Fracții echivalente (prin reprezentări grafice)

Ai tăiat vreodată o pizza în 4 felii și ai mâncat 2, iar prietenul tău a tăiat aceeași pizza în 8 felii și a mâncat 4? Cine a mâncat mai mult? Surpriza este că ați mâncat exact aceeași cantitate, deși numerele $\frac{2}{4}$ și $\frac{4}{8}$ arată complet diferit. Astfel de fracții, care reprezintă aceeași parte dintr-un întreg, se numesc fracții echivalente. În această lecție vom învăța să le recunoaștem cu ajutorul desenelor și să le folosim cu încredere.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce sunt fracțiile echivalente și de ce două fracții diferite pot arăta aceeași cantitate.
• Vei ști să recunoști fracții echivalente prin reprezentări grafice (desene, dreptunghiuri, cercuri, benzi împărțite).
• Vei ști să compari două reprezentări și să decizi dacă fracțiile sunt egale sau nu.
• Vei ști să găsești fracții echivalente cu o fracție dată, construind șiruri de fracții egale.
• Vei ști să folosești limbajul corect: numărător, numitor, întreg, parte colorată.

Hai să descoperim împreună

Reamintim repede ce este o fracție

În lecțiile anterioare despre fracția ordinară ai învățat că o fracție arată câte părți luăm dintr-un întreg împărțit în părți egale. Într-o fracție precum $\frac{3}{4}$:

• numărul de jos, numitorul ($4$), ne spune în câte părți egale a fost împărțit întregul;
• numărul de sus, numărătorul ($3$), ne spune câte dintre acele părți luăm.

Cuvântul-cheie aici este „părți egale". Dacă tăiem un măr în bucăți inegale, nu mai putem vorbi despre fracții. Ține minte asta — este inima întregii lecții.

Aceeași cantitate, fețe diferite

Să facem un experiment cu o ciocolată dreptunghiulară. Imaginează-ți o tabletă de ciocolată pe care o putem împărți în orice mod dorim.

Prima tabletă o rupem în 2 bucăți egale și mâncăm 1 bucată. Am mâncat $\frac{1}{2}$ din ciocolată.

A doua tabletă, identică, o rupem în 4 bucăți egale și mâncăm 2 bucăți. Am mâncat $\frac{2}{4}$ din ciocolată.

Acum pune cele două desene unul sub celălalt. Ce observi? Partea colorată acoperă exact aceeași suprafață! Jumătatea din stânga este la fel de mare ca două sferturi din stânga. Cu alte cuvinte:

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$$

Deși numerele sunt diferite ($1$ și $2$ sus, $2$ și $4$ jos), cantitatea de ciocolată este identică. Tocmai am întâlnit prima pereche de fracții echivalente.

Definiția pe care o reținem

Două fracții se numesc echivalente dacă reprezintă aceeași parte dintr-un întreg, adică aceeași cantitate. Pentru a arăta că două fracții sunt echivalente, folosim semnul de egalitate: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$.

Gândește-te la asta ca la doi prieteni îmbrăcați diferit, dar care au exact aceeași înălțime. Hainele (numerele) diferă, dar valoarea (cantitatea) este aceeași. „Echivalent" înseamnă chiar „cu aceeași valoare".

De ce funcționează? Trucul împărțirii mai fine

Hai să înțelegem de ce se întâmplă asta, nu doar că se întâmplă. Privește din nou jumătatea de ciocolată. Dacă printr-o linie subțire împărțim fiecare jumătate în două, ce obținem?

Numărul de părți s-a dublat: din $2$ părți au devenit $4$ părți. Dar și partea colorată s-a dublat: jumătatea colorată e acum formată din $2$ pătrățele. Practic:

• am înmulțit numitorul cu $2$: $2\times 2=4$;
• am înmulțit numărătorul cu $2$: $1\times 2=2$.

Cantitatea nu s-a schimbat — am doar tăiat mai fin aceeași bucată. De aici regula simplă:

Dacă înmulțim și numărătorul, și numitorul unei fracții cu același număr (diferit de zero), obținem o fracție echivalentă.

Această idee se numește amplificare și o vei studia pe larg în lecția despre amplificarea și simplificarea fracțiilor. Deocamdată ne bazăm pe desene, ca să „vedem" egalitatea cu ochii, nu doar s-o calculăm.

Construim un șir de fracții echivalente

Pornim de la $\frac{1}{3}$ și împărțim tot mai fin un dreptunghi de aceeași mărime:

• împărțit în $3$ → colorăm $1$ → $\frac{1}{3}$
• împărțit în $6$ → colorăm $2$ → $\frac{2}{6}$
• împărțit în $9$ → colorăm $3$ → $\frac{3}{9}$
• împărțit în $12$ → colorăm $4$ → $\frac{4}{12}$

Toate au aceeași zonă colorată — o treime din dreptunghi. Deci:

$$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{4}{12}=\dots$$

Acesta este un șir de fracții echivalente. Observă regularitatea: $1,2,3,4$ sus și $3,6,9,12$ jos — numerele cresc „în pas", pentru că de fiecare dată înmulțim cu $1,2,3,4$. Un astfel de șir poate continua la nesfârșit, fiindcă putem tăia oricât de fin.

Cum recunoaștem fracții echivalente DOAR din desene

În această lecție vrem să devenim experți la recunoașterea grafică. Iată metoda în 3 pași, ca o rețetă sigură:

Pasul 1 — Verifică întregul. Cele două desene trebuie să pornească de la întregi de aceeași mărime (două dreptunghiuri la fel de mari, două cercuri la fel de mari). Altfel comparația nu are sens: jumătate dintr-o pizza mică nu e cât jumătate dintr-una uriașă.

Pasul 2 — Citește fiecare fracție. Numără în câte părți egale e împărțit fiecare întreg (numitorul) și câte sunt colorate (numărătorul). Scrie fracția sub fiecare desen.

Pasul 3 — Compară suprafețele colorate. Suprapune mental (sau cu rigla) zonele colorate. Dacă acoperă exact aceeași cantitate, fracțiile sunt echivalente. Dacă una e mai mare, nu sunt echivalente.

Atenție: desenul te poate păcăli

Iată o capcană. Privește aceste două benzi:

Ambele au un singur pătrățel colorat. Te-ai putea grăbi să spui că sunt egale. Dar nu! În prima bandă întregul e tăiat în $4$, deci fiecare bucată e mică ($\frac{1}{4}$). În a doua e tăiat doar în $3$, deci fiecare bucată e mai mare ($\frac{1}{3}$). Cu cât numitorul e mai mare, cu atât bucățile sunt mai mici. Așadar $\frac{1}{4}\ne \frac{1}{3}$: zona colorată diferă. Regula de aur: nu te uita la câte bucăți sunt colorate, ci la cât de mare e suprafața colorată.

O poveste scurtă: harta comorii

Doi exploratori, Vlad și Sara, primesc fiecare o hartă a aceleiași grădini dreptunghiulare, unde e ascunsă o comoară. Grădina e exact aceeași, dar hărțile au caroiajul desenat diferit.

Pe harta lui Vlad, grădina e împărțită cu linii în 6 zone egale, iar comoara se află în primele 2 zone din stânga. Vlad scrie: „comoara e în $\frac{2}{6}$ din grădină".

Pe harta Sarei, aceeași grădină e împărțită doar în 3 zone egale, iar comoara se află în prima 1 zonă din stânga. Sara scrie: „comoara e în $\frac{1}{3}$ din grădină".

Cei doi se ceartă: „Hărțile noastre arată zone diferite!" Dar când suprapun hărțile, descoperă uimiți că zona marcată e exact aceeași porțiune de grădină. Cele $2$ zone mici ale lui Vlad ocupă exact cât 1 zonă mare a Sarei. Concluzia? $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$: au descris aceeași comoară, doar cu numere diferite. Morala poveștii e chiar definiția lecției: fracții echivalente = aceeași realitate, scrisă în două feluri.

Drumul invers: de la fin la gros

Până acum am mers mereu „de la gros la fin": am pornit de la puține bucăți și am tăiat tot mai mărunt. Dar putem merge și invers — să grupăm bucăți mici la loc.

Privește un dreptunghi împărțit în $8$ părți, cu $4$ colorate ($\frac{4}{8}$). Dacă grupăm câte $4$ optimi la un loc, obținem $2$ grupe mari, dintre care $1$ e colorată: asta înseamnă $\frac{1}{2}$.

Așadar $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Acest drum invers (de la multe bucăți mici la puține bucăți mari) este ideea de simplificare pe care o vei studia formal în lecția despre fracții ireductibile. Pentru azi reține doar atât: echivalența merge în ambele sensuri — putem tăia mai fin sau grupa mai gros, cantitatea rămâne aceeași.

O analogie cu banii

Gândește-te la bani, ceva ce întâlnești des. Un leu poate fi privit ca 2 monede de 50 de bani, ca 4 monede de 25 de bani sau ca 10 monede de 10 bani. Toate descriu aceeași valoare: un leu. La fel, jumătatea unei sume poate fi scrisă $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ sau $\frac{5}{10}$ — schimbăm „mărunțișul", dar valoarea rămâne neschimbată. Fracțiile echivalente sunt exact ca banii: aceeași valoare, alt mod de a o număra.

O legătură cu ce știi deja

Îți amintești de la fracții subunitare, echiunitare și supraunitare că $\frac{2}{2}=1$ întreg? Acesta e un caz special de echivalență: orice fracție în care numărătorul e egal cu numitorul ($\frac{3}{3},\frac{5}{5},\frac{8}{8}$) reprezintă un întreg colorat complet. Toate sunt echivalente între ele și egale cu $1$. La fel, $\frac{0}{4}=\frac{0}{7}=0$ (nimic colorat). Echivalența nu apare doar la fracțiile mici — e o idee care funcționează peste tot.

O altă reprezentare grafică: axa numerelor

Până acum am „văzut" fracțiile ca suprafețe colorate (dreptunghiuri, cercuri, benzi). Există însă o reprezentare grafică la fel de importantă, pe care o vei folosi des în clasele următoare: axa numerelor. Pe axă, fracțiile nu mai sunt suprafețe, ci puncte între $0$ și $1$.

Hai să desenăm un segment de la $0$ la $1$ și să-l împărțim în $2$ părți egale. Punctul din mijloc este $\frac{1}{2}$.

Acum desenăm dedesubt un al doilea segment de exact aceeași lungime, dar împărțit în $4$ părți egale. Punctele de pe el sunt $\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4}$. Observă unde cade $\frac{2}{4}$: fix sub punctul $\frac{1}{2}$ de pe prima axă!

Faptul că cele două puncte se află în același loc pe axă este, din nou, dovada că $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$. Aceasta este o regulă valoroasă: fracțiile echivalente ocupă același punct pe axa numerelor. Dacă două fracții cad în puncte diferite, nu sunt echivalente. Axa numerelor este, de fapt, încă o „față" a aceleiași idei: tăiem segmentul tot mai fin, dar locul punctului nu se mișcă.

Grila comună: cum suprapunem două caroiaje

Iată un truc grafic foarte puternic pentru a decide rapid dacă două fracții cu numitori diferiți sunt echivalente: construim o grilă comună. Dacă vrem să comparăm $\frac{2}{3}$ cu $\frac{4}{6}$, desenăm același dreptunghi de două ori, dar peste el trasăm un caroiaj care se potrivește amândurora.

Numitorii sunt $3$ și $6$. Cel mai mic număr în care „intră" și $3$, și $6$ este $6$. Așadar împărțim ambele dreptunghiuri în $6$ căsuțe identice:

• pentru $\frac{2}{3}$: fiecare treime conține $2$ căsuțe, deci $2$ treimi colorate înseamnă $4$ căsuțe colorate;
• pentru $\frac{4}{6}$: $4$ șesimi înseamnă direct $4$ căsuțe colorate.

Ambele au exact $4$ căsuțe din $6$ colorate, deci $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$. Grila comună transformă o comparație care părea grea (numitori diferiți) într-una ușoară (același tip de căsuțe). Vei reîntâlni această idee, mai târziu și fără desen, când vei aduce fracțiile la același numitor.

Recapitulare în trei propoziții

Fracțiile echivalente sunt fracții scrise diferit, dar care arată aceeași cantitate dintr-un întreg de aceeași mărime. Le recunoaștem grafic comparând suprafețele colorate, nu numerele. Le obținem împărțind tot mai fin aceeași bucată, ceea ce înseamnă să înmulțim numărătorul și numitorul cu același număr.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștere din două desene

Cerință: Două dreptunghiuri identice. Primul e împărțit în $2$ părți egale și are $1$ parte colorată. Al doilea e împărțit în $6$ părți egale și are $3$ părți colorate. Sunt fracțiile echivalente?

Rezolvare:

• Citim prima fracție: $1$ parte din $2$ → $\frac{1}{2}$.
• Citim a doua fracție: $3$ părți din $6$ → $\frac{3}{6}$.
• Comparăm suprafețele: în al doilea dreptunghi, $3$ părți din $6$ înseamnă chiar jumătatea lui (pentru că $3$ e jumătate din $6$). Zona colorată acoperă exact jumătatea dreptunghiului — la fel ca în primul.

Răspuns: Da, $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$. Fracțiile sunt echivalente.

Exemplul 2 — Care NU este echivalentă

Cerință: Avem $\frac{2}{4}$. Mai jos sunt trei desene cu fracțiile $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{6}$ și $\frac{2}{3}$. Care dintre ele nu este echivalentă cu $\frac{2}{4}$?

Rezolvare: Știm că $\frac{2}{4}$ înseamnă jumătate (2 sferturi formează o jumătate).

• $\frac{1}{2}$ = jumătate ✓ echivalentă;
• $\frac{3}{6}$ = jumătate (3 din 6) ✓ echivalentă;
• $\frac{2}{3}$ = două treimi, adică mai mult de jumătate ✗.

Răspuns: $\frac{2}{3}$ nu este echivalentă cu $\frac{2}{4}$, fiindcă zona colorată ar fi mai mare decât o jumătate.

Exemplul 3 — Completează șirul

Cerință: Completează șirul de fracții echivalente cu $\frac{1}{4}$, folosind desene tot mai fine: $$\frac{1}{4}=\frac{2}{\square }=\frac{3}{\square }=\frac{\square }{16}$$

Rezolvare: Pornim de la un dreptunghi împărțit în $4$, cu $1$ parte colorată.

• Tăiem fiecare parte în $2$ → $8$ părți, colorate $2$ → $\frac{2}{8}$. Deci primul pătrat este $8$.
• Tăiem fiecare parte în $3$ → $12$ părți, colorate $3$ → $\frac{3}{12}$. Al doilea pătrat este $12$.
• Tăiem fiecare parte în $4$ → $16$ părți, colorate $4$ → $\frac{4}{16}$. Numărătorul lipsă este $4$.

Răspuns: $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}=\frac{3}{12}=\frac{4}{16}$.

Exemplul 4 — Pizza de la început

Cerință: O pizza a fost tăiată de Maria în $4$ felii egale și ea a mâncat $2$. Aceeași pizza, în alt scenariu, e tăiată în $8$ felii egale și Andrei mănâncă $4$. Au mâncat la fel?

Rezolvare:

• Maria: $\frac{2}{4}$ din pizza.
• Andrei: $\frac{4}{8}$ din pizza.
• Desenăm două cercuri identice. Două felii din patru = jumătatea pizzei. Patru felii din opt = tot jumătatea pizzei.

Răspuns: Da, $\frac{2}{4}=\frac{4}{8}$. Amândoi au mâncat exact jumătate de pizza.

Exemplul 5 — Găsește două fracții echivalente cu $\frac{2}{3}$

Cerință: Scrie două fracții echivalente cu $\frac{2}{3}$ și descrie desenele care le justifică.

Rezolvare: Tăiem mai fin un dreptunghi împărțit în $3$, cu $2$ părți colorate.

• Fiecare treime în $2$ → $6$ părți, colorate $4$ → $\frac{4}{6}$.
• Fiecare treime în $3$ → $9$ părți, colorate $6$ → $\frac{6}{9}$.

În toate trei, zona colorată acoperă două treimi din dreptunghi.

Răspuns: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{6}{9}$ (alte răspunsuri corecte: $\frac{8}{12}$, $\frac{10}{15}$ etc.).

Exemplul 6 — Adevărat sau fals, doar cu raționamentul

Cerință: Fără desen, decide dacă afirmația „$\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$" este adevărată, apoi verifică imaginându-ți desenul.

Rezolvare: $\frac{6}{8}$ se obține din $\frac{3}{4}$ tăind fiecare sfert în două ($3\times 2=6$ sus, $4\times 2=8$ jos). Suprafața colorată rămâne aceeași: trei sferturi din întreg.

Răspuns: Adevărat. $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$.

Exemplul 7 — Verificare pe axa numerelor

Cerință: Folosind axa numerelor, arată dacă $\frac{2}{5}$ și $\frac{4}{10}$ sunt echivalente.

Rezolvare:

• Desenăm un segment de la $0$ la $1$ și îl împărțim în $5$ părți egale. Al doilea punct de la stânga este $\frac{2}{5}$.
• Sub el desenăm un al doilea segment de aceeași lungime, împărțit în $10$ părți egale. Al patrulea punct este $\frac{4}{10}$.
• Comparăm pozițiile: cele $5$ părți și cele $10$ părți acoperă aceeași lungime; două cincimi măsoară exact cât patru zecimi. Punctele $\frac{2}{5}$ și $\frac{4}{10}$ cad în același loc.

Răspuns: Da, $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$ — punctele coincid pe axă.

Exemplul 8 — Grila comună decide

Cerință: Sunt $\frac{2}{4}$ și $\frac{3}{6}$ echivalente? Folosește o grilă comună.

Rezolvare:

• Numitorii sunt $4$ și $6$. Un număr de căsuțe în care intră și $4$, și $6$ este $12$.
• Împărțim ambele dreptunghiuri în $12$ căsuțe identice.
• Pentru $\frac{2}{4}$: fiecare sfert are $3$ căsuțe, deci $2$ sferturi colorate $=6$ căsuțe.
• Pentru $\frac{3}{6}$: fiecare șesime are $2$ căsuțe, deci $3$ șesimi colorate $=6$ căsuțe.

Răspuns: Da, ambele au $6$ căsuțe din $12$ colorate, deci $\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$ (amândouă sunt jumătate).

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde apare un desen, fă-l tu cu rigla — desenul te ajută să „vezi" răspunsul.

1. Completează: numitorul ne spune ________, iar numărătorul ne spune ________.

2. Adevărat sau fals: două fracții sunt echivalente dacă au aceeași suprafață colorată din întregi de aceeași mărime.

3. Desenează două dreptunghiuri identice. Colorează $\frac{1}{2}$ în primul și $\frac{2}{4}$ în al doilea. Sunt echivalente?

4. Încercuiește fracția echivalentă cu $\frac{1}{2}$: $\frac{2}{3}\frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{4}{6}$

5. Completează șirul: $\frac{1}{2}=\frac{2}{\square }=\frac{3}{\square }=\frac{4}{\square }$

6. Completează șirul: $\frac{1}{5}=\frac{2}{\square }=\frac{\square }{15}=\frac{4}{\square }$

7. Două benzi identice: prima are $\frac{1}{3}$ colorat, a doua are $\frac{2}{6}$ colorat. Sunt fracțiile echivalente? Justifică.

8. Care fracție nu este echivalentă cu $\frac{2}{6}$? $\frac{1}{3}\frac{3}{9}\frac{2}{5}$

9. Desenează un dreptunghi împărțit în $8$ și colorează atâtea părți încât să obții o fracție echivalentă cu $\frac{1}{2}$. Câte ai colorat?

10. Potrivește fiecare fracție cu echivalenta ei:

• a) $\frac{1}{4}$    b) $\frac{1}{3}$    c) $\frac{3}{4}$
• I) $\frac{2}{6}$    II) $\frac{6}{8}$    III) $\frac{2}{8}$

11. Adevărat sau fals: $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$.

12. Scrie trei fracții echivalente cu $\frac{1}{4}$.

13. O ciocolată e ruptă în $10$ pătrățele, iar Ana mănâncă $5$. Bogdan rupe o ciocolată identică în $2$ și mănâncă $1$. Cine a mâncat mai mult? Folosește fracții echivalente.

14. Completează numărătorul lipsă: $\frac{2}{3}=\frac{\square }{12}$. (Indiciu: în câte ai înmulțit numitorul?)

15. Desenează două cercuri identice. În primul colorează $\frac{1}{2}$, în al doilea $\frac{3}{6}$. Confirmă grafic că sunt echivalente.

16. Găsește fracția lipsă astfel încât egalitatea să fie corectă: $\frac{4}{8}=\frac{1}{\square }$. (Aici împărțim mai gros, nu mai fin.)

17. Problemă: La un meci de baschet, echipa a marcat în prima repriză $\frac{1}{4}$ din punctele finale, iar până la pauză avea marcat $\frac{2}{8}$. S-au schimbat datele între cele două afirmații sau spun același lucru?

18. Provocare: Scrie șirul primelor cinci fracții echivalente cu $\frac{3}{4}$, începând cu $\frac{3}{4}$ însuși.

19. Pe o axă de la $0$ la $1$, punctul $\frac{3}{4}$ și punctul $\frac{6}{8}$ cad în același loc sau în locuri diferite? Ce concluzie tragi?

20. Vrei să compari $\frac{1}{3}$ cu $\frac{2}{6}$ folosind o grilă comună. În câte căsuțe identice împarți fiecare dreptunghi și câte căsuțe colorezi în fiecare caz?

Răspunsuri și explicații

1. Numitorul ne spune în câte părți egale e împărțit întregul; numărătorul ne spune câte părți luăm.

2. Adevărat. Exact aceasta este recunoașterea grafică a fracțiilor echivalente: întregi de aceeași mărime + suprafață colorată identică.

3. Da, sunt echivalente. Jumătatea colorată și cele două sferturi colorate acoperă aceeași suprafață: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$.

4. $\frac{3}{6}$. (Trei părți din șase = jumătate. Celelalte nu reprezintă jumătate.)

5. $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}$. (Înmulțim sus și jos cu $2,3,4$.)

6. $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}=\frac{3}{15}=\frac{4}{20}$. (Numitorul s-a înmulțit cu $2,3,4$; la $\frac{\square }{15}$ numitorul $15=5\times 3$, deci numărătorul e $3$.)

7. Da, sunt echivalente. $\frac{2}{6}$ înseamnă două șesimi; gruparea câte două șesimi formează o treime, deci zona colorată e cât $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.

8. $\frac{2}{5}$ nu este echivalentă. ($\frac{1}{3}$ și $\frac{3}{9}$ reprezintă aceeași treime ca $\frac{2}{6}$; $\frac{2}{5}$ nu.)

9. Ai colorat $4$ părți: $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. (Patru optimi formează jumătate.)

10. a–III ($\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$), b–I ($\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$), c–II ($\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$).

11. Adevărat. $\frac{6}{10}$ se obține din $\frac{3}{5}$ înmulțind cu $2$ sus și jos; zona colorată e aceeași.

12. De exemplu: $\frac{2}{8},\frac{3}{12},\frac{4}{16}$. (Orice fracție obținută înmulțind cu același număr sus și jos este corectă.)

13. Au mâncat la fel. Ana: $\frac{5}{10}$; Bogdan: $\frac{1}{2}$. Cum $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ (cinci zecimi = jumătate), amândoi au mâncat jumătate de ciocolată.

14. $\square =8$. Numitorul $3$ a fost înmulțit cu $4$ ca să dea $12$, deci și numărătorul $2\times 4=8$: $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$.

15. Sunt echivalente. Jumătatea cercului și cele trei sectoare din șase acoperă aceeași suprafață: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$.

16. $\square =2$. Patru optimi grupate câte $4$ formează o jumătate: $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.

17. Spun același lucru. $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$, deci ambele afirmații descriu aceeași cantitate de puncte.

18. $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}=\frac{9}{12}=\frac{12}{16}=\frac{15}{20}$. (Numărătorul crește din $3$ în $3$, numitorul din $4$ în $4$.)

19. În același loc. $\frac{3}{4}$ și $\frac{6}{8}$ ocupă exact același punct pe axă, deci sunt echivalente: $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$. (Fracțiile echivalente cad mereu în același punct pe axa numerelor.)

20. Împarți fiecare dreptunghi în $6$ căsuțe identice (fiindcă în $6$ intră și $3$, și $6$). Pentru $\frac{1}{3}$ colorezi $2$ căsuțe (o treime $=2$ căsuțe), iar pentru $\frac{2}{6}$ colorezi tot $2$ căsuțe. La fel $\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.

De reținut

• Fracțiile echivalente sunt fracții scrise diferit, dar care reprezintă aceeași cantitate dintr-un întreg de aceeași mărime: de exemplu $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$.
• Le recunoaștem grafic comparând suprafețele colorate, nu numerele de pe fracție.
• Obținem o fracție echivalentă împărțind tot mai fin aceeași bucată, adică înmulțind numărătorul și numitorul cu același număr (diferit de zero).
• Un șir de fracții echivalente poate continua la nesfârșit: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{4}{12}=\dots$
• Comparația are sens doar dacă întregii (dreptunghiurile, cercurile) au aceeași mărime.
• Pe axa numerelor, fracțiile echivalente cad în același punct între $0$ și $1$; dacă punctele coincid, fracțiile sunt egale.
• Grila comună (același caroiaj peste ambele desene) te ajută să compari rapid fracții cu numitori diferiți: numeri câte căsuțe ies colorate în fiecare.

Greșeli frecvente

• „Au la fel de multe părți colorate, deci sunt egale." Fals! $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{4}$ au amândouă o singură parte colorată, dar bucățile au mărimi diferite. Uită-te la cât de mare e suprafața colorată, nu la numărul de bucăți.
• Compari întregi de mărimi diferite. Jumătate dintr-o foaie mică nu e cât jumătate dintr-o foaie mare. Asigură-te că desenele pornesc de la întregi identici înainte de a compara.
• Înmulțești doar numărătorul (sau doar numitorul). Din $\frac{1}{2}$ NU obții $\frac{2}{2}$ înmulțind doar sus. Trebuie să înmulțești și sus, și jos cu același număr, altfel schimbi cantitatea.
• Confunzi „echivalent" cu „identic". Fracțiile echivalente nu sunt scrise la fel — ele doar valorează la fel. $\frac{2}{4}$ și $\frac{1}{2}$ arată diferit pe hârtie, dar reprezintă aceeași cantitate.

Joc acasă

1. Atelierul de hârtie. Ia două foi dreptunghiulare de aceeași mărime. Pe prima, îndoaie-o o dată și colorează o jumătate ($\frac{1}{2}$). Pe a doua, îndoaie-o de două ori (în $4$) și colorează două pătrate ($\frac{2}{4}$). Suprapune-le în fereastră, la lumină: vei vedea că zonele colorate se acoperă perfect. Ai demonstrat singur că $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$!

2. Bingo cu fracții echivalente. Scrie pe bilețele fracții: $\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{1}{3},\frac{2}{6},\frac{3}{9},\frac{1}{4},\frac{2}{8}$. Amestecă-le și, pe rând cu un coleg sau părinte, formați perechi de fracții echivalente. Cine adună mai multe perechi corecte câștigă. Fiecare pereche trebuie justificată cu un desen rapid.

3. Ciocolata corectă. Cu o tabletă de ciocolată adevărată (cu pătrățele), arată-i unui adult că, dacă tableta are $12$ pătrățele și mănânci $6$, ai mâncat $\frac{6}{12}$, adică exact $\frac{1}{2}$. Apoi întreabă: câte pătrățele ar fi $\frac{1}{3}$ din tabletă? (Răspuns: $4$, fiindcă $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.)

Pentru părinți și învățători

Această lecție pune bazele intuitive ale echivalenței fracțiilor, înainte ca elevul să întâlnească regulile formale de amplificare și simplificare (lecția 51). Ideea-cheie pe care vrem să o consolidăm este: fracții diferite ca scriere pot valora la fel, și o „vedem" comparând suprafețe.

Cum sprijiniți elevul:

• Insistați pe manipulare concretă: hârtie îndoită, benzi tăiate, pătrățele de ciocolată. Echivalența devine evidentă când două zone colorate se suprapun perfect.
• Întrebați mereu „de aceeași mărime sunt întregii?" — este greșeala numărul unu și merită verbalizată des.
• Provocați raționamentul: „De ce $\frac{1}{4}$ are bucăți mai mici decât $\frac{1}{3}$, deși amândouă au o singură parte colorată?" Răspunsul (un numitor mai mare = mai multe tăieturi = bucăți mai mici) este o intuiție valoroasă.

Cum verificați că a înțeles:

• Cereți-i să deseneze două fracții echivalente fără să-i spuneți care, apoi să justifice cu cuvintele lui.
• Dați-i o pereche care nu e echivalentă (de exemplu $\frac{2}{3}$ și $\frac{2}{4}$) și vedeți dacă o respinge corect, explicând prin suprafață.
• Un semn solid de înțelegere: poate continua un șir ($\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=\frac{6}{15}\dots$) explicând că „taie tot mai fin aceeași bucată".

Evitați să introduceți acum termenii „amplificare/simplificare" sau înmulțirea încrucișată — vor veni la momentul potrivit. Aici miza este înțelegerea vizuală, fundamentul pe care se vor așeza ușor regulile.

Întrebări frecvente

Ce sunt fracțiile echivalente la clasa a 5-a? Fracțiile echivalente sunt fracții scrise diferit, dar care reprezintă aceeași parte dintr-un întreg, adică aceeași cantitate. De exemplu, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ și $\frac{3}{6}$ sunt echivalente fiindcă toate înseamnă jumătate dintr-un întreg de aceeași mărime.

Cum recunosc fracții echivalente dintr-un desen? Verifici mai întâi că întregii (dreptunghiurile sau cercurile) au aceeași mărime, apoi compari suprafețele colorate. Dacă partea colorată acoperă exact aceeași cantitate în ambele desene, fracțiile sunt echivalente, indiferent de numerele scrise.

De ce $\frac{1}{2}$ este egal cu $\frac{2}{4}$? Pentru că, dacă tai fiecare jumătate în două, obții patru părți, iar jumătatea colorată devine două sferturi. Cantitatea rămâne aceeași — ai tăiat doar mai fin aceeași bucată. De aceea $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$.

Cum găsesc o fracție echivalentă cu o fracție dată? Înmulțești numărătorul și numitorul cu același număr (de exemplu cu 2, cu 3, cu 4). Din $\frac{2}{3}$ obții $\frac{4}{6}$ (înmulțit cu 2) sau $\frac{6}{9}$ (înmulțit cu 3). Grafic, asta înseamnă să împarți fiecare bucată în părți mai mici.

Două fracții cu același numărător sunt mereu echivalente? Nu. $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{4}$ au același numărător (1), dar nu sunt echivalente, fiindcă într-un întreg împărțit în 4 părți bucățile sunt mai mici decât într-unul împărțit în 3. Echivalența se decide după suprafața colorată, nu după numărător.

Ce este un șir de fracții echivalente? Este o listă de fracții care reprezintă toate aceeași cantitate, scrise tot mai „fin". De exemplu: $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}=\frac{3}{12}=\frac{4}{16}=\dots$ Un astfel de șir poate continua la nesfârșit.

Fracțiile echivalente sunt egale sau doar asemănătoare? Sunt cu adevărat egale ca valoare, de aceea folosim semnul „=". Diferă doar modul în care sunt scrise (numerele), nu și cantitatea pe care o reprezintă.

Unde îmi folosesc fracțiile echivalente mai târziu? Le vei folosi la compararea fracțiilor, la aducerea fracțiilor la același numitor și la adunarea sau scăderea lor. Fără echivalență nu am putea aduna $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$, deci ideea de azi este una dintre cele mai importante din capitolul fracțiilor.