Fracția ordinară: numărător, numitor, linie de fracție

Până acum ai lucrat numai cu numere naturale: $0,1,2,3,\dots$ Dar ce faci când împarți o pizza la trei prieteni și niciunul nu primește un întreg, ci doar o parte? Sau când spui că ai citit „jumătate" dintr-o carte? Aici intră în scenă un nou fel de număr: fracția ordinară. În această lecție vei descoperi cum scriem și citim fracțiile, ce înseamnă numărătorul și numitorul și de ce o fracție este, de fapt, două lucruri în același timp: o parte dintr-un întreg și o împărțire.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici numărătorul, numitorul și linia de fracție la orice fracție ordinară.
• Vei ști să exprimi printr-o fracție o parte dintr-un întreg împărțit în părți egale.
• Vei ști să înțelegi fracția și ca rezultat al împărțirii a două numere naturale.
• Vei ști să citești și să scrii corect o fracție ordinară, folosind limbajul matematic.
• Vei ști să recunoști fracții în situații din viața de zi cu zi: bani, sport, timp, mâncare.

Hai să descoperim împreună

De la întreg la parte

Imaginează-ți o tabletă de ciocolată. Atâta timp cât e neatinsă, spunem că avem un întreg — o bucată completă. În matematică, întregul este lucrul pe care îl considerăm „complet": o pizza, o oră, un metru, un măr, un leu, o tablă de ciocolată.

Acum rupem tableta în bucăți egale. Atenție la cuvântul egale — este foarte important. Dacă bucățile nu sunt egale, nu putem vorbi corect despre fracții.

Să zicem că am împărțit tableta în 4 bucăți egale și am mâncat 3 dintre ele. Cum scriem cât am mâncat? Folosim o fracție:

$$\frac{3}{4}$$

și citim „trei pătrimi". Acest mic simbol cu două numere și o liniuță între ele ne spune totul: din 4 părți egale, am luat 3.

Cele trei părți ale unei fracții

Orice fracție ordinară are exact trei elemente. Hai să le cunoaștem pe rând, folosind exemplul $\frac{3}{4}$:

1. Numitorul este numărul de jos. El ne spune în câte părți egale am împărțit întregul. La $\frac{3}{4}$, numitorul este $4$: întregul a fost împărțit în 4 părți egale. Un truc de memorie: numitorul numește felia — ne spune ce mărime are o parte (pătrimi, treimi, cincimi...).

2. Numărătorul este numărul de sus. El ne spune câte astfel de părți luăm (sau colorăm, sau mâncăm). La $\frac{3}{4}$, numărătorul este $3$: am luat 3 părți. Un truc de memorie: numărătorul numără câte felii avem.

3. Linia de fracție este liniuța orizontală dintre ele. Ea desparte numărătorul de numitor și, după cum vei vedea mai jos, înseamnă de fapt „împărțit la".

Reține ordinea: numărătorul sus, numitorul jos. Mulți elevi le încurcă la început, dar cu trucul „numitorul numește felia, numărătorul o numără" nu vei mai greși.

Definiție. Un simbol de forma $\frac{a}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt numere naturale și $b\ne 0$, se numește fracție ordinară. Numărul $a$ (de sus) este numărătorul, numărul $b$ (de jos) este numitorul, iar liniuța dintre ele este linia de fracție.

De ce numitorul nu poate fi 0?

Ai observat condiția $b\ne 0$ din definiție? Gândește-te: numitorul arată în câte părți egale împărțim întregul. Poți împărți o pizza în 2 părți, în 5 părți, în 100 de părți... dar în zero părți? Nu are niciun sens. De aceea, numitorul unei fracții este întotdeauna un număr diferit de zero. Numărătorul, în schimb, poate fi 0 (înseamnă că nu luăm nicio parte, adică nimic).

Cum citim o fracție

Citirea fracțiilor are o regulă simplă. Spunem mai întâi numărătorul, apoi numitorul „transformat" după model:

• Dacă numitorul este 2, spunem „doime" (sau „jumătate"): $\frac{1}{2}$ = „o doime" / „o jumătate".
• Dacă numitorul este 3, spunem „treime": $\frac{1}{3}$ = „o treime".
• Dacă numitorul este 4, spunem „pătrime" (sau „sfert"): $\frac{1}{4}$ = „o pătrime" / „un sfert".
• Dacă numitorul este 5, spunem „cincime": $\frac{2}{5}$ = „două cincimi".
• Dacă numitorul este 6, „șesime"; 7 „șeptime"; 8 „optime"; 9 „noime"; 10 „zecime".
• De la 11 în sus folosim cuvântul „parte": $\frac{4}{11}$ = „patru unsprezecimi" sau, mai sigur, „patru părți din unsprezece". În practică se acceptă și „a unsprezecea parte" etc.

Iată un tabel mic de citire ca să-l ai la îndemână:

Observă o regulă fină de gramatică: când numărătorul este 1, partea rămâne la singular („o treime", „o pătrime"); când numărătorul este 2 sau mai mare, partea trece la plural („două treimi", „trei pătrimi", „cinci optimi").

Fracția ca parte dintr-un întreg

Aceasta este prima dintre cele două „fețe" ale fracției. Să o înțelegem bine, pas cu pas.

Pasul 1. Alegem un întreg și îl împărțim în părți egale. Numărul de părți devine numitorul.

Pasul 2. Luăm (colorăm, mâncăm, alegem) un anumit număr dintre aceste părți. Acel număr devine numărătorul.

Exemplu cu o prăjitură: o tăiem în 8 felii egale și mâncăm 3. Partea mâncată este $\frac{3}{8}$ („trei optimi").

Hai cu încă un exemplu, cu un metru de panglică. Împărțim panglica de 1 metru în 10 bucăți egale (fiecare de un decimetru). Dacă luăm 7 bucăți, avem $\frac{7}{10}$ dintr-un metru.

Și un exemplu din viața ta de zi cu zi: o oră are 60 de minute. Dacă faci sport 20 de minute, ai folosit $\frac{20}{60}$ dintr-o oră. Aici întregul este ora, împărțită în 60 de părți egale (minutele), iar numărătorul este 20.

Fracția ca rezultat al unei împărțiri

Acum vine a doua „față" a fracției, poate cea mai surprinzătoare. Linia de fracție înseamnă, de fapt, „împărțit la". Adică:

$$\frac{a}{b}=a:b$$

Citește din nou: fracția $\frac{a}{b}$ este același lucru cu împărțirea $a:b$. Numărătorul este deîmpărțitul, numitorul este împărțitorul, iar linia de fracție ține locul semnului de împărțire.

De ce este adevărat? Hai cu o poveste scurtă. Trei prieteni — Andrei, Bianca și Carla — vor să împartă 2 pizze în mod egal, fiecare să primească exact cât celălalt. Cât primește fiecare?

Împărțim fiecare pizza în 3 părți egale (câte unul pentru fiecare prieten). O pizza dă 3 treimi, două pizze dau 6 treimi. Le împărțim la 3 prieteni: fiecare ia 2 treimi, adică $\frac{2}{3}$ dintr-o pizza.

Deci $2:3=\frac{2}{3}$. Iată cum împărțirea „care nu iese exact" în numere naturale capătă acum un răspuns precis: o fracție! Înainte spuneai „2 împărțit la 3 nu se poate" sau „dă 0 rest 2". Acum spui simplu: $2:3=\frac{2}{3}$.

Această idee este uriașă. Ține minte din lecția despre împărțirea cu rest: în numere naturale, $7:2$ dădea câtul 3 și restul 1. Cu fracții putem scrie exact $7:2=\frac{7}{2}$, fără rest. Fracțiile completează numerele naturale, ca să putem exprima și „bucățile" dintre ele.

Un caz special: numitorul 1

Ce înseamnă o fracție cu numitorul 1, de exemplu $\frac{5}{1}$? Folosind regula „linia de fracție = împărțit la", avem $\frac{5}{1}=5:1=5$. Deci $\frac{5}{1}=5$. Orice număr natural este, de fapt, o fracție cu numitorul 1! Asta arată că numerele naturale sunt „ascunse" printre fracții.

Și încă un caz: dacă numărătorul este 0, de pildă $\frac{0}{7}=0:7=0$. Zero părți din șapte înseamnă... nimic. Deci $\frac{0}{7}=0$.

Fracții în jurul nostru

Fracțiile nu sunt doar pe hârtie, la ora de matematică — ele sunt peste tot în viața de zi cu zi. Hai să le „vânăm" împreună în câteva situații obișnuite, ca să le recunoști oriunde le întâlnești.

În sport. Un meci de baschet are 4 reprize (sferturi). Dacă echipa ta a jucat 3 reprize, a parcurs $\frac{3}{4}$ din meci. La fotbal, o repriză este $\frac{1}{2}$ din meci. Când un comentator spune „suntem la jumătatea cursei", spune de fapt $\frac{1}{2}$.

Cu banii. Un leu are 100 de bani. Dacă ai 25 de bani, ai $\frac{25}{100}$ dintr-un leu. Un sfert de kilogram de mere este $\frac{1}{4}$ dintr-un kilogram. La cumpărături auzi des „o jumătate de pâine" — adică $\frac{1}{2}$ dintr-o pâine.

La ceas și calendar. O oră are 60 de minute; un sfert de oră este $\frac{15}{60}$. O săptămână are 7 zile; dacă au trecut 3 zile, a trecut $\frac{3}{7}$ din săptămână. Un an are 12 luni; o lună este $\frac{1}{12}$ din an.

În tehnologie și jocuri. Bateria telefonului arată cât a mai rămas: dacă din 5 „liniuțe" mai sunt 2 pline, bateria este la $\frac{2}{5}$. Într-un joc cu 10 niveluri, dacă ai terminat 7, ai parcurs $\frac{7}{10}$ din joc.

Vezi cât de des apar fracțiile? De fiecare dată e vorba de un întreg (meciul, leul, ora, jocul) împărțit în părți egale, din care luăm câteva. Exact ceea ce am învățat.

Aceeași fracție, întregi de mărimi diferite

Iată o idee subtilă, dar importantă: o fracție îți spune ce parte iei din întreg, nu cât de mare este acea parte în mod absolut. Mărimea reală a unei părți depinde de cât de mare este întregul.

Gândește-te la $\frac{1}{2}$. O jumătate de pizza mică și o jumătate de pizza uriașă sunt amândouă „o doime", deși una se mănâncă din două înghițituri, iar cealaltă te satură. Tot $\frac{1}{2}$, dar cantități foarte diferite de mâncare! La fel, $\frac{1}{2}$ dintr-un leu înseamnă 50 de bani, iar $\frac{1}{2}$ dintr-o oră înseamnă 30 de minute — aceeași fracție, întregi diferiți, rezultate diferite.

Ce înseamnă asta în practică? Când spui o fracție, trebuie să fie clar care este întregul. „Am mâncat $\frac{3}{4}$" nu spune nimic dacă nu știm $\frac{3}{4}$ din ce — dintr-o ciocolată? dintr-un tort? De aceea, în probleme, întregul este mereu precizat: trei pătrimi dintr-un metru, două cincimi dintr-o oră, o jumătate dintr-o pâine. Reține: fracția fără întregul ei este o jumătate de informație.

Aici stă și legătura cu cele două fețe ale fracției. Când scriem $\frac{1}{2}$ dintr-o oră ca împărțire, calculăm $60:2=30$ de minute; când scriem $\frac{1}{2}$ dintr-un leu, calculăm $100:2=50$ de bani. Fracția este aceeași regulă („ia o parte din două egale"), dar aplicată unor întregi diferiți dă cantități diferite.

Recapitulare a ideii centrale

Ține minte cele două fețe ale aceleiași fracții $\frac{a}{b}$:

• Parte dintr-un întreg: întregul împărțit în $b$ părți egale, din care luăm $a$ părți.
• Împărțire: $a:b$, adică numărătorul împărțit la numitor.

Sunt două moduri de a privi același lucru — ca două fețe ale aceleiași monede, dar amândouă duc la același număr. În lecțiile următoare vei învăța să compari fracțiile, să le reprezinți pe axa numerelor și să le clasifici în subunitare, echiunitare și supraunitare. Dar totul pornește de aici: numărător, numitor, linie de fracție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identificarea elementelor

Pentru fracția $\frac{5}{9}$, scrie numărătorul, numitorul și citește fracția.

Rezolvare. Numărul de sus este numărătorul: $5$. Numărul de jos este numitorul: $9$. Liniuța dintre ele este linia de fracție. Citim „cinci noimi" (cinci părți din nouă). Înseamnă: un întreg împărțit în 9 părți egale, din care luăm 5.

Exemplul 2 — Scriem o fracție dintr-o imagine

Un dreptunghi este împărțit în 6 pătrate egale și 4 dintre ele sunt colorate. Ce fracție reprezintă partea colorată?

Rezolvare. Întregul (dreptunghiul) este împărțit în 6 părți egale → numitorul este $6$. Sunt colorate 4 părți → numărătorul este $4$. Partea colorată este $\frac{4}{6}$, citită „patru șesimi".

Exemplul 3 — Fracția ca împărțire

Patru prieteni împart în mod egal 3 batoane de cereale. Ce fracție dintr-un baton primește fiecare?

Rezolvare. Trebuie să împărțim 3 batoane la 4 copii: $3:4$. Folosim regula liniei de fracție: $$3:4=\frac{3}{4}.$$ Fiecare prieten primește $\frac{3}{4}$ dintr-un baton, adică „trei pătrimi". (Practic: tăiem fiecare baton în 4 sferturi; avem $3\times 4=12$ sferturi, le împărțim la 4 copii → câte 3 sferturi de fiecare.)

Exemplul 4 — Din cuvinte în simboluri

Scrie sub formă de fracție: „șapte doisprezecimi", apoi „două cincimi", apoi „o doime".

Rezolvare. Numărătorul este numărul rostit primul, numitorul vine din „felie":

• „șapte doisprezecimi" → numitorul vine de la doisprezecimi (12), numărătorul 7 → $\frac{7}{12}$;
• „două cincimi" → numitor 5, numărător 2 → $\frac{2}{5}$;
• „o doime" → numitor 2, numărător 1 → $\frac{1}{2}$.

Exemplul 5 — Un context cu timp

Recreația mare durează 15 minute dintr-o oră. Ce fracție dintr-o oră reprezintă recreația mare?

Rezolvare. Întregul este ora = 60 de minute → numitorul este $60$. Recreația are 15 minute → numărătorul este $15$. Răspuns: $\frac{15}{60}$ dintr-o oră. (Mai târziu vei învăța că $\frac{15}{60}$ este același lucru cu $\frac{1}{4}$, adică un sfert de oră — dar deocamdată scrierea $\frac{15}{60}$ este perfect corectă.)

Exemplul 6 — Numitor 1 și numărător 0

Calculează, scriind fiecare fracție ca o împărțire: $\frac{8}{1}$ și $\frac{0}{5}$.

Rezolvare. $\frac{8}{1}=8:1=8$ (un întreg „împărțit într-o singură parte" rămâne întreg). $\frac{0}{5}=0:5=0$ (zero părți din cinci înseamnă nimic). Deci $\frac{8}{1}=8$ și $\frac{0}{5}=0$.

Exemplul 7 — Partea luată și partea rămasă

O tabletă de ciocolată are 15 pătrate egale. Vlad mănâncă 6 pătrate. Ce fracție a mâncat și ce fracție a rămas?

Rezolvare. Întregul are 15 părți egale → numitorul este $15$ la ambele fracții. Vlad a mâncat 6 pătrate → partea mâncată este $\frac{6}{15}$. Au rămas $15-6=9$ pătrate → partea rămasă este $\frac{9}{15}$. Observă că partea mâncată plus partea rămasă reface întregul: $\frac{6}{15}$ și $\frac{9}{15}$ împreună înseamnă toate cele 15 părți, adică un întreg.

Exemplul 8 — Aceeași fracție din întregi diferiți

Andra ia $\frac{1}{4}$ dintr-o oră pentru teme, iar fratele ei ia $\frac{1}{4}$ dintr-un leu pentru o gumă. Cât înseamnă fiecare $\frac{1}{4}$ în minute, respectiv în bani?

Rezolvare. Folosim fracția ca împărțire, aplicată fiecărui întreg. Întregul „oră" are 60 de minute: $\frac{1}{4}$ dintr-o oră înseamnă $60:4=15$ minute. Întregul „leu" are 100 de bani: $\frac{1}{4}$ dintr-un leu înseamnă $100:4=25$ de bani. Deci aceeași fracție, $\frac{1}{4}$, dă 15 minute într-un caz și 25 de bani în celălalt — pentru că întregii sunt diferiți.

Exemplul 9 — Din enunț în fracție și citire

Într-o clasă sunt 28 de elevi, iar 9 dintre ei poartă ochelari. Ce fracție din clasă poartă ochelari? Identifică numărătorul, numitorul și citește fracția.

Rezolvare. Întregul este clasa, formată din 28 de elevi → numitorul este $28$. Poartă ochelari 9 elevi → numărătorul este $9$. Fracția este $\frac{9}{28}$, citită „nouă douăzeci și optimi" sau, mai sigur, „nouă părți din douăzeci și opt". Numărătorul (9) numără elevii cu ochelari, numitorul (28) numește în câte părți egale — adică câți elevi — am împărțit clasa.

Să exersăm

1. Pentru fracția $\frac{4}{7}$, scrie: a) numărătorul; b) numitorul; c) cum se citește.

2. Pentru fracția $\frac{11}{20}$, identifică numărătorul și numitorul.

3. Completează: la o fracție, numărul de sus se numește ________, numărul de jos se numește ________, iar liniuța dintre ele se numește ________ ________.

4. Scrie sub formă de fracție: a) „trei optimi"; b) „cinci șesimi"; c) „o pătrime"; d) „nouă zecimi".

5. Citește (scrie în cuvinte) fracțiile: a) $\frac{2}{3}$; b) $\frac{7}{10}$; c) $\frac{1}{2}$; d) $\frac{5}{12}$.

6. Un cerc este împărțit în 5 părți egale și 2 sunt colorate. Ce fracție reprezintă partea colorată? Dar partea necolorată?

7. Scrie fiecare împărțire sub formă de fracție: a) $5:8$; b) $1:3$; c) $11:4$; d) $9:9$.

8. Scrie fiecare fracție sub formă de împărțire și calculează unde se poate: a) $\frac{12}{1}$; b) $\frac{0}{6}$; c) $\frac{6}{1}$.

9. Adevărat sau fals? a) Numitorul unei fracții poate fi 0. b) La $\frac{3}{8}$, numitorul este 8. c) $\frac{4}{1}=4$. d) Linia de fracție înseamnă „înmulțit cu".

10. Încercuiește fracția în care întregul a fost împărțit în cele mai multe părți: $\frac{3}{5}$, $\frac{3}{11}$, $\frac{3}{7}$.

11. Doi prieteni împart în mod egal 1 sticlă de suc. Ce fracție dintr-o sticlă primește fiecare? Scrie ca împărțire și ca fracție.

12. O zi de școală are 6 ore. Maria a avut 5 ore de curs. Ce fracție din ziua de școală au reprezentat orele de curs?

13. Potrivește fracția cu citirea corectă: a) $\frac{1}{4}$    b) $\frac{3}{10}$    c) $\frac{8}{9}$ — I. opt noimi    II. o pătrime    III. trei zecimi

14. Desenează un dreptunghi împărțit în 4 părți egale și colorează $\frac{3}{4}$ din el.

15. Într-o echipă de fotbal sunt 11 jucători. 4 dintre ei sunt fundași. Ce fracție din echipă reprezintă fundașii?

16. Completează numărătorul sau numitorul care lipsește: a) am împărțit un tort în 12 felii și am luat 5 → $\frac{\square }{12}$; b) o fracție „șapte cincimi" → $\frac{7}{\square }$.

17. Andrei spune că $\frac{2}{6}$ înseamnă „un întreg împărțit în 2 părți, din care luăm 6". Are dreptate? Explică ce a greșit.

18. Trei surori împart în mod egal 7 mere. Scrie sub formă de fracție câte mere primește fiecare soră.

19. O carte are 80 de pagini. Dan a citit 30 de pagini. Scrie sub formă de fracție ce parte din carte a citit și ce parte i-a mai rămas de citit.

20. Calculează cât înseamnă $\frac{1}{2}$ din fiecare întreg: a) dintr-o oră (60 de minute); b) dintr-un metru (100 de centimetri); c) dintr-un kilogram (1000 de grame). Folosește fracția ca împărțire.

21. Adevărat sau fals? a) $\frac{0}{9}=0$. b) Orice număr natural se poate scrie ca fracție cu numitorul 1. c) Fracția $\frac{4}{5}$ se citește „cinci pătrimi". d) Dacă întregul este mai mare, atunci și $\frac{1}{2}$ din el este o cantitate mai mare.

22. Scrie ca fracție și calculează unde se poate: a) 4 prăjituri împărțite la 5 copii; b) 10 lei împărțiți la 2 frați; c) un număr natural oarecare $n$ împărțit la 1.

Răspunsuri și explicații

1. a) numărătorul $4$; b) numitorul $7$; c) „patru șeptimi" (patru părți din șapte).

2. Numărătorul $11$, numitorul $20$.

3. numărător; numitor; linie / linie de fracție.

4. a) $\frac{3}{8}$; b) $\frac{5}{6}$; c) $\frac{1}{4}$; d) $\frac{9}{10}$. (Numărătorul = numărul rostit primul, numitorul vine din „felie".)

5. a) două treimi; b) șapte zecimi; c) o doime (o jumătate); d) cinci doisprezecimi (cinci părți din douăsprezece).

6. Partea colorată: $\frac{2}{5}$ (din 5 părți, 2 sunt colorate). Partea necolorată: $\frac{3}{5}$ (rămân 3 părți). Împreună fac întregul.

7. a) $\frac{5}{8}$; b) $\frac{1}{3}$; c) $\frac{11}{4}$; d) $\frac{9}{9}$. (Linia de fracție ține locul semnului „:".)

8. a) $\frac{12}{1}=12:1=12$; b) $\frac{0}{6}=0:6=0$; c) $\frac{6}{1}=6:1=6$.

9. a) Fals — numitorul nu poate fi 0. b) Adevărat — numitorul este 8. c) Adevărat — $4:1=4$. d) Fals — linia de fracție înseamnă „împărțit la".

10. $\frac{3}{11}$ — numitorul cel mai mare (11) arată cele mai multe părți egale.

11. $1:2=\frac{1}{2}$. Fiecare primește o jumătate de sticlă.

12. $\frac{5}{6}$ din ziua de școală (întregul = 6 ore, numărătorul = 5 ore de curs).

13. a) – II (o pătrime); b) – III (trei zecimi); c) – I (opt noimi).

14. Verifică: dreptunghi cu 4 părți egale, 3 colorate, 1 albă. (Orice împărțire corectă în 4 părți egale este bună.)

dreptunghi împărțit în 4 pătrate egale, 3 colorate și 1 alb — model de răspuns

15. $\frac{4}{11}$ din echipă (întregul = 11 jucători, numărătorul = 4 fundași).

16. a) $\frac{5}{12}$; b) $\frac{7}{5}$.

17. Nu are dreptate. A încurcat numărătorul cu numitorul. La $\frac{2}{6}$, numitorul este 6 (împărțim întregul în 6 părți egale), iar numărătorul este 2 (luăm 2 părți). Corect: „un întreg împărțit în 6 părți, din care luăm 2".

18. $7:3=\frac{7}{3}$. Fiecare soră primește $\frac{7}{3}$ dintr-un măr (adică șapte treimi de măr).

19. Citită: $\frac{30}{80}$ din carte (numitorul = 80 de pagini, numărătorul = 30 de pagini citite). I-au rămas $80-30=50$ de pagini, adică $\frac{50}{80}$ din carte. Cele două părți împreună refac întregul.

20. Folosim $\frac{1}{2}=1:2$ aplicat fiecărui întreg: a) $60:2=30$ de minute; b) $100:2=50$ de centimetri; c) $1000:2=500$ de grame. Aceeași fracție, întregi diferiți → cantități diferite.

21. a) Adevărat — zero părți din nouă înseamnă nimic. b) Adevărat — de exemplu $7=\frac{7}{1}$. c) Fals — $\frac{4}{5}$ se citește „patru cincimi"; „cinci pătrimi" ar fi $\frac{5}{4}$. d) Adevărat — fracția este aceeași, dar aplicată unui întreg mai mare dă o cantitate mai mare.

22. a) $4:5=\frac{4}{5}$ (nu iese număr natural, rămâne fracție); b) $10:2=\frac{10}{2}=5$ lei de fiecare; c) $n:1=\frac{n}{1}=n$ (împărțirea la 1 nu schimbă numărul).

De reținut

• O fracție ordinară $\frac{a}{b}$ are trei elemente: numărătorul $a$ (sus), numitorul $b$ (jos) și linia de fracție dintre ele.
• Numitorul arată în câte părți egale împărțim întregul; numărătorul arată câte părți luăm. Numitorul nu poate fi niciodată 0.
• O fracție este o parte dintr-un întreg împărțit în părți egale, dar și rezultatul unei împărțiri: $\frac{a}{b}=a:b$.
• Citim fracția spunând numărătorul, apoi „felia": $\frac{3}{4}$ = „trei pătrimi". La numărător 1 folosim singularul, la 2 sau mai mult, pluralul.
• Orice număr natural este o fracție cu numitorul 1: $5=\frac{5}{1}$.

Greșeli frecvente

• Inversarea numărătorului cu numitorul. Mulți scriu $\frac{6}{2}$ în loc de $\frac{2}{6}$. Reține: numărul de jos spune în câte părți împarți, numărul de sus spune câte iei. Trucul: „numitorul numește felia, numărătorul o numără".
• Numitor egal cu 0. Nu poți împărți un întreg în „zero părți". Numitorul este întotdeauna diferit de zero. (Numărătorul, în schimb, poate fi 0.)
• Părți inegale. Dacă tai o pizza în bucăți de mărimi diferite, nu poți spune că o felie este „o pătrime". Fracția funcționează doar când părțile sunt egale.
• Confuzia liniei de fracție cu alte semne. Linia de fracție înseamnă „împărțit la", nu „minus" și nici „înmulțit". Deci $\frac{8}{2}$ înseamnă $8:2=4$, nu $8-2$.

Joc acasă

1. Pizza de hârtie. Decupează un cerc dintr-o foaie (poate fi conturat după o farfurie). Îndoaie-l în 2, apoi încă o dată în 2 — ai 4 părți egale. Colorează 3 părți și scrie dedesubt fracția obținută ($\frac{3}{4}$). Reîncepe cu alte îndoituri pentru a obține 8 părți (mai îndoi o dată) și scrie noi fracții, de exemplu $\frac{5}{8}$.

2. Concursul de citit fracții. Joacă cu un coleg sau cu un părinte. Unul scrie pe o hârtie o fracție oarecare (de exemplu $\frac{7}{10}$), iar celălalt o citește corect cu voce tare („șapte zecimi"). Apoi schimbați rolurile. Cine greșește citirea sau încurcă numărătorul cu numitorul pierde un punct. Primul la 5 puncte câștigă.

3. Frigiderul cu fracții. Caută prin casă lucruri împărțite în părți egale: o tabletă de ciocolată (câte pătrate?), un cofraj de ouă (6, 10 sau 12 locuri?), o tavă de prăjituri. Scrie pe un bilețel ce fracție mai e plină. De exemplu, dacă din 12 ouă au rămas 5, scrie $\frac{5}{12}$ și citește-o.

4. Împărțeala dreaptă. La masă sau la o gustare, ia un număr de obiecte (de exemplu 5 biscuiți) și un număr de persoane (de exemplu 2). Pune întrebarea: „cât revine fiecăruia?" și scrie răspunsul ca fracție, folosind regula liniei de fracție: $5:2=\frac{5}{2}$. Schimbă numerele și observă când împărțirea „iese exact" (de exemplu $6:2=\frac{6}{2}=3$) și când rămâne o fracție adevărată. Este cel mai bun mod de a simți că linia de fracție înseamnă „împărțit la".

Pentru părinți și învățători

Această lecție este poarta de intrare în întreaga unitate de fracții, una dintre cele mai importante din clasa a V-a. Dacă elevul stăpânește bine numărătorul, numitorul și cele două înțelesuri ale fracției, restul unității (compararea, operațiile, fracțiile zecimale) va merge mult mai ușor.

Cum sprijiniți elevul:

• Începeți concret, nu cu simboluri. Folosiți o ciocolată, un măr tăiat, o foaie îndoită. Lăsați copilul să manipuleze întregul și să numere singur părțile.
• Insistați pe cuvântul egale. Cereți-i să arate de ce o tăietură strâmbă „nu e cinstită" — de aici înțelege intuitiv de ce părțile trebuie să fie egale.
• Legați mereu cele două înțelesuri: „$\frac{3}{4}$ înseamnă 3 părți din 4, dar și 3 împărțit la 4". Întrebați des: „dacă împărțim 3 prăjituri la 4 copii, cât ia fiecare?".

Întrebări bune de pus:

• „Arată-mi numitorul. Ce ne spune el?" (în câte părți egale e împărțit întregul)
• „De ce nu putem avea numitorul 0?" (nu poți împărți în zero părți)
• „Cum scrii numărul 7 ca fracție?" (răspuns: $\frac{7}{1}$ — verifică dacă a prins ideea cu numitorul 1)

Cum verificați înțelegerea: dați o fracție necunoscută, de exemplu $\frac{4}{9}$, și cereți simultan: identificarea elementelor, citirea, un desen și scrierea ca împărțire. Dacă le poate face pe toate patru, lecția este însușită.

Întrebări frecvente

Ce este o fracție ordinară pentru clasa a V-a? Este un număr scris sub forma $\frac{a}{b}$, cu numere naturale și numitorul diferit de zero. Reprezintă o parte dintr-un întreg împărțit în părți egale și, în același timp, rezultatul împărțirii numărătorului la numitor.

Care este numărătorul și care este numitorul? Numărătorul este numărul de sus și arată câte părți luăm. Numitorul este numărul de jos și arată în câte părți egale a fost împărțit întregul. Un truc: „numitorul numește felia, numărătorul o numără".

Ce înseamnă linia de fracție? Linia de fracție este liniuța orizontală dintre numărător și numitor și înseamnă „împărțit la". De aceea $\frac{a}{b}=a:b$, de exemplu $\frac{6}{3}=6:3=2$.

De ce numitorul unei fracții nu poate fi 0? Pentru că numitorul arată în câte părți egale împărțim întregul, iar a împărți „în zero părți" nu are sens. Împărțirea la 0 nu este definită în matematică, așa că numitorul este mereu diferit de zero.

Poate numărătorul să fie 0? Da. $\frac{0}{b}=0:b=0$ înseamnă că nu luăm nicio parte din întreg, adică nimic. De exemplu, $\frac{0}{7}=0$.

Cum se citește o fracție corect? Spui întâi numărătorul, apoi numitorul transformat în „felie": $\frac{2}{5}$ = „două cincimi", $\frac{1}{3}$ = „o treime". La numărător 1 folosești singularul, la 2 sau mai mult, pluralul.

Cum scriu un număr natural ca fracție? Pui numărul la numărător și 1 la numitor: $5=\frac{5}{1}$, $12=\frac{12}{1}$. Funcționează pentru că împărțirea la 1 nu schimbă numărul.

Care e diferența dintre fracția ca parte și fracția ca împărțire? Sunt două moduri de a privi același număr. „Parte dintr-un întreg" privește $\frac{3}{4}$ ca 3 felii dintr-un întreg tăiat în 4. „Împărțire" privește $\frac{3}{4}$ ca $3:4$, adică 3 prăjituri împărțite la 4 copii. Rezultatul este același.