Raționalizarea numitorului de forma a√b

Imaginează-ți că împarți o pizza între câțiva prieteni și, la final, rezultatul îți iese ceva de genul $\frac{3}{2\sqrt{5}}$. Arată complicat, nu? Ai un radical fix jos, la numitor, exact acolo unde ți-ar plăcea să vezi un număr întreg, simplu de calculat. Vestea bună este că există o metodă curată și sigură prin care „muți" radicalul de la numitor la numărător, fără să schimbi valoarea fracției. Această metodă se numește raționalizarea numitorului și este una dintre cele mai utile deprinderi din capitolul cu radicali de la clasa a VII-a. În lecția de față vei învăța exact cum raționalizezi o fracție cu radical la numitor, pas cu pas, cu multe exemple rezolvate complet.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici de ce raționalizăm numitorul unei fracții și ce câștigăm din asta.
• Vei ști să recunoști o fracție cu numitor de forma $a\sqrt{b}$ și să o amplifici cu $\sqrt{b}$.
• Vei ști să aplici algoritmul raționalizării pas cu pas, fără să greșești ordinea operațiilor.
• Vei ști să simplifici rezultatul final al raționalizării, ca să obții forma cea mai frumoasă.
• Vei ști să folosești raționalizarea în mici probleme practice (arii, medii, comparări de numere reale).

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă, de fapt, „raționalizarea numitorului"

Hai să luăm cuvântul pe bucăți. Numitorul este numărul de jos al unei fracții. A raționaliza vine de la „număr rațional": înseamnă să facem în așa fel încât numitorul să devină un număr rațional (ideal, un număr întreg), scăpând de radicalul care stă acolo.

Deci, foarte pe scurt:

A raționaliza numitorul = a transforma o fracție care are un radical la numitor într-o fracție egală, dar care are la numitor un număr rațional (fără radical).

Atenție la un cuvânt-cheie: egală. Nu avem voie să schimbăm valoarea fracției. Nu ștergem radicalul cu buretele; îl mutăm cu ajutorul unei operații corecte. Vom vedea imediat care e trucul.

De ce ne deranjează un radical la numitor?

Poate te întrebi: „Dacă $\frac{1}{\sqrt{2}}$ este un număr perfect valabil, de ce să ne mai batem capul?" Sunt câteva motive foarte practice:

1. Calculul cu creionul devine mult mai ușor. Știm din memorie că $\sqrt{2}\approx 1,41$. Încearcă să calculezi $\frac{1}{\sqrt{2}}$ direct: ar trebui să faci $1:1,41$, o împărțire urâtă cu virgulă. În schimb, forma raționalizată $\frac{\sqrt{2}}{2}$ înseamnă $1,41:2=0,705$ — o simplă înjumătățire. Împărțirea la un număr întreg este întotdeauna mai comodă decât împărțirea la un număr cu virgulă infinită.

2. Este forma „standard" cerută în școală. La testări, examene și în manuale, răspunsul la o fracție cu radical se dă, prin convenție, cu numitorul raționalizat. Un răspuns lăsat sub forma $\frac{3}{2\sqrt{5}}$ este considerat neterminat, chiar dacă valoarea e corectă.

3. Ne ajută să comparăm și să adunăm. Când toate fracțiile au numitori raționali (numere întregi), le putem aduce ușor la același numitor și le putem aduna sau compara, exact ca la fracțiile obișnuite din clasa a V-a. Încearcă, de pildă, să compari $\frac{1}{\sqrt{2}}$ cu $\frac{1}{\sqrt{3}}$ în forma lor „urâtă": e greu, fiindcă amândoi numitorii sunt numere iraționale. Dar în forma raționalizată, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\frac{\sqrt{3}}{3}$, comparația devine limpede după ce le aduci la același numitor sau le aproximezi. Raționalizarea este, așadar, și un instrument de ordonare a numerelor reale, temă pe care ai atins-o în lecția Compararea și ordonarea numerelor reale.

4. Este forma cu care lucrează calculatoarele „de mână". Chiar dacă un calculator îți dă direct $0,707\dots$ pentru $\frac{1}{\sqrt{2}}$, în rezolvările scrise — la teze, la olimpiadă, la examen — răspunsul exact se preferă în locul unei aproximări. Iar forma exactă cea mai curată este cea raționalizată, fiindcă păstrează radicalul „sus", vizibil, și numitorul întreg.

Analogie utilă. Gândește-te la o bancnotă de $10$ lei și la două bancnote de $5$ lei. Valoarea e aceeași, dar forma diferă: cu două bancnote de $5$ plătești mai comod la automatul de sucuri. La fel, $\frac{1}{\sqrt{2}}$ și $\frac{\sqrt{2}}{2}$ „valorează" identic, dar forma raționalizată e cea cu care „plătești" mai ușor la calcule. Raționalizarea nu îmbogățește și nu sărăcește fracția — doar o dă în „monede" mai practice.

Ingredientul secret: amplificarea unei fracții

Ca să mutăm radicalul, folosim o unealtă pe care o cunoști deja din clasele mai mici: amplificarea fracției.

A amplifica o fracție înseamnă a înmulți și numărătorul, și numitorul cu același număr nenul.

Amplificarea nu schimbă valoarea fracției, pentru că, de fapt, înmulțim fracția cu $1$ scris deștept. De exemplu: $$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20}.$$ Am înmulțit sus și jos cu $5$, adică am înmulțit cu $\frac{5}{5}=1$. Valoarea a rămas $0,75$; s-au schimbat doar „hainele" fracției.

La raționalizare facem exact la fel, dar amplificăm cu un radical ales cu grijă, nu cu un număr întreg.

De ce funcționează? Proprietatea $\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}=b$

Cheia întregii metode este o proprietate simplă a radicalilor, pe care ai întâlnit-o la înmulțirea numerelor reale cu radicali (vezi lecția Înmulțirea numerelor reale cu radicali):

$$\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}={\left(\sqrt{b}\right)}^2=b,\text{pentru orice }b\ge 0.$$

Cu alte cuvinte, radicalul înmulțit cu el însuși dispare și rămâne numărul de sub radical. De exemplu:

• $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$
• $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$
• $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=7$

Aici e toată magia: dacă la numitor am un $\sqrt{b}$ supărător și îl înmulțesc cu încă un $\sqrt{b}$, obțin $b$ — un număr fără radical. Ca să nu stric fracția, înmulțesc și sus cu același $\sqrt{b}$. Gata: am raționalizat!

Cazul cel mai simplu: numitorul este $\sqrt{b}$

Să pornim de la cel mai simplu exemplu posibil: $\frac{1}{\sqrt{7}}$.

Numitorul este $\sqrt{7}$. Ca să scap de radical, amplific fracția cu $\sqrt{7}$:

$$\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{1\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}.$$

Observă ce s-a întâmplat:

• Sus: $1\cdot \sqrt{7}=\sqrt{7}$ (radicalul a urcat la numărător).
• Jos: $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=7$ (radicalul a dispărut, a rămas numărul întreg $7$).

Rezultatul $\frac{\sqrt{7}}{7}$ are numitorul rațional. Am terminat.

Cazul lecției noastre: numitorul este $a\sqrt{b}$

Acum ajungem la forma din titlu: numitori de tipul $a\sqrt{b}$, adică un număr rațional $a$ înmulțit cu un radical $\sqrt{b}$. De exemplu $2\sqrt{5}$, $3\sqrt{2}$, $5\sqrt{7}$.

Întrebarea firească este: cu ce amplific? Ai putea crede că trebuie să amplifici cu tot numitorul, adică cu $a\sqrt{b}$. Se poate și așa, dar e muncă în plus. Trucul deștept: amplifici doar cu $\sqrt{b}$, pentru că numărul $a$ este deja rațional — el nu ne deranjează deloc! Doar radicalul trebuie „curățat".

Să vedem pe forma generală. Fie fracția $\frac{m}{a\sqrt{b}}$. Amplific cu $\sqrt{b}$:

$$\frac{m}{a\sqrt{b}}=\frac{m\cdot \sqrt{b}}{a\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}}=\frac{m\sqrt{b}}{a\cdot b}.$$

La numitor am folosit că $\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}=b$, deci $a\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}=a\cdot b$. Gata: numitorul a devenit numărul rațional $a\cdot b$.

Algoritmul raționalizării, pas cu pas

Hai să transformăm toată ideea într-o rețetă clară, pe care o poți urma de fiecare dată:

1. Uită-te la numitor și identifică radicalul $\sqrt{b}$ (numărul de sub radical).
2. Amplifică fracția cu $\sqrt{b}$ — adică înmulțește și numărătorul, și numitorul cu $\sqrt{b}$. Scrie clar acest pas.
3. Calculează numitorul: $\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}=b$, deci $a\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}=a\cdot b$. Numitorul devine un număr întreg.
4. Calculează numărătorul: înmulțește ce era sus cu $\sqrt{b}$.
5. Simplifică fracția obținută, dacă numărătorul și numitorul au un divizor comun.

Ține minte regula de aur, care rezumă totul pentru numitori de forma $a\sqrt{b}$:

$$\boxed{\frac{m}{a\sqrt{b}}=\frac{m\sqrt{b}}{ab}}$$

Hai să „citim cu voce tare" un exemplu, ca să vezi cum sună fiecare pas în minte când lucrezi singur. Luăm $\frac{9}{2\sqrt{3}}$. Gândesc așa: „Numitorul are un $\sqrt{3}$; ca să scap de el, amplific cu $\sqrt{3}$." Scriu: $$\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{9\cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}.$$ „La numitor, $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$, deci $2\cdot 3=6$. La numărător, $9\cdot \sqrt{3}=9\sqrt{3}$." $$=\frac{9\sqrt{3}}{6}.$$ „Acum verific: $9$ și $6$ se împart amândouă la $3$." $$=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$ „Numitorul e $2$, un număr întreg — am terminat." Acest mic „monolog interior" te ajută să nu sari niciun pas atunci când lucrezi contra cronometru.

Amplific cu $\sqrt{b}$ sau cu tot $a\sqrt{b}$? Ambele drumuri ajung la același rezultat

Mulți elevi se întreabă, pe bună dreptate: „Bine, dar dacă greșesc și amplific cu tot numitorul $a\sqrt{b}$, obțin un răspuns fals?" Vestea liniștitoare este nu: rezultatul final este exact același, doar că ai de muncit mai mult și trebuie să simplifici la sfârșit. Hai să vedem asta pe fracția $\frac{3}{2\sqrt{5}}$, luată pe ambele căi.

Drumul scurt (amplific cu $\sqrt{5}$): $$\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{2\cdot 5}=\frac{3\sqrt{5}}{10}.$$ Gata din prima, fără simplificare.

Drumul lung (amplific cu tot $2\sqrt{5}$): $$\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3\cdot 2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{4\cdot 5}=\frac{6\sqrt{5}}{20}.$$ Aici numitorul a devenit $20$, mai mare, iar la final trebuie să simplific prin $2$: $$\frac{6\sqrt{5}}{20}=\frac{3\sqrt{5}}{10}.$$

Vezi? Același $\frac{3\sqrt{5}}{10}$, dar pe drumul lung am trecut prin numere mai mari și am fost obligat să mai fac o simplificare. De aceea recomandarea rămâne: amplifică doar cu $\sqrt{b}$. Nu e o regulă „secretă" care schimbă rezultatul, ci doar cea mai leneșă (și deci cea mai deșteaptă) cale.

O fișă de valori pe care merită să le ții minte

Câteva fracții cu radical la numitor apar atât de des în probleme, încât e util să le recunoști raționalizate „din prima privire". Nu trebuie să le memorezi mecanic — dacă știi algoritmul, le obții oricând în cinci secunde — dar te vor ajuta la viteză:

Observă ultimele două rânduri: când numărătorul este chiar numărul de sub radical, rezultatul se „strânge" într-un radical simplu, fără numitor. Este cazul frumos $\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}$, pe care îl vei folosi des la latura pătratului pornind de la arie.

Nu uita ultimul pas: simplificarea

Foarte des, după ce raționalizezi, fracția se mai poate simplifica. Asta se întâmplă când numărătorul (partea rațională a lui) și numitorul au un factor comun. Uite un exemplu care arată de ce nu trebuie să te oprești prea devreme:

$$\frac{10}{3\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{10\sqrt{2}}{6}.$$

Aici numărătorul are coeficientul $10$, iar numitorul e $6$. Amândouă se împart la $2$:

$$\frac{10\sqrt{2}}{6}=\frac{5\sqrt{2}}{3}.$$

Rezultatul final, cel mai frumos, este $\frac{5\sqrt{2}}{3}$. Dacă te-ai fi oprit la $\frac{10\sqrt{2}}{6}$, răspunsul nu era greșit ca valoare, dar era incomplet — la fel ca atunci când lași $\frac{6}{8}$ în loc de $\frac{3}{4}$.

Un sfat de aur: simplifică radicalul ÎNAINTE, dacă se poate

Uneori numitorul pare de forma $a\sqrt{b}$, dar radicalul din el se poate scoate de sub radical (vezi lecția Scoaterea factorilor de sub radical). În astfel de cazuri, e mult mai deștept să simplifici întâi radicalul, ca să lucrezi cu numere mici. De pildă, la $\frac{6}{\sqrt{12}}$, observăm că $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$. Deci:

$$\frac{6}{\sqrt{12}}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}.$$

Am și simplificat pe drum $\frac{6}{2}=3$. Acum raționalizăm ce a rămas:

$$\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$$

Uimitor, nu? O fracție care arăta încâlcit, $\frac{6}{\sqrt{12}}$, era de fapt chiar $\sqrt{3}$. Morala: întâi curăță radicalul de sub radical, apoi raționalizează.

O verificare pe care merită s-o faci

Cum știi că nu ai greșit? Compară valorile aproximative! Înainte: $\frac{3}{2\sqrt{5}}$. Știm că $\sqrt{5}\approx 2,236$, deci numitorul $\approx 2\cdot 2,236=4,472$, iar fracția $\approx 3:4,472\approx 0,671$. După raționalizare: $\frac{3\sqrt{5}}{10}\approx \frac{3\cdot 2,236}{10}=\frac{6,708}{10}=0,671$. Aceeași valoare — deci transformarea a fost corectă. Această verificare rapidă te salvează de greșeli.

De ce apar radicalii la numitor în probleme adevărate

Poate crezi că fracțiile cu radical la numitor apar doar în exercițiile din manual, special construite. Nu e așa — ele răsar natural în multe situații. Iată câteva pe care le vei întâlni chiar în clasa a VII-a:

• La geometrie. Când calculezi latura unui pătrat pornind de la aria lui, apar expresii de forma $\frac{A}{\sqrt{A}}$. La triunghiul dreptunghic și la trigonometrie (mai târziu, în capitolul de relații metrice), sinusul și cosinusul unor unghiuri „frumoase" duc la valori ca $\frac{1}{\sqrt{2}}$ sau $\frac{1}{\sqrt{3}}$, pe care le raționalizezi imediat.
• La medii. În lecția Media aritmetică ponderată și media geometrică, media geometrică a două numere conține un radical, iar la împărțiri apar numitori cu radical.
• La compararea numerelor reale. Ca să pui în ordine numere ca $\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, cel mai comod e să le raționalizezi întâi, ca să lucrezi cu numitori întregi.

Cu alte cuvinte, raționalizarea nu e un moft: e o unealtă pe care o vei scoate din trusă de zeci de ori până la sfârșitul anului. Cu cât o stăpânești mai bine acum, cu atât îți va fi mai ușor mai târziu.

Un exemplu „din viața geometriei": latura unui pătrat

Ca să vezi cât de repede apare raționalizarea în geometria plană de clasa a VII-a, hai să rezolvăm o mini-problemă. Un pătrat are diagonala $d=6$ cm. Cât este latura lui?

La un pătrat cu latura $\ell$, diagonala se leagă de latură prin relația $d=\ell \sqrt{2}$ (o vei demonstra riguros cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de două laturi și diagonală). De aici scoatem latura: $$\ell =\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}.$$ Iată-l pe radicalul supărător la numitor! Îl raționalizăm imediat, amplificând cu $\sqrt{2}$: $$\ell =\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{cm}.$$ Rezultatul curat este $\ell =3\sqrt{2}$ cm $\approx 4,24$ cm. Fără raționalizare, ai fi rămas cu $\frac{6}{\sqrt{2}}$, o formă corectă, dar de care nu poți face nimic mai departe (de exemplu, ca s-o compari cu altă lungime sau ca s-o aduni la un perimetru). Cu forma $3\sqrt{2}$ lucrezi imediat. Acesta este exact motivul practic pentru care raționalizarea a devenit „forma standard": ea îți dă un răspuns cu care poți continua calculul.

O capcană des întâlnită: numitor „ascuns" de forma a√b

Uneori numitorul nu arată din prima ca $a\sqrt{b}$, dar devine așa după puțină ordine. De exemplu, la $\frac{4}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}$ ai putea intra în panică. Dar $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, deci numitorul este de fapt $2\sqrt{3}$ — exact forma $a\sqrt{b}$ pe care o știi să o tratezi! Morala: fă mai întâi curat în numitor (calculează produsele de radicali, scoate factorii de sub radical), apoi aplică algoritmul. De aceea capitolele anterioare — scoaterea factorilor de sub radical și înmulțirea numerelor reale cu radicali — sunt „mâna dreaptă" a raționalizării.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — cazul de bază

Raționalizează: $\frac{1}{\sqrt{7}}$.

Numitorul este $\sqrt{7}$, deci amplific cu $\sqrt{7}$: $$\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{1\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}.$$ Nu se mai poate simplifica (numărătorul are coeficient $1$). Răspuns: $\frac{\sqrt{7}}{7}$.

Exemplul 2 — exemplul-vedetă al lecției

Raționalizează: $\frac{3}{2\sqrt{5}}$.

Radicalul de la numitor este $\sqrt{5}$. Amplific cu $\sqrt{5}$: $$\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3\cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{2\cdot 5}=\frac{3\sqrt{5}}{10}.$$ Numărătorul are coeficient $3$, numitorul e $10$; nu au divizori comuni, deci nu se simplifică. Răspuns: $\frac{3\sqrt{5}}{10}$.

Exemplul 3 — cu simplificare la final

Raționalizează: $\frac{10}{3\sqrt{2}}$.

Amplific cu $\sqrt{2}$: $$\frac{10}{3\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{10\sqrt{2}}{6}.$$ Acum simplific prin $2$ (atât $10$, cât și $6$ se împart la $2$): $$\frac{10\sqrt{2}}{6}=\frac{5\sqrt{2}}{3}.$$ Răspuns: $\frac{5\sqrt{2}}{3}$.

Exemplul 4 — simplifică radicalul mai întâi

Raționalizează: $\frac{6}{\sqrt{12}}$.

Întâi scot factorii de sub radical: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$. Fracția devine $\frac{6}{2\sqrt{3}}$. Simplific coeficienții $\frac{6}{2}=3$: $$\frac{6}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}.$$ Acum raționalizez, amplificând cu $\sqrt{3}$: $$\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$$ Răspuns: $\sqrt{3}$.

Exemplul 5 — coeficient mai mare, simplificare frumoasă

Raționalizează: $\frac{14}{5\sqrt{7}}$.

Amplific cu $\sqrt{7}$: $$\frac{14}{5\sqrt{7}}=\frac{14\sqrt{7}}{5\cdot 7}=\frac{14\sqrt{7}}{35}.$$ Simplific prin $7$ ($14:7=2$, $35:7=5$): $$\frac{14\sqrt{7}}{35}=\frac{2\sqrt{7}}{5}.$$ Răspuns: $\frac{2\sqrt{7}}{5}$.

Exemplul 6 — și la numărător este un radical

Raționalizează: $\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{6}}$.

Amplific cu $\sqrt{6}$. La numărător folosesc $\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{18}$, iar la numitor $4\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}=4\cdot 6=24$: $$\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}{4\cdot 6}=\frac{\sqrt{18}}{24}.$$ Scot factorii de sub radical: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$. Deci: $$\frac{\sqrt{18}}{24}=\frac{3\sqrt{2}}{24}=\frac{\sqrt{2}}{8}.$$ Am simplificat la final prin $3$. Răspuns: $\frac{\sqrt{2}}{8}$.

Exemplul 7 — coeficientul se simplifică frumos cu numitorul

Raționalizează: $\frac{12}{5\sqrt{6}}$.

Amplific cu $\sqrt{6}$. La numitor $5\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}=5\cdot 6=30$: $$\frac{12}{5\sqrt{6}}=\frac{12\sqrt{6}}{5\cdot 6}=\frac{12\sqrt{6}}{30}.$$ Acum simplific prin $6$ ($12:6=2$, $30:6=5$): $$\frac{12\sqrt{6}}{30}=\frac{2\sqrt{6}}{5}.$$ Răspuns: $\frac{2\sqrt{6}}{5}$. Observă cât de important a fost ultimul pas: fără simplificare, ai fi lăsat $\frac{12\sqrt{6}}{30}$, o formă corectă ca valoare, dar neîngrijită.

Exemplul 8 — verificarea prin valoare aproximativă

Raționalizează $\frac{5}{2\sqrt{3}}$ și verifică rezultatul cu aproximări.

Amplific cu $\sqrt{3}$: $$\frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{5\sqrt{3}}{6}.$$ Numărătorul are coeficientul $5$, numitorul e $6$; nu au divizori comuni, deci nu se simplifică.

Acum verificarea, care nu costă nimic și te apără de greșeli. Știm $\sqrt{3}\approx 1,732$.

• Fracția inițială: numitorul $\approx 2\cdot 1,732=3,464$, deci $\frac{5}{3,464}\approx 1,443$.
• Fracția raționalizată: $\frac{5\cdot 1,732}{6}=\frac{8,66}{6}\approx 1,443$.

Aceeași valoare — semn că transformarea a fost corectă. Răspuns: $\frac{5\sqrt{3}}{6}$.

Exemplul 9 — două radicale în joc, cu simplificare finală

Raționalizează $\frac{\sqrt{10}}{6\sqrt{2}}$.

Amplific cu $\sqrt{2}$. La numărător folosesc $\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{20}$, iar la numitor $6\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=6\cdot 2=12$: $$\frac{\sqrt{10}}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}}{6\cdot 2}=\frac{\sqrt{20}}{12}.$$ Scot factorii de sub radical: $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$. Deci: $$\frac{\sqrt{20}}{12}=\frac{2\sqrt{5}}{12}=\frac{\sqrt{5}}{6}.$$ Am simplificat la final prin $2$. Răspuns: $\frac{\sqrt{5}}{6}$. Reține pașii care s-au înlănțuit aici: amplific → înmulțesc radicalii → scot factori de sub radical → simplific. Este exact „trusa completă" a capitolului cu radicali, pusă la treabă într-un singur exercițiu.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, scriind clar pasul de amplificare. Nu uita să simplifici rezultatul final acolo unde se poate.

Nivel de încălzire

1. Raționalizează $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
2. Raționalizează $\frac{5}{\sqrt{2}}$.
3. Raționalizează $\frac{4}{3\sqrt{5}}$.
4. Raționalizează $\frac{9}{2\sqrt{3}}$.

Nivel mediu

5. Raționalizează $\frac{7}{2\sqrt{7}}$.
6. Raționalizează $\frac{12}{5\sqrt{6}}$.
7. Raționalizează $\frac{8}{\sqrt{8}}$ (indiciu: simplifică radicalul întâi).
8. Raționalizează $\frac{15}{4\sqrt{10}}$.
9. Raționalizează $\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}$.
10. Raționalizează $\frac{6}{\sqrt{18}}$ (indiciu: scoate factorii de sub radical).

Nivel de provocare

11. Raționalizează $\frac{20}{3\sqrt{5}}$.

12. Raționalizează $\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$.

13. Adevărat sau fals, cu justificare: „$\frac{1}{\sqrt{2}}$ și $\frac{\sqrt{2}}{2}$ reprezintă același număr real."

14. Adevărat sau fals, cu justificare: „Ca să raționalizezi $\frac{3}{2\sqrt{5}}$ trebuie neapărat să amplifici cu $2\sqrt{5}$."

15. Problemă aplicată. Un pătrat are aria $A=2{\text{cm}}^2$. Latura lui este $\ell =\frac{2}{\sqrt{2}}$ cm (rezultă din formula ariei). Raționalizează și află cât este latura sub o formă simplă.

16. Problemă aplicată. Distanța pe care o parcurge un robot este $\frac{100}{7\sqrt{2}}$ metri. Scrie această distanță cu numitor rațional.

17. Compară numerele $\frac{1}{\sqrt{3}}$ și $\frac{1}{2}$, aducându-le pe amândouă la o formă comodă. Care este mai mare?

18. Mini-raționament. Arată, prin raționalizare și simplificare, că $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{27}}$ este un număr rațional și află care este.

19. Numitor „ascuns". Raționalizează $\frac{4}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}$ (indiciu: fă întâi ordine în numitor).

20. Ordonare. Adu la numitor rațional și așază în ordine crescătoare numerele $\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\frac{1}{2}$ și $\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Nu se simplifică. Răspuns: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. $\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. La numitor $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$. Răspuns: $\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

3. $\frac{4}{3\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{3\cdot 5}=\frac{4\sqrt{5}}{15}$. Numărul $4$ și $15$ nu au divizori comuni. Răspuns: $\frac{4\sqrt{5}}{15}$.

4. $\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (am simplificat prin $3$). Răspuns: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

5. $\frac{7}{2\sqrt{7}}=\frac{7\sqrt{7}}{2\cdot 7}=\frac{7\sqrt{7}}{14}=\frac{\sqrt{7}}{2}$ (am simplificat prin $7$). Răspuns: $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

6. $\frac{12}{5\sqrt{6}}=\frac{12\sqrt{6}}{5\cdot 6}=\frac{12\sqrt{6}}{30}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$ (am simplificat prin $6$). Răspuns: $\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

7. Simplific radicalul: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci $\frac{8}{\sqrt{8}}=\frac{8}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$. Răspuns: $2\sqrt{2}$. (Verificare: $\frac{8}{\sqrt{8}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, se potrivește.)

8. $\frac{15}{4\sqrt{10}}=\frac{15\sqrt{10}}{4\cdot 10}=\frac{15\sqrt{10}}{40}=\frac{3\sqrt{10}}{8}$ (am simplificat prin $5$). Răspuns: $\frac{3\sqrt{10}}{8}$.

9. $\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{\sqrt{10}}{6}$. Răspuns: $\frac{\sqrt{10}}{6}$.

10. Scot factorii: $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, deci $\frac{6}{\sqrt{18}}=\frac{6}{3\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. Răspuns: $\sqrt{2}$.

11. $\frac{20}{3\sqrt{5}}=\frac{20\sqrt{5}}{3\cdot 5}=\frac{20\sqrt{5}}{15}=\frac{4\sqrt{5}}{3}$ (am simplificat prin $5$). Răspuns: $\frac{4\sqrt{5}}{3}$.

12. $\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{18}}{6}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Răspuns: $\frac{\sqrt{2}}{2}$. (Poți verifica și pe alt drum: $\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6:3}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ — același rezultat.)

13. Adevărat. Prin amplificare cu $\sqrt{2}$: $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Amplificarea nu schimbă valoarea, deci cele două scrieri reprezintă exact același număr real (aproximativ $0,707$).

14. Fals. Nu e neapărat nevoie de $2\sqrt{5}$. Coeficientul $2$ este deja rațional și nu ne deranjează. Este suficient — și mai simplu — să amplifici doar cu $\sqrt{5}$: $\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}$. (Cu $2\sqrt{5}$ ai obține $\frac{6\sqrt{5}}{20}$, care se simplifică tot la $\frac{3\sqrt{5}}{10}$ — deci mai multă muncă pentru același rezultat.)

15. $\ell =\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ cm. Deci latura este $\sqrt{2}$ cm — logic, fiindcă un pătrat cu latura $\sqrt{2}$ are aria $(\sqrt{2}{)}^2=2{\text{cm}}^2$. Răspuns: $\ell =\sqrt{2}$ cm.

16. $\frac{100}{7\sqrt{2}}=\frac{100\sqrt{2}}{7\cdot 2}=\frac{100\sqrt{2}}{14}=\frac{50\sqrt{2}}{7}$ metri (am simplificat prin $2$). Răspuns: $\frac{50\sqrt{2}}{7}$ m.

17. Raționalizez: $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx \frac{1,732}{3}\approx 0,577$, iar $\frac{1}{2}=0,5$. Cum $0,577>0,5$, rezultă $\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{2}$. Răspuns: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ este mai mare.

18. $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{27}}=\sqrt{\frac{12}{27}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$. Este un număr rațional. (Alternativ: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, deci $\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$.) Răspuns: $\frac{2}{3}$.

19. Fac ordine în numitor: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$. Deci $\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Răspuns: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

20. Raționalizez fiecare: $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$; $\frac{1}{2}=0,5$; $\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx 0,894$. Ordinea crescătoare: $\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{2}{\sqrt{5}}$. Răspuns: $\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{2}{\sqrt{5}}$.

De reținut

• A raționaliza numitorul = a scrie fracția sub o formă egală, dar cu numitor rațional (fără radical).
• Pentru numitori de forma $a\sqrt{b}$, amplifici fracția cu $\sqrt{b}$ (doar cu radicalul, nu cu tot numitorul): $$\frac{m}{a\sqrt{b}}=\frac{m\sqrt{b}}{ab}.$$
• Motorul metodei este proprietatea $\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}=b$: radicalul înmulțit cu el însuși dispare.
• Nu uita ultimul pas: simplifică rezultatul, dacă numărătorul și numitorul au un factor comun.
• Dacă radicalul de la numitor se poate scoate de sub radical, simplifică-l întâi — vei lucra cu numere mai mici.

Greșeli frecvente

• „Șterg" radicalul doar de jos. Unii scriu direct $\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3}{10}$, ca și cum $\sqrt{5}$ ar deveni $5$ de la sine. Greșit! Trebuie să amplifici și sus, și jos. Corect: $\frac{3\sqrt{5}}{10}$, cu radicalul mutat la numărător.
• Amplific și radicalul de la numitor pe degeaba. Nu amplifica cu tot $a\sqrt{b}$ decât dacă vrei muncă în plus. Amplifică doar cu $\sqrt{b}$ — numărul rațional $a$ nu are nevoie de „curățare".
• Uit să simplific la final. $\frac{10\sqrt{2}}{6}$ nu este forma finală; se simplifică la $\frac{5\sqrt{2}}{3}$. Verifică mereu dacă numărătorul și numitorul au un divizor comun.
• Confund $\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}$ cu $2\sqrt{b}$. Atenție: $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$ (înmulțire, radicalul dispare), pe când $\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$ (adunare). Sunt lucruri complet diferite.
• Simplific greșit „prin" radical. După ce ai obținut, de pildă, $\frac{3\sqrt{5}}{10}$, unii încearcă să „simplifice" $3$ cu $10$ trecând prin radical sau taie $\sqrt{5}$ cu $5$ ca și cum ar fi numere egale. Nu! Poți simplifica doar coeficientul rațional al numărătorului cu numitorul (numere întregi între ele), niciodată un radical cu un întreg. La $\frac{3\sqrt{5}}{10}$, $3$ și $10$ nu au divizori comuni, deci fracția rămâne așa.
• Amplific numai numărătorul (sau numai numitorul). Dacă înmulțești cu $\sqrt{b}$ doar sus sau doar jos, ai schimbat valoarea fracției — nu mai ai aceeași fracție! Amplificarea înseamnă înmulțire simultană, sus și jos, cu același $\sqrt{b}$.

Aplică acasă

1. Fișa ta de buzunar. Alege cinci fracții cu radical la numitor (le poți inventa singur, de exemplu $\frac{2}{\sqrt{3}}$, $\frac{5}{2\sqrt{6}}$ etc.), raționalizează-le și verifică fiecare rezultat cu calculatorul, comparând valoarea de dinainte cu cea de după. Dacă cele două zecimale coincid, ai lucrat corect.
2. Latura din arie. Măsoară aria unei fețe pătrate din casă (o dală, o fereastră pătrată, un șervețel pătrat) în ${\text{cm}}^2$. Dacă aria iese un număr care nu e pătrat perfect, latura va fi de forma $\frac{A}{\sqrt{A}}=\sqrt{A}$ — o ocazie perfectă să exersezi raționalizarea „la scară reală".
3. Provocarea familiei. Scrie pe un bilețel fracția $\frac{6}{\sqrt{12}}$ și cere-i unui părinte sau prieten să ghicească ce număr simplu se ascunde în spate. Apoi arată-i demonstrația: rezultatul este chiar $\sqrt{3}$. Explicând altcuiva, înveți de două ori mai bine.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează un algoritm scurt, dar foarte des folosit în restul clasei a VII-a (medii, ecuații, arii, relații metrice). Cel mai bun sprijin pe care îl puteți oferi este să insistați pe scrierea explicită a pasului de amplificare — mulți elevi știu răspunsul „din cap", dar pierd puncte fiindcă sar peste raționament.

Întrebări de verificare utile:

• „Cu ce amplifici fracția și de ce cu $\sqrt{b}$, nu cu tot numitorul?" (Verifică înțelegerea, nu memorarea.)
• „De ce dispare radicalul de la numitor?" Răspunsul așteptat: pentru că $\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}=b$.
• „Mai poți simplifica rezultatul?" — antrenează ultimul pas, cel mai des uitat.

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: raționalizează corect chiar și când la numărător apare un radical (Exemplul 6), simplifică radicalul înainte când e cazul (Exemplul 4) și poate verifica singur rezultatul comparând valorile aproximative. Dacă apare confuzia $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}$, reluați diferența dintre înmulțire și adunare de radicali din lecția Adunarea și scăderea numerelor reale.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să raționalizezi numitorul unei fracții? Înseamnă să transformi fracția într-una egală, dar care nu mai are radical la numitor, ci un număr rațional (de obicei întreg). Valoarea rămâne aceeași; se schimbă doar forma, folosind amplificarea.

Cum raționalizez o fracție cu radical la numitor la clasa a 7-a? Amplifici fracția (înmulțești și sus, și jos) cu radicalul din numitor. Pentru un numitor $a\sqrt{b}$, amplifici cu $\sqrt{b}$ și obții $\frac{m\sqrt{b}}{ab}$. La final, simplifici dacă se poate.

De ce amplific doar cu $\sqrt{b}$, și nu cu tot numitorul $a\sqrt{b}$? Pentru că numărul $a$ este deja rațional și nu creează probleme. Doar radicalul $\sqrt{b}$ trebuie „curățat". Amplificarea cu $\sqrt{b}$ este suficientă și cea mai economică; cu $a\sqrt{b}$ ai obține același rezultat, dar după mai multă muncă și o simplificare în plus.

Trebuie să simplific mereu rezultatul după raționalizare? Da, dacă se poate. De exemplu $\frac{10\sqrt{2}}{6}$ se simplifică la $\frac{5\sqrt{2}}{3}$. Un răspuns nesimplificat este considerat incomplet, chiar dacă valoarea e corectă.

Cum raționalizez $\frac{3}{2\sqrt{5}}$ pas cu pas? Amplifici cu $\sqrt{5}$: la numărător $3\cdot \sqrt{5}=3\sqrt{5}$, la numitor $2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=2\cdot 5=10$. Rezultă $\frac{3\sqrt{5}}{10}$, care nu se mai simplifică. Gata.

Ce fac dacă radicalul de la numitor se poate scoate de sub radical? Scoate-l întâi. De exemplu $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, deci $\frac{6}{\sqrt{12}}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$. Lucrând cu numere mici, greșești mai rar.

Este $\frac{1}{\sqrt{2}}$ greșit dacă îl las așa? Ca valoare, nu este greșit — este un număr real perfect valabil. Dar prin convenția școlară răspunsul se dă cu numitorul raționalizat: $\frac{\sqrt{2}}{2}$. La test, forma raționalizată este cea așteptată.

La ce îmi folosește raționalizarea mai departe? O vei folosi la calculul mediilor cu radicali, la ecuația $x^2=a$, la arii și mai ales la relațiile metrice și trigonometria din triunghiul dreptunghic, unde apar des fracții cu radical la numitor care trebuie aduse la forma standard.

Care e diferența dintre a raționaliza și a simplifica o fracție? Sunt două operații diferite, dar care se folosesc adesea împreună. A simplifica înseamnă a împărți numărătorul și numitorul cu același număr, ca să obții o fracție mai mică echivalentă. A raționaliza înseamnă a amplifica (a înmulți sus și jos) cu un radical, ca să scapi de radicalul de la numitor. În algoritmul complet, raționalizezi întâi și apoi simplifici rezultatul, dacă se poate.

Se poate raționaliza orice numitor cu radical la clasa a VII-a? La clasa a VII-a înveți raționalizarea numitorilor de forma $a\sqrt{b}$ (un număr rațional înmulțit cu un radical) — exact cazul acestei lecții. Numitorii de forma $a+\sqrt{b}$ sau $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ (cu adunare/scădere) se raționalizează cu o tehnică mai avansată, întâlnită mai târziu, deci nu fac obiectul acestei lecții.