Probleme care se rezolvă cu ecuații de forma ax² + bx + c = 0

Un designer are o folie dreptunghiulară de plastic și vrea să decupeze din ea un afiș cu aria de 60 de decimetri pătrați, știind că lungimea afișului trebuie să fie cu 7 dm mai mare decât lățimea. Ce dimensiuni are afișul? Nu poți ghici din prima, dar poți traduce enunțul în limbaj matematic: dacă notezi lățimea cu $x$, atunci lungimea este $x+7$, iar condiția „aria este 60" devine ecuația $x(x+7)=60$. După ce faci calculele, obții o ecuație de forma $a{x}^2+bx+c=0$ — exact tipul de ecuație pe care ai învățat să îl rezolvi în lecțiile anterioare. În lecția de față înveți cum transformi o problemă din viața reală într-o astfel de ecuație, cum o rezolvi prin descompunere în factori și, mai ales, cum alegi dintre soluțiile obținute doar pe cele care au sens în context.

Ce vei învăța

• Vei ști să parcurgi cele patru etape ale rezolvării unei probleme: alegerea necunoscutei, scrierea ecuației, rezolvarea și verificarea.
• Vei ști să transpui enunțul unei probleme de numere sau de geometrie într-o ecuație de forma $a{x}^2+bx+c=0$.
• Vei ști să rezolvi ecuația prin descompunere în factori și să interpretezi cele două soluții în contextul problemei.
• Vei ști să elimini soluțiile care nu convin (lungimi negative, numere nepotrivite) și să formulezi corect răspunsul final.
• Vei ști să redactezi îngrijit rezolvarea, așa cum se cere la Evaluarea Națională.

Hai să descoperim împreună

De la vorbe la ecuație

Până acum ai rezolvat ecuații de gradul al doilea care îți erau date de-a gata: aveai în față ceva de forma $x^2+3x-40=0$ și trebuia doar să găsești valorile lui $x$. La o problemă cu text, situația este puțin diferită și mai interesantă: tu construiești ecuația pornind de la un enunț scris în cuvinte. Aceasta este partea care sperie mulți elevi, dar care, de fapt, se face după o rețetă clară.

Rețeta are patru pași și îi vom folosi la fiecare problemă din această lecție:

1. Alegerea necunoscutei. Citești enunțul și te întrebi: „Ce mărime nu cunosc?". Aceea o notezi cu o literă, de obicei $x$. Foarte important: scrii clar ce reprezintă litera („fie $x$ lățimea dreptunghiului, în centimetri").
2. Scrierea ecuației. Exprimi celelalte mărimi din problemă în funcție de $x$, apoi traduci condiția principală a problemei (o egalitate) într-o relație matematică. Aici apare de obicei un produs sau un pătrat, care duce la gradul al doilea.
3. Rezolvarea ecuației. Aduci totul la forma $a{x}^2+bx+c=0$ și rezolvi prin descompunere în factori, folosind principiul produsului nul (un produs este zero doar dacă unul dintre factori este zero).
4. Verificarea și interpretarea. Verifici dacă soluțiile respectă condițiile problemei, elimini valorile care nu au sens și scrii răspunsul cu cuvinte, legat de întrebarea din enunț.

De ce apare gradul al doilea?

Un lucru merită observat de la început: de unde vine gradul al doilea într-o problemă? Răspunsul este simplu — apare aproape întotdeauna dintr-un produs de două mărimi care depind amândouă de necunoscută. Iată situațiile tipice:

• La numere: „produsul a două numere consecutive", „un număr înmulțit cu succesorul său", „pătratul unui număr". Când înmulțești $x$ cu ceva care conține tot $x$, obții $x^2$.
• La geometrie: aria unui dreptunghi este lungime × lățime, iar aria unui pătrat este latura la pătrat. Dacă dimensiunile depind de $x$, aria conține $x^2$.

Cu alte cuvinte, ori de câte ori într-o problemă se înmulțesc două mărimi care conțin necunoscuta, gradul al doilea apare de la sine. Recunoașterea acestui tipar te ajută să știi din prima ce fel de ecuație vei obține.

Cum reamintim rezolvarea prin descompunere

Deoarece în această lecție ne concentrăm pe traducerea problemelor, îți reamintesc pe scurt cum rezolvăm ecuația obținută, fără formula discriminantului (aceea se studiază la liceu). Folosim descompunerea în factori, exact ca în lecția despre ecuația completă și cea despre principiul produsului nul.

Pentru o ecuație de tipul $x^2+bx+c=0$ (cu $a=1$), căutăm două numere care:

• înmulțite dau termenul liber $c$;
• adunate dau coeficientul $b$.

De exemplu, pentru $x^2+3x-40=0$ căutăm două numere cu produsul $-40$ și suma $+3$. Acestea sunt $8$ și $-5$ (căci $8\cdot (-5)=-40$ și $8+(-5)=3$). Atunci

$$x^2+3x-40=(x+8)(x-5)=0,$$

de unde $x+8=0$ sau $x-5=0$, adică $x=-8$ sau $x=5$.

Reține că o problemă îți dă de multe ori ecuația deja sub o formă factorizată natural, de pildă $x(x+7)=60$. În astfel de cazuri nu lăsa produsul așa cum e (ar fi greșit să scrii direct $x=60$ sau $x+7=60$!), pentru că partea dreaptă nu este zero. Mai întâi desfaci paranteza, muți totul într-o parte ca să obții zero în dreapta, și abia apoi factorizezi:

$$x(x+7)=60\Rightarrow x^2+7x=60\Rightarrow x^2+7x-60=0.$$

Aceasta este o greșeală clasică, pe care o vom evita cu grijă: principiul produsului nul funcționează numai când într-o parte a ecuației ai $0$.

Pasul cel mai important: eliminarea soluțiilor care nu convin

O ecuație de gradul al doilea are, de obicei, două soluții. În matematică, ambele sunt corecte. Dar într-o problemă reală, nu orice număr are sens! Iată de ce ai grijă:

• O lungime, o lățime, o arie sau numărul de obiecte nu pot fi negative. Deci o soluție negativă se respinge dacă necunoscuta este o astfel de mărime.
• Uneori enunțul cere ceva anume: „un număr natural", „un număr par", „o vârstă". Atunci elimini soluțiile care nu îndeplinesc condiția.
• Dar atenție: la o problemă de numere care nu impune restricții, o soluție negativă poate fi perfect validă! Nu elimina automat — gândește-te ce reprezintă necunoscuta.

Această etapă de interpretare este cea care face diferența la examen. Mulți elevi rezolvă corect ecuația, dar uită să spună care soluție convine sau, dimpotrivă, taie o soluție bună. La Evaluarea Națională, un punct se acordă adesea tocmai pentru justificarea alegerii.

Un exemplu-fir-roșu, de la cap la coadă

Să rezolvăm complet problema afișului din introducere, ca să vezi cei patru pași în acțiune.

Enunț: Un afiș dreptunghiular are aria de $60{\text{dm}}^2$, iar lungimea este cu $7$ dm mai mare decât lățimea. Află dimensiunile afișului.

Pasul 1 — necunoscuta. Fie $x$ lățimea afișului, exprimată în dm, cu $x>0$. Atunci lungimea este $x+7$.

Pasul 2 — ecuația. Aria dreptunghiului este lungime × lățime:

$$x(x+7)=60.$$

Pasul 3 — rezolvarea. Aduc la forma standard:

$$x^2+7x-60=0.$$

Caut două numere cu produsul $-60$ și suma $+7$: acestea sunt $12$ și $-5$. Descompun:

$$(x+12)(x-5)=0\Rightarrow x=-12\text{sau}x=5.$$

Pasul 4 — interpretarea. Lățimea trebuie să fie pozitivă, deci $x=-12$ nu convine (o lungime nu poate fi negativă). Rămâne $x=5$. Atunci lățimea este $5$ dm, iar lungimea $5+7=12$ dm.

Verificare: $5\cdot 12=60{\text{dm}}^2$. ✓

Răspuns: Afișul are lățimea de $5$ dm și lungimea de $12$ dm.

Observă cum, la final, nu am scris doar „$x=5$", ci am revenit la întrebarea problemei și am dat dimensiunile cerute. Acesta este stilul de redactare pe care ți-l dorim.

Sfaturi de organizare a rezolvării

• Scrie ce reprezintă litera. O propoziție de tipul „fie $x$ numărul de elevi" te ajută să nu te încurci și îți aduce punct la examen.
• Notează condiția asupra necunoscutei din prima (de exemplu $x>0$, sau $x$ număr natural). Așa știi de la început ce soluții vei accepta.
• Nu sări peste verificare. Înlocuiește soluția în enunțul inițial, nu doar în ecuație — uneori din grabă apar erori la traducere, iar verificarea le prinde.
• Formulează răspunsul în cuvinte. Matematica se termină cu o propoziție clară, care răspunde exact la ce s-a cerut.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — produsul a două numere consecutive

Enunț: Produsul a două numere naturale consecutive este $156$. Care sunt numerele?

Rezolvare. Fie $x$ primul număr, cu $x$ natural. Următorul număr consecutiv este $x+1$. Condiția „produsul este 156" devine:

$$x(x+1)=156\Rightarrow x^2+x-156=0.$$

Caut două numere cu produsul $-156$ și suma $+1$. Descompun $156=12\cdot 13$, deci perechea potrivită este $13$ și $-12$ (căci $13\cdot (-12)=-156$ și $13+(-12)=1$):

$$(x-12)(x+13)=0\Rightarrow x=12\text{sau}x=-13.$$

Cum $x$ trebuie să fie număr natural, valoarea $x=-13$ nu convine. Rămâne $x=12$, deci numerele sunt $12$ și $13$.

Verificare: $12\cdot 13=156$. ✓

Răspuns: Numerele sunt $12$ și $13$.

Exemplul 2 — un număr și pătratul său

Enunț: Suma dintre un număr întreg și pătratul său este $72$. Află numărul.

Rezolvare. Fie $x$ numărul, $x\in \mathbb{Z}$. „Suma dintre număr și pătratul său" înseamnă $x+x^2$, iar condiția devine:

$$x+x^2=72\Rightarrow x^2+x-72=0.$$

Caut două numere cu produsul $-72$ și suma $+1$: acestea sunt $9$ și $-8$:

$$(x+9)(x-8)=0\Rightarrow x=-9\text{sau}x=8.$$

Aici enunțul cere doar un număr întreg, fără să impună să fie pozitiv, deci ambele soluții sunt valabile!

Verificare: pentru $x=8$: $8+8^2=8+64=72$ ✓; pentru $x=-9$: $-9+(-9{)}^2=-9+81=72$ ✓.

Răspuns: Numărul căutat poate fi $8$ sau $-9$.

Reține contrastul cu Exemplul 1: acolo se cerea un număr natural, așa că am eliminat soluția negativă; aici se cere un întreg, deci o păstrăm. Contextul decide, nu un reflex automat.

Exemplul 3 — dreptunghi cu perimetru și arie date

Enunț: Un teren dreptunghiular are perimetrul de $34$ m și aria de $70{\text{m}}^2$. Care sunt dimensiunile terenului?

Rezolvare. Fie $x$ lungimea unei laturi, în metri, $x>0$. Perimetrul este $34$ m, deci semiperimetrul (suma dintre lungime și lățime) este $34:2=17$ m. Prin urmare cealaltă latură este $17-x$.

Aria este produsul dimensiunilor:

$$x(17-x)=70\Rightarrow 17x-x^2=70.$$

Aduc la forma standard (înmulțesc, dacă e nevoie, cu $-1$ ca termenul dominant să fie pozitiv):

$$-x^2+17x-70=0\Rightarrow x^2-17x+70=0.$$

Caut două numere cu produsul $+70$ și suma $-17$: acestea sunt $-7$ și $-10$ (căci $(-7)\cdot (-10)=70$ și $-7+(-10)=-17$):

$$(x-7)(x-10)=0\Rightarrow x=7\text{sau}x=10.$$

Amândouă sunt pozitive și acceptabile. De fapt, ele reprezintă cele două dimensiuni ale terenului: dacă lungimea este $10$ m, atunci lățimea este $17-10=7$ m (și invers).

Verificare: perimetrul $2(10+7)=34$ m ✓; aria $10\cdot 7=70{\text{m}}^2$ ✓.

Răspuns: Terenul are dimensiunile de $10$ m și $7$ m.

Exemplul 4 — problemă de arie cu mărire de dimensiune

Enunț: Latura unui pătrat se mărește cu $3$ cm. Astfel se obține un dreptunghi cu o latură egală cu latura pătratului și cealaltă mărită, a cărui arie este $40{\text{cm}}^2$. Cât este latura pătratului inițial?

Rezolvare. Fie $x$ latura pătratului, în cm, $x>0$. După mărire, dreptunghiul are laturile $x$ și $x+3$, deci aria lui este:

$$x(x+3)=40\Rightarrow x^2+3x-40=0.$$

Caut două numere cu produsul $-40$ și suma $+3$: acestea sunt $8$ și $-5$:

$$(x+8)(x-5)=0\Rightarrow x=-8\text{sau}x=5.$$

O latură nu poate fi negativă, deci $x=-8$ nu convine. Rămâne $x=5$.

Verificare: dreptunghiul are laturile $5$ cm și $8$ cm, cu aria $5\cdot 8=40{\text{cm}}^2$. ✓

Răspuns: Latura pătratului inițial este de $5$ cm.

Exemplul 5 — două numere cu sumă și produs date

Enunț: Suma a două numere naturale este $15$, iar produsul lor este $54$. Află numerele.

Rezolvare. Fie $x$ unul dintre numere, $x$ natural. Dacă suma este $15$, celălalt număr este $15-x$. Condiția asupra produsului dă:

$$x(15-x)=54\Rightarrow 15x-x^2=54.$$

Aduc la forma standard:

$$x^2-15x+54=0.$$

Caut două numere cu produsul $+54$ și suma $-15$: acestea sunt $-6$ și $-9$ (căci $(-6)\cdot (-9)=54$ și $-6+(-9)=-15$):

$$(x-6)(x-9)=0\Rightarrow x=6\text{sau}x=9.$$

Ambele soluții sunt naturale și dau aceeași pereche: dacă $x=6$, celălalt este $9$; dacă $x=9$, celălalt este $6$.

Verificare: $6+9=15$ ✓ și $6\cdot 9=54$ ✓.

Răspuns: Numerele sunt $6$ și $9$.

Exemplul 6 — item tip Evaluare Națională

Enunț: Un grup de prieteni a închiriat împreună o sală de sport, plătind în total $180$ lei, sumă împărțită egal între ei. Dacă la grup s-ar mai adăuga $3$ prieteni, atunci fiecare ar plăti cu $3$ lei mai puțin. Câți prieteni sunt în grupul inițial?

Rezolvare. Fie $x$ numărul de prieteni din grupul inițial, $x$ natural, $x>0$. Atunci fiecare plătește $\frac{180}{x}$ lei.

Dacă ar fi $x+3$ prieteni, fiecare ar plăti $\frac{180}{x+3}$ lei, adică cu $3$ lei mai puțin:

$$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+3}=3.$$

Înmulțesc ecuația cu $x(x+3)\ne 0$:

$$180(x+3)-180x=3x(x+3).$$

Desfac și reduc în stânga:

$$180x+540-180x=3x^2+9x\Rightarrow 540=3x^2+9x.$$

Împart tot cu $3$ și aduc la forma standard:

$$180=x^2+3x\Rightarrow x^2+3x-180=0.$$

Caut două numere cu produsul $-180$ și suma $+3$: acestea sunt $15$ și $-12$:

$$(x-12)(x+15)=0\Rightarrow x=12\text{sau}x=-15.$$

Numărul de prieteni nu poate fi negativ, deci $x=-15$ nu convine. Rămâne $x=12$.

Verificare: cu $12$ prieteni, fiecare plătește $180:12=15$ lei; cu $15$ prieteni, fiecare plătește $180:15=12$ lei, adică într-adevăr cu $3$ lei mai puțin. ✓

Răspuns: Grupul inițial are $12$ prieteni.

Exemplul 7 — dreptunghi cu diagonala dată

Enunț: Un dreptunghi are o latură cu $2$ cm mai mare decât cealaltă, iar diagonala lui măsoară $10$ cm. Află dimensiunile dreptunghiului.

Rezolvare. Fie $x$ latura mai mică, în cm, cu $x>0$. Atunci cealaltă latură este $x+2$. Diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice, în care catetele sunt cele două laturi, iar ipotenuza este diagonala. Aplic teorema lui Pitagora (pe care ai învățat-o în clasa a VII-a):

$$x^2+(x+2{)}^2=10^2.$$

Desfac pătratul după formula $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$ și aduc la forma standard:

$$x^2+x^2+4x+4=100\Rightarrow 2x^2+4x-96=0.$$

Împart toată ecuația cu $2$, ca să lucrez cu coeficientul $a=1$:

$$x^2+2x-48=0.$$

Caut două numere cu produsul $-48$ și suma $+2$: acestea sunt $8$ și $-6$:

$$(x-6)(x+8)=0\Rightarrow x=6\text{sau}x=-8.$$

O latură nu poate fi negativă, deci $x=-8$ nu convine. Rămâne $x=6$, iar cealaltă latură este $6+2=8$ cm.

Verificare: $6^2+8^2=36+64=100=10^2$ ✓ (regăsim celebrul triunghi dreptunghic cu laturile $6$, $8$, $10$).

Răspuns: Dreptunghiul are laturile de $6$ cm și $8$ cm.

Să exersăm

Rezolvă în caiet, respectând cei patru pași: alege necunoscuta, scrie ecuația, rezolv-o prin descompunere în factori și interpretează soluțiile.

1. Produsul a două numere naturale consecutive este $110$. Află numerele.

2. Suma dintre un număr întreg și pătratul său este $30$. Găsește toate valorile posibile ale numărului.

3. Un dreptunghi are lungimea cu $5$ cm mai mare decât lățimea, iar aria de $84{\text{cm}}^2$. Află dimensiunile.

4. Pătratul unui număr natural, micșorat cu de patru ori numărul, dă $45$. Care este numărul?

5. Un teren dreptunghiular are perimetrul de $28$ m și aria de $48{\text{m}}^2$. Care sunt dimensiunile lui?

6. Produsul a două numere naturale pare consecutive este $168$. Care sunt numerele?

7. Diferența dintre pătratul unui număr natural și triplul lui este $40$. Află numărul.

8. Suma a două numere este $12$, iar produsul lor este $35$. Care sunt numerele?

9. Latura unui pătrat se mărește cu $4$ cm și se obține un dreptunghi cu aria de $77{\text{cm}}^2$ (o latură rămâne cât latura pătratului, cealaltă se mărește). Cât este latura pătratului?

10. Adevărat sau fals, cu justificare: „La orice problemă de arie, dacă ecuația are soluțiile $x=6$ și $x=-9$, atunci amândouă sunt răspunsuri corecte."

11. Un număr natural înmulțit cu succesorul succesorului său (adică cu numărul mai mare cu $2$) dă $99$. Află numărul.

12. Aria unui dreptunghi este $54{\text{cm}}^2$. Lungimea lui este cu $3$ cm mai mare decât dublul lățimii. Află dimensiunile. (Indicație: dacă lățimea este $x$, lungimea este $2x+3$.)

13. Item tip Evaluare Națională. Un grădinar plantează $96$ de flori în rânduri egale. Numărul de flori de pe fiecare rând este cu $4$ mai mare decât numărul de rânduri. Câte rânduri a făcut?

14. Într-o sală, numărul de bănci înmulțit cu un număr cu $7$ mai mare dă $60$. Câte bănci sunt? (Necunoscuta este un număr natural de bănci.)

15. Suma pătratelor a două numere naturale consecutive este $145$. Află numerele. (Indicație: $x^2+(x+1{)}^2=145$.)

16. Justifică: de ce, la o problemă în care necunoscuta este un număr de obiecte, o soluție negativă a ecuației se elimină întotdeauna?

17. Un dreptunghi are aria de $60{\text{cm}}^2$. Dacă mărim lungimea cu $2$ cm și păstrăm lățimea, aria devine $72{\text{cm}}^2$. Află dimensiunile inițiale. (Indicație: din a doua condiție afli întâi lățimea.)

18. Problemă mai grea. O grădină pătrată cu latura de $x$ metri este mărginită de o alee de $1$ m lățime, pe toate laturile, formând un pătrat mai mare. Aria pătratului mare este cu $32{\text{m}}^2$ mai mare decât aria grădinii. Cât este latura grădinii? (Indicație: latura pătratului mare este $x+2$.)

19. Un dreptunghi are o latură cu $7$ cm mai mare decât cealaltă, iar diagonala lui măsoară $13$ cm. Află dimensiunile dreptunghiului. (Indicație: folosește teorema lui Pitagora, $x^2+(x+7{)}^2=13^2$.)

20. Suma pătratelor a două numere naturale consecutive impare este $130$. Află numerele. (Indicație: numerele impare consecutive sunt $x$ și $x+2$.)

Răspunsuri și explicații

1. Fie $x$ primul număr, natural. $x(x+1)=110\Rightarrow x^2+x-110=0\Rightarrow (x-10)(x+11)=0\Rightarrow x=10$ sau $x=-11$. Se elimină $-11$ (nenatural). Numerele sunt $10$ și $11$ ($10\cdot 11=110$). ✓

2. $x+x^2=30\Rightarrow x^2+x-30=0\Rightarrow (x+6)(x-5)=0\Rightarrow x=-6$ sau $x=5$. Se cere un întreg, deci ambele convin. $x=5$ sau $x=-6$ ($5+25=30$; $-6+36=30$). ✓

3. Fie $x$ lățimea, $x>0$. $x(x+5)=84\Rightarrow x^2+5x-84=0\Rightarrow (x-7)(x+12)=0\Rightarrow x=7$ ($x=-12$ se elimină). Lățime $7$ cm, lungime $12$ cm ($7\cdot 12=84$). ✓

4. $x^2-4x=45\Rightarrow x^2-4x-45=0\Rightarrow (x-9)(x+5)=0\Rightarrow x=9$ (se elimină $-5$, nenatural). Numărul este $9$ ($81-36=45$). ✓

5. Semiperimetrul este $14$ m. Fie $x$ o latură: $x(14-x)=48\Rightarrow x^2-14x+48=0\Rightarrow (x-6)(x-8)=0\Rightarrow x=6$ sau $x=8$. Dimensiunile sunt $6$ m și $8$ m ($6+8=14$; $6\cdot 8=48$). ✓

6. Fie $x$ primul număr par, deci următorul par este $x+2$. $x(x+2)=168\Rightarrow x^2+2x-168=0\Rightarrow (x-12)(x+14)=0\Rightarrow x=12$ (se elimină $-14$, nenatural). Numerele sunt $12$ și $14$ ($12\cdot 14=168$). ✓

7. $x^2-3x=40\Rightarrow x^2-3x-40=0\Rightarrow (x-8)(x+5)=0\Rightarrow x=8$ (se elimină $-5$). Numărul este $8$ ($64-24=40$). ✓

8. Fie $x$ un număr; celălalt este $12-x$. $x(12-x)=35\Rightarrow x^2-12x+35=0\Rightarrow (x-5)(x-7)=0\Rightarrow x=5$ sau $x=7$. Numerele sunt $5$ și $7$ ($5+7=12$; $5\cdot 7=35$). ✓

9. Fie $x$ latura pătratului, $x>0$. $x(x+4)=77\Rightarrow x^2+4x-77=0\Rightarrow (x-7)(x+11)=0\Rightarrow x=7$ (se elimină $-11$). Latura pătratului este $7$ cm ($7\cdot 11=77$). ✓

10. Fals. La o problemă de arie, necunoscuta (o dimensiune) trebuie să fie pozitivă, deci $x=-9$ nu convine și se elimină; corectă rămâne doar $x=6$. Afirmația ar fi adevărată doar la o problemă de numere care acceptă valori negative, nu la una de arie.

11. Fie $x$ numărul natural; „succesorul succesorului" este $x+2$. $x(x+2)=99\Rightarrow x^2+2x-99=0\Rightarrow (x-9)(x+11)=0\Rightarrow x=9$ (se elimină $-11$). Numărul este $9$ ($9\cdot 11=99$). ✓

12. Fie $x$ lățimea, $x>0$; lungimea este $2x+3$. $x(2x+3)=54\Rightarrow 2x^2+3x-54=0$. Descompunem: căutăm produs $2\cdot (-54)=-108$ și sumă $3$ → numerele $12$ și $-9$: $2x^2+12x-9x-54=0\Rightarrow 2x(x+6)-9(x+6)=0\Rightarrow (x+6)(2x-9)=0\Rightarrow x=-6$ sau $x=\frac{9}{2}=4,5$. Se elimină $-6$. Lățime $4,5$ cm, lungime $2\cdot 4,5+3=12$ cm ($4,5\cdot 12=54$). ✓

13. Fie $x$ numărul de rânduri, natural; pe fiecare rând sunt $x+4$ flori. $x(x+4)=96\Rightarrow x^2+4x-96=0\Rightarrow (x-8)(x+12)=0\Rightarrow x=8$ (se elimină $-12$). A făcut $8$ rânduri (cu $12$ flori pe rând, $8\cdot 12=96$). ✓

14. Fie $x$ numărul de bănci, natural. $x(x+7)=60\Rightarrow x^2+7x-60=0\Rightarrow (x-5)(x+12)=0\Rightarrow x=5$ (se elimină $-12$). Sunt $5$ bănci ($5\cdot 12=60$). ✓

15. $x^2+(x+1{)}^2=145\Rightarrow x^2+x^2+2x+1=145\Rightarrow 2x^2+2x-144=0\Rightarrow x^2+x-72=0\Rightarrow (x-8)(x+9)=0\Rightarrow x=8$ (se elimină $-9$, nenatural). Numerele sunt $8$ și $9$ ($64+81=145$). ✓

16. Un număr de obiecte este o mărime care numără câte lucruri există; el nu poate fi negativ, pentru că nu putem avea „$-3$ bănci" sau „$-5$ flori". Prin urmare orice soluție negativă a ecuației, deși corectă matematic, nu are sens în context și se elimină. Reținem doar soluțiile care sunt numere naturale.

17. Din a doua condiție: mărirea lungimii cu $2$ cm crește aria cu $72-60=12{\text{cm}}^2$; această creștere este $2\cdot (\text{la˘țime})$, deci $2\cdot \ell =12\Rightarrow \ell =6$ cm. Atunci lungimea inițială este $60:6=10$ cm. Dimensiunile inițiale sunt $10$ cm și $6$ cm. (Verificare: $12\cdot 6=72$ ✓.) (Se poate rezolva și cu ecuație: fie $L$ lungimea, $\ell$ lățimea; $L\ell =60$ și $(L+2)\ell =72$ dau prin scădere $2\ell =12$.)

18. Latura pătratului mare este $x+2$. Condiția: $(x+2{)}^2-x^2=32$. Dezvolt: $x^2+4x+4-x^2=32\Rightarrow 4x+4=32\Rightarrow 4x=28\Rightarrow x=7$. (Observă: aici, după simplificare, ecuația devine de gradul I — un semnal că uneori pătratele se reduc reciproc.) Latura grădinii este $7$ m. (Verificare: $9^2-7^2=81-49=32$ ✓.)

19. Fie $x$ latura mai mică, $x>0$; cealaltă este $x+7$. Din Pitagora: $x^2+(x+7{)}^2=13^2\Rightarrow x^2+x^2+14x+49=169\Rightarrow 2x^2+14x-120=0\Rightarrow x^2+7x-60=0\Rightarrow (x-5)(x+12)=0\Rightarrow x=5$ (se elimină $-12$). Laturile sunt $5$ cm și $12$ cm ($5^2+12^2=25+144=169=13^2$ ✓).

20. Numerele impare consecutive sunt $x$ și $x+2$. $x^2+(x+2{)}^2=130\Rightarrow 2x^2+4x+4=130\Rightarrow 2x^2+4x-126=0\Rightarrow x^2+2x-63=0\Rightarrow (x-7)(x+9)=0\Rightarrow x=7$ (se elimină $-9$, nenatural). Numerele sunt $7$ și $9$ ($49+81=130$ ✓).

De reținut

• Orice problemă cu ecuații se rezolvă în patru pași: aleg necunoscuta (și scriu ce reprezintă), scriu ecuația, o rezolv, apoi verific și interpretez.
• Gradul al doilea apare când se înmulțesc două mărimi ce depind de necunoscută: produs de numere, arie = lungime × lățime, arie pătrat = latură².
• Rezolvarea se face prin descompunere în factori și principiul produsului nul — nu cu formula discriminantului (aceea e materie de liceu).
• Adu ecuația la forma $a{x}^2+bx+c=0$ (cu $0$ în dreapta) înainte de a factoriza; nu aplica produsul nul unei egalități cu un număr diferit de zero.
• Elimină soluțiile care nu convin (lungimi/arii/numere de obiecte negative) și scrie răspunsul în cuvinte, legat de întrebarea din enunț.

Greșeli frecvente

• Aplici produsul nul fără să ai zero în dreapta. Din $x(x+7)=60$ NU rezultă $x=60$ sau $x+7=60$. Mai întâi aduci la $x^2+7x-60=0$ și abia apoi factorizezi. Verifică mereu că partea dreaptă este $0$.
• Ții ambele soluții „din reflex" sau tai o soluție bună. Nu elimina automat negativul — gândește ce reprezintă necunoscuta. La arie/număr de obiecte, negativul se respinge; la o problemă de numere întregi fără restricții, el poate fi valabil.
• Uiți să scrii ce reprezintă litera și nu formulezi răspunsul final. „$x=5$" nu este un răspuns complet la o problemă cu text. Revino la enunț: „lățimea este $5$ cm, lungimea $12$ cm".
• Traduci greșit enunțul. „Cu $5$ mai mare" înseamnă $x+5$, nu $5x$; „de $2$ ori mai mare" înseamnă $2x$; „succesorul" înseamnă $x+1$. Citește cu atenție și verifică traducerea înlocuind soluția în enunțul original.

Aplică acasă

1. Măsoară o cameră. Alege o cameră dreptunghiulară din casă. Măsoară cu ce ai (o riglă, un metru sau chiar pași) o latură și află aria pe podea. Apoi inventează o problemă: „lungimea este cu atât mai mare decât lățimea, aria este atât" și verifică dacă, plecând doar de la arie și de la diferența dimensiunilor, obții cu o ecuație de gradul al doilea exact dimensiunile măsurate.

2. Grădina cu gard. Imaginează-ți că ai $30$ de metri de gard pentru o grădină dreptunghiulară (deci semiperimetrul este $15$ m). Alege o arie dorită (de exemplu $36{\text{m}}^2$, $54{\text{m}}^2$ etc.), scrie ecuația $x(15-x)=\text{aria}$ și rezolv-o. Observă că unele arii dau soluții „frumoase", iar altele nu se pot factoriza cu numere întregi — discută de ce.

3. Numere din calendar. Ia data de azi și data de mâine (două numere consecutive). Calculează-le produsul, apoi propune-i unui coleg sau unui părinte problema: „produsul a două numere consecutive este [rezultatul tău] — care sunt numerele?". Cere-i să o rezolve cu o ecuație de gradul al doilea.

Pentru părinți și profesori

Această lecție închide unitatea despre ecuația $a{x}^2+bx+c=0$, trecând de la tehnica de rezolvare la aplicarea ei în probleme cu text — competența cea mai valoroasă și cel mai des testată la Evaluarea Națională (subiectul al III-lea conține frecvent o problemă de acest tip, cu punctaj împărțit pe etape).

Cum sprijiniți elevul:

• Insistați pe traducerea enunțului. Cea mai mare dificultate nu este calculul, ci scrierea corectă a ecuației. Cereți-i copilului să spună cu voce tare ce reprezintă $x$ și cum a exprimat celelalte mărimi.
• Verificați redactarea, nu doar rezultatul. La examen se punctează separat alegerea necunoscutei, scrierea ecuației, rezolvarea și interpretarea. Un rezultat corect fără justificarea eliminării unei soluții pierde puncte.
• Întrebări utile de verificare: „Ce reprezintă $x$ în problema ta?", „De ce ai eliminat soluția negativă — sau de ce ai păstrat-o?", „Cum verifici că răspunsul e corect, direct în enunț?".

Semne că a înțeles: transformă singur un enunț nou într-o ecuație, aduce ecuația la forma cu $0$ în dreapta înainte de a factoriza și, la final, dă un răspuns în cuvinte, motivând ce soluții a acceptat. Dacă se blochează la traducere, reluați împreună tabelul „produs/sumă" din lecție și problema-fir-roșu cu afișul.

Întrebări frecvente

Cum recunosc că o problemă se rezolvă cu o ecuație de gradul al doilea? De obicei în enunț apare un produs de mărimi care depind de aceeași necunoscută: „produsul a două numere", „aria unui dreptunghi", „pătratul unui număr". Când înmulțești $x$ cu o expresie ce conține tot $x$, apare $x^2$, deci ecuația va fi de gradul al doilea.

Cum rezolv ecuația fără formula discriminantului? La clasa a VIII-a rezolvi prin descompunere în factori: aduci ecuația la forma $a{x}^2+bx+c=0$, o scrii ca un produs de factori (de exemplu $(x-7)(x+12)=0$) și aplici principiul produsului nul. Formula discriminantului $\Delta =b^2-4ac$ se învață la liceu.

De ce elimin uneori soluția negativă, iar alteori nu? Depinde de ce reprezintă necunoscuta. Dacă $x$ este o lungime, o arie sau un număr de obiecte, ea nu poate fi negativă, deci soluția negativă se respinge. Dacă $x$ este un simplu număr întreg fără restricții, o soluție negativă poate fi perfect corectă.

Ce fac dacă ecuația arată ca $x(x+7)=60$, deci un produs egal cu un număr? NU aplica produsul nul direct — el funcționează doar când în dreapta ai $0$. Desfaci paranteza, muți totul într-o parte ($x^2+7x-60=0$) și abia apoi factorizezi.

Trebuie neapărat să verific soluțiile? Da, este pasul care îți aduce siguranță și, la examen, adesea un punct. Înlocuiește soluția în enunțul original, nu doar în ecuație, ca să prinzi eventualele greșeli de traducere.

Ce înseamnă „numere consecutive" și cum le notez? Numerele consecutive urmează unul după altul: $x$ și $x+1$. Numerele pare consecutive (sau impare consecutive) diferă cu $2$: $x$ și $x+2$. Atenție la formulare, pentru că de aici pornește ecuația.

Cât valorează o astfel de problemă la Evaluarea Națională? De regulă apare la subiectul al III-lea și se punctează pe pași: alegerea necunoscutei și scrierea ecuației, rezolvarea, apoi interpretarea/răspunsul. Chiar dacă nu termini calculul, poți lua puncte parțiale pentru scrierea corectă a ecuației.

Unde găsesc și alte ecuații rezolvate ca să exersez tehnica? Poți recapitula tehnica de rezolvare din lecția despre ecuația completă prin descompunere și din lecția despre principiul produsului nul, apoi revii aici pentru partea de aplicare în probleme.