Ecuații de forma ax² + c = 0 și ax² − b² = 0

Ai o placă pătrată de gresie și vrei să afli cât de mare este latura ei, știind doar aria: dacă suprafața este de $49{\text{cm}}^2$, atunci latura verifică $x^2=49$, deci $x=7\text{cm}$. Fără să-ți dai seama, tocmai ai rezolvat o ecuație de gradul al doilea în care lipsește termenul cu $x$. Aceste ecuații, numite incomplete, apar mereu în probleme cu arii, viteze, energie sau bani și sunt printre cele mai des întâlnite la Evaluarea Națională. Vestea bună este că se rezolvă rapid, cu doi „algoritmi" curați pe care îi înveți în această lecție: extragerea radicalului și diferența de pătrate. Ambele se sprijină pe lucruri pe care le știi deja din formulele de calcul prescurtat și din principiul produsului nul.

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi o ecuație de forma $a{x}^2+c=0$ izolând $x^2$ și extrăgând radicalul.
• Vei ști să discuți câte soluții reale are ecuația, în funcție de semnul termenilor.
• Vei ști să folosești formula diferenței de pătrate $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ pentru a rezolva ecuații de forma $a{x}^2-b^2=0$.
• Vei ști să aplici principiul produsului nul ca să obții cele două soluții opuse.
• Vei ști să redactezi corect rezolvarea, pentru punctaj maxim la examen.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „ecuație incompletă de gradul al doilea"

O ecuație de gradul al doilea are forma generală $a{x}^2+bx+c=0$, unde $a\ne 0$. Când unul dintre termeni lipsește, spunem că ecuația este incompletă. În lecțiile anterioare ai întâlnit deja cazul în care lipsește termenul liber, adică $a{x}^2+bx=0$, rezolvat prin scoaterea factorului comun. Acum ne ocupăm de celălalt caz important: lipsește termenul de mijloc $bx$, deci $b=0$, iar ecuația arată așa:

$$a{x}^2+c=0,a\ne 0.$$

Aici nu mai putem scoate factor comun pe $x$ (nu mai există un $x$ în termenul liber), așa că folosim o altă strategie: izolăm $x^2$ și apoi extragem radicalul.

Pasul-cheie: izolarea lui x²

Ideea este simplă și seamănă cu ce faci la o ecuație de gradul I. Vrei să rămâi cu $x^2$ singur într-o parte a egalului.

Pornim de la: $$a{x}^2+c=0.$$

Pasul 1. Trecem termenul liber în partea dreaptă (schimbă semnul): $$a{x}^2=-c.$$

Pasul 2. Împărțim ambii membri la coeficientul $a$ (avem voie, pentru că $a\ne 0$): $$x^2=-\frac{c}{a}.$$

Acum totul depinde de ce număr este $-\frac{c}{a}$. Reține un adevăr matematic esențial: pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu zero, adică $x^2\ge 0$ mereu. Un pătrat nu poate fi negativ. De aici pornește toată „discuția".

Pasul final: extragerea radicalului

Dacă am ajuns la $x^2=k$, unde $k$ este un număr pozitiv, atunci $x$ este acel număr al cărui pătrat dă $k$. Există două astfel de numere, opuse între ele:

$$x^2=k(k>0)⟹x=\sqrt{k}\text{ sau }x=-\sqrt{k}.$$

Scriem prescurtat $x=\pm \sqrt{k}$. Atenție la un detaliu pe care mulți elevi îl uită: din $x^2=k$ nu rezultă doar $x=\sqrt{k}$, ci și soluția negativă $x=-\sqrt{k}$, pentru că și $(-\sqrt{k}{)}^2=k$. De exemplu, din $x^2=25$ obținem $x=5$ și $x=-5$, fiindcă $5^2=25$, dar și $(-5{)}^2=25$.

Discuția: câte soluții reale are ecuația

Aceasta este partea la care se pierd sau se câștigă puncte la examen. După ce ai ajuns la $x^2=-\frac{c}{a}$, privește semnul numărului din dreapta:

• Dacă $-\frac{c}{a}>0$ (număr pozitiv): ecuația are două soluții reale opuse, $x_1=\sqrt{k}$ și $x_2=-\sqrt{k}$.
• Dacă $-\frac{c}{a}=0$ (adică $c=0$): ecuația devine $x^2=0$, care are o singură soluție, $x=0$. (Spunem uneori că are o soluție „dublă".)
• Dacă $-\frac{c}{a}<0$ (număr negativ): ecuația nu are nicio soluție reală, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.

Hai să vedem toate cele trei situații pe exemple scurte:

Două soluții. $x^2-9=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$. Mulțimea soluțiilor: $S=\{-3;3\}$.

O soluție. $5x^2=0\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0$. Mulțimea soluțiilor: $S=\{0\}$.

Nicio soluție. $x^2+4=0\Rightarrow x^2=-4$. Imposibil în $\mathbb{R}$, deci $S=\varnothing$ (mulțimea vidă).

Un truc de verificare rapidă: în ecuația $a{x}^2+c=0$, dacă $a$ și $c$ au semne diferite (unul plus, altul minus), atunci ai două soluții; dacă au același semn, nu ai nicio soluție reală; dacă $c=0$, ai soluția unică $x=0$. Poți justifica singur de ce, uitându-te la $x^2=-\frac{c}{a}$.

Când soluțiile sunt numere iraționale (cu radical)

Nu întotdeauna iese un pătrat perfect ca $9$ sau $25$. Dacă la $x^2=k$ numărul $k$ nu este pătrat perfect, soluțiile rămân scrise cu radical, la fel de corecte. De exemplu:

$$2x^2-6=0\Rightarrow 2x^2=6\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}.$$

Uneori trebuie să raționalizezi sau să scoți factori de sub radical, la fel ca în clasa a VII-a. De exemplu, din $x^2=\frac{2}{3}$ obținem $x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$. Nu te speria de radical: el este doar un mod exact de a scrie un număr real.

A doua metodă: ecuații de forma ax² − b²= 0 și diferența de pătrate

Există o categorie specială de ecuații incomplete în care termenul liber este el însuși un pătrat perfect scăzut, adică ecuația arată ca o diferență de pătrate:

$$a{x}^2-b^2=0,\text{unde }a{x}^2\text{ este un pa˘trat perfect.}$$

Aici avem două drumuri, ambele corecte. Poți folosi extragerea radicalului (metoda de mai sus), dar mult mai elegant este să descompui în factori cu formula pe care ai învățat-o la produsul sumei cu diferența:

$$A^2-B^2=(A-B)(A+B).$$

Ideea: scrii primul termen ca un pătrat, $a{x}^2=(A{)}^2$, și termenul liber ca $b^2=(B{)}^2$. Apoi transformi diferența într-un produs și aplici principiul produsului nul (un produs este zero doar dacă cel puțin un factor este zero).

Să luăm $9x^2-16=0$. Observăm că $9x^2=(3x{)}^2$ și $16=4^2$. Deci:

$$9x^2-16=(3x{)}^2-4^2=(3x-4)(3x+4).$$

Ecuația devine $(3x-4)(3x+4)=0$. Un produs este nul doar dacă un factor este nul:

$$3x-4=0\Rightarrow x=\frac{4}{3},3x+4=0\Rightarrow x=-\frac{4}{3}.$$

Mulțimea soluțiilor: $S=\left\{-\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right\}$. Observă că, la fel ca prin extragerea radicalului, soluțiile sunt opuse. Nu e o coincidență: cele două metode dau întotdeauna același rezultat, pentru că descriu aceeași ecuație. Alege-o pe cea care ți se pare mai clară — dar la examen, dacă în enunț apare cuvântul „descompuneți" sau „folosind formula de calcul prescurtat", folosește diferența de pătrate.

De ce funcționează diferența de pătrate aici

Merită să înțelegi, nu doar să memorezi. Formula $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ este o identitate: este adevărată pentru orice numere $A$ și $B$. Când o aplici unei ecuații, transformi o sumă/diferență (greu de rezolvat direct) într-un produs egal cu zero (ușor de rezolvat, prin principiul produsului nul). Practic, muți dificultatea de la „ce număr ridicat la pătrat dă asta" la „ce anulează fiecare paranteză". Este exact aceeași idee care stă la baza tuturor ecuațiilor din această unitate.

Un caz de atenție: ax² − b² = 0 fără soluție? Niciodată, dacă e diferență reală

Dacă ecuația este cu adevărat o diferență de pătrate cu semnul minus, adică $a{x}^2-b^2=0$ cu $a>0$ și $b\ne 0$, atunci ea are întotdeauna două soluții reale, pentru că $x^2=\frac{b^2}{a}$ este mereu un număr pozitiv. Cazul „nicio soluție" apare doar când semnele te duc la $x^2=$ număr negativ, adică la o sumă de pătrate, de tipul $a{x}^2+b^2=0$. Fii deci atent la semnul dintre termeni: minus înseamnă diferență de pătrate (se descompune, are soluții), plus înseamnă sumă de pătrate (nu se descompune în $\mathbb{R}$, nu are soluții reale dacă $b\ne 0$).

Tablou comparativ: cele trei ecuații incomplete

Ca să nu le confunzi la examen, ține minte tabloul de mai jos. Toate sunt ecuații de gradul al doilea cărora le lipsește un termen, dar fiecare are „butonul" ei de rezolvare:

• $a{x}^2+bx=0$ (lipsește $c$): scoți factor comun $x$ → $x(ax+b)=0$ → soluțiile $x=0$ și $x=-\frac{b}{a}$. Una dintre soluții este mereu $0$.
• $a{x}^2+c=0$ (lipsește $bx$): izolezi $x^2$ și extragi radicalul → $x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$, cu discuția după semn. Soluțiile sunt opuse (sau nu există).
• $a{x}^2-b^2=0$ (caz particular al celei de sus, cu termen liber pătrat perfect): descompui cu diferența de pătrate → $(A-B)(A+B)=0$ → două soluții opuse (de exemplu, din $(3x-4)(3x+4)=0$ obții $\pm \frac{4}{3}$).

Trucul de recunoaștere: dacă vezi un $x$ în ambii termeni, gândește-te la factor comun; dacă vezi $x^2$ și un număr (fără $x$ simplu), gândește-te la radical sau la diferența de pătrate.

Legătura cu teorema lui Pitagora și cu geometria

De ce merită atâta atenție aceste ecuații? Pentru că apar mereu în geometrie. Ori de câte ori folosești teorema lui Pitagora, ajungi la o relație de tipul $x^2=a^2+b^2$ sau $x^2=c^2-a^2$ — adică exact o ecuație $a{x}^2+c=0$ „deghizată". La fel, când calculezi latura unui pătrat cunoscând aria, diagonala unui cub sau înălțimea unei piramide, pasul final este aproape întotdeauna „extrage radicalul din $x^2$". Deci ceea ce înveți acum nu rămâne în capitolul de algebră: te va însoți în toată geometria din spațiu de la finalul clasei a VIII-a și la Evaluarea Națională.

Redactarea corectă pas cu pas (rețeta de examen)

Pentru punctaj maxim, respectă mereu acești pași și scrie-i clar:

1. Recunoaște forma ecuației ($a{x}^2+c=0$ sau diferență de pătrate $a{x}^2-b^2=0$).
2. Izolează $x^2$ sau descompune în factori.
3. Extrage radicalul cu ambele semne $\pm$, sau aplică produsul nul pe fiecare paranteză.
4. Scrie discuția, dacă e cazul (câte soluții).
5. Notează mulțimea soluțiilor $S=\{\dots \}$.
6. La final, poți verifica înlocuind soluțiile în ecuația inițială.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — extragerea radicalului, două soluții. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $3x^2-48=0$.

Izolăm $x^2$: $$3x^2=48\Rightarrow x^2=\frac{48}{3}=16.$$ Cum $16>0$, extragem radicalul cu ambele semne: $$x=\pm \sqrt{16}=\pm 4.$$ Verificare: $3\cdot 4^2-48=48-48=0$. ✓ Răspuns: $S=\{-4;4\}$.

Exemplul 2 — soluții iraționale (cu radical). Rezolvă în $\mathbb{R}$: $5x^2-35=0$.

$$5x^2=35\Rightarrow x^2=7.$$ Numărul $7$ nu este pătrat perfect, deci soluțiile rămân cu radical: $$x=\pm \sqrt{7}.$$ Răspuns: $S=\{-\sqrt{7};\sqrt{7}\}$. Ambele sunt numere reale (iraționale), perfect valabile.

Exemplul 3 — nicio soluție reală (sumă de pătrate). Rezolvă în $\mathbb{R}$: $2x^2+18=0$.

$$2x^2=-18\Rightarrow x^2=-9.$$ Un pătrat nu poate fi negativ, deci nu există niciun număr real care să verifice ecuația. Răspuns: $S=\varnothing$ (ecuația nu are soluții reale).

Exemplul 4 — diferența de pătrate, prin descompunere. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $4x^2-25=0$.

Recunoaștem $4x^2=(2x{)}^2$ și $25=5^2$, deci avem o diferență de pătrate: $$(2x{)}^2-5^2=(2x-5)(2x+5)=0.$$ Aplicăm principiul produsului nul: $$2x-5=0\Rightarrow x=\frac{5}{2};2x+5=0\Rightarrow x=-\frac{5}{2}.$$ Verificare pentru $x=\frac{5}{2}$: $4\cdot \frac{25}{4}-25=25-25=0$. ✓ Răspuns: $S=\left\{-\frac{5}{2};\frac{5}{2}\right\}$.

Exemplul 5 — ecuație care se reduce la forma ax² + c = 0. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $(x-3)(x+3)=7$.

În partea stângă recunoaștem produsul sumei cu diferența: $$(x-3)(x+3)=x^2-9.$$ Ecuația devine $x^2-9=7$, deci $x^2=16$ și $x=\pm 4$. Răspuns: $S=\{-4;4\}$. Ai văzut cum o ecuație „ascunsă" se transformă, cu o formulă de calcul prescurtat, într-una simplă de tipul $a{x}^2+c=0$.

Exemplul 6 — problemă aplicată cu discuție. O grădină în formă de triunghi dreptunghic are catetele egale, fiecare de lungime $x$ metri, și aria de $8$ metri pătrați. Cum aria triunghiului este $\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^2}{2}$, obținem ecuația $\frac{x^2}{2}-8=0$, unde $x>0$. Află $x$.

Rezolvăm ecuația: $$\frac{x^2}{2}=8\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=\pm 4.$$ Ecuația are două soluții, $-4$ și $4$, dar contextul cere o lungime, deci $x>0$. Reținem doar $x=4$. Răspuns: fiecare catetă are $4$ metri. Această alegere după context este exact tipul de raționament cerut la Evaluarea Națională: rezolvi matematic, apoi elimini soluția care nu are sens fizic.

Exemplul 7 — diferență de pătrate cu radical în „pătrat". Rezolvă în $\mathbb{R}$: $x^2-3=0$, folosind diferența de pătrate.

Poate părea că $3$ nu e pătrat perfect, dar orice număr pozitiv este pătratul rădăcinii lui: $3=(\sqrt{3}{)}^2$. Deci putem scrie: $$x^2-3=x^2-(\sqrt{3}{)}^2=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0.$$ Din produsul nul: $x=\sqrt{3}$ sau $x=-\sqrt{3}$. Răspuns: $S=\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\}$. Compară cu metoda directă: $x^2=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$ — același rezultat. Vezi astfel că diferența de pătrate funcționează chiar și când „pătratul" ascunde un radical.

Exemplul 8 — ecuație cu fracție, redusă la forma cunoscută. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\frac{2x^2-8}{5}=0$.

O fracție este nulă doar când numărătorul este zero (numitorul $5\ne 0$), deci: $$2x^2-8=0\Rightarrow 2x^2=8\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2.$$ Răspuns: $S=\{-2;2\}$. Reține strategia: la o ecuație cu fracție, anulează numărătorul și continui ca la orice ecuație $a{x}^2+c=0$.

Exemplul 9 — aplicație în geometria în spațiu (aria unui cub). Un cub are aria totală de $54{\text{cm}}^2$. Află lungimea muchiei $a>0$.

Aria totală a unui cub cu muchia $a$ este suma celor șase fețe pătrate: $A_{\text{totala˘}}=6a^2$. Din enunț: $$6a^2=54\Rightarrow a^2=9\Rightarrow a=\pm 3.$$ Matematic apar două soluții, dar $a$ este o lungime, deci $a>0$; reținem doar $a=3\text{cm}$. Răspuns: muchia cubului este de $3\text{cm}$. Observă că pasul-cheie a fost tot „izolez $x^2$ și extrag radicalul", exact ca la orice ecuație $a{x}^2+c=0$.

Exemplul 10 — teorema lui Pitagora deghizată într-o ecuație incompletă. Diagonala unui pătrat are lungimea $d=8\text{cm}$. Află latura $\ell >0$ a pătratului.

Într-un pătrat, diagonala împarte figura în două triunghiuri dreptunghice cu catetele egale cu latura $\ell$. Din teorema lui Pitagora, ${\ell }^2+{\ell }^2=d^2$, adică: $$2{\ell }^2=8^2\Rightarrow 2{\ell }^2=64\Rightarrow {\ell }^2=32.$$ Numărul $32$ nu este pătrat perfect, deci extragem radicalul și scoatem factori de sub el: $$\ell =\pm \sqrt{32}=\pm 4\sqrt{2}.$$ Fiind o lungime, păstrăm $\ell =4\sqrt{2}\text{cm}$. Răspuns: latura este $\ell =4\sqrt{2}\text{cm}$. Vezi cum o problemă de geometrie se transformă, după teorema lui Pitagora, într-o ecuație de forma $a{x}^2+c=0$ pe care o rezolvi cu extragerea radicalului.

Să exersăm

Rezolvă în $\mathbb{R}$, cu toți pașii scriși. Exercițiile sunt gradate de la simplu la dificil.

1. $x^2-36=0$
2. $x^2-100=0$
3. $2x^2-32=0$
4. $5x^2-45=0$
5. $7x^2=0$
6. $x^2+16=0$
7. $3x^2-12=0$
8. $x^2-5=0$ (soluții cu radical)
9. $2x^2-14=0$ (soluții cu radical)
10. Adevărat sau fals, cu justificare: „Ecuația $4x^2+9=0$ are două soluții reale."
11. $16x^2-9=0$ (folosește diferența de pătrate)
12. $25x^2-49=0$ (folosește diferența de pătrate)
13. $\frac{x^2}{3}-3=0$
14. $(x-5)(x+5)=11$
15. $9x^2-4=0$ — rezolvă în două moduri (extragere de radical și diferență de pătrate) și compară.
16. $3x^2-2=0$ (soluții cu radical; scoate factorul comun de sub radical dacă e cazul)
17. Problemă (tip Evaluare Națională). Un pătrat are aria de $81{\text{cm}}^2$. Scrie ecuația care dă latura $\ell >0$ și rezolv-o. Câte soluții matematice are ecuația și de ce păstrezi una singură?
18. Raționament. Găsește numărul întreg $c$ astfel încât ecuația $x^2+c=0$ să aibă soluțiile $x=\pm 6$. Justifică.
19. $\frac{x^2-20}{4}=0$ (anulează numărătorul; soluții cu radical)
20. Adevărat sau fals, cu justificare: „Ecuația $x^2-7=0$ nu are soluții pentru că $7$ nu este pătrat perfect."
21. Item tip examen. Se dă ecuația $2x^2-50=0$. a) Rezolv-o în $\mathbb{R}$. b) Verifică soluția pozitivă înlocuind-o în ecuație.

Răspunsuri și explicații

1. $x^2=36\Rightarrow x=\pm 6$. $S=\{-6;6\}$.
2. $x^2=100\Rightarrow x=\pm 10$. $S=\{-10;10\}$.
3. $2x^2=32\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=\pm 4$. $S=\{-4;4\}$.
4. $5x^2=45\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$. $S=\{-3;3\}$.
5. $x^2=0\Rightarrow x=0$. O singură soluție: $S=\{0\}$.
6. $x^2=-16$, imposibil (pătrat negativ). $S=\varnothing$.
7. $3x^2=12\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$. $S=\{-2;2\}$.
8. $x^2=5\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}$. $S=\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\}$.
9. $2x^2=14\Rightarrow x^2=7\Rightarrow x=\pm \sqrt{7}$. $S=\{-\sqrt{7};\sqrt{7}\}$.
10. Fals. Din $4x^2=-9$ ar rezulta $x^2=-\frac{9}{4}<0$, imposibil pentru un pătrat. Ecuația nu are soluții reale ($S=\varnothing$). Este o sumă de pătrate.
11. $16x^2-9=(4x-3)(4x+3)=0\Rightarrow x=\frac{3}{4}$ sau $x=-\frac{3}{4}$. $S=\left\{-\frac{3}{4};\frac{3}{4}\right\}$.
12. $25x^2-49=(5x-7)(5x+7)=0\Rightarrow x=\frac{7}{5}$ sau $x=-\frac{7}{5}$. $S=\left\{-\frac{7}{5};\frac{7}{5}\right\}$.
13. $\frac{x^2}{3}=3\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$. $S=\{-3;3\}$.
14. $(x-5)(x+5)=x^2-25$, deci $x^2-25=11\Rightarrow x^2=36\Rightarrow x=\pm 6$. $S=\{-6;6\}$.
15. Extragere: $9x^2=4\Rightarrow x^2=\frac{4}{9}\Rightarrow x=\pm \frac{2}{3}$. Diferență de pătrate: $9x^2-4=(3x-2)(3x+2)=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}$ sau $x=-\frac{2}{3}$. Ambele metode dau $S=\left\{-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right\}$ — rezultat identic.
16. $3x^2=2\Rightarrow x^2=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$. $S=\left\{-\frac{\sqrt{6}}{3};\frac{\sqrt{6}}{3}\right\}$.
17. Ecuația este ${\ell }^2=81$, adică ${\ell }^2-81=0$. Rezolvând: $\ell =\pm 9$. Matematic sunt două soluții, $-9$ și $9$, dar $\ell$ este o lungime, deci $\ell >0$; păstrăm $\ell =9\text{cm}$. Răspuns: latura este $9\text{cm}$.
18. Dacă $x=\pm 6$ sunt soluții, atunci $x^2=36$, deci ecuația trebuie să fie $x^2-36=0$. Comparând cu $x^2+c=0$, avem $c=-36$. Justificare: înlocuind, $6^2+(-36)=36-36=0$ ✓, la fel pentru $-6$.
19. Numărătorul trebuie să fie zero: $x^2-20=0\Rightarrow x^2=20\Rightarrow x=\pm \sqrt{20}=\pm 2\sqrt{5}$. $S=\{-2\sqrt{5};2\sqrt{5}\}$.
20. Fals. Faptul că $7$ nu e pătrat perfect înseamnă doar că soluțiile nu sunt întregi, nu că lipsesc. Ecuația are două soluții reale (iraționale): $x=\pm \sqrt{7}$. Deci $S=\{-\sqrt{7};\sqrt{7}\}$.
21. a) $2x^2=50\Rightarrow x^2=25\Rightarrow x=\pm 5$, deci $S=\{-5;5\}$. b) Verificare pentru $x=5$: $2\cdot 5^2-50=2\cdot 25-50=50-50=0$ ✓.

De reținut

• Forma $a{x}^2+c=0$ se rezolvă izolând $x^2$: $x^2=-\frac{c}{a}$, apoi extragi radicalul cu ambele semne: $x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$ (când numărul e pozitiv).
• Discuția soluțiilor: dacă $x^2=k$ cu $k>0$ → două soluții opuse; dacă $k=0$ → o singură soluție $x=0$; dacă $k<0$ → nicio soluție reală.
• Forma $a{x}^2-b^2=0$ (diferență de pătrate) se descompune: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, apoi produsul nul dă cele două soluții opuse.
• Semnul contează: minus între pătrate → se descompune, are soluții; plus (sumă de pătrate) → nu are soluții reale dacă termenul liber nu e zero.
• Un pătrat de număr real este mereu $\ge 0$: aceasta este cheia întregii discuții.

Greșeli frecvente

• Uiți soluția negativă. Din $x^2=25$ scrii doar $x=5$. Corect: $x=\pm 5$, pentru că și $(-5{)}^2=25$. Pierzi jumătate din puncte fără această a doua soluție.
• Scrii soluții acolo unde nu există. La $x^2=-4$ unii „forțează" $x=\pm 2$. Greșit: un pătrat nu poate fi negativ, deci $S=\varnothing$. Verifică mereu semnul lui $-\frac{c}{a}$.
• Confuzi radicalul cu împărțirea. Din $x^2=16$ nu rezultă $x=16:2=8$, ci $x=\pm \sqrt{16}=\pm 4$. Radicalul „desface" pătratul, nu împarte la 2.
• Aplici diferența de pătrate la o sumă. Formula $(A-B)(A+B)$ funcționează doar pentru $A^2-B^2$ (cu minus). $A^2+B^2$ nu se descompune în $\mathbb{R}$; nu inventa paranteze acolo.

Aplică acasă

1. Măsoară o suprafață pătrată. Alege un obiect pătrat din casă (o dală, un tablou, un post-it) și măsoară-i aria aproximativă acoperind-o cu pătrățele mici. Scrie ecuația $x^2=\text{aria}$ și află latura prin extragerea radicalului; apoi verifică măsurând latura cu rigla. Discută de ce păstrezi doar soluția pozitivă.
2. Fabrică-ți diferențe de pătrate. Alege două numere, de exemplu $6$ și $5$, și scrie ecuația $36x^2-25=0$ (adică $(6x{)}^2-5^2$). Rezolv-o prin descompunere, apoi verifică soluțiile înlocuindu-le. Repetă cu alte perechi și observă că soluțiile sunt mereu opuse: al doilea număr împărțit la primul, cu ambele semne (aici $\pm \frac{5}{6}$).
3. Detectiv de semne. Scrie zece ecuații de forma $a{x}^2+c=0$ cu semne diferite și, fără să le rezolvi complet, prezice doar din semne câte soluții are fiecare (două / una / niciuna). Apoi verifică rezolvând. Este exact ce ți se cere la itemii rapizi de examen.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează două „algoritmi" care apar frecvent la Evaluarea Națională: extragerea radicalului dintr-o ecuație incompletă și folosirea diferenței de pătrate. Elevul trebuie să scrie ambele soluții (cu $\pm$) și să facă discuția numărului de soluții — acolo se pierd cele mai multe puncte.

Întrebări bune de verificare: „Câte soluții are $x^2=0$? Dar $x^2=-1$?", „De ce din $x^2=49$ obținem două numere?", „Când folosești diferența de pătrate și când nu?". Dacă elevul explică fără ezitare că un pătrat nu poate fi negativ și justifică de ce soluțiile sunt opuse, a înțeles esența.

Un semn clar de stăpânire este trecerea liberă între cele două metode la exercițiul 15 și obținerea aceluiași rezultat. La examen, aceste ecuații apar atât ca item de sine stătător (subiectul al II-lea), cât și ca pas intermediar în probleme cu arii, volume sau teorema lui Pitagora, unde $x^2=\text{ceva}$ apare natural. Insistați pe redactarea îngrijită și pe verificarea finală prin înlocuire.

Întrebări frecvente

Câte soluții are o ecuație de gradul al doilea de forma ax² + c = 0? Depinde de semnul lui $-\frac{c}{a}$: dacă e pozitiv, are două soluții reale opuse; dacă $c=0$, are o singură soluție, $x=0$; dacă e negativ, nu are soluții reale. Regula rapidă: $a$ și $c$ cu semne diferite → două soluții; cu același semn → niciuna.

De ce o ecuație de tipul x² + numar pozitiv = 0 nu are soluții? Pentru că ar duce la $x^2=$ număr negativ, iar pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu zero. Niciun număr real, ridicat la pătrat, nu poate da un rezultat negativ, deci mulțimea soluțiilor este vidă ($S=\varnothing$).

Cum rezolv o ecuație de forma ax² − b² = 0 cu diferența de pătrate? Scrii primul termen ca pătrat, $a{x}^2=(A{)}^2$, și termenul liber ca $b^2=(B{)}^2$, apoi folosești $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$. Egalezi produsul cu zero și aplici principiul produsului nul pe fiecare paranteză, obținând două soluții opuse.

Care e diferența dintre ax² + bx = 0 și ax² + c = 0? La $a{x}^2+bx=0$ lipsește termenul liber și se rezolvă prin scoaterea factorului comun (una dintre soluții e mereu $x=0$). La $a{x}^2+c=0$ lipsește termenul de mijloc și se rezolvă prin izolarea lui $x^2$ și extragerea radicalului; soluțiile sunt opuse și, în general, diferite de zero.

Trebuie să scriu întotdeauna semnul ± la extragerea radicalului? Da, atunci când rezolvi o ecuație $x^2=k$ cu $k>0$. Sunt două numere reale al căror pătrat dă $k$, deci scrii $x=\pm \sqrt{k}$. Excepție: în problemele practice (lungime, arie), reții doar soluția pozitivă, precizând motivul.

Ce fac dacă la x² îmi iese un număr care nu e pătrat perfect? Lași soluția scrisă cu radical: de exemplu, din $x^2=5$ rezultă $x=\pm \sqrt{5}$. Este un răspuns complet și corect. Dacă apare o fracție sub radical, o poți simplifica sau raționaliza, de exemplu $\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Pot folosi formula discriminantului (delta) la aceste ecuații? Nu la clasa a VIII-a. În programa de gimnaziu ecuațiile de gradul al doilea se rezolvă prin descompunere în factori și extragerea radicalului, nu cu $\Delta =b^2-4ac$ (acela se studiază în clasa a IX-a). Metodele din această lecție sunt pe deplin suficiente și cerute la Evaluarea Națională.

De ce sunt soluțiile ecuației ax² − b² = 0 mereu opuse? Pentru că ecuația se reduce la $x^2=\frac{b^2}{a}$, iar o ecuație de forma $x^2=k$, cu $k$ pozitiv, are două soluții simetrice față de zero: $+\sqrt{k}$ și $-\sqrt{k}$. La fel, prin descompunere, cele două paranteze $(A-B)$ și $(A+B)$ diferă doar prin semnul lui $B$, deci produc soluții opuse.

Cum apar aceste ecuații în problemele de geometrie în spațiu? Foarte des ca pas final. Când afli muchia unui cub din aria totală ($6a^2=A$) sau din volum, latura unui pătrat din diagonală (cu teorema lui Pitagora, $2{\ell }^2=d^2$), ori înălțimea unei piramide, ajungi mereu la o relație de tipul $x^2=\text{ceva}$. O rezolvi izolând $x^2$ și extrăgând radicalul, apoi păstrezi doar valoarea pozitivă, fiindcă reprezintă o lungime.