Cum aflu distanța de la un punct la o dreaptă?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Distanța de la punct la dreaptă

Cobori din punct perpendiculara pe dreaptă și măsori segmentul obținut, de la punct până la locul unde perpendiculara atinge dreapta. Lungimea lui este distanța căutată. Orice alt segment dus spre dreaptă iese mai lung, așa că măsura corectă este mereu cea mai scurtă. Dacă perpendiculara are $7$ cm, iar un segment oblic are $10$ cm, distanța rămâne $7$ cm. Când punctul se află chiar pe dreaptă, distanța este $0$ .

Pentru un punct $A$ care nu se află pe o dreaptă $d$ , se poate duce o singură perpendiculară din $A$ pe $d$ . Punctul în care perpendiculara întâlnește dreapta se numește piciorul perpendicularei (notat de obicei $B$ ), iar acolo se marchează pătrățelul unghiului drept. Distanța de la punctul $A$ la dreapta $d$ este, prin definiție, lungimea acestui segment perpendicular: $dist (A, d) = A B$ .

Orice alt segment dus din $A$ până la $d$ , care nu este perpendicular, se numește oblică. Proprietate fundamentală: perpendiculara este întotdeauna cel mai scurt segment dintre $A$ și dreapta $d$ , deci pentru orice oblică $A C$ avem $A B < A C$ .

Exemplu. Dacă $A B = 7$ cm (perpendiculară) și $A C = 10$ cm (oblică), atunci $dist (A, d) = A B = 7$ cm, nu $A C$ .

De reținut

distanța = lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă
perpendiculara este mai scurtă decât orice oblică dusă din același punct
dintr-un punct exterior se duce o singură perpendiculară pe o dreaptă

Greșeala tipică

Se măsoară cu rigla segmentul care arată cel mai comod în desen, deși acela este oblic; distanța se citește numai pe segmentul care face unghi drept cu dreapta, marcat cu pătrățel în figură.

Exerciții din această mini-lecție

Din punctul $R$ se duc pe dreapta $t$ trei segmente: $R S = 6$ cm (perpendicular pe $t$ , cu pătrățel de unghi drept în $S$ ), $R U = 8$ cm și $R V = 9$ cm (ambele oblice). Care segment reprezintă distanța de la $R$ la dreapta $t$ ?
- a) $R S = 6$ cm
- b) $R U = 8$ cm
- c) $R V = 9$ cm
- d) Suma $R S + R U + R V$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $R S = 6$ cm

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, nu a unei oblice. Singurul segment perpendicular pe $t$ este $R S$ (are pătrățelul de unghi drept în picior), deci $dist (R, t) = R S = 6$ cm. Observă și că $6 < 8 < 9$ , confirmând că perpendiculara este cea mai scurtă.
Pe dreapta $n$ , în această ordine, se află punctele $B$ , $C$ , $E$ , unde $B$ este piciorul perpendicularei duse dintr-un punct $A$ . Se știe că $B C = 3$ cm și $C E = 4$ cm. Care este ordinea corectă (crescătoare) a lungimilor $A B$ , $A C$ , $A E$ ?
- a) $A E < A C < A B$
- b) $A B < A C < A E$
- c) $A C < A B < A E$
- d) Toate trei sunt egale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A B < A C < A E$

$B$ este piciorul perpendicularei, deci $A B$ este cel mai mic (perpendiculara e cea mai scurtă). Punctul $C$ este la $3$ cm de $B$ , iar $E$ este la $B C + C E = 3 + 4 = 7$ cm de $B$ , deci $E$ este mai departe de $B$ decât $C$ . Cu cât piciorul oblicii se depărtează de $B$ , cu atât oblica e mai lungă, deci $A C < A E$ . Ordinea crescătoare este $A B < A C < A E$ .
Din punctul $P$ se duc pe dreapta $s$ trei segmente: $P Q = 5$ cm (perpendicular pe $s$ , cu pătrățel de unghi drept în $Q$ ), $P R = 7$ cm și $P T = 9$ cm (ambele oblice). Care segment reprezintă distanța de la $P$ la dreapta $s$ ?
- a) $P Q = 5$ cm
- b) $P R = 7$ cm
- c) $P T = 9$ cm
- d) Suma $P Q + P R + P T$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $P Q = 5$ cm

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, nu a unei oblice. Singurul segment perpendicular pe $s$ este $P Q$ (are pătrățelul de unghi drept în picior), deci $dist (P, s) = P Q = 5$ cm. Observă și că $5 < 7 < 9$ , confirmând că perpendiculara este cea mai scurtă.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu lungimea unei oblice când piciorul ei se depărtează?

Oblica se lungește. Cu cât punctul de pe dreaptă se îndepărtează de piciorul perpendicularei, cu atât segmentul care îl leagă de punctul exterior crește. De aceea perpendiculara, care are piciorul chiar în locul cel mai apropiat, rămâne cel mai scurt drum posibil.

Cum se notează distanța de la un punct la o dreaptă?

Se scrie prescurtat $dist (A, d)$ sau, mai simplu, prin lungimea segmentului perpendicular, de exemplu $A B$ , unde $B$ este punctul de pe dreaptă. În figură se marchează pătrățelul unghiului drept, ca să se vadă că segmentul chiar este perpendicular.

Unde folosesc distanța de la un punct la o dreaptă în calculul ariei?

O folosești la înălțimea unui triunghi sau a unui paralelogram: înălțimea este chiar distanța de la un vârf la dreapta care conține latura opusă. Fără această distanță formula ariei nu se poate aplica, iar un segment oblic ar da un rezultat prea mare.

Ce este distanța dintre două drepte paralele?

Este lungimea unui segment perpendicular dus de la o dreaptă la cealaltă. Fiindcă paralelele păstrează mereu aceeași depărtare, valoarea nu depinde de punctul ales: oriunde ai duce perpendiculara, obții aceeași măsură, iar aceasta se numește distanța dintre cele două drepte.

Cum măsor distanța până la o dreaptă pe caietul cu pătrățele?

Dacă dreapta merge chiar pe o linie a caietului, numeri pătrățelele pe direcția perpendiculară pe ea. La o dreaptă înclinată numărătoarea nu mai ajunge: acolo se construiește perpendiculara cu echerul și abia apoi se măsoară cu rigla.

Ce înseamnă că un punct este egal depărtat de două drepte?

Înseamnă că perpendicularele duse din el pe fiecare dreaptă au aceeași lungime. Punctele cu această proprietate se așază pe bisectoarea unghiului format de cele două drepte, iar proprietatea se folosește des în problemele despre cercul înscris în triunghi.

Oamenii mai întreabă și: distanța de la un punct la o dreaptă · cea mai scurtă distanță până la o dreaptă · perpendiculara dusă dintr-un punct pe o dreaptă · cum se măsoară distanța până la o dreaptă