Acasă · Clasa a V-a · Lecții · Compararea fracțiilor cu același numitor sau cu același numărător

Compararea fracțiilor cu același numitor sau cu același numărător

Ai învățat deja ce este o fracție ordinară, ce înseamnă numărătorul și numitorul ei și ai văzut chiar fracții echivalente. Acum facem un pas important: vom învăța să comparăm două fracții, adică să spunem care dintre ele este mai mare, care este mai mică sau dacă sunt egale. Vei descoperi că, atunci când fracțiile au ceva în comun — același numitor sau același numărător — comparația devine surprinzător de simplă și logică. Hai să vedem cum!

Ce vei învăța

Vei ști să compari două fracții care au același numitor.
Vei ști să compari două fracții care au același numărător.
Vei ști să folosești corect semnele de comparare <, > și =.
Vei ști să ordonezi crescător și descrescător mai multe fracții.
Vei ști să justifici un rezultat, nu doar să-l ghicești.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „a compara" două fracții

A compara două numere înseamnă a stabili o relație între ele: care este mai mare (>), care este mai mic (<) sau dacă sunt egale (=). Asta ai mai făcut la numere naturale, în lecția compararea și ordonarea numerelor naturale. La fracții, însă, apare o întrebare nouă: cum poate o fracție să fie mai mare decât alta, dacă fiecare are două numere (numărător și numitor)?

Răspunsul vine din înțelesul fracției. O fracție arată câte părți luăm dintr-un întreg împărțit în părți egale:

numitorul spune în câte părți egale am tăiat întregul;
numărătorul spune câte dintre acele părți am luat.

Dacă ai uitat aceste denumiri, reia rapid lecția fracția ordinară: numărător, numitor, linie de fracție. Acum, folosind acest înțeles, totul se va lămuri.

Caz 1: fracții cu același numitor

Să ne imaginăm două ciocolate identice, fiecare împărțită în 5 pătrățele egale. Andrei mănâncă 2 pătrățele, adică $\frac{2}{5}$ din ciocolată. Bianca mănâncă 4 pătrățele, adică $\frac{4}{5}$ din ciocolată.

Cine a mâncat mai mult? Evident, Bianca: 4 pătrățele este mai mult decât 2 pătrățele, iar pătrățelele sunt de aceeași mărime (pentru că ciocolatele sunt împărțite la fel, în câte 5 părți).

Deci: $\frac{2}{5} < \frac{4}{5}$

Observă esența: când numitorul este același, „felia" are aceeași mărime la ambele fracții. Atunci contează doar câte felii ai luat, adică numărătorul. Mai multe felii înseamnă mai mult.

Regula 1 (același numitor). Dintre două fracții cu același numitor, este mai mare fracția cu numărătorul mai mare.

Cu alte cuvinte, dacă numitorii sunt egali, comparăm pur și simplu numărătorii, exact ca la numerele naturale:

$\frac{7}{12} ș i \frac{5}{12} \Rightarrow 7 > 5 \Rightarrow \frac{7}{12} > \frac{5}{12}$

Și dacă numărătorii sunt egali (și numitorii la fel)? Atunci fracțiile sunt egale:

$\frac{3}{8} = \frac{3}{8}$

Caz 2: fracții cu același numărător

Acum vine partea mai interesantă, cea care îi păcălește pe mulți elevi. Să comparăm $\frac{1}{2}$ cu $\frac{1}{4}$ .

Imaginează-ți două prăjituri identice. Prima o tai în 2 felii egale și iei o felie: ai $\frac{1}{2}$ din prăjitură — o jumătate, o felie mare. A doua o tai în 4 felii egale și iei o felie: ai $\frac{1}{4}$ — un sfert, o felie mică.

Ce observăm? Aceeași felie luată (una singură), dar feliile au mărimi diferite! Când tai întregul în mai multe părți, fiecare parte devine mai mică. Deci o felie din 4 este mai mică decât o felie din 2.

$\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$

Cu cât mai mare numitorul, cu atât mai mărunte feliile. Gândește-te: dacă împarți o pâine la 2 prieteni, fiecare ia mult; dacă o împarți la 20 de prieteni, fiecare ia o bucățică mică. Mai mulți la împărțit = porție mai mică.

Regula 2 (același numărător). Dintre două fracții cu același numărător, este mai mare fracția cu numitorul mai mic.

Atenție, aici relația se „întoarce": numitor mai mic înseamnă fracție mai mare. Pare contraintuitiv, dar are sens perfect dacă te gândești la mărimea feliei.

Exemplu: $\frac{3}{5} ș i \frac{3}{8} \Rightarrow 5 < 8 \Rightarrow \frac{3}{5} > \frac{3}{8}$

Numărătorul e același (3 felii), dar la prima feliile sunt din 5 (mai mari), la a doua din 8 (mai mici). Trei felii mari bat trei felii mici.

O analogie care te ajută să nu greșești niciodată

Imaginează-ți numitorul ca pe numărul de persoane care împart un tort, iar numărătorul ca pe numărul de felii pe care le primești tu.

Același numitor = același număr de oameni la masă. Atunci câștigă cine ia mai multe felii (numărător mai mare = mai mult).
Același numărător = primești același număr de felii. Atunci e mai bine să fie mai puțini oameni la masă, ca feliile să fie mari (numitor mai mic = mai mult).

Reține o singură propoziție-cheie: „Cu cât împarți la mai mulți, cu atât primești mai puțin."

Semnele de comparare `<`, `>`, `=`

Folosim aceleași trei semne ca la numere naturale:

< se citește „mai mic decât";
> se citește „mai mare decât";
= se citește „egal cu".

Un truc clasic: semnul < sau > este ca un „cioc" deschis care se îndreaptă mereu spre numărul mai mare (gura mare „mănâncă" numărul mare). Vârful ascuțit arată spre numărul mic.

$mic \frac{2}{9} < mare \frac{7}{9} mare \frac{5}{6} > mic \frac{5}{11}$

Ordonarea crescătoare și descrescătoare

Când avem mai multe fracții (nu doar două), le putem așeza în ordine:

crescător = de la cea mai mică la cea mai mare (numerele „cresc");
descrescător = de la cea mai mare la cea mai mică (numerele „scad").

Dacă toate fracțiile au același numitor, le ordonezi după numărători, exact ca pe numere naturale.

De exemplu, fracțiile $\frac{3}{7}, \frac{1}{7}, \frac{6}{7}, \frac{4}{7}$ au toate numitorul 7. Ne uităm la numărători: 3, 1, 6, 4. Crescător devin: 1, 3, 4, 6. Deci: $\frac{1}{7} < \frac{3}{7} < \frac{4}{7} < \frac{6}{7}$

Dacă toate au același numărător, le ordonezi după numitori, dar invers: numitor mai mic = fracție mai mare.

De exemplu, $\frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \frac{2}{5}, \frac{2}{11}$ au toate numărătorul 2. Numitorii sunt 3, 9, 5, 11. Cu cât numitorul e mai mare, cu atât fracția e mai mică. Crescător (de la cea mai mică fracție = numitor cel mai mare, la cea mai mare fracție = numitor cel mai mic): $\frac{2}{11} < \frac{2}{9} < \frac{2}{5} < \frac{2}{3}$

Observă cum la numitor numerele scad (11, 9, 5, 3) pe măsură ce fracțiile cresc. Aceasta este „întoarcerea" despre care vorbeam.

De ce regulile sunt sigure (mică justificare)

Poate te întrebi: „De ce să cred regulile?" Iată raționamentul scurt, ca un mic mecanism logic.

Același numitor: întregul e tăiat în același număr de părți egale, deci fiecare parte are aceeași mărime. Cantitatea totală = (mărimea unei părți) × (numărul de părți luate). Cum mărimea părții e fixă, mai multe părți înseamnă mai mult. De aceea contează numărătorul.
Același numărător: luăm același număr de părți, dar mărimea unei părți scade când numitorul crește (împărțim întregul în tot mai multe bucăți). Cantitatea totală = (mărimea unei părți) × (același număr de părți). Cum factorul fix e numărul de părți, decide mărimea părții, deci numitorul — invers.

Acesta este genul de justificare specifică gimnaziului: nu memorezi orbește, ci înțelegi de ce funcționează, așa cum am discutat în puntea spre gimnaziu.

Trei povești scurte care fixează ideea

Povestea limonadei. Vara, doi frați împart aceeași carafă de limonadă. Dacă o împart în 3 pahare egale, fiecare pahar conține $\frac{1}{3}$ din carafă — un pahar plin, gustos. Dacă, în schimb, ar invita prieteni și ar împărți aceeași carafă în 12 pahare egale, fiecare pahar ar avea doar $\frac{1}{12}$ — doar un fund de pahar. Aceeași carafă, dar cu cât sunt mai mulți la împărțit, cu atât porția e mai mică. De aceea $\frac{1}{3} > \frac{1}{12}$ : numitor mai mic, fracție mai mare.

Povestea alergării. Doi atleți aleargă pe aceeași pistă de 10 ture (deci „întregul" e împărțit la fel, în 10 ture). Primul a terminat 7 ture, adică $\frac{7}{10}$ din cursă; al doilea a terminat 4 ture, adică $\frac{4}{10}$ . Cine e mai aproape de final? Primul, fiindcă a parcurs mai multe ture de aceeași lungime: $\frac{7}{10} > \frac{4}{10}$ . Aici numitorul e comun, deci decide numărătorul.

Povestea bateriei telefonului. Telefonul tău arată bateria ca o fracție din total. Dacă într-o zi ai $\frac{5}{8}$ din baterie și în alta $\frac{5}{6}$ din baterie, când ai mai multă energie? Numărătorul e același (5), dar $\frac{5}{6}$ are numitorul mai mic, deci e mai mare: ai mai multă baterie în ziua cu $\frac{5}{6}$ . Logic, pentru că 5 din 6 „pași" e mai aproape de plin decât 5 din 8.

Observă cum, în toate cele trei povești, nu am calculat nimic complicat — am aplicat doar cele două reguli și am verificat cu bunul-simț. Asta vom face mereu: regulă + verificare cu mintea.

O regulă utilă cu reperul $\frac{1}{2}$ (jumătatea)

Uneori e bine să ai un reper. Jumătatea, adică $\frac{1}{2}$ , e un astfel de reper. O fracție este egală cu $\frac{1}{2}$ atunci când numărătorul este exact jumătate din numitor (de exemplu $\frac{4}{8}$ , fiindcă 4 este jumătatea lui 8). Dacă numărătorul e mai mic decât jumătatea numitorului, fracția e mai mică decât $\frac{1}{2}$ ; dacă e mai mare, fracția trece de $\frac{1}{2}$ .

De exemplu, $\frac{3}{8}$ este mai mică decât $\frac{1}{2}$ (3 e sub jumătatea lui 8, care e 4), iar $\frac{6}{8}$ este mai mare decât $\frac{1}{2}$ . Acest reper nu înlocuiește regulile, dar te ajută să-ți verifici rapid răspunsul: dacă ai obținut că o fracție clar „mai mult de jumătate" e mai mică decât una clar „mai puțin de jumătate", sigur ai greșit undeva.

Funcționează și pentru fracții supraunitare

Poate te întrebi: regulile sunt valabile doar pentru fracțiile mai mici decât întregul (subunitare), sau și pentru cele mai mari? Răspunsul te liniștește: regulile rămân exact aceleași, indiferent dacă fracțiile sunt subunitare, echiunitare sau supraunitare, așa cum le-ai cunoscut în lecția fracții subunitare, echiunitare și supraunitare.

Gândește-te la $\frac{7}{3}$ și $\frac{7}{5}$ . Amândouă sunt supraunitare (mai mari decât 1, fiindcă numărătorul depășește numitorul), dar au același numărător, 7. Felia din a treia parte ( $\frac{1}{3}$ ) e mai mare decât felia din a cincea parte ( $\frac{1}{5}$ ). Luând câte 7 felii din fiecare, cele 7 felii mai mari adună mai mult. Deci:

$\frac{7}{3} > \frac{7}{5}$

La fel, $\frac{9}{4}$ și $\frac{7}{4}$ au același numitor (4): comparăm numărătorii, $9 > 7$ , deci $\frac{9}{4} > \frac{7}{4}$ . Vezi? Nu trebuie să transformi fracțiile în numere cu virgulă și nici să le desenezi neapărat — cele două reguli simple decid totul. Important este doar să ai în comun ori numitorul, ori numărătorul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — același numitor

Compară fracțiile $\frac{4}{11}$ și $\frac{9}{11}$ .

Numitorii sunt egali (amândoi 11), deci „feliile" au aceeași mărime. Comparăm numărătorii: $4 < 9$ . Fracția cu numărător mai mare e mai mare.

$\frac{4}{11} < \frac{9}{11}$

Exemplul 2 — același numărător

Compară fracțiile $\frac{7}{8}$ și $\frac{7}{15}$ .

Numărătorii sunt egali (amândoi 7), deci luăm același număr de felii din fiecare. Comparăm numitorii: $8 < 15$ . Numitorul mai mic înseamnă felii mai mari, deci fracție mai mare.

$\frac{7}{8} > \frac{7}{15}$

Verificare prin imagine mintală: 7 felii din 8 înseamnă aproape tot întregul; 7 felii din 15 înseamnă doar cam jumătate. Corect.

Exemplul 3 — completează semnul potrivit

Pune semnul corect (<, > sau =):

a) $\frac{5}{13} □ \frac{8}{13}$ — același numitor (13). Comparăm numărătorii: $5 < 8$ , deci $\frac{5}{13} < \frac{8}{13}$ .

b) $\frac{6}{7} □ \frac{6}{10}$ — același numărător (6). Comparăm numitorii: $7 < 10$ , deci felia mai mare e prima: $\frac{6}{7} > \frac{6}{10}$ .

c) $\frac{12}{25} □ \frac{12}{25}$ — și numărătorii, și numitorii sunt egali, deci fracțiile sunt egale: $\frac{12}{25} = \frac{12}{25}$ .

Exemplul 4 — ordonare crescătoare (același numitor)

Ordonează crescător: $\frac{8}{15}, \frac{2}{15}, \frac{11}{15}, \frac{5}{15}$ .

Toate au numitorul 15. Ne uităm doar la numărători: 8, 2, 11, 5. Îi ordonăm crescător: 2, 5, 8, 11. Rezultă:

$\frac{2}{15} < \frac{5}{15} < \frac{8}{15} < \frac{11}{15}$

Exemplul 5 — ordonare descrescătoare (același numărător)

Ordonează descrescător: $\frac{3}{4}, \frac{3}{10}, \frac{3}{6}, \frac{3}{20}$ .

Toate au numărătorul 3. Decid numitorii: 4, 10, 6, 20. Atenție la întoarcere: numitor mai mic = fracție mai mare. Descrescător înseamnă de la cea mai mare la cea mai mică, deci de la numitorul cel mai mic la cel mai mare: 4, 6, 10, 20.

$\frac{3}{4} > \frac{3}{6} > \frac{3}{10} > \frac{3}{20}$

Exemplul 6 — mică problemă practică

La un test, Maria a rezolvat corect $\frac{9}{12}$ din întrebări, iar Radu $\frac{9}{14}$ din întrebări (testele au avut același tip de structură). Cine a avut un rezultat mai bun?

Numărătorii sunt egali (amândoi au 9 răspunsuri corecte „pe felie"), dar numitorii diferă: Maria din 12, Radu din 14. Aplicăm regula numărătorului egal: numitor mai mic = fracție mai mare. Cum $12 < 14$ :

$\frac{9}{12} > \frac{9}{14}$

Deci Maria a avut rezultatul mai bun. Are sens: 9 corecte din 12 e o proporție mai mare decât 9 corecte din 14.

Exemplul 7 — comparație cu raționament în doi pași

Compară $\frac{5}{9}$ cu $\frac{2}{9}$ și apoi $\frac{2}{9}$ cu $\frac{2}{15}$ . Ce poți spune despre $\frac{5}{9}$ și $\frac{2}{15}$ ?

Pasul 1: $\frac{5}{9}$ și $\frac{2}{9}$ au același numitor (9). Cum $5 > 2$ , avem $\frac{5}{9} > \frac{2}{9}$ .

Pasul 2: $\frac{2}{9}$ și $\frac{2}{15}$ au același numărător (2). Cum $9 < 15$ , felia mai mare e prima: $\frac{2}{9} > \frac{2}{15}$ .

Pasul 3 (raționamentul-lanț): dacă $\frac{5}{9}$ e mai mare decât $\frac{2}{9}$ , iar $\frac{2}{9}$ e mai mare decât $\frac{2}{15}$ , atunci sigur $\frac{5}{9} > \frac{2}{15}$ . Am comparat două fracții care nu aveau nimic în comun, folosind o fracție „de legătură" la mijloc. Acesta este un raționament des întâlnit în matematică: dacă $a > b$ și $b > c$ , atunci $a > c$ .

Exemplul 8 — găsește valoarea necunoscută

Pentru ce cifre $a$ relația $\frac{a}{7} < \frac{5}{7}$ este adevărată?

Numitorul e comun (7), deci comparăm numărătorii: ne trebuie $a < 5$ . Cifrele care îndeplinesc condiția sunt $a \in {0, 1, 2, 3, 4}$ . Dacă $a = 5$ am avea egalitate, nu „mai mic", iar pentru $a$ mai mare ca 5 relația ar fi inversă. Deci răspunsul: $a$ poate fi $0, 1, 2, 3$ sau $4$ .

Exemplul 9 — care regulă se aplică?

Spune ce regulă folosești și completează semnul: a) $\frac{6}{6} □ \frac{4}{6}$ ; b) $\frac{1}{6} □ \frac{1}{4}$ .

Înainte de a pune semnul, întreabă-te mereu: ce au în comun cele două fracții?

a) Numitorul este același (6). Deci aplic Regula 1 (același numitor): decide numărătorul. Cum $6 > 4$ , fracția $\frac{6}{6}$ este mai mare. De altfel, $\frac{6}{6}$ înseamnă întregul întreg (un tot), iar $\frac{4}{6}$ doar o parte din el, deci era de așteptat: $\frac{6}{6} > \frac{4}{6}$

b) Numărătorul este același (1). Deci aplic Regula 2 (același numărător): decide numitorul, dar invers. Cum $6 > 4$ , fracția cu numitor mai mare ( $\frac{1}{6}$ ) este mai mică: $\frac{1}{6} < \frac{1}{4}$

Reține pasul de aur: mai întâi identifici ce e comun, abia apoi alegi regula. Multe greșeli vin din graba de a pune semnul fără să te uiți ce au în comun fracțiile.

Exemplul 10 — adevărat sau fals, cu justificare

Decide dacă afirmația este adevărată și explică: „Dacă mărim numitorul unei fracții, păstrând numărătorul, fracția scade."

Afirmația este adevărată. A mări numitorul, păstrând numărătorul, înseamnă să tai întregul în mai multe părți, deci fiecare felie devine mai mică; luând același număr de felii (numărătorul nu se schimbă), aduni mai puțin. De exemplu, pornind de la $\frac{3}{4}$ și mărind numitorul: $\frac{3}{4} > \frac{3}{5} > \frac{3}{6} > \frac{3}{10}$ . Cu cât numitorul crește, cu atât fracția scade — exact ce spune Regula 2.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Răspunsurile complete sunt mai jos — încearcă întâi singur!

Pune semnul potrivit: $\frac{3}{8} □ \frac{5}{8}$ .
Pune semnul potrivit: $\frac{7}{9} □ \frac{7}{12}$ .
Pune semnul potrivit: $\frac{10}{17} □ \frac{10}{17}$ .
Pune semnul potrivit: $\frac{11}{20} □ \frac{4}{20}$ .
Pune semnul potrivit: $\frac{2}{3} □ \frac{2}{7}$ .
Încercuiește fracția mai mare: $\frac{6}{13}$ sau $\frac{9}{13}$ .
Încercuiește fracția mai mică: $\frac{5}{6}$ sau $\frac{5}{11}$ .
Adevărat sau fals? $\frac{1}{100} > \frac{1}{10}$ . Justifică.
Adevărat sau fals? Dintre două fracții cu același numitor, e mai mare cea cu numărătorul mai mare.
Completează cu un număr natural potrivit, astfel încât relația să fie adevărată: $\frac{5}{9} < \frac{□}{9}$ (dă un exemplu).
Completează cu un numitor potrivit, astfel încât: $\frac{4}{7} > \frac{4}{□}$ (dă un exemplu).
Ordonează crescător: $\frac{6}{11}, \frac{1}{11}, \frac{9}{11}, \frac{3}{11}$ .
Ordonează descrescător: $\frac{7}{8}, \frac{7}{3}, \frac{7}{20}, \frac{7}{5}$ .
Potrivește fiecare fracție din stânga cu locul ei pe banda din dreapta (de la cea mai mică la cea mai mare): $\frac{4}{9}, \frac{8}{9}, \frac{2}{9}, \frac{6}{9}$ .
Desenează două dreptunghiuri egale împărțite în 6 părți egale. Colorează la primul $\frac{2}{6}$ , la al doilea $\frac{5}{6}$ . Care e mai mare? Scrie relația cu semn.
Mică problemă: Ana citește $\frac{4}{9}$ dintr-o carte, iar Vlad citește $\frac{4}{15}$ dintr-o carte la fel de groasă. Cine a citit mai mult?
Mică problemă: Trei elevi au rezolvat dintr-o fișă cu 13 exerciții: Dan $\frac{10}{13}$ , Eva $\frac{7}{13}$ , Toma $\frac{12}{13}$ . Ordonează-i crescător după cât au rezolvat.
Provocare: Găsește o fracție cuprinsă între $\frac{3}{10}$ și $\frac{7}{10}$ (cu același numitor 10). Câte astfel de fracții există?
Pune semnul potrivit (fracții supraunitare): $\frac{8}{5} □ \frac{8}{9}$ .
Pune semnul potrivit (fracții supraunitare): $\frac{11}{4} □ \frac{7}{4}$ .
Ce regulă folosești la fiecare și pune semnul: a) $\frac{5}{12} □ \frac{5}{8}$ ; b) $\frac{9}{14} □ \frac{11}{14}$ .
Mică problemă: Două sticle identice de suc au fiecare câte 7 pahare. Din prima s-au băut 5 pahare, iar din a doua 2 pahare. Scrie fracția băută din fiecare sticlă și compară-le cu un semn.
Adevărat sau fals? $\frac{8}{8} > \frac{5}{8}$ . Justifică folosind ideea de „întreg".
Completează cu un numitor natural, astfel încât relația să fie adevărată: $\frac{3}{4} < \frac{3}{□}$ (dă un exemplu și explică de ce merge).
Ordonează crescător: $\frac{5}{2}, \frac{5}{8}, \frac{5}{3}, \frac{5}{12}$ (atenție, sunt fracții supraunitare și subunitare la un loc, dar au același numărător).

Răspunsuri și explicații

$\frac{3}{8} < \frac{5}{8}$ . Același numitor (8); $3 < 5$ .
$\frac{7}{9} > \frac{7}{12}$ . Același numărător (7); numitor mai mic (9 < 12) = fracție mai mare.
$\frac{10}{17} = \frac{10}{17}$ . Fracții identice.
$\frac{11}{20} > \frac{4}{20}$ . Același numitor (20); $11 > 4$ .
$\frac{2}{3} > \frac{2}{7}$ . Același numărător (2); numitor mai mic (3 < 7) = fracție mai mare.
Mai mare este $\frac{9}{13}$ . Același numitor; $9 > 6$ .
Mai mică este $\frac{5}{11}$ . Același numărător; numitor mai mare (11 > 6) = fracție mai mică.
Fals. Au același numărător (1). Numitor mai mare înseamnă felie mai mică, deci $\frac{1}{100} < \frac{1}{10}$ . O sutime e mult mai mică decât o zecime.
Adevărat. Este chiar Regula 1: la numitor egal, decide numărătorul (mai mare = mai mult).
Orice numărător mai mare decât 5: de exemplu $\frac{6}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9}$ . Un exemplu corect: $\frac{5}{9} < \frac{6}{9}$ .
Orice numitor mai mare decât 7: de exemplu 8, 9, 10. Un exemplu corect: $\frac{4}{7} > \frac{4}{8}$ . (Numitor mai mare = fracție mai mică, deci $\frac{4}{7}$ rămâne mai mare.)
Numitor comun 11; ordonăm numărătorii crescător (1, 3, 6, 9): $\frac{1}{11} < \frac{3}{11} < \frac{6}{11} < \frac{9}{11}$
Numărător comun 7; numitor mai mic = fracție mai mare. Descrescător (numitori 3, 5, 8, 20): $\frac{7}{3} > \frac{7}{5} > \frac{7}{8} > \frac{7}{20}$
De la cea mai mică la cea mai mare (numitor comun 9, ordonăm numărătorii 2, 4, 6, 8): $\frac{2}{9} < \frac{4}{9} < \frac{6}{9} < \frac{8}{9}$
$\frac{2}{6} < \frac{5}{6}$ . Același numitor; $2 < 5$ . La desen, cel cu 5 părți colorate are zona colorată mai mare.

două dreptunghiuri egale împărțite în 6 pătrate; primul cu 2 pătrate colorate (2/6), al doilea cu 5 pătrate colorate (5/6)

Ana a citit mai mult. Același numărător (4); numitor mai mic (9 < 15) = fracție mai mare, deci $\frac{4}{9} > \frac{4}{15}$ .
Numitor comun 13; ordonăm numărătorii crescător (7, 10, 12): Eva $\frac{7}{13}$ , Dan $\frac{10}{13}$ , Toma $\frac{12}{13}$ . $\frac{7}{13} < \frac{10}{13} < \frac{12}{13}$
Fracțiile cu numitor 10 cuprinse strict între $\frac{3}{10}$ și $\frac{7}{10}$ sunt cele cu numărătorul mai mare ca 3 și mai mic ca 7: $\frac{4}{10}, \frac{5}{10}, \frac{6}{10}$ . Există 3 astfel de fracții. (Oricare dintre ele e un răspuns bun pentru „găsește una".)
$\frac{8}{5} > \frac{8}{9}$ . Același numărător (8); numitor mai mic (5 < 9) = fracție mai mare. Regula funcționează și pentru fracții supraunitare.
$\frac{11}{4} > \frac{7}{4}$ . Același numitor (4); $11 > 7$ .
a) Același numărător (5) → Regula 2; numitor mai mic = fracție mai mare, deci $\frac{5}{12} < \frac{5}{8}$ . b) Același numitor (14) → Regula 1; $9 < 11$ , deci $\frac{9}{14} < \frac{11}{14}$ .
Din prima sticlă s-au băut $\frac{5}{7}$ , din a doua $\frac{2}{7}$ . Același numitor (7); $5 > 2$ , deci $\frac{5}{7} > \frac{2}{7}$ . Din prima sticlă s-a băut mai mult.
Adevărat. Același numitor (8); $8 > 5$ , deci $\frac{8}{8} > \frac{5}{8}$ . În plus, $\frac{8}{8}$ înseamnă întregul complet (8 felii din 8), iar $\frac{5}{8}$ doar o parte din el, deci e clar mai mică decât întregul.
Numărătorul e comun (3), deci pentru ca $\frac{3}{4}$ să fie mai mică, cealaltă fracție trebuie să aibă numitorul mai mic decât 4: poate fi 1, 2 sau 3. Un exemplu corect: $\frac{3}{4} < \frac{3}{3}$ (adică $\frac{3}{4} < 1$ ). Funcționează pentru că numitor mai mic = felii mai mari = fracție mai mare.
Numărător comun 5; numitor mai mic = fracție mai mare. Crescător înseamnă de la numitorul cel mai mare la cel mai mic (12, 8, 3, 2): $\frac{5}{12} < \frac{5}{8} < \frac{5}{3} < \frac{5}{2}$

De reținut

Același numitor → este mai mare fracția cu numărătorul mai mare (mai multe felii de aceeași mărime).
Același numărător → este mai mare fracția cu numitorul mai mic (felii mai mari când împarți în mai puține bucăți).
Propoziția-cheie: „Cu cât împarți la mai mulți, cu atât primești mai puțin."
Semnul < sau > se deschide mereu spre numărul mai mare.
A ordona crescător = de la mic la mare; descrescător = de la mare la mic.

Greșeli frecvente

„Numitor mai mare = fracție mai mare." Fals când numărătorul e același! La numărător egal, e invers: $\frac{1}{10} < \frac{1}{4}$ , pentru că $\frac{1}{4}$ are felii mai mari. Gândește-te mereu la mărimea feliei.
Compari numărătorii când numitorii sunt diferiți (și invers). Regulile din această lecție funcționează doar dacă fracțiile au ceva în comun: ori numitorul, ori numărătorul. Dacă nu au nimic comun (ex. $\frac{2}{3}$ cu $\frac{5}{7}$ ), va trebui să le aduci mai întâi la un numitor comun — vei învăța asta în lecția aducerea fracțiilor la un numitor comun.
Greșești sensul semnului < / >. Verifică: „gura mare" arată spre numărul mai mare. Citește relația cu voce tare („mai mic decât") ca să te asiguri.
Confunzi ordonarea crescătoare cu cea descrescătoare. Crescător = numerele cresc (mic → mare). Scrie întâi cuvântul corect lângă șir, ca să nu greșești direcția.

Joc acasă

Cursa feliilor de pâine. Ia două felii de pâine (sau două foi de hârtie) de aceeași mărime. Pe prima trasează linii ca să o împarți în 4 părți egale; pe a doua, în 8 părți egale. Decupează 3 părți din fiecare. Compară grămezile: care e mai mare? Ai comparat „pe viu" $\frac{3}{4}$ cu $\frac{3}{8}$ — același numărător, numitor diferit. Scrie relația cu semn.
Bara de ciocolată. Ia o tabletă de ciocolată cu pătrățele (de exemplu 12 pătrate). Tu mănânci un număr de pătrate, iar un coleg/părinte alt număr — din tablete identice. Scrieți cele două fracții (cu același numitor 12) și folosiți <, > sau = pentru a vedea cine a mâncat mai mult. Repetați de câteva ori.
Cartonașe de ordonat. Scrie pe 4 cartonașe fracțiile $\frac{1}{12}, \frac{5}{12}, \frac{8}{12}, \frac{11}{12}$ . Amestecă-le și așază-le crescător, apoi descrescător, cât mai repede. Variantă: folosește cartonașe cu numărător comun, ca $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}$ , și ordonează-le — atenție la întoarcere!

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce compararea fracțiilor, dar numai în cele două cazuri „prietenoase": numitor comun și numărător comun. Este o etapă-punte spre comparația generală (cu numitor comun), care vine mai târziu — nu cereți încă elevului să compare fracții fără nimic în comun.

Idei de sprijin:

Lucrați mereu cu un model vizual (benzi, felii, pătrate de ciocolată). Cazul „același numărător" este cel mai contraintuitiv; desenul îl face evident.
Insistați pe justificare, nu pe regulă memorată mecanic. Întrebați: „De ce e mai mare?" Răspunsul corect sună a „pentru că feliile sunt mai mari / pentru că am luat mai multe felii".
Întrebări de verificare a înțelegerii: „E mai mult $\frac{1}{4}$ dintr-o pizza sau $\frac{1}{8}$ ? De ce?", „Dacă numitorul crește, fracția crește sau scade — la numărător același?", „Cum citești semnul >?"
Semnal de alarmă tipic: elevul spune că $\frac{1}{8} > \frac{1}{4}$ „pentru că 8 e mai mare". Reveniți la imaginea cu pizza tăiată în mai multe felii mai mici.
Pentru consolidare, cereți-i să inventeze el o pereche de fracții și să le compare, explicând regula folosită. Crearea de exemple proprii arată stăpânirea conceptului.
Folosiți situații reale: nivelul bateriei telefonului, cât a rămas dintr-o sticlă de suc, câte felii de pizza au fost mâncate. Întrebați „mai mult sau mai puțin?" și cereți justificarea. Comparațiile din viața de zi cu zi îl ajută pe copil să simtă că fracțiile nu sunt doar simboluri pe hârtie, ci descriu cantități pe care le vede în jurul lui.
Dacă elevul rezolvă corect cazul „același numitor", dar greșește la „același numărător", este perfect normal — al doilea caz este cel dificil. Reveniți de fiecare dată la întrebarea „în câte bucăți am tăiat întregul?" și la observația că mai multe bucăți înseamnă bucăți mai mici.

Întrebări frecvente

Cum compar două fracții cu același numitor? Te uiți doar la numărători, ca la numere naturale. Fracția cu numărătorul mai mare este mai mare, pentru că feliile au aceeași mărime și ai luat mai multe. Exemplu: $\frac{3}{8} < \frac{5}{8}$ , pentru că $3 < 5$ .

Cum compar două fracții cu același numărător? Te uiți la numitori, dar relația se inversează: fracția cu numitorul mai mic este mai mare. Motivul e că, împărțind întregul în mai puține părți, fiecare felie iese mai mare. Exemplu: $\frac{2}{5} > \frac{2}{9}$ .

De ce este $\frac{1}{4}$ mai mare decât $\frac{1}{8}$ , dacă 8 e mai mare decât 4? Pentru că numitorul arată în câte bucăți tai întregul, nu cât de mare e fracția. Cu cât tai în mai multe bucăți (8 în loc de 4), cu atât fiecare bucată e mai mică. O felie dintr-o pizza tăiată în 4 e mai mare decât una tăiată în 8.

Ce înseamnă ordonare crescătoare și descrescătoare a fracțiilor? Crescător înseamnă să le așezi de la cea mai mică la cea mai mare. Descrescător înseamnă invers, de la cea mai mare la cea mai mică. Folosești aceleași reguli de comparare ca pentru două fracții.

Ce semn pun între două fracții egale? Pui semnul =. Două fracții sunt sigur egale dacă au și același numărător, și același numitor (ex. $\frac{3}{8} = \frac{3}{8}$ ). Există și fracții egale ca valoare scrise diferit (fracții echivalente), pe care le-ai studiat în lecția despre fracții echivalente.

Cum compar fracții care nu au nici același numitor, nici același numărător? Regulile din această lecție nu se aplică direct. Trebuie mai întâi să le aduci la un numitor comun (sau, în unele cazuri, la un numărător comun), apoi compari. Vei învăța tehnica la lecția aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Cum țin minte că la numărător egal numitorul mic dă fracția mare? Folosește imaginea cu tortul: același număr de felii primite, dar mai bine să fie mai puțini oameni la masă, ca feliile să fie mari. Mai puțini oameni = numitor mai mic = porție mai mare.

Semnul < se deschide spre numărul mare sau mic? Se deschide („gura mare") mereu spre numărul mai mare, iar vârful ascuțit arată spre cel mic. Astfel $\frac{2}{9} < \frac{7}{9}$ se citește „două noimi mai mic decât șapte noimi".