Calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta

Pe o pârtie de schi, ceasul sportiv afișează două numere: distanța parcursă pe pantă și diferența de nivel coborâtă. Raportul dintre ele — să zicem $0,6$ — este exact sinusul unghiului pe care pârtia îl face cu orizontala. Dar antrenorul vrea altceva: proiecția orizontală a coborârii, adică distanța „pe hartă". Aceasta se calculează cu cosinusul aceluiași unghi, un număr pe care ceasul nu îl afișează. Trebuie, așadar, să afli cosinusul cunoscând doar sinusul.

Este cea mai frecventă situație din toată trigonometria de liceu, și de departe cel mai frecvent tip de exercițiu de examen: ți se dă una dintre valorile $\sin x$, $\cos x$, $\mathrm{tg}x$ și un indiciu despre cadran, iar tu trebuie să le găsești pe celelalte. Unealta este formula fundamentală a trigonometriei, care leagă sinusul de cosinus; capcana este că formula, prin ea însăși, dă două răspunsuri, unul pozitiv și unul negativ. Alegerea între ele o face cadranul. Lecția de azi este despre cum se face corect această alegere — și despre cum se combină rezultatul cu toate formulele de reducere învățate în unitate.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi $\cos x$ când cunoști $\sin x$ și cadranul, folosind formula fundamentală.
• Vei ști să calculezi $\sin x$ când cunoști $\cos x$ și cadranul, cu discuția corectă a semnului.
• Vei ști să determini $\mathrm{tg}x$ din oricare dintre celelalte două valori.
• Vei ști să deduci și să folosești identitatea $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, pentru a afla $\sin x$ și $\cos x$ atunci când se dă tangenta.
• Vei ști să combini aceste calcule cu formulele de reducere din întreaga unitate, în exerciții de tip examen.
• Vei ști să verifici plauzibilitatea unui rezultat și să respingi datele imposibile.

Hai să descoperim împreună

1. Unealta principală: formula fundamentală

Punctul de plecare este relația pe care o cunoști deja:

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1,\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}.$$

Ea spune, geometric, că punctul $M(x)=(\cos x,\sin x)$ se află pe cercul de rază $1$ — nu e altceva decât teorema lui Pitagora scrisă pentru triunghiul dreptunghic format de coordonatele punctului.

Din ea izolăm ce ne interesează. Dacă știm sinusul și vrem cosinusul:

$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x⟹\cos x=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}x}.$$

Simetric, dacă știm cosinusul și vrem sinusul:

$${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x⟹\sin x=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}x}.$$

Iar dacă avem nevoie și de tangentă, o obținem la final din definiție:

$$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x},\text{cu condiția }\cos x\ne 0.$$

2. De ce apare ± și cum se decide semnul

Semnul $\pm$ nu este o slăbiciune a metodei, ci o informație onestă: formula fundamentală nu poate distinge între două puncte simetrice. Dacă $\sin x=\frac{3}{5}$, pe cerc există exact două puncte cu ordonata $\frac{3}{5}$: unul în cadranul I, cu abscisa $\frac{4}{5}$, și unul în cadranul II, cu abscisa $-\frac{4}{5}$. Ele sunt simetrice față de axa $Oy$. Formula le „vede" pe amândouă, deci îți dă amândouă rezultatele.

Ca să alegi, ai nevoie de o informație suplimentară — de obicei cadranul, dat în enunț sub forma unui interval:

Tabelul acesta, discutat pe larg în lecția despre semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane, este singurul lucru care trebuie știut pe de rost la acest tip de exercițiu. Enunțul îți poate da cadranul în mai multe feluri: „$x$ este în cadranul II", „$x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$", „$x$ este un unghi obtuz" sau chiar indirect, prin „$\cos x<0$ și $\sin x>0$".

3. Rețeta în patru pași

Iată algoritmul complet, cel pe care îl vei aplica la fiecare exercițiu de acest tip:

Pasul 1 — citește ce se dă și în ce cadran ești. Notează pe foaie semnele celor trei funcții în cadranul respectiv, înainte de orice calcul. Zece secunde investite aici salvează exercițiul.

Pasul 2 — aplică formula fundamentală și extrage radicalul, obținând valoarea absolută a mărimii căutate.

Pasul 3 — pune semnul dictat de cadran, nu semnul „care iese mai frumos".

Pasul 4 — calculează, dacă se cere, și tangenta, ca raport al valorilor găsite, și verifică: pătratele sinusului și cosinusului trebuie să dea $1$, iar semnul tangentei trebuie să se potrivească cu tabelul.

4. Din sinus dat, spre cosinus și tangentă

Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$, iar $x$ se află în cadranul II. Aflăm $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$.

Pasul 1: în cadranul II, sinusul e pozitiv (se confirmă cu datul problemei), cosinusul e negativ, tangenta e negativă.

Pasul 2: ${\cos }^{2}x=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $|\cos x|=\frac{4}{5}$.

Pasul 3: fiind în cadranul II, $\cos x=-\frac{4}{5}$.

Pasul 4: $\mathrm{tg}x=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$, negativ, așa cum ceruse tabelul. ✓

Observă că numerele „frumoase" din exercițiile de acest tip vin, aproape întotdeauna, din triplete pitagoreice: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$, $(20,21,29)$. Dacă vezi $\sin x=\frac{12}{13}$, poți paria că va ieși $|\cos x|=\frac{5}{13}$ — un control mental util, dar care nu înlocuiește calculul.

5. Din cosinus dat, spre sinus și tangentă

Procedura e identică, doar rolurile se schimbă.

Se știe că $\cos x=-\frac{5}{13}$, iar $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$. Aflăm $\sin x$ și $\mathrm{tg}x$.

Intervalul dat este cadranul III, unde sinusul e negativ și tangenta e pozitivă. Calculăm:

$${\sin }^{2}x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}⟹|\sin x|=\frac{12}{13}⟹\sin x=-\frac{12}{13}.$$

$$\mathrm{tg}x=\frac{-12/13}{-5/13}=\frac{12}{5}.$$

Tangenta a ieșit pozitivă, cum se cuvine în cadranul III. Dacă ți-ar fi ieșit negativă, ai ști imediat că ai greșit un semn — de aceea pasul de verificare merită făcut de fiecare dată.

Nu toate rezultatele sunt raționale, și e perfect normal. De exemplu, dacă $\cos x=\frac{1}{3}$ și $x$ e în cadranul I, atunci ${\sin }^{2}x=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, deci $\sin x=\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, iar $\mathrm{tg}x=\frac{2\sqrt{2}/3}{1/3}=2\sqrt{2}$. Radicalii se lasă în formă exactă, simplificați.

6. Din tangentă dată: o identitate nouă

Ce faci dacă enunțul îți dă tangenta? Ai putea, desigur, să scrii $\sin x=\mathrm{tg}x\cdot \cos x$ și să înlocuiești în formula fundamentală. Dar există o cale mai directă, printr-o identitate care se deduce în două rânduri.

Pornim de la ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și împărțim totul la ${\cos }^{2}x$ (posibil, pentru că unde există tangentă avem $\cos x\ne 0$):

$$\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}⟹\boxed{1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$$

De aici izolăm cosinusul:

$${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}⟹\cos x=\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}},$$

iar sinusul se obține imediat, ca produs: $\sin x=\mathrm{tg}x\cdot \cos x$.

Exemplu: $\mathrm{tg}x=2$, cu $x$ în cadranul III. Avem $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=1+4=5$, deci ${\cos }^{2}x=\frac{1}{5}$ și $|\cos x|=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$. În cadranul III cosinusul e negativ, deci $\cos x=-\frac{\sqrt{5}}{5}$, iar

$$\sin x=\mathrm{tg}x\cdot \cos x=2\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=-\frac{2\sqrt{5}}{5}.$$

Verificare: $\frac{5}{25}+\frac{20}{25}=1$ ✓, iar ambele valori sunt negative, ca în cadranul III ✓.

O observație despre cadrane, la acest tip de exercițiu: tangenta nu determină cadranul, ci doar perechea de cadrane. O tangentă pozitivă înseamnă cadranul I sau III; una negativă, cadranul II sau IV. De aceea enunțul trebuie neapărat să precizeze cadranul, altfel problema are două soluții, cu semne opuse la ambele funcții.

7. Sinteza formulelor unității

Suntem la ultima lecție a unității, așa că merită să strângem într-un singur loc tot ce ai învățat. Toate formulele de mai jos sunt valabile pentru orice $x$ real (cele cu tangentă, pentru orice $x$ din domeniul ei):

Exercițiile de examen combină, de regulă, două straturi: mai întâi afli valorile lipsă cu formula fundamentală și cadranul, apoi le înlocuiești într-o expresie plină de reduceri, de tipul $\sin (\pi +x)+\cos (2\pi -x)$. Detaliile fiecărei linii le găsești în lecțiile despre formulele cu π + x și 2π − x și despre formulele pentru tangentă.

8. Controlul rezultatului: ce e imposibil

Un ultim reflex, care te scutește de greșeli grave. Fiind coordonate ale unui punct de pe cercul de rază $1$, sinusul și cosinusul sunt mereu cuprinse între $-1$ și $1$:

$$-1\le \sin x\le 1,-1\le \cos x\le 1.$$

Prin urmare, un enunț de tipul „se știe că $\sin x=\frac{5}{4}$" este imposibil: nu există niciun număr real $x$ cu această proprietate. La fel, un rezultat de calcul care iese $\cos x=1,2$ semnalează sigur o greșeală, cel mai des o scădere inversată în formula fundamentală.

Tangenta, în schimb, poate lua orice valoare reală — de la valori foarte mari (când unghiul se apropie de $90^{\circ }$) la valori foarte mici. Deci $\mathrm{tg}x=100$ este perfect posibil, chiar dacă pare mult. Diferența vine din natura lor: sinusul și cosinusul sunt lungimi pe un cerc de rază $1$, tangenta este un raport care poate crește nelimitat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Sinus dat, cadranul II

Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x$ se află în cadranul II. Calculați $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$.

Rezolvare. În cadranul II: $\cos x<0$, $\mathrm{tg}x<0$. Din formula fundamentală,

$${\cos }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}⟹|\cos x|=\frac{4}{5}⟹\cos x=-\frac{4}{5}.$$

Apoi $\mathrm{tg}x=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$, negativ ✓. $■$

Exemplul 2 — Cosinus dat, cadranul III

Se știe că $\cos x=-\frac{5}{13}$ și $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$. Calculați $\sin x$ și $\mathrm{tg}x$.

Rezolvare. Intervalul indică cadranul III: sinus negativ, tangentă pozitivă.

$${\sin }^{2}x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}⟹\sin x=-\frac{12}{13};\mathrm{tg}x=\frac{-12/13}{-5/13}=\frac{12}{5}.$$

Verificare: $\frac{144+25}{169}=1$ ✓ și tangenta e pozitivă ✓. $■$

Exemplul 3 — Cadranul IV

Se știe că $\sin x=-\frac{8}{17}$ și $x$ este în cadranul IV. Calculați $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$.

Rezolvare. În cadranul IV cosinusul e pozitiv. Din ${\cos }^{2}x=1-\frac{64}{289}=\frac{225}{289}$ rezultă $\cos x=\frac{15}{17}$, iar

$$\mathrm{tg}x=\frac{-8/17}{15/17}=-\frac{8}{15}.$$

Tripletul folosit este $(8,15,17)$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Rezultat irațional

Se știe că $\cos x=\frac{1}{3}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculați $\sin x$ și $\mathrm{tg}x$.

Rezolvare. În cadranul I toate valorile sunt pozitive.

$${\sin }^{2}x=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}⟹\sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3},\mathrm{tg}x=\frac{2\sqrt{2}/3}{1/3}=2\sqrt{2}.$$

Radicalul $\sqrt{8}$ s-a simplificat: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Rezultatul se lasă în această formă exactă, nu se aproximează zecimal. $■$

Exemplul 5 — Tangentă dată

Se știe că $\mathrm{tg}x=2$ și $x$ se află în cadranul III. Calculați $\cos x$ și $\sin x$.

Rezolvare. Folosim identitatea $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$:

$$\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+4=5⟹{\cos }^{2}x=\frac{1}{5}⟹|\cos x|=\frac{\sqrt{5}}{5}.$$

În cadranul III cosinusul e negativ, deci $\cos x=-\frac{\sqrt{5}}{5}$, iar

$$\sin x=\mathrm{tg}x\cdot \cos x=2\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=-\frac{2\sqrt{5}}{5}.$$

Verificare: ${\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2=\frac{20}{25}+\frac{5}{25}=1$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se știe că $\sin x=\frac{4}{5}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. a) Calculați $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$. b) Calculați $E=\sin (\pi +x)+\cos (2\pi -x)+\mathrm{tg}(\pi -x)$.

Rezolvare. a) Intervalul este cadranul II, deci $\cos x<0$. Din ${\cos }^{2}x=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ obținem $\cos x=-\frac{3}{5}$, iar $\mathrm{tg}x=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}$.

b) Reducem întâi fiecare termen, folosind formulele unității:

$$E=-\sin x+\cos x-\mathrm{tg}x.$$

Abia acum înlocuim valorile găsite:

$$E=-\frac{4}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)-\left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{7}{5}+\frac{4}{3}=\frac{-21+20}{15}=-\frac{1}{15}.$$

Ordinea de lucru contează enorm: întâi reduci simbolic, apoi înlocuiești. Dacă înlocuiești de la început, ajungi să calculezi valori de tipul $\sin (\pi +x)$ pentru un $x$ pe care nici nu-l cunoști. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie mai întâi cadranul și semnele celor trei funcții în el, apoi calculează; la final, verifică rezultatul cu formula fundamentală.

1. Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x$ este în cadranul I. Calculează $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$.

2. Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x$ este în cadranul II. Calculează $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$. Compară cu răspunsul de la exercițiul precedent.

3. Se știe că $\cos x=-\frac{5}{13}$ și $x$ este în cadranul III. Calculează $\sin x$ și $\mathrm{tg}x$.

4. Se știe că $\cos x=\frac{15}{17}$ și $x$ este în cadranul IV. Calculează $\sin x$ și $\mathrm{tg}x$.

5. Se știe că $\sin x=\frac{1}{4}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculează $\cos x$.

6. Se știe că $\cos x=-\frac{2}{3}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Calculează $\sin x$ și $\mathrm{tg}x$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) a) „Dacă $\sin x=\frac{3}{5}$, atunci $\cos x=\frac{4}{5}$." b) „Există un număr real $x$ pentru care $\sin x=\frac{5}{4}$."

8. Se știe că $\mathrm{tg}x=\frac{3}{4}$ și $x$ este în cadranul I. Calculează $\cos x$ și $\sin x$.

9. Se știe că $\mathrm{tg}x=-\frac{4}{3}$ și $x$ este în cadranul II. Calculează $\cos x$ și $\sin x$.

10. Se știe că $\mathrm{tg}x=2$ și $x$ este în cadranul III. Calculează $\cos x$ și $\sin x$.

11. Se știe că $\mathrm{tg}x=\sqrt{3}$ și $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$. Calculează $\sin x$ și $\cos x$.

12. (Problemă aplicată.) O pârtie de schi coboară astfel încât sinusul unghiului cu orizontala este $0,6$. Calculează cosinusul și tangenta aceluiași unghi, apoi află, pentru o coborâre de $500$ de metri măsurați pe pantă, diferența de nivel și distanța pe orizontală.

13. Se știe că $\sin x=\frac{20}{29}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Calculează $\cos x$.

14. Se știe că $\cos x=-\frac{7}{25}$ și $x$ este în cadranul II. Calculează $\sin x$ și $\mathrm{tg}x$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se știe că $\sin x=\frac{4}{5}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. a) Calculați $\cos x$. b) Calculați $E=\sin (\pi +x)+\cos (2\pi -x)+\mathrm{tg}(\pi -x)$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se știe că $\cos x=\frac{3}{5}$ și $x\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. a) Calculați $\sin x$ și $\mathrm{tg}x$. b) Calculați $F=\sin (\pi -x)\cos (\pi +x)$.

17. Se știe că $\mathrm{tg}x=-\frac{3}{4}$ și $x\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. Calculează $\sin x$ și $\cos x$, apoi verifică formula fundamentală.

18. (Provocare.) Se știe că $\sin x\cdot \cos x=\frac{3}{8}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculează $\sin x+\cos x$. (Indicație: ridică suma la pătrat.)

Răspunsuri și explicații

1. În cadranul I toate valorile sunt pozitive. ${\cos }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\cos x=\frac{4}{5}$ și $\mathrm{tg}x=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$.

2. Aceleași calcule, dar cadranul II impune $\cos x<0$: $\cos x=-\frac{4}{5}$ și $\mathrm{tg}x=-\frac{3}{4}$. Comparație: sinusul e același, dar cosinusul și tangenta sunt opuse — o dovadă că, fără precizarea cadranului, problema ar avea două soluții.

3. Cadranul III: sinus negativ, tangentă pozitivă. ${\sin }^{2}x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$, deci $\sin x=-\frac{12}{13}$ și $\mathrm{tg}x=\frac{-12/13}{-5/13}=\frac{12}{5}$.

4. Cadranul IV: sinus negativ. ${\sin }^{2}x=1-\frac{225}{289}=\frac{64}{289}$, deci $\sin x=-\frac{8}{17}$ și $\mathrm{tg}x=-\frac{8}{15}$.

5. ${\cos }^{2}x=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$, iar în cadranul I cosinusul e pozitiv: $\cos x=\frac{\sqrt{15}}{4}$.

6. Cadranul II: sinus pozitiv, tangentă negativă. ${\sin }^{2}x=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, deci $\sin x=\frac{\sqrt{5}}{3}$, iar $\mathrm{tg}x=\frac{\sqrt{5}/3}{-2/3}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

7. a) Fals — din formula fundamentală rezultă doar $|\cos x|=\frac{4}{5}$; semnul depinde de cadran, iar în cadranul II cosinusul este $-\frac{4}{5}$. Afirmația e adevărată numai dacă se precizează suplimentar că $x$ e în cadranul I. b) Fals — sinusul este ordonata unui punct de pe cercul de rază $1$, deci $-1\le \sin x\le 1$, iar $\frac{5}{4}=1,25>1$.

8. $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$, deci ${\cos }^{2}x=\frac{16}{25}$ și, în cadranul I, $\cos x=\frac{4}{5}$. Apoi $\sin x=\mathrm{tg}x\cdot \cos x=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}$.

9. $1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$, deci ${\cos }^{2}x=\frac{9}{25}$ și, în cadranul II, $\cos x=-\frac{3}{5}$. Atunci $\sin x=\left(-\frac{4}{3}\right)\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{4}{5}$, pozitiv ✓.

10. $1+4=5$, deci ${\cos }^{2}x=\frac{1}{5}$ și, în cadranul III, $\cos x=-\frac{\sqrt{5}}{5}$. Atunci $\sin x=2\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

11. $1+3=4$, deci ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$ și, în cadranul III, $\cos x=-\frac{1}{2}$. Atunci $\sin x=\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Se recunosc valorile lui $240^{\circ }$ — firesc, pentru că $\mathrm{tg}240^{\circ }=\sqrt{3}$.

12. Din $\sin \alpha =0,6=\frac{3}{5}$ și unghi ascuțit: $\cos \alpha =\frac{4}{5}=0,8$ și $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}=0,75$. Pentru $500$ de metri pe pantă: diferența de nivel este $500\cdot 0,6=300$ de metri, iar distanța pe orizontală $500\cdot 0,8=400$ de metri. (Se regăsește tripletul $3$–$4$–$5$, la scara $100$.)

13. ${\cos }^{2}x=1-\frac{400}{841}=\frac{441}{841}$, deci $|\cos x|=\frac{21}{29}$; în cadranul II, $\cos x=-\frac{21}{29}$. (Tripletul folosit: $20$, $21$, $29$.)

14. ${\sin }^{2}x=1-\frac{49}{625}=\frac{576}{625}$, deci $\sin x=\frac{24}{25}$ (pozitiv, cadranul II), iar $\mathrm{tg}x=\frac{24/25}{-7/25}=-\frac{24}{7}$.

15. a) Cadranul II, deci $\cos x=-\frac{3}{5}$ (din ${\cos }^{2}x=\frac{9}{25}$); în plus $\mathrm{tg}x=-\frac{4}{3}$. b) Reducem întâi: $E=-\sin x+\cos x-\mathrm{tg}x$. Înlocuim: $E=-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}+\frac{4}{3}=-\frac{7}{5}+\frac{4}{3}=-\frac{1}{15}$.

16. a) Cadranul IV: sinus negativ. ${\sin }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\sin x=-\frac{4}{5}$ și $\mathrm{tg}x=\frac{-4/5}{3/5}=-\frac{4}{3}$. b) Reducem: $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x$, deci $F=\sin x\cdot (-\cos x)=-\left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{12}{25}$.

17. $1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$, deci ${\cos }^{2}x=\frac{16}{25}$ și, în cadranul IV, $\cos x=\frac{4}{5}$. Atunci $\sin x=\left(-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{4}{5}\right)=-\frac{3}{5}$. Verificare: $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓, iar semnele (sinus negativ, cosinus pozitiv) sunt cele ale cadranului IV ✓.

18. Ridicăm suma la pătrat și folosim formula fundamentală: $(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\cdot \frac{3}{8}=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$. Deci $|\sin x+\cos x|=\frac{\sqrt{7}}{2}$. Cum $x$ e în cadranul I, ambii termeni sunt pozitivi, deci $\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{7}}{2}$.

De reținut

• Formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ dă valoarea absolută a mărimii căutate; semnul îl dă întotdeauna cadranul.
• Semnele pe cadrane: I $(+,+,+)$, II $(+,-,-)$, III $(-,-,+)$, IV $(-,+,-)$, pentru $\sin$, $\cos$ și $\mathrm{tg}$ în această ordine.
• Din tangentă: $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, de unde $\cos x=\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}}$ și apoi $\sin x=\mathrm{tg}x\cdot \cos x$.
• Rețeta: cadran și semne → formula fundamentală → semnul → tangenta și verificarea. Patru pași, în această ordine.
• În exercițiile de examen, întâi reduci simbolic expresia cu formulele unității și abia apoi înlocuiești valorile numerice găsite.

Greșeli frecvente

• Uitarea semnului $\pm$. Se scrie direct $\cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$ și se dă mereu răspunsul pozitiv. Radicalul dă valoarea absolută; semnul se decide separat, după cadran.
• Alegerea semnului „după cum arată mai bine". Se ia semnul plus fiindcă rezultatul e mai simplu. Cadranul este singurul criteriu — dacă el nu e dat în enunț, problema are două soluții și trebuie discutate amândouă.
• Confundarea cadranului cu intervalul. Un enunț de tipul $x\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ înseamnă cadranul IV, nu cadranul III. Notează pe cerc capetele intervalului înainte de a decide.
• Greșeli la formula cu tangenta. Se scrie $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$. Corect este cu ${\cos }^{2}x$ la numitor — se verifică imediat pe un caz: pentru $x=\frac{\pi }{4}$, membrul stâng e $2$, iar $\frac{1}{{\cos }^{2}45^{\circ }}=\frac{1}{1/2}=2$ ✓.
• Înlocuirea valorilor înainte de reducere. Într-o expresie ca $\sin (\pi +x)+\cos (2\pi -x)$ se încearcă înlocuirea directă a lui $x$, deși $x$ nici nu e cunoscut. Se reduce mai întâi la $-\sin x+\cos x$ și abia apoi se pun numerele.

Aplică acasă

1. Panta scărilor din bloc. Măsoară înălțimea unei trepte și adâncimea ei; raportul dintre ele este tangenta unghiului de înclinare al scării. Folosind identitatea $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, calculează cosinusul și sinusul acelui unghi, fără să măsori nimic altceva. Apoi verifică: înmulțind sinusul cu lungimea rampei (măsurată de-a lungul balustradei), trebuie să obții înălțimea totală a etajului.

2. Un exercițiu de examen făcut de tine. Alege un triplet pitagoreic dintre $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$ și un cadran. Compune un enunț complet („se știe că $\sin x=\dots$ și $x\in \dots$; calculați…"), rezolvă-l, apoi dă-l unui coleg. Compară rezolvările: cele mai multe diferențe vor fi la semne, nu la calcule.

3. Harta și drumul. Caută pe o hartă cu relief un traseu montan pentru care se dau lungimea și diferența de nivel. Calculează sinusul unghiului de urcare, apoi cosinusul și tangenta. Compară distanța reală de mers cu cea „de pe hartă" (proiecția orizontală) și observă cât de puțin diferă ele pentru pante obișnuite — un motiv pentru care hărțile sunt utile chiar și la munte.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea „Formule trigonometrice de bază" și este cea mai apropiată de forma exercițiilor de examen. Programa cere explicit trei tipuri de calcul: sinusul când se cunosc cosinusul și cadranul, tangenta când se cunosc cosinusul și cadranul, și cosinusul când se cunosc tangenta și cadranul. Toate trei se sprijină pe formula fundamentală, iar dificultatea reală nu e algebrică, ci de disciplină a semnului: elevul trebuie să înțeleagă că radicalul dă doar valoarea absolută, iar informația despre cadran este parte esențială a datelor problemei, nu un detaliu decorativ.

Întrebări bune de control: „De ce apare $\pm$ când extragi radicalul?" (există două puncte pe cerc cu același sinus); „Cum decizi semnul?" (din cadran); „Ce faci dacă enunțul nu precizează cadranul?" (discuți ambele cazuri); „De unde vine relația $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$?" (din împărțirea formulei fundamentale la ${\cos }^{2}x$); „Poate $\sin x$ să fie $1,2$?" (nu, valorile sinusului sunt în $[-1,1]$). Semne că elevul a înțeles: scrie semnele celor trei funcții înainte de a calcula și își verifică singur rezultatul cu formula fundamentală.

La teze și la subiectul de trigonometrie de la Bacalaureat, acest tip de exercițiu apare cu mare regularitate, adesea în două părți: prima cere valoarea lipsă, a doua cere o expresie în care intervin formulele de reducere din unitate. Recomandarea practică pentru pregătire: exersați exact acest format compus, insistând pe ordinea „reduc simbolic, apoi înlocuiesc numeric" — este locul în care se pierd cele mai multe puncte din grabă.

Întrebări frecvente

Cum aflu cos x dacă știu sin x? Folosești formula fundamentală: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, deci $\cos x=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}x}$. Radicalul îți dă valoarea absolută, iar semnul îl alegi după cadranul în care se află $x$: pozitiv în cadranele I și IV, negativ în cadranele II și III.

De ce am nevoie de cadran ca să rezolv exercițiul? Pentru că pe cerc există două puncte diferite cu același sinus (sau cu același cosinus), iar ele au cosinusuri (respectiv sinusuri) opuse. Formula fundamentală nu poate face diferența între ele; cadranul este informația care o face.

Cum calculez sin x și cos x dacă știu tangenta? Folosești identitatea $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, din care obții $\cos x=\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}}$, alegi semnul după cadran, apoi calculezi $\sin x=\mathrm{tg}x\cdot \cos x$.

De unde vine formula 1 + tg²x = 1/cos²x? Se obține împărțind formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ la ${\cos }^{2}x$, ceea ce este permis oriunde tangenta există (adică unde $\cos x\ne 0$). Primul termen devine ${\mathrm{tg}}^{2}x$, al doilea devine $1$, iar membrul drept devine $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

Poate sinusul să fie mai mare decât 1? Nu. Sinusul este ordonata unui punct de pe cercul de rază $1$, deci ia valori numai în intervalul $[-1,1]$. La fel și cosinusul. Un enunț cu $\sin x=\frac{5}{4}$ este imposibil, iar un rezultat de calcul mai mare decât $1$ semnalează sigur o greșeală.

Poate tangenta să ia orice valoare? Da, tangenta poate fi orice număr real, oricât de mare sau de mic. Ea este un raport, nu o coordonată, iar când unghiul se apropie de $90^{\circ }$ numitorul (cosinusul) tinde la zero, deci raportul crește nelimitat.

Ce fac dacă exercițiul nu îmi spune cadranul? Discuți ambele posibilități și dai două seturi de răspunsuri, precizând pentru fiecare cadranul corespunzător. Uneori enunțul dă cadranul indirect — prin condiții de tipul „$\cos x<0$", „$x$ este unghi obtuz" sau „$\mathrm{tg}x>0$ și $\sin x<0$" — și atunci trebuie doar citit cu atenție.

În ce ordine rezolv un exercițiu de tip Bacalaureat cu formule de reducere? Mai întâi reduci simbolic expresia, înlocuind $\sin (\pi +x)$ cu $-\sin x$, $\cos (2\pi -x)$ cu $\cos x$ și așa mai departe; apoi calculezi valorile lipsă cu formula fundamentală și cadranul; abia la final înlocuiești numerele. Ordinea aceasta scurtează mult calculele și reduce riscul de greșeală.