Formule cu π + x și 2π − x

Într-un parc de distracții, o roată mare cu raza de $20$ de metri se învârte încet. O cabină pornește din dreptul centrului și urcă; după ce roata s-a rotit cu $30^{\circ }$, cabina se află la $20\sin 30^{\circ }=10$ metri deasupra înălțimii centrului. Continuă rotația. Când roata a mai făcut exact o jumătate de tură, cabina ajunge în punctul diametral opus: tot la $10$ metri de nivelul centrului, dar de data aceasta dedesubt. Aceeași distanță, semn schimbat. Fără să calculezi nimic, ai descoperit una dintre cele mai folositoare formule din trigonometrie.

Aceasta este ideea întregii lecții: pe cercul trigonometric, anumite operații simple asupra unghiului — „mai adaug o jumătate de tură", „măsor tot atâta, dar înapoi" — corespund unor simetrii ale punctului asociat. Iar simetriile se citesc direct pe coordonate: schimbă un semn, schimbă două, nu schimba niciunul. Din ele obținem formulele pentru $\pi +x$ și pentru $2\pi -x$, care, împreună cu cele învățate la reducerea la primul cadran, îți permit să calculezi sinusul și cosinusul oricărui unghi remarcabil de pe cerc, fără tabele și fără calculator.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici pe cercul trigonometric punctele asociate lui $\pi +x$ și lui $2\pi -x$ și simetriile care le leagă de punctul lui $x$.
• Vei ști să deduci și să folosești formulele $\sin (\pi +x)=-\sin x$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x$.
• Vei ști să deduci și să folosești formulele $\sin (2\pi -x)=-\sin x$ și $\cos (2\pi -x)=\cos x$.
• Vei ști să calculezi rapid sinusul și cosinusul unghiurilor de $210^{\circ }$, $225^{\circ }$, $240^{\circ }$, $300^{\circ }$, $315^{\circ }$, $330^{\circ }$ și ale corespondentelor lor în radiani.
• Vei ști să aplici strategia în trei pași de reducere a oricărui unghi la primul cadran.
• Vei ști să simplifici expresii trigonometrice în care apar argumente de forma $\pi +x$ și $2\pi -x$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „π + x" pe cercul trigonometric

Reamintește-ți convenția: unui număr real $x$ îi asociem pe cercul trigonometric punctul $M(x)$ obținut pornind din $A(1,0)$ și parcurgând pe cerc un arc de măsură $x$, în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic) dacă $x>0$. Coordonatele acestui punct sunt chiar cosinusul și sinusul:

$$M(x)=(\cos x,\sin x).$$

Ce se întâmplă cu punctul dacă înlocuim $x$ cu $\pi +x$? Numărul $\pi$ reprezintă jumătate din circumferința cercului de rază $1$, adică o jumătate de tură, sau $180^{\circ }$. Așadar $M(\pi +x)$ se obține din $M(x)$ rotindu-l cu $180^{\circ }$ în jurul centrului.

Iar rotația cu $180^{\circ }$ în jurul originii este exact simetria față de origine: punctul $M$ și punctul $M^{\prime }$ sunt așezate de o parte și de alta a centrului, la distanță egală, pe același diametru. Este cabina roții mari din deschidere, după jumătate de tură.

2. Formulele cu π + x: două semne schimbate

Simetria față de origine are o traducere imediată în coordonate. Dacă un punct are coordonatele $(a,b)$, simetricul lui față de origine are coordonatele $(-a,-b)$: ambele își schimbă semnul. Aplicăm regula punctului nostru:

$$M(x)=(\cos x,\sin x)⟹M(\pi +x)=(-\cos x,-\sin x).$$

Pe de altă parte, prin însăși definiția funcțiilor trigonometrice, coordonatele punctului $M(\pi +x)$ sunt $(\cos (\pi +x),\sin (\pi +x))$. Identificând cele două scrieri ale aceluiași punct, obținem formulele:

$$\boxed{\sin (\pi +x)=-\sin x,\cos (\pi +x)=-\cos x}$$

valabile pentru orice număr real $x$. Reține-le în cuvinte: o jumătate de tură în plus schimbă semnul și la sinus, și la cosinus, păstrând valorile absolute.

Merită observat de ce lucrurile stau așa și „la nivel de intuiție": adăugând $180^{\circ }$, treci din cadranul I în cadranul III, din cadranul II în cadranul IV și invers. De fiecare dată treci într-un cadran în care ambele coordonate au semnul opus, ceea ce se potrivește perfect cu ce am arătat despre semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane.

O verificare rapidă, pe un caz în care știm deja răspunsul: pentru $x=0$ obținem $\sin \pi =-\sin 0=0$ și $\cos \pi =-\cos 0=-1$. Exact valorile cunoscute. Pentru $x=\frac{\pi }{2}$ obținem $\sin \frac{3\pi }{2}=-\sin \frac{\pi }{2}=-1$ și $\cos \frac{3\pi }{2}=-\cos \frac{\pi }{2}=0$ — din nou, corect.

3. Ce înseamnă „2π − x": tot atâta, dar înapoi

Trecem la al doilea argument. Numărul $2\pi$ înseamnă o tură completă, iar $2\pi -x$ se citește „o tură completă din care scad $x$". Punctul $M(2\pi -x)$ se obține pornind din $A(1,0)$, mergând o tură întreagă (adică revenind în $A$) și apoi întorcându-ne cu $x$ în sens invers, adică în sensul acelor de ceasornic.

Cu alte cuvinte, $M(2\pi -x)$ este exact punctul la care ajungi dacă parcurgi arcul de măsură $x$, dar în sensul negativ. De aici prima observație importantă: $M(2\pi -x)=M(-x)$, pentru că un tur complet nu schimbă poziția pe cerc.

Ori punctele $M(x)$ și $M(-x)$ se obțin unul din altul parcurgând același arc, o dată în sus și o dată în jos, deci sunt simetrice față de axa $Ox$. Este exact ceea ce se întâmplă cu o minge care urcă și coboară de-a lungul aceleiași verticale, sau cu reflexia unui copac în apa unui lac: abscisa rămâne, ordonata își schimbă semnul.

4. Formulele cu 2π − x: doar sinusul își schimbă semnul

Simetria față de axa $Ox$ transformă punctul $(a,b)$ în punctul $(a,-b)$: abscisa se păstrează, ordonata își schimbă semnul. Prin urmare:

$$M(x)=(\cos x,\sin x)⟹M(2\pi -x)=(\cos x,-\sin x),$$

de unde, identificând cu $(\cos (2\pi -x),\sin (2\pi -x))$:

$$\boxed{\sin (2\pi -x)=-\sin x,\cos (2\pi -x)=\cos x}$$

Reține contrastul, pentru că aici se fac cele mai multe greșeli: la $\pi +x$ ambele funcții schimbă semnul; la $2\pi -x$ numai sinusul îl schimbă, iar cosinusul rămâne neatins.

Formulele acestea sunt, de fapt, vechile noastre cunoștințe despre paritate scrise altfel. Îți amintești că $\sin (-x)=-\sin x$ (sinusul este funcție impară) și $\cos (-x)=\cos x$ (cosinusul este funcție pară). Cum $M(2\pi -x)=M(-x)$, cele două perechi de formule spun exact același lucru. Este bine să le ai pe amândouă la îndemână: forma cu $2\pi -x$ e utilă când lucrezi cu unghiuri din cadranul IV, forma cu $-x$ e utilă când apar argumente negative.

5. Tabloul complet al reducerilor

Ai acum toate cele trei „mișcări" de bază pe cerc. Le adunăm într-un singur tablou, cu simetria care le explică pe fiecare:

Prima linie provine din lecția anterioară; ultimele două sunt noutatea de azi. Citit pe verticală, tabelul spune ceva foarte elegant: valoarea absolută nu se schimbă niciodată. $|\sin (\pi \pm x)|=|\sin x|$ și tot așa. Singurul lucru care se negociază este semnul, iar semnul se citește din cadran.

De aici și metoda de control pe care ți-o recomand insistent: chiar dacă ai uitat formula, desenează cercul, marchează cadranul în care cade unghiul și pune semnul dictat de cadran pe valoarea din primul cadran. Nu ai cum să greșești.

Un lucru esențial, pe care mulți elevi îl trec cu vederea: coloana „cadranul" din tabel este doar un ajutor de memorare, nu o condiție de valabilitate. Formulele au fost deduse din simetrii ale cercului, iar simetriile nu întreabă în ce cadran se află punctul. Prin urmare, egalitatea $\sin (\pi +x)=-\sin x$ este adevărată pentru orice număr real $x$: pozitiv, negativ, mai mare decât $2\pi$, ba chiar și atunci când $x$ nu este un număr concret, ci o literă dintr-o expresie pe care o simplifici. De pildă, pentru $x=200^{\circ }$ (deja în cadranul III) formula dă $\sin 380^{\circ }=-\sin 200^{\circ }$, ceea ce se verifică imediat: $380^{\circ }$ și $20^{\circ }$ sunt același punct pe cerc, iar $\sin 200^{\circ }=-\sin 20^{\circ }$. Tocmai această generalitate face formulele utile dincolo de calculul valorilor remarcabile.

6. Cadranul III la lucru: 210°, 225°, 240°

Unghiurile din cadranul al treilea se scriu toate în forma $180^{\circ }+t$, cu $t$ un unghi remarcabil din primul cadran:

$$210^{\circ }=180^{\circ }+30^{\circ },225^{\circ }=180^{\circ }+45^{\circ },240^{\circ }=180^{\circ }+60^{\circ }.$$

Aplicăm formulele cu $\pi +x$ (adică $180^{\circ }+x$) și obținem, fără niciun efort de memorare suplimentar:

$$\sin 210^{\circ }=-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2},\cos 210^{\circ }=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2};$$

$$\sin 225^{\circ }=-\sin 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2},\cos 225^{\circ }=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2};$$

$$\sin 240^{\circ }=-\sin 60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 240^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}.$$

Toate șase valorile sunt negative — firesc, în cadranul III atât abscisa, cât și ordonata sunt negative. În radiani, aceleași unghiuri se scriu $\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}$ și $\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$. Verifică singur adunarea fracțiilor: $\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{6\pi +\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$ ✓.

7. Cadranul IV la lucru: 300°, 315°, 330°

Unghiurile din cadranul al patrulea se scriu în forma $360^{\circ }-t$:

$$300^{\circ }=360^{\circ }-60^{\circ },315^{\circ }=360^{\circ }-45^{\circ },330^{\circ }=360^{\circ }-30^{\circ }.$$

Aplicăm formulele cu $2\pi -x$ — sinusul își schimbă semnul, cosinusul nu:

$$\sin 300^{\circ }=-\sin 60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 300^{\circ }=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2};$$

$$\sin 315^{\circ }=-\sin 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2},\cos 315^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2};$$

$$\sin 330^{\circ }=-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2},\cos 330^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Observă tiparul: în cadranul IV toate sinusurile sunt negative și toate cosinusurile sunt pozitive. În radiani: $\frac{5\pi }{3}=2\pi -\frac{\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{4}=2\pi -\frac{\pi }{4}$, $\frac{11\pi }{6}=2\pi -\frac{\pi }{6}$.

Cu cele șase valori din cadranul III și cele șase de aici, plus cele din cadranele I și II învățate anterior, ai acum tabelul complet al valorilor remarcabile pe tot cercul. Sunt douăzeci și patru de numere, dar nu ai de memorat decât șase — restul se obțin prin schimbări de semn.

8. Strategia de reducere la primul cadran, în trei pași

Iată rutina completă, cea pe care o vei folosi la fiecare exercițiu. Pentru a calcula $\sin \alpha$ sau $\cos \alpha$ pentru un unghi $\alpha$ oarecare:

Pasul 1 — adu unghiul în intervalul $[0^{\circ },360^{\circ })$. Dacă $\alpha$ e mai mare, scazi ture complete de $360^{\circ }$ (respectiv $2\pi$); dacă e negativ, aduni ture complete. Sinusul și cosinusul nu simt turele întregi, pentru că punctul de pe cerc revine în același loc.

Pasul 2 — identifică cadranul și scrie unghiul în forma potrivită. Cadranul I: nimic de făcut. Cadranul II: scrie $\alpha =180^{\circ }-t$. Cadranul III: scrie $\alpha =180^{\circ }+t$. Cadranul IV: scrie $\alpha =360^{\circ }-t$. În toate cazurile $t$ este un unghi din primul cadran, adică din $(0^{\circ },90^{\circ })$.

Pasul 3 — aplică formula, adică pune semnul dictat de cadran. Valoarea absolută este $\sin t$ sau $\cos t$; semnul îl citești din tabelul de la punctul 5 sau, mai sigur, din poziția punctului pe cerc.

Un exemplu complet, cu toți pașii scriși: calculăm $\cos 675^{\circ }$. Pasul 1: $675^{\circ }-360^{\circ }=315^{\circ }$, deci $\cos 675^{\circ }=\cos 315^{\circ }$. Pasul 2: $315^{\circ }$ e în cadranul IV și $315^{\circ }=360^{\circ }-45^{\circ }$. Pasul 3: în cadranul IV cosinusul e pozitiv, deci $\cos 315^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un unghi din cadranul III

Calculați $\sin 225^{\circ }$ și $\cos 225^{\circ }$.

Rezolvare. Unghiul e cuprins între $180^{\circ }$ și $270^{\circ }$, deci se află în cadranul III. Îl scriem în forma cerută de formulele cu $\pi +x$: $225^{\circ }=180^{\circ }+45^{\circ }$. Atunci

$$\sin 225^{\circ }=\sin (180^{\circ }+45^{\circ })=-\sin 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$\cos 225^{\circ }=\cos (180^{\circ }+45^{\circ })=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ambele negative, așa cum cere cadranul III. $■$

Exemplul 2 — Un unghi din cadranul IV

Calculați $\sin 300^{\circ }$ și $\cos 300^{\circ }$.

Rezolvare. $300^{\circ }$ e între $270^{\circ }$ și $360^{\circ }$, deci în cadranul IV, iar $300^{\circ }=360^{\circ }-60^{\circ }$. Aplicăm formulele cu $2\pi -x$:

$$\sin 300^{\circ }=-\sin 60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 300^{\circ }=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}.$$

Atenție la asimetrie: sinusul primește minus, cosinusul nu. $■$

Exemplul 3 — Aceleași formule, în radiani

Calculați $\sin \frac{7\pi }{6}$ și $\cos \frac{11\pi }{6}$.

Rezolvare. Descompunem fiecare argument. Pentru primul: $\frac{7\pi }{6}=\frac{6\pi +\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$, formă de tip $\pi +x$, deci

$$\sin \frac{7\pi }{6}=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}.$$

Pentru al doilea: $\frac{11\pi }{6}=\frac{12\pi -\pi }{6}=2\pi -\frac{\pi }{6}$, formă de tip $2\pi -x$, deci

$$\cos \frac{11\pi }{6}=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Trucul de descompunere: aduci $\pi$ (sau $2\pi$) la numitorul $6$ și vezi cât lipsește. $■$

Exemplul 4 — Unghi mai mare decât o tură

Calculați $\sin 750^{\circ }$.

Rezolvare. Pasul 1 al strategiei: scădem ture complete. $750^{\circ }-360^{\circ }=390^{\circ }$, care e tot mai mare decât $360^{\circ }$, deci mai scădem o tură: $390^{\circ }-360^{\circ }=30^{\circ }$. Prin urmare $750^{\circ }=2\cdot 360^{\circ }+30^{\circ }$ și punctul de pe cerc este chiar punctul lui $30^{\circ }$:

$$\sin 750^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}.$$

Cele două ture complete nu schimbă nimic — ele readuc punctul exact de unde a plecat. $■$

Exemplul 5 — Simplificarea unei expresii

Simplificați $E(x)=\sin (\pi +x)+\cos (2\pi -x)+\sin (2\pi -x)+\cos (\pi +x)$.

Rezolvare. Înlocuim, pe rând, fiecare termen cu formula corespunzătoare:

$$E(x)=(-\sin x)+\cos x+(-\sin x)+(-\cos x).$$

Cosinusurile se reduc, iar sinusurile se adună:

$$E(x)=-\sin x-\sin x+\cos x-\cos x=-2\sin x.$$

Expresia depinde, așadar, doar de $\sin x$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Arătați că $\sin 210^{\circ }+\cos 300^{\circ }=0$. b) Calculați $\sin 240^{\circ }\cos 330^{\circ }+\sin 330^{\circ }\cos 240^{\circ }$.

Rezolvare. a) Reducem fiecare termen: $\sin 210^{\circ }=-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2}$ și $\cos 300^{\circ }=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$. Suma lor este $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$. ✓

b) Reducem toate cele patru valori: $\sin 240^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 330^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 330^{\circ }=-\frac{1}{2}$, $\cos 240^{\circ }=-\frac{1}{2}$. Înlocuim:

$$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}.$$

Ordinea de lucru care nu dă greș la examen: mai întâi reduci toate valorile la primul cadran și le scrii pe o linie separată, abia apoi faci calculele. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu scrie explicit descompunerea unghiului ($180^{\circ }+t$ sau $360^{\circ }-t$) și abia apoi aplică formula; rezultatele iraționale rămân în formă exactă, cu radical.

1. Calculează $\sin 210^{\circ }$ și $\cos 210^{\circ }$, scriind explicit descompunerea unghiului.

2. Calculează $\sin 225^{\circ }$, $\cos 225^{\circ }$, $\sin 315^{\circ }$ și $\cos 315^{\circ }$.

3. Calculează $\sin 240^{\circ }$, $\cos 240^{\circ }$, $\sin 300^{\circ }$ și $\cos 300^{\circ }$.

4. Calculează $\sin 330^{\circ }$ și $\cos 330^{\circ }$.

5. Scrie fiecare dintre numerele $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{4}$, $\frac{4\pi }{3}$ în forma $\pi +t$, cu $t\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, și calculează sinusul fiecăruia.

6. Scrie fiecare dintre numerele $\frac{5\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{4}$, $\frac{11\pi }{6}$ în forma $2\pi -t$, cu $t\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, și calculează cosinusul fiecăruia.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) a) „$\cos (\pi +x)=-\cos x$ pentru orice $x$ real." b) „$\sin (2\pi -x)=\sin x$ pentru orice $x$ real."

8. Simplifică expresia $E(x)=\sin (\pi +x)+\sin (2\pi -x)$.

9. Simplifică expresia $F(x)=\cos (\pi +x)+\cos (2\pi -x)$.

10. Calculează $E=\sin 210^{\circ }+\sin 330^{\circ }+\cos 240^{\circ }+\cos 300^{\circ }$.

11. Arată, folosind formulele lecției, că ${\sin }^2(\pi +x)+{\cos }^2(\pi +x)=1$ pentru orice $x$ real.

12. (Problemă aplicată.) O roată mare are raza de $20$ de metri. Înălțimea unei cabine față de nivelul centrului roții este $h=20\sin \alpha$, unde $\alpha$ este unghiul cu care s-a rotit roata de la pornire. Calculează $h$ pentru $\alpha =30^{\circ }$ și pentru $\alpha =210^{\circ }$ și explică ce înseamnă rezultatele.

13. Calculează $\sin 750^{\circ }$ și $\cos 690^{\circ }$.

14. Ordonează crescător numerele $\cos 210^{\circ }$, $\cos 240^{\circ }$, $\cos 300^{\circ }$, $\cos 330^{\circ }$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) a) Arătați că $\sin 240^{\circ }+\cos 330^{\circ }=0$. b) Calculați $(\sin 210^{\circ }+\cos 240^{\circ }{)}^2$.

16. Se știe că $\sin x=\frac{1}{3}$ și $\cos x=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Calculează $\sin (\pi +x)$, $\cos (\pi +x)$, $\sin (2\pi -x)$ și $\cos (2\pi -x)$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Simplificați expresia $G(x)=\sin (\pi +x)\cos (2\pi -x)-\cos (\pi +x)\sin (2\pi -x)$.

18. (Provocare.) Arată că $S=\cos 0+\cos \frac{\pi }{3}+\cos \frac{2\pi }{3}+\cos \pi +\cos \frac{4\pi }{3}+\cos \frac{5\pi }{3}=0$, grupând termenii în perechi care diferă cu $\pi$.

Răspunsuri și explicații

1. $210^{\circ }=180^{\circ }+30^{\circ }$, deci $\sin 210^{\circ }=-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2}$ și $\cos 210^{\circ }=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ambele negative, ca orice punct din cadranul III.

2. $225^{\circ }=180^{\circ }+45^{\circ }$ dă $\sin 225^{\circ }=\cos 225^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. $315^{\circ }=360^{\circ }-45^{\circ }$ dă $\sin 315^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos 315^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Diferența dintre cele două unghiuri este exact semnul cosinusului.

3. $240^{\circ }=180^{\circ }+60^{\circ }$: $\sin 240^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 240^{\circ }=-\frac{1}{2}$. $300^{\circ }=360^{\circ }-60^{\circ }$: $\sin 300^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 300^{\circ }=\frac{1}{2}$.

4. $330^{\circ }=360^{\circ }-30^{\circ }$, deci $\sin 330^{\circ }=-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2}$ și $\cos 330^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. $\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$, deci sinusul este $-\frac{1}{2}$. $\frac{5\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}$, deci sinusul este $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$, deci sinusul este $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. $\frac{5\pi }{3}=2\pi -\frac{\pi }{3}$, deci cosinusul este $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$. $\frac{7\pi }{4}=2\pi -\frac{\pi }{4}$, deci cosinusul este $\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\frac{11\pi }{6}=2\pi -\frac{\pi }{6}$, deci cosinusul este $\frac{\sqrt{3}}{2}$. La toate trei, cosinusul rămâne pozitiv — sunt unghiuri din cadranul IV.

7. a) Adevărat — este chiar formula demonstrată prin simetria față de origine: adăugarea unei jumătăți de tură duce punctul în cel diametral opus, iar abscisa devine $-\cos x$. b) Fals — corect este $\sin (2\pi -x)=-\sin x$. Simetria față de axa $Ox$ păstrează abscisa, dar schimbă semnul ordonatei, iar ordonata este sinusul. Contraexemplu: $\sin \left(2\pi -\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{3\pi }{2}=-1$, în timp ce $\sin \frac{\pi }{2}=1$.

8. $E(x)=(-\sin x)+(-\sin x)=-2\sin x$.

9. $F(x)=(-\cos x)+\cos x=0$. Expresia este identic nulă, indiferent de $x$.

10. $E=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=-1$.

11. Din formule, $\sin (\pi +x)=-\sin x$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x$. Ridicând la pătrat, semnele dispar: ${\sin }^2(\pi +x)={\sin }^{2}x$ și ${\cos }^2(\pi +x)={\cos }^{2}x$. Suma devine ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, conform formulei fundamentale a trigonometriei. Era de așteptat: formula fundamentală e valabilă pentru orice argument real, deci și pentru $\pi +x$.

12. Pentru $\alpha =30^{\circ }$: $h=20\sin 30^{\circ }=20\cdot \frac{1}{2}=10$ metri, adică $10$ metri deasupra centrului. Pentru $\alpha =210^{\circ }=180^{\circ }+30^{\circ }$: $h=20\sin 210^{\circ }=20\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-10$ metri, adică $10$ metri sub nivelul centrului. Semnul minus arată exact ce spune formula $\sin (\pi +x)=-\sin x$: după o jumătate de tură, cabina e la aceeași distanță de nivelul centrului, dar de cealaltă parte.

13. $750^{\circ }=2\cdot 360^{\circ }+30^{\circ }$, deci $\sin 750^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. $690^{\circ }=360^{\circ }+330^{\circ }$, deci $\cos 690^{\circ }=\cos 330^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

14. Valorile sunt $\cos 210^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0,87$; $\cos 240^{\circ }=-\frac{1}{2}$; $\cos 300^{\circ }=\frac{1}{2}$; $\cos 330^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$. Ordinea crescătoare este $\cos 210^{\circ }<\cos 240^{\circ }<\cos 300^{\circ }<\cos 330^{\circ }$.

15. a) $\sin 240^{\circ }=-\sin 60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos 330^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$; suma lor este $0$. ✓ b) $\sin 210^{\circ }=-\frac{1}{2}$ și $\cos 240^{\circ }=-\frac{1}{2}$, deci paranteza valorează $-1$, iar pătratul ei este $1$.

16. $\sin (\pi +x)=-\frac{1}{3}$; $\cos (\pi +x)=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$; $\sin (2\pi -x)=-\frac{1}{3}$; $\cos (2\pi -x)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. (Verificare de plauzibilitate a datelor: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1$ ✓.)

17. Înlocuim fiecare factor: $G(x)=(-\sin x)(\cos x)-(-\cos x)(-\sin x)=-\sin x\cos x-\sin x\cos x=-2\sin x\cos x$. Atenție la al doilea produs: are doi factori negativi, deci este pozitiv, iar minusul din fața lui îl face negativ.

18. Grupăm termenii în perechi care diferă cu $\pi$, pentru că la fiecare astfel de pereche cosinusurile sunt opuse: $\left(\cos 0+\cos \pi \right)+\left(\cos \frac{\pi }{3}+\cos \frac{4\pi }{3}\right)+\left(\cos \frac{2\pi }{3}+\cos \frac{5\pi }{3}\right)$. În fiecare paranteză, al doilea termen este de forma $\cos (\pi +t)=-\cos t$, deci fiecare paranteză este nulă. Prin urmare $S=0$. (Verificare directă: $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$ ✓.)

De reținut

• Formulele cu $\pi +x$: $\sin (\pi +x)=-\sin x$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x$. Ambele funcții își schimbă semnul, pentru că punctul trece în cel diametral opus (simetrie față de origine).
• Formulele cu $2\pi -x$: $\sin (2\pi -x)=-\sin x$ și $\cos (2\pi -x)=\cos x$. Numai sinusul își schimbă semnul, pentru că punctul se oglindește față de axa $Ox$.
• Valoarea absolută nu se schimbă niciodată la reducere: se schimbă doar semnul, iar semnul se citește din cadran.
• Cadranul III ($210^{\circ },225^{\circ },240^{\circ }$): sinus și cosinus negative. Cadranul IV ($300^{\circ },315^{\circ },330^{\circ }$): sinus negativ, cosinus pozitiv.
• Strategia în trei pași: scad ture de $360^{\circ }$ → scriu unghiul ca $180^{\circ }-t$, $180^{\circ }+t$ sau $360^{\circ }-t$ → pun semnul dictat de cadran.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre $\pi +x$ și $2\pi -x$ la cosinus. Se scrie $\cos (2\pi -x)=-\cos x$, prin analogie greșită cu $\pi +x$. Corect: la $2\pi -x$ cosinusul rămâne neschimbat, pentru că simetria față de axa $Ox$ păstrează abscisa.
• Descompunerea greșită a unghiului. Se scrie $240^{\circ }=360^{\circ }-120^{\circ }$ și se aplică formula cu $2\pi -x$ pentru $t=120^{\circ }$ — un unghi care nu e din primul cadran, deci reducerea nu s-a terminat. Regula: $t$ trebuie să fie mereu între $0^{\circ }$ și $90^{\circ }$.
• Uitarea semnului la valorile din tabel. Se scrie $\sin 210^{\circ }=\frac{1}{2}$, pentru că „valoarea lui $30^{\circ }$ e $\frac{1}{2}$". Valoarea absolută e corectă, dar cadranul III cere minus.
• Aplicarea formulelor doar la unghiuri, nu și la expresii literale. Formulele sunt valabile pentru orice număr real $x$, nu doar pentru unghiuri remarcabile; ele se folosesc la fel de bine la simplificarea unei expresii cu $x$ necunoscut.
• Neefectuarea pasului 1 la unghiuri mari sau negative. Se încearcă reducerea directă a lui $750^{\circ }$ sau a lui $-30^{\circ }$. Întâi aduci unghiul în intervalul $[0^{\circ },360^{\circ })$ prin adunarea sau scăderea de ture complete, abia apoi identifici cadranul.

Aplică acasă

1. Ceasul din bucătărie. Privește minutarul ceasului ca pe o rază a cercului trigonometric. Notează pozițiile la minutele $5$, $20$, $35$ și $50$ și transformă-le în unghiuri măsurate de la ora $3$ (poziția $0^{\circ }$), în sens trigonometric. Vei obține unghiuri din toate cele patru cadrane. Pentru fiecare, calculează sinusul și cosinusul reducând la primul cadran, apoi verifică semnele privind pur și simplu unde se află vârful minutarului față de centru.

2. Roata bicicletei. Lipește o bucată de bandă colorată pe o spiță, aproape de jantă. Rotește roata încet și oprește-o de patru ori: la un sfert, la o jumătate, la trei sferturi și la o tură completă. De fiecare dată, măsoară cu rigla înălțimea semnului față de axul roții (cu semn: plus deasupra, minus dedesubt) și compară cu $R\sin \alpha$. Vei „vedea" cu ochii formula $\sin (\pi +x)=-\sin x$.

3. Tabelul complet, făcut de tine. Desenează pe o foaie A4 un cerc trigonometric mare și scrie pe el, în dreptul fiecărui punct remarcabil, perechea $(\cos ,\sin )$ — toate cele douăzeci și patru de valori, din $0^{\circ }$ până la $330^{\circ }$ din $30^{\circ }$ în $30^{\circ }$ și din $45^{\circ }$ în $45^{\circ }$. Nu copia dintr-un tabel gata făcut: calculează-le tu, prin reducere. Lipește foaia deasupra biroului; peste o săptămână vei ști tabelul pe de rost fără să-l fi „învățat".

Pentru părinți și profesori

Lecția aduce a doua și a treia dintre simetriile fundamentale ale cercului trigonometric — cea față de origine (argumentul $\pi +x$) și cea față de axa $Ox$ (argumentul $2\pi -x$) — și le transformă într-un instrument practic: calculul valorilor sinusului și cosinusului în cadranele III și IV. Programa cere explicit ca toate aceste formule să fie argumentate pe cercul trigonometric, prin simetrie, nu memorate ca atare; de aceea deducerea din coordonatele punctului simetric este partea cea mai importantă a lecției, iar tabelul de la sfârșit este doar o consecință.

Întrebări bune de control: „De ce la $\pi +x$ se schimbă ambele semne, iar la $2\pi -x$ doar unul?" (pentru că simetria față de origine schimbă ambele coordonate, cea față de axa $Ox$ doar ordonata); „Cum scrii $240^{\circ }$ ca să poți aplica o formulă?" ($180^{\circ }+60^{\circ }$); „Ce semn are $\cos 315^{\circ }$ și de ce?" (pozitiv, cadranul IV); „Ce faci cu un unghi de $750^{\circ }$?" (scazi ture complete). Semne că elevul a înțeles: desenează cercul înainte de a calcula, obține valoarea absolută din primul cadran și pune semnul din cadran, și nu confundă cele două perechi de formule.

La teze și la Bacalaureat, aceste formule apar aproape la fiecare subiect de trigonometrie — fie direct („calculați $\sin 210^{\circ }+\cos 300^{\circ }$"), fie ascunse într-un exercițiu mai mare, unde un unghi trebuie redus înainte de a putea aplica altceva. Recomandarea practică: exersați până când reducerea la primul cadran devine automată, pentru că ea consumă timp prețios la examen dacă e făcută ezitant.

Întrebări frecvente

Care sunt formulele pentru sin(π + x) și cos(π + x)? $\sin (\pi +x)=-\sin x$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x$. Ambele își schimbă semnul, pentru că punctul asociat lui $\pi +x$ este simetricul față de origine al punctului asociat lui $x$, iar simetria față de origine schimbă semnul ambelor coordonate.

Care sunt formulele pentru sin(2π − x) și cos(2π − x)? $\sin (2\pi -x)=-\sin x$ și $\cos (2\pi -x)=\cos x$. Aici doar sinusul își schimbă semnul, pentru că punctul lui $2\pi -x$ este simetricul față de axa $Ox$ al punctului lui $x$, iar această simetrie păstrează abscisa (cosinusul) și schimbă semnul ordonatei (sinusul).

Cum calculez sin 210° fără calculator? Scrii $210^{\circ }=180^{\circ }+30^{\circ }$ și aplici formula cu $\pi +x$: $\sin 210^{\circ }=-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2}$. Semnul minus vine din faptul că $210^{\circ }$ se află în cadranul III, unde sinusul este negativ.

Cât este cos 330°? $\cos 330^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Se obține scriind $330^{\circ }=360^{\circ }-30^{\circ }$ și aplicând $\cos (2\pi -x)=\cos x$, deci $\cos 330^{\circ }=\cos 30^{\circ }$. Fiind în cadranul IV, cosinusul rămâne pozitiv.

Cum reduc un unghi mai mare de 360° la primul cadran? Scazi din el ture complete de $360^{\circ }$ (sau de $2\pi$, dacă lucrezi în radiani) până ajungi în intervalul $[0^{\circ },360^{\circ })$; sinusul și cosinusul nu se schimbă la o tură completă. Abia apoi identifici cadranul și aplici formula potrivită. De exemplu, $750^{\circ }=2\cdot 360^{\circ }+30^{\circ }$, deci $\sin 750^{\circ }=\sin 30^{\circ }$.

Ce legătură este între formulele cu 2π − x și paritatea funcțiilor? Este aceeași informație, scrisă în două feluri. Cum $2\pi -x$ și $-x$ dau același punct pe cerc (diferă printr-o tură completă), formulele $\sin (2\pi -x)=-\sin x$ și $\cos (2\pi -x)=\cos x$ sunt echivalente cu faptul că sinusul este funcție impară, iar cosinusul funcție pară.

De ce toate valorile din cadranul III sunt negative? Pentru că un punct din cadranul al treilea are și abscisa, și ordonata negative, iar acestea sunt chiar cosinusul și sinusul unghiului. Formula $\sin (\pi +x)=-\sin x$, $\cos (\pi +x)=-\cos x$ nu face decât să spună acest lucru în limbaj algebric.

Trebuie să învăț pe de rost tabelul cu toate valorile de pe cerc? Nu. E suficient să știi valorile din primul cadran (pentru $0^{\circ }$, $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$) și cele trei formule de reducere. Restul de nouăsprezece valori de pe cerc se obțin în două secunde, punând semnul dictat de cadran. Cu exercițiu, tabelul se memorează oricum de la sine.