Cilindrul circular drept: descriere și desfășurare

Gândește-te la o conservă de mazăre, la un pahar de suc, la o țeavă de apă sau la un rulou de hârtie de bucătărie: toate au aceeași formă. Este forma cilindrului circular drept, unul dintre cele mai des întâlnite corpuri geometrice din viața de zi cu zi. După ce ai studiat prisma și piramida, ajungem acum la prima familie de corpuri rotunde, corpuri care nu mai au fețe plane peste tot, ci și suprafețe curbate, obținute prin rotație. În această lecție înveți să descrii cilindrul, să îi denumești corect elementele și, foarte important pentru Evaluarea Națională, să îl „desfaci" pe planul caietului. Este pasul absolut necesar înainte de a calcula, în lecția următoare, aria și volumul lui.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici și să denumești elementele unui cilindru circular drept: cele două baze, suprafața laterală, raza $R$, înălțimea $h$, generatoarea $g$, diametrul și axa.
• Vei ști să recunoști cilindrul ca corp de rotație, obținut prin rotirea unui dreptunghi în jurul unei laturi.
• Vei ști să desenezi și să interpretezi desfășurarea în plan a cilindrului: două cercuri și un dreptunghi.
• Vei ști să identifici și să reprezinți secțiunea axială a cilindrului și să afli dimensiunile ei.
• Vei ști să distingi cilindrul de prismă și să explici de ce cilindrul este un corp rotund.

Hai să descoperim împreună

1. De la prismă la cilindru: o idee simplă

La lecțiile despre prismă (vezi prisma dreaptă) ai văzut corpuri cu două baze poligonale paralele și congruente, unite de fețe laterale dreptunghiulare. Imaginează-ți acum o prismă dreaptă cu baza un poligon regulat cu tot mai multe laturi: un hexagon, apoi un poligon cu 12 laturi, cu 100 de laturi, cu 1000 de laturi… Cu cât poligonul are mai multe laturi, cu atât seamănă mai mult cu un cerc, iar suprafața laterală (formată din tot mai multe dreptunghiuri înguste) devine tot mai netedă, apropiindu-se de o suprafață curbă.

La „limita" acestui proces, baza devine un cerc, iar suprafața laterală devine o suprafață curbă continuă. Corpul obținut se numește cilindru circular drept. Această legătură cu prisma te ajută să înțelegi mai târziu de ce formulele pentru arie și volum vor semăna izbitor cu cele de la prismă.

2. Definiția și descrierea cilindrului circular drept

Definiție. Un cilindru circular drept este corpul geometric mărginit de:

• două cercuri congruente (de rază egală), situate în plane paralele, numite bazele cilindrului;
• o suprafață laterală curbă, care unește cele două cercuri.

Cuvântul „drept" din denumire ne spune un lucru esențial: segmentul care unește centrele celor două baze este perpendicular pe planele bazelor. Dacă acest segment ar fi înclinat, am avea un cilindru oblic, dar la clasa a VIII-a lucrăm doar cu cel drept. De aceea, de multe ori îi vom spune scurt „cilindru", subînțelegând că este circular drept.

Reține deosebirea față de prismă: prisma are fețe plane peste tot, în timp ce cilindrul are baze plane (cercuri), dar suprafața laterală curbă. Tocmai suprafața curbă îl face un corp rotund.

3. Elementele cilindrului

Să denumim, pe rând, toate elementele importante. Notează-le cu grijă, pentru că exact aceste notații le vei folosi la examen.

Centrele bazelor. Fiecare bază este un cerc și are un centru. Notăm centrul bazei de jos cu $O$ și centrul bazei de sus cu $O^{\prime }$. Aceste două puncte sunt „inima" fiecărui cerc.

Raza bazei, $R$. Este raza cercului de bază, adică distanța de la centru la orice punct de pe cerc. Cele două baze fiind congruente, au aceeași rază $R$. Raza este elementul care ne spune cât de „gros" este cilindrul.

Diametrul bazei. Este dublul razei: diametrul $=2R$. El este cea mai lungă coardă a cercului de bază și trece prin centru.

Înălțimea, $h$. Este distanța dintre planele celor două baze, adică lungimea segmentului $O{O}^{\prime }$ care unește centrele. Fiindcă cilindrul este drept, $O{O}^{\prime }\perp$ (plan bază), deci $h=O{O}^{\prime }$ măsoară exact cât de „înalt" este cilindrul.

Generatoarea, $g$. Este un segment de pe suprafața laterală care unește un punct de pe cercul de jos cu punctul corespunzător de pe cercul de sus, perpendicular pe baze. Dacă „tai" suprafața laterală de-a lungul unei astfel de linii verticale, obții o generatoare. La cilindrul drept, toate generatoarele sunt paralele și egale între ele, iar fiecare este perpendiculară pe baze.

Relația cheie: $g=h$. La cilindrul circular drept, generatoarea este egală cu înălțimea: $$g=h.$$ Motivul este simplu: atât generatoarea, cât și segmentul $O{O}^{\prime }$ sunt perpendiculare pe baze și unesc cele două plane paralele, deci au aceeași lungime (distanța dintre planele paralele). Această egalitate este specifică cilindrului drept și îți va simplifica mult calculele. (Atenție: la con, generatoarea NU este egală cu înălțimea — vei vedea la conul circular drept.)

Axa cilindrului. Este dreapta care trece prin cele două centre $O$ și $O^{\prime }$. Ea este axa de simetrie a cilindrului și, totodată, axa în jurul căreia „se rotește" dreptunghiul generator (vezi punctul următor). Axa este perpendiculară pe ambele baze.

4. Cilindrul drept ca corp de rotație

Aceasta este una dintre cele mai frumoase idei ale lecției și un subiect foarte plăcut de Evaluare Națională.

Ia un dreptunghi $ABCD$ și una dintre laturile lui, de exemplu latura $AB$. Fixează această latură ca o axă și rotește dreptunghiul complet, cu $360°$, în jurul ei. Ce se întâmplă?

• Latura $AB$ rămâne pe loc — ea devine axa cilindrului.
• Latura opusă, $CD$, care este paralelă cu $AB$, se rotește și descrie suprafața laterală curbată.
• Laturile $AD$ și $BC$, perpendiculare pe axă, „mătură" câte un disc: acestea devin cele două baze (cercuri).

Corpul obținut este exact un cilindru circular drept! De aceea spunem că cilindrul este un corp de rotație.

Ce dimensiuni are cilindrul obținut? Foarte important să reținem legătura:

• latura pe care o rotim (axa, adică $AB$) devine înălțimea cilindrului: $h=AB$;
• latura perpendiculară pe axă (adică $AD$ sau $BC$) devine raza bazei: $R=AD$.

Cu alte cuvinte, dintr-un dreptunghi cu laturile $a$ și $b$, dacă rotim în jurul laturii $a$, obținem un cilindru cu $h=a$ și $R=b$. Dacă am roti în jurul celeilalte laturi, $b$, am obține un cilindru cu $h=b$ și $R=a$ — un cilindru diferit! Deci contează în jurul cărei laturi rotim.

5. Desfășurarea în plan a cilindrului

„A desfășura" un corp înseamnă a-l „desface" și a-l așeza întins pe un plan (pe caiet), ca și cum am decupa suprafața lui și am netezi-o. Ai făcut asta la prismă și la piramidă; acum o facem la cilindru.

Imaginează-ți o conservă. Îi scoți capacul de sus și fundul de jos: acestea sunt două cercuri (bazele). Apoi tai eticheta de hârtie de pe lateral, de-a lungul unei generatoare, și o întinzi pe masă. Ce formă are eticheta întinsă? Un dreptunghi!

Deci desfășurarea cilindrului este formată din trei bucăți:

1. un cerc de rază $R$ (baza de jos);
2. un al doilea cerc de rază $R$ (baza de sus), congruent cu primul;
3. un dreptunghi (suprafața laterală desfășurată).

Partea cea mai importantă — și cel mai des cerută la examen — este să afli dimensiunile dreptunghiului:

• Înălțimea dreptunghiului este chiar înălțimea cilindrului, adică generatoarea: latura verticală $=h$ (adică $=g$). Este logic: când tai eticheta pe verticală, înălțimea ei rămâne cât înălțimea conservei.
• Baza (lățimea) dreptunghiului este egală cu lungimea cercului de bază. De ce? Pentru că eticheta se înfășoară exact o dată în jurul cercului: când o întinzi, latura ei orizontală „măsoară" tot conturul cercului. Iar lungimea (circumferința) unui cerc de rază $R$ este: $$L_{cerc}=2\pi R.$$

Prin urmare, dreptunghiul suprafeței laterale are dimensiunile: $$\boxed{2\pi R\text{(baza)}\text{și}h\text{(ıˆna˘lțimea)}.}$$

Aceasta este cheia lecției. Ține minte: latura lungă (orizontală) a dreptunghiului = $2\pi R$, iar latura scurtă (verticală) = $h$ (presupunând $h<2\pi R$; la un cilindru foarte înalt și subțire, cu $h>2\pi R$, latura verticală devine cea lungă, dar dimensiunile rămân aceleași ca formule).

Observație pentru mai târziu: din această desfășurare se vede clar de unde vin formulele de arie. Aria dreptunghiului lateral este $2\pi R\cdot h$ (aria laterală a cilindrului), iar aria fiecărui cerc este $\pi R^2$. Le vei folosi în lecția despre aria și volumul cilindrului. Deocamdată, e suficient să înțelegi forma desfășurării și dimensiunile dreptunghiului.

6. Secțiunea axială a cilindrului

O secțiune înseamnă tăierea corpului cu un plan și privirea la figura plană obținută în tăietură.

Secțiunea axială este secțiunea făcută cu un plan care conține axa cilindrului (adică trece prin cele două centre $O$ și $O^{\prime }$). Este ca și cum ai tăia un salam drept prin mijloc, pe lungime, trecând prin centru.

Ce figură obții? Un dreptunghi. Să vedem de ce și ce dimensiuni are:

• Planul de secțiune conține axa și taie fiecare bază după un diametru. Diametrul are lungimea $2R$. Deci lățimea dreptunghiului de secțiune este $2R$.
• Pe verticală, dreptunghiul se întinde de la o bază la cealaltă, deci înălțimea lui este $h$.

Prin urmare, secțiunea axială a cilindrului este un dreptunghi cu laturile: $$\boxed{2R\text{și}h.}$$

Aria acestei secțiuni (uneori cerută la examen) este: $${\mathcal{A}}_{sec}=2R\cdot h.$$

Un caz special frumos: dacă $h=2R$, adică înălțimea cilindrului este egală cu diametrul bazei, atunci secțiunea axială este un pătrat. Un astfel de cilindru se numește cilindru echilateral. Este o denumire care apare des în probleme.

Atenție să nu confunzi cele două dreptunghiuri care apar în lecție:

• dreptunghiul din desfășurare are laturile $2\pi R$ și $h$ (latura lungă „împachetează" tot cercul);
• dreptunghiul din secțiunea axială are laturile $2R$ și $h$ (latura orizontală este doar diametrul).

De cele mai multe ori $2\pi R$ este mult mai mare decât $2R$ (fiindcă $\pi \approx 3,14$), deci dreptunghiul de desfășurare este „mai lung" decât cel de secțiune. Nu le amesteca!

7. Recunoașterea unui cilindru în probleme

La Evaluarea Națională, cilindrul apare adesea „ascuns" în obiecte reale: rezervoare de apă, roți de tăvălug, bidoane, țevi, monede stivuite, rulouri. Când citești o problemă, caută două informații-cheie: raza (sau diametrul) bazei și înălțimea. Cu ele poți afla imediat generatoarea ($g=h$), lungimea cercului de bază ($2\pi R$), dimensiunile desfășurării și ale secțiunii axiale. Toată lecția de azi se reduce, practic, la a extrage aceste două numere și a le folosi corect.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identificarea elementelor

Un cilindru circular drept are raza bazei $R=5$ cm și înălțimea $h=12$ cm. Precizează: diametrul bazei, generatoarea, lungimea cercului de bază.

Rezolvare.

• Diametrul bazei: $d=2R=2\cdot 5=10$ cm.
• Generatoarea: la cilindrul drept $g=h$, deci $g=12$ cm.
• Lungimea cercului de bază: $L=2\pi R=2\pi \cdot 5=10\pi$ cm $\approx 31,4$ cm.

Răspuns: $d=10$ cm, $g=12$ cm, $L=10\pi$ cm.

Exemplul 2 — Cilindrul ca corp de rotație

Un dreptunghi cu laturile de $3$ cm și $8$ cm se rotește în jurul laturii de $8$ cm. Ce cilindru se obține? Dar dacă se rotește în jurul laturii de $3$ cm?

Rezolvare. Latura în jurul căreia rotim devine înălțimea, iar latura perpendiculară pe ea devine raza.

Rotație în jurul laturii de $8$ cm:

• $h=8$ cm (latura-axă);
• $R=3$ cm (latura perpendiculară);
• diametrul $=6$ cm, $g=h=8$ cm.

Rotație în jurul laturii de $3$ cm:

• $h=3$ cm;
• $R=8$ cm;
• diametrul $=16$ cm, $g=3$ cm.

Răspuns: obținem doi cilindri diferiți; contează latura aleasă ca axă. Primul este înalt și subțire, al doilea este scund și lat.

Exemplul 3 — Dimensiunile desfășurării

Un cilindru are raza $R=7$ cm și înălțimea $h=20$ cm. Care sunt dimensiunile dreptunghiului din desfășurarea suprafeței laterale? (Se ia $\pi \approx \frac{22}{7}$.)

Rezolvare. Dreptunghiul lateral are:

• latura orizontală $=2\pi R=2\cdot \frac{22}{7}\cdot 7=2\cdot 22=44$ cm;
• latura verticală $=h=20$ cm.

Răspuns: dreptunghiul are dimensiunile $44$ cm și $20$ cm. (Observă cât de comod alege problema $R=7$ cu $\pi \approx \frac{22}{7}$: se simplifică perfect.)

Exemplul 4 — Secțiunea axială și aria ei

Un rezervor cilindric are diametrul bazei de $8$ dm și înălțimea de $15$ dm. Ce fel de figură este secțiunea axială și care este aria ei?

Rezolvare. Diametrul este $2R=8$ dm, deci $R=4$ dm. Secțiunea axială este un dreptunghi cu laturile:

• $2R=8$ dm;
• $h=15$ dm.

Aria secțiunii axiale: $${\mathcal{A}}_{sec}=2R\cdot h=8\cdot 15=120{\text{dm}}^2.$$

Răspuns: secțiunea axială este un dreptunghi de $8$ dm $\times$ $15$ dm, cu aria $120{\text{dm}}^2$.

Exemplul 5 — Cilindru echilateral (secțiune axială pătrat)

La un cilindru, secțiunea axială este un pătrat cu latura de $10$ cm. Află raza și înălțimea cilindrului.

Rezolvare. Secțiunea axială este un dreptunghi cu laturile $2R$ și $h$. Dacă este pătrat, atunci cele două laturi sunt egale și fiecare este $10$ cm: $$2R=10\Rightarrow R=5\text{cm},h=10\text{cm}.$$ Verificăm: $h=10$ cm și $2R=10$ cm, deci $h=2R$ — este într-adevăr un cilindru echilateral.

Răspuns: $R=5$ cm, $h=10$ cm.

Exemplul 6 — De la lungimea cercului la rază

Dreptunghiul din desfășurarea laterală a unui cilindru are latura lungă de $18\pi$ cm și latura scurtă de $9$ cm. Află raza, diametrul și înălțimea cilindrului.

Rezolvare. Latura scurtă a dreptunghiului este înălțimea: $h=9$ cm. Latura lungă este lungimea cercului de bază: $$2\pi R=18\pi \Rightarrow R=\frac{18\pi }{2\pi }=9\text{cm}.$$ Diametrul: $2R=18$ cm.

Răspuns: $R=9$ cm, $d=18$ cm, $h=9$ cm. (Curios: aici raza este egală numeric cu înălțimea, dar cilindrul NU este echilateral, fiindcă echilateral înseamnă $h=2R$, adică $h=18$ cm — aici $h=9\ne 18$.)

Să exersăm

1. Completează: bazele unui cilindru circular drept sunt două ______ congruente, situate în plane ______.

2. Un cilindru are raza $R=6$ cm. Cât este diametrul bazei? Cât este lungimea cercului de bază (în funcție de $\pi$)?

3. Un cilindru drept are înălțimea $h=14$ cm. Cât este generatoarea $g$? Justifică într-o propoziție.

4. Adevărat sau fals, cu justificare: „La orice cilindru circular drept, generatoarea este egală cu diametrul bazei."

5. Un dreptunghi cu laturile $5$ cm și $9$ cm se rotește în jurul laturii de $5$ cm. Află raza și înălțimea cilindrului obținut.

6. Același dreptunghi de la exercițiul 5 se rotește acum în jurul laturii de $9$ cm. Ce rază și ce înălțime are noul cilindru? Este același corp ca la exercițiul 5?

7. Enumeră cele trei figuri plane care apar în desfășurarea suprafeței totale a unui cilindru.

8. Un cilindru are $R=3$ cm și $h=11$ cm. Află dimensiunile dreptunghiului din desfășurarea suprafeței laterale (lasă rezultatul în funcție de $\pi$).

9. (Se ia $\pi \approx \frac{22}{7}$.) Un cilindru are $R=7$ cm și $h=10$ cm. Calculează cele două dimensiuni ale dreptunghiului lateral, ca numere.

10. Un cilindru are $R=4$ cm și $h=9$ cm. Ce figură este secțiunea axială și care sunt laturile ei? Calculează aria secțiunii axiale.

11. Secțiunea axială a unui cilindru este un dreptunghi cu laturile de $6$ cm și $13$ cm, latura de $6$ cm fiind diametrul. Află raza și înălțimea cilindrului.

12. La un cilindru, secțiunea axială este un pătrat cu latura de $16$ cm. Află raza și înălțimea cilindrului. Cum se numește un astfel de cilindru?

13. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dreptunghiul din desfășurarea laterală și dreptunghiul din secțiunea axială au aceleași dimensiuni."

14. Latura lungă a dreptunghiului din desfășurarea laterală a unui cilindru este $24\pi$ cm, iar latura scurtă este $10$ cm. Află raza, diametrul și înălțimea cilindrului.

15. (Item tip Evaluare Națională.) O conservă are forma unui cilindru circular drept cu diametrul bazei de $10$ cm și înălțimea de $12$ cm. Eticheta acoperă exact suprafața laterală, fără suprapunere. Ce dimensiuni (lungime și înălțime) trebuie să aibă dreptunghiul de hârtie al etichetei? (Lasă lungimea în funcție de $\pi$.)

16. (Raționament.) Un cilindru are înălțimea egală cu diametrul bazei. Știind că raza este $R=5$ cm, arată că secțiunea axială este un pătrat și află latura lui.

17. (Item tip Evaluare Națională.) Un tăvălug (rulou) de grădină are forma unui cilindru cu raza $R=20$ cm. La o rotație completă, tăvălugul „netezește" o fâșie de pământ. Ce lungime are fâșia netezită la o rotație completă? (Indicație: la o rotație, punctul de contact parcurge lungimea cercului de bază.) Ia $\pi \approx 3,14$.

18. (Sinteză.) Un cilindru echilateral are diametrul bazei de $18$ cm. Află: raza, înălțimea, generatoarea, latura secțiunii axiale și dimensiunile dreptunghiului din desfășurarea laterală (în funcție de $\pi$).

Răspunsuri și explicații

1. Bazele sunt două cercuri congruente, situate în plane paralele.

2. Diametrul $=2R=2\cdot 6=12$ cm. Lungimea cercului $=2\pi R=2\pi \cdot 6=12\pi$ cm.

3. $g=h=14$ cm. Justificare: la cilindrul drept, generatoarea este perpendiculară pe baze și unește planele paralele, deci este egală cu distanța dintre ele, adică cu înălțimea.

4. Fals. Generatoarea este egală cu înălțimea ($g=h$), nu cu diametrul. Diametrul poate fi mai mare, mai mic sau egal cu înălțimea, în funcție de cilindru. Ele coincid doar întâmplător, când $h=2R$.

5. Rotim în jurul laturii de $5$ cm $\Rightarrow$ axa $=5$ cm $\Rightarrow h=5$ cm; latura perpendiculară $=9$ cm $\Rightarrow R=9$ cm.

6. Rotim în jurul laturii de $9$ cm $\Rightarrow h=9$ cm și $R=5$ cm. NU este același corp: aici $h=9,R=5$, iar la exercițiul 5 aveam $h=5,R=9$. Sunt doi cilindri diferiți.

7. Două cercuri (bazele) și un dreptunghi (suprafața laterală). În total trei figuri.

8. Dreptunghiul lateral: latura lungă $=2\pi R=2\pi \cdot 3=6\pi$ cm; latura scurtă $=h=11$ cm. Deci dimensiunile sunt $6\pi$ cm și $11$ cm.

9. Latura lungă $=2\pi R=2\cdot \frac{22}{7}\cdot 7=44$ cm; latura scurtă $=h=10$ cm. Dimensiuni: $44$ cm și $10$ cm.

10. Secțiunea axială este un dreptunghi cu laturile $2R=8$ cm și $h=9$ cm. Aria $=2R\cdot h=8\cdot 9=72{\text{cm}}^2$.

11. Latura care este diametrul: $2R=6\Rightarrow R=3$ cm. Cealaltă latură este înălțimea: $h=13$ cm.

12. Pătrat $\Rightarrow 2R=16$ și $h=16$. Deci $R=8$ cm, $h=16$ cm. Se numește cilindru echilateral (fiindcă $h=2R$).

13. Fals. Dreptunghiul din desfășurare are laturile $2\pi R$ și $h$, iar cel din secțiunea axială are laturile $2R$ și $h$. Latura lungă diferă: $2\pi R\ne 2R$ (deoarece $\pi \ne 1$). Doar înălțimea $h$ este comună.

14. Latura scurtă $=h=10$ cm. Latura lungă $=2\pi R=24\pi \Rightarrow R=\frac{24\pi }{2\pi }=12$ cm. Diametrul $=2R=24$ cm. Deci $R=12$ cm, $d=24$ cm, $h=10$ cm.

15. Diametrul $=10$ cm $\Rightarrow R=5$ cm. Eticheta = dreptunghiul lateral: lungimea $=2\pi R=2\pi \cdot 5=10\pi$ cm; înălțimea $=h=12$ cm. Deci eticheta are $10\pi$ cm $\times$ $12$ cm (adică aproximativ $31,4$ cm $\times$ $12$ cm).

16. Înălțimea $=$ diametrul $\Rightarrow h=2R=2\cdot 5=10$ cm. Secțiunea axială are laturile $2R=10$ cm și $h=10$ cm, deci laturi egale $\Rightarrow$ este un pătrat cu latura $10$ cm.

17. La o rotație completă, tăvălugul avansează exact cu lungimea cercului de bază: $L=2\pi R=2\cdot 3,14\cdot 20=125,6$ cm. Deci fâșia netezită are lungimea $\approx 125,6$ cm $\approx 1,256$ m.

18. Diametrul $=18$ cm $\Rightarrow R=9$ cm. Cilindru echilateral $\Rightarrow h=2R=18$ cm; generatoarea $g=h=18$ cm. Latura secțiunii axiale (pătrat) $=2R=18$ cm. Dreptunghiul lateral: $2\pi R=18\pi$ cm și $h=18$ cm.

De reținut

• Cilindrul circular drept are două baze cercuri congruente în plane paralele și o suprafață laterală curbă; este un corp rotund.
• Elementele: raza $R$, diametrul $2R$, înălțimea $h$, generatoarea $g$, centrele $O,O^{\prime }$ și axa. La cilindrul drept, $g=h$.
• Cilindrul este corpul de rotație al unui dreptunghi rotit în jurul unei laturi: latura-axă devine înălțimea, latura perpendiculară devine raza.
• Desfășurarea = două cercuri de rază $R$ + un dreptunghi cu dimensiunile $2\pi R$ (baza) și $h$ (înălțimea).
• Secțiunea axială = un dreptunghi cu laturile $2R$ și $h$; dacă $h=2R$, secțiunea este pătrat și cilindrul se numește echilateral.

Greșeli frecvente

• Confuzia $2\pi R$ cu $2R$. Latura lungă a dreptunghiului din desfășurare este $2\pi R$ (înfășoară tot cercul), pe când latura din secțiunea axială este doar $2R$ (diametrul). Ține minte: unde apare „împachetarea" cercului, apare și $\pi$.
• Credința că $g=2R$ sau $g=R$. Generatoarea este egală cu înălțimea: $g=h$. Nu o lega de rază; raza și înălțimea sunt independente.
• Confuzia axei de rotație. Când rotești un dreptunghi, latura în jurul căreia rotești devine înălțimea, nu raza. Dacă schimbi latura-axă, obții un alt cilindru. Verifică mereu care latură stă pe loc.
• Uitarea unei baze la desfășurare. Suprafața totală se desfășoară în două cercuri și un dreptunghi. Elevii desenează adesea un singur cerc — atenție, sunt două baze.

Aplică acasă

• Conserva și eticheta. Ia o conservă din bucătărie. Măsoară cu rigla înălțimea și diametrul bazei. Calculează $R$, apoi lungimea cercului $2\pi R$. Dezlipește (sau imaginează-ți) eticheta și verifică: latura ei lungă ar trebui să fie aproximativ $2\pi R$, iar cea scurtă cât înălțimea conservei. Compară măsurătoarea cu calculul.
• Construiește un cilindru din carton. Decupează un dreptunghi de $2\pi R\times h$ (alege tu $R$ și $h$), lipește-l în tub, apoi decupează două cercuri de rază $R$ pentru capace. Ai construit fizic desfășurarea din lecție. Vezi cât de exact trebuie tăiat dreptunghiul ca să se închidă perfect cercul.
• Rotația unei foi. Ia o foaie A4 dreptunghiulară și rotește-o rapid în jurul unei laturi (ținând-o de o margine). Ochiul vede „umbra" unui cilindru. Notează ce latură ai folosit ca axă și ce rază și înălțime ar avea cilindrul „vizual" obținut.

Pentru părinți și profesori

Această lecție deschide capitolul corpurilor rotunde și este, în esență, o lecție de vocabular geometric riguros plus vizualizare spațială. Elevul nu calculează încă arii și volume (asta urmează), ci trebuie să denumească corect elementele și să stăpânească trei reprezentări: corpul în spațiu, desfășurarea și secțiunea axială.

Întrebări utile de verificare: „Care este relația dintre generatoare și înălțime la cilindrul drept?" (răspuns: $g=h$); „Ce dimensiuni are dreptunghiul din desfășurare?" ($2\pi R$ și $h$); „Ce figură obții tăind cilindrul printr-un plan ce conține axa și ce laturi are?" (dreptunghi $2R\times h$); „Ce cilindru obții rotind un dreptunghi de $a\times b$ în jurul laturii $a$?" ($h=a$, $R=b$). Dacă elevul răspunde corect și justifică, a înțeles.

Semn clar de înțelegere: elevul distinge fără ezitare $2\pi R$ (desfășurare) de $2R$ (secțiune). Dacă le confundă, reluați experimentul cu eticheta conservei — atingerea fizică a materialului fixează ideea.

La Evaluarea Națională, cilindrul apare frecvent la Subiectul al III-lea (problemă de geometrie în spațiu), unde primul pas este mereu identificarea elementelor și, adesea, folosirea desfășurării sau a secțiunii axiale pentru a găsi o dimensiune lipsă. Redactarea îngrijită a acestor elemente aduce puncte de barem chiar înainte de calculul propriu-zis al ariei sau volumului.

Întrebări frecvente

Ce este un cilindru circular drept la clasa a 8-a? Este corpul geometric mărginit de două cercuri congruente (bazele), aflate în plane paralele, și de o suprafață laterală curbă, la care segmentul dintre centrele bazelor este perpendicular pe baze. Pe scurt: forma unei conserve sau a unei țevi.

De ce generatoarea cilindrului este egală cu înălțimea? Pentru că la cilindrul drept atât generatoarea, cât și segmentul dintre centrele bazelor sunt perpendiculare pe baze și unesc cele două plane paralele. Distanța dintre plane paralele este constantă, deci $g=h$. Această egalitate este valabilă doar la cilindru, nu și la con.

Cum se face desfășurarea cilindrului? Desfaci cilindrul în trei bucăți: cele două baze devin două cercuri de rază $R$, iar suprafața laterală, tăiată de-a lungul unei generatoare și întinsă, devine un dreptunghi cu latura lungă $2\pi R$ (lungimea cercului de bază) și latura scurtă $h$ (înălțimea).

Ce este secțiunea axială a cilindrului și ce formă are? Este figura obținută tăind cilindrul cu un plan care conține axa (trece prin centrele ambelor baze). Are forma unui dreptunghi cu laturile $2R$ (diametrul) și $h$ (înălțimea). Dacă $h=2R$, secțiunea este un pătrat.

Ce cilindru se obține prin rotația unui dreptunghi? Rotind un dreptunghi cu $360°$ în jurul uneia dintre laturile sale, obții un cilindru circular drept. Latura în jurul căreia rotești devine înălțimea, iar latura perpendiculară pe ea devine raza bazei. De aceea cilindrul se numește corp de rotație.

Care este diferența dintre cilindru și prismă? Prisma are toate fețele plane (baze poligoane, fețe laterale dreptunghiuri), iar cilindrul are baze cercuri și suprafață laterală curbă. De aceea cilindrul este corp rotund, iar prisma nu. Un cilindru poate fi privit ca o prismă cu baza un poligon cu „infinit" de multe laturi.

Ce este un cilindru echilateral? Este cilindrul la care înălțimea este egală cu diametrul bazei, adică $h=2R$. La el, secțiunea axială (dreptunghiul $2R\times h$) devine un pătrat, deoarece cele două laturi sunt egale.

Ce dimensiuni are dreptunghiul din desfășurarea suprafeței laterale? Latura lungă (orizontală) este egală cu lungimea cercului de bază, adică $2\pi R$, iar latura scurtă (verticală) este egală cu înălțimea $h$ a cilindrului (care este și generatoarea). Aceste dimensiuni sunt cheia pentru a calcula mai târziu aria laterală.