Ce sunt egalitățile echivalente?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Egalități echivalente și identități

Sunt scrieri deosebite ale aceleiași informații, adevărate pentru exact aceleași valori ale literei. Treci de la una la alta făcând același lucru în ambele părți ale semnului egal: aduni, scazi, înmulțești sau împarți cu același număr, iar la ultimele două numărul trebuie să fie diferit de zero. Din $x - 5 = 9$ , adunând 5 peste tot, ajungi la $x = 14$ , care spune același lucru, dar mai limpede.

O egalitate are doi membri legați prin „ $=$ ” și poate fi adevărată sau falsă. Când egalitatea conține o literă, precum $x$ , adevărul ei depinde de valoarea aleasă. Ideea centrală: dacă la ambii membri adunăm, scădem, înmulțim sau împărțim (cu un număr nenul) același număr, obținem o egalitate echivalentă — la fel de „adevărată” pentru aceleași valori ale lui $x$ , doar scrisă mai simplu.

Exemplu: din $x - 5 = 9$ , adunăm $5$ la ambii membri și obținem $x = 14$ , echivalentă cu cea inițială.

O identitate este o egalitate cu literă adevărată pentru orice valoare, ca $x + x = 2 x$ . Nu confunda o identitate cu o egalitate adevărată doar pentru un anumit $x$ : identitatea rezistă la orice înlocuire, verificată prin calcul, nu doar prin câteva exemple.

De reținut

dacă $a = b$ , atunci $a + c = b + c$ și $a - c = b - c$
înmulțirea și împărțirea cer un număr diferit de zero
identitate = egalitate adevărată pentru orice valoare
operațiile se fac în amândouă părțile

Greșeala tipică

Se împarte egalitatea la o expresie care poate fi zero. Împărțirea cere un număr nenul, altfel se pierd soluții sau calculul rămâne fără înțeles.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele egalități numerice este adevărată?
- a) $4 \cdot 3 + 2 = 14$
- b) $20 - 3 \cdot 5 = 10$
- c) $2^{3} + 1 = 8$
- d) $15 : 5 - 1 = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4 \cdot 3 + 2 = 14$

Respectăm ordinea operațiilor: (a) $4 \cdot 3 = 12$ , apoi $12 + 2 = 14$ , egal cu membrul drept — adevărată. (b) $3 \cdot 5 = 15$ , apoi $20 - 15 = 5 \neq = 10$ — falsă. (c) $2^{3} = 8$ , apoi $8 + 1 = 9 \neq = 8$ — falsă. (d) $15 : 5 = 3$ , apoi $3 - 1 = 2 \neq = 4$ — falsă.
Care dintre următoarele egalități cu literă este o identitate (adevărată pentru orice valoare a lui $x$ )?
- a) $x + 2 = 2 x$
- b) $3 x - x = 2 x$
- c) $x + 5 = x + 8$
- d) $4 x = 20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3 x - x = 2 x$

Prelucrăm membrul stâng al lui (b): $3 x - x$ înseamnă a lua $x$ de trei ori și a scădea un $x$ , adică rămâne $2 x$ , exact membrul drept — este identitate. (a) este falsă pentru multe valori (ex. $x = 0$ : $2 \neq = 0$ ); (c) este falsă mereu (scăzând $x$ rămâne $5 = 8$ , imposibil); (d) este adevărată doar pentru $x = 5$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă membrul stâng și membrul drept?

Sunt cele două părți despărțite de semnul egal: ce se află înaintea lui și ce se află după el. Se prescurtează adesea prin $M S$ și $M D$ , iar o egalitate spune tocmai că amândouă înseamnă același număr.

Ce se întâmplă dacă adun un număr doar într-un membru?

Egalitatea se strică și devine falsă, ca o balanță pe care ai pus greutate într-un singur taler. Din $7 = 7$ ai obține $9 = 7$ . De aceea orice operație se face de amândouă părțile, fără excepție.

Este x plus x egal cu 2x o identitate?

Da, fiindcă rămâne adevărată pentru orice număr pus în locul literei. Poți încerca cu 5, cu $- 2$ sau cu o fracție și iese de fiecare dată. Identitățile se dovedesc prin calcul cu litere, nu prin câteva încercări norocoase.

Cum ajung de la x minus 5 egal 9 la x egal 14?

Aduni 5 în amândouă părțile. În stânga, $- 5$ și $+ 5$ se anulează și rămâne litera singură, iar în dreapta $9 + 5$ face 14. Cele două scrieri sunt echivalente, deci a doua îți dă direct valoarea căutată.

Se poate înmulți o egalitate cu o literă?

Numai dacă ești sigur că litera nu poate lua valoarea zero. Înmulțind cu zero ai obține $0 = 0$ , adevărat oricum, iar informația de la început s-ar pierde. De aceea în asemenea pași se pune de fiecare dată o condiție.

Ce legătură au egalitățile echivalente cu balanța?

Semnul egal ține locul brațului unei balanțe aflate în echilibru. Adăugând sau luând aceeași greutate din amândouă talerele, echilibrul rămâne. Imaginea aceasta explică de ce operațiile se fac mereu în ambele părți.

Oamenii mai întreabă și: egalități echivalente · proprietățile egalității · ce este o identitate · transformarea unei egalități · membrii unei egalități