Înmulțirea numerelor întregi

Ai învățat deja să aduni și să scazi numere întregi, mutându-te la stânga și la dreapta pe axa numerelor. Acum facem pasul următor: înmulțirea. Vestea bună este că nu trebuie să reînveți tabla înmulțirii — o știi de la clasa a V-a. Singurul lucru nou și cu adevărat important este o regulă scurtă, numită regula semnelor, care îți spune dacă rezultatul iese pozitiv sau negativ. Odată ce o stăpânești, înmulțirea numerelor întregi devine la fel de simplă ca înmulțirea numerelor naturale, doar că în plus pui un semn în față.

Ce vei învăța

• Vei ști să înmulțești două numere întregi aplicând regula semnelor (plus·plus și minus·minus dau plus; semne diferite dau minus).
• Vei ști să înmulțești rapid cu 0, cu 1 și cu −1.
• Vei ști să folosești proprietățile înmulțirii (comutativitate, asociativitate, distributivitate) ca să calculezi mai ușor.
• Vei ști să stabilești semnul unui produs de mai mulți factori doar numărând câți factori negativi sunt.
• Vei ști să combini înmulțirea cu adunarea și scăderea, folosind corect parantezele.

Hai să descoperim împreună

1. De ce „minus ori minus dă plus"? Pornim de la o idee cunoscută

Înainte de orice regulă memorată mecanic, hai să înțelegem de unde vine. Pornim de la ceva ce știi sigur: înmulțirea este o adunare repetată.

A înmulți $3\cdot 5$ înseamnă „adună-l pe 5 de trei ori": $5+5+5=15$. La fel rămâne și la numere întregi.

Ce înseamnă atunci $3\cdot (-5)$? Tot „adună-l pe $-5$ de trei ori": $$3\cdot (-5)=(-5)+(-5)+(-5)=-15.$$

Deci când un factor este pozitiv și celălalt negativ, rezultatul este negativ. Logic: aduni de mai multe ori o datorie, datoria crește.

Acum gândește-te la $(-3)\cdot 5$. Folosim comutativitatea (ordinea factorilor nu schimbă produsul, exact ca la numerele naturale): $(-3)\cdot 5=5\cdot (-3)=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15$. Din nou negativ. Concluzie parțială: semne diferite → rezultat negativ.

Rămâne întrebarea cea mai interesantă: cât face $(-3)\cdot (-5)$? Aici nu mai putem spune „adună de minus trei ori", pentru că „de minus trei ori" nu are sens direct. Avem nevoie de un raționament puțin mai fin.

2. O „poveste" care arată de ce minus ori minus dă plus

Imaginează-ți un film cu o mașinuță care merge cu viteză constantă pe o șosea dreaptă. Stabilim niște convenții:

• Viteză pozitivă = mașina merge spre dreapta; viteză negativă = merge spre stânga.
• Timp pozitiv = filmul rulează înainte; timp negativ = filmul rulează înapoi (ca atunci când dai rewind).
• Poziția față de momentul de acum o calculăm ca viteză · timp.

Hai să luăm o mașină care merge spre stânga cu 5 metri pe secundă, deci viteza este $-5$. Întrebare: unde era mașina cu 3 secunde în urmă, adică la timpul $-3$?

Dacă mașina merge acum spre stânga, înseamnă că în trecut era mai la dreapta (venea dinspre dreapta). Cu 3 secunde în urmă era cu $3\cdot 5=15$ metri mai la dreapta, adică pe poziția $+15$. Iar calculul este chiar $(-5)\cdot (-3)=+15$.

Vezi? Două „minusuri" (mers spre stânga și timp în trecut) s-au combinat și au dat o poziție spre dreapta, adică pozitivă. Minus ori minus dă plus.

3. Un al doilea argument, pur matematic, fără povești

Dacă vrei o justificare strict matematică, pornește de la o egalitate care trebuie să fie adevărată. Știm că $-5+5=0$. Înmulțim totul cu $-3$ și folosim distributivitatea (înmulțirea se distribuie față de adunare, la fel ca la numerele naturale): $$(-3)\cdot (-5+5)=(-3)\cdot 0=0.$$ $$(-3)\cdot (-5)+(-3)\cdot 5=0.$$

Al doilea termen îl știm deja: $(-3)\cdot 5=-15$. Deci: $$(-3)\cdot (-5)+(-15)=0.$$

Ce număr adunat cu $-15$ dă $0$? Doar opusul lui $-15$, adică $+15$. Prin urmare $(-3)\cdot (-5)=+15$. Nu există altă posibilitate: dacă vrem ca regulile cunoscute (distributivitatea, înmulțirea cu 0) să rămână valabile și pentru numere negative, minus ori minus trebuie să dea plus.

4. Regula semnelor — formularea scurtă pe care o vei folosi mereu

Acum că înțelegi de ce, iată regula pe care o aplici practic. Ca să înmulțești două numere întregi:

1. Înmulțești modulele (numerele fără semn), exact ca în tabla înmulțirii.
2. Pui semnul după regula:

Reține-o în două propoziții foarte scurte:

• Semne la fel → plus. (plus·plus = plus, minus·minus = plus)
• Semne diferite → minus. (plus·minus = minus, minus·plus = minus)

Exemple rapide ca să prinzi mâna:

• $(+6)\cdot (+7)=+42$
• $(-6)\cdot (-7)=+42$
• $(+6)\cdot (-7)=-42$
• $(-6)\cdot (+7)=-42$

Observă că modulul rezultatului este mereu același ($42$); doar semnul se schimbă. Deci treaba ta este: întâi calculează numărul, apoi decide semnul.

5. Înmulțirea cu 0, cu 1 și cu −1 — cazuri speciale super-utile

Trei numere se poartă special la înmulțire și e bine să le ții minte ca pe niște scurtături.

Înmulțirea cu 0. Orice număr întreg înmulțit cu $0$ dă $0$: $$a\cdot 0=0\text{și}0\cdot a=0.$$ De exemplu $(-2026)\cdot 0=0$. Nici nu te mai uiți la semn: dacă apare un factor $0$, întregul produs este $0$.

Înmulțirea cu 1. Numărul $1$ este element neutru la înmulțire — nu schimbă nimic: $$a\cdot 1=a\text{și}1\cdot a=a.$$ De exemplu $(-17)\cdot 1=-17$.

Înmulțirea cu −1. Acesta e cel mai interesant. A înmulți cu $-1$ înseamnă a schimba semnul, adică a lua opusul: $$a\cdot (-1)=-a\text{și}(-1)\cdot a=-a.$$ De exemplu $(-1)\cdot 8=-8$, iar $(-1)\cdot (-8)=8$. Practic, $-1$ este un „buton de inversare a semnului". Îți amintești de lecția despre opusul unui număr întreg? Înmulțirea cu $-1$ face exact ce face opusul.

6. Proprietățile înmulțirii numerelor întregi

Toate proprietățile pe care le știi de la numerele naturale rămân valabile și în mulțimea $\mathbb{Z}$. Le folosim ca să calculăm mai inteligent, nu pe de rost.

Comutativitatea. Ordinea factorilor nu schimbă produsul: $$a\cdot b=b\cdot a.$$ De exemplu $(-4)\cdot 25=25\cdot (-4)=-100$. Util când unul dintre numere se înmulțește mai ușor.

Asociativitatea. Când ai mai mulți factori, poți grupa cum vrei: $$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).$$ De exemplu, la $(-2)\cdot 5\cdot (-3)$ poți face întâi $(-2)\cdot 5=-10$ apoi $-10\cdot (-3)=30$, sau întâi $5\cdot (-3)=-15$ apoi $(-2)\cdot (-15)=30$. Același rezultat.

Distributivitatea față de adunare (și scădere). Înmulțirea se „împrăștie" peste o sumă: $$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c.$$ Aceasta este proprietatea care te ajută la calcul mintal și mai târziu, la ecuații în mulțimea numerelor întregi. De exemplu: $$(-7)\cdot 102=(-7)\cdot (100+2)=(-7)\cdot 100+(-7)\cdot 2=-700+(-14)=-714.$$

7. Semnul unui produs de mai mulți factori — trucul cu numărarea minusurilor

Ce faci când ai de înmulțit nu două, ci mai multe numere? De exemplu: $$(-1)\cdot (-2)\cdot (-3)\cdot (-4)=?$$

Ai putea înmulți pas cu pas (și e bine să poți face asta), dar există o scurtătură foarte elegantă pentru semn. Iată regula:

Semnul unui produs de factori nenuli depinde DOAR de câți factori negativi sunt:

• dacă numărul de factori negativi este par, produsul este pozitiv;
• dacă numărul de factori negativi este impar, produsul este negativ.

De ce funcționează? Pentru că minusurile se „anulează două câte două": fiecare pereche de factori negativi se transformă în plus (minus·minus = plus). Dacă ai un număr par de minusuri, se anulează toate; dacă ai un număr impar, rămâne unul singur care „colorează" rezultatul în negativ.

Hai să aplicăm la exemplul de mai sus: $(-1)\cdot (-2)\cdot (-3)\cdot (-4)$. Avem 4 factori negativi — număr par — deci semnul este plus. Apoi înmulțim modulele: $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$. Rezultatul: $+24$.

Atenție la o capcană plăcută: dacă vreunul dintre factori este $0$, atunci tot produsul este $0$, indiferent de semne. Trucul cu numărarea minusurilor se aplică doar când toți factorii sunt diferiți de zero.

Un mod simplu de a ține minte: gândește-te la un întrerupător de lumină. Fiecare factor negativ „apasă pe buton" și schimbă starea (plus ↔ minus). Pornești de la plus. Dacă apeși de un număr par de ori, lumina rămâne în starea inițială (plus). Dacă apeși de un număr impar de ori, se schimbă (minus).

8. Cum organizezi un calcul cu mai mulți factori, ordonat

Strategia recomandată în trei pași, ca să nu greșești:

1. Numără factorii negativi → stabilește semnul final (par = +, impar = −).
2. Înmulțește toate modulele (numerele fără semn), grupând inteligent ca să-ți fie ușor (de exemplu $2\cdot 5=10$).
3. Lipește semnul găsit la pasul 1 în fața numărului găsit la pasul 2.

Exemplu: $(-2)\cdot 3\cdot (-5)\cdot (-1)$.

• Pasul 1: factori negativi = $-2,-5,-1$ → 3 factori negativi, impar → semn minus.
• Pasul 2: module $2\cdot 3\cdot 5\cdot 1=30$.
• Pasul 3: rezultat $-30$.

Cu metoda asta nu te mai pierzi prin semne la jumătatea calculului. O vei folosi mult la puterea cu exponent natural a unui număr întreg, unde un număr negativ se înmulțește cu el însuși de mai multe ori.

9. Înmulțirea numerelor întregi în viața de zi cu zi

Poate te întrebi unde apar concret produse de numere negative, dincolo de exercițiile din caiet. Răspunsul este: peste tot unde o aceeași schimbare (o creștere sau o scădere) se repetă de mai multe ori. Iată câteva tipare pe care le vei recunoaște imediat.

Datorii care se repetă. Dacă datorezi în fiecare lună aceeași sumă, datoria totală este o înmulțire cu un număr negativ. Plătești $6$ rate, fiecare însemnând o ieșire de $50$ lei, adică $-50$ lei. Bilanțul: $6\cdot (-50)=-300$ lei. Numărul de rate este pozitiv (chiar se întâmplă, înainte), iar suma fiecărei rate este negativă (bani care pleacă), deci rezultatul este o datorie de $300$ lei.

Temperaturi care scad treptat. Când temperatura coboară cu o aceeași valoare în fiecare oră, variația totală este o înmulțire. Dacă scade cu $2$°C pe oră (adică $-2$°C) timp de $5$ ore, variația este $5\cdot (-2)=-10$°C: s-a răcit cu $10$°C.

Nivelul apei sau adâncimea. Un submarin care coboară $7$ metri în fiecare minut (adică $-7$ m pe minut) ajunge după $4$ minute la o adâncime dată de $4\cdot (-7)=-28$ m, adică $28$ de metri sub nivelul mării.

Și de unde apare minus ori minus în viața reală? Exact din situațiile „în trecut" sau „înainte de momentul de referință", ca în povestea cu mașinuța. Dacă un cont pierde $20$ lei în fiecare zi (adică $-20$ lei pe zi), cu $3$ zile în urmă (timp $-3$) avea cu $(-20)\cdot (-3)=+60$ lei mai mult decât acum. Două schimbări „în minus" (pierdere și privire în trecut) dau un plus. Asta arată că regula nu este o ciudățenie de manual, ci descrie corect cum funcționează lumea.

Până aici am pornit de la intuiție (adunarea repetată, mașinuța din film) și am ajuns la o regulă scurtă și sigură. Important este să le ții pe amândouă: intuiția te ajută să înțelegi și să nu uiți, iar regula te ajută să calculezi repede. Când ai un dubiu la un exercițiu — de exemplu „oare minus ori minus chiar dă plus?" — întoarce-te o clipă la una dintre poveștile de mai sus și vei avea imediat răspunsul. În rest, aplici mecanic cei doi pași: înmulțești modulele și pui semnul. În exemplele care urmează vei vedea regula la lucru pe tot felul de situații, de la cele mai simple până la produse cu mulți factori și combinații cu adunarea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — înmulțirea a două numere cu semne diferite

Calculează: $(-12)\cdot 7$.

Rezolvare. Semnele sunt diferite (unul minus, unul plus), deci rezultatul va fi negativ. Înmulțim modulele: $12\cdot 7=84$. Punem semnul minus în față: $$(-12)\cdot 7=-84.$$

Exemplul 2 — minus ori minus

Calculează: $(-15)\cdot (-6)$.

Rezolvare. Ambele numere sunt negative, deci semnele sunt la fel → rezultatul este pozitiv. Modulele: $15\cdot 6=90$. Așadar: $$(-15)\cdot (-6)=+90=90.$$ Observă cum două datorii „înmulțite" au dat ceva pozitiv — exact ce ne spune regula semnelor.

Exemplul 3 — folosirea distributivității pentru calcul mintal

Calculează rapid: $(-25)\cdot 98$.

Rezolvare. În loc să înmulțim direct, scriem $98=100-2$ și folosim distributivitatea față de scădere: $$(-25)\cdot 98=(-25)\cdot (100-2)=(-25)\cdot 100-(-25)\cdot 2.$$ Calculăm fiecare bucată: $(-25)\cdot 100=-2500$ și $(-25)\cdot 2=-50$. Atenție la scădere: $$-2500-(-50)=-2500+50=-2450.$$ Deci $(-25)\cdot 98=-2450$. Mult mai comod decât înmulțirea în coloană.

Exemplul 4 — semnul unui produs de mai mulți factori

Calculează: $(-2)\cdot (-4)\cdot (-5)\cdot (-1)\cdot 3$.

Rezolvare. Aplicăm strategia în trei pași.

• Pasul 1: numărăm factorii negativi: $-2,-4,-5,-1$ → 4 negativi, număr par → semn plus.
• Pasul 2: module: $2\cdot 4\cdot 5\cdot 1\cdot 3$. Grupăm comod: $2\cdot 5=10$, apoi $10\cdot 4=40$, apoi $40\cdot 1=40$, apoi $40\cdot 3=120$.
• Pasul 3: lipim semnul plus: rezultat $+120$.

$$(-2)\cdot (-4)\cdot (-5)\cdot (-1)\cdot 3=120.$$

Exemplul 5 — atenție la factorul zero

Calculează: $(-7)\cdot 13\cdot 0\cdot (-99)$.

Rezolvare. Tentația este să numărăm minusurile. Dar oprește-te: unul dintre factori este $0$. Orice produs care conține factorul $0$ este egal cu $0$: $$(-7)\cdot 13\cdot 0\cdot (-99)=0.$$ Nu mai contează deloc semnele celorlalți factori. Aceasta este o capcană foarte des întâlnită la teste.

Exemplul 6 — combinație de înmulțire cu adunare și paranteze

Calculează: $(-3)\cdot 4+(-2)\cdot (-6)$.

Rezolvare. Conform ordinii operațiilor, înmulțirile se fac înaintea adunării. Calculăm fiecare produs separat:

• $(-3)\cdot 4=-12$ (semne diferite → minus);
• $(-2)\cdot (-6)=+12$ (semne la fel → plus).

Acum adunăm rezultatele: $$-12+12=0.$$ Deci $(-3)\cdot 4+(-2)\cdot (-6)=0$. Vei aprofunda asemenea calcule la ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor în ℤ.

Exemplul 7 — scoaterea factorului comun (distributivitate „invers")

Calculează inteligent: $(-8)\cdot 17+(-8)\cdot 3$.

Rezolvare. Observăm că $-8$ apare în ambele produse. Folosim distributivitatea în sens invers (dăm factorul comun afară): $$(-8)\cdot 17+(-8)\cdot 3=(-8)\cdot (17+3)=(-8)\cdot 20=-160.$$ Mai rapid decât să calculezi cele două produse separat. Acest tipar de „factor comun" îți va fi extrem de util la algebră.

Exemplul 8 — o problemă din viața reală

Problemă. Un cont de joc pierde câte $9$ jetoane la fiecare rundă pierdută (deci $-9$ jetoane pe rundă). Andrei a pierdut $7$ runde la rând, dar înainte avea un sold de $80$ de jetoane. Câte jetoane are acum?

Rezolvare. Mai întâi traducem „a pierdut $7$ runde a câte $9$ jetoane" într-o înmulțire de numere întregi. Pierderea totală este: $$7\cdot (-9)=-63\text{ jetoane}.$$ Numărul de runde ($7$) este pozitiv, iar pierderea pe rundă ($-9$) este negativă, deci semnele sunt diferite și rezultatul este negativ — exact ce ne așteptăm de la o pierdere. Acum adunăm pierderea la soldul de pornire: $$80+(-63)=80-63=17\text{ jetoane}.$$ Andrei mai are $17$ jetoane. Reține tiparul: întâi traduci „de atâtea ori câte ... " într-o înmulțire, apoi combini cu soldul printr-o adunare. Vei rezolva multe probleme practice exact așa.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Scrie de fiecare dată întâi semnul, apoi numărul.

1. Calculează: a) $(+9)\cdot (+8)$; b) $(-9)\cdot (-8)$; c) $(+9)\cdot (-8)$; d) $(-9)\cdot (+8)$.

2. Calculează: a) $(-7)\cdot 6$; b) $11\cdot (-5)$; c) $(-12)\cdot (-3)$; d) $(-1)\cdot (-1)$.

3. Înmulțește cu numerele speciale: a) $(-34)\cdot 0$; b) $(-34)\cdot 1$; c) $(-34)\cdot (-1)$; d) $0\cdot (-100)$.

4. Completează spațiul liber cu numărul potrivit: a) $(-5)\cdot \square =-40$; b) $\square \cdot (-3)=21$; c) $7\cdot \square =-49$; d) $(-1)\cdot \square =13$.

5. Adevărat sau fals? Justifică printr-un exemplu sau o regulă. a) Produsul a două numere negative este negativ. b) Dacă unul dintre factori este $0$, produsul este $0$. c) $(-1)\cdot a=a$ pentru orice număr întreg $a$. d) Înmulțirea numerelor întregi este comutativă.

6. Stabilește doar semnul produsului (fără a calcula valoarea), numărând factorii negativi: a) $(-2)\cdot (-3)\cdot (-4)$; b) $(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)$; c) $(-5)\cdot 6\cdot (-7)$; d) $(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)$.

7. Calculează produsele de mai mulți factori: a) $(-2)\cdot 3\cdot (-5)$; b) $(-1)\cdot (-2)\cdot (-3)\cdot (-4)$; c) $4\cdot (-5)\cdot (-1)\cdot 2$.

8. Folosește distributivitatea pentru calcul rapid: a) $(-6)\cdot 99$; b) $15\cdot (-101)$; c) $(-4)\cdot 13+(-4)\cdot 7$.

9. Calculează respectând ordinea operațiilor: a) $(-3)\cdot 5+2\cdot (-4)$; b) $(-2)\cdot (-7)-5\cdot 3$; c) $(-1)\cdot 8+(-1)\cdot (-8)$.

10. Potrivește fiecare produs din coloana stângă cu rezultatul din coloana dreaptă:

11. Găsește numărul întreg $x$ din egalitatea: a) $(-4)\cdot x=-24$; b) $x\cdot (-5)=35$; c) $(-1)\cdot x=-9$.

12. Calculează: a) $(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)$; b) $(-3)\cdot (-3)$; c) $(-10)\cdot (-10)\cdot (-10)$. (Observă legătura cu puterile.)

13. Scoate factorul comun și calculează: $(-9)\cdot 23-(-9)\cdot 13$.

14. Mică problemă (bani). Un magazin online vinde în pierdere un model de căști, înregistrând pentru fiecare bucată vândută o pierdere de $8$ lei (deci $-8$ lei). Într-o zi a vândut $15$ bucăți. Care a fost rezultatul financiar al zilei pentru acest model? Scrie operația cu numere întregi.

15. Mică problemă (temperatură). Într-o regiune montană, temperatura scade în medie cu $3$°C la fiecare $500$ m urcați (deci o variație de $-3$°C la fiecare treaptă de altitudine). Un alpinist urcă $4$ astfel de trepte. Cu cât s-a modificat temperatura față de punctul de plecare? Scrie operația.

16. Provocare cu semnul. Fără să calculezi valoarea, spune ce semn are produsul a $2026$ factori, toți egali cu $-1$. Dar a $2025$ factori egali cu $-1$? Explică.

17. Completează tabelul de înmulțire cu numere întregi:

18. Raționament. Andrei spune: „Dacă produsul a trei numere întregi este pozitiv, atunci toate trei sunt pozitive." Are dreptate? Dă un contraexemplu dacă greșește.

19. Problemă (sold). Un cont pierde câte $12$ lei în fiecare zi (adică $-12$ lei pe zi). a) Care este variația soldului după $6$ zile? Scrie operația. b) Dacă la început contul avea $100$ lei, ce sold are după cele $6$ zile?

20. Două calcule legate. Calculează și compară: a) $(-4)\cdot (-4)\cdot (-4)$; b) $(-4)\cdot (-4)\cdot (-4)\cdot (-4)$. Ce observi despre semn când numărul de factori egali cu $-4$ crește de la $3$ la $4$?

Răspunsuri și explicații

1. a) $72$ (plus·plus); b) $72$ (minus·minus = plus); c) $-72$ (semne diferite); d) $-72$ (semne diferite). Observă: același modul $72$, doar semnul diferă.

2. a) $-42$; b) $-55$; c) $+36$; d) $+1$ (minus·minus = plus, iar $1\cdot 1=1$).

3. a) $0$; b) $-34$ (înmulțirea cu 1 nu schimbă nimic); c) $+34$ (înmulțirea cu $-1$ dă opusul); d) $0$.

4. a) $\square =8$, fiindcă $(-5)\cdot 8=-40$; b) $\square =-7$, fiindcă $(-7)\cdot (-3)=21$; c) $\square =-7$, fiindcă $7\cdot (-7)=-49$; d) $\square =-13$, fiindcă $(-1)\cdot (-13)=13$.

5. a) Fals. Minus·minus = plus; de exemplu $(-2)\cdot (-3)=6$, pozitiv. b) Adevărat. Orice produs cu un factor $0$ este $0$. c) Fals. $(-1)\cdot a=-a$ (opusul lui $a$), nu $a$; de exemplu $(-1)\cdot 5=-5$. d) Adevărat. $a\cdot b=b\cdot a$ pentru orice numere întregi.

6. a) 3 negativi (impar) → minus; b) 4 negativi (par) → plus; c) 2 negativi (par) → plus; d) 5 negativi (impar) → minus.

7. a) 2 negativi → plus; module $2\cdot 3\cdot 5=30$ → $+30$. b) 4 negativi → plus; module $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$ → $+24$. c) 2 negativi → plus; module $4\cdot 5\cdot 1\cdot 2=40$ → $+40$.

8. a) $(-6)\cdot 99=(-6)\cdot (100-1)=-600-(-6)=-600+6=-594$. b) $15\cdot (-101)=15\cdot (-100)+15\cdot (-1)=-1500+(-15)=-1515$. c) factor comun $-4$: $(-4)\cdot (13+7)=(-4)\cdot 20=-80$.

9. a) $-15+(-8)=-23$. b) $(+14)-15=-1$. c) $-8+8=0$.

10. A–III ($(-4)\cdot (-5)=20$); B–I ($(-6)\cdot 3=-18$); C–IV ($2\cdot (-7)=-14$); D–II ($7\cdot 0=0$). Calculează fiecare produs, apoi caută rezultatul în coloana dreaptă.

11. a) $x=6$ ($(-4)\cdot 6=-24$); b) $x=-7$ ($(-7)\cdot (-5)=35$); c) $x=9$ ($(-1)\cdot 9=-9$).

12. a) $(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8$ (3 negativi → minus, module $8$); b) $(-3)\cdot (-3)=9$; c) $(-10)\cdot (-10)\cdot (-10)=-1000$ (3 negativi → minus). Vei recunoaște aici puteri precum $(-2{)}^3$ și $(-10{)}^3$.

13. Factor comun $-9$: $(-9)\cdot (23-13)=(-9)\cdot 10=-90$.

14. Operația: $15\cdot (-8)=-120$. Rezultatul zilei a fost o pierdere de 120 lei ($-120$ lei).

15. Operația: $4\cdot (-3)=-12$. Temperatura a scăzut cu 12°C ($-12$°C).

16. $2026$ factori egali cu $-1$: număr par de minusuri → produs pozitiv, egal cu $+1$. $2025$ factori egali cu $-1$: număr impar → produs negativ, egal cu $-1$. (Produsul mai multor factori $-1$ este mereu $+1$ sau $-1$, după paritatea numărului de factori.)

17. Tabelul complet:

18. Andrei greșește. Contraexemplu: $(-2)\cdot (-3)\cdot 5=30>0$, dar doi factori sunt negativi. Un produs de trei numere este pozitiv fie când toate trei sunt pozitive, fie când exact două sunt negative (număr par de minusuri).

19. a) Variația: $6\cdot (-12)=-72$ lei (o scădere de $72$ lei). b) Soldul nou: $100+(-72)=100-72=28$ lei.

20. a) $(-4)\cdot (-4)\cdot (-4)$: 3 factori negativi (impar) → semn minus; module $4\cdot 4\cdot 4=64$ → $-64$. b) $(-4)\cdot (-4)\cdot (-4)\cdot (-4)$: 4 factori negativi (par) → semn plus; module $4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=256$ → $+256$. Observație: adăugând încă un factor $-4$ (de la $3$ la $4$ factori), paritatea s-a schimbat din impar în par, deci semnul a trecut din minus în plus. Recunoști aici $(-4{)}^3=-64$ și $(-4{)}^4=256$.

De reținut

• Regula semnelor: semne la fel → produs pozitiv; semne diferite → produs negativ. Întâi înmulțești modulele, apoi pui semnul.
• Minus ori minus = plus. Nu este o regulă arbitrară: vine din nevoia ca distributivitatea și înmulțirea cu 0 să rămână valabile.
• Cazuri speciale: $a\cdot 0=0$; $a\cdot 1=a$; $a\cdot (-1)=-a$ (înmulțirea cu $-1$ schimbă semnul).
• Semnul unui produs de mai mulți factori nenuli depinde doar de paritatea numărului de factori negativi: par → plus, impar → minus. Dacă un factor este $0$, tot produsul este $0$.
• Proprietățile (comutativitate, asociativitate, distributivitate) te ajută să calculezi mai rapid și mai sigur.

Greșeli frecvente

• „Minus ori minus dă minus." Cea mai răspândită greșeală. Reține: două semne la fel dau plus. $(-3)\cdot (-4)=+12$, nu $-12$.
• Confuzia cu adunarea. La adunare $(-3)+(-4)=-7$ (minus plus minus dă minus), dar la înmulțire $(-3)\cdot (-4)=+12$. Adunarea și înmulțirea au reguli de semn diferite — nu le amesteca.
• Numeri greșit factorii negativi. La produsele lungi, marchează cu degetul sau încercuiește fiecare minus și numără-le cu grijă. Un singur minus nesocotit schimbă semnul rezultatului.
• Uiți de factorul 0. Dacă apare un $0$ printre factori, nu mai pierde timp cu semnele: produsul este $0$. Verifică mereu întâi dacă există un factor nul.
• Scrii două semne lipite, fără paranteză. Nu se scrie niciodată $3\cdot -4$ cu minusul lipit de punct. Numărul negativ se pune în paranteză: $3\cdot (-4)$. Parantezele arată clar că $-4$ este un singur număr (negativ), nu o scădere. Este o regulă de notație care te scapă de multe confuzii la calculele lungi.
• Confunzi modulul cu semnul. Calculul are două etape separate: mai întâi afli numărul (înmulțind modulele), apoi decizi semnul. Dacă le amesteci, riști să pui semnul corect dar numărul greșit, sau invers. Fă-le pe rând, de fiecare dată.

Joc acasă

1. Zarul cu semn (regula semnelor în joc). Ai nevoie de două zaruri și de o monedă pentru fiecare zar. Arunci moneda pentru fiecare zar: cap = număr pozitiv, pajură = număr negativ. Apoi arunci zarurile. Înmulțește cele două numere întregi obținute și spune rezultatul cu semn. Cine ghicește corect semnul înainte de a calcula valoarea primește un punct. Jucați 10 runde.

2. Lanțul de minusuri. Scrie pe bilețele numerele $-1,-2,-3,1,2,3$. Trage la întâmplare $4$ bilețele și înmulțește-le. Înainte de a calcula, prezice semnul numărând minusurile (par/impar). Apoi verifică prin calcul. Repetă de câteva ori — vei deveni foarte rapid la „ghicit semnul".

3. Moneda care merge înainte și înapoi. Folosește o riglă ca axă a numerelor și o monedă ca „mașinuța" din lecție. Stabilește o viteză (de exemplu $-2$ pași) și un timp (de exemplu $-3$ secunde, adică trecut). Mută moneda ca să verifici „pe viu" că $(-2)\cdot (-3)=+6$ înseamnă o poziție spre dreapta. Inventează singur alte combinații de semne.

Pentru părinți și învățători

Această lecție are un singur concept cu adevărat nou pentru copil: regula semnelor la înmulțire, în special „minus ori minus dă plus". Restul (tabla înmulțirii, proprietățile) este recapitulare din clasa a V-a, transferată la numere negative.

Cum predați eficient:

• Nu impuneți regula „minus ori minus = plus" ca pe o dogmă. Folosiți întâi argumentul cu adunarea repetată pentru $3\cdot (-5)$ și apoi argumentul cu distributivitatea (secțiunea 3) pentru $(-3)\cdot (-5)$. Copilul care înțelege de ce nu mai uită regula.
• Separați clar înmulțirea de adunare. Mulți elevi confundă $(-3)+(-4)$ cu $(-3)\cdot (-4)$. Faceți un mic tabel comparativ pe o foaie: aceleași două numere, două operații, două rezultate diferite ($-7$ și $+12$).
• Pentru produsele lungi, insistați pe metoda în trei pași: numără minusurile → înmulțește modulele → lipește semnul. Reduce mult greșelile.

Întrebări bune de pus:

• „Fără să calculezi, ce semn are $(-5)\cdot (-2)\cdot (-1)$? De ce?" (verifică înțelegerea parității)
• „Ce se întâmplă dacă unul dintre factori este zero?"
• „Cu ce trebuie să înmulțesc un număr ca să-i obțin opusul?" (răspuns: cu $-1$)

Cum verificați înțelegerea: cereți copilului să rezolve exercițiile 6, 9 și 14. Dacă stabilește corect semnul fără ezitare, respectă ordinea operațiilor și traduce problema cu banii într-o înmulțire, lecția este însușită. Dacă greșește semnul la produse, întoarceți-vă la jocul cu zarul și moneda.

Întrebări frecvente

De ce minus ori minus dă plus la clasa a 6-a? Pentru că regulile de calcul cunoscute (distributivitatea și înmulțirea cu zero) trebuie să rămână valabile și pentru numere negative. Din $(-3)\cdot (-5+5)=0$ rezultă, prin calcul, că $(-3)\cdot (-5)$ trebuie să fie $+15$. Altfel matematica ar fi contradictorie. Intuitiv: „opusul unei datorii repetate" devine un câștig.

Cum stabilesc semnul unui produs de mai mulți factori? Numeri câți factori negativi sunt. Dacă numărul lor este par, produsul este pozitiv; dacă este impar, produsul este negativ. Apoi înmulțești modulele pentru a afla valoarea. Excepție: dacă vreun factor este $0$, produsul este $0$.

Care este diferența dintre regula semnelor la adunare și la înmulțire? Sunt reguli complet diferite. La adunare, două numere negative dau tot negativ: $(-3)+(-4)=-7$. La înmulțire, două numere negative dau pozitiv: $(-3)\cdot (-4)=+12$. Nu folosi niciodată regula de la o operație pentru cealaltă.

Cu ce este egal un număr înmulțit cu −1? Cu opusul lui. $a\cdot (-1)=-a$. De exemplu $(-1)\cdot 7=-7$ și $(-1)\cdot (-7)=7$. Înmulțirea cu $-1$ funcționează ca un buton care schimbă semnul numărului.

Ce se întâmplă când înmulțesc un număr întreg cu 0? Rezultatul este întotdeauna $0$, indiferent de număr și de semnul lui. De exemplu $(-583)\cdot 0=0$. Într-un produs de mai mulți factori, dacă apare măcar un $0$, întregul produs devine $0$.

Înmulțirea numerelor întregi este comutativă și asociativă? Da. Comutativitatea ($a\cdot b=b\cdot a$) și asociativitatea ($(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$) rămân valabile în $\mathbb{Z}$, exact ca la numerele naturale. Le folosești ca să grupezi factorii într-o ordine convenabilă pentru calcul.

Cum folosesc distributivitatea ca să înmulțesc mai repede? Descompui unul dintre factori într-o sumă sau diferență ușoară și împrăștii înmulțirea. De exemplu $(-7)\cdot 99=(-7)\cdot (100-1)=-700+7=-693$. Tot distributivitatea îți permite să scoți un factor comun: $(-5)\cdot 8+(-5)\cdot 2=(-5)\cdot 10=-50$.

Ce legătură are înmulțirea numerelor întregi cu puterile? Când înmulțești un număr negativ cu el însuși de mai multe ori, obții o putere. Semnul rezultatului depinde de paritatea exponentului: $(-2{)}^2=4$ (exponent par, pozitiv), iar $(-2{)}^3=-8$ (exponent impar, negativ). Vei studia acest lucru pe larg la puterea cu exponent natural a unui număr întreg.