Ecuația de forma x² = a

Ți s-a întâmplat vreodată să cunoști aria unui teren pătrat și să vrei să afli cât măsoară latura lui? Sau să știi câtă energie are un obiect în mișcare și să vrei să afli viteza? În toate aceste situații apare aceeași întrebare matematică: „Ce număr ridicat la pătrat îmi dă valoarea $a$?”. Cu alte cuvinte, trebuie să rezolvi ecuația $x^2=a$. Este prima ecuație de „gradul al doilea” pe care o întâlnești în clasa a VII-a, iar frumusețea ei stă în faptul că răspunsul depinde complet de semnul lui $a$. În lecția de față vei învăța să discuți, calm și ordonat, câte soluții are ecuația $x^2=a$ și cum le găsești pe fiecare, folosind rădăcina pătrată studiată în lecțiile anterioare.

Ce vei învăța

• Vei ști să discuți numărul de soluții ale ecuației $x^2=a$ în funcție de semnul lui $a$ (pozitiv, zero sau negativ).
• Vei ști să rezolvi ecuații de forma $x^2=a$ cu $a>0$, scriind ambele soluții $x=\sqrt{a}$ și $x=-\sqrt{a}$.
• Vei ști să aduci la forma $x^2=a$ ecuații mai complicate (reductibile) și să le rezolvi.
• Vei ști să modelezi și să rezolvi probleme din geometrie, fizică sau viața de zi cu zi care conduc la o ecuație $x^2=a$.
• Vei ști să verifici dacă un număr este soluție și să eviți greșeala clasică de a „uita” soluția negativă.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă să rezolvi o ecuație

Mai întâi, să ne reamintim ce cerem. A rezolva ecuația $x^2=a$ înseamnă a găsi toate numerele reale $x$ care, ridicate la pătrat, dau exact numărul $a$. Fiecare astfel de număr se numește soluție a ecuației. Necunoscuta este $x$, iar $a$ este un număr real cunoscut (o „constantă”).

Cheia întregii lecții este o observație simplă despre operația de ridicare la pătrat: pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu zero. Adică, pentru orice număr real $x$, avem $$x^2\ge 0.$$ De ce? Pentru că un număr pozitiv la pătrat dă pozitiv ($3^2=9$), un număr negativ la pătrat dă tot pozitiv ($(-3{)}^2=9$), iar zero la pătrat dă zero ($0^2=0$). Nu există niciun număr real al cărui pătrat să fie negativ. Această proprietate ne va spune imediat dacă ecuația are sau nu soluții.

De aceea, întreaga discuție se împarte în trei cazuri, după cum $a$ este pozitiv, zero sau negativ.

Cazul 1: $a>0$ — două soluții

Să pornim de la un exemplu concret: $x^2=9$. Ce numere ridicate la pătrat dau $9$? Primul care ne vine în minte este $3$, pentru că $3^2=9$. Dar atenție: și $-3$ merge, pentru că $(-3{)}^2=(-3)\cdot (-3)=9$. Deci ecuația $x^2=9$ are două soluții: $x=3$ și $x=-3$.

Aici este ideea centrală a lecției. Mulți elevi scriu doar $x=3$ și pierd jumătate din răspuns. Ori de câte ori un număr pozitiv este egal cu un pătrat, există două numere de semne opuse care îl produc, pentru că pătratul „șterge” semnul.

În general, pentru $a>0$, soluțiile sunt date de rădăcina pătrată a lui $a$: $$x^2=a⟺x=\sqrt{a}\text{ sau }x=-\sqrt{a}.$$

Le scriem adesea prescurtat $x=\pm \sqrt{a}$ (se citește „plus sau minus rădăcină din $a$”). Reține că rădăcina pătrată $\sqrt{a}$ este, prin definiție, numărul pozitiv al cărui pătrat este $a$ (ai studiat asta în lecția despre pătrate perfecte și rădăcina pătrată). Deci $\sqrt{9}=3$, nu $\pm 3$. Semnul „minus” din soluție îl adăugăm noi, pentru că ecuația mai are și o soluție negativă.

Să legăm acest lucru de o proprietate pe care o știi: $\sqrt{x^2}=|x|$ (din lecția relația dintre pătrat și rădăcină). Dacă aplicăm rădăcina în ambii membri ai egalității $x^2=a$, obținem $\sqrt{x^2}=\sqrt{a}$, adică $|x|=\sqrt{a}$. Iar $|x|=\sqrt{a}$ înseamnă exact că distanța de la $x$ la $0$ este $\sqrt{a}$, deci $x$ poate fi $\sqrt{a}$ (la dreapta lui $0$) sau $-\sqrt{a}$ (la stânga lui $0$). Iată de unde vin cele două soluții simetrice.

Un al doilea exemplu, ca să vezi și cazul în care rădăcina nu iese „rotund”: $x^2=7$. Numărul $7$ nu este pătrat perfect, deci soluțiile rămân scrise cu radical: $x=\sqrt{7}$ și $x=-\sqrt{7}$. Sunt numere iraționale, perfect valabile ca soluții. Nu e nevoie (și nici corect) să le „forțezi” într-o formă zecimală exactă; $\sqrt{7}$ este răspunsul precis, iar $\sqrt{7}\approx 2,65$ este doar o aproximare.

Poți privi cele două soluții și geometric: ele sunt cele două numere aflate la aceeași distanță de origine pe axa numerelor. Dacă te gândești la $x^2$ ca la aria unui pătrat cu latura $|x|$, atunci ecuația $x^2=a$ întreabă „ce latură dă aria $a$?”. Latura este $\sqrt{a}$, dar pe axă acest „$|x|=\sqrt{a}$” corespunde la două poziții simetrice: una la dreapta lui $0$ și una la stânga. Această imagine te ajută să nu uiți niciodată de a doua soluție.

O observație utilă: cu cât $a$ este mai mare, cu atât cele două soluții sunt mai depărtate de $0$; când $a$ scade spre $0$, soluțiile se apropie una de alta până se „lipesc” în $x=0$ (cazul $a=0$); iar dacă $a$ ar coborî sub $0$, soluțiile reale dispar cu totul. Aceasta este, de fapt, o altă cale de a înțelege de ce discuția are exact trei cazuri.

Cazul 2: $a=0$ — o singură soluție

Ce se întâmplă dacă ecuația este $x^2=0$? Căutăm numerele al căror pătrat este zero. Singurul număr cu această proprietate este $0$ însuși, pentru că $0^2=0$, iar orice alt număr (pozitiv sau negativ) are pătratul strict pozitiv. Deci: $$x^2=0⟺x=0.$$

Ecuația are o singură soluție: $x=0$. Aici nu mai apar „două” soluții simetrice, pentru că $\sqrt{0}=0$ și $-\sqrt{0}=0$ coincid. Este cazul „de graniță” între cel cu două soluții și cel fără nicio soluție.

Cazul 3: $a<0$ — nicio soluție reală

Să încercăm $x^2=-4$. Căutăm un număr real al cărui pătrat să fie $-4$. Dar am stabilit deja că pătratul oricărui număr real este $\ge 0$. Un pătrat nu poate fi niciodată negativ, deci nu există niciun număr real care să verifice ecuația. Spunem că ecuația nu are soluții reale, iar mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă: $S=\varnothing$.

$$x^2=a,a<0⟹S=\varnothing \text{(nicio soluție reala˘)}.$$

Este important să observi diferența: la $x^2=-4$ scriem că nu are soluții reale, nu că soluția este $\sqrt{-4}$. La clasa a VII-a lucrăm numai cu numere reale, iar $\sqrt{-4}$ nu este definit ca număr real. (Numerele care ar rezolva astfel de ecuații se studiază mult mai târziu, în liceu.)

Tabelul-rezumat al discuției

Adună cele trei cazuri într-un singur tablou, pe care merită să-l ții minte:

Această discuție după semnul lui $a$ este exact ceea ce ți se cere adesea la teste: nu doar să rezolvi, ci să argumentezi câte soluții există și de ce.

Ecuații reductibile la forma $x^2=a$

Nu toate ecuațiile îți sunt date direct sub forma frumoasă $x^2=a$. De multe ori necunoscuta la pătrat este „ascunsă” printre alte operații și trebuie mai întâi să izolezi termenul $x^2$. Ideea este să folosești transformările pe care le știi de la ecuațiile obișnuite (trecerea termenilor dintr-un membru în altul cu semn schimbat, împărțirea ambilor membri la același număr nenul) până ajungi la $x^2=\text{(un numa˘r)}$. Abia atunci aplici discuția de mai sus.

Exemplu de tip „adun/scad un termen”. Fie $x^2-5=20$. Trecem $-5$ în dreapta: $x^2=20+5$, adică $x^2=25$. De aici $x=5$ sau $x=-5$.

Exemplu de tip „împart la un coeficient”. Fie $3x^2=48$. Împărțim ambii membri la $3$: $x^2=16$. De aici $x=4$ sau $x=-4$. Atenție: împărțim înainte de a extrage rădăcina, ca $x^2$ să rămână singur, cu coeficient $1$.

Exemplu combinat. Fie $2x^2-3=15$. Mai întâi adunăm $3$: $2x^2=18$; apoi împărțim la $2$: $x^2=9$; deci $x=3$ sau $x=-3$.

Un caz în care apare al treilea rezultat al discuției. Fie $x^2+10=6$. Trecem $10$ în dreapta: $x^2=6-10=-4$. Cum membrul drept este negativ, ecuația nu are soluții reale. Vezi cât de util este să faci mai întâi calculele și abia apoi să aplici discuția pe semnul rezultat.

Poți întâlni și fracții. De pildă $\frac{x^2}{5}=20$: înmulțim ambii membri cu $5$ și obținem $x^2=100$, deci $x=10$ sau $x=-10$.

Iată un mic „algoritm” pe care îl poți urma de fiecare dată când ecuația nu e deja sub forma $x^2=a$:

1. Adună sau scade termeni astfel încât toți termenii care conțin $x^2$ să ajungă într-un membru, iar numerele libere în celălalt.
2. Împarte ambii membri la coeficientul lui $x^2$ (dacă acesta este diferit de $1$), pentru ca $x^2$ să rămână singur.
3. Privește semnul numărului din membrul drept și aplică discuția: pozitiv → două soluții, zero → o soluție, negativ → nicio soluție reală.
4. Scrie soluțiile cu $\pm \sqrt{}$, simplifică radicalul dacă se poate și, la nevoie, verifică.

Respectând acești pași în această ordine, nu vei încurca coeficientul cu necunoscuta și nu vei „sări” peste soluția negativă.

Cum estimezi soluțiile când nu sunt „rotunde”

Când $a$ nu este pătrat perfect, soluțiile $\pm \sqrt{a}$ sunt numere iraționale și forma lor exactă rămâne cea cu radical. Uneori, însă, vrei să știi aproximativ cât fac, ca să ți le poți imagina pe axa numerelor. Pentru asta folosești încadrarea între două numere întregi consecutive, o tehnică pe care ai învățat-o la radicali.

Să luăm $x^2=30$. Căutăm între ce pătrate perfecte se află $30$. Observăm că $25<30<36$, adică $5^2<30<6^2$. Aplicând rădăcina (care păstrează ordinea numerelor pozitive), obținem $5<\sqrt{30}<6$. Deci soluția pozitivă a ecuației este un număr între $5$ și $6$, iar soluția negativă, simetric, între $-6$ și $-5$. Fiindcă $30$ este mai aproape de $25$ decât de $36$, ne așteptăm ca $\sqrt{30}$ să fie ceva mai mare decât $5$; într-adevăr, $\sqrt{30}\approx 5,48$.

Reține deosebirea: răspunsul exact al ecuației $x^2=30$ este $x=\sqrt{30}$ sau $x=-\sqrt{30}$, iar $\pm 5,48$ este doar o aproximare utilă pentru desen sau pentru o estimare practică (de exemplu, câți metri de gard îți trebuie). Într-un test, dacă nu ți se cere explicit valoarea aproximativă, lași soluția sub formă de radical.

De ce contează verificarea

După ce găsești soluțiile, e bine să le verifici, mai ales la probleme. „A verifica” înseamnă a înlocui valoarea găsită în ecuația inițială și a vedea dacă egalitatea este adevărată. La $x^2=25$ cu $x=-5$: calculăm $(-5{)}^2=25$, corect. Verificarea îți confirmă că nu ai pierdut sau adăugat soluții și te ajută să prinzi eventualele greșeli de calcul.

Când păstrezi ambele soluții și când o eliminăm

Există o singură situație în care nu păstrezi ambele soluții: la probleme practice unde necunoscuta are un sens fizic (o lungime, o vârstă, un număr de obiecte). Lungimea unei laturi nu poate fi negativă, așa că, dacă rezolvi ${\ell }^2=36$ pentru latura unui pătrat, matematic ai $\ell =6$ sau $\ell =-6$, dar reții doar $\ell =6$ și explici de ce respingi $-6$ (o lungime negativă nu are sens). Când însă rezolvi o ecuație „pură”, fără context fizic, păstrezi ambele soluții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Ecuație cu $a$ pătrat perfect. Rezolvă $x^2=49$. Rezolvare. Cum $49>0$, avem două soluții: $x=\sqrt{49}$ sau $x=-\sqrt{49}$. Deoarece $\sqrt{49}=7$, obținem $x=7$ sau $x=-7$. Verificare: $7^2=49$ și $(-7{)}^2=49$. ✔ Mulțimea soluțiilor: $S=\{-7,7\}$.

Exemplul 2. Ecuație cu $a$ care nu e pătrat perfect. Rezolvă $x^2=11$. Rezolvare. Cum $11>0$, ecuația are două soluții: $x=\sqrt{11}$ sau $x=-\sqrt{11}$. Numărul $11$ nu este pătrat perfect, deci soluțiile rămân scrise cu radical (sunt numere iraționale). Aproximativ, $\sqrt{11}\approx 3,32$, dar răspunsul exact este $\pm \sqrt{11}$. Mulțimea soluțiilor: $S=\{-\sqrt{11},\sqrt{11}\}$.

Exemplul 3. Discuția completă după semnul lui $a$. Discută și rezolvă ecuația $x^2=a$ pentru $a=0$, apoi pentru $a=-9$. Rezolvare.

• Pentru $a=0$: ecuația $x^2=0$ are soluția unică $x=0$, deci $S=\{0\}$.
• Pentru $a=-9$: cum $-9<0$ și pătratul unui număr real nu poate fi negativ, ecuația $x^2=-9$ nu are soluții reale, deci $S=\varnothing$.

Exemplul 4. Ecuație reductibilă (adunare + împărțire). Rezolvă $5x^2-7=38$. Rezolvare. Adunăm $7$ în ambii membri: $5x^2=45$. Împărțim la $5$: $x^2=9$. Cum $9>0$: $x=3$ sau $x=-3$. Verificare pentru $x=-3$: $5\cdot (-3{)}^2-7=5\cdot 9-7=45-7=38$. ✔ Mulțimea soluțiilor: $S=\{-3,3\}$.

Exemplul 5. Ecuație cu soluții iraționale, cu radical simplificabil. Rezolvă $x^2=18$. Rezolvare. Cum $18>0$, avem $x=\sqrt{18}$ sau $x=-\sqrt{18}$. Scoatem factorii de sub radical (vezi lecția scoaterea factorilor de sub radical): $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$. Deci $x=3\sqrt{2}$ sau $x=-3\sqrt{2}$. Mulțimea soluțiilor: $S=\{-3\sqrt{2},3\sqrt{2}\}$.

Exemplul 6. Problemă geometrică (o singură soluție acceptabilă). Un teren în formă de pătrat are aria de $144{\text{m}}^2$. Cât măsoară latura terenului? Rezolvare. Notăm cu $\ell$ (în metri) lungimea laturii. Aria pătratului este ${\ell }^2$, deci ${\ell }^2=144$. Matematic, $\ell =12$ sau $\ell =-12$. Deoarece $\ell$ este o lungime, ea trebuie să fie pozitivă, așa că respingem $-12$. Rămâne $\ell =12$. Răspuns: latura terenului are $12$ m.

Exemplul 7. Problemă cu teorema lui Pitagora. O scară de $5$ m este sprijinită de un perete vertical. Piciorul scării se află la $3$ m de perete. La ce înălțime pe perete ajunge capătul de sus al scării? Rezolvare. Scara, peretele și solul formează un triunghi dreptunghic în care scara este ipotenuza (partea cea mai lungă, $5$ m), distanța până la perete este o catetă ($3$ m), iar înălțimea căutată este cealaltă catetă. O notăm cu $h$ (în metri). Din teorema lui Pitagora (studiată tot în clasa a VII-a), suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei: $$h^2+3^2=5^2.$$ Calculăm pătratele cunoscute: $h^2+9=25$. Izolăm $h^2$ scăzând $9$: $h^2=16$. Cum $16>0$, ecuația $h^2=16$ dă $h=4$ sau $h=-4$. Deoarece $h$ este o înălțime (o lungime), respingem valoarea negativă și păstrăm $h=4$. Verificare: $4^2+3^2=16+9=25=5^2$. ✔ Răspuns: scara ajunge la înălțimea de $4$ m pe perete.

Observă cum problemele de geometrie din clasa a VII-a, prin teorema lui Pitagora, se transformă adesea într-o ecuație de forma $x^2=a$: aplici teorema, izolezi pătratul necunoscutei, apoi rezolvi exact ca în restul lecției, reținând doar soluția pozitivă.

Să exersăm

Rezolvă în caiet, apoi compară cu cheia de la finalul lecției. Acolo unde ecuația nu are soluții, scrie clar „nu are soluții reale”.

1. $x^2=4$
2. $x^2=100$
3. $x^2=0$
4. $x^2=-25$
5. $x^2=36$
6. $x^2=13$
7. $x^2-8=8$
8. $2x^2=72$
9. $x^2+5=5$
10. $3x^2-4=23$
11. $x^2+9=4$
12. $\frac{x^2}{4}=25$
13. $x^2=50$ (scrie soluțiile cu radicalul simplificat)
14. Adevărat sau fals, cu motivare: „Ecuația $x^2=16$ are soluția $x=4$.”
15. Adevărat sau fals, cu motivare: „Ecuația $x^2=-1$ are ca soluție numărul $-1$.”
16. Problemă (geometrie). Aria unui pătrat este $81{\text{cm}}^2$. Află latura și perimetrul pătratului.
17. Problemă (raționament). Găsește toate numerele întregi $x$ pentru care $x^2=64$.
18. Problemă (aplicativă). Într-o sală de sport, o saltea pătrată acoperă o suprafață de $2,25{\text{m}}^2$. Cât este lungimea laturii saltelei? (Indicație: $1,5^2=2,25$.)
19. Problemă (Pitagora). Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de $13$ cm și o catetă de $5$ cm. Află lungimea celeilalte catete.
20. Problemă (reductibilă cu discuție). Discută și rezolvă ecuația $x^2-40=-40$. Apoi arată de ce ecuația $x^2-40=-49$ nu are soluții reale.

Răspunsuri și explicații

1. $x^2=4\Rightarrow x=2$ sau $x=-2$. ($4>0$, iar $\sqrt{4}=2$.) $S=\{-2,2\}$.
2. $x^2=100\Rightarrow x=10$ sau $x=-10$. ($\sqrt{100}=10$.) $S=\{-10,10\}$.
3. $x^2=0\Rightarrow x=0$. Soluție unică; $S=\{0\}$.
4. $x^2=-25$: membrul drept este negativ, iar $x^2\ge 0$, deci nu are soluții reale; $S=\varnothing$.
5. $x^2=36\Rightarrow x=6$ sau $x=-6$. $S=\{-6,6\}$.
6. $x^2=13\Rightarrow x=\sqrt{13}$ sau $x=-\sqrt{13}$. $13$ nu e pătrat perfect, deci soluțiile rămân cu radical. $S=\{-\sqrt{13},\sqrt{13}\}$.
7. $x^2-8=8\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=4$ sau $x=-4$. $S=\{-4,4\}$.
8. $2x^2=72\Rightarrow x^2=36\Rightarrow x=6$ sau $x=-6$. (Am împărțit la $2$.) $S=\{-6,6\}$.
9. $x^2+5=5\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0$. Soluție unică; $S=\{0\}$.
10. $3x^2-4=23\Rightarrow 3x^2=27\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=3$ sau $x=-3$. $S=\{-3,3\}$.
11. $x^2+9=4\Rightarrow x^2=-5$: negativ, deci nu are soluții reale; $S=\varnothing$.
12. $\frac{x^2}{4}=25\Rightarrow x^2=100\Rightarrow x=10$ sau $x=-10$. (Am înmulțit cu $4$.) $S=\{-10,10\}$.
13. $x^2=50\Rightarrow x=\sqrt{50}$ sau $x=-\sqrt{50}$; iar $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$. Deci $x=5\sqrt{2}$ sau $x=-5\sqrt{2}$. $S=\{-5\sqrt{2},5\sqrt{2}\}$.
14. Fals (mai exact, incomplet). $x=4$ este într-adevăr o soluție, dar nu singura: și $x=-4$ verifică, pentru că $(-4{)}^2=16$. Afirmația e greșită pentru că sugerează că $4$ ar fi unica soluție.
15. Fals. Dacă înlocuim, $(-1{)}^2=1\ne -1$. În plus, $x^2=-1$ nu are nicio soluție reală, fiindcă un pătrat nu poate fi negativ.
16. ${\ell }^2=81\Rightarrow \ell =9$ sau $\ell =-9$; păstrăm $\ell =9$ cm (lungime pozitivă). Perimetrul: $P=4\ell =4\cdot 9=36$ cm. Răspuns: latura $9$ cm, perimetrul $36$ cm.
17. $x^2=64\Rightarrow x=8$ sau $x=-8$. Ambele sunt numere întregi, deci $x\in \{-8,8\}$.
18. ${\ell }^2=2,25\Rightarrow \ell =1,5$ sau $\ell =-1,5$; păstrăm $\ell =1,5$ m (lungime pozitivă), fiindcă $1,5^2=2,25$. Răspuns: latura saltelei are $1,5$ m.
19. Fie $c$ cateta necunoscută. Din teorema lui Pitagora, $c^2+5^2=13^2$, adică $c^2+25=169$, deci $c^2=144$. Cum $144>0$: $c=12$ sau $c=-12$; păstrăm $c=12$ cm (lungime pozitivă). Răspuns: cealaltă catetă are $12$ cm.
20. $x^2-40=-40\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0$; soluție unică, $S=\{0\}$. Pentru $x^2-40=-49$ avem $x^2=-49+40=-9$; membrul drept este negativ, iar $x^2\ge 0$, deci nu are soluții reale, $S=\varnothing$.

De reținut

• Pătratul oricărui număr real este $\ge 0$: $x^2\ge 0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$. De aici pornește întreaga discuție.
• Discuția după semnul lui $a$ pentru $x^2=a$: dacă $a>0$ → două soluții $x=\pm \sqrt{a}$; dacă $a=0$ → o soluție $x=0$; dacă $a<0$ → nicio soluție reală ($S=\varnothing$).
• Rădăcina pătrată $\sqrt{a}$ este numărul pozitiv cu pătratul $a$; soluția negativă $-\sqrt{a}$ o adaugi tu, pentru că $x^2=a$ este simetrică față de $0$.
• La ecuațiile reductibile, izolează întâi $x^2$ (mută termenii, împarte la coeficient) și abia apoi aplică discuția.
• La probleme practice cu lungimi, vârste sau cantități, respinge soluția negativă și explică de ce.

Greșeli frecvente

• „Uiți” soluția negativă. Cea mai des întâlnită greșeală: scrii $x^2=25\Rightarrow x=5$ și te oprești. Corect este $x=5$ sau $x=-5$. Verifică mereu dacă ai scris ambele soluții atunci când $a>0$.
• Confuzi $\sqrt{a}$ cu $\pm \sqrt{a}$. Simbolul $\sqrt{25}$ înseamnă doar $5$ (numărul pozitiv), nu $\pm 5$. Semnul $\pm$ apare la rezolvarea ecuației $x^2=25$, nu în definiția rădăcinii.
• Scrii soluție pentru $x^2=$ (număr negativ). La $x^2=-16$ nu scrie $x=\sqrt{-16}$ și nici $x=\pm 4$ (verifică: $4^2=16\ne -16$). Ecuația nu are soluții reale.
• Extragi rădăcina înainte de a izola $x^2$. La $3x^2=48$ nu „scoate rădăcina” direct; împarte întâi la $3$, obții $x^2=16$ și apoi $x=\pm 4$. Altfel amesteci coeficientul cu necunoscuta.

Aplică acasă

1. Măsoară o suprafață pătrată. Găsește în casă un obiect aproximativ pătrat (o dală, un post-it mare, un tablou). Măsoară aria (înmulțind latura cu ea însăși) și apoi verifică invers: pornind de la arie, rezolvă ${\ell }^2=\text{arie}$ și vezi dacă obții latura măsurată. Discută de ce reții doar soluția pozitivă.
2. Fabrică-ți propriile ecuații. Alege un număr întreg, ridică-l la pătrat și scrie ecuația $x^2=(\text{rezultatul})$. Dă-i ecuația unui coleg sau părinte și cere-i ambele soluții. Construiește și o ecuație „capcană” de forma $x^2=(\text{numa˘r negativ})$, la care răspunsul corect este „nu are soluții reale”.
3. Grădina pătrată. Presupune că vrei să amenajezi un strat de flori pătrat cu aria de $20{\text{m}}^2$. Află latura exactă (cu radical) și apoi aproximeaz-o la două zecimale ca să știi câți metri de bordură ai nevoie pentru perimetru.

Pentru părinți și profesori

Această lecție introduce, într-un cadru controlat, prima ecuație „de gradul al doilea” pe care copilul o întâlnește: $x^2=a$. Miza pedagogică nu este calculul complicat, ci raționamentul de discuție: elevul trebuie să înțeleagă că numărul de soluții depinde de semnul lui $a$, nu de o rețetă memorată.

Câteva întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Câte soluții are $x^2=49$ și de ce apar două?” (Răspuns așteptat: două, $7$ și $-7$, pentru că ambele au pătratul $49$.)
• „De ce nu are soluții $x^2=-4$?” (Răspuns: pentru că pătratul unui număr real nu poate fi negativ.)
• „Cu ce e diferit $\sqrt{25}$ de soluțiile ecuației $x^2=25$?” (Răspuns: $\sqrt{25}=5$ e un singur număr, pozitiv; ecuația are două soluții, $5$ și $-5$.)

Semne că a înțeles cu adevărat: scrie spontan ambele soluții când $a>0$, recunoaște fără ezitare cazul fără soluții și, la o problemă cu lungimi, respinge motivat soluția negativă. Dacă elevul „uită” constant minusul, reveniți la ideea de simetrie față de $0$ pe axa numerelor. Legați lecția de cunoștințele anterioare despre rădăcina pătrată și modul.

Întrebări frecvente

Câte soluții are ecuația $x^2=a$? Depinde de semnul lui $a$. Dacă $a>0$, are exact două soluții reale ($\sqrt{a}$ și $-\sqrt{a}$); dacă $a=0$, are o singură soluție ($x=0$); dacă $a<0$, nu are nicio soluție reală.

De ce are $x^2=9$ două soluții și nu una singură? Pentru că atât $3$, cât și $-3$ au pătratul $9$: $3^2=9$ și $(-3{)}^2=9$. Ridicarea la pătrat „șterge” semnul, așa că orice număr pozitiv care e egal cu un pătrat provine din două numere opuse.

Care este diferența dintre $\sqrt{a}$ și soluțiile ecuației $x^2=a$? $\sqrt{a}$ este, prin definiție, un singur număr — cel pozitiv al cărui pătrat este $a$. Ecuația $x^2=a$ (cu $a>0$) are însă două soluții: $\sqrt{a}$ și $-\sqrt{a}$. Semnul „$\pm$” apare la rezolvarea ecuației, nu în simbolul rădăcinii.

Ce fac dacă $a$ nu este pătrat perfect, de exemplu $x^2=7$? Soluțiile rămân scrise cu radical: $x=\sqrt{7}$ și $x=-\sqrt{7}$. Sunt numere iraționale, dar perfect corecte. Poți da și o valoare aproximativă ($\sqrt{7}\approx 2,65$), însă forma exactă este cea cu radical.

Are ecuația $x^2=-16$ vreo soluție? Nu are nicio soluție reală. Pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu zero, deci nu poate fi egal cu un număr negativ precum $-16$.

Cum rezolv o ecuație de tipul $3x^2-5=22$? Izolezi întâi $x^2$: aduni $5$ ($3x^2=27$), apoi împarți la $3$ ($x^2=9$). Abia acum aplici discuția: cum $9>0$, soluțiile sunt $x=3$ și $x=-3$.

La o problemă cu aria unui pătrat de ce păstrez doar soluția pozitivă? Pentru că soluția reprezintă o lungime, iar o lungime nu poate fi negativă. Matematic apar două valori opuse, dar cea negativă nu are sens fizic, așa că o respingi și explici motivul.

Ecuația $x^2=a$ este de gradul al doilea? O studiem toată în clasa a VII-a? Este un caz particular de ecuație de gradul al doilea, singurul studiat în clasa a VII-a. Forma generală a ecuației de gradul al doilea (cu termeni în $x$ și termen liber) se învață mai târziu; deocamdată lucrezi doar cu forma simplă $x^2=a$.