fiecare bază are $n$ vârfuri; sunt două baze: $V = 2 n .$

Muchii. $n$ pe baza mare, $n$ pe baza mică și $n$ muchii laterale: $M = n + n + n = 3 n .$

Fețe. $n$ trapeze laterale + 2 baze: $F = n + 2.$

Observă că numărătoarea este identică cu cea de la prismă. Și aici funcționează relația lui Euler: $V - M + F = 2 n - 3 n + (n + 2) = 2. ✓$

Trunchi	$n$	Vârfuri $2 n$	Muchii $3 n$	Fețe $n + 2$
triunghiular	3	6	9	5
patrulater	4	8	12	6
hexagonal	6	12	18	8

6. Desfășurarea trunchiului de piramidă regulată

Ce este desfășurarea? La fel ca la prismă și piramidă: dacă „tai" trunchiul pe câteva muchii și îl întinzi pe masă, obții o figură plană formată din toate fețele lui, lipite pe muchii comune. Este ca și cum ai desface și ai netezi un abajur de carton.

Desfășurarea unui trunchi de piramidă regulată conține:

cele două baze — poligonul mare și poligonul mic (regulate, asemenea);
fețele laterale — cele $n$ trapeze isoscele congruente, așezate „în evantai" în jurul bazei mari (sau al bazei mici), fiecare având baza mare a trapezului lipită de o latură a poligonului mare.

Spre deosebire de prismă (unde fețele întinse formau un dreptunghi mare), aici fețele laterale sunt trapeze care, puse cap la cap, formează o fâșie în formă de „coroană" ușor curbată — deoarece laturile de sus (scurte, $l$ ) sunt mai mici decât cele de jos (lungi, $L$ ).

Un test simplu de corectitudine: numără piesele. Un trunchi cu baza de $n$ laturi trebuie să aibă în desfășurare exact $n$ trapeze + 2 poligoane $= n + 2$ piese, adică fix numărul de fețe. Dacă ai mai multe sau mai puține, desfășurarea e greșită.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Descriere și denumirea elementelor

Enunț. Un vas metalic are forma unui trunchi de piramidă regulată cu baze pătrate: baza mare are latura $12$ cm, iar baza mică are latura $6$ cm. a) Din ce piramidă provine și cum s-a obținut? b) Ce formă au fețele laterale și câte sunt? c) Câte vârfuri, muchii și fețe are corpul?

Rezolvare. a) Provine dintr-o piramidă patrulateră regulată (cu baza pătrat), secționată cu un plan paralel cu baza; s-a păstrat partea de jos, iar piramida mică de deasupra a fost îndepărtată. b) Fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente; fiind baza un pătrat ( $n = 4$ ), sunt 4 trapeze. c) $V = 2 n = 8$ ; $M = 3 n = 12$ ; $F = n + 2 = 6$ . Verificare Euler: $8 - 12 + 6 = 2. ✓$ Deci: 8 vârfuri, 12 muchii, 6 fețe (4 trapeze + 2 pătrate).

Exemplul 2 — Apotemele bazelor și relația fundamentală

Enunț. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are latura bazei mari $L = 12$ cm, latura bazei mici $l = 6$ cm și înălțimea $h = 4$ cm. Află: a) apotema bazei mari $a_{B}$ ; b) apotema bazei mici $a_{b}$ ; c) apotema trunchiului $a_{p}$ .

Rezolvare. a) Baza mare este un pătrat de latură $12$ ; apotema unui pătrat este jumătate din latură: $a_{B} = \frac{L}{2} = \frac{12}{2} = 6 cm .$ b) Analog, pentru baza mică (pătrat de latură $6$ ): $a_{b} = \frac{l}{2} = \frac{6}{2} = 3 cm .$ c) Folosim relația fundamentală $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ : $a_{p}^{2} = 4^{2} + (6 - 3)^{2} = 16 + 9 = 25 \Rightarrow a_{p} = 5 cm .$ Deci apotema trunchiului este $5$ cm. (Observă că $a_{p} = 5 > h = 4$ , cum era de așteptat.)

Exemplul 3 — Aflarea înălțimii din apotemă

Enunț. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are $L = 16$ cm, $l = 6$ cm și apotema trunchiului $a_{p} = 13$ cm. Cât este înălțimea $h$ a trunchiului?

Rezolvare. Apotemele bazelor: $a_{B} = \frac{16}{2} = 8 cm, a_{b} = \frac{6}{2} = 3 cm, a_{B} - a_{b} = 5 cm .$ Din relația fundamentală, scoatem $h^{2}$ : $h^{2} = a_{p}^{2} - (a_{B} - a_{b})^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 \Rightarrow h = 12 cm .$ Înălțimea trunchiului este $12$ cm.

Exemplul 4 — Diferența apotemelor dintr-un trapez dreptunghic

Enunț. La un trunchi de piramidă regulată se cunosc înălțimea $h = 8$ cm și apotema trunchiului $a_{p} = 10$ cm. a) Cât este diferența apotemelor bazelor, $a_{B} - a_{b}$ ? b) Dacă, în plus, trunchiul este patrulater cu $a_{b} = 3$ cm, cât este latura bazei mari?

Rezolvare. a) Din $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ obținem $(a_{B} - a_{b})^{2} = a_{p}^{2} - h^{2} = 1 0^{2} - 8^{2} = 100 - 64 = 36 \Rightarrow a_{B} - a_{b} = 6 cm .$ b) Dacă $a_{b} = 3$ , atunci $a_{B} = a_{b} + 6 = 3 + 6 = 9$ cm. Baza mare fiind pătrat, $a_{B} = \frac{L}{2}$ , deci $L = 2 a_{B} = 2 \cdot 9 = 18 cm .$ Diferența apotemelor este $6$ cm, iar latura bazei mari este $18$ cm.

Exemplul 5 — Apotema trunchiului din fața laterală (trapezul isoscel)

Enunț. O față laterală a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată este un trapez isoscel cu baza mare $L = 10$ cm, baza mică $l = 4$ cm și latura oblică (muchia laterală) $m = 5$ cm. Cât este apotema trunchiului $a_{p}$ (înălțimea acestui trapez)?

Rezolvare. Lucrăm în interiorul feței laterale, care este un trapez isoscel. Coborâm înălțimile din cele două capete ale bazei mici pe baza mare. Ele „taie" din baza mare, la fiecare capăt, un segment egal cu jumătate din diferența bazelor: $x = \frac{L - l}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3 cm .$ Se formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $= m = 5$ (latura oblică) și o catetă $= x = 3$ ; cealaltă catetă este chiar înălțimea trapezului, adică $a_{p}$ . Cu teorema lui Pitagora: $a_{p}^{2} = m^{2} - x^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow a_{p} = 4 cm .$ Apotema trunchiului este $4$ cm.

Reține contrastul cu relația fundamentală: aici am aflat $a_{p}$ din datele feței laterale (bazele trapezului și latura oblică $m$ ), pe când în Exemplele 2–4 l-am aflat din datele „interioare" ( $h$ și apotemele bazelor). Ambele drumuri duc la $a_{p}$ .

Exemplul 6 — Item tip Evaluare Națională (adevărat/fals cu justificare)

Enunț. Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt. (1) Un trunchi de piramidă se obține tăind o piramidă cu un plan paralel cu baza. (2) Fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată sunt dreptunghiuri. (3) La un trunchi de piramidă regulată, apotema trunchiului este mai mare decât înălțimea. (4) Cele două baze ale unui trunchi de piramidă regulată sunt poligoane regulate congruente.

Rezolvare. (1) Adevărat. Aceasta este chiar definiția: secționăm piramida cu un plan paralel cu baza și îndepărtăm piramida mică. (2) Fals. Fețele laterale sunt trapeze isoscele (bazele au laturi inegale, $L \neq = l$ ). Dreptunghiuri apar la prismă, nu la trunchiul de piramidă. (3) Adevărat. Din $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ și $a_{B} > a_{b}$ rezultă $a_{p}^{2} > h^{2}$ , deci $a_{p} > h$ (apotema trunchiului este ipotenuza triunghiului dreptunghic ajutător). (4) Fals. Bazele sunt asemenea, dar nu congruente: baza mică este o copie micșorată a bazei mari ( $l < L$ ). Ar fi congruente doar dacă planul de tăiere ar coincide cu baza, ceea ce nu dă un trunchi.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificări scrise îngrijit (ca la examen). Unde e cazul, fă un desen.

Completează: Trunchiul de piramidă se obține secționând o piramidă cu un plan $\dots$ cu baza. Poligonul de jos se numește baza $\dots$ , iar poligonul din secțiune se numește baza $\dots$ .
Ce formă au fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată? Câte fețe laterale are un trunchi de piramidă patrulateră regulată?
Un trunchi de piramidă pentagonală regulată are baza un poligon cu 5 laturi. Câte vârfuri, muchii și fețe are? Verifică prin relația lui Euler.
Adevărat sau fals (cu justificare): „Cele două baze ale unui trunchi de piramidă regulată sunt poligoane regulate asemenea."
Adevărat sau fals (cu justificare): „Apotema trunchiului este egală cu înălțimea trunchiului."
Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are $L = 10$ cm, $l = 4$ cm și $h = 4$ cm. Află $a_{B}$ , $a_{b}$ și apotema trunchiului $a_{p}$ .
Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are $L = 18$ cm, $l = 6$ cm și $h = 8$ cm. Află apotema trunchiului $a_{p}$ .
La un trunchi de piramidă regulată se știu $a_{p} = 10$ cm și $h = 8$ cm. Cât este diferența apotemelor bazelor, $a_{B} - a_{b}$ ?
Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are $L = 14$ cm, $l = 8$ cm și $h = 4$ cm. Află apotema trunchiului $a_{p}$ .
Câte piese are desfășurarea unui trunchi de piramidă hexagonală regulată? Din ce se compun ele?
Adevărat sau fals (cu justificare): „Muchiile laterale ale unui trunchi de piramidă regulată sunt congruente între ele."
O față laterală a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată este un trapez isoscel cu $L = 16$ cm, $l = 6$ cm și latura oblică $m = 13$ cm. Cât este apotema trunchiului $a_{p}$ ?
Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are $a_{p} = 5$ cm și $h = 3$ cm. a) Cât este $a_{B} - a_{b}$ ? b) Dacă $a_{B} = 7$ cm, cât este latura bazei mici $l$ ?
Item tip EN. Un ghiveci are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată cu $L = 12$ cm, $l = 8$ cm și $a_{p} = 5$ cm. Cât este înălțimea $h$ a ghiveciului?
Descrie trapezul dreptunghic ajutător al unui trunchi de piramidă regulată: care sunt cele patru segmente care îl formează și care este ipotenuza triunghiului dreptunghic ce apare în el?
Un trunchi de piramidă regulată are 24 de muchii. Ce fel de trunchi este (după bază)? Câte fețe și câte vârfuri are?
Item tip EN (sinteză). Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are $L = 20$ cm, $l = 8$ cm și înălțimea $h = 8$ cm. a) Află $a_{B}$ și $a_{b}$ . b) Află apotema trunchiului $a_{p}$ . c) Câte trapeze isoscele are desfășurarea și cu ce înălțime?
Problemă aplicată. Un designer construiește din carton un abajur în formă de trunchi de piramidă patrulateră regulată cu $L = 30$ cm, $l = 10$ cm și înălțimea $h = 15$ cm. a) Cât este $a_{B} - a_{b}$ ? b) Cât este apotema trunchiului $a_{p}$ (înălțimea unui trapez lateral)? c) Câte trapeze de carton trebuie să decupeze?

Răspunsuri și explicații

paralel cu baza; baza mare (jos); baza mică (din secțiune).
Trapeze isoscele congruente. Un trunchi patrulater regulat ( $n = 4$ ) are 4 fețe laterale (patru trapeze isoscele).
$n = 5$ : $V = 2 \cdot 5 = 10$ , $M = 3 \cdot 5 = 15$ , $F = 5 + 2 = 7$ . Euler: $10 - 15 + 7 = 2. ✓$ Deci 10 vârfuri, 15 muchii, 7 fețe.
Adevărat. Planul de tăiere e paralel cu baza, deci secțiunea (baza mică) este un poligon asemenea cu baza mare; ambele fiind provenite dintr-o piramidă regulată, sunt poligoane regulate. Sunt asemenea, nu congruente (baza mică e mai mică).
Fals. Din $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ și $a_{B} > a_{b}$ rezultă $a_{p} > h$ : apotema trunchiului este strict mai mare decât înălțimea. Sunt egale doar în cazul-limită $a_{B} = a_{b}$ , care nu corespunde unui trunchi propriu-zis.
$a_{B} = \frac{10}{2} = 5$ cm; $a_{b} = \frac{4}{2} = 2$ cm; $a_{p}^{2} = 4^{2} + (5 - 2)^{2} = 16 + 9 = 25 \Rightarrow a_{p} = 5$ cm.
$a_{B} = \frac{18}{2} = 9$ ; $a_{b} = \frac{6}{2} = 3$ ; $a_{B} - a_{b} = 6$ . $a_{p}^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 \Rightarrow a_{p} = 10$ cm.
$(a_{B} - a_{b})^{2} = a_{p}^{2} - h^{2} = 1 0^{2} - 8^{2} = 100 - 64 = 36 \Rightarrow a_{B} - a_{b} = 6$ cm.
$a_{B} = \frac{14}{2} = 7$ ; $a_{b} = \frac{8}{2} = 4$ ; $a_{B} - a_{b} = 3$ . $a_{p}^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 \Rightarrow a_{p} = 5$ cm.
$n = 6$ , deci $6 + 2 = 8$ piese: 6 trapeze isoscele (fețele laterale) + 2 hexagoane regulate (bazele).
Adevărat. Trunchiul provine dintr-o piramidă regulată, ale cărei muchii laterale sunt egale; tăind cu un plan paralel cu baza, segmentele rămase (muchiile laterale ale trunchiului) sunt și ele egale între ele. De aceea fețele ies trapeze isoscele.
$x = \frac{L - l}{2} = \frac{16 - 6}{2} = 5$ cm. În triunghiul dreptunghic din trapez: $a_{p}^{2} = m^{2} - x^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 \Rightarrow a_{p} = 12$ cm.
a) $(a_{B} - a_{b})^{2} = a_{p}^{2} - h^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow a_{B} - a_{b} = 4$ cm. b) $a_{b} = a_{B} - 4 = 7 - 4 = 3$ cm; baza mică fiind pătrat, $l = 2 a_{b} = 2 \cdot 3 = 6$ cm.
$a_{B} = \frac{12}{2} = 6$ ; $a_{b} = \frac{8}{2} = 4$ ; $a_{B} - a_{b} = 2$ . $h^{2} = a_{p}^{2} - (a_{B} - a_{b})^{2} = (5)^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1 \Rightarrow h = 1$ cm.
Cele patru segmente sunt: $O M = a_{B}$ (apotema bazei mari) și $O^{'} M^{'} = a_{b}$ (apotema bazei mici) — laturile paralele; $O O^{'} = h$ (înălțimea) — latura perpendiculară; $M M^{'} = a_{p}$ (apotema trunchiului) — latura oblică. Coborând perpendiculara din $M^{'}$ pe $O M$ se obține un triunghi dreptunghic cu catetele $h$ și $(a_{B} - a_{b})$ și ipotenuza $a_{p}$ .
$n = \frac{M}{3} = \frac{24}{3} = 8$ → baza este un octogon, deci trunchi de piramidă octogonală regulată. Fețe: $F = n + 2 = 10$ ; vârfuri: $V = 2 n = 16$ . (Euler: $16 - 24 + 10 = 2. ✓$ )
a) $a_{B} = \frac{20}{2} = 10$ cm, $a_{b} = \frac{8}{2} = 4$ cm. b) $a_{B} - a_{b} = 6$ ; $a_{p}^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 \Rightarrow a_{p} = 10$ cm. c) 4 trapeze isoscele, fiecare cu înălțimea $a_{p} = 10$ cm.
a) $a_{B} = \frac{30}{2} = 15$ , $a_{b} = \frac{10}{2} = 5$ , deci $a_{B} - a_{b} = 10$ cm. b) $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2} = 1 5^{2} + 1 0^{2} = 225 + 100 = 325 \Rightarrow a_{p} = 325 = 513$ cm $\approx 18, 03$ cm. c) 4 trapeze (câte laturi are baza pătrată).

De reținut

Trunchi de piramidă = corpul rămas când tai o piramidă cu un plan paralel cu baza și îndepărtezi vârful; are baza mare (jos) și baza mică (din secțiune).
La trunchiul de piramidă regulată: bazele sunt poligoane regulate asemenea, iar fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente.
Elementele metrice: înălțimea $h$ (dintre planele bazelor), apotema bazei mari $a_{B}$ , apotema bazei mici $a_{b}$ și apotema trunchiului $a_{p}$ (înălțimea unui trapez lateral).
Relația fundamentală (din trapezul dreptunghic ajutător): $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ . De aici $a_{p}$ este mereu mai mare decât $h$ .
Pentru baza cu $n$ laturi: $V = 2 n$ , $M = 3 n$ , $F = n + 2$ ; desfășurarea are $n$ trapeze isoscele + 2 poligoane-baze.

Greșeli frecvente

Confuzia celor trei apoteme. $a_{B}$ (apotema bazei mari) și $a_{b}$ (apotema bazei mici) sunt orizontale, în plane; $a_{p}$ (apotema trunchiului) este oblică, pe fața laterală. În relația fundamentală, catetele sunt $h$ și diferența $a_{B} - a_{b}$ , iar $a_{p}$ este ipotenuza — nu invers.
A crede că fețele laterale sunt dreptunghiuri. Sunt trapeze isoscele (bazele au laturi diferite, $L \neq = l$ ). Dreptunghiurile apar la prismă. Verifică mereu ce corp ai.
A confunda $a_{B} - a_{b}$ cu $L - l$ . În relația fundamentală se folosește diferența apotemelor, nu a laturilor. La un pătrat, $a_{B} - a_{b} = \frac{L}{2} - \frac{l}{2} = \frac{L - l}{2}$ — nu $L - l$ .
A folosi apotemele acolo unde e nevoie de raze (și invers). Apotema trunchiului $a_{p}$ folosește apotemele bazelor; muchia laterală $m$ folosește razele cercurilor circumscrise. Nu amesteca cele două triunghiuri dreptunghice ajutătoare.

Aplică acasă

Vânătoarea de trunchiuri. Găsește prin casă trei obiecte în formă de trunchi de piramidă (un abajur, o găleată cu secțiune pătrată, un ghiveci, un tort cu straturi). Pentru fiecare, spune care este baza mare și care e baza mică, arată cu degetul o muchie laterală și o față laterală și verifică: fața laterală este un trapez?
Măsoară un ghiveci. Ia un ghiveci sau o găleată în formă de trunchi de piramidă patrulateră. Măsoară cu rigla latura bazei mari $L$ , latura bazei mici $l$ și înălțimea $h$ . Calculează apotemele $a_{B} = \frac{L}{2}$ , $a_{b} = \frac{l}{2}$ și apoi apotema trunchiului $a_{p} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ . Compară cu o măsurare directă a înălțimii unei fețe laterale — ar trebui să iasă apropiate.
Construiește desfășurarea. Desenează pe carton un pătrat mare (latura $L$ ). Pe fiecare latură, lipește câte un trapez isoscel cu baza mare $L$ , baza mică $l$ și înălțimea $a_{p}$ (calculată de tine). Decupează, îndoaie pe laturile pătratului și ridică pereții: obții „scheletul" unui trunchi de piramidă patrulateră. Verifică dacă marginile de sus se potrivesc cu un pătrat de latură $l$ .

Pentru părinți și profesori

Această lecție încheie „familia" piramidei și pregătește direct lecția de arie și volum ale trunchiului de piramidă, temă care apare la Evaluarea Națională în subiectul al III-lea (problema de geometrie în spațiu). Aici elevul nu calculează încă arii și volume, ci învață limbajul corpului și, mai ales, relația-cheie $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ , fără de care nu poate afla înălțimea sau apotema în problemele următoare.

Cum sprijiniți elevul:

Cereți-i să arate pe un obiect real (un ghiveci, un abajur): „Unde e baza mare? Dar baza mică? Arată-mi o față laterală — ce formă are? Unde ar fi apotema trunchiului?" Manipularea fizică fixează diferența dintre cele trei apoteme mult mai bine decât un desen.
Întrebări de verificare a înțelegerii: „Cum se obține un trunchi de piramidă?" (secțiune paralelă cu baza); „De ce fețele laterale sunt trapeze isoscele?"; „Scrie relația dintre $a_{p}$ , $h$ și apoteme și spune care e ipotenuza."; „De ce este $a_{p}$ mereu mai mare decât $h$ ?".
Semnal că a înțeles: poate desena trapezul dreptunghic ajutător $O M M^{'} O^{'}$ , poate marca pe el $h$ , $a_{B}$ , $a_{b}$ , $a_{p}$ și poate afla, corect și în ambele sensuri, oricare mărime din celelalte două.
Unde apare la EN: în enunțuri de tipul „Se consideră trunchiul de piramidă patrulateră regulată $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ...". Elevul care nu identifică rapid apotema trunchiului și relația cu înălțimea pierde punctele pe aria laterală și pe volum. Antrenamentul de aici se plătește direct în punctaj.

Întrebări frecvente

Cum se obține un trunchi de piramidă? Se ia o piramidă și se taie cu un plan paralel cu baza. Piramida se rupe în două: o piramidă mică (sus, care se îndepărtează) și un trunchi de piramidă (jos). Trunchiul are două baze — baza mare (cea inițială) și baza mică (din secțiune) — unite prin fețe laterale.

Ce este un trunchi de piramidă regulată? Este trunchiul obținut dintr-o piramidă regulată. Bazele lui sunt poligoane regulate asemenea (de exemplu, două pătrate), centrele bazelor sunt pe aceeași verticală, iar fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente.

Ce formă au fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată? Sunt trapeze isoscele congruente. Cele două baze ale fiecărui trapez sunt o latură a bazei mari și latura corespunzătoare a bazei mici (paralele și inegale), iar laturile oblice sunt muchiile laterale, egale între ele.

Ce este apotema trunchiului de piramidă? Este înălțimea unei fețe laterale (a trapezului isoscel), adică segmentul care unește mijlocul unei laturi a bazei mari cu mijlocul laturii corespunzătoare a bazei mici. Se notează de obicei $a_{p}$ și este esențială pentru calculul ariei laterale.

Care este relația dintre înălțime și apoteme la trunchiul de piramidă? Relația fundamentală este $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ , unde $h$ este înălțimea trunchiului, $a_{B}$ apotema bazei mari și $a_{b}$ apotema bazei mici. Ea provine din teorema lui Pitagora aplicată în trapezul dreptunghic ajutător și arată că apotema trunchiului este mereu mai mare decât înălțimea.

Care e diferența dintre apotema trunchiului și apotema bazei? Apotema bazei ( $a_{B}$ sau $a_{b}$ ) este o distanță în planul unei baze — de la centrul poligonului la mijlocul unei laturi. Apotema trunchiului ( $a_{p}$ ) este oblică, pe fața laterală, și reprezintă înălțimea trapezului. Ele sunt legate prin relația $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ .

Câte fețe are un trunchi de piramidă? Un trunchi cu baza de $n$ laturi are $n + 2$ fețe: $n$ trapeze laterale plus cele 2 baze. De exemplu, trunchiul de piramidă patrulateră are 6 fețe (4 trapeze + 2 pătrate), iar cel hexagonal are 8 fețe.

Ce conține desfășurarea unui trunchi de piramidă regulată? Conține cele două baze (poligonul mare și poligonul mic) și cele $n$ trapeze isoscele congruente ale fețelor laterale. În total, desfășurarea are $n + 2$ piese, adică exact numărul de fețe ale corpului.