Reprezentarea fracțiilor ordinare pe axa numerelor

Până acum ai învățat ce este o fracție, ai recunoscut fracțiile subunitare și supraunitare și ai comparat fracții. Acum facem un pas mare și foarte util: așezăm fracțiile la locul lor pe axa numerelor, exact așa cum ai așezat numerele naturale. Vei vedea că orice fracție are un loc precis pe axă, ca un scaun cu număr la un meci sau ca o treaptă pe o scară. Când termini lecția, vei putea desena o axă, vei marca pe ea orice fracție și vei putea citi ce fracție se ascunde la un punct dat.

Ce vei învăța

• Vei ști să împarți unitatea de pe axa numerelor în părți egale, după numitorul fracției.
• Vei ști să reprezinți o fracție subunitară (mai mică decât 1) pe axa numerelor.
• Vei ști să reprezinți o fracție supraunitară (mai mare decât 1) pe axa numerelor.
• Vei ști să citești fracția corespunzătoare unui punct marcat pe axă.
• Vei ști să folosești axa pentru a compara rapid două fracții, văzând care e mai la stânga și care mai la dreapta.

Hai să descoperim împreună

1. Ne amintim ce este axa numerelor

O axă a numerelor este o dreaptă pe care alegem trei lucruri:

• un punct de pornire, numit origine, care reprezintă numărul 0;
• un sens (de obicei spre dreapta), arătat printr-o săgeată — în acel sens numerele cresc;
• o unitate de măsură, adică distanța de la 0 la 1. Aceeași distanță se repetă mai departe: de la 1 la 2, de la 2 la 3 și așa mai departe.

Ai folosit deja axa pentru numerele naturale, în lecția Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor. Acolo fiecare număr natural avea un punct al lui. Acum vom umple și spațiile dintre numerele naturale — iar acolo locuiesc fracțiile.

2. Ideea cheie: numitorul ne spune în câte părți tăiem

Gândește-te la o fracție ca la o instrucțiune de tăiere a unei unități:

• numitorul spune în câte părți egale împărțim segmentul de la 0 la 1;
• numărătorul spune câte astfel de părți luăm, pornind de la 0 spre dreapta.

Dacă ai uitat cum se numesc aceste părți ale fracției, recitește lecția Fracția ordinară: numărător, numitor, linie de fracție.

Hai să luăm un exemplu concret: fracția $\frac{3}{4}$.

• Numitorul este 4, deci tăiem unitatea (segmentul de la 0 la 1) în 4 părți egale.
• Numărătorul este 3, deci numărăm 3 părți pornind din 0.
• Punctul la care ajungem este chiar locul fracției $\frac{3}{4}$.

Observă ceva foarte important: când împărțim segmentul de la 0 la 1 în 4 părți, apar diviziuni la $\frac{0}{4},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4}$. Iar $\frac{0}{4}=0$ și $\frac{4}{4}=1$. Deci capetele segmentului sunt vechii noștri prieteni 0 și 1, doar că acum îi privim „cu ochelarii de pătrimi".

3. Pașii de aur pentru a reprezenta o fracție subunitară

O fracție este subunitară atunci când numărătorul este mai mic decât numitorul, deci valoarea ei este mai mică decât 1. Astfel de fracții stau între 0 și 1. Iată rețeta sigură:

1. Desenează axa și marchează 0 și 1 la distanță potrivită (lasă loc, nu prea mic).
2. Citește numitorul — el îți spune în câte părți egale tai segmentul de la 0 la 1.
3. Împarte segmentul în acel număr de părți egale (folosește rigla ca să fie egale).
4. Numără, pornind din 0, atâtea diviziuni câte arată numărătorul.
5. Marchează punctul cu o liniuță și scrie deasupra fracția.

Hai să aplicăm pașii pentru $\frac{2}{5}$:

• Numitorul este 5 → tăiem segmentul de la 0 la 1 în 5 părți egale. Apar diviziunile $\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}$ între 0 și 1.
• Numărătorul este 2 → numărăm 2 părți din 0 și ne oprim.
• Punctul al doilea este $\frac{2}{5}$.

O analogie care ajută mult: imaginează-ți că de la casa ta (0) până la școală (1) sunt 5 stâlpi de iluminat la distanțe egale. Fracția $\frac{2}{5}$ înseamnă „mergi până la al doilea stâlp". Numitorul îți spune câți stâlpi sunt pe tot drumul, iar numărătorul îți spune la al câtelea stâlp te oprești.

4. Fracțiile supraunitare: trecem dincolo de 1

O fracție este supraunitară atunci când numărătorul este mai mare decât numitorul, deci valoarea ei este mai mare decât 1. Aceste fracții trec de 1 și stau mai la dreapta. Vestea bună: rețeta este aproape la fel, doar că împărțim în părți egale și segmentul de la 1 la 2, de la 2 la 3 etc. — cu același numitor.

Foarte important: oricât de departe mergem pe axă, mărimea unei părți rămâne aceeași, fiindcă numitorul nu se schimbă. Dacă o pătrime are o anumită lungime între 0 și 1, exact aceeași lungime are și între 1 și 2.

Hai să reprezentăm $\frac{7}{4}$:

• Numitorul este 4 → tăiem în pătrimi fiecare unitate: și 0–1, și 1–2.
• Numărăm 7 pătrimi pornind din 0: $\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4},\frac{5}{4},\frac{6}{4},\frac{7}{4}$.
• A 4-a pătrime este chiar 1 (pentru că $\frac{4}{4}=1$). Mai numărăm încă 3 pătrimi după 1 și ajungem la $\frac{7}{4}$, care se află între 1 și 2.

Un truc de verificare: $\frac{7}{4}$ înseamnă „7 pătrimi". Cum 4 pătrimi fac un întreg, avem 1 întreg și încă 3 pătrimi, adică $1\frac{3}{4}$. Deci punctul trebuie să fie după 1, la 3 pătrimi distanță — exact ce am desenat. Acest gând de „câți întregi încap" îl vei adânci în lecția Introducerea și scoaterea întregilor dintr-o fracție.

5. Cazul special: fracțiile echiunitare

Dacă numărătorul este egal cu numitorul, fracția este echiunitară și valoarea ei este exact 1. De exemplu $\frac{3}{3}=1$, $\frac{5}{5}=1$. Pe axă, toate aceste fracții se așază fix peste punctul 1. La fel, $\frac{0}{n}=0$ stă peste 0, iar $\frac{8}{4}=2$ stă peste 2. Deci numerele naturale sunt și ele fracții, doar îmbrăcate altfel.

6. Citirea unei fracții marcate pe axă

Uneori primim axa deja desenată, cu un punct marcat, și ni se cere: „ce fracție este aici?". Procedăm invers față de desenare:

1. Numără în câte părți egale este împărțit un întreg (de la 0 la 1, sau de la un număr natural la următorul). Acel număr este numitorul.
2. Numără câte părți sunt de la 0 până la punctul marcat. Acel număr este numărătorul.
3. Scrie fracția $\frac{\text{numa˘ra˘tor}}{\text{numitor}}$.

Exemplu: o axă în care fiecare unitate e împărțită în 6 părți, iar punctul marcat este la a 9-a liniuță de la 0.

• Numitorul este 6 (părți într-un întreg).
• Numărătorul este 9 (părți până la punct).
• Fracția este $\frac{9}{6}$. Cum $9>6$, este supraunitară — și chiar așa e, punctul se află între 1 și 2.

Atenție la o capcană: numără diviziunile (spațiile mici), nu liniuțele. Între 0 și 1 sunt 6 spații, dar 7 liniuțe (cele de la capete incluse). Numitorul vine din numărul de spații, nu de liniuțe.

7. Axa ne ajută să comparăm fracții

Pe axă există o regulă simplă și de neuitat: cu cât un punct este mai la dreapta, cu atât numărul este mai mare. Deci, dacă reprezinți două fracții pe aceeași axă, cea din dreapta este mai mare. Acesta este un mod vizual, foarte sigur, de a verifica ce ai învățat în Compararea fracțiilor cu același numitor sau cu același numărător.

De exemplu, $\frac{2}{5}$ și $\frac{4}{5}$ au același numitor. Pe axă, $\frac{4}{5}$ este mai la dreapta decât $\frac{2}{5}$, deci $\frac{4}{5}>\frac{2}{5}$. Vezi cum desenul confirmă calculul?

Axa rezolvă și o întrebare care îi pune des în dificultate pe elevi: care e mai mare, $\frac{1}{4}$ sau $\frac{1}{2}$? La prima vedere, 4 este mai mare decât 2, deci unii cred greșit că $\frac{1}{4}$ ar fi mai mare. Dar pe axă vezi imediat adevărul: dacă tai întregul în 4 părți, fiecare bucată este mai mică decât dacă-l tai în 2 părți. Deci $\frac{1}{4}$ stă mai aproape de 0 decât $\frac{1}{2}$, adică $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$. Cu cât numitorul e mai mare, cu atât pasul este mai mic. Axa transformă o regulă greu de ținut minte într-un lucru pe care pur și simplu îl vezi.

8. O privire de ansamblu: cum „umplem" axa cu fracții

Iată un gând frumos care te ajută să înțelegi de ce fracțiile sunt atât de utile. Numerele naturale lasă goluri mari pe axă: între 0 și 1 nu mai e niciun număr natural, la fel între 1 și 2. Fracțiile vin și umplu aceste goluri. Cu jumătăți punem un punct la mijloc; cu pătrimi punem trei puncte; cu zecimi punem nouă puncte între fiecare doi întregi. Cu cât numitorul e mai mare, cu atât „umplem" axa mai des și mai fin, ca o riglă care are tot mai multe liniuțe.

Această idee îți va folosi mai târziu și la fracțiile zecimale, când vei împărți unitatea în 10, 100 sau 1000 de părți, în lecția Reprezentarea fracțiilor zecimale pe axa numerelor. Principiul rămâne exact același: numitorul spune în câte părți tai, numărătorul câte iei.

9. Sfaturi practice când desenezi axa pe caiet

Teoria e clară, dar pe caiet apar mereu aceleași mici probleme. Iată cum le rezolvi ca un profesionist:

• Alege o unitate „prietenoasă" cu numitorul. Dacă vrei să reprezinți o fracție cu numitorul 4, e cel mai comod ca distanța de la 0 la 1 să fie de 4 pătrățele de caiet (sau 8, sau 12 — orice multiplu al lui 4). Atunci fiecare pătrime cade fix pe o linie a caietului și nu mai trebuie să măsori cu rigla. Pentru numitorul 5, alege 5 pătrățele; pentru numitorul 6, alege 6 pătrățele. Pe scurt: lungimea unității să se împartă exact la numitor.
• Lasă loc destul. O greșeală tipică e să desenezi unitatea prea scurtă, iar apoi diviziunile se înghesuie și nu mai încap etichetele. Mai bine o unitate de 4–6 cm.
• Etichetează capetele întâi. Scrie 0 și 1 (și 2, dacă fracția e supraunitară) înainte de a împărți. Așa nu rămâi fără spațiu și știi exact ce segment împarți.
• Verifică prin numărare cu degetul. După ce ai tras liniuțele, numără cu voce tare spațiile, nu liniuțele, ca să fii sigur că ai exact câte îți trebuie.

10. Un truc puternic: amplifică numitorul ca să încapă pe caiet

Uneori fracția are un numitor incomod, dar vrei totuși s-o așezi pe o axă deja împărțită altfel. Aici te ajută fracțiile echivalente. Dacă ai o axă împărțită în optimi și ți se cere să marchezi $\frac{1}{4}$, amplifică: $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$. Deci $\frac{1}{4}$ cade exact pe a doua liniuță a optimilor. Tot așa, $\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$ și $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$.

Acest truc este foarte util și când vrei să găsești o fracție între alte două. Între $\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{2}$ pare că nu mai e loc — dar dacă le scrii ca optimi, $\frac{2}{8}$ și $\frac{4}{8}$, vezi imediat că între ele stă $\frac{3}{8}$. Axa te ajută să „faci loc" oricând, mărind numitorul. Vei folosi mereu această idee în lecțiile despre Fracții echivalente și despre aducerea fracțiilor la același numitor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O fracție subunitară simplă

Cerință: Reprezintă pe axa numerelor fracția $\frac{3}{5}$.

Rezolvare pas cu pas:

• Fracția este subunitară ($3<5$), deci stă între 0 și 1.
• Numitorul 5 → tăiem segmentul 0–1 în 5 părți egale: apar $\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}$.
• Numărătorul 3 → numărăm 3 părți din 0 și marcăm.
• Punctul $\frac{3}{5}$ este a treia liniuță, mai aproape de mijlocul drumului dintre 0 și 1, ușor spre dreapta.

Exemplul 2 — O fracție supraunitară

Cerință: Reprezintă pe axă fracția $\frac{5}{3}$.

Rezolvare:

• $5>3$, deci fracția este supraunitară: trece de 1.
• Numitorul 3 → tăiem în treimi fiecare unitate (0–1 și 1–2).
• Numărăm 5 treimi din 0: $\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3}=1,\frac{4}{3},\frac{5}{3}$.
• După 1 mai facem 2 treimi și ajungem la $\frac{5}{3}$, situat între 1 și 2.
• Verificare: $\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$, adică un întreg și 2 treimi — exact unde am marcat.

Exemplul 3 — Citirea unei fracții de pe axă

Cerință: Pe o axă, fiecare unitate este împărțită în 4 părți egale. Un punct $A$ este marcat la a 7-a liniuță de la 0. Ce fracție reprezintă punctul $A$?

Rezolvare:

• Părți într-un întreg: 4 → numitorul este 4.
• Părți de la 0 la $A$: 7 → numărătorul este 7.
• Deci $A$ reprezintă $\frac{7}{4}$.
• Cum $7>4$, este supraunitară: $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$, între 1 și 2. Corect, a 7-a pătrime cade după 1.

Exemplul 4 — Mai multe fracții pe aceeași axă

Cerință: Reprezintă pe aceeași axă fracțiile $\frac{1}{6},\frac{4}{6},\frac{6}{6},\frac{8}{6}$ și spune care este cea mai mare.

Rezolvare:

• Toate au numitorul 6 → tăiem fiecare unitate în 6 părți egale.
• $\frac{1}{6}$: prima liniuță după 0.
• $\frac{4}{6}$: a patra liniuță, încă între 0 și 1.
• $\frac{6}{6}=1$: cade fix peste 1.
• $\frac{8}{6}$: a opta liniuță, adică 2 părți după 1 → între 1 și 2.
• Cea mai la dreapta este $\frac{8}{6}$, deci cea mai mare este $\frac{8}{6}$.

Exemplul 5 — De la cuvinte la axă

Cerință: Andrei aleargă un traseu de 1 km. La un moment dat, aplicația arată că a parcurs $\frac{3}{8}$ din kilometru. Reprezintă poziția lui pe o axă unde 0 este start și 1 este finalul kilometrului.

Rezolvare:

• Numitorul 8 → împărțim drumul (0–1) în 8 părți egale, ca 8 borne.
• Numărătorul 3 → Andrei e la a 3-a bornă.
• Punctul $\frac{3}{8}$ este între 0 și 1, ceva mai aproape de start decât de mijloc (pentru că $\frac{3}{8}$ e puțin sub $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$).

Exemplul 6 — Găsește numitorul ascuns

Cerință: Pe o axă, punctul $\frac{2}{3}$ este deja marcat corect. Fără să măsori, unde este $\frac{2}{6}$ față de el?

Rezolvare:

• Observăm că $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ (amplificare/simplificare — vezi Fracții echivalente).
• $\frac{1}{3}$ este la jumătatea drumului dintre 0 și $\frac{2}{3}$.
• Deci $\frac{2}{6}$ se află între 0 și $\frac{2}{3}$, exact la mijloc, adică mai la stânga decât $\frac{2}{3}$.
• Concluzie: $\frac{2}{6}<\frac{2}{3}$, iar pe axă fracțiile echivalente $\frac{1}{3}$ și $\frac{2}{6}$ cad în același punct.

Exemplul 7 — Comparăm vizual două fracții cu numitori diferiți

Cerință: Folosind axa, decide care este mai mare: $\frac{3}{4}$ sau $\frac{4}{5}$.

Rezolvare:

• Reprezentăm fiecare fracție mintal, gândindu-ne cât mai are până la 1.
• $\frac{3}{4}$ mai are o pătrime ($\frac{1}{4}$) până la 1.
• $\frac{4}{5}$ mai are o cincime ($\frac{1}{5}$) până la 1.
• Cum $\frac{1}{5}<\frac{1}{4}$ (o cincime e o bucată mai mică decât o pătrime), înseamnă că $\frac{4}{5}$ este mai aproape de 1, deci mai la dreapta pe axă.
• Concluzie: $\frac{4}{5}>\frac{3}{4}$. Iată cum axa și raționamentul „cât mai are până la 1" lucrează împreună.

Exemplul 8 — Găsește o fracție „între" alte două

Cerință: Folosind axa, găsește o fracție care se află între $\frac{1}{4}$ și $\frac{2}{4}$.

Rezolvare:

• La prima vedere, între pătrimi consecutive pare că nu mai e loc. Trucul este să mărim numitorul prin amplificare.
• Amplificăm cu 2: $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$ și $\frac{2}{4}=\frac{4}{8}$.
• Acum, pe o axă în optimi, vedem clar că între $\frac{2}{8}$ și $\frac{4}{8}$ stă $\frac{3}{8}$.
• Deci o fracție potrivită este $\frac{3}{8}$, situată exact la mijlocul drumului dintre $\frac{1}{4}$ și $\frac{2}{4}$.
• Verificare: $\frac{3}{8}$ este mai mare decât $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$ și mai mică decât $\frac{2}{4}=\frac{4}{8}$. Corect.

Să exersăm

1. Completează: pentru a reprezenta $\frac{4}{7}$, împart segmentul de la 0 la 1 în ____ părți egale și numesc ____ părți pornind de la 0.

2. Adevărat sau fals: fracția $\frac{5}{9}$ se află între 0 și 1.

3. Adevărat sau fals: fracția $\frac{9}{4}$ se află între 0 și 1.

4. Desenează o axă și reprezintă fracția $\frac{2}{4}$. Cu ce număr cunoscut coincide?

5. Desenează o axă și reprezintă fracția $\frac{5}{6}$.

6. Desenează o axă de la 0 la 2 și reprezintă fracția supraunitară $\frac{7}{5}$.

7. Pe o axă, fiecare unitate este împărțită în 3 părți. Un punct se află la a 5-a liniuță de la 0. Ce fracție este?

8. Pe o axă, fiecare unitate este împărțită în 8 părți. Un punct se află la a 8-a liniuță de la 0. Ce număr natural este?

9. Încercuiește fracțiile subunitare (cele care stau între 0 și 1): $\frac{3}{4}$, $\frac{6}{5}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{10}{10}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{11}{6}$.

10. Potrivește fiecare fracție cu poziția ei: A) $\frac{1}{4}$ B) $\frac{3}{4}$ C) $\frac{5}{4}$ — cu pozițiile: (i) între 1 și 2, (ii) aproape de 0, (iii) aproape de 1.

11. Reprezintă pe aceeași axă $\frac{1}{5},\frac{3}{5},\frac{5}{5}$. Care coincide cu 1?

12. Mică problemă: o prăjitură este tăiată în 8 felii egale. Pe o axă „prăjitură 0 → 1", marchează punctul care arată cât a mâncat Maria dacă a luat 5 felii.

13. Adevărat sau fals: pe axă, $\frac{2}{3}$ este mai la dreapta decât $\frac{1}{3}$, deci $\frac{2}{3}>\frac{1}{3}$.

14. Scrie ca fracție supraunitară punctul aflat la a 11-a optime de la 0 (fiecare unitate împărțită în 8). Apoi scrie-l ca întreg și fracție.

15. Pe o axă, două fracții cad în același punct: $\frac{1}{2}$ și o fracție cu numitorul 4. Care este acea fracție?

16. Ordonează crescător, folosind axa ca ajutor: $\frac{7}{6},\frac{1}{6},\frac{6}{6},\frac{3}{6}$.

17. Mică problemă: un rezervor are 1 litru capacitate, marcat pe o axă verticală de la 0 la 1, împărțit în 10 părți. Apa ajunge la $\frac{7}{10}$. Între ce diviziuni se află nivelul și e mai mult sau mai puțin de jumătate?

18. Provocare: pe o axă în care unitatea e împărțită în 12 părți, marchează $\frac{6}{12}$ și $\frac{8}{12}$. Cu ce fracții mai simple coincid și care este mai mare?

19. Pe o axă împărțită în optimi, vrei să marchezi $\frac{3}{4}$. Pe a câta liniuță de la 0 cade? (Indiciu: amplifică numitorul la 8.)

20. Folosind axa, găsește o fracție cu numitorul 8 care se află între $\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{2}$.

21. Adevărat sau fals: pe axă, fracția $\frac{0}{5}$ cade exact peste 0.

22. Desenează o axă de la 0 la 3, împărțită în treimi, și marchează $\frac{8}{3}$. Între ce două numere naturale se află?

Răspunsuri și explicații

1. 7 părți; 4 părți. Numitorul (7) dă numărul de părți, numărătorul (4) câte luăm.

2. Adevărat. $5<9$, fracție subunitară, deci între 0 și 1.

3. Fals. $9>4$, fracție supraunitară; $\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$, deci între 2 și 3.

4. $\frac{2}{4}$ coincide cu $\frac{1}{2}$, adică exact la mijlocul drumului dintre 0 și 1. Împarți 0–1 în 4 și iei 2 părți → ajungi la jumătate.

5. $\frac{5}{6}$: împarți 0–1 în 6 părți, marchezi a 5-a liniuță, aproape de 1 (mai are doar o șesime până la 1).

6. $\frac{7}{5}$: împarți în cincimi fiecare unitate; numeri 7 cincimi; $\frac{5}{5}=1$, apoi încă 2 cincimi → punctul e între 1 și 2. ($\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}$.)

7. $\frac{5}{3}$. Numitor 3 (părți într-un întreg), numărător 5 (liniuțe până la punct). Este supraunitară, între 1 și 2.

8. 1. A 8-a optime este $\frac{8}{8}=1$.

9. Subunitare (între 0 și 1): $\frac{3}{4}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{1}{2}$. ($\frac{6}{5}$ și $\frac{11}{6}$ sunt supraunitare; $\frac{10}{10}=1$ este echiunitară.)

10. A–(ii) aproape de 0; B–(iii) aproape de 1; C–(i) între 1 și 2. Fiindcă $\frac{1}{4}$ e mic, $\frac{3}{4}$ e aproape de întreg, iar $\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$ trece de 1.

11. $\frac{5}{5}$ coincide cu 1. Pe axă: $\frac{1}{5}$ aproape de 0, $\frac{3}{5}$ peste mijloc, $\frac{5}{5}$ fix pe 1.

12. Punctul $\frac{5}{8}$: împarți „prăjitura" 0–1 în 8 felii, marchezi a 5-a liniuță (peste jumătate, fiindcă $\frac{5}{8}>\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$).

13. Adevărat. Mai la dreapta înseamnă mai mare.

14. $\frac{11}{8}$, care este $1\frac{3}{8}$ (fiindcă $\frac{8}{8}=1$, plus încă 3 optimi). Punct între 1 și 2.

15. $\frac{2}{4}$. Este echivalentă cu $\frac{1}{2}$, deci cade în același punct (mijlocul lui 0–1).

16. $\frac{1}{6}<\frac{3}{6}<\frac{6}{6}<\frac{7}{6}$. Au același numitor, deci ordinea numărătorilor dă ordinea pe axă (de la stânga la dreapta).

17. Între diviziunile $\frac{6}{10}$ și $\frac{8}{10}$, adică la a 7-a liniuță; este mai mult de jumătate, fiindcă $\frac{7}{10}>\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

18. $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ și $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$; mai mare este $\frac{8}{12}$, fiind mai la dreapta pe axă.

19. Pe a 6-a liniuță. Amplificăm: $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$, deci cade exact pe a șasea liniuță a optimilor (aproape de 1, mai are doar $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ până la întreg).

20. $\frac{3}{8}$. Scriem $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$ și $\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$; între ele, pe axă, stă $\frac{3}{8}$.

21. Adevărat. $\frac{0}{5}=0$, fiindcă luăm 0 cincimi din 0; orice fracție cu numărătorul 0 cade peste origine.

22. Între 2 și 3. Numărăm 8 treimi din 0: $\frac{3}{3}=1$, $\frac{6}{3}=2$, apoi încă 2 treimi → $\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$, situat între 2 și 3.

De reținut

• Numitorul spune în câte părți egale tai unitatea (segmentul de la 0 la 1); numărătorul spune câte părți numeri din 0.
• Fracțiile subunitare stau între 0 și 1; cele supraunitare trec de 1; cele echiunitare cad fix pe un număr natural.
• Pentru fracții supraunitare, împarți cu același numitor și unitățile următoare (1–2, 2–3 …); părțile au mereu aceeași mărime.
• Ca să citești o fracție de pe axă: numitorul = câte părți într-un întreg, numărătorul = câte părți de la 0 la punct.
• Pe axă, mai la dreapta = mai mare: un instrument vizual sigur pentru comparare.

Greșeli frecvente

• Numeri liniuțele în loc de spații. Numitorul vine din numărul de spații (diviziuni) dintr-un întreg, nu din numărul de liniuțe. Între 0 și 1 sunt 5 spații, dar 6 liniuțe la cincimi. Numără spațiile!
• Părți inegale. Dacă tai segmentul „din ochi", părțile ies inegale și fracția pică greșit. Folosește rigla și verifică să fie egale.
• Uiți să împarți și după 1. La fracțiile supraunitare, mulți se opresc la 1. Trebuie să continui diviziunile cu același numitor și pe 1–2, 2–3 etc.
• Confunzi numărătorul cu numitorul. Reține: nuMITOR = în câte tai (jos), nuMĂRĂTOR = câte numeri (sus). Numitorul taie, numărătorul numără.

Joc acasă

1. Axa cu sfoară și cleme. Întinde o sfoară între două scaune. Pune o clemă (cârlig de rufe) la un capăt = 0 și una la celălalt = 1. Cu o riglă, prinde cleme egal depărtate pentru a face „pătrimi" sau „cincimi". Strigă o fracție (de ex. $\frac{3}{5}$) și pune un șnur colorat la locul ei. Verifică numărând spațiile.

2. Vânătoarea de fracții. Un jucător desenează o axă de la 0 la 2 și marchează în secret un punct la o diviziune. Celălalt trebuie să citească fracția (numitorul = câte părți într-un întreg, numărătorul = câte până la punct). Schimbați rolurile. Un punct corect = 1 punct câștigat.

3. Cursa pe hol. Lipiți pe podea, cu bandă, o „axă" de la 0 (ușă) la 1 (perete), împărțită în 8 pași egali. Trageți o fracție dintr-un bol (de ex. $\frac{5}{8}$) și mergeți exact atâția pași. Cine nimerește mai exact distanța câștigă runda.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă fracțiile (concept abstract) de un model vizual robust — axa numerelor — care va fi folosit toată viața (termometre, rigle, grafice, scoruri). Scopul nu e doar „să desenezi frumos", ci ca elevul să înțeleagă că numitorul determină mărimea pasului, iar numărătorul numărul de pași.

Cum sprijiniți eficient:

• Insistați pe „spații, nu liniuțe". Cereți copilului să arate cu degetul fiecare spațiu și să-l numere cu voce tare. Aici apar cele mai multe erori.
• Folosiți obiecte reale înainte de desen: o riglă (cm și mm sunt fracții ale decimetrului), o cană gradată, un termometru. Întrebați „unde ar fi $\frac{3}{4}$ pe această riglă?".
• Întrebări bune de pus: „În câte părți ai tăiat un întreg? De ce atâtea?", „Această fracție e mai mică sau mai mare decât 1? Cum știi fără să desenezi?", „Arată-mi două fracții care cad în același punct" (test pentru fracții echivalente).
• Verificați înțelegerea cerând operația inversă: dați o axă cu un punct și cereți fracția. Dacă o citește corect, a înțeles legătura, nu doar rețeta.
• Dacă elevul se blochează la supraunitare, transformați împreună în „întreg + fracție" ($\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$): de multe ori se aprinde becul când văd că trebuie doar să treacă de 1 și să mai numere câteva părți.

Această deprindere — de a localiza o fracție pe o dreaptă — este temelia pe care se sprijină mai târziu fracțiile zecimale, rigla gradată în milimetri, scala unui termometru și chiar graficele de la fizică și geografie. Un copil care „vede" unde stă $\frac{3}{4}$ pe axă va înțelege fără efort, peste un an, de ce $0,75$ stă în același loc. Merită deci ca, pentru câteva săptămâni, fracțiile să fie desenate des, nu doar calculate: legătura dintre număr și poziție este una dintre cele mai valoroase intuiții matematice pe care le poate căpăta la această vârstă.

Întrebări frecvente

Cum reprezint o fracție pe axa numerelor în clasa a 5-a? Împarți segmentul de la 0 la 1 în atâtea părți egale câte arată numitorul, apoi numeri din 0 atâtea părți câte arată numărătorul și marchezi punctul. Pentru fracții mai mari decât 1, continui diviziunile cu același numitor și după 1.

Care e diferența dintre fracție subunitară și supraunitară pe axă? O fracție subunitară (numărător mai mic decât numitorul) stă între 0 și 1. O fracție supraunitară (numărător mai mare decât numitorul) trece de 1 și se află la dreapta lui 1. Cea echiunitară cade fix pe un număr natural.

Ce îmi spune numitorul când reprezint o fracție pe axă? Numitorul îți spune în câte părți egale tai unitatea (segmentul de la 0 la 1). Cu cât numitorul e mai mare, cu atât părțile sunt mai mici și mai dese.

Cum citesc fracția corespunzătoare unui punct de pe axă? Numără în câte părți egale e împărțit un întreg — acela e numitorul. Apoi numără câte părți sunt de la 0 până la punct — acela e numărătorul. Scrii fracția numărător/numitor.

De ce $\frac{4}{4}$ cade exact peste 1 pe axă? Pentru că ai tăiat întregul în 4 părți și ai luat toate cele 4 părți, adică întregul complet. Orice fracție cu numărătorul egal cu numitorul valorează 1 și cade peste 1.

Pot avea două fracții în același punct pe axă? Da, fracțiile echivalente cad în același punct. De exemplu $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ și $\frac{3}{6}$ se află toate la mijlocul drumului dintre 0 și 1.

Cum folosesc axa ca să compar două fracții? Le reprezinți pe aceeași axă: fracția aflată mai la dreapta este cea mai mare. Este o metodă vizuală sigură, mai ales când fracțiile au același numitor sau același numărător.

Numitorul vine din numărul de liniuțe sau de spații? Din numărul de spații (diviziuni) dintr-un întreg, nu din liniuțe. Între 0 și 1 la cincimi sunt 5 spații, dar 6 liniuțe. Mereu numeri spațiile.