Acasă · Clasa a VIII-a · Lecții · Ecuația completă ax² + bx + c = 0. Rezolvare prin descompunere în factori

Ecuația completă ax² + bx + c = 0. Rezolvare prin descompunere în factori

Imaginează-ți că un dezvoltator de aplicații vrea ca o grădină rectangulară dintr-un joc să aibă lungimea cu 3 metri mai mare decât lățimea și aria exact de 40 de metri pătrați. Ca să afle dimensiunile, el ajunge la ecuația $x^{2} + 3 x - 40 = 0$ — o ecuație de gradul al doilea completă, în care apar toți cei trei termeni: cel cu $x^{2}$ , cel cu $x$ și termenul liber. În lecția de față vei învăța cum se rezolvă astfel de ecuații la clasa a VIII-a: nu cu formule complicate de liceu, ci descompunând membrul stâng în factori și folosind principiul produsului nul, un instrument pe care îl ai deja în mâini din lecțiile anterioare.

Această lecție este piesa care leagă tot ce ai învățat despre calcul algebric — formule de calcul prescurtat, descompuneri în factori, produs nul — într-o singură tehnică puternică, exact pe stilul cerut la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști pătratele perfecte de forma $x^{2} \pm 2 a x + a^{2}$ și să rezolvi ecuația cu $(x \pm a)^{2} = 0$ .
Vei ști să descompui membrul stâng al ecuației $a x^{2} + b x + c = 0$ prin gruparea termenilor, ca să obții un produs de forma $(x + m) (x + n)$ .
Vei ști să aplici principiul produsului nul pe forma factorizată și să scrii corect soluțiile.
Vei ști să folosești formulele de calcul prescurtat pentru a factoriza rapid.
Vei ști să verifici dacă soluțiile găsite sunt corecte, înlocuindu-le în ecuația inițială, așa cum se cere pentru punctaj la examen.

Hai să descoperim împreună

1. De unde plecăm: forma generală și ce înseamnă „completă"

O ecuație de gradul al doilea are forma generală:

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0.$

Numerele $a$ , $b$ și $c$ se numesc coeficienți: $a$ este coeficientul lui $x^{2}$ , $b$ este coeficientul lui $x$ , iar $c$ se numește termen liber. Condiția $a \neq = 0$ este esențială — dacă $a$ ar fi $0$ , ecuația ar deveni de gradul I, nu de gradul al doilea.

Spunem că ecuația este completă atunci când toți cei trei coeficienți sunt nenuli: $a \neq = 0$ , $b \neq = 0$ și $c \neq = 0$ . De exemplu, $x^{2} + 7 x + 12 = 0$ este completă, pentru că are și termenul cu $x^{2}$ , și termenul cu $x$ , și termenul liber.

În lecțiile precedente ai rezolvat cazurile incomplete:

ecuațiile de forma $a x^{2} + b x = 0$ , prin scoaterea factorului comun (vezi lecția Ecuații de forma ax² + bx = 0. Rezolvare prin factor comun);
ecuațiile de forma $a x^{2} + c = 0$ și $a x^{2} - b^{2} = 0$ , folosind diferența de pătrate (vezi lecția Ecuații de forma ax² + c = 0 și ax² − b² = 0).

Acum atacăm cazul cel mai general. Vestea bună este că strategia rămâne aceeași: aducem ecuația la un produs de factori egal cu zero și folosim principiul produsului nul.

2. Cheia întregii lecții: principiul produsului nul

Reamintește-ți instrumentul-vedetă din lecția Ecuația de forma ax² + bx + c = 0. Principiul produsului nul:

Un produs de doi (sau mai mulți) factori este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero.

$P \cdot Q = 0 ⟺ P = 0 sau Q = 0.$

De aceea, dacă reușim să transformăm ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$ într-una de forma $(x + m) (x + n) = 0,$ atunci rezolvarea devine imediată: fie $x + m = 0$ , fie $x + n = 0$ , adică $x = - m$ sau $x = - n$ .

Toată dificultatea se mută, deci, într-o singură întrebare:

Cum descompun membrul stâng $a x^{2} + b x + c$ într-un produs de factori?

Vom folosi trei tehnici, învățate deja în unitatea de descompuneri: recunoașterea pătratului perfect, gruparea termenilor (metoda „spargerii" termenului din mijloc) și formulele de calcul prescurtat.

3. Prima tehnică: recunoașterea pătratului perfect

Din lecțiile despre formule de calcul prescurtat știi că:

$(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2}, (x - a)^{2} = x^{2} - 2 a x + a^{2} .$

Așadar, ori de câte ori membrul stâng al ecuației arată ca $x^{2} \pm 2 a x + a^{2}$ , el este chiar pătratul unei sume sau al unei diferențe.

Cum recunoști un pătrat perfect? Verifici trei lucruri:

Primul termen este un pătrat perfect (aici $x^{2}$ );
Ultimul termen este un pătrat perfect (aici $a^{2}$ , deci $c$ trebuie să fie pătratul unui număr);
Termenul din mijloc este exact dublul produsului bazelor: $2 \cdot x \cdot a = 2 a x$ .

Exemplu de descoperire. Fie ecuația $x^{2} + 6 x + 9 = 0$ .

Primul termen: $x^{2} = (x)^{2}$ . ✓
Ultimul termen: $9 = 3^{2}$ . ✓
Termenul din mijloc: $2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ . ✓ Se potrivește!

Prin urmare, $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ , iar ecuația devine $(x + 3)^{2} = 0.$ Un pătrat este zero doar când baza lui este zero, deci $x + 3 = 0$ , de unde $x = - 3$ .

Observă ceva important: ecuația are o singură soluție, $x = - 3$ . Spunem că este o soluție dublă, pentru că provine din factorul $(x + 3)$ luat de două ori. Nu te speria că „lipsește" a doua soluție — este perfect normal la pătratele perfecte.

4. A doua tehnică: gruparea termenilor (spargerea termenului din mijloc)

Aceasta este metoda cea mai folosită. Ideea de bază: spargem termenul din mijloc $b x$ în doi termeni, astfel încât apoi să putem grupa și scoate factor comun.

Pornim de la forma $x^{2} + b x + c = 0$ (cazul $a = 1$ ). Căutăm două numere $m$ și $n$ care îndeplinesc simultan:

suma lor este $b$ : $m + n = b$ ;
produsul lor este $c$ : $m \cdot n = c$ .

De ce funcționează? Pentru că, dacă desfacem produsul $(x + m) (x + n)$ , obținem: $(x + m) (x + n) = x^{2} + n x + m x + mn = x^{2} + (m + n) x + mn .$ Comparând cu $x^{2} + b x + c$ , vedem exact că $m + n = b$ și $mn = c$ . Deci găsirea celor două numere înseamnă găsirea factorilor!

Exemplu de descoperire. Fie $x^{2} + 7 x + 12 = 0$ . Căutăm $m$ și $n$ cu: $m + n = 7, m \cdot n = 12.$ Ne gândim la perechile de numere cu produsul $12$ : $(1, 12)$ , $(2, 6)$ , $(3, 4)$ . Care are suma $7$ ? Perechea $(3, 4)$ , pentru că $3 + 4 = 7$ și $3 \cdot 4 = 12$ . Deci $m = 3$ , $n = 4$ .

Acum spargem termenul din mijloc $7 x = 3 x + 4 x$ și grupăm: $x^{2} + 3 x + 4 x + 12 = 0.$ Grupăm primii doi termeni și ultimii doi: $scot x (x^{2} + 3 x) + scot 4 (4 x + 12) = 0,$ $x (x + 3) + 4 (x + 3) = 0.$ Observă că a apărut factorul comun $(x + 3)$ . Îl scoatem în față: $(x + 3) (x + 4) = 0.$ Aplicăm produsul nul: $x + 3 = 0$ sau $x + 4 = 0$ , deci $x = - 3$ sau $x = - 4$ .

Mulțimea soluțiilor este $S = {- 4, - 3}$ .

Un truc pentru semne. Când alegi $m$ și $n$ , uită-te la semnele lui $b$ și $c$ :

Dacă $c > 0$ , cele două numere au același semn (amândouă ca semnul lui $b$ ).
Dacă $c < 0$ , cele două numere au semne diferite (cel mai mare în valoare absolută are semnul lui $b$ ).

De exemplu, la $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : $c = 6 > 0$ și $b = - 5 < 0$ , deci ambele numere sunt negative. Căutăm $m \cdot n = 6$ și $m + n = - 5$ : sunt $- 2$ și $- 3$ . Deci $(x - 2) (x - 3) = 0$ , cu soluțiile $x = 2$ și $x = 3$ .

5. Când coeficientul lui x² nu este 1

Dacă $a \neq = 1$ (de exemplu $2 x^{2} + 7 x + 3 = 0$ ), metoda grupării se adaptează foarte simplu. Căutăm două numere $m$ și $n$ cu:

suma $m + n = b$ ;
produsul $m \cdot n = a \cdot c$ (atenție: produsul coeficientului lui $x^{2}$ cu termenul liber!).

Exemplu de descoperire. Fie $2 x^{2} + 7 x + 3 = 0$ . Aici $a = 2$ , $b = 7$ , $c = 3$ , deci $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ . Căutăm: $m + n = 7, m \cdot n = 6.$ Perechea potrivită este $(1, 6)$ : $1 + 6 = 7$ și $1 \cdot 6 = 6$ . Spargem $7 x = 6 x + x$ : $2 x^{2} + 6 x + x + 3 = 0.$ Grupăm: $2 x (x + 3) + 1 \cdot (x + 3) = 0,$ $(x + 3) (2 x + 1) = 0.$ Produs nul: $x + 3 = 0$ sau $2 x + 1 = 0$ , deci $x = - 3$ sau $x = - \frac{1}{2}$ .

Vezi cum, la $a \neq = 1$ , unul dintre factori nu mai este simplu $(x + n)$ , ci $(2 x + 1)$ — dar principiul produsului nul funcționează la fel de bine.

6. A treia tehnică: cu factor comun după grupare

Uneori toți coeficienții au un divizor comun. Atunci scoate mai întâi factorul comun numeric, ca să lucrezi cu numere mai mici.

Exemplu. $3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ . Toți coeficienții se împart la $3$ : $3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0.$ Cum $3 \neq = 0$ , împărțim (sau observăm că doar paranteza poate fi zero): $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ . Recunoaștem pătratul perfect $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ , deci $(x - 2)^{2} = 0$ și $x = 2$ (soluție dublă).

7. Verificarea soluțiilor — pasul care aduce punctaj

La Evaluarea Națională, verificarea nu este obligatorie ca redactare, dar este cel mai bun mod de a te asigura că nu ai greșit. Verifici înlocuind fiecare soluție în ecuația inițială și controlând că obții $0 = 0$ .

De exemplu, pentru $x = - 3$ în ecuația $2 x^{2} + 7 x + 3 = 0$ : $2 \cdot (- 3)^{2} + 7 \cdot (- 3) + 3 = 2 \cdot 9 - 21 + 3 = 18 - 21 + 3 = 0. ✓$ Pentru $x = - \frac{1}{2}$ : $2 \cdot (- \frac{1}{2})^{2} + 7 \cdot (- \frac{1}{2}) + 3 = 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{7}{2} + 3 = \frac{1}{2} - \frac{7}{2} + 3 = - 3 + 3 = 0. ✓$ Ambele verifică, deci soluțiile sunt corecte.

8. Algoritmul complet, pas cu pas

Reține această schemă — o vei aplica la orice ecuație completă:

Aduce ecuația la forma $a x^{2} + b x + c = 0$ (mută totul în stânga, ordonează descrescător după puteri).
Verifică dacă este pătrat perfect ( $x^{2} \pm 2 a x + a^{2}$ ). Dacă da, scrie direct $(x \pm a)^{2} = 0$ .
Dacă nu, sparge termenul din mijloc: caută $m$ și $n$ cu $m + n = b$ și $m \cdot n = a \cdot c$ .
Grupează termenii și scoate factorul comun, până obții un produs de forma $(\dots) (\dots) = 0$ .
Aplică produsul nul: egalează fiecare factor cu $0$ și rezolvă ecuațiile de gradul I obținute.
Verifică soluțiile în ecuația inițială și scrie mulțimea soluțiilor $S$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — pătrat perfect (sumă)

Rezolvă ecuația $x^{2} + 8 x + 16 = 0$ .

Verificăm dacă este pătrat perfect: $16 = 4^{2}$ și $2 \cdot x \cdot 4 = 8 x$ . ✓ Deci $x^{2} + 8 x + 16 = (x + 4)^{2} .$ Ecuația devine $(x + 4)^{2} = 0$ , deci $x + 4 = 0$ , adică $x = - 4$ (soluție dublă).

Verificare: $(- 4)^{2} + 8 \cdot (- 4) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0.$ ✓ $S = {- 4}$ .

Exemplul 2 — pătrat perfect (diferență)

Rezolvă ecuația $x^{2} - 12 x + 36 = 0$ .

Avem $36 = 6^{2}$ și $2 \cdot x \cdot 6 = 12 x$ , cu semnul minus în mijloc. Deci $x^{2} - 12 x + 36 = (x - 6)^{2} = 0 \Rightarrow x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6 .$

Verificare: $6^{2} - 12 \cdot 6 + 36 = 36 - 72 + 36 = 0.$ ✓ $S = {6}$ .

Exemplul 3 — grupare, $a = 1$ , două soluții

Rezolvă ecuația $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ .

Căutăm $m + n = - 7$ și $m \cdot n = 10$ . Cum $c = 10 > 0$ și $b = - 7 < 0$ , ambele numere sunt negative: $- 2$ și $- 5$ (căci $- 2 - 5 = - 7$ și $(- 2) (- 5) = 10$ ). Spargem: $x^{2} - 2 x - 5 x + 10 = 0,$ $x (x - 2) - 5 (x - 2) = 0,$ $(x - 2) (x - 5) = 0.$ Produs nul: $x = 2$ sau $x = 5$ .

Verificare: pentru $x = 2$ : $4 - 14 + 10 = 0$ ✓; pentru $x = 5$ : $25 - 35 + 10 = 0$ ✓. $S = {2, 5}$ .

Exemplul 4 — grupare cu termen liber negativ

Rezolvă ecuația $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ .

Aici $c = - 15 < 0$ , deci cele două numere au semne diferite. Căutăm $m + n = 2$ și $m \cdot n = - 15$ : perechea $5$ și $- 3$ (căci $5 + (- 3) = 2$ și $5 \cdot (- 3) = - 15$ ). Spargem: $x^{2} + 5 x - 3 x - 15 = 0,$ $x (x + 5) - 3 (x + 5) = 0,$ $(x + 5) (x - 3) = 0.$ Deci $x = - 5$ sau $x = 3$ .

Verificare: $x = - 5$ : $25 - 10 - 15 = 0$ ✓; $x = 3$ : $9 + 6 - 15 = 0$ ✓. $S = {- 5, 3}$ .

Exemplul 5 — coeficient $a \neq = 1$

Rezolvă ecuația $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ .

Avem $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ . Căutăm $m + n = - 7$ și $m \cdot n = 6$ : numerele $- 6$ și $- 1$ . Spargem $- 7 x = - 6 x - x$ : $3 x^{2} - 6 x - x + 2 = 0,$ $3 x (x - 2) - 1 \cdot (x - 2) = 0,$ $(x - 2) (3 x - 1) = 0.$ Produs nul: $x - 2 = 0$ sau $3 x - 1 = 0$ , deci $x = 2$ sau $x = \frac{1}{3}$ .

Verificare: $x = 2$ : $3 \cdot 4 - 14 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0$ ✓; $x = \frac{1}{3}$ : $3 \cdot \frac{1}{9} - 7 \cdot \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} - \frac{7}{3} + 2 = - 2 + 2 = 0$ ✓. $S = {\frac{1}{3}, 2}$ .

Exemplul 6 — problemă aplicată (arie)

Un dreptunghi are lungimea cu 3 m mai mare decât lățimea, iar aria de 40 m². Află dimensiunile.

Notăm lățimea cu $x$ (metri, $x > 0$ ). Atunci lungimea este $x + 3$ , iar aria $x (x + 3) = 40$ : $x^{2} + 3 x = 40 \Rightarrow x^{2} + 3 x - 40 = 0.$ Căutăm $m + n = 3$ , $m \cdot n = - 40$ : numerele $8$ și $- 5$ . Deci $(x + 8) (x - 5) = 0 \Rightarrow x = - 8 sau x = 5.$ Cum lățimea este pozitivă, păstrăm doar $x = 5$ . Atunci lățimea este 5 m, iar lungimea 8 m.

Verificare: aria $= 5 \cdot 8 = 40$ m². ✓

Să exersăm

Rezolvă în mulțimea numerelor reale, prin descompunere în factori. La ecuațiile de tip examen, redactează îngrijit fiecare pas.

1. $x^{2} + 10 x + 25 = 0$

2. $x^{2} - 14 x + 49 = 0$

3. $x^{2} + 5 x + 6 = 0$

4. $x^{2} - 9 x + 20 = 0$

5. $x^{2} - x - 12 = 0$

6. $x^{2} + 11 x + 24 = 0$

7. $x^{2} - 2 x - 8 = 0$

8. $x^{2} - 6 x + 9 = 0$

9. $2 x^{2} + 5 x + 2 = 0$

10. $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$

11. $3 x^{2} + 12 x + 12 = 0$ (indicație: scoate mai întâi factorul comun numeric)

12. $4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

13. Adevărat sau fals, cu justificare: „Ecuația $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ are două soluții reale distincte."

14. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă $(x - 2) (x + 5) = 0$ , atunci $x = 2$ sau $x = - 5$ ."

15. Suma a două numere naturale este $9$ , iar produsul lor este $20$ . Află cele două numere, folosind o ecuație de gradul al doilea.

16. Determină numerele reale pentru care $x^{2} - 4 x - 21 = 0$ . (item tip Evaluare Națională: a) descompune membrul stâng în factori; b) rezolvă ecuația; c) verifică soluțiile)

17. Un teren dreptunghiular are lungimea cu 2 m mai mare decât lățimea, iar aria de 48 m². Află dimensiunile terenului.

18. Rezolvă ecuația $2 (x^{2} + 1) = 3 x + 4$ . (indicație: adu mai întâi la forma $a x^{2} + b x + c = 0$ )

Răspunsuri și explicații

1. Pătrat perfect: $25 = 5^{2}$ , $2 \cdot x \cdot 5 = 10 x$ . $(x + 5)^{2} = 0 \Rightarrow x = - 5$ . $S = {- 5}$ .

2. $49 = 7^{2}$ , $2 \cdot x \cdot 7 = 14 x$ . $(x - 7)^{2} = 0 \Rightarrow x = 7$ . $S = {7}$ .

3. $m + n = 5$ , $m \cdot n = 6 \Rightarrow 2$ și $3$ . $(x + 2) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = - 2$ sau $x = - 3$ . $S = {- 3, - 2}$ .

4. $m + n = - 9$ , $m \cdot n = 20 \Rightarrow - 4$ și $- 5$ . $(x - 4) (x - 5) = 0 \Rightarrow x = 4$ sau $x = 5$ . $S = {4, 5}$ .

5. $m + n = - 1$ , $m \cdot n = - 12 \Rightarrow - 4$ și $3$ . $(x - 4) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = 4$ sau $x = - 3$ . $S = {- 3, 4}$ .

6. $m + n = 11$ , $m \cdot n = 24 \Rightarrow 3$ și $8$ . $(x + 3) (x + 8) = 0 \Rightarrow x = - 3$ sau $x = - 8$ . $S = {- 8, - 3}$ .

7. $m + n = - 2$ , $m \cdot n = - 8 \Rightarrow - 4$ și $2$ . $(x - 4) (x + 2) = 0 \Rightarrow x = 4$ sau $x = - 2$ . $S = {- 2, 4}$ .

8. Pătrat perfect: $(x - 3)^{2} = 0 \Rightarrow x = 3$ (soluție dublă). $S = {3}$ .

9. $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ ; $m + n = 5$ , $m \cdot n = 4 \Rightarrow 4$ și $1$ . $2 x^{2} + 4 x + x + 2 = 2 x (x + 2) + (x + 2) = (x + 2) (2 x + 1) = 0 \Rightarrow x = - 2$ sau $x = - \frac{1}{2}$ . Verificare $x = - \frac{1}{2}$ : $2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 2 = 0$ ✓. $S = {- 2, - \frac{1}{2}}$ .

10. $a \cdot c = 2 \cdot (- 2) = - 4$ ; $m + n = - 3$ , $m \cdot n = - 4 \Rightarrow - 4$ și $1$ . $2 x^{2} - 4 x + x - 2 = 2 x (x - 2) + (x - 2) = (x - 2) (2 x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2$ sau $x = - \frac{1}{2}$ . $S = {- \frac{1}{2}, 2}$ .

11. $3 x^{2} + 12 x + 12 = 3 (x^{2} + 4 x + 4) = 3 (x + 2)^{2} = 0 \Rightarrow (x + 2)^{2} = 0 \Rightarrow x = - 2$ . $S = {- 2}$ .

12. Pătrat perfect: $4 x^{2} = (2 x)^{2}$ , $9 = 3^{2}$ , $2 \cdot 2 x \cdot 3 = 12 x$ . $(2 x - 3)^{2} = 0 \Rightarrow 2 x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ . Verificare: $4 \cdot \frac{9}{4} - 12 \cdot \frac{3}{2} + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$ ✓. $S = {\frac{3}{2}}$ .

13. Fals. $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2} = 0$ are o singură soluție reală, $x = 3$ (soluție dublă), nu două distincte.

14. Adevărat. Conform principiului produsului nul, un produs este zero doar dacă un factor este zero: $x - 2 = 0$ (deci $x = 2$ ) sau $x + 5 = 0$ (deci $x = - 5$ ).

15. Fie numerele $x$ și $9 - x$ . Din $x (9 - x) = 20$ obținem $9 x - x^{2} = 20$ , adică $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ . Descompunem: $(x - 4) (x - 5) = 0 \Rightarrow x = 4$ sau $x = 5$ . În ambele cazuri, numerele sunt 4 și 5 ( $4 + 5 = 9$ , $4 \cdot 5 = 20$ ). ✓

16. a) $m + n = - 4$ , $m \cdot n = - 21 \Rightarrow - 7$ și $3$ , deci $x^{2} - 4 x - 21 = (x - 7) (x + 3)$ . b) $(x - 7) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = 7$ sau $x = - 3$ . c) Verificare: $7^{2} - 4 \cdot 7 - 21 = 49 - 28 - 21 = 0$ ✓; $(- 3)^{2} - 4 \cdot (- 3) - 21 = 9 + 12 - 21 = 0$ ✓. $S = {- 3, 7}$ .

17. Lățime $x > 0$ , lungime $x + 2$ . Din $x (x + 2) = 48$ : $x^{2} + 2 x - 48 = 0$ . $m + n = 2$ , $m \cdot n = - 48 \Rightarrow 8$ și $- 6$ . $(x + 8) (x - 6) = 0 \Rightarrow x = - 8$ (respins) sau $x = 6$ . Lățimea 6 m, lungimea 8 m (arie $6 \cdot 8 = 48$ m² ✓).

18. $2 x^{2} + 2 = 3 x + 4 \Rightarrow 2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ . La fel ca la exercițiul 10: $(x - 2) (2 x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2$ sau $x = - \frac{1}{2}$ . $S = {- \frac{1}{2}, 2}$ .

De reținut

Forma generală a ecuației de gradul al doilea este $a x^{2} + b x + c = 0$ , cu $a \neq = 0$ ; este completă când $b \neq = 0$ și $c \neq = 0$ .
Strategia: descompui membrul stâng într-un produs de factori, apoi aplici produsul nul — $P \cdot Q = 0 ⟺ P = 0$ sau $Q = 0$ .
Pătrat perfect: dacă $c = a^{2}$ și termenul din mijloc este $\pm 2 a x$ , atunci $x^{2} \pm 2 a x + a^{2} = (x \pm a)^{2}$ , iar ecuația are o soluție dublă.
Gruparea (spargerea termenului din mijloc): caută $m$ și $n$ cu $m + n = b$ și $m \cdot n = a \cdot c$ , sparge $b x$ și scoate factorul comun.
Verifică întotdeauna soluțiile înlocuindu-le în ecuația inițială — este pasul care îți confirmă răspunsul la examen.

Greșeli frecvente

Confuzia dintre sumă și produs la alegerea numerelor. Numerele $m$ și $n$ trebuie să dea în același timp suma $b$ și produsul $a \cdot c$ ; nu te opri când găsești doar suma sau doar produsul. Verifică mereu ambele condiții.
Uitarea coeficientului $a$ la produs. Când $a \neq = 1$ , produsul căutat este $a \cdot c$ , nu doar $c$ . La $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ produsul este $6$ , nu $2$ .
„Pierderea" soluției duble. La un pătrat perfect precum $(x - 3)^{2} = 0$ nu greși scriind două soluții diferite — există o singură soluție reală, $x = 3$ .
Semne greșite la trecerea de la factor la soluție. Din $x + 5 = 0$ rezultă $x = - 5$ (schimbi semnul), iar din $x - 5 = 0$ rezultă $x = 5$ . Verifică prin înlocuire dacă ai dubii.

Aplică acasă

Grădina de acasă. Măsoară (aproximativ) o suprafață dreptunghiulară din curte sau balcon. Inventează o problemă în stilul „lungimea este cu $k$ metri mai mare decât lățimea, iar aria este $S$ " și scrie ecuația $x^{2} + k x - S = 0$ . Rezolv-o prin descompunere și compară dimensiunea găsită cu realitatea.
Fabrica de ecuații. Alege tu două numere întregi care să fie soluțiile, de exemplu $- 2$ și $7$ . Formează produsul $(x + 2) (x - 7)$ , desfă-l și obții o ecuație $x^{2} + b x + c = 0$ . Dă-i-o unui coleg sau unui părinte să o rezolve — apoi verifică dacă a găsit exact numerele tale de pornire. Este cel mai bun antrenament pentru „spargerea termenului din mijloc".
Numerele fraților. Găsește două numere naturale consecutive al căror produs este $56$ (adică $x (x + 1) = 56$ ). Scrie ecuația, rezolv-o și verifică. Repetă cu alt produs (de exemplu $132$ ) și observă cât de repede recunoști factorii.

Pentru părinți și profesori

Această lecție reunește tot lanțul de calcul algebric din clasa a VIII-a: formule de calcul prescurtat, descompuneri în factori și principiul produsului nul. La Evaluarea Națională, ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$ apare frecvent, atât ca subiect de sine stătător (subiectul al II-lea sau al III-lea), cât și „ascunsă" în probleme de arii, de numere sau în rezolvarea unor ecuații cu fracții algebrice.

Cum sprijiniți elevul:

Cereți-i să spună cu voce tare cele două condiții pentru $m$ și $n$ (suma și produsul) înainte de a scrie ceva — aici se pierd cele mai multe puncte.
Insistați pe verificarea prin înlocuire: dacă rezultatul nu dă $0 = 0$ , soluția e greșită, iar elevul învață să se autocorecteze.
Verificați redactarea: la examen se punctează pașii intermediari (descompunerea, produsul nul, fiecare soluție), nu doar răspunsul final.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

„De ce ecuația $(x - 4)^{2} = 0$ are o singură soluție?"
„Ce numere cauți dacă coeficientul lui $x^{2}$ este $2$ ?" (răspuns corect: cu produsul $2 \cdot c$ , nu doar $c$ ).
„Cum știi, doar din semnul termenului liber, dacă cele două numere au același semn sau semne diferite?"

Dacă elevul răspunde corect la aceste trei întrebări și verifică singur soluțiile, a înțeles esența lecției.

Întrebări frecvente

Cum rezolv ecuația ax² + bx + c = 0 la clasa a 8-a, fără discriminant? La gimnaziu nu se folosește formula discriminantului (aceea este de clasa a IX-a). Rezolvi descompunând membrul stâng în factori — prin pătrat perfect sau prin gruparea termenilor — și apoi aplici principiul produsului nul, egalând fiecare factor cu zero.

Ce înseamnă „spargerea termenului din mijloc"? Înseamnă să scrii termenul $b x$ ca sumă a doi termeni, $m x + n x$ , unde $m + n = b$ și $m \cdot n = a \cdot c$ . Astfel obții patru termeni pe care îi poți grupa doi câte doi și din care scoți un factor comun.

Câte soluții poate avea o ecuație de gradul al doilea? Prin descompunere poți obține două soluții reale distincte (cazul $(x + m) (x + n) = 0$ cu $m \neq = n$ ), o singură soluție reală (soluție dublă, la pătrat perfect) sau, în unele cazuri, niciuna reală — dar la clasa a VIII-a ecuațiile propuse se descompun întotdeauna, deci vei găsi soluțiile căutate.

Ce fac dacă nu găsesc două numere cu suma b și produsul a·c? Verifică întâi semnele (dacă termenul liber e negativ, numerele au semne diferite). Dacă tot nu găsești numere întregi, e posibil ca ecuația să nu se descompună „frumos" — la nivelul clasei a VIII-a, exercițiile de manual și de examen sunt construite să se descompună, deci recitește coeficienții, poate ai o greșeală de semn.

De ce trebuie să aduc toți termenii în stânga înainte de a rezolva? Principiul produsului nul funcționează doar când produsul este egal cu zero. De aceea, orice ecuație (de exemplu $2 (x^{2} + 1) = 3 x + 4$ ) se aduce mai întâi la forma $a x^{2} + b x + c = 0$ , cu zero în membrul drept, și abia apoi se descompune.

Care e diferența dintre ecuația completă și cele incomplete? Ecuația este completă când are toți cei trei termeni ( $a x^{2}$ , $b x$ și $c$ ). Dacă lipsește termenul liber ( $a x^{2} + b x = 0$ ) sau cel din mijloc ( $a x^{2} + c = 0$ ), ecuația este incompletă și se rezolvă mai simplu, cu factor comun sau cu diferență de pătrate — subiectul lecțiilor anterioare.

Trebuie neapărat să verific soluțiile la examen? Verificarea nu este cerută explicit pentru punctaj, dar este puternic recomandată: îți confirmă că nu ai greșit semnele sau calculele. Îți ia câteva secunde și te poate salva de la pierderea unui item întreg.

Cum recunosc repede un pătrat perfect? Un trinom $x^{2} + b x + c$ este pătrat perfect dacă $c$ este pătratul unui număr ( $c = a^{2}$ ) și termenul din mijloc este exact $\pm 2 a x$ . De exemplu, $x^{2} - 12 x + 36$ : $36 = 6^{2}$ și $2 \cdot 6 = 12$ , deci este $(x - 6)^{2}$ .