Împărțirea numerelor întregi

Ai învățat deja să aduni, să scazi și să înmulțești numere întregi. A mai rămas o operație din „familia de bază": împărțirea. Vestea bună e că nu pornești de la zero: regula semnelor este exact aceeași ca la înmulțire, iar împărțirea este, de fapt, „operația inversă" a înmulțirii. În această lecție vei descoperi cum se împart numerele întregi atunci când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului, cum verifici rapid orice împărțire și de ce nu putem niciodată să împărțim la 0.

Ce vei învăța

• Vei ști să împarți două numere întregi când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului.
• Vei ști să aplici regula semnelor la împărțire (aceeași ca la înmulțire).
• Vei ști să folosești legătura dintre înmulțire și împărțire pentru a verifica orice cât.
• Vei ști să explici de ce împărțirea la 0 este imposibilă.
• Vei ști să rezolvi mici ecuații și probleme în care apare împărțirea numerelor întregi.

Hai să descoperim împreună

Ne reamintim ce înseamnă împărțirea

Hai să pornim de la ceva ce știi din clasele mai mici. Când scrii 12 : 3 = 4, ce ai făcut de fapt? Ai căutat numărul care, înmulțit cu 3, dă 12. Și într-adevăr, 3 · 4 = 12.

Așadar, a împărți înseamnă a căuta un factor care lipsește. Împărțirea răspunde la întrebarea: „cu ce trebuie să înmulțesc împărțitorul ca să obțin deîmpărțitul?"

Hai să fixăm și numele termenilor, fiindcă le vom folosi toată lecția:

• numărul pe care îl împărțim se numește deîmpărțit;
• numărul la care împărțim se numește împărțitor;
• rezultatul se numește cât.

Această idee — „împărțirea caută factorul lipsă" — este cheia întregii lecții. Dacă o ții minte, nu ai cum să greșești semnul niciodată.

Cele două înțelesuri ale împărțirii

E util să știi că împărțirea răspunde, de fapt, la două întrebări diferite, dar care dau același rezultat. Hai să le vedem pe 12 : 3 = 4:

• Împărțire în părți egale. „Am 12 obiecte și le împart în mod egal la 3 persoane. Câte primește fiecare?" Răspuns: 4 obiecte de persoană. Aici știi în câte grupe împarți (3) și cauți cât e într-o grupă.
• Împărțire prin grupare (cuprindere). „Am 12 obiecte și fac grupe de câte 3. Câte grupe ies?" Răspuns: 4 grupe. Aici știi cât e într-o grupă (3) și cauți câte grupe ies.

Ambele duc la 12 : 3 = 4. De ce îți spun asta? Pentru că, la problemele cu numere întregi, când vezi rezultatul cu un anumit semn, te ajută să-l „citești" corect. La problema cu submarinul, de exemplu, −180 : (−30) = 6 este o împărțire prin grupare: „de câte ori încape o coborâre de −30 m într-o coborâre totală de −180 m?". Răspunsul 6 este un număr de grupe, deci e firesc să fie pozitiv, deși ambele numere erau negative. Cele două minusuri ne spun „coborâre", iar întrebarea „de câte ori?" cere doar o numărătoare.

Ce înseamnă „deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului"

În clasa a VI-a, la împărțirea numerelor întregi, lucrăm doar cu împărțiri care „ies fix", adică fără rest. Asta se întâmplă exact atunci când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului.

Ce înseamnă asta, pe înțelesul tău? Înseamnă că împărțitorul „încape de un număr exact de ori" în deîmpărțit. De exemplu:

• 20 este multiplu al lui 5, pentru că 20 = 5 · 4, deci 20 : 5 = 4 (cât întreg);
• 18 nu este multiplu al lui 5, pentru că între 5 · 3 = 15 și 5 · 4 = 20 nu există un cât întreg, deci 18 : 5 nu este număr întreg.

Despre divizori și multipli ai numerelor naturale ai vorbit pe larg în lecția Relația de divizibilitate. Divizori și multipli. Acum extindem ideea și la numerele negative: spunem că, de exemplu, −20 este multiplu al lui 5, fiindcă −20 = 5 · (−4).

Reține deci: în această lecție, toate împărțirile pe care le facem au cât întreg. Nu ne ocupăm aici de împărțirea cu rest a numerelor întregi.

Regula semnelor la împărțire

Acum vine partea cu adevărat importantă: ce semn are câtul?

Hai să descoperim regula prin gândire, nu să o memorăm pe de rost. Folosim mereu ideea „câtul este factorul lipsă".

Cazul 1: deîmpărțit pozitiv, împărțitor pozitiv. Cât face 12 : 3? Căutăm numărul care înmulțit cu 3 dă 12. Acela este 4 (pozitiv). Deci (+) : (+) = (+).

Cazul 2: deîmpărțit negativ, împărțitor pozitiv. Cât face −12 : 3? Căutăm numărul care înmulțit cu 3 dă −12. Din lecția de înmulțire știm că 3 · (−4) = −12. Deci câtul este −4. Așadar (−) : (+) = (−).

Cazul 3: deîmpărțit pozitiv, împărțitor negativ. Cât face 12 : (−3)? Căutăm numărul care înmulțit cu −3 dă 12. Acela este −4, pentru că (−3) · (−4) = 12. Deci (+) : (−) = (−).

Cazul 4: deîmpărțit negativ, împărțitor negativ. Cât face −12 : (−3)? Căutăm numărul care înmulțit cu −3 dă −12. Acela este 4, pentru că (−3) · 4 = −12. Deci (−) : (−) = (+).

Ai observat ceva? Regula semnelor la împărțire este exact aceeași ca la înmulțire, pe care ai studiat-o în lecția Înmulțirea numerelor întregi. Hai să o scriem clar:

Regula semnelor la împărțire:

• semne la fel → câtul este pozitiv: (+):(+) = (+) și (−):(−) = (+);
• semne diferite → câtul este negativ: (+):(−) = (−) și (−):(+) = (−).

Și de ce este firesc să fie aceeași regulă? Tocmai pentru că împărțirea „desface" o înmulțire. Dacă (−3) · (−4) = +12, atunci, mergând invers, +12 : (−3) = −4. Regula semnelor de la înmulțire se „oglindește" automat la împărțire.

O metodă în doi pași, ca să nu greșești niciodată

Iată un truc simplu pe care îl poți folosi mereu. Separă semnul de cifre. Împărțirea numerelor întregi se face în doi pași:

1. Stabilește semnul câtului după regula semnelor (la fel → +, diferit → −).
2. Împarte modulele (numerele fără semn), exact ca la numerele naturale.

De exemplu, pentru −56 : 8:

1. Semne diferite (− și +) → câtul va fi negativ.
2. Modulele: 56 : 8 = 7.
3. Rezultat: −56 : 8 = −7.

Despre modul (valoarea absolută) ai învățat în lecția Modulul (valoarea absolută) al unui număr întreg. Aici el ne ajută să separăm „mărimea" de „semn".

Legătura dintre înmulțire și împărțire — cea mai bună verificare

Iată o proprietate de aur, pe care trebuie s-o ții minte toată viața:

Dacă a : b = c, atunci b · c = a (cu b ≠ 0).

Cu alte cuvinte, împărțirea și înmulțirea se verifică una pe cealaltă. Câtul înmulțit cu împărțitorul trebuie să-ți dea exact deîmpărțitul. Dacă nu-ți dă, ai greșit pe undeva — fie la semn, fie la cifre.

Hai să vedem pe un exemplu. Spui că −45 : (−9) = 5. Verifici: (−9) · 5 = −45. ✓ Corect! Câtul, înmulțit cu împărțitorul, dă deîmpărțitul.

Acum o greșeală tipică: cineva scrie −45 : (−9) = −5. Verificăm: (−9) · (−5) = +45, dar deîmpărțitul era −45. Nu se potrivește! Deci semnul a fost greșit; câtul corect este +5.

Recomandarea mea: la fiecare împărțire, fă verificarea în minte. Durează o secundă și te scapă de orice greșeală de semn.

De ce nu putem împărți la 0

Ajungem la una dintre cele mai importante reguli din toată matematica: nu există împărțire la 0.

Hai să înțelegem de ce, folosind tot ideea „câtul este factorul lipsă".

Situația 1: 7 : 0 = ? Căutăm un număr care, înmulțit cu 0, să dea 7. Dar orice număr înmulțit cu 0 dă 0, niciodată 7! Nu există niciun astfel de număr. Deci 7 : 0 nu are nicio valoare — operația este imposibilă.

Situația 2: 0 : 0 = ? Căutăm un număr care, înmulțit cu 0, să dea 0. Dar acum orice număr merge: 0 · 1 = 0, 0 · 5 = 0, 0 · (−3) = 0… Răspunsul nu este unic, ar putea fi orice. Și un calcul nu poate avea mai multe răspunsuri în același timp. Deci nici 0 : 0 nu este definit.

Concluzie fermă:

Împărțirea la 0 este imposibilă. Împărțitorul nu poate fi niciodată 0.

Atenție să nu confunzi două lucruri:

• 0 : 5 = 0 — corect! Zero împărțit la un număr nenul dă mereu 0 (căutăm ce înmulțit cu 5 dă 0; răspunsul e 0).
• 5 : 0 — imposibil! Nu există așa ceva.

Deci 0 poate fi deîmpărțit, dar niciodată împărțitor.

O poveste scurtă ca să ții minte

Imaginează-ți un lift care urcă și coboară. Etajele de sub parter le notăm cu numere negative (subsoluri). Un lift coboară 24 de metri în total, în câte 8 metri pe „pas". Câți pași a făcut? Coborârea totală este −24 metri, iar fiecare pas înseamnă −8 metri (coborâre).

Numărul de pași este −24 : (−8). Semne la fel → pozitiv; modulele 24 : 8 = 3. Deci −24 : (−8) = +3: liftul a făcut 3 pași în jos. Pozitiv, fiindcă numărul de pași este o cantitate „de numărat", iar cele două minusuri (coborâre totală și coborâre pe pas) se „anulează" reciproc. Frumos, nu? Semnele au sens, nu sunt doar reguli seci.

Câteva proprietăți pe care e bine să le observi

Acum că știi să împarți, hai să remarcăm câteva lucruri care te vor ajuta să nu cazi în capcane.

Împărțirea nu este comutativă. La adunare și la înmulțire poți schimba ordinea numerelor fără ca rezultatul să se schimbe (a + b = b + a, a · b = b · a). La împărțire, nu! De exemplu, −20 : 4 = −5, dar 4 : (−20) nu este nici măcar număr întreg (4 nu este multiplu al lui 20). Deci ordinea contează: deîmpărțitul și împărțitorul nu pot fi schimbați între ei.

Împărțirea nu este asociativă. Dacă ai mai multe împărțiri la rând, trebuie să le faci de la stânga la dreapta, nu cum vrei tu. De exemplu, −48 : (−6) : 2 se calculează așa: întâi −48 : (−6) = 8, apoi 8 : 2 = 4. Dacă ai grupa altfel, −6 : 2 = −3 și −48 : (−3) = 16, ai obține alt rezultat. Deci la împărțiri în lanț: stânga → dreapta, mereu.

Un număr (nenul) împărțit la el însuși dă 1. De exemplu, −17 : (−17) = 1 (semne la fel → pozitiv; 17 : 17 = 1). Iar un număr împărțit la opusul lui dă −1: −17 : 17 = −1.

Împărțirea la 1 și la −1. Orice număr împărțit la 1 rămâne neschimbat (a : 1 = a), iar împărțirea la −1 îi schimbă semnul, adică dă opusul (a : (−1) = −a). Despre opusul unui număr ai vorbit în lecția Opusul unui număr întreg.

Cum recunoști repede dacă împărțirea „iese" întreagă

Înainte de a calcula, e util să te întrebi: deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului? Dacă lucrezi cu numere mici, observi rapid din tabla înmulțirii. De exemplu:

• −56 : 7 → 56 este în tabla lui 7 (7 · 8 = 56), deci iese fix: rezultat −8.
• −50 : 7 → 50 nu este multiplu al lui 7 (între 7 · 7 = 49 și 7 · 8 = 56), deci câtul nu este număr întreg.

Pentru numere mai mari, te ajută criteriile de divizibilitate pe care le-ai studiat la Criteriile de divizibilitate: ele se aplică la fel, indiferent de semn, fiindcă semnul nu schimbă „cifrele" deîmpărțitului. De exemplu, −420 : (−5): deoarece 420 se termină în 0, este divizibil cu 5, deci împărțirea iese fix; 420 : 5 = 84, iar semnele la fel dau +84.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — împărțire cu rezultat negativ

Calculează −72 : 9.

Pasul 1: semnele sunt diferite (− și +), deci câtul va fi negativ. Pasul 2: împărțim modulele: 72 : 9 = 8. Pasul 3: punem semnul: −72 : 9 = −8.

Verificare: 9 · (−8) = −72. ✓ Coincide cu deîmpărțitul, deci răspunsul este corect.

Exemplul 2 — două numere negative

Calculează −84 : (−12).

Pasul 1: semnele sunt la fel (ambele −), deci câtul va fi pozitiv. Pasul 2: modulele: 84 : 12 = 7. Pasul 3: −84 : (−12) = +7 = 7.

Verificare: (−12) · 7 = −84. ✓ Perfect.

Exemplul 3 — deîmpărțit pozitiv, împărțitor negativ

Calculează 150 : (−25).

Pasul 1: semne diferite → cât negativ. Pasul 2: 150 : 25 = 6. Pasul 3: 150 : (−25) = −6.

Verificare: (−25) · (−6) = +150. ✓ Corect.

Exemplul 4 — cazurile speciale cu 0 și cu 1

a) 0 : (−13) = ? Zero împărțit la un număr nenul dă mereu 0. Deci 0 : (−13) = 0. (Verificare: (−13) · 0 = 0. ✓)

b) −13 : 0 = ? Împărțirea la 0 este imposibilă. Operația nu are sens, nu există rezultat.

c) −47 : 1 = ? Orice număr împărțit la 1 rămâne neschimbat. Semne diferite → negativ; 47 : 1 = 47. Deci −47 : 1 = −47.

d) −47 : (−1) = ? Semne la fel → pozitiv; 47 : 1 = 47. Deci −47 : (−1) = +47. (Împărțirea la −1 schimbă semnul — ca și cum ai lua opusul.)

Exemplul 5 — expresie cu mai multe operații

Calculează −60 : (−5) − 3 · (−4).

Respectăm ordinea operațiilor (mai întâi împărțirea și înmulțirea, apoi scăderea), pe care o aprofundezi în lecția Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor în ℤ.

Pasul 1: −60 : (−5) → semne la fel → +12. Pasul 2: 3 · (−4) = −12. Pasul 3: înlocuim: 12 − (−12) = 12 + 12 = 24.

Rezultatul este 24.

Exemplul 6 — mică ecuație rezolvată cu împărțirea

Află numărul întreg x, dacă −7 · x = 91.

Folosim legătura dintre înmulțire și împărțire: dacă un factor înmulțit cu −7 dă 91, atunci acel factor se află împărțind: x = 91 : (−7).

Semne diferite → cât negativ; 91 : 7 = 13. Deci x = −13.

Verificare: −7 · (−13) = 91. ✓ Corect, x = −13.

Vei folosi des acest tip de raționament în lecția Ecuații în mulțimea numerelor întregi.

Exemplul 7 — împărțiri în lanț (de la stânga la dreapta)

Calculează −240 : (−4) : (−3).

Atenție, împărțirile se fac în ordine, de la stânga la dreapta.

Pasul 1: −240 : (−4) → semne la fel → +60. Pasul 2: 60 : (−3) → semne diferite → −20.

Rezultatul este −20.

Verificare (mergem invers): −20 · (−3) = 60, apoi 60 · (−4) = −240. ✓ Ajungem înapoi la deîmpărțitul inițial.

Exemplul 8 — problemă cu temperaturi negative

Pe parcursul unei nopți de iarnă, temperatura a coborât constant de la 0 °C până la −27 °C în 9 ore. Cu cât s-a schimbat temperatura, în medie, în fiecare oră?

Schimbarea totală de temperatură este −27 grade (a scăzut), repartizată egal pe 9 ore. Schimbarea pe oră este: −27 : 9 = −3.

Semne diferite → cât negativ; modulele 27 : 9 = 3. Așadar, temperatura a scăzut cu câte 3 °C în fiecare oră, adică schimbarea orară a fost de −3 °C.

Verificare: 9 · (−3) = −27. ✓ În 9 ore, scăderea totală este într-adevăr de 27 de grade.

Exemplul 9 — expresie cu paranteză și împărțire

Calculează (−18 + 6) : (−4) + (−15) : 3.

Respectăm ordinea: întâi paranteza, apoi împărțirile, la final adunarea.

Pasul 1: paranteza, −18 + 6 = −12. Pasul 2: prima împărțire, −12 : (−4) → semne la fel → +3. Pasul 3: a doua împărțire, −15 : 3 → semne diferite → −5. Pasul 4: adunăm rezultatele: 3 + (−5) = −2.

Rezultatul este −2. Observă cum am tratat fiecare împărțire separat, cu metoda în doi pași, și abia la final am combinat. Așa, oricât de lungă ar fi expresia, nu te pierzi: rezolvi pas cu pas, bucățică cu bucățică.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare împărțire, fă și verificarea prin înmulțire — așa nu greșești semnul.

1. Calculează: a) −36 : 6 b) 36 : (−6) c) −36 : (−6) d) 36 : 6

2. Calculează: a) −100 : (−10) b) −81 : 9 c) 64 : (−8) d) −121 : (−11)

3. Completează caseta cu numărul potrivit: a) −48 : □ = 8 b) □ : (−7) = 5 c) 90 : □ = −9

4. Adevărat sau fals? Justifică pe scurt. a) (−) : (−) = (+) b) 0 : (−9) = 0 c) −15 : 0 = 0 d) Câtul a două numere cu semne diferite este pozitiv.

5. Încercuiește răspunsul corect pentru −72 : (−8): A) −9 B) 9 C) −64 D) imposibil

6. Potrivește fiecare împărțire cu rezultatul ei:

7. Calculează respectând ordinea operațiilor: a) −40 : 8 + 3 b) 20 + (−18) : 6 c) −5 · 4 : (−2)

8. Află numărul întreg x: a) 8 · x = −96 b) x : (−4) = 7 c) −132 : x = 12

9. Calculează valoarea expresiei E = −96 : (−6) − (−48) : 8.

10. Care dintre următoarele împărțiri nu are sens (este imposibilă)? −18 : 3, 0 : 5, 7 : 0, −20 : (−4).

11. Verifică dacă egalitatea −132 : (−12) = 11 este adevărată, folosind înmulțirea.

12. Mică problemă. Temperatura s-a schimbat uniform, în total cu −54 grade, pe parcursul a 9 ore. Cu câte grade s-a schimbat temperatura în fiecare oră (scrie ca număr întreg)?

13. Mică problemă. Un submarin coboară de la suprafață până la adâncimea de −180 m, făcând coborâri egale de −30 m fiecare. Câte coborâri a făcut?

14. Completează tabelul (deîmpărțit a, împărțitor b, cât a : b):

15. Calculează: (−6 − 9) : (−5). (Atenție: întâi paranteza!)

16. Adevărat sau fals: „Dacă deîmpărțitul este 0 și împărțitorul este un număr întreg nenul, atunci câtul este mereu 0." Justifică.

17. Ordonează crescător rezultatele: −24 : 4, −24 : (−6), 36 : (−9), −40 : (−8).

18. Problemă-provocare. Un cont bancar înregistrează o variație totală de −240 lei (o pierdere), repartizată egal pe 8 zile. Apoi se constată că, de fapt, pierderea pe zi a fost de 2 ori mai mare. Care era atunci numărul de zile (variația totală rămânând −240 lei)?

19. Calculează valoarea expresiei E = (−12 − 8) : (−4) − (−63) : (−9) și verifică prima împărțire prin înmulțire.

Răspunsuri și explicații

1. a) −6 (semne diferite). b) −6 (semne diferite). c) 6 (semne la fel). d) 6. Verificare la a): 6 · (−6) = −36 ✓.

2. a) 10 (la fel → +). b) −9 (diferit). c) −8 (diferit). d) 11 (la fel → +).

3. a) −48 : (−6) = 8, deci □ = −6 (căci −6 · 8 = −48). b) □ = 5 · (−7) = −35 (verific: −35 : (−7) = 5 ✓). c) 90 : (−10) = −9, deci □ = −10.

4. a) Adevărat — semne la fel dau cât pozitiv. b) Adevărat — 0 împărțit la un nenul dă 0. c) Fals — împărțirea la 0 este imposibilă, nu dă 0. d) Fals — semne diferite dau cât negativ.

5. B) 9 — semne la fel (− și −) → pozitiv; 72 : 8 = 9.

6. a) −45:(−5)=9 → II; b) 56:(−8)=−7 → I; c) −54:6=−9 → III; d) −42:(−6)=7 → IV. (La a) și d) semnele sunt la fel → cât pozitiv; la b) și c) semnele diferă → cât negativ.)

7. a) −40:8 = −5, apoi −5 + 3 = −2. b) −18:6 = −3, apoi 20 + (−3) = 17. c) întâi −5·4 = −20, apoi −20:(−2) = 10.

8. a) x = −96 : 8 = −12 (verific: 8·(−12)=−96 ✓). b) x = 7 · (−4) = −28 (verific: −28:(−4)=7 ✓). c) din −132 : x = 12 rezultă x = −132 : 12 = −11 (verific: −132:(−11)=12 ✓).

9. −96:(−6) = 16; (−48):8 = −6; deci E = 16 − (−6) = 16 + 6 = 22.

10. Imposibilă este 7 : 0 (împărțire la 0). Celelalte au sens: −18:3=−6, 0:5=0, −20:(−4)=5.

11. (−12) · 11 = −132. Coincide cu deîmpărțitul −132, deci egalitatea este adevărată.

12. −54 : 9 = −6. Temperatura s-a schimbat cu −6 grade pe oră (adică a scăzut cu 6 grade în fiecare oră).

13. −180 : (−30) = 6. Submarinul a făcut 6 coborâri (semne la fel → cât pozitiv, fiindcă numărăm câte coborâri).

14. Rândul 1: −42:7 = −6. Rândul 2: 60:(−12) = −5. Rândul 3: a = (−9)·8 = −72. Rândul 4: din −55 : b = −5 avem b = −55 : (−5) = 11.

15. Întâi paranteza: −6 − 9 = −15. Apoi −15 : (−5) = 3.

16. Adevărat. Câtul 0 : b cu b nenul răspunde la „ce înmulțit cu b dă 0?", iar singurul răspuns este 0. Deci câtul este mereu 0.

17. Calculăm: −24:4 = −6; −24:(−6) = 4; 36:(−9) = −4; −40:(−8) = 5. Ordonate crescător: −6 < −4 < 4 < 5, adică −24:4 < 36:(−9) < −24:(−6) < −40:(−8).

18. Variația pe zi inițială: −240 : 8 = −30 lei/zi. Dacă pierderea pe zi a fost de 2 ori mai mare, adică variația a fost −60 lei/zi, atunci numărul de zile este −240 : (−60) = 4 zile.

19. Întâi paranteza: −12 − 8 = −20. Prima împărțire: −20 : (−4) = 5 (semne la fel → pozitiv). A doua: (−63) : (−9) = 7 (semne la fel → pozitiv). Deci E = 5 − 7 = −2. Verificare pentru prima împărțire: (−4) · 5 = −20, coincide cu deîmpărțitul ✓.

De reținut

• Regula semnelor la împărțire = regula de la înmulțire: semne la fel → cât pozitiv; semne diferite → cât negativ.
• Împarte în doi pași: întâi stabilește semnul, apoi împarte modulele (numerele fără semn).
• Împărțirea este inversa înmulțirii: dacă a : b = c, atunci b · c = a. Folosește mereu această verificare.
• 0 : a = 0 pentru orice a ≠ 0, dar împărțirea la 0 este imposibilă: împărțitorul nu poate fi niciodată 0.
• Lucrăm doar când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului, deci câtul iese număr întreg, fără rest.

Greșeli frecvente

• Confuzia „minus cu minus dă minus". La împărțire (ca și la înmulțire) (−) : (−) = (+). Două semne la fel dau plus, nu minus. Verifică mereu prin înmulțire.
• A scrie 5 : 0 = 0. Greșit! 5 : 0 este imposibil. Doar 0 : 5 = 0 este corect. Reține: 0 poate fi deîmpărțit, dar nu împărțitor.
• A schimba semnul după ce ai împărțit modulele și a uita verificarea. Calculează semnul înainte, separat, apoi pune-l. La final, înmulțește câtul cu împărțitorul: dacă nu obții deîmpărțitul, ai greșit semnul.
• A încurca ordinea operațiilor. Într-o expresie, împărțirea și înmulțirea se fac înaintea adunării și scăderii. De exemplu, în 20 + (−18) : 6, întâi −18:6 = −3, abia apoi 20 + (−3).

Joc acasă

1. Cărțile de joc cu semne. Ia două teancuri de bilețele. Pe primul scrie deîmpărțiți (de exemplu −48, 60, −36, 100), pe al doilea împărțitori (6, −12, −4, −10). Trage câte un bilețel din fiecare teanc, calculează câtul și apoi verifică prin înmulțire. Punctezi 1 punct dacă semnul e corect și încă 1 punct dacă cifra e corectă. Joacă în doi și vezi cine adună mai multe puncte din 10 trageri.

2. Liftul cu subsoluri. Desenează pe o foaie un „lift" cu etaje de la −5 la +5. Pornești de la 0 și „cobori" un total de metri (de exemplu −20), în pași egali (de exemplu −5). Calculează −20 : (−5) ca să afli câți pași ai făcut, apoi mută degetul pe desen pas cu pas ca să verifici. Schimbă numerele și repetă.

3. Vânătoarea de imposibile. Scrie pe bilețele 10 împărțiri amestecate, dintre care 2–3 conțin împărțire la 0 (de exemplu 7 : 0, −9 : 0). Provocarea: găsește rapid „intrușii" imposibili și explică în cuvinte de ce nu au rezultat. Cronometrează-te!

Pentru părinți și învățători

Această lecție se sprijină pe înmulțirea numerelor întregi: dacă elevul stăpânește regula semnelor de la înmulțire, împărțirea devine aproape automată, fiindcă regula este identică. Începeți prin a-i cere copilului să-și amintească tabelul de semne de la înmulțire; apoi arătați-i că împărțirea „desface" o înmulțire.

Întrebări utile de pus:

• „Câtul a : b înseamnă ce număr înmulțit cu b dă a?" (verifică înțelegerea de fond, nu memorarea).
• „Ce semn va avea câtul aici și de ce?" (cereți justificarea cu regula semnelor).
• „Cum verifici că rezultatul e corect?" (răspunsul țintă: înmulțesc câtul cu împărțitorul).
• „De ce nu putem împărți la 0?" (lăsați copilul să descopere că nu există un astfel de număr).

Cum sprijiniți: insistați pe metoda în doi pași (întâi semnul, apoi modulele) și pe verificarea prin înmulțire la fiecare exercițiu — este cel mai bun antidot împotriva greșelilor de semn. Verificați înțelegerea cerând copilului să vă explice cu cuvintele lui de ce 0 : 5 = 0, dar 5 : 0 este imposibil; dacă poate face această distincție, a prins esența. Evitați să dați direct regula „minus cu minus dă plus" ca pe o vrajă: este mult mai durabil dacă o reconstruiește singur prin întrebarea „ce înmulțit cu −5 dă +45?".

Întrebări frecvente

Care este regula semnelor la împărțirea numerelor întregi? Este aceeași ca la înmulțire: dacă cele două numere au semne la fel, câtul este pozitiv ((+):(+)=(+), (−):(−)=(+)); dacă au semne diferite, câtul este negativ ((+):(−)=(−), (−):(+)=(−)).

De ce nu se poate împărți la 0? Pentru că a : 0 ar însemna să găsim un număr care înmulțit cu 0 să dea a. Dar orice număr înmulțit cu 0 dă 0, deci pentru a ≠ 0 nu există niciun rezultat, iar pentru a = 0 ar fi orice număr. De aceea împărțirea la 0 este imposibilă.

Cât este 0 împărțit la un număr întreg? 0 : a = 0 pentru orice număr întreg a diferit de 0. Căutăm ce înmulțit cu a dă 0, iar singurul răspuns este 0. Atenție: invers, a : 0 nu are sens.

Cum verific dacă o împărțire de numere întregi este corectă? Înmulțește câtul cu împărțitorul: trebuie să obții exact deîmpărțitul. De exemplu, dacă −45 : (−9) = 5, verifici (−9) · 5 = −45. Dacă nu se potrivește, ai greșit semnul sau cifrele.

Ce semn are câtul a două numere negative? Pozitiv. Două semne la fel (ambele negative) dau cât pozitiv: de exemplu −84 : (−12) = +7.

Ce înseamnă că deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului? Înseamnă că împărțirea „iese fix", fără rest, iar câtul este un număr întreg. De exemplu, −20 este multiplu al lui 5 pentru că −20 = 5 · (−4), deci −20 : 5 = −4. Dacă deîmpărțitul nu este multiplu, câtul nu este număr întreg.

Împărțirea la −1 ce face cu numărul? Îi schimbă semnul, adică dă opusul numărului: a : (−1) = −a. De exemplu, −47 : (−1) = 47 și 47 : (−1) = −47. Iar împărțirea la 1 lasă numărul neschimbat.

Pot folosi împărțirea ca să rezolv ecuații cu numere întregi? Da. Dacă într-o ecuație apare un factor înmulțit cu un număr, afli factorul necunoscut prin împărțire. De exemplu, din −7 · x = 91 obții x = 91 : (−7) = −13. Vei aprofunda acest procedeu în lecția despre ecuații în ℤ.