Compararea și ordonarea numerelor întregi

Ai învățat deja că mulțimea numerelor întregi ℤ conține numerele negative, numărul 0 și numerele pozitive, iar fiecare dintre ele are un loc bine stabilit pe axa numerelor. Acum facem un pas firesc mai departe: învățăm să decidem care dintre două numere întregi este mai mare și să așezăm în ordine o mulțime întreagă de astfel de numere. Pare simplu — și chiar este — dar are o mică surpriză: la numerele negative, „mai mare" funcționează exact pe dos față de ceea ce te-ai aștepta. Hai să descoperim împreună regulile, pe înțelesul tuturor, ca să nu mai greșești niciodată.

Ce vei învăța

• Vei ști să compari două numere întregi folosind axa numerelor și să decizi care e mai mare.
• Vei ști să aplici regulile de comparare: orice pozitiv este mai mare ca 0 și ca orice negativ.
• Vei ști să compari două numere negative cu ajutorul modulului (valorii absolute).
• Vei ști să ordonezi o mulțime de numere întregi crescător și descrescător.
• Vei ști să folosești corect semnele „<", „>", „≤", „≥" și „=" când scrii rezultatul comparării.

Hai să descoperim împreună

1. Ideea de bază: axa numerelor decide totul

Cel mai sigur instrument pentru a compara numere întregi este axa numerelor, despre care ai vorbit în lecția Mulțimea numerelor întregi ℤ. Reprezentarea pe axa numerelor. Pe această axă, numerele sunt așezate în ordine, la distanțe egale, iar săgeata arată spre dreapta — adică spre numerele tot mai mari.

Regula de aur, care le cuprinde pe toate, este aceasta:

Pe axa numerelor, dintre două numere întregi, este mai mare cel care se află mai la dreapta. Cel aflat mai la stânga este mai mic.

Asta e tot! Dacă reții doar atât și știi să te uiți la axă, nu poți greși niciodată. Toate regulile pe care le vom învăța mai jos sunt doar scurtături care te scapă de a desena axa de fiecare dată.

Să verificăm cu un exemplu prietenos. Comparăm 2 și 5. Pe axă, 5 e mai la dreapta decât 2, deci 5 > 2 (citim „5 este mai mare decât 2"). Sau, scris invers, 2 < 5 („2 este mai mic decât 5"). Până aici nimic nou — așa comparai și numerele naturale în clasa a V-a.

Acum partea interesantă: comparăm −5 și −2. Mulți elevi spun grăbit „−5 e mai mare, că 5 e mai mare ca 2". Greșit! Uită-te pe axă: −5 stă mai la stânga decât −2. Deci −5 < −2 sau, scris altfel, −2 > −5. La numerele negative, cu cât cifra pare „mai mare", cu atât numărul este de fapt mai mic.

2. O analogie care lămurește totul: termometrul

Cea mai bună imagine pentru numerele întregi este termometrul. Gândește-te la temperaturi în grade Celsius.

• O zi cu −2°C este mai caldă decât o zi cu −5°C, nu-i așa? La −2°C abia îngheață, la −5°C e ger mai serios. Deci „mai cald" înseamnă „temperatură mai mare", adică −2 > −5. Exact ce ne-a spus și axa!
• O temperatură pozitivă, fie ea și mică, e mereu mai mare decât orice temperatură negativă. +1°C (puțin peste zero) este mai cald decât −20°C. Deci 1 > −20.
• Zero grade (0°C) este punctul de îngheț: mai cald decât orice ger (orice negativ), dar mai rece decât orice temperatură pozitivă.

Reține analogia: axa numerelor este un termometru culcat pe orizontală. Spre dreapta e tot mai cald (mai mare), spre stânga e tot mai frig (mai mic).

3. Cele trei reguli de comparare (scurtăturile)

Ca să nu desenezi axa de fiecare dată, ținem minte trei reguli simple. Le putem grupa în funcție de „ce fel" sunt cele două numere pe care le comparăm.

Regula 1 — Orice număr pozitiv este mai mare decât 0 și mai mare decât orice număr negativ.

Cu alte cuvinte, partea dreaptă a axei (pozitivele) bate întotdeauna partea stângă (negativele) și bate și zeroul. Exemple:

• 3 > 0
• 7 > −100 (chiar dacă „100" pare uriaș, fiind negativ stă în stânga, deci e mic)
• 1 > −1

Regula 2 — Numărul 0 este mai mare decât orice număr negativ și mai mic decât orice număr pozitiv.

Zero este granița. Exemple:

• 0 > −4
• 0 > −1
• 0 < 6

Regula 3 — Dintre două numere negative, este mai mare cel cu modulul mai mic.

Aceasta este regula care îi încurcă pe cei mai mulți elevi, așa că îi dedicăm o secțiune întreagă mai jos. Pe scurt: la negative, numărul „mai mic ca mărime" este de fapt mai mare ca valoare.

4. Compararea a două numere negative cu ajutorul modulului

Îți amintești din lecția Modulul (valoarea absolută) al unui număr întreg că modulul unui număr arată distanța de la acel număr până la 0, fără să țină cont de semn. Scriem modulul cu două bare verticale:

• |−5| = 5
• |−2| = 2
• |7| = 7
• |0| = 0

Modulul este mereu un număr pozitiv sau zero — niciodată negativ.

Acum iată regula completă pentru două numere negative:

Dintre două numere negative, este mai mare cel care are modulul mai mic (adică cel mai apropiat de 0).

De ce? Pentru că modulul măsoară cât de departe la stânga ne aflăm. Cu cât modulul e mai mare, cu atât numărul negativ e mai departe la stânga, deci mai mic.

Să comparăm −5 și −2 cu această regulă:

1. Calculăm modulele: |−5| = 5 și |−2| = 2.
2. Comparăm modulele: 5 > 2, deci modulul lui −5 este mai mare.
3. Modul mai mare la un negativ înseamnă număr mai mic. Deci −5 < −2. ✓

Atenție la o capcană de limbaj: când comparăm modulele, scriem 5 > 2; dar concluzia despre numerele întregi se răstoarnă: −5 < −2. Modulele și numerele negative „merg invers".

Hai cu încă un exemplu, mai mare: comparăm −13 și −20.

1. |−13| = 13 și |−20| = 20.
2. 13 < 20, deci −13 are modulul mai mic.
3. Modul mai mic la negative → număr mai mare. Deci −13 > −20. ✓

Verifică mereu cu termometrul: −13°C este mai cald (mai mare) decât −20°C. Corect!

5. Recapitulare a tuturor cazurilor posibile

Când compari două numere întregi oarecare, oricare ar fi ele, te poți baza pe acest mic „arbore de decizie":

1. Sunt amândouă pozitive? Compară-le ca pe numerele naturale obișnuite. Mai mare e cel cu cifra mai mare. Ex.: 8 > 3.
2. Unul e pozitiv, celălalt negativ? Pozitivul câștigă mereu. Ex.: 2 > −9.
3. Unul e 0 și celălalt negativ? Zero câștigă. Ex.: 0 > −7.
4. Unul e 0 și celălalt pozitiv? Pozitivul câștigă. Ex.: 0 < 4.
5. Sunt amândouă negative? Folosește modulul: mai mare e cel cu modul mai mic. Ex.: −3 > −8.

Dacă ai dubii la orice pas, desenează rapid axa și pune punctele — cel din dreapta e mai mare. Axa nu te minte niciodată.

6. Semnele de comparare și cum le citim

Când scriem rezultatul, folosim simboluri matematice. Le revedem, fiindcă le vei folosi mult, mai ales mai târziu la inecuații:

Un truc memorabil: vârful ascuțit al semnului „<" sau „>" arată întotdeauna spre numărul mai mic, iar partea deschisă (gura larg deschisă) este îndreptată spre numărul mai mare. Imaginează-ți un crocodil flămând care vrea să înghită numărul cel mai mare — deschide gura spre el. La −4 < 1, gura e deschisă spre 1, deci 1 este mai mare. ✓

7. Ordonarea crescătoare și descrescătoare

A ordona o mulțime de numere înseamnă a le rescrie într-un șir, după mărime, fără să uiți vreunul.

• Ordine crescătoare = de la cel mai mic la cel mai mare (urcăm, ca pe scări). Folosim semnul „<" între ele.
• Ordine descrescătoare = de la cel mai mare la cel mai mic (coborâm). Folosim semnul „>" între ele.

Cum procedăm sigur, fără greșeli? Iată o metodă în pași, care funcționează mereu:

Pasul 1. Desenează (sau imaginează) axa și plasează fiecare număr. Alternativ, împarte numerele în trei grupe: negative, zero, pozitive.

Pasul 2. Pentru ordine crescătoare, pornește de la stânga axei (cel mai negativ) și citește numerele spre dreapta. Cel mai mic număr negativ este cel cu modulul cel mai mare.

Pasul 3. Treci prin 0 (dacă există), apoi prin pozitive, de la cel mai mic la cel mai mare.

Pasul 4. Pentru ordine descrescătoare, scrii pur și simplu același șir în sens invers.

Hai să ordonăm crescător mulțimea A = {3, −1, 0, −4, 2, −2}.

1. Grupăm: negative = {−1, −4, −2}, zero = {0}, pozitive = {3, 2}.
2. Ordonăm negativele de la cel mai mic: cel cu modulul cel mai mare e −4 (|−4| = 4), apoi −2 (|−2| = 2), apoi −1 (|−1| = 1). Deci −4 < −2 < −1.
3. Urmează 0.
4. Apoi pozitivele crescător: 2 < 3.
5. Lipim totul: −4 < −2 < −1 < 0 < 2 < 3.

Pentru ordine descrescătoare, întoarcem șirul: 3 > 2 > 0 > −1 > −2 > −4.

Observă cum, la negative, ordinea cifrelor „pare" inversată: 4, 2, 1 devin −4, −2, −1. Asta e firea numerelor negative — obișnuiește-te cu ea și verifică mereu pe axă.

8. Numărul dinainte și numărul de după (predecesor și succesor)

Compararea și ordonarea sunt strâns legate de o întrebare simplă: care este numărul imediat mai mic și care este numărul imediat mai mare decât unul dat? Pe axă, acestea sunt cei doi „vecini" ai numărului — punctul din stânga lui și punctul din dreapta lui.

• Predecesorul unui număr întreg este numărul aflat imediat la stânga lui pe axă, adică numărul cu 1 mai mic.
• Succesorul unui număr întreg este numărul aflat imediat la dreapta lui, adică numărul cu 1 mai mare.

La numerele pozitive totul pare natural: predecesorul lui 5 este 4, succesorul lui 5 este 6. Surpriza apare, din nou, la numerele negative. Predecesorul lui −3 nu este −2, ci −4 (cu 1 mai mic înseamnă mai la stânga, deci modul mai mare). Succesorul lui −3 este −2 (cu 1 mai mare, mai la dreapta). Verifică pe axă: vecinii lui −3 sunt −4 (la stânga) și −2 (la dreapta), iar −4 < −3 < −2.

Un caz special merită reținut: succesorul lui −1 este 0, iar succesorul lui 0 este 1. Așadar, dacă mergem din 1 în 1 spre dreapta pornind de la −3, obținem șirul −3, −2, −1, 0, 1, 2 — numere care cresc constant. Astfel de numere care se succed din 1 în 1 se numesc numere întregi consecutive.

9. Lanțuri de comparare și câte numere se află între două capete

Când avem mai mult de două numere, putem scrie un lanț de inegalități, de exemplu −5 < −1 < 0 < 3. Citit pe bucăți, lanțul spune: −5 este mai mic decât −1, care e mai mic decât 0, care e mai mic decât 3. Un lanț scris corect folosește același semn peste tot („<" pentru crescător sau „>" pentru descrescător) — nu amesteca niciodată „<" cu „>" în același șir, fiindcă rezultatul devine fără sens.

Lanțurile ne ajută și să răspundem la întrebarea „câte numere întregi se află între două capete?". Fii atent la cuvintele „strict între" (capetele NU se numără) față de „între, inclusiv capetele". De exemplu, numerele întregi strict între −2 și 3 sunt −1, 0, 1, 2 — adică 4 numere; capetele −2 și 3 nu intră. Dacă am cere inclusiv capetele, ar fi −2, −1, 0, 1, 2, 3, adică 6 numere. Cel mai sigur e să le enumeri pe axă, de la stânga la dreapta, și să le numeri pe degete.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Comparare simplă cu pozitiv și negativ

Compară numerele −8 și 3.

Avem un număr negativ (−8) și un număr pozitiv (3). Conform Regulii 1, orice pozitiv este mai mare decât orice negativ. Nu trebuie să calculăm nimic altceva.

Răspuns: −8 < 3 (sau 3 > −8). Pe termometru: 3°C e mai cald decât −8°C. ✓

Exemplul 2 — Două numere negative

Compară numerele −9 și −4.

Amândouă sunt negative, deci folosim modulul.

1. |−9| = 9 și |−4| = 4.
2. Comparăm modulele: 9 > 4.
3. Modul mai mare la un negativ înseamnă număr mai mic, deci −9 este cel mai mic.

Răspuns: −9 < −4 (sau −4 > −9). Verificare pe axă: −9 e mai la stânga decât −4. ✓

Exemplul 3 — Comparare cu zero

Așază semnul potrivit (<, >, sau =) între: a) 0 și −5; b) 0 și 6; c) −7 și 0.

a) Zero este mai mare decât orice negativ (Regula 2): 0 > −5. b) Zero este mai mic decât orice pozitiv: 0 < 6. c) Orice negativ este mai mic decât 0: −7 < 0.

Răspuns: a) 0 > −5; b) 0 < 6; c) −7 < 0.

Exemplul 4 — Ordonare crescătoare

Ordonează crescător numerele: 5, −3, 0, −6, 1, −1.

1. Negative: −3, −6, −1. Modulele lor: 3, 6, 1. Cel mai mic număr e cel cu modulul cel mai mare → −6, apoi −3, apoi −1. Deci −6 < −3 < −1.
2. Urmează 0.
3. Pozitive crescător: 1 < 5.
4. Lipim: −6 < −3 < −1 < 0 < 1 < 5.

Răspuns: −6 < −3 < −1 < 0 < 1 < 5.

Exemplul 5 — Ordonare descrescătoare cu numere mai mari

Ordonează descrescător numerele: −12, 8, −5, 15, 0, −20.

Mai întâi e mai ușor să le ordonăm crescător, apoi întoarcem.

1. Negative: −12, −5, −20. Module: 12, 5, 20. Cel mai mic e −20 (modul 20), apoi −12, apoi −5. Deci −20 < −12 < −5.
2. Apoi 0.
3. Pozitive: 8 < 15.
4. Crescător: −20 < −12 < −5 < 0 < 8 < 15.
5. Descrescător (întoarcem): 15 > 8 > 0 > −5 > −12 > −20.

Răspuns: 15 > 8 > 0 > −5 > −12 > −20.

Exemplul 6 — Comparare cu module date (problemă de gândire)

Se știe că un număr întreg negativ x are |x| = 10, iar un alt număr întreg negativ y are |y| = 7. Care număr este mai mare, x sau y?

Dacă |x| = 10 și x este negativ, atunci x = −10. Dacă |y| = 7 și y este negativ, atunci y = −7. Comparăm două negative: modulul mai mic (7) aparține lui y, deci y este mai mare.

Răspuns: y > x, adică −7 > −10. Atenție: deși |x| = 10 > 7 = |y|, numărul x este cel mai mic, fiindcă la negative totul se răstoarnă. ✓

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Verifică-te apoi la secțiunea „Răspunsuri și explicații".

1. Așază semnul potrivit (< sau >) între numerele: a) 4 ___ 9; b) −3 ___ 2; c) −5 ___ −1; d) 0 ___ −8.

2. Adevărat sau fals? a) −6 > −2; b) 0 > −1; c) 7 < −100; d) −9 < −8.

3. Compară numerele negative folosind modulul: a) −11 și −4; b) −15 și −20; c) −1 și −100.

4. Încercuiește cel mai mare număr din fiecare grup: a) {−2, −7, 0}; b) {3, −9, −1}; c) {−4, −5, −6}.

5. Încercuiește cel mai mic număr din fiecare grup: a) {1, −3, 5}; b) {−2, −8, 0}; c) {10, −1, −10}.

6. Completează cu un număr întreg potrivit, astfel încât relația să fie adevărată: a) −5 < ___ < 0; b) −2 < ___ < 2; c) ___ < −10.

7. Ordonează crescător: −2, 4, −5, 0, 1, −1.

8. Ordonează descrescător: 7, −3, 0, −8, 2, −1.

9. Pe axa numerelor sunt marcate punctele A(−4), B(2), C(−1), D(0). Scrie coordonatele lor în ordine crescătoare.

10. Temperaturile înregistrate într-o săptămână au fost: luni −3°C, marți 1°C, miercuri −6°C, joi 0°C, vineri −1°C. Ordonează zilele de la cea mai rece la cea mai caldă.

11. Potrivește fiecare pereche cu semnul corect (< sau >): a) −7 și −3; b) 5 și −5; c) −12 și −13; d) 0 și −4.

12. Câte numere întregi se află strict între −4 și 3? Enumeră-le și ordonează-le crescător.

13. Se dau numerele întregi cu modulele: |a| = 6 (a negativ), |b| = 6 (b pozitiv), |c| = 2 (c negativ). Scrie numerele a, b, c și ordonează-le crescător.

14. Adevărat sau fals? Dacă |m| > |n| și ambele numere sunt negative, atunci m > n.

15. Un submarin se află la −250 m față de nivelul mării, un pește la −40 m, iar un pescăruș la 15 m. Ordonează cele trei poziții de la cea mai joasă la cea mai înaltă.

16. Găsește toate numerele întregi x care satisfac −3 ≤ x < 2. Enumeră-le.

17. Care este cel mai mare număr întreg negativ? Dar cel mai mic număr întreg pozitiv? Argumentează scurt.

18. Provocare: Ana spune că −100 este mai mare decât −1, fiindcă 100 > 1. Are dreptate? Explică unde greșește și scrie comparația corectă.

19. Scrie predecesorul și succesorul fiecărui număr: a) 7; b) −1; c) −6; d) 0.

20. Completează șirul de numere întregi consecutive, în ordine crescătoare: −4, ___, ___, −1, ___, 1. Câte numere ai în șir în total?

Răspunsuri și explicații

1. a) 4 < 9 (ambele pozitive, 9 e mai mare). b) −3 < 2 (pozitivul bate negativul). c) −5 < −1 (module 5 > 1, deci −5 e mai mic). d) 0 > −8 (zero bate orice negativ).

2. a) Fals — −6 < −2, fiindcă |−6| = 6 > 2 = |−2|. b) Adevărat — 0 e mai mare ca orice negativ. c) Fals — 7 este pozitiv, deci 7 > −100. d) Adevărat — |−9| = 9 > 8 = |−8|, deci −9 < −8.

3. a) −11 < −4 (module 11 > 4). b) −15 > −20 (module 15 < 20, modul mai mic → mai mare). c) −1 > −100 (module 1 < 100).

4. a) 0 este cel mai mare. b) 3 este cel mai mare (singurul pozitiv). c) −4 este cel mai mare (modulul cel mai mic dintre negative).

5. a) −3 este cel mai mic. b) −8 este cel mai mic (modulul cel mai mare). c) −10 este cel mai mic.

6. Răspunsuri posibile (oricare număr potrivit): a) −4, −3, −2 sau −1 (ex.: −3). b) −1, 0 sau 1 (ex.: 0). c) orice număr mai mic decât −10, ex.: −11, −15, −100.

7. −5 < −2 < −1 < 0 < 1 < 4. (Negativele: module 5, 2, 1 → −5, −2, −1; apoi 0; apoi 1, 4.)

8. 7 > 2 > 0 > −1 > −3 > −8. (Crescător era −8 < −3 < −1 < 0 < 2 < 7, întors.)

9. −4 < −1 < 0 < 2, adică A < C < D < B. Ordinea coordonatelor: −4, −1, 0, 2.

10. De la cea mai rece la cea mai caldă: miercuri (−6°C), luni (−3°C), vineri (−1°C), joi (0°C), marți (1°C). Adică −6 < −3 < −1 < 0 < 1.

11. a) −7 < −3. b) 5 > −5. c) −12 > −13. d) 0 > −4.

12. Numerele strict între −4 și 3 sunt: −3, −2, −1, 0, 1, 2. Sunt 6 numere. Ordonate crescător: −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2.

13. a = −6, b = 6, c = −2. Ordonate crescător: −6 < −2 < 6, adică a < c < b.

14. Fals. Dacă ambele sunt negative și |m| > |n|, atunci m este mai departe la stânga, deci m < n (nu m > n). Exemplu: m = −8, n = −3.

15. De la cea mai joasă la cea mai înaltă: submarinul (−250 m), peștele (−40 m), pescărușul (15 m). Adică −250 < −40 < 15.

16. Numerele întregi cu −3 ≤ x < 2 sunt: −3, −2, −1, 0, 1. (Îl includem pe −3 fiindcă avem „≤", dar nu pe 2 fiindcă avem „<".)

17. Cel mai mare număr întreg negativ este −1 (cel mai apropiat de 0 dintre negative, modulul cel mai mic). Cel mai mic număr întreg pozitiv este 1 (primul pozitiv după 0). Între ele se află 0, care nu e nici pozitiv, nici negativ.

18. Ana nu are dreptate. Ea a comparat doar cifrele, uitând semnul. La numerele negative, modulul mai mare înseamnă număr mai mic. Cum |−100| = 100 > 1 = |−1|, rezultă că −100 < −1. Pe termometru, −100°C e ger cumplit, mult mai rece (mai mic) decât −1°C.

19. a) predecesorul lui 7 este 6, succesorul este 8. b) predecesorul lui −1 este −2, succesorul este 0. c) predecesorul lui −6 este −7, succesorul este −5. d) predecesorul lui 0 este −1, succesorul este 1.

20. Șirul completat: −4, −3, −2, −1, 0, 1. În total sunt 6 numere consecutive.

De reținut

• Pe axă, mai mare = mai la dreapta; mai mic = mai la stânga. Axa numerelor rezolvă orice comparare.
• Orice număr pozitiv > 0 > orice număr negativ. Pozitivele bat mereu negativele, indiferent de cifre.
• La două numere negative, e mai mare cel cu modulul mai mic (cel mai apropiat de 0).
• Ordine crescătoare = de la mic la mare (cu „<"); **ordine descrescătoare** = de la mare la mic (cu „>").
• Cel mai mare întreg negativ este −1; cel mai mic întreg pozitiv este 1; între ele stă 0.
• Predecesorul unui număr este cel cu 1 mai mic (vecinul din stânga pe axă), iar succesorul este cel cu 1 mai mare (vecinul din dreapta). Predecesorul lui −3 este −4, succesorul lui −3 este −2.

Greșeli frecvente

• „−5 e mai mare ca −2 pentru că 5 > 2." Cea mai des întâlnită greșeală! La numerele negative totul se răstoarnă: modulul mai mare = numărul mai mic. Corect: −5 < −2. Verifică mereu cu termometrul sau cu axa.
• Confuzia dintre modul și număr. Modulul (|−7| = 7) este pozitiv, dar numărul −7 rămâne negativ. Când compari module, scrii relația dintre cele două distanțe; concluzia despre numerele negative se inversează.
• Orientarea greșită a semnului „<" / „>". Vârful ascuțit arată mereu spre numărul mai mic, gura deschisă spre cel mai mare. La −4 ___ 1 mulți pun „>" din grabă; corect e −4 < 1.
• A uita că 0 nu e pozitiv, nici negativ. Zero e granița: mai mare decât orice negativ, mai mic decât orice pozitiv. Nu îl trece în nicio „tabără".

Joc acasă

1. Cărțile-temperatură. Scrie pe bilețele numere întregi de la −10 la 10 (câte unul pe bilet). Amestecă-le, trage câte două și pune-le pe masă. Spune cu voce tare care e mai mare și de ce. Cine din familie greșește pierde un bilet. Joacă 10 runde — antrenezi compararea rapid.

2. Linia de pe podea. Lipește pe podea o bandă de hârtie și marchează diviziuni de la −8 la 8, ca o axă uriașă. Cineva strigă un număr, tu sari pe el. Apoi strigă „mergi la un număr mai mare cu modul mai mic" sau întrebări de genul ăsta. Te miști fizic pe axă și înțelegi „dreapta = mai mare".

3. Clasamentul săptămânii. Notează în fiecare zi temperatura de afară (o găsești la știrile meteo de pe telefon). La sfârșitul săptămânii, ordonează cele 7 valori crescător și descrescător. Bonus: care a fost diferența dintre ziua cea mai caldă și cea mai rece?

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează intuiția numerelor întregi și pregătește direct operațiile cu semne (adunarea, scăderea) și, mai târziu, inecuațiile. Marele obstacol psihologic la această vârstă este inversarea ordinii la numerele negative — elevii compară din reflex cifrele, ignorând semnul.

Cum sprijiniți elevul:

• Începeți întotdeauna de la o reprezentare concretă: termometrul sau datoriile (a datora 50 de lei e mai rău, adică „mai puțin", decât a datora 10 lei). Aceste imagini fac regula modulului naturală, nu memorată mecanic.
• Cereți-i să deseneze axa ori de câte ori ezită. Axa este verificatorul universal și îl deprinde să nu se bazeze doar pe formule.
• Insistați pe verbalizare: „mai mare", „mai mic", „mai la dreapta". Cuvintele corecte fixează raționamentul.

Întrebări bune de pus:

• „Care e mai cald, −3°C sau −7°C? De unde știi?"
• „Dă-mi un număr întreg între −5 și −2." (testează înțelegerea ordinii)
• „De ce −1 este cel mai mare număr negativ?"

Cum verificați înțelegerea: dați-i 5 perechi de numere negative de comparat și o mulțime de 6 numere de ordonat. Dacă le rezolvă corect, explicând cu modulul sau cu axa, lecția este însușită. Dacă greșește la negative, reveniți la termometru înainte de a trece la adunarea numerelor întregi.

Întrebări frecvente

Cum compar două numere negative la clasa a 6-a? Calculezi modulul fiecăruia (distanța până la 0) și compari modulele. Numărul negativ cu modulul mai mic este cel mai mare. De exemplu, între −5 și −2, modulul lui −2 este mai mic, deci −2 > −5.

De ce −5 este mai mic decât −2 dacă 5 este mai mare decât 2? Pentru că la numerele negative semnul minus „răstoarnă" ordinea. Pe axa numerelor, −5 se află mai la stânga decât −2, iar tot ce e mai la stânga este mai mic. Gândește-te la temperaturi: −5°C e mai rece (mai mic) decât −2°C.

Care este cel mai mare număr întreg negativ? Este −1, deoarece este negativul cel mai apropiat de 0, având modulul cel mai mic dintre toate numerele negative. Nu există un „cel mai mic" număr negativ, pentru că mulțimea numerelor întregi negative continuă la nesfârșit spre stânga.

Ce înseamnă ordonare crescătoare și descrescătoare? Ordonare crescătoare înseamnă să scrii numerele de la cel mai mic la cel mai mare (folosind semnul „<"). Ordonare descrescătoare înseamnă invers, de la cel mai mare la cel mai mic (folosind semnul „>"). Sunt aceleași numere, doar așezate în sens opus.

Zero este pozitiv sau negativ? Zero nu este nici pozitiv, nici negativ. El este granița dintre cele două: mai mare decât orice număr negativ și mai mic decât orice număr pozitiv. Modulul lui este |0| = 0.

Cum folosesc axa numerelor ca să compar numere întregi? Plasezi cele două numere pe axă. Numărul aflat mai la dreapta este întotdeauna mai mare, iar cel mai la stânga este mai mic. Această regulă funcționează pentru orice fel de numere întregi, pozitive sau negative.

Cum știu în ce parte arată semnul „mai mic" sau „mai mare"? Vârful ascuțit al semnului arată mereu spre numărul mai mic, iar deschiderea (gura largă) spre cel mai mare. Imaginează-ți un crocodil care vrea să înghită numărul mai mare: deschide gura spre el. De exemplu, −4 < 1.

Ce legătură are modulul cu compararea numerelor întregi? Modulul ajută mai ales la compararea a două numere negative: cel cu modulul mai mic este mai mare. La numerele pozitive, cel cu modulul mai mare este mai mare. Modulul îl revezi în lecția despre modulul unui număr întreg.