Modulul (valoarea absolută) al unui număr întreg

Imaginează-ți un termometru în plină iarnă: dimineața arată −6 °C, iar la prânz +6 °C. Cele două temperaturi sunt diferite, dar amândouă sunt „la fel de departe" de zero — la 6 grade distanță. Exact această idee de depărtare față de zero se numește în matematică modulul sau valoarea absolută a unui număr întreg. În această lecție vei învăța ce este modulul unui număr întreg, cum se notează, cum se calculează și cum găsești toate numerele care au un modul dat. Este o noțiune simplă, dar foarte folositoare: o vei întâlni la adunarea și scăderea numerelor întregi, la rezolvarea ecuațiilor și mai târziu la numerele raționale.

Ce vei învăța

• Vei ști să înțelegi modulul ca distanță de la origine până la punctul care reprezintă numărul pe axă.
• Vei ști să calculezi modulul unui număr întreg, fie el pozitiv, negativ sau zero.
• Vei ști să folosești notația |a| corect și să citești corect ce înseamnă.
• Vei ști să recunoști numerele care au același modul (un număr și opusul său).
• Vei ști să găsești numerele întregi cu un modul dat, inclusiv în situații de tipul |x| = a, |x| < a și |x| ≤ a.

Hai să descoperim împreună

1. Punctul de pornire: axa numerelor întregi

În lecțiile anterioare ai învățat despre mulțimea numerelor întregi ℤ și reprezentarea lor pe axă și despre opusul unui număr întreg. Hai să recapitulăm rapid imaginea pe care o avem deja în minte.

Pe axa numerelor, alegem un punct special numit origine, care reprezintă numărul 0. La dreapta lui sunt numerele pozitive: 1, 2, 3, 4, … La stânga lui sunt numerele negative: −1, −2, −3, −4, … Distanța dintre două numere vecine (de exemplu între 2 și 3, sau între −5 și −4) este mereu aceeași: o unitate.

Acum vine întrebarea-cheie a lecției: cât de departe de origine se află un număr? Tocmai răspunsul la această întrebare este modulul.

2. Ideea de distanță: o plimbare pe axă

Hai să facem o analogie. Închipuie-ți că axa numerelor este o stradă, iar tu stai în fața casei tale, care este la numărul 0. Vrei să mergi în vizită la prietenul de la numărul +4. Faci 4 pași spre dreapta. Ai parcurs o distanță de 4 unități.

Acum vrei să mergi la bunica, ce locuiește la numărul −4 (în capătul opus al străzii). Faci 4 pași spre stânga. Ai parcurs tot o distanță de 4 unități.

Observă ceva important: deși ai mers în direcții opuse (o dată la dreapta, o dată la stânga), lungimea drumului a fost aceeași — 4 unități în ambele cazuri. Distanța nu ține cont de direcție; ea spune doar cât de departe, nu în ce parte.

De aceea spunem:

• distanța de la origine la +4 este 4;
• distanța de la origine la −4 este tot 4.

3. Definiția modulului

Suntem gata pentru definiție.

Definiție. Modulul (sau valoarea absolută) al unui număr întreg este distanța de la origine la punctul care reprezintă numărul pe axă. Modulul numărului a se notează cu |a| și se citește „modul de a" sau „valoarea absolută a lui a".

Cele două bare verticale | | sunt semnul de modul. Le punem de o parte și de alta a numărului. Deoarece o distanță nu poate fi niciodată negativă (nu poți merge „−3 pași"), reținem imediat o regulă de aur:

Modulul oricărui număr întreg este un număr pozitiv sau zero. Nu poate fi niciodată negativ.

Cu alte cuvinte, oricare ar fi numărul întreg a, avem mereu |a| ≥ 0.

4. Cum calculăm modulul, pas cu pas

Din ideea de distanță desprindem o regulă practică, foarte ușor de aplicat. Sunt trei situații.

Cazul 1 — numărul este pozitiv. Dacă numărul este deja pozitiv, el se află la dreapta originii, iar distanța până la 0 este chiar numărul însuși. Deci modulul lui este același număr.

• |7| = 7
• |25| = 25
• |1| = 1

Cazul 2 — numărul este zero. Originea este chiar punctul 0, deci distanța de la 0 la 0 este nulă.

• |0| = 0

Cazul 3 — numărul este negativ. Dacă numărul este negativ, el se află la stânga originii. Distanța până la 0 este numărul „fără semnul minus", adică opusul lui (un număr pozitiv).

• |−7| = 7
• |−25| = 25
• |−1| = 1

Putem strânge tot în trei rânduri ușor de ținut minte:

• Modulul unui număr pozitiv este chiar numărul: |a| = a.
• Modulul lui 0 este 0: |0| = 0.
• Modulul unui număr negativ este opusul lui: |a| = −a (iar −a este pozitiv).

Reține o formulare prietenoasă, ușor de reținut la verificare rapidă: ca să afli modulul unui număr, ștergi semnul și păstrezi valoarea. |−9| → ștergi minusul → 9. |+9| → nu ai ce șterge → 9.

⚠️ Atenție la cazul 3: scrierea |a| = −a pare ciudată, fiindcă pare că ar fi un număr negativ. Nu este! Dacă a este negativ, de exemplu a = −7, atunci −a = −(−7) = 7, care este pozitiv. Semnul „minus" din față doar transformă negativul în opusul lui pozitiv. Aici se leagă lecția de opusul unui număr întreg.

5. Numere cu același modul

Hai să ne întoarcem la termometrul de la început. Atât +6, cât și −6 sunt la 6 unități distanță de zero. Deci:

$$|+6|=6\text{și}|-6|=6.$$

Două numere diferite pot avea același modul! Și nu orice două numere, ci unul anume: un număr și opusul său. Pe axă ei stau ca în oglindă, de o parte și de alta a originii, la aceeași depărtare.

Reține:

Numerele întregi a și −a (un număr și opusul lui) au același modul: |a| = |−a|. Singurul număr care are opusul egal cu el însuși este 0, iar |0| = 0.

Asta înseamnă că, dacă cineva îți spune doar modulul unui număr (de exemplu „modulul este 6"), de obicei există două numere care se potrivesc: +6 și −6. Excepție face modulul 0, care provine doar de la numărul 0.

6. Caracteristici desprinse din definiție

Acum că știm să calculăm, putem răspunde la întrebări mai istețe. Le grupăm în trei tipuri, foarte des întâlnite la teste și la Evaluarea Națională.

a) Ecuația |x| = a (modulul este exact a)

Întrebarea sună: „Care sunt numerele întregi al căror modul este a?"

• Dacă a > 0, există exact două soluții: a și −a. De exemplu, |x| = 5 are soluțiile x = 5 și x = −5.
• Dacă a = 0, există o singură soluție: x = 0 (fiindcă doar 0 e la distanță 0 de origine).
• Dacă a < 0, nu există nicio soluție. De ce? Pentru că modulul nu poate fi negativ niciodată! De exemplu, |x| = −3 nu are nicio soluție.

b) Inecuația |x| < a (modulul mai mic decât a)

Întrebarea: „Care numere întregi sunt mai aproape de origine decât a unități?"

Acestea sunt numerele „prinse" strict între −a și a. De exemplu, pentru |x| < 3, căutăm numerele întregi mai aproape de 0 decât 3 unități. Le citim de pe axă: −2, −1, 0, 1, 2. (Numerele −3 și 3 nu intră, fiindcă modulul lor este chiar 3, nu mai mic decât 3.)

c) Inecuația |x| ≤ a (modulul mai mic sau egal cu a)

Aceeași idee, dar acum includem și capetele, fiindcă „≤" înseamnă „mai mic sau egal". Pentru |x| ≤ 3, soluțiile întregi sunt: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Acum −3 și 3 intră, pentru că modulul lor este exact 3, iar 3 ≤ 3 este adevărat.

Trucul ca să nu le încurci: semnul „<" (strict) lasă capetele afară; semnul „≤" (mai mic sau egal) ia capetele înăuntru. Gândește-te la „<" ca la o ușă închisă la margine și la „≤" ca la o ușă deschisă care lasă marginea să intre.

7. O scurtă poveste ca să se așeze ideea

Maria și fratele ei, Andrei, joacă un joc pe trotuar. Au desenat cu creta o axă lungă, cu 0 chiar în fața porții. Maria sare 4 căsuțe la dreapta (ajunge la +4), iar Andrei sare 4 căsuțe la stânga (ajunge la −4). Tatăl lor, care îi privește, întreabă: „Cine a sărit mai departe de poartă?" Răspunsul corect este: niciunul — amândoi au sărit la fel de departe, 4 căsuțe, doar în direcții opuse. „Cât de departe ai sărit" este exact modulul; „în ce parte" este semnul. Modulul lui +4 și modulul lui −4 sunt amândouă egale cu 4. Iată cum o noțiune matematică se vede chiar și într-un joc de curte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcul direct al modulului

Cerință: Calculează |−13|, |20|, |0| și |−1|.

Rezolvare: Aplicăm regula pas cu pas, privind semnul fiecărui număr.

• |−13|: numărul este negativ, deci modulul este opusul lui, adică 13.
• |20|: numărul este pozitiv, deci modulul este chiar el, adică 20.
• |0|: modulul lui zero este 0.
• |−1|: numărul este negativ, deci modulul este 1.

Răspuns: 13; 20; 0; 1.

Exemplul 2 — Modulul într-o expresie cu mai mulți pași

Cerință: Calculează E = |−8| + |5| − |−3|.

Rezolvare: Mai întâi calculăm fiecare modul în parte, ca și cum am desface fiecare „cutie" cu bare:

• |−8| = 8
• |5| = 5
• |−3| = 3

Înlocuim și efectuăm operațiile în ordine, de la stânga la dreapta: $$E=8+5-3=13-3=10.$$

Răspuns: E = 10.

💡 Sfat: calculează întâi modulele, apoi aduni și scazi. Barele de modul se comportă ca niște paranteze: ce e înăuntru se „rezolvă" prima dată.

Exemplul 3 — Numere cu un modul dat (|x| = a)

Cerință: Găsește toate numerele întregi x pentru care |x| = 9.

Rezolvare: Căutăm numerele aflate la distanța de 9 unități de origine. Pe axă, există două asemenea puncte: unul la dreapta și unul la stânga.

• la dreapta: x = 9 (fiindcă |9| = 9);
• la stânga: x = −9 (fiindcă |−9| = 9).

Răspuns: x ∈ {−9, 9}. Sunt exact două soluții, un număr și opusul său.

Exemplul 4 — Modul egal cu un număr negativ (capcană)

Cerință: Există numere întregi x cu |x| = −4?

Rezolvare: Modulul este o distanță, iar o distanță nu poate fi niciodată un număr negativ. Deci nu poate exista niciun număr al cărui modul să fie −4.

Răspuns: Nu există nicio soluție; mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă ∅.

Exemplul 5 — Inecuația |x| ≤ a

Cerință: Scrie toate numerele întregi x pentru care |x| ≤ 4.

Rezolvare: Căutăm numerele întregi aflate la cel mult 4 unități de origine — adică la 4 unități sau mai aproape. Folosind „≤", capetele intră în soluție. Le citim de pe axă, de la stânga la dreapta: $$-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.$$

Răspuns: x ∈ {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}. Sunt 9 numere întregi.

Exemplul 6 — Inecuația |x| < a (strict)

Cerință: Scrie toate numerele întregi x pentru care |x| < 4. Compară cu exemplul anterior.

Rezolvare: Acum semnul este „<" (strict mai mic), deci capetele −4 și 4 nu intră, pentru că modulul lor este exact 4, nu mai mic decât 4. Rămân: $$-3,-2,-1,0,1,2,3.$$

Răspuns: x ∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}, adică 7 numere. Față de |x| ≤ 4, am pierdut exact capetele −4 și 4 — diferența dintre „<" și „≤".

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Încearcă singur(ă) înainte de a citi răspunsurile.

1. Calculează: a) |−5|; b) |12|; c) |0|; d) |−100|.

2. Adevărat sau fals? Justifică pe scurt. a) |−7| = 7 b) |3| = −3 c) |0| = 0 d) Modulul unui număr poate fi negativ.

3. Completează cu numărul potrivit: a) |…| = 8 are soluțiile … și …; b) |−15| = … ; c) | … | = 0 are soluția … .

4. Încercuiește numerele care au modulul egal cu 10: −10, 1, 10, −1, 0, 100.

5. Ordonează crescător modulele numerelor: −3, 7, −2, 0, −9, 5. (Calculează întâi fiecare modul, apoi le aranjezi.)

6. Calculează: a) |−6| + |6|; b) |−4| − |−4|; c) |10| − |−7|.

7. Găsește toate numerele întregi x cu |x| = 6.

8. Găsește toate numerele întregi x cu |x| = 1.

9. Există numere întregi x cu |x| = −2? Explică.

10. Scrie toate numerele întregi x pentru care |x| < 5.

11. Scrie toate numerele întregi x pentru care |x| ≤ 2.

12. Calculează E = |−9| − |4| + |−1|.

13. Potrivește fiecare expresie din coloana stângă cu rezultatul din dreapta:

14. Pe o axă, două numere întregi sunt simetrice față de origine și au modulul 7. Care sunt ele? Desenează axa și marchează-le.

axă goală de la −8 la 8 pe care elevul să marcheze cele două numere

15. Câte numere întregi au modulul mai mic sau egal cu 6? (Folosește |x| ≤ 6 și numără-le.)

16. Mică problemă. Un submarin coboară la −80 m, iar o dronă (avion mic fără pilot) urcă la +80 m față de nivelul mării. Care dintre ele este mai departe de nivelul mării (de la 0)? Folosește modulul ca să răspunzi.

17. Găsește toate numerele întregi x cu |x| ≤ 3 și x > 0. (Atenție: două condiții în același timp.)

18. Provocare. Câte numere întregi x satisfac condiția 2 ≤ |x| ≤ 5? Scrie-le pe toate. (Indiciu: modulul este între 2 și 5, deci numerele nu sunt nici prea aproape, nici prea departe de 0.)

Răspunsuri și explicații

1. a) 5 (negativ → opusul); b) 12 (pozitiv → chiar el); c) 0; d) 100.

2. a) Adevărat — |−7| = 7. b) Fals — modulul nu poate fi negativ; |3| = 3. c) Adevărat — distanța de la 0 la 0 este 0. d) Fals — modulul este o distanță, deci mereu ≥ 0.

3. a) |x| = 8 are soluțiile 8 și −8; b) |−15| = 15; c) |x| = 0 are soluția 0 (singura).

4. Se încercuiesc: −10 și 10 (ambele cu modulul 10). Numerele 1, −1, 0, 100 nu au modulul 10.

5. Modulele sunt: |−3|=3, |7|=7, |−2|=2, |0|=0, |−9|=9, |5|=5. Ordonate crescător: 0, 2, 3, 5, 7, 9.

6. a) 6 + 6 = 12; b) 4 − 4 = 0; c) 10 − 7 = 3.

7. |x| = 6 ⟹ x ∈ {−6, 6} (numărul și opusul său, la 6 unități de origine).

8. |x| = 1 ⟹ x ∈ {−1, 1}.

9. Nu există. Modulul este o distanță și nu poate fi negativ, deci |x| = −2 nu are soluție (mulțimea soluțiilor este ∅).

10. |x| < 5 ⟹ x ∈ {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} (capetele −5 și 5 nu intră, fiindcă „<" e strict). Sunt 9 numere.

11. |x| ≤ 2 ⟹ x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} (capetele intră, fiindcă „≤"). Sunt 5 numere.

12. |−9| = 9, |4| = 4, |−1| = 1 ⟹ E = 9 − 4 + 1. Efectuăm în ordine, de la stânga la dreapta: 9 − 4 = 5, apoi 5 + 1 = 6.

13. a–3 (|−14| = 14); b–1 (|0| = 0); c–2 sau c–4 (|8| = 8); d–4 sau d–2 (|−8| = 8). Răspuns acceptat: a–3, b–1, c–2, d–4 (c și d duc amândouă la 8).

14. Numerele sunt −7 și 7, simetrice față de 0, ambele la 7 unități distanță. Pe axă se marchează la stânga și la dreapta originii, la aceeași depărtare.

15. |x| ≤ 6 ⟹ x ∈ {−6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, adică 13 numere întregi. (6 negative + 6 pozitive + numărul 0.)

16. |−80| = 80 și |+80| = 80. Amândouă sunt la aceeași depărtare de nivelul mării — câte 80 m. Niciunul nu este mai departe; sunt la fel de departe, doar în direcții opuse (unul în adânc, celălalt în sus).

17. |x| ≤ 3 dă {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}, dar mai cerem x > 0 (strict pozitiv). Rămân x ∈ {1, 2, 3}.

18. 2 ≤ |x| ≤ 5 înseamnă modul cel puțin 2 și cel mult 5. Numerele pozitive potrivite: 2, 3, 4, 5; cele negative: −2, −3, −4, −5. Deci x ∈ {−5, −4, −3, −2, 2, 3, 4, 5}, în total 8 numere. (Numerele −1, 0, 1 sunt excluse, fiindcă au modulul mai mic decât 2.)

De reținut

• Modulul (valoarea absolută) al unui număr întreg este distanța de la origine la punctul lui pe axă; se notează |a| și se citește „modul de a".
• Modulul este întotdeauna pozitiv sau zero: |a| ≥ 0. Nu poate fi niciodată negativ.
• Reguli de calcul: modulul unui număr pozitiv este chiar el, modulul lui 0 este 0, iar modulul unui număr negativ este opusul lui (un număr pozitiv). Pe scurt: „ștergi semnul".
• Un număr și opusul lui au același modul: |a| = |−a|. Ecuația |x| = a (cu a > 0) are exact două soluții: a și −a.
• La inecuații: „<" lasă capetele afară, „≤" include capetele; |x| = (număr negativ) nu are soluție.

Greșeli frecvente

• „|−5| = −5". Greșit! Modulul nu poate fi negativ. Corect: |−5| = 5. Reține că barele de modul „șterg" semnul și păstrează doar depărtarea.
• A crede că |x| = 7 are o singură soluție. De fapt are două: 7 și −7. Întotdeauna verifică dacă există și opusul.
• A confunda „<" cu „≤" la capete. La |x| < 4 capetele −4 și 4 nu intră; la |x| ≤ 4 ele intră. Citește semnul cu atenție înainte de a scrie soluțiile.
• A scrie soluții la |x| = −3. Modulul fiind o distanță, niciodată negativ, o astfel de egalitate nu are soluție (mulțimea vidă ∅). Nu te grăbi să cauți numere acolo unde nu există.

Joc acasă

1. Termometrul din oglindă. Ia o riglă lungă (sau un metru de croitorie) și lipește pe ea o axă cu 0 la mijloc, numere pozitive în dreapta și negative în stânga. Un jucător spune un număr, de exemplu −8; celălalt trebuie să atingă repede punctul aflat la același modul de partea cealaltă (adică 8) și să spună cu voce tare modulul comun: „8!". Cine greșește direcția sau modulul cedează un punct.

2. Cartonașe de modul. Scrie pe bilețele numere întregi (de la −12 la 12). Amestecă-le într-un bol. Tragi un bilețel, citești numărul și spui imediat modulul lui. Verifică-te: dacă numărul era negativ, modulul e opusul; dacă era pozitiv sau 0, modulul e chiar el. Ține scorul: 1 punct pentru fiecare modul corect spus în mai puțin de 3 secunde.

3. Vânătoarea de soluții. Un jucător propune o condiție de tipul „|x| = 5", „|x| < 3" sau „|x| ≤ 4". Celălalt trebuie să scrie pe o foaie toate numerele întregi care o îndeplinesc. Apoi verificați împreună pe axa desenată pe podea cu bandă adezivă. Câștigă cine găsește lista completă, fără numere lipsă și fără numere în plus.

Pentru părinți și învățători

Modulul este, conceptual, foarte intuitiv (distanță față de 0), dar greșelile apar la formalizare. Recomandări practice:

• Porniți mereu de la axă, nu de la formulă. Înainte de a introduce notația |a|, cereți copilului să arate cu degetul „cât de departe de 0" este numărul. Abia după ce ideea de distanță este clară, introduceți barele și regulile de calcul.
• Întrebări utile de pus: „Câte unități sunt de la 0 până la −7?"; „Mai există un număr la aceeași depărtare? Care?"; „Poate fi un modul negativ? De ce nu?"; „La |x| < 3, de ce nu intră și 3?".
• Verificați înțelegerea cerând copilului să producă singur exemple: „Dă-mi două numere cu modulul 9" sau „Scrie o ecuație cu modul care nu are soluție". Dacă reușește, a înțeles ideea, nu doar a memorat.
• Atenție la capcana semnului. Mulți copii scriu |−5| = −5 din reflex. Reveniți la imaginea distanței: „Poți merge −5 pași?". Asocierea cu mersul fizic fixează ideea că rezultatul e mereu pozitiv sau zero.
• Legați de lecțiile vecine. Reactivați opusul unui număr întreg (un număr și opusul au același modul) și anunțați că modulul va fi folosit la adunarea numerelor întregi și la compararea și ordonarea numerelor întregi.

Întrebări frecvente

Ce este modulul unui număr întreg, pe scurt? Este distanța de la origine (de la 0) până la punctul care reprezintă numărul pe axă. Se notează |a| și ne spune cât de departe de zero este numărul, fără să țină cont de direcție. De aceea modulul este mereu pozitiv sau zero.

Cum calculez modulul unui număr negativ? Modulul unui număr negativ este opusul lui, adică același număr fără semnul minus. De exemplu, |−17| = 17. Pe scurt, „ștergi" minusul și păstrezi valoarea, fiindcă rezultatul reprezintă o distanță.

Poate modulul să fie un număr negativ? Nu, niciodată. Modulul este o distanță, iar o distanță nu poate fi negativă. Pentru orice număr întreg a avem |a| ≥ 0; cea mai mică valoare posibilă este 0, atinsă doar de numărul 0.

De ce |x| = 5 are două soluții? Pentru că pe axă există două puncte aflate la 5 unități de origine: unul la dreapta (5) și unul la stânga (−5). Un număr și opusul său au mereu același modul, deci ambele se potrivesc, x = 5 și x = −5.

Care este modulul lui 0? Modulul lui 0 este 0, deoarece distanța de la origine la ea însăși este nulă. Este și singurul număr al cărui modul este 0, deci ecuația |x| = 0 are o singură soluție, x = 0.

Ce înseamnă că două numere au același modul? Înseamnă că sunt la fel de departe de 0, dar de o parte și de alta a originii — adică sunt un număr și opusul lui, ca −6 și 6. Pe axă stau simetric față de 0, ca într-o oglindă.

Care e diferența dintre |x| < a și |x| ≤ a? La |x| < a (strict) numerele de la capete, −a și a, nu intră în soluție, fiindcă modulul lor este exact a, nu mai mic. La |x| ≤ a capetele intră, pentru că „≤" înseamnă „mai mic sau egal". Diferența dintre cele două mulțimi de soluții este formată exact din numerele −a și a.

Modulul are legătură cu opusul unui număr? Da, strânsă. Opusul lui a este −a, iar un număr și opusul lui au întotdeauna același modul: |a| = |−a|. Practic, când calculezi modulul unui număr negativ, rezultatul este chiar opusul lui (un număr pozitiv). Poți recapitula la lecția opusul unui număr întreg.