Ecuații de forma ax² + bx = 0. Rezolvare prin factor comun

Imaginează-ți că arunci în sus o minge de baschet și vrei să afli în ce momente ea se află exact la înălțimea de la care a pornit. Fizicianul scrie o relație de tipul $5t^2-20t=0$, unde $t$ este timpul, iar rezolvarea acestei ecuații îți spune, în câteva secunde, când mingea pleacă și când revine. Ecuația de mai sus nu are termen liber (îi lipsește constanta din capăt) și tocmai de aceea se rezolvă surprinzător de simplu: printr-un singur truc, scoaterea factorului comun. În această lecție înveți metoda completă pentru ecuațiile ax² + bx = 0, un tip de item care apare des la Evaluarea Națională și care se rezolvă în trei rânduri, dacă știi algoritmul.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o ecuație incompletă de gradul al doilea de forma $a{x}^2+bx=0$ (căreia îi lipsește termenul liber $c$).
• Vei ști să scoți factorul comun $x$ și să scrii ecuația sub forma $x(ax+b)=0$.
• Vei ști să aplici principiul produsului nul pentru a obține ambele soluții: $x=0$ și $ax+b=0$.
• Vei ști să rezolvi ecuația de gradul I $ax+b=0$ și să scrii a doua soluție ca $x=-\frac{b}{a}$.
• Vei ști să redactezi corect, pentru punctaj de examen, mulțimea soluțiilor $S$ a unei astfel de ecuații.

Hai să descoperim împreună

Cum arată o ecuație de forma ax² + bx = 0

În lecția precedentă ai lucrat cu ecuația generală de gradul al doilea $a{x}^2+bx+c=0$ și ai învățat principiul produsului nul (poți reciti totul în lecția Ecuația de forma ax² + bx + c = 0. Principiul produsului nul). Acum ne ocupăm de un caz particular, în care lipsește termenul liber, adică $c=0$.

O ecuație de forma $$a{x}^2+bx=0,a\ne 0$$ se numește ecuație incompletă de gradul al doilea. Termenii ei sunt doar doi:

• $a{x}^2$ — termenul de gradul al doilea (coeficientul $a$ nu poate fi zero, altfel ecuația nu ar mai fi de gradul doi);
• $bx$ — termenul de gradul întâi (coeficientul $b$ este un număr real oarecare, poate fi și pozitiv, și negativ).

Ce s-a întâmplat cu termenul liber $c$? Pur și simplu este $0$, deci nu-l mai scriem. De aceea acest tip de ecuație se mai numește și „ecuație de gradul doi fără termen liber".

Câteva exemple de astfel de ecuații: $$x^2-5x=0,3x^2+12x=0,2x^2=7x,-x^2+x=0.$$

Ai observat a treia ecuație? La prima vedere, $2x^2=7x$ nu pare de forma cerută. Dar dacă mutăm totul într-o parte, obținem $2x^2-7x=0$, deci este exact același tip. Regula de aur: înainte de a rezolva, adu întotdeauna ecuația la forma cu $0$ în membrul drept.

Ideea centrală: factorul comun

Cheia rezolvării este o observație pe care ai folosit-o deja la descompuneri (revezi lecția Descompunerea în factori prin scoaterea factorului comun). Cei doi termeni, $a{x}^2$ și $bx$, au ceva în comun: amândoi conțin litera $x$.

• $a{x}^2=a\cdot x\cdot x$ — conține $x$;
• $bx=b\cdot x$ — conține $x$.

Factorul care apare în ambii termeni este $x$. Îl putem „scoate în față": $$a{x}^2+bx=x(ax+b).$$

Verifică imediat, făcând înmulțirea la loc (aplici distributivitatea): $$x(ax+b)=x\cdot ax+x\cdot b=a{x}^2+bx.✓$$

Perfect, egalitatea este corectă. Astfel, o sumă (greu de rezolvat) s-a transformat într-un produs de doi factori: $x$ și $(ax+b)$. Iar produsele, la ecuații, sunt exact ce ne dorim.

De ce ne ajută produsul nul

Reamintește-ți principiul produsului nul, regula-vedetă a acestei unități:

Dacă un produs de doi factori este egal cu zero, atunci cel puțin unul dintre factori este zero. $$P\cdot Q=0⟺P=0\text{ sau }Q=0.$$

Această proprietate este valabilă numai pentru numărul $0$. Nu există o regulă asemănătoare pentru „$P\cdot Q=6$", pentru că $6$ se poate scrie ca produs în nenumărate feluri. Doar zero are privilegiul acesta: dacă produsul e nul, măcar un factor trebuie să fie nul.

La noi, produsul este $x(ax+b)$, iar el este egal cu $0$. Deci: $$x(ax+b)=0⟺x=0\text{sau}ax+b=0.$$

Am obținut două ecuații mai simple:

1. $x=0$ — soluția este gata, chiar în față;
2. $ax+b=0$ — o ecuație de gradul I, pe care o rezolvi rapid.

Rezolvarea ecuației de gradul I ax + b = 0

Pentru a doua soluție, rezolvi ecuația de gradul întâi $ax+b=0$ (metodă cunoscută din clasele anterioare): $$ax+b=0|-b$$ $$ax=-b|:a(a\ne 0)$$ $$x=-\frac{b}{a}.$$

Împărțirea la $a$ este permisă tocmai fiindcă $a\ne 0$ (condiția care ne asigură că ecuația e de gradul al doilea).

Observația-cheie pe care s-o reții pentru toată viața

Privește din nou soluțiile: $x_1=0$ și $x_2=-\frac{b}{a}$.

Orice ecuație de forma $a{x}^2+bx=0$ are întotdeauna soluția $x=0$.

De ce? Pentru că unul dintre factori este chiar $x$. Dacă înlocuiești $x=0$ în ecuația inițială, obții $a\cdot 0^2+b\cdot 0=0+0=0$, adevărat. Deci $x=0$ „verifică" mereu. Această observație e un test excelent: dacă rezolvi o ecuație de acest tip și nu-ți iese $0$ printre soluții, sigur ai greșit pe undeva.

Algoritmul în patru pași

Iată rețeta pe care o vei folosi de fiecare dată:

1. Aduci ecuația la forma $a{x}^2+bx=0$ (mută totul în stânga, ca în dreapta să rămână $0$).
2. Scoți factorul comun $x$: rescrii $a{x}^2+bx=x(ax+b)$, deci ecuația devine $x(ax+b)=0$.
3. Aplici produsul nul: $x=0$ sau $ax+b=0$.
4. Rezolvi ecuația de gradul I și scrii mulțimea soluțiilor $S=\left\{0,-\frac{b}{a}\right\}$.

Un prim exemplu, pas cu pas

Să rezolvăm $x^2-6x=0$.

Pasul 1. Ecuația este deja de forma dorită (are $0$ în dreapta). Aici $a=1$, $b=-6$.

Pasul 2. Factor comun $x$: $$x^2-6x=x(x-6),\text{deci}x(x-6)=0.$$

Pasul 3. Produsul nul: $$x=0\text{sau}x-6=0.$$

Pasul 4. A doua ecuație: $x-6=0\Rightarrow x=6$. Prin urmare, $$S=\{0,6\}.$$

Verificare (obligatorie la examen dacă vrei siguranță maximă):

• pentru $x=0$: $0^2-6\cdot 0=0$ ✓
• pentru $x=6$: $6^2-6\cdot 6=36-36=0$ ✓

Greșeala de neiertat: „împărțirea cu x"

Un elev grăbit ar putea gândi așa la $x^2-6x=0$: „împart totul la $x$ și obțin $x-6=0$, deci $x=6$". Rezultatul $x=6$ e corect, dar soluția $x=0$ a dispărut! Ai pierdut jumătate din răspuns.

De ce se întâmplă asta? Pentru că nu ai voie să împarți o ecuație cu o expresie care poate fi zero. Iar $x$ chiar poate fi $0$ — de fapt, $0$ este tocmai una dintre soluții. Împărțind cu $x$, „arunci la gunoi" exact soluția $x=0$.

Regula de siguranță: la ecuațiile $a{x}^2+bx=0$ nu împărți niciodată cu $x$. Scoți factorul comun și folosești produsul nul. Așa păstrezi ambele soluții.

Ce se întâmplă cu semnele lui b

Coeficientul $b$ poate fi negativ, iar atunci a doua soluție iese pozitivă, și invers. Să vedem cum:

• Dacă $x^2+4x=0$, atunci $x(x+4)=0$, deci $x=0$ sau $x+4=0\Rightarrow x=-4$. Aici $b=4>0$, iar soluția nenulă este negativă.
• Dacă $x^2-4x=0$, atunci $x(x-4)=0$, deci $x=0$ sau $x=4$. Aici $b=-4<0$, iar soluția nenulă este pozitivă.

Formula $x_2=-\frac{b}{a}$ confirmă acest lucru: semnul din față răstoarnă semnul lui $b$. Nu învăța pe de rost formula; înțelege mecanismul — e mai sigur la examen.

Când coeficientul a nu este 1

Uneori $a\ne 1$. Metoda e identică, dar la final apare o fracție. Rezolvăm $3x^2-5x=0$:

$$x(3x-5)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }3x-5=0.$$

Din a doua: $3x=5\Rightarrow x=\frac{5}{3}$. Așadar $S=\left\{0,\frac{5}{3}\right\}$.

Observă: nu are rost să scoatem și numărul comun. Am fi putut scrie $3x^2-5x=x(3x-5)$ — atât. Factorul comun de care avem nevoie la ecuații este litera $x$, fiindcă ea ne dă direct soluția $x=0$.

Legătura cu graficul (bonus de înțelegere)

Soluțiile ecuației $a{x}^2+bx=0$ sunt numerele $x$ pentru care expresia $a{x}^2+bx$ se anulează. Dacă te-ai gândi la o „mașinărie" care primește $x$ și scoate valoarea $a{x}^2+bx$, soluțiile sunt exact intrările pentru care ieșirea este $0$. Vei aprofunda ideea de valoare zero când vei studia funcțiile, dar reține de pe acum: a rezolva o ecuație = a găsi unde o expresie devine zero.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — cazul de bază

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $x^2-9x=0$.

Scoatem factorul comun $x$: $$x(x-9)=0.$$ Produsul nul: $$x=0\text{sau}x-9=0\Rightarrow x=9.$$ $$\boxed{S=\{0,9\}}$$

Verificare: $9^2-9\cdot 9=81-81=0$ ✓.

Exemplul 2 — soluția nenulă negativă

Rezolvă ecuația $x^2+7x=0$.

$$x(x+7)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x+7=0\Rightarrow x=-7.$$ $$\boxed{S=\{-7,0\}}$$

Verificare: $(-7{)}^2+7\cdot (-7)=49-49=0$ ✓. Observă că am scris mulțimea în ordine crescătoare, $-7<0$; este o obișnuință îngrijită, apreciată la corectare.

Exemplul 3 — coeficientul $a\ne 1$, soluție fracționară

Rezolvă ecuația $4x^2-6x=0$.

$$x(4x-6)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }4x-6=0.$$ Din a doua: $4x=6\Rightarrow x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$. $$\boxed{S=\left\{0,\frac{3}{2}\right\}}$$

Nu uita să simplifici fracția: $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$. Un răspuns nesimplificat poate pierde din eleganță (și uneori din punctaj).

Exemplul 4 — ecuația trebuie adusă mai întâi la forma standard

Rezolvă ecuația $2x^2=10x$.

Mai întâi mutăm totul în stânga, ca în dreapta să rămână $0$: $$2x^2-10x=0.$$ Factor comun: $$x(2x-10)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }2x-10=0.$$ Din a doua: $2x=10\Rightarrow x=5$. $$\boxed{S=\{0,5\}}$$

Atenție la capcană: dacă „simplificai" direct $2x^2=10x$ cu $x$, ajungeai la $2x=10\Rightarrow x=5$ și pierdeai soluția $x=0$. Metoda cu factor comun te ferește de asta.

Exemplul 5 — coeficient negativ la $x^2$

Rezolvă ecuația $-x^2+8x=0$.

E comod să înmulțim întâi cu $-1$, ca să avem coeficientul lui $x^2$ pozitiv (semnele se schimbă peste tot, dar ecuația rămâne echivalentă): $$x^2-8x=0.$$ Factor comun: $$x(x-8)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=8.$$ $$\boxed{S=\{0,8\}}$$

Verificare pe forma inițială, pentru $x=8$: $-8^2+8\cdot 8=-64+64=0$ ✓.

Exemplul 6 — item de tip Evaluare Națională (cu context)

O piatră este aruncată în sus de pe marginea unei fântâni. Înălțimea ei (în metri) față de nivelul de lansare, după $t$ secunde, este dată de expresia $h=20t-5t^2$. Determină momentele în care piatra se află la nivelul de lansare, adică $h=0$.

Punem $h=0$: $$20t-5t^2=0.$$ Rescriem cu termenul de gradul doi în față: $-5t^2+20t=0$, sau, mai comod, $$5t^2-20t=0.$$ Factor comun (aici putem scoate și pe $5$, dar suficient e $t$): $$5t(t-4)=0\Rightarrow t=0\text{ sau }t-4=0\Rightarrow t=4.$$ $$\boxed{S=\{0,4\}}$$

Interpretare: la $t=0$ piatra pleacă de la nivelul de lansare, iar la $t=4$ secunde revine la aceeași înălțime. Ambele soluții au sens fizic, fiindcă $t\ge 0$. Observă cum apare, din nou, inevitabila soluție $t=0$: momentul de start.

Să exersăm

Rezolvă în mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$. Scrie de fiecare dată mulțimea soluțiilor $S$.

1. $x^2-3x=0$

2. $x^2+5x=0$

3. $x^2-x=0$

4. $2x^2-8x=0$

5. $3x^2+9x=0$

6. $5x^2-2x=0$

7. $x^2+x=0$

8. $4x^2=12x$

9. $7x^2=-14x$

10. $-x^2+6x=0$

11. Adevărat sau fals, cu justificare: „Ecuația $x^2+11x=0$ are o singură soluție, $x=-11$."

12. Adevărat sau fals, cu justificare: „Orice ecuație de forma $a{x}^2+bx=0$ (cu $a\ne 0$) are soluția $x=0$."

13. Găsește greșeala în rezolvarea următoare și scrie soluția corectă: $$3x^2-12x=0|:3x\Rightarrow x-4=0\Rightarrow x=4,S=\{4\}.$$

14. Determină numărul real $b$ știind că ecuația $x^2+bx=0$ are soluția $x=5$. Care este cealaltă soluție?

15. Suma soluțiilor ecuației $x^2-10x=0$ este egală cu... (calculează și scrie valoarea).

16. (Aplicativ) Lungimea unei laturi a unei grădini, exprimată în metri, este soluția strict pozitivă a ecuației $x^2-6x=0$. Determină pentru ce valori ale lui $x$ se anulează expresia $x^2-6x$ și precizează care dintre ele poate reprezenta o lungime. (Explică de ce soluția nulă nu convine.)

17. (Tip Evaluare Națională) Se consideră expresia $E(x)=2x^2-14x$. Determină valorile lui $x$ pentru care $E(x)=0$.

18. (Provocare) Rezolvă ecuația $x(x-3)=2x$. Indicație: adu mai întâi totul în stânga și redu termenii asemenea, apoi scoate factorul comun.

Răspunsuri și explicații

1. $x(x-3)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=3$. $S=\{0,3\}$.

2. $x(x+5)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=-5$. $S=\{-5,0\}$.

3. $x(x-1)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=1$. $S=\{0,1\}$.

4. $2x^2-8x=0\Rightarrow x(2x-8)=0\Rightarrow x=0$ sau $2x=8\Rightarrow x=4$. $S=\{0,4\}$.

5. $3x^2+9x=0\Rightarrow x(3x+9)=0\Rightarrow x=0$ sau $3x=-9\Rightarrow x=-3$. $S=\{-3,0\}$.

6. $5x^2-2x=0\Rightarrow x(5x-2)=0\Rightarrow x=0$ sau $5x=2\Rightarrow x=\frac{2}{5}$. $S=\left\{0,\frac{2}{5}\right\}$.

7. $x(x+1)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=-1$. $S=\{-1,0\}$.

8. $4x^2=12x\Rightarrow 4x^2-12x=0\Rightarrow x(4x-12)=0\Rightarrow x=0$ sau $4x=12\Rightarrow x=3$. $S=\{0,3\}$.

9. $7x^2=-14x\Rightarrow 7x^2+14x=0\Rightarrow x(7x+14)=0\Rightarrow x=0$ sau $7x=-14\Rightarrow x=-2$. $S=\{-2,0\}$.

10. $-x^2+6x=0|\cdot (-1)\Rightarrow x^2-6x=0\Rightarrow x(x-6)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=6$. $S=\{0,6\}$.

11. Fals. Ecuația $x^2+11x=0$ se scrie $x(x+11)=0$, deci $x=0$ sau $x=-11$. Are două soluții, nu una: $S=\{-11,0\}$. Afirmația a „uitat" soluția $x=0$.

12. Adevărat. Deoarece $a{x}^2+bx=x(ax+b)$, unul dintre factori este chiar $x$. Înlocuind $x=0$ în ecuație: $a\cdot 0^2+b\cdot 0=0$, adevărat. Deci $x=0$ este întotdeauna soluție.

13. Greșeala este împărțirea cu $3x$: nu ai voie să împarți cu o expresie care poate fi zero, iar $x=0$ este chiar o soluție, care astfel se pierde. Corect: $3x^2-12x=0\Rightarrow x(3x-12)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=4$. Deci $S=\{0,4\}$.

14. Dacă $x=5$ este soluție, atunci verifică ecuația: $5^2+b\cdot 5=0\Rightarrow 25+5b=0\Rightarrow 5b=-25\Rightarrow b=-5$. Ecuația devine $x^2-5x=0$, adică $x(x-5)=0$, cu soluțiile $x=0$ și $x=5$. Cealaltă soluție este $\boxed{x=0}$.

15. $x^2-10x=0\Rightarrow x(x-10)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=10$. Suma soluțiilor: $0+10=\boxed{10}$.

16. $x^2-6x=0\Rightarrow x(x-6)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=6$. Valoarea strict pozitivă este $x=6$. Soluția $x=0$ nu convine ca lungime, fiindcă o lungime trebuie să fie un număr strict pozitiv (un segment de lungime $0$ nu există). Răspuns: $x=6$.

17. $E(x)=0\Rightarrow 2x^2-14x=0\Rightarrow x(2x-14)=0\Rightarrow x=0$ sau $2x=14\Rightarrow x=7$. $S=\{0,7\}$.

18. $x(x-3)=2x$. Aducem în stânga: $x(x-3)-2x=0$. Desfacem paranteza: $x^2-3x-2x=0\Rightarrow x^2-5x=0$. Scoatem factorul comun: $x(x-5)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=5$. $S=\{0,5\}$. (Atenție: nu împărți de la început cu $x$ egalitatea $x(x-3)=2x$, ai pierde soluția $x=0$.)

De reținut

• Forma ecuației: $a{x}^2+bx=0$, cu $a\ne 0$, este o ecuație incompletă de gradul al doilea (îi lipsește termenul liber $c$).
• Metoda: scoți factorul comun $x$: $a{x}^2+bx=x(ax+b)=0$.
• Produsul nul: $x(ax+b)=0⟺x=0\text{ sau }ax+b=0$.
• Cele două soluții: $x_1=0$ și $x_2=-\frac{b}{a}$, deci $S=\left\{0,-\frac{b}{a}\right\}$.
• Observația de aur: orice ecuație $a{x}^2+bx=0$ are întotdeauna soluția $x=0$.

Greșeli frecvente

• Împărțirea cu $x$. Cea mai gravă și mai frecventă greșeală: „scap" de $x$ împărțind, și pierd soluția $x=0$. Corect: scoate factorul comun, nu împărți niciodată cu o expresie care poate fi zero.
• Uitarea soluției $x=0$. Chiar și cu metoda corectă, unii scriu doar $x=-\frac{b}{a}$ și uită să treacă $0$ în mulțime. Verifică mereu: o astfel de ecuație are două soluții.
• Nerescrierea ecuației cu $0$ în dreapta. La forme ca $2x^2=10x$, dacă nu aduci totul în stânga, produsul nul nu se poate aplica. Corect: întâi $2x^2-10x=0$, apoi factor comun.
• Semnul greșit la a doua soluție. Din $ax+b=0$ rezultă $x=-\frac{b}{a}$, cu semnul lui $b$ răsturnat. Rezolvă ecuația de gradul I pas cu pas, nu „ghici" semnul.

Aplică acasă

• Cronometrul mingii. Aruncă vertical o minge (sau urmărește un clip cu o săritură). Alege un model simplu, de exemplu $h=6t-3t^2$ (metri și secunde), pune $h=0$ și rezolvă $3t^2-6t=0$ prin factor comun. Vei obține $t=0$ (lansarea) și $t=2$ s (revenirea). Compară rezultatul cu intuiția ta despre cât „stă mingea în aer".
• Fabrică de ecuații. Inventează singur $5$ ecuații de forma $a{x}^2+bx=0$ (variază semnele lui $b$ și ia și un $a\ne 1$), rezolvă-le și verifică fiecare soluție prin înlocuire. Provoacă un coleg să le rezolve fără să împartă cu $x$.
• Detectivul de greșeli. Scrie intenționat o rezolvare în care „împarți cu $x$" și pierzi soluția $x=0$, apoi explică în două rânduri de ce e greșit. Predarea greșelii altcuiva e cel mai bun mod de a nu o mai face tu.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează un algoritm scurt, dar cu o capcană conceptuală importantă: de ce nu se împarte cu $x$. Pentru a verifica înțelegerea, puneți elevului întrebări de tipul: „Câte soluții are o ecuație $a{x}^2+bx=0$ și de ce apare mereu $0$?", „Ce se pierde dacă împarți ecuația cu $x$?", „Cum aduci $2x^2=10x$ la forma cu produs nul?". Dacă elevul scrie mulțimea soluțiilor cu ambele valori și poate justifica prezența lui $0$, a înțeles esențialul.

Un semn de stăpânire reală este verificarea prin înlocuire: cereți-i să demonstreze că fiecare soluție găsită anulează expresia. La Evaluarea Națională, acest tip de ecuație apare atât ca subpunct într-o problemă de algebră (subiectul al II-lea), cât și integrat în probleme de geometrie unde o necunoscută (o lungime, o arie) satisface o astfel de ecuație. Redactarea corectă — trecerea prin forma factorizată și scrierea explicită a mulțimii $S$ — este punctată pas cu pas. Lecția pregătește direct trecerea la Ecuații de forma ax² + c = 0 și ax² − b² = 0 și la Ecuația completă ax² + bx + c = 0.

Întrebări frecvente

Cum rezolv o ecuație de forma ax² + bx = 0 la clasa a 8-a? Scoți factorul comun $x$ și scrii ecuația ca $x(ax+b)=0$. Apoi aplici principiul produsului nul: $x=0$ sau $ax+b=0$. Din a doua ecuație obții $x=-\frac{b}{a}$, deci soluțiile sunt $0$ și $-\frac{b}{a}$.

De ce nu am voie să împart ecuația cu x? Pentru că $x$ poate fi zero, iar $0$ este chiar una dintre soluții. Împărțind cu $x$, „elimini" tocmai soluția $x=0$ și rămâi cu un singur răspuns, deci ecuația pare că are mai puține soluții decât are în realitate.

De ce are întotdeauna soluția x = 0 o ecuație de forma ax² + bx = 0? Fiindcă expresia se factorizează ca $x(ax+b)$, iar unul dintre factori este chiar $x$. Când $x=0$, produsul este $0$, indiferent de valorile lui $a$ și $b$. Deci $x=0$ verifică mereu ecuația.

Ce este o ecuație incompletă de gradul al doilea? Este o ecuație de gradul al doilea căreia îi lipsește un termen. La $a{x}^2+bx=0$ lipsește termenul liber $c$ (adică $c=0$). Există și alte forme incomplete, cum ar fi $a{x}^2+c=0$, studiate în lecția următoare.

Câte soluții are o ecuație de forma ax² + bx = 0? Are soluțiile reale $x=0$ și $x=-\frac{b}{a}$. Ele sunt distincte ori de câte ori $b\ne 0$, ceea ce este cazul obișnuit al acestui tip de ecuație (dacă $b=0$, ecuația devine $a{x}^2=0$ și are singura soluție $x=0$).

Cum scot factorul comun dintr-o ecuație de gradul 2 fără termen liber? Observi că ambii termeni conțin litera $x$: $a{x}^2=x\cdot ax$ și $bx=x\cdot b$. Scoți $x$ în față și scrii $x(ax+b)$. Poți verifica desfăcând paranteza: $x\cdot ax+x\cdot b=a{x}^2+bx$.

Ce fac dacă ecuația arată ca 2x² = 10x și nu ca ax² + bx = 0? Muți totul într-un singur membru, ca în celălalt să rămână $0$: $2x^2-10x=0$. Abia apoi scoți factorul comun și aplici produsul nul. Fără această aducere la forma standard, metoda nu funcționează.

Trebuie să verific soluțiile la Evaluarea Națională? Verificarea nu este obligatorie pentru punctaj, dar este puternic recomandată: îți confirmă în câteva secunde că nu ai greșit. Un test rapid este să te asiguri că $x=0$ apare printre soluții — dacă lipsește, sigur este o eroare de calcul.