Înălțimile unui triunghi. Ortocentrul

Ai construit deja bisectoarele și mediatoarele unui triunghi și ai văzut că, de fiecare dată, trei drepte despre care nu te-ai fi așteptat se întâlnesc fix în același punct. Acum vine a treia minune de acest fel: înălțimile unui triunghi. Sunt acele segmente care „cad" perpendicular dintr-un vârf pe latura opusă, exact ca un fir cu plumb. Și, surpriză, toate trei trec prin același punct, numit ortocentru. În această lecție înveți să le construiești corect cu rigla și echerul și să afli unde se ascunde ortocentrul în funcție de forma triunghiului.

Ce vei învăța

Vei ști să definești înălțimea unui triunghi și să recunoști care este piciorul ei.
Vei ști să construiești cele trei înălțimi ale unui triunghi cu rigla și echerul.
Vei ști că cele trei înălțimi sunt concurente și că punctul lor comun se numește ortocentru.
Vei ști să spui unde se află ortocentrul într-un triunghi ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic.
Vei ști să folosești noțiunea de înălțime în probleme simple de geometrie.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă, de fapt, „înălțime"

Gândește-te la o piramidă, la un cort sau la un munte. Când spunem „înălțimea" lui, nu măsurăm pe o latură înclinată, ci drept în jos, perpendicular pe pământ. Înălțimea este distanța „pe verticală", măsurată în unghi drept față de bază.

În triunghi facem exact același lucru, doar că orice latură poate juca rolul de „pământ", de bază.

Definiție. Se numește înălțime a unui triunghi segmentul determinat de un vârf al triunghiului și piciorul perpendicularei duse din acel vârf pe dreapta care conține latura opusă.

Hai să despachetăm definiția, cuvânt cu cuvânt, pentru că fiecare bucățică e importantă:

Pornește dintr-un vârf. Avem trei vârfuri, deci vom avea trei înălțimi.
Cade perpendicular, adică formează un unghi de 90° cu latura opusă (sau cu prelungirea ei).
Piciorul înălțimii este punctul în care înălțimea atinge latura opusă (sau dreapta ei). Acolo punem semnul de unghi drept.
Latura opusă unui vârf este latura care nu trece prin acel vârf.

Notația înălțimii

Ca să vorbim repede și clar, matematicienii au o notație. Înălțimea dusă din vârful $A$ se notează cu litera mică $h_{a}$ (se citește „ha", adică „înălțimea corespunzătoare laturii $a$ "). Aici $a$ este latura opusă vârfului $A$ , adică latura $B C$ .

La fel:

$h_{a}$ = înălțimea din $A$ , perpendiculară pe $B C$ ;
$h_{b}$ = înălțimea din $B$ , perpendiculară pe $A C$ ;
$h_{c}$ = înălțimea din $C$ , perpendiculară pe $A B$ .

Piciorul fiecărei înălțimi îl notăm de obicei cu o literă nouă: dacă înălțimea din $A$ atinge latura $B C$ în punctul $D$ , scriem $A D ⊥ B C$ , iar $D$ este piciorul înălțimii. Semnul $⊥$ se citește „perpendicular pe".

O capcană importantă: de la vârf la latura OPUSĂ

Mulți elevi greșesc aici, așa că insistăm. Înălțimea din $A$ NU cade pe o latură care pleacă din $A$ . Ea cade pe latura opusă lui $A$ , adică pe $B C$ . Logic: nu poți coborî perpendicular pe o latură pe care chiar stai cu piciorul (vârful). Trebuie să „țintești" latura din partea cealaltă.

O analogie: imaginează-ți că stai pe colțul unei mese triunghiulare și lași să cadă o bilă pe muchia din fața ta. Bila nu cade pe muchiile care pornesc de sub tine, ci pe cea din partea opusă.

O a doua analogie, din sport: gândește-te la un jucător de baschet care stă într-un colț al unui teren triunghiular și aruncă mingea perpendicular spre linia din fața lui. Mingea nu țintește liniile pe care chiar calcă jucătorul, ci linia opusă. Exact așa „țintește" și înălțimea: vârful este jucătorul, latura opusă este linia spre care se trage perpendiculara.

O scurtă poveste care te ajută să ții minte

Imaginează-ți trei prieteni — Ana, Bogdan și Cristina — care stau în cele trei colțuri ale unui parc triunghiular. Fiecare are un lansator de zmeu și vrea să lanseze zmeul perfect perpendicular către aleea din fața lui (aleea opusă colțului în care stă). Ana lansează din colțul ei perpendicular pe aleea opusă, Bogdan la fel, Cristina la fel. În mod uimitor, dacă urmărim traiectoriile celor trei zmee, ele se intersectează toate în același punct de deasupra parcului. Acel punct magic de întâlnire este, în limbaj geometric, ortocentrul. Povestea asta surprinde toată ideea lecției: trei perpendiculare din trei vârfuri, un singur punct comun.

Cum construim o înălțime, pas cu pas

Ai nevoie de riglă și de echer (sau un colț de carton, orice obiect care are un unghi drept sigur). Construim înălțimea din $A$ pe latura $B C$ :

Trasează triunghiul $A B C$ și identifică vârful din care pleci (aici $A$ ) și latura opusă (aici $B C$ ).
Așază echerul astfel încât una dintre muchiile lui care formează unghiul drept să stea exact pe latura $B C$ .
Alunecă echerul de-a lungul laturii $B C$ până când cealaltă muchie a unghiului drept ajunge să treacă prin vârful $A$ .
Trasează linia de-a lungul acelei muchii, din $A$ până atinge $B C$ . Punctul de contact este piciorul $D$ .
Marchează unghiul drept la $D$ cu un mic pătrățel și scrie $A D ⊥ B C$ .

Repeți același procedeu pornind din $B$ (perpendiculară pe $A C$ ) și din $C$ (perpendiculară pe $A B$ ). Dacă vrei să-ți reîmprospătezi pașii de construcție a unei perpendiculare, ai o lecție întreagă despre asta în Drepte perpendiculare: definiție și construcție.

Marea descoperire: cele trei înălțimi se întâlnesc

Acum vine partea spectaculoasă. Ia o foaie, desenează un triunghi oarecare și construiește cu grijă toate cele trei înălțimi. Ce observi? Toate trei trec prin același punct!

Nu e o întâmplare și nu depinde de triunghiul ales. Indiferent ce triunghi desenezi, cele trei înălțimi (sau dreptele care le conțin) se întâlnesc mereu într-un singur punct. Acest fapt se numește concurența înălțimilor.

Teoremă (concurența înălțimilor — fără demonstrație). Într-un triunghi, cele trei înălțimi (sau dreptele suport ale lor) sunt concurente, adică trec toate prin același punct.

Acest punct comun are un nume special.

Definiție. Punctul în care se întâlnesc cele trei înălțimi ale unui triunghi se numește ortocentru. Îl notăm de obicei cu litera $H$ .

Cuvântul „orto" vine din greacă și înseamnă „drept, perpendicular" (la fel ca în „ortogonal"). Deci ortocentrul este, la propriu, „centrul perpendicularelor". Reține că demonstrația acestei concurențe nu se cere în clasa a VI-a — o luăm ca pe un adevăr verificat experimental, prin desen.

Este al treilea punct de concurență pe care îl întâlnești. Ai văzut deja bisectoarele și cercul înscris (unde se întâlnesc bisectoarele = incentru) și mediatoarele și cercul circumscris (unde se întâlnesc mediatoarele = circumcentru). Acum ai și ortocentrul.

Unde se ascunde ortocentrul? Depinde de forma triunghiului!

Spre deosebire de incentru (care e mereu înăuntru), ortocentrul are un comportament mult mai interesant: poziția lui se schimbă în funcție de tipul triunghiului. Hai să vedem cele trei cazuri.

Cazul 1: triunghiul ascuțitunghic (toate unghiurile mai mici de 90°).

Aici toate cele trei picioare ale înălțimilor cad pe laturi, iar ortocentrul se află în interiorul triunghiului.

Cazul 2: triunghiul dreptunghic (un unghi de exact 90°).

Aici se întâmplă ceva foarte frumos. Cele două laturi care formează unghiul drept (catetele) sunt deja perpendiculare una pe alta! Asta înseamnă că fiecare catetă este chiar înălțimea corespunzătoare celeilalte catete. De exemplu, dacă unghiul drept este în $C$ , atunci latura $C A$ este perpendiculară pe $C B$ , deci $C A$ este înălțimea din $A$ ... stai, mai exact: înălțimea din $A$ pe $B C$ este chiar latura $A C$ , iar înălțimea din $B$ pe $A C$ este chiar latura $B C$ . Aceste două înălțimi se întâlnesc fix în vârful $C$ , în vârful unghiului drept.

Concluzie: într-un triunghi dreptunghic, ortocentrul coincide cu vârful unghiului drept.

Cazul 3: triunghiul obtuzunghic (un unghi mai mare de 90°).

Aici e cel mai surprinzător. Pentru ca înălțimile să se întâlnească, suntem nevoiți să prelungim laturile dincolo de vârfuri, iar picioarele a două dintre înălțimi cad în afara triunghiului, pe prelungiri. Ca urmare, ortocentrul se află în exteriorul triunghiului, de partea unghiului obtuz.

Acesta e motivul pentru care, în definiție, am spus „dreapta care conține latura opusă", nu doar „latura". La triunghiurile obtuzunghice, perpendiculara cade pe prelungirea laturii, nu pe latura propriu-zisă.

Un mic tabel de reținut

Tipul triunghiului	Unde este ortocentrul $H$
Ascuțitunghic	În interiorul triunghiului
Dreptunghic	În vârful unghiului drept (pe triunghi)
Obtuzunghic	În exteriorul triunghiului

Există chiar un truc de memorat: ortocentrul „fuge" către unghiul cel mai mare. Dacă toate unghiurile sunt mici, stă cuminte în mijloc; dacă apare un unghi drept, se așază exact în el; dacă unghiul devine obtuz, ortocentrul iese afară, în direcția acelui unghi.

Poți vizualiza asta ca pe un film: ia un triunghi ascuțitunghic și „împinge" încet unul dintre vârfuri, mărind unghiul din el. Cât timp unghiul rămâne sub $90°$ , ortocentrul stă în interior, dar se apropie tot mai mult de latura din dreptul unghiului care crește. În clipa în care unghiul ajunge exact la $90°$ , ortocentrul atinge vârful. Iar dacă mai împingi puțin și unghiul depășește $90°$ , ortocentrul „țâșnește" afară din triunghi. Această mișcare continuă arată că poziția ortocentrului nu e ceva întâmplător, ci urmează o regulă clară, legată direct de unghiuri.

De ce înălțimea este atât de utilă

Pe lângă faptul că ne dă ortocentrul, înălțimea are o utilitate practică uriașă: ea este distanța de la un vârf la latura opusă, măsurată corect (perpendicular). Vei folosi această distanță, în clasele următoare, pentru a calcula aria triunghiului (jumătate din produsul dintre o latură și înălțimea corespunzătoare ei). Cu alte cuvinte, înălțimea pe care înveți acum să o construiești este chiar „cheia" cu care se măsoară cât de mare este suprafața unui triunghi. De aceea merită să o desenezi mereu cu grijă și precizie.

Ca să vezi cât de direct se folosește, gândește-te la un triunghi în care latura $B C$ (luată ca bază) măsoară $10$ cm, iar înălțimea din $A$ pe $B C$ măsoară $6$ cm. Aria se obține din formula „bază ori înălțime, împărțit la doi": $\frac{10 \cdot 6}{2} = 30$ cm². Observă că lucrăm cu o latură și cu înălțimea corespunzătoare ei, niciodată cu o latură înclinată oarecare — tocmai pentru că doar înălțimea măsoară corect „cât de înalt" se ridică vârful deasupra bazei. Dacă vrei să-ți amintești ce înseamnă distanța perpendiculară de la un punct la o dreaptă, ai o lecție întreagă în Distanța de la un punct la o dreaptă.

Un caz special drăguț: triunghiul echilateral

Într-un triunghi echilateral (cu toate laturile egale), înălțimea dusă dintr-un vârf este, în același timp, și bisectoare, și mediană, și mediatoare a laturii opuse. De aceea, în triunghiul echilateral, ortocentrul, incentrul, centrul de greutate și circumcentrul coincid — sunt toate același punct, centrul perfect al triunghiului. Vei reveni la asta când vei studia triunghiul echilateral.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identificăm corect înălțimea

În triunghiul $M N P$ se cere să construim înălțimea din vârful $M$ . Pe ce latură cade ea și ce unghi formează?

Rezolvare. Înălțimea din $M$ cade pe latura opusă vârfului $M$ . Latura opusă lui $M$ este $N P$ (singura latură care nu trece prin $M$ ). Deci înălțimea din $M$ este un segment de la $M$ la un punct de pe dreapta $N P$ , pe care îl numim, să zicem, $Q$ . Ea formează cu $N P$ un unghi de 90°. Scriem: $M Q ⊥ N P$ , iar $Q$ este piciorul înălțimii.

Exemplul 2 — Câte înălțimi are un triunghi și unde se întâlnesc

Câte înălțimi are un triunghi și cum se numește punctul lor de întâlnire?

Rezolvare. Un triunghi are exact trei înălțimi, câte una din fiecare vârf. Conform teoremei de concurență, toate trei trec prin același punct, numit ortocentru, notat de obicei $H$ . Deci răspunsul: 3 înălțimi, punctul comun = ortocentrul.

Exemplul 3 — Ortocentrul unui triunghi dreptunghic

Triunghiul $A B C$ are unghiul drept în $B$ (adică $B = 90°$ ). Unde se află ortocentrul lui?

Rezolvare. Pentru că unghiul din $B$ este drept, laturile $B A$ și $B C$ sunt perpendiculare una pe cealaltă. Asta înseamnă că:

înălțimea din $A$ pe latura $B C$ este chiar latura $A B$ (fiindcă $A B ⊥ B C$ );
înălțimea din $C$ pe latura $A B$ este chiar latura $C B$ (fiindcă $C B ⊥ A B$ ).

Aceste două înălțimi se întâlnesc în vârful $B$ . Deci ortocentrul coincide cu $B$ , vârful unghiului drept. Nu mai e nevoie să mai construim a treia înălțime, pentru că ortocentrul este deja determinat de două dintre ele.

Exemplul 4 — Recunoaștem tipul triunghiului după poziția ortocentrului

Un elev a construit cele trei înălțimi ale unui triunghi și a observat că ele se întâlnesc în afara triunghiului. Ce fel de triunghi a desenat?

Rezolvare. Ortocentrul se află în exterior numai la triunghiurile obtuzunghice (care au un unghi mai mare de 90°). La cele ascuțitunghice ortocentrul e înăuntru, iar la cele dreptunghice e fix într-un vârf. Deci elevul a desenat un triunghi obtuzunghic.

Exemplul 5 — Calcul cu unghiul format de înălțime

În triunghiul $A B C$ , înălțimea din $A$ cade pe $B C$ în punctul $D$ . Știm că $B = 35°$ . Cât măsoară unghiul $B A D$ (unghiul dintre înălțime și latura $A B$ , văzut în triunghiul $A B D$ )?

Rezolvare. Privim triunghiul mic $A B D$ . El este dreptunghic în $D$ , fiindcă $A D$ este înălțime, deci $A D B = 90°$ . Suma unghiurilor într-un triunghi este $180°$ (vezi Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi). Atunci:

$B A D = 180° - A D B - B = 180° - 90° - 35° = 55°.$

Deci $B A D = 55°$ . Vezi cum înălțimea creează automat un triunghi dreptunghic cu care putem calcula? Acesta e unul dintre marile ei avantaje.

Exemplul 6 — Două înălțimi sunt de ajuns

De ce este suficient să construim doar două înălțimi ca să găsim ortocentrul?

Rezolvare. Pentru că toate trei se întâlnesc, prin teoremă, în același punct. Două drepte care nu sunt paralele se intersectează deja într-un singur punct. Acel punct de intersecție al primelor două înălțimi este ortocentrul, iar a treia înălțime va trece obligatoriu și ea prin el. Construirea celei de-a treia înălțimi servește doar ca verificare: dacă a fost desenată corect, trece exact prin punctul găsit.

Exemplul 7 — Construim o înălțime la un triunghi obtuzunghic

În triunghiul $A B C$ unghiul din $A$ este obtuz ( $A = 120°$ ). Vrem să construim înălțimea din vârful $B$ . Unde va cădea piciorul ei?

Rezolvare. Înălțimea din $B$ trebuie să cadă perpendicular pe latura opusă lui $B$ , adică pe $A C$ . Problema este că, din cauza unghiului obtuz din $A$ , perpendiculara coborâtă din $B$ nu mai întâlnește segmentul $A C$ , ci prelungirea lui dincolo de vârful $A$ . Procedăm așa: prelungim latura $A C$ cu o linie întreruptă, dincolo de $A$ ; așezăm echerul cu o muchie pe această dreaptă și îl alunecăm până cealaltă muchie trece prin $B$ ; trasăm perpendiculara. Piciorul ei, să-l numim $E$ , se află în afara triunghiului, pe prelungirea laturii $A C$ . Scriem $B E ⊥ A C$ , dar reținem că $E$ nu este pe segmentul $A C$ , ci pe dreapta care îl conține. Exact acest tip de situație justifică formularea „dreapta care conține latura opusă" din definiție.

Exemplul 8 — Două unghiuri date, lucrăm cu cele două triunghiuri dreptunghice

În triunghiul $A B C$ , înălțimea din $A$ cade pe $B C$ în punctul $D$ . Se cunosc $B = 40°$ și $C = 65°$ . Calculează unghiurile $B A D$ și $C A D$ , apoi verifică rezultatul aflând și unghiul $A$ al triunghiului.

Rezolvare. Înălțimea $A D$ împarte triunghiul $A B C$ în două triunghiuri mai mici, ambele dreptunghice în $D$ (fiindcă $A D B = A D C = 90°$ ).

În triunghiul $A B D$ : $B A D = 180° - 90° - B = 180° - 90° - 40° = 50°$ .

În triunghiul $A C D$ : $C A D = 180° - 90° - C = 180° - 90° - 65° = 25°$ .

Unghiul total al vârfului $A$ este suma celor două bucăți: $A = B A D + C A D = 50° + 25° = 75°$ .

Verificare cu suma unghiurilor triunghiului mare: $A + B + C = 75° + 40° + 65° = 180°$ . Se confirmă! Vezi ce instrument puternic este înălțimea: dintr-un triunghi oarecare a fabricat două triunghiuri dreptunghice, în care calculele devin imediate.

Să exersăm

Completează: Înălțimea unui triunghi pornește dintr-un ............ și cade ............ pe latura ............ .
Cum se numește punctul în care se întâlnesc cele trei înălțimi ale unui triunghi?
Câte înălțimi are un triunghi?
Adevărat sau fals: Înălțimea din vârful $A$ cade pe una dintre laturile care pleacă din $A$ .
Adevărat sau fals: Ortocentrul unui triunghi ascuțitunghic se află în interiorul triunghiului.
Încercuiește varianta corectă. Ortocentrul unui triunghi dreptunghic se află: a) în interior; b) în exterior; c) în vârful unghiului drept.
În triunghiul $R S T$ , pe ce latură cade înălțimea dusă din vârful $S$ ?
Potrivește fiecare tip de triunghi cu poziția ortocentrului: a) ascuțitunghic — b) dreptunghic — c) obtuzunghic (I) în exterior — (II) în interior — (III) în vârful unghiului drept.
Desenează un triunghi ascuțitunghic și construiește cele trei înălțimi cu echerul. Marchează ortocentrul cu litera $H$ .
Desenează un triunghi obtuzunghic și arată, prelungind laturile, că ortocentrul cade în exterior.
Cu ce simbol notăm înălțimea corespunzătoare laturii $a$ (latura opusă vârfului $A$ )?
În triunghiul $A B C$ , înălțimea $A D$ cade pe $B C$ . Cât măsoară unghiul $A D C$ ?
În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $C$ , care două laturi sunt, în același timp, și înălțimi?
Adevărat sau fals: La triunghiul echilateral, ortocentrul coincide cu centrul de greutate.
Mică problemă. În triunghiul $A B C$ , înălțimea din $A$ cade pe $B C$ în $D$ . Știm că $C = 50°$ . Calculează $D A C$ în triunghiul dreptunghic $A D C$ .
Mică problemă. Un triunghi are unghiurile de $40°$ , $60°$ și $80°$ . Este ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic? Unde se află ortocentrul lui?
Mică problemă. Un triunghi are un unghi de $110°$ . Unde se află ortocentrul lui și de ce trebuie să prelungim laturile?
Completează: Pentru a găsi ortocentrul este suficient să construiești ............ înălțimi, fiindcă a ............ trece automat prin punctul lor de intersecție.
Mică problemă. În triunghiul $A B C$ , înălțimea din $A$ cade pe $B C$ în $D$ . În triunghiul dreptunghic $A B D$ se cunoaște $B A D = 28°$ . Cât măsoară unghiul $B$ ?
Adevărat sau fals: A treia înălțime a unui triunghi poate să nu treacă prin ortocentru dacă triunghiul este obtuzunghic.
Mică problemă. În triunghiul $A B C$ , înălțimea din $A$ cade pe $B C$ în $D$ . Se cunosc $B = 55°$ și $C = 70°$ . Calculează $B A D$ și $C A D$ , apoi află $A$ .
Un triunghi are unghiurile de $30°$ , $60°$ și $90°$ . Ce fel de triunghi este și unde se află ortocentrul lui?
Adevărat sau fals: Cuvântul „ortocentru" se leagă de grecescul „orto", care înseamnă „perpendicular".
Completează: La triunghiul echilateral, înălțimea dintr-un vârf este, în același timp, și ............ , și ............ , și ............ ale laturii opuse.

Răspunsuri și explicații

dintr-un vârf; cade perpendicular (în unghi drept); pe latura opusă. Aceasta este chiar definiția înălțimii.
Ortocentrul (notat de obicei $H$ ).
Trei înălțimi — câte una din fiecare vârf.
Fals. Înălțimea din $A$ cade pe latura opusă lui $A$ (adică $B C$ ), nu pe o latură care pleacă din $A$ .
Adevărat. La triunghiul ascuțitunghic ortocentrul este mereu în interior.
c) în vârful unghiului drept. Catetele sunt perpendiculare, deci sunt ele însele înălțimi, iar ele se întâlnesc în vârful unghiului drept.
Pe latura opusă lui $S$ , adică pe latura $R T$ .
a) — (II) interior; b) — (III) în vârful unghiului drept; c) — (I) exterior.
Verificare prin desen: cele trei înălțimi trebuie să se întâlnească într-un singur punct $H$ , situat în interiorul triunghiului. Dacă nu se întâlnesc fix, reia construcția mai atent cu echerul.
Verificare prin desen: două dintre picioarele înălțimilor cad pe prelungirile laturilor, iar dreptele-suport ale înălțimilor se întâlnesc într-un punct $H$ aflat în exteriorul triunghiului, de partea unghiului obtuz.
Cu simbolul $h_{a}$ .
$A D C = 90°$ , pentru că $A D$ este înălțime, deci este perpendiculară pe $B C$ .
Catetele: laturile $C A$ și $C B$ (cele care formează unghiul drept din $C$ ). Fiecare este înălțimea corespunzătoare celeilalte.
Adevărat. La triunghiul echilateral ortocentrul, centrul de greutate, incentrul și circumcentrul coincid.
În triunghiul $A D C$ avem $A D C = 90°$ și $C = 50°$ . Suma unghiurilor este $180°$ , deci $D A C = 180° - 90° - 50° = 40°$ .
Toate unghiurile ( $40°, 60°, 80°$ ) sunt mai mici de $90°$ , deci triunghiul este ascuțitunghic. Verificare a sumei: $40° + 60° + 80° = 180°$ . Ortocentrul se află în interiorul triunghiului.
Unghiul de $110°$ este obtuz (mai mare de $90°$ ), deci triunghiul este obtuzunghic, iar ortocentrul se află în exterior. Prelungim laturile pentru că picioarele a două dintre înălțimi cad pe dreptele care conțin laturile, în afara segmentelor-laturi propriu-zise.
două înălțimi; a treia trece automat prin punctul lor de intersecție.
În triunghiul $A B D$ avem $A D B = 90°$ (fiindcă $A D$ e înălțime) și $B A D = 28°$ . Atunci $B = 180° - 90° - 28° = 62°$ .
Fals. Teorema de concurență este valabilă pentru orice triunghi, inclusiv pentru cel obtuzunghic. Toate trei dreptele-suport ale înălțimilor trec prin ortocentru; doar că la triunghiul obtuzunghic acel punct se află în exteriorul triunghiului.
Înălțimea $A D$ creează două triunghiuri dreptunghice în $D$ . În $A B D$ : $B A D = 180° - 90° - 55° = 35°$ . În $A C D$ : $C A D = 180° - 90° - 70° = 20°$ . Atunci $A = 35° + 20° = 55°$ . Verificare: $55° + 55° + 70° = 180°$ . ✓
Are un unghi de exact $90°$ , deci este un triunghi dreptunghic. Ortocentrul lui se află în vârful unghiului drept (vârful unghiului de $90°$ ).
Adevărat. „Orto" înseamnă în greacă „drept, perpendicular", la fel ca în „ortogonal"; ortocentrul este „centrul perpendicularelor".
și bisectoare, și mediană, și mediatoare ale laturii opuse (de aceea, la echilateral, toate punctele de concurență coincid).

De reținut

Înălțimea unui triunghi pleacă dintr-un vârf și cade perpendicular pe dreapta laturii opuse; piciorul ei e punctul de contact.
Un triunghi are trei înălțimi, notate $h_{a}$ , $h_{b}$ , $h_{c}$ .
Cele trei înălțimi sunt concurente; punctul lor comun se numește ortocentru ( $H$ ).
Poziția ortocentrului: interior la ascuțitunghic, în vârful unghiului drept la dreptunghic, exterior la obtuzunghic.
Pentru a-l găsi, e suficient să construiești două înălțimi; a treia confirmă.

Greșeli frecvente

„Înălțimea cade pe o latură care pleacă din vârf." Nu! Ea cade mereu pe latura opusă. Întreabă-te de fiecare dată: „care e latura din partea cealaltă a vârfului?"
Confuzia înălțime–mediană–bisectoare. Înălțimea formează unghi de $90°$ cu latura opusă (nu o înjumătățește neapărat și nu împarte unghiul în două). Mediana ajunge la mijlocul laturii, bisectoarea împarte unghiul. La triunghiul oarecare sunt segmente diferite.
Uiți să prelungești laturile la triunghiul obtuzunghic. Acolo unele picioare de înălțime sunt în afara laturii; folosește dreapta laturii, nu doar segmentul.
Crezi că ortocentrul e mereu înăuntru. Doar la ascuțitunghic. La dreptunghic e într-un vârf, la obtuzunghic e afară.

Joc acasă

1. Firul cu plumb. Leagă o piuliță (sau o gumă de șters) de o ață. Desenează un triunghi mare pe o foaie lipită vertical pe perete. Ține ața din fiecare vârf astfel încât firul să fie perpendicular pe latura opusă, marcată orizontal — observi cum „înălțimea" naturală cade exact perpendicular, exact ca în desen.

2. Trei triunghiuri, trei ortocentre. Pe trei foi diferite desenează un triunghi ascuțitunghic, unul dreptunghic și unul obtuzunghic. Construiește la fiecare cele trei înălțimi cu echerul și marchează ortocentrul cu $H$ . Pune foile una lângă alta: vei vedea ortocentrul „călătorind" din interior, în vârf, apoi în exterior.

3. Detectivul de triunghiuri. Roagă un membru al familiei să-ți deseneze un triunghi fără să-ți spună ce fel e. Construiește două înălțimi, găsește ortocentrul și ghicește tipul triunghiului doar după unde a căzut $H$ . Apoi verificați împreună măsurând unghiurile cu raportorul.

Pentru părinți și învățători

Această lecție încheie trio-ul „bisectoare–mediatoare–înălțime" și consolidează ideea de punct de concurență. Cel mai util sprijin pe care îl puteți oferi este construcția corectă cu echerul: multe greșeli vin din perpendiculare trasate „din ochi". Verificați împreună că muchia echerului stă fix pe latură înainte de a trasa.

Întrebări bune de pus copilului:

„Pe care latură cade înălțimea din acest vârf? De ce nu pe cealaltă?" (testează ideea de latură opusă)
„Fără să mai desenezi a treia înălțime, unde va trece ea?" (testează înțelegerea concurenței)
„Dacă ortocentrul a ieșit afară, ce fel de triunghi avem?" (testează legătura formă–poziție)

Verificați înțelegerea cerând copilului să prezică poziția ortocentrului înainte de a o construi, doar privind unghiurile. Dacă reușește să anticipeze corect în cele trei cazuri (ascuțit, drept, obtuz), a stăpânit esența lecției. Evitați să dați răspunsul direct la triunghiul obtuzunghic — lăsați-l să descopere singur că trebuie prelungite laturile; este momentul „aha" al lecției.

Întrebări frecvente

Ce este înălțimea unui triunghi? Este segmentul care pleacă dintr-un vârf și cade perpendicular (în unghi de 90°) pe dreapta laturii opuse. Punctul în care atinge latura se numește piciorul înălțimii. Un triunghi are trei astfel de înălțimi.

Ce este ortocentrul? Ortocentrul este punctul în care se întâlnesc cele trei înălțimi ale unui triunghi. Se notează de obicei cu $H$ . Numele vine din grecescul „orto", care înseamnă „perpendicular".

Unde se află ortocentrul unui triunghi? Depinde de tipul triunghiului: în interior la cel ascuțitunghic, exact în vârful unghiului drept la cel dreptunghic și în exterior la cel obtuzunghic.

De ce ortocentrul triunghiului dreptunghic este în vârful unghiului drept? Pentru că cele două catete sunt perpendiculare una pe alta, deci ele sunt chiar înălțimi ale triunghiului. Aceste înălțimi se întâlnesc în vârful unghiului drept, care devine astfel ortocentru.

Câte înălțimi are un triunghi? Exact trei, câte una pornind din fiecare vârf. Toate trei sunt concurente, adică trec prin același punct, ortocentrul.

Care e diferența dintre înălțime, mediană și bisectoare? Înălțimea cade perpendicular pe latura opusă, mediana ajunge la mijlocul laturii opuse, iar bisectoarea împarte unghiul din vârf în două unghiuri egale. La un triunghi oarecare ele sunt trei segmente diferite; coincid doar în cazuri speciale (de exemplu, la triunghiul echilateral).

De ce uneori trebuie să prelungesc laturile pentru a desena înălțimea? La triunghiurile obtuzunghice, piciorul unor înălțimi cade în afara segmentului-latură. De aceea, în definiție vorbim despre „dreapta" laturii opuse, nu doar despre latură: prelungim latura cu linie întreruptă și coborâm perpendiculara pe această dreaptă.

Poate o înălțime să coincidă cu o latură a triunghiului? Da, dar numai la triunghiul dreptunghic. Acolo cele două catete sunt perpendiculare una pe alta, așa că fiecare catetă este chiar înălțimea corespunzătoare celeilalte. La un triunghi ascuțitunghic sau obtuzunghic, înălțimile sunt segmente diferite de laturi (la cel obtuzunghic, două dintre ele cad chiar pe prelungirile laturilor).

Trebuie să demonstrez concurența înălțimilor în clasa a VI-a? Nu. În clasa a VI-a accepți concurența înălțimilor ca o teoremă fără demonstrație, verificată prin construcție. Demonstrația riguroasă se face mai târziu, în clasele mai mari.