Cum rezolv o ecuație de gradul doi fără delta?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Ecuația completă prin descompunere

Aduci toți termenii într-un singur membru, apoi transformi expresia în produs și egalezi fiecare factor cu zero. Când coeficientul lui $x^{2}$ este $1$ , cauți două numere a căror sumă dă termenul din mijloc și al căror produs dă termenul liber. La $x^{2} + 7 x + 12 = 0$ perechea $3$ și $4$ potrivește, deci $(x + 3) (x + 4) = 0$ și soluțiile sunt $- 3$ și $- 4$ . Le pui înapoi în ecuație ca să te asiguri.

Ecuația completă $a x^{2} + b x + c = 0$ (cu $a \neq = 0$ , $b \neq = 0$ , $c \neq = 0$ ) se rezolvă la clasa a VIII-a prin descompunere în factori — formula discriminantului vine abia la liceu. Pașii:

Verifici dacă membrul stâng e pătrat perfect: $x^{2} \pm 2 k x + k^{2} = (x \pm k)^{2}$ — atunci ecuația are o soluție dublă.
Dacă nu, iar $a = 1$ : cauți două numere cu $m + n = b$ și $m \cdot n = c$ ; obții direct $(x + m) (x + n) = 0$ .
Dacă $a \neq = 1$ : cauți $m + n = b$ și $m \cdot n = a \cdot c$ , „spargi" termenul din mijloc în $m x + n x$ și scoți factor comun pe grupe.
Aplici principiul produsului nul: fiecare factor, egalat cu zero.

Exemplu: $x^{2} + 7 x + 12 = 0$ . Caut $m + n = 7$ , $m \cdot n = 12$ — perechea $(3, 4)$ potrivește: $(x + 3) (x + 4) = 0$ , deci $x = - 3$ sau $x = - 4$ .

Nu uita să verifici soluțiile în ecuația inițială!

De reținut

toți termenii într-un membru, zero în celălalt
pentru $x^{2} + b x + c$ : două numere cu suma $b$ și produsul $c$
fiecare factor egalat cu zero dă câte o soluție

Greșeala tipică

Se caută perechea de numere fără să se aducă întâi toți termenii într-un singur membru. Metoda funcționează doar pe forma cu zero în dreapta, altfel numerele găsite nu au nicio legătură cu soluțiile.

Exerciții din această mini-lecție

Care este soluția ecuației $x^{2} - 16 x + 64 = 0$ , rezolvată prin recunoașterea pătratului perfect?
- a) $x = 8$ (soluție dublă)
- b) $x = - 8$ (soluție dublă)
- c) $x = 8$ sau $x = - 8$
- d) $x = 4$ (soluție dublă)
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 8$ (soluție dublă)

$64 = 8^{2}$ și $2 \cdot x \cdot 8 = 16 x$ , deci $x^{2} - 16 x + 64 = (x - 8)^{2}$ . Ecuația devine $(x - 8)^{2} = 0$ , adică $x - 8 = 0$ , deci $x = 8$ , soluție dublă.
Descompune în factori membrul stâng al ecuației $x^{2} + 8 x + 15 = 0$ , căutând două numere $m$ și $n$ cu $m + n = 8$ și $m \cdot n = 15$ .
- a) $(x + 3) (x + 5)$
- b) $(x + 15) (x + 1)$
- c) $(x - 3) (x - 5)$
- d) $(x + 4) (x + 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x + 3) (x + 5)$

Căutăm $m + n = 8$ și $m \cdot n = 15$ : perechea $3$ și $5$ merge, pentru că $3 + 5 = 8$ și $3 \cdot 5 = 15$ . Deci $x^{2} + 8 x + 15 = (x + 3) (x + 5)$ .
Care este soluția ecuației $x^{2} + 20 x + 100 = 0$ , rezolvată prin recunoașterea pătratului perfect?
- a) $x = 10$ (soluție dublă)
- b) $x = - 10$ (soluție dublă)
- c) $x = - 10$ sau $x = 10$
- d) $x = - 20$ (soluție dublă)
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = - 10$ (soluție dublă)

$100 = 1 0^{2}$ și $2 \cdot x \cdot 10 = 20 x$ , deci $x^{2} + 20 x + 100 = (x + 10)^{2}$ . Ecuația devine $(x + 10)^{2} = 0$ , adică $x = - 10$ , soluție dublă.

Întrebări conexe

Ce înseamnă că o ecuație de gradul al doilea are soluție dublă?

Înseamnă că descompunerea dă de două ori aceeași paranteză, ca în $(x - 5)^{2} = 0$ . Ecuația are o singură valoare care o verifică, dar se spune că soluția se numără de două ori. Se întâmplă exact când membrul stâng este trinom pătrat perfect.

Cum recunosc perechea de numere potrivită și cum știu că am ales bine?

Scrii toate perechile care dau produsul cerut, apoi verifici care dintre ele are și suma potrivită. La produsul $12$ ai $1$ și $12$ , $2$ și $6$ , $3$ și $4$ ; doar ultima adună $7$ . Semnele le decizi după semnul termenului liber.

Ce fac dacă ecuația vine cu paranteze sau cu numitori?

Înmulțești cu numitorul comun ca să scapi de fracții, desfaci parantezele, reduci termenii asemenea și abia apoi descompui. Sări peste acești pași și ecuația nu arată niciodată ca un produs, oricât ai încerca.

Cum arată o ecuație de gradul al doilea cu ambele soluții negative?

Are termenul liber pozitiv și coeficientul din mijloc pozitiv, ca la $x^{2} + 9 x + 20 = 0$ , unde soluțiile ies $- 4$ și $- 5$ . Semnele din paranteze urmează semnele numerelor găsite, așa că se pot anticipa înainte de calcul.

Ce legătură are un trinom pătrat perfect cu rezolvarea ecuației?

Când membrul stâng se restrânge la o singură paranteză ridicată la pătrat, rezolvarea se termină într-un pas: $x^{2} - 10 x + 25 = 0$ devine $(x - 5)^{2} = 0$ , deci $x = 5$ . De aceea testul de pătrat se face înaintea căutării perechii de numere.

La ce ajută descompunerea într-o problemă în care se cere o lungime?

Îți dă ambele valori posibile, iar dintre ele o alegi pe cea cu sens fizic. Dintr-o ecuație cu soluțiile $- 12$ și $5$ , o lățime nu poate fi decât $5$ . Fără descompunere nu ai avea de unde alege.

Oamenii mai întreabă și: ecuație de gradul doi fără discriminant · rezolvarea ecuației de gradul al doilea prin descompunere · cum rezolv ax pătrat plus bx plus c egal zero · ecuația completă de gradul doi · descompunere în factori la ecuații