O fracție cu numitorul 1, de exemplu 6/1, ce tip este?

Este supraunitară, deoarece 6>1, iar 6/1=6, care este mai mare decât 1. În schimb, 1/1=1 este echiunitară.

Fracții subunitare, echiunitare și supraunitare

Acum, că știi ce sunt numărătorul, numitorul și linia de fracție, e momentul să faci un pas important: să înveți să „citești dintr-o privire" cât de mare este o fracție. Unele fracții sunt mai mici decât un întreg, altele sunt exact cât un întreg, iar altele sunt mai mari decât un întreg. Această lecție îți dă o regulă simplă și sigură ca să recunoști imediat din ce categorie face parte orice fracție și să o compari cu numărul 1.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști o fracție subunitară (mai mică decât întregul) după numărător și numitor.
Vei ști să recunoști o fracție echiunitară (egală cu întregul).
Vei ști să recunoști o fracție supraunitară (mai mare decât întregul).
Vei ști să compari rapid o fracție cu numărul 1 (cu întregul).
Vei ști să folosești corect limbajul matematic: „subunitară", „echiunitară", „supraunitară".

Hai să descoperim împreună

O scurtă poveste ca să intrăm în temă

Trei prieteni — Vlad, Ioana și Tudor — au comandat fiecare câte un baton de ciocolată identic, împărțit în 8 pătrățele egale. La sfârșitul zilei, Vlad mai avea 3 pătrățele, Ioana avea încă tot batonul (8 pătrățele), iar Tudor mâncase deja unul întreg și ceruse încă 2 pătrățele de la fratele lui (deci avea, ca poftă „satisfăcută", 10 pătrățele față de un singur baton). Dacă scriem ce a avut fiecare ca fracție din un baton, obținem: Vlad $\frac{3}{8}$ , Ioana $\frac{8}{8}$ , Tudor $\frac{10}{8}$ . Trei prieteni, trei fracții — și, după cum vei vedea imediat, trei tipuri diferite de fracție. Hai să descoperim regula care le deosebește.

Pornim de la o pizza tăiată în felii egale

Imaginează-ți o pizza tăiată în 4 felii egale. Numitorul fracției ne spune mereu în câte părți egale a fost împărțit întregul. Aici numitorul este 4. Numărătorul ne spune câte părți luăm (sau câte avem pe farfurie).

Hai să luăm felii, una câte una, și să urmărim ce se întâmplă.

Dacă ai 1 felie din 4, scriem $\frac{1}{4}$ . E mai puțin decât o pizza întreagă.
Dacă ai 2 felii din 4, scriem $\frac{2}{4}$ . Tot mai puțin decât o pizza întreagă.
Dacă ai 3 felii din 4, scriem $\frac{3}{4}$ . Aproape o pizza, dar tot mai puțin decât întreaga.
Dacă ai 4 felii din 4, scriem $\frac{4}{4}$ . Acum ai exact o pizza întreagă!
Dacă ai 5 felii din 4 (adică o pizza întreagă plus încă o felie de la a doua pizza), scriem $\frac{5}{4}$ . Acum ai mai mult de o pizza.

Observă tiparul: atâta timp cât numărătorul este mai mic decât numitorul, fracția e mai mică decât întregul. Când numărătorul devine egal cu numitorul, fracția e exact un întreg. Iar când numărătorul e mai mare decât numitorul, fracția trece de un întreg.

Aceste trei situații au nume matematice precise. Hai să le luăm pe rând.

1) Fracția subunitară — mai mică decât întregul

Definiție. O fracție se numește subunitară dacă numărătorul este mai mic decât numitorul. O fracție subunitară reprezintă mai puțin de un întreg, adică este mai mică decât 1.

Cuvântul te ajută să ții minte: „sub" înseamnă „dedesubt", „mai jos". O fracție subunitară stă sub unitate (sub 1).

Exemple de fracții subunitare: $\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{7}{10}, \frac{99}{100}$

La fiecare, numărătorul (numărul de sus) este mai mic decât numitorul (numărul de jos): $1 < 4$ , $2 < 4$ , $3 < 4$ , $1 < 2$ , $7 < 10$ , $99 < 100$ .

Reține: scriem, de exemplu, $\frac{3}{4} < 1$ , pentru că trei sferturi sunt mai puțin decât întregul.

2) Fracția echiunitară — egală cu întregul

Definiție. O fracție se numește echiunitară dacă numărătorul este egal cu numitorul. O fracție echiunitară reprezintă exact un întreg, adică este egală cu 1.

Partea „echi-" vine din latinescul aequus, care înseamnă „egal" (la fel ca în „echilibru" sau „echipă", unde toți sunt egali). O fracție echiunitară este egală cu unitatea (cu 1).

Exemple de fracții echiunitare: $\frac{4}{4}, \frac{2}{2}, \frac{7}{7}, \frac{10}{10}, \frac{100}{100}, \frac{2026}{2026}$

La fiecare, numărătorul este egal cu numitorul: $4 = 4$ , $2 = 2$ , $7 = 7$ și așa mai departe. Toate acestea sunt egale cu 1. Putem scrie $\frac{4}{4} = 1$ .

De ce? Pentru că ai luat toate părțile în care a fost împărțit întregul. Dacă pizza are 4 felii și le iei pe toate 4, ai o pizza întreagă — nici mai mult, nici mai puțin.

3) Fracția supraunitară — mai mare decât întregul

Definiție. O fracție se numește supraunitară dacă numărătorul este mai mare decât numitorul. O fracție supraunitară reprezintă mai mult de un întreg, adică este mai mare decât 1.

„Supra-" înseamnă „peste", „deasupra" (ca în „supraom" sau „suprafață"). O fracție supraunitară stă peste unitate (peste 1).

Exemple de fracții supraunitare: $\frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{3}{2}, \frac{9}{5}, \frac{11}{10}, \frac{100}{99}$

La fiecare, numărătorul este mai mare decât numitorul: $5 > 4$ , $7 > 4$ , $3 > 2$ , $9 > 5$ , $11 > 10$ , $100 > 99$ .

Pentru a aduna mai mult decât un întreg, ai nevoie de mai multe pizza! De exemplu, $\frac{5}{4}$ înseamnă „cinci sferturi": o pizza întreagă (4 sferturi) plus încă un sfert. Deci $\frac{5}{4} > 1$ .

Regula de aur (pe care nu o uiți niciodată)

Ca să afli tipul oricărei fracții, compari numărătorul cu numitorul:

Comparație	Tipul fracției	Comparația cu 1
numărător < numitor	subunitară	fracția $< 1$
numărător = numitor	echiunitară	fracția $= 1$
numărător > numitor	supraunitară	fracția $> 1$

Cu alte cuvinte, compararea fracției cu 1 este exact același lucru cu a stabili tipul fracției. Dacă știi tipul, știi imediat dacă fracția e mai mică, egală sau mai mare decât 1 — și invers.

Un truc rapid cu „distanța până la întreg"

La fracțiile subunitare poți gândi și astfel: „cât îmi mai lipsește până la întreg?". De exemplu, la $\frac{3}{4}$ îți mai lipsește $\frac{1}{4}$ până la $\frac{4}{4} = 1$ . Asta confirmă că $\frac{3}{4}$ este subunitară (încă nu ai ajuns la întreg).

La fracțiile supraunitare gândești invers: „cu cât am depășit întregul?". La $\frac{5}{4}$ ai depășit cu $\frac{1}{4}$ peste $\frac{4}{4} = 1$ . Deci e supraunitară.

Atenție: nu te lăsa păcălit de numere mari

Mărimea cifrelor nu contează — contează doar comparația dintre numărător și numitor. Privește:

$\frac{3}{1000}$ pare „mic" și chiar este subunitar ( $3 < 1000$ ). Corect.
$\frac{999}{1000}$ are numere uriașe, dar este tot subunitar ( $999 < 1000$ ). E foarte aproape de 1, dar tot sub 1.
$\frac{1000}{999}$ are aceleași numere mari, dar e supraunitar ( $1000 > 999$ ), pentru că de data asta numărătorul e mai mare.

Vezi? Nu te uiți la cât de mari sunt numerele, ci doar la care este mai mare: cel de sus sau cel de jos.

💡 Sfat: dacă tot ai înțeles cum se construiește o fracție în lecția Fracția ordinară: numărător, numitor, linie de fracție, atunci compararea numărătorului cu numitorul devine ușoară. În lecția următoare, Fracții echivalente, vei vedea că mai multe fracții pot avea aceeași valoare.

Caz special: numitorul 1

Ce zici de o fracție ca $\frac{5}{1}$ ? Numitorul este 1, deci întregul a fost împărțit într-o singură parte — adică nu a fost împărțit deloc. Atunci $\frac{5}{1} = 5$ . Cum $5 > 1$ , fracția este supraunitară. Iar $\frac{1}{1} = 1$ este echiunitară. Aceste cazuri respectă perfect regula de aur.

Trei observații care îți întăresc înțelegerea

Observația 1 — Granița dintre tipuri este numărul 1. Dacă desenezi o axă a numerelor de la 0 la 2 și marchezi punctul 1, atunci toate fracțiile subunitare „locuiesc" în stânga lui 1, fracțiile echiunitare stau exact pe 1, iar cele supraunitare stau în dreapta lui 1. Numărul 1 este ca un gard care desparte fracțiile mai mici de cele mai mari decât întregul. Această imagine te va ajuta foarte mult la lecția Reprezentarea fracțiilor ordinare pe axa numerelor.

Observația 2 — Orice fracție are exact un tip. Între două numere naturale (numărătorul și numitorul) există mereu una și numai una dintre relațiile: „mai mic", „egal" sau „mai mare". De aceea orice fracție ordinară este obligatoriu fie subunitară, fie echiunitară, fie supraunitară — nu există o a patra posibilitate și nici nu se poate ca o fracție să fie de două tipuri în același timp.

Observația 3 — Cuvintele te ajută să ții minte. Gândește-te la prefixe: submarin merge sub apă (mai jos), deci subunitară e sub 1; echipa are jucători egali, deci echiunitară e egală cu 1; un supraom e peste oamenii obișnuiți, deci supraunitară e peste 1. Dacă uiți regula, amintește-ți sensul cuvântului.

Cum scrii corect comparația cu 1

Când rezolvi un exercițiu, e bine să scrii și relația matematică, nu doar cuvântul. De exemplu:

pentru $\frac{4}{9}$ scrii: „ $4 < 9$ , deci $\frac{4}{9} < 1$ (subunitară)";
pentru $\frac{9}{9}$ scrii: „ $9 = 9$ , deci $\frac{9}{9} = 1$ (echiunitară)";
pentru $\frac{11}{9}$ scrii: „ $11 > 9$ , deci $\frac{11}{9} > 1$ (supraunitară)".

Profesorul apreciază mereu când justifici răspunsul cu o relație clară, nu doar cu un cuvânt. Asta înseamnă să gândești ca un matematician: nu spui doar „așa este", ci arăți de ce este așa.

Fracția supraunitară ascunde un întreg și o rămășiță

Iată un mod de gândire care te va ajuta mult mai târziu, când vei transforma fracțiile supraunitare în numere mixte. Orice fracție supraunitară poate fi „descompusă" într-un număr de întregi plus o parte care rămâne. Privește fracția $\frac{7}{3}$ : ea înseamnă „șapte treimi". Câte treimi fac un întreg? Exact 3, pentru că $\frac{3}{3} = 1$ . Atunci, din 7 treimi:

primele 3 treimi formează un întreg ( $\frac{3}{3} = 1$ );
următoarele 3 treimi formează al doilea întreg (ajungem la $\frac{6}{3} = 2$ );
mai rămâne o treime ( $\frac{1}{3}$ ).

Deci $\frac{7}{3}$ înseamnă 2 întregi și încă o treime. Vezi cum simpla observație că numărătorul $7$ este mai mare decât numitorul $3$ ne-a spus de la început că fracția este supraunitară, iar apoi am aflat și cu cât depășește întregul. Această gândire transformă o regulă seacă într-o imagine vie: nu doar „știi" că $\frac{7}{3} > 1$ , ci „vezi" cei doi întregi și treimea rămasă.

Analogia scării cu treapta „1"

Imaginează-ți o scară. Treapta de la mijloc, marcată cu un steguleț roșu, este numărul 1 — întregul. Fiecare fracție stă pe câte o treaptă:

fracțiile subunitare stau pe treptele de sub stegulețul roșu (nu au ajuns încă la întreg);
fracțiile echiunitare stau exact pe treapta cu steguleț (sunt fix un întreg);
fracțiile supraunitare stau pe treptele de deasupra stegulețului (au urcat peste întreg).

Când ți se dă o fracție și ești întrebat ce tip e, întreabă-te simplu: „pe ce treaptă stă față de stegulețul 1?". Comparând numărătorul cu numitorul afli imediat răspunsul, fără să mai desenezi nimic. Această imagine pregătește perfect lecția în care vei așeza fracțiile pe axa numerelor: axa nu e altceva decât scara întinsă orizontal.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaște tipul unei fracții subunitare

Cerință: Ce tip de fracție este $\frac{5}{8}$ ? Compar-o cu 1.

Rezolvare: Compar numărătorul cu numitorul: $5$ și $8$ . Cum $5 < 8$ , numărătorul este mai mic decât numitorul. Deci fracția este subunitară, adică $\frac{5}{8} < 1$ .

Imagine mentală: un întreg tăiat în 8 părți, din care iei 5 — încă nu ai întregul, îți mai lipsesc 3 părți. ✔️

Exemplul 2 — Recunoaște o fracție echiunitară

Cerință: Ce tip de fracție este $\frac{12}{12}$ ?

Rezolvare: Numărătorul este 12 și numitorul este tot 12. Cum $12 = 12$ , numărătorul este egal cu numitorul. Deci fracția este echiunitară, adică $\frac{12}{12} = 1$ .

Ai luat toate cele 12 părți, deci ai exact un întreg. ✔️

Exemplul 3 — Recunoaște o fracție supraunitară

Cerință: Ce tip de fracție este $\frac{9}{4}$ ? Cu cât depășește întregul?

Rezolvare: Compar: $9$ și $4$ . Cum $9 > 4$ , fracția este supraunitară, deci $\frac{9}{4} > 1$ .

Cât face în întregi? Un întreg este $\frac{4}{4}$ . Din 9 sferturi, primele 4 fac un întreg, următoarele 4 încă un întreg (în total $\frac{8}{4} = 2$ întregi), iar mai rămâne $\frac{1}{4}$ . Deci $\frac{9}{4}$ înseamnă 2 întregi și un sfert — clar mai mult de 1. ✔️

Exemplul 4 — Clasifică mai multe fracții deodată

Cerință: Clasifică fracțiile $\frac{3}{7}, \frac{7}{7}, \frac{8}{7}, \frac{7}{8}$ în subunitare, echiunitare și supraunitare.

Rezolvare: Le iau pe rând și compar numărătorul cu numitorul:

$\frac{3}{7}$ : $3 < 7$ → subunitară ( $< 1$ ).
$\frac{7}{7}$ : $7 = 7$ → echiunitară ( $= 1$ ).
$\frac{8}{7}$ : $8 > 7$ → supraunitară ( $> 1$ ).
$\frac{7}{8}$ : $7 < 8$ → subunitară ( $< 1$ ).

Observă cât de important e ordinea numerelor: $\frac{8}{7}$ și $\frac{7}{8}$ au aceleași cifre, dar tipuri diferite! ✔️

Exemplul 4 bis — Fracții cu numere mari

Cerință: Stabilește tipul fracțiilor $\frac{250}{250}$ , $\frac{248}{250}$ și $\frac{252}{250}$ , fără să faci calcule complicate.

Rezolvare: Nu mă sperii de numerele mari — compar doar numărătorul cu numitorul.

$\frac{250}{250}$ : $250 = 250$ → echiunitară ( $= 1$ ).
$\frac{248}{250}$ : $248 < 250$ → subunitară ( $< 1$ ), foarte aproape de 1, dar tot sub.
$\frac{252}{250}$ : $252 > 250$ → supraunitară ( $> 1$ ), abia a depășit întregul.

Vezi cât de repede merge când aplici regula de aur? Mărimea cifrelor nu te încurcă deloc. ✔️

Exemplul 5 — Găsește numărătorul potrivit (gândire inversă)

Cerință: Câte valori naturale poate avea numărătorul $a$ astfel încât fracția $\frac{a}{6}$ să fie subunitară? (Considerăm $a$ număr natural, $a \geq 1$ .)

Rezolvare: Vrem fracție subunitară, deci numărătorul mai mic decât numitorul: $a < 6$ . Numerele naturale care îndeplinesc condiția (luând $a \geq 1$ ) sunt: $1, 2, 3, 4, 5$ . Asta înseamnă 5 valori.

Verificare: $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}$ — toate au numărătorul mai mic decât 6, deci toate sunt subunitare. La $a = 6$ am obține $\frac{6}{6} = 1$ , care este echiunitară, nu subunitară, deci nu o numărăm. ✔️

Exemplul 6 — Problemă din viața reală

Cerință: Maria a citit 130 de pagini dintr-o carte cu 130 de pagini. Andrei a citit 145 de pagini dintr-o serie care, de fapt, are 130 de pagini pe volum (a trecut deja la volumul al doilea). Scrie pentru fiecare câte un raport sub formă de fracție și spune ce tip este.

Rezolvare:

Maria: a citit $130$ din $130$ → $\frac{130}{130}$ . Cum $130 = 130$ , fracția este echiunitară: a citit exact o carte întreagă.
Andrei: a citit $145$ raportat la $130$ → $\frac{145}{130}$ . Cum $145 > 130$ , fracția este supraunitară: a citit mai mult de o carte (un volum întreg plus o parte din al doilea). ✔️

Exemplul 7 — Câți întregi „încap" într-o fracție supraunitară

Cerință: Fracția $\frac{11}{3}$ este supraunitară. Câți întregi conține și cât rămâne?

Rezolvare: Mai întâi stabilesc tipul: $11 > 3$ , deci fracția este supraunitară, adică $\frac{11}{3} > 1$ . Acum aflu câți întregi încap. Un întreg înseamnă $\frac{3}{3}$ , adică 3 treimi. Mă întreb: de câte ori intră 3 în 11? De 3 ori, pentru că $3 \times 3 = 9$ , și mai rămân $11 - 9 = 2$ treimi. Așadar $\frac{11}{3}$ înseamnă 3 întregi și $\frac{2}{3}$ .

Verificare cu adunare: $\frac{3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3 + 3 + 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$ . Se potrivește. ✔️

Exemplul 8 — Decizi tipul fără să cunoști numerele exacte

Cerință: Despre o fracție $\frac{a}{b}$ se știe doar că numărătorul $a$ este cu 2 mai mare decât numitorul $b$ (adică $a = b + 2$ , cu $b \geq 1$ ). Ce tip de fracție este, indiferent de valoarea lui $b$ ?

Rezolvare: Nu cunosc numerele exacte, dar știu relația dintre ele. Dacă $a = b + 2$ , atunci numărătorul este sigur mai mare decât numitorul: $b + 2 > b$ este adevărat pentru orice $b$ . Cum numărătorul depășește mereu numitorul, fracția este întotdeauna supraunitară, oricare ar fi $b$ .

Verific cu câteva exemple: pentru $b = 1$ obțin $\frac{3}{1} = 3 > 1$ ; pentru $b = 5$ obțin $\frac{7}{5} > 1$ ; pentru $b = 100$ obțin $\frac{102}{100} > 1$ . În toate cazurile fracția este supraunitară. Vezi puterea raționamentului: am decis tipul fără să fac niciun calcul numeric, doar din comparația literelor. ✔️

Să exersăm

1. Completează spațiul: o fracție este subunitară dacă numărătorul este ______ decât numitorul.

2. Completează spațiul: o fracție este echiunitară dacă numărătorul este ______ cu numitorul.

3. Completează spațiul: o fracție este supraunitară dacă numărătorul este ______ decât numitorul.

4. Încercuiește fracțiile subunitare: $\frac{2}{3}, \frac{5}{5}, \frac{9}{4}, \frac{1}{8}, \frac{6}{6}, \frac{11}{20}$ .

5. Încercuiește fracțiile echiunitare: $\frac{8}{8}, \frac{3}{10}, \frac{15}{15}, \frac{7}{6}, \frac{100}{100}, \frac{4}{5}$ .

6. Încercuiește fracțiile supraunitare: $\frac{7}{3}, \frac{2}{9}, \frac{12}{11}, \frac{5}{5}, \frac{20}{19}, \frac{1}{2}$ .

7. Pune semnul potrivit ( $<$ , $=$ sau $>$ ) între fracție și 1: a) $\frac{3}{8} □ 1$ b) $\frac{6}{6} □ 1$ c) $\frac{9}{7} □ 1$ d) $\frac{14}{15} □ 1$

8. Adevărat sau fals? a) $\frac{99}{100}$ este supraunitară. b) $\frac{100}{100}$ este echiunitară. c) $\frac{101}{100}$ este supraunitară. d) Orice fracție echiunitară este egală cu 1.

9. Potrivește fiecare fracție cu tipul ei (scrie litera): $\frac{4}{9}$ , $\frac{9}{9}$ , $\frac{13}{9}$ . A. supraunitară B. subunitară C. echiunitară

10. Completează numitorul cu un număr natural astfel încât fracția $\frac{5}{□}$ să fie supraunitară. Dă două exemple.

11. Completează numărătorul cu un număr natural astfel încât fracția $\frac{□}{7}$ să fie echiunitară.

12. Scrie trei fracții subunitare diferite care au numitorul 10.

13. Câte valori naturale poate lua numărătorul $b$ ( $b \geq 1$ ) astfel încât $\frac{b}{9}$ să fie subunitară?

14. Ordonează după valoare, de la cea mai mică la cea mai mare: $\frac{2}{5}$ , $\frac{5}{5}$ , $\frac{8}{5}$ . (Indiciu: gândește-te la tipuri.)

15. (mică problemă) Într-o cutie încap exact 12 ouă. Bunica a strâns 12 ouă, iar vecina a strâns 17 ouă. Scrie pentru fiecare câte o fracție față de capacitatea cutiei (numitor 12) și precizează tipul.

16. (desen) Desenează un dreptunghi împărțit în 5 părți egale și colorează atâtea părți încât să reprezinte o fracție subunitară. Scrie fracția sub desen.

17. Găsește toate numerele naturale $n$ pentru care $\frac{n}{4}$ este echiunitară. Câte sunt?

18. Reia povestea de la începutul lecției: Vlad are $\frac{3}{8}$ , Ioana $\frac{8}{8}$ , Tudor $\frac{10}{8}$ dintr-un baton de ciocolată. Precizează tipul fiecărei fracții și spune cine a avut mai mult de un baton întreg.

19. (provocare) Fie fracția $\frac{a}{8}$ , cu $a$ număr natural, $1 \leq a \leq 12$ . Câte dintre aceste fracții sunt subunitare, câte echiunitare și câte supraunitare?

20. Fracția $\frac{15}{4}$ este supraunitară. Câți întregi conține și cât rămâne?

21. Scrie o fracție supraunitară cu numitorul 5 și o fracție subunitară cu același numitor 5.

22. Despre fracția $\frac{a}{a}$ (cu $a$ număr natural, $a \geq 1$ ): ce tip este, indiferent de valoarea lui $a$ ? Justifică.

23. (gândire inversă) Câte fracții de forma $\frac{a}{7}$ cu $a$ număr natural, $1 \leq a \leq 7$ , nu sunt supraunitare? (Indiciu: numără-le pe cele subunitare și pe cea echiunitară.)

Răspunsuri și explicații

1. mai mic — definiția fracției subunitare.

2. egal — definiția fracției echiunitare.

3. mai mare — definiția fracției supraunitare.

4. Subunitare: $\frac{2}{3}$ ( $2 < 3$ ), $\frac{1}{8}$ ( $1 < 8$ ), $\frac{11}{20}$ ( $11 < 20$ ). Celelalte: $\frac{5}{5}$ și $\frac{6}{6}$ sunt echiunitare, $\frac{9}{4}$ este supraunitară.

5. Echiunitare: $\frac{8}{8}$ , $\frac{15}{15}$ , $\frac{100}{100}$ (numărător = numitor). Celelalte: $\frac{3}{10}$ și $\frac{4}{5}$ subunitare, $\frac{7}{6}$ supraunitară.

6. Supraunitare: $\frac{7}{3}$ ( $7 > 3$ ), $\frac{12}{11}$ ( $12 > 11$ ), $\frac{20}{19}$ ( $20 > 19$ ). Celelalte: $\frac{2}{9}$ și $\frac{1}{2}$ subunitare, $\frac{5}{5}$ echiunitară.

7. a) $\frac{3}{8} < 1$ ( $3 < 8$ ); b) $\frac{6}{6} = 1$ ( $6 = 6$ ); c) $\frac{9}{7} > 1$ ( $9 > 7$ ); d) $\frac{14}{15} < 1$ ( $14 < 15$ ).

8. a) Fals — $99 < 100$ , deci este subunitară. b) **Adevărat** — $100 = 100$ . c) **Adevărat** — $101 > 100$ . d) Adevărat — prin definiție, o fracție echiunitară este egală cu 1.

9. $\frac{4}{9}$ → B (subunitară, $4 < 9$ ); $\frac{9}{9}$ → C (echiunitară, $9 = 9$ ); $\frac{13}{9}$ → A (supraunitară, $13 > 9$ ).

10. Trebuie ca numitorul să fie mai mic decât 5, ca numărătorul (5) să fie mai mare. Exemple: $\frac{5}{4}$ și $\frac{5}{3}$ (sau $\frac{5}{2}$ , $\frac{5}{1}$ ). Toate au $5 >$ numitor.

11. Numărătorul trebuie egal cu numitorul: $\frac{7}{7}$ . Deci $□ = 7$ .

12. Orice fracție cu numărătorul mai mic decât 10, de exemplu: $\frac{3}{10}, \frac{7}{10}, \frac{9}{10}$ (răspunsuri valabile: orice numărător de la 1 la 9).

13. Numărătorul trebuie să fie mai mic decât 9, deci $b \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ → 8 valori.

14. Folosim tipurile: $\frac{2}{5}$ subunitară ( $< 1$ ), $\frac{5}{5}$ echiunitară ( $= 1$ ), $\frac{8}{5}$ supraunitară ( $> 1$ ). Ordinea crescătoare: $\frac{2}{5} < \frac{5}{5} < \frac{8}{5}$ .

15. Bunica: $\frac{12}{12}$ → echiunitară (a umplut exact o cutie). Vecina: $\frac{17}{12}$ → supraunitară ( $17 > 12$ ): a depășit o cutie (o cutie plină plus încă 5 ouă).

16. Răspuns deschis. Exemplu corect: dreptunghi în 5 părți, 3 colorate → fracția $\frac{3}{5}$ (sau $\frac{1}{5}$ , $\frac{2}{5}$ , $\frac{4}{5}$ — orice numărător de la 1 la 4). Important: numărătorul colorat să fie mai mic decât 5.

dreptunghi împărțit în 5 părți egale, 3 colorate, cu eticheta 3/5 dedesubt

17. Echiunitară înseamnă numărător = numitor, deci $\frac{n}{4} = 1$ doar pentru $n = 4$ . Există o singură valoare: $n = 4$ .

18. Vlad: $\frac{3}{8}$ → subunitară ( $3 < 8$ ); Ioana: $\frac{8}{8}$ → echiunitară ( $8 = 8$ , exact un baton); Tudor: $\frac{10}{8}$ → supraunitară ( $10 > 8$ ). Tudor a avut mai mult de un baton întreg.

19. Pentru $\frac{a}{8}$ cu $1 \leq a \leq 12$ :

Subunitare: $a < 8$ , deci $a \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ → 7 fracții.
Echiunitare: $a = 8$ → 1 fracție.
Supraunitare: $a > 8$ , deci $a \in {9, 10, 11, 12}$ → 4 fracții.

Verificare: $7 + 1 + 4 = 12$ fracții în total, exact câte numere am avut de la 1 la 12. ✔️

20. $15 > 4$ , deci fracția este supraunitară. Câte sferturi fac un întreg? Patru, pentru că $\frac{4}{4} = 1$ . De câte ori intră 4 în 15? De 3 ori ( $3 \times 4 = 12$ ), și mai rămân $15 - 12 = 3$ sferturi. Deci $\frac{15}{4}$ înseamnă 3 întregi și $\frac{3}{4}$ .

21. Supraunitară cu numitorul 5 (numărător mai mare ca 5): de exemplu $\frac{6}{5}$ , $\frac{8}{5}$ sau $\frac{12}{5}$ . Subunitară cu numitorul 5 (numărător mai mic ca 5): de exemplu $\frac{1}{5}$ , $\frac{2}{5}$ , $\frac{3}{5}$ sau $\frac{4}{5}$ . (Răspunsuri multiple valabile.)

22. Este întotdeauna echiunitară. Numărătorul și numitorul sunt același număr $a$ , deci numărătorul este egal cu numitorul ( $a = a$ pentru orice $a$ ). Prin urmare $\frac{a}{a} = 1$ , oricare ar fi $a \geq 1$ (de exemplu $\frac{1}{1}$ , $\frac{6}{6}$ , $\frac{50}{50}$ sunt toate egale cu 1).

23. „Nu sunt supraunitare" înseamnă subunitare sau echiunitare. Subunitare: $a < 7$ , deci $a \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ → 6 fracții. Echiunitară: $a = 7$ → 1 fracție. În total $6 + 1 =$ 7 fracții nu sunt supraunitare. (Cum sunt 7 fracții cu totul, înseamnă că niciuna nu este supraunitară — corect, pentru că numărătorul nu trece niciodată de 7.)

De reținut

Subunitară: numărător mai mic decât numitor → fracția este mai mică decât 1.
Echiunitară: numărător egal cu numitor → fracția este egală cu 1.
Supraunitară: numărător mai mare decât numitor → fracția este mai mare decât 1.
Pentru a afla tipul, compară doar numărătorul cu numitorul — nu contează cât de mari sunt numerele, ci care este mai mare.
A stabili tipul unei fracții este același lucru cu a o compara cu 1.

Greșeli frecvente

„Numerele mari → fracție mare." Fals. $\frac{999}{1000}$ are numere uriașe, dar e subunitară (sub 1). Privește comparația numărător–numitor, nu mărimea cifrelor.
Confuzia dintre numărător și numitor. Numărătorul e sus, numitorul e jos. Dacă le inversezi, $\frac{8}{7}$ (supraunitară) o confunzi cu $\frac{7}{8}$ (subunitară). Verifică mereu care e sus și care e jos.
„Echiunitară înseamnă două numere la fel scrise." Atenție la sens: contează ca numărătorul să fie egal cu numitorul, indiferent de valoare — $\frac{3}{3}$ , $\frac{50}{50}$ , $\frac{200}{200}$ sunt toate echiunitare și toate egale cu 1.
Uiți cazul numitor 1. $\frac{5}{1} = 5$ este supraunitară, iar $\frac{1}{1} = 1$ este echiunitară. Regula funcționează și aici.
„Dacă numerele sunt apropiate, fracția e echiunitară." Fals. $\frac{99}{100}$ are numere lipite ca valoare, dar nu sunt egale, deci nu e echiunitară — e subunitară. Echiunitară înseamnă numărător exact egal cu numitor, nu „aproape egal".
Confunzi „supraunitară" cu „mare". O fracție supraunitară poate fi abia peste 1 (de exemplu $\frac{101}{100}$ , doar puțin peste întreg). „Supraunitară" nu înseamnă „enormă", ci doar „mai mare decât 1, fie și cu foarte puțin".

Joc acasă

1) Cursa cu zarul. Ai nevoie de două zaruri de culori diferite (sau aruncă același zar de două ori). Primul rezultat e numărătorul, al doilea e numitorul. Scrie fracția și spune tare: subunitară, echiunitară sau supraunitară. Cine ghicește corect tipul primește un punct. Jucați 10 runde. (Dacă iese numitor 0, mai aruncă o dată — la fracții numitorul nu poate fi 0.)

2) Felii de fructe. Taie un măr sau o portocală în 4 părți egale. Pune pe farfurie diferite cantități și scrie fracția corespunzătoare (de pildă 3 felii → $\frac{3}{4}$ , subunitară). Apoi adaugă felii dintr-un al doilea fruct și ajunge la $\frac{5}{4}$ — observă cum devine supraunitară când treci de un întreg.

3) Vânătoarea de fracții echiunitare. Timp de 3 minute, scrie cât mai multe fracții echiunitare poți (numărător = numitor). Provocare: găsește una cu numere de trei cifre, de exemplu $\frac{144}{144}$ . Toate sunt egale cu 1!

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează limbajul fracțiilor și pregătește compararea, ordonarea și operațiile cu fracții care urmează. Ideea centrală este simplă, dar trebuie automatizată: tipul unei fracții se citește din comparația numărător–numitor și echivalează cu poziția fracției față de 1.

Cum sprijiniți elevul:

Cereți justificarea, nu doar răspunsul. Întrebați mereu „de ce?": „ $\frac{7}{9}$ este subunitară pentru că $7 < 9$ ." Verbalizarea fixează regula.
Folosiți reprezentări concrete. Desene cu felii, bare colorate sau o axă a numerelor de la 0 la 2 ajută enorm. Punctul 1 este „granița" dintre subunitare și supraunitare.
Provocați cu numere apropiate. Perechi ca $\frac{999}{1000}$ și $\frac{1000}{999}$ arată că nu mărimea cifrelor decide, ci comparația.
Întrebări de verificare a înțelegerii: „Dă-mi o fracție subunitară cu numitorul 7." / „Poate o fracție echiunitară să fie diferită de 1?" (Nu.) / „Câte fracții $\frac{a}{5}$ subunitare există cu numărător natural?" (Patru: 1, 2, 3, 4.)
Semnal că a înțeles: clasifică instant orice fracție și explică legătura cu numărul 1 fără ezitare.

Întrebări frecvente

Ce este o fracție subunitară la clasa a 5-a? Este o fracție în care numărătorul (numărul de sus) este mai mic decât numitorul (numărul de jos). O astfel de fracție reprezintă mai puțin de un întreg, deci este mai mică decât 1. Exemplu: $\frac{3}{4}$ .

Ce este o fracție echiunitară? Este o fracție în care numărătorul este egal cu numitorul. Ea reprezintă exact un întreg, deci este egală cu 1. Exemple: $\frac{5}{5}$ , $\frac{12}{12}$ , $\frac{100}{100}$ — toate egale cu 1.

Ce este o fracție supraunitară? Este o fracție în care numărătorul este mai mare decât numitorul. Ea reprezintă mai mult de un întreg, deci este mai mare decât 1. Exemplu: $\frac{7}{4}$ , care înseamnă un întreg și încă trei sferturi.

Cum compar o fracție cu 1? Compari numărătorul cu numitorul. Dacă numărătorul e mai mic, fracția e mai mică decât 1 (subunitară); dacă sunt egale, fracția e egală cu 1 (echiunitară); dacă numărătorul e mai mare, fracția e mai mare decât 1 (supraunitară).

Fracția $\frac{99}{100}$ este subunitară sau supraunitară? Este subunitară, pentru că $99 < 100$ . Deși numerele sunt mari și fracția e foarte aproape de 1, ea rămâne mai mică decât 1.

Poate o fracție să nu fie de niciun tip dintre acestea? Nu. Orice fracție ordinară pozitivă este obligatoriu subunitară, echiunitară sau supraunitară, pentru că între numărător și numitor există exact una dintre relațiile: mai mic, egal sau mai mare.

Ce înseamnă „echi" din echiunitară? „Echi" provine din latină și înseamnă „egal" (ca în „echilibru" sau „echipă"). O fracție echiunitară este egală cu unitatea, adică egală cu 1, pentru că numărătorul este egal cu numitorul.

O fracție cu numitorul 1, de exemplu $\frac{6}{1}$ , ce tip este? Este supraunitară, deoarece $6 > 1$ , iar $\frac{6}{1} = 6$ , care este mai mare decât 1. În schimb, $\frac{1}{1} = 1$ este echiunitară.

Cum aflu câți întregi conține o fracție supraunitară? Te întrebi de câte ori intră numitorul în numărător. De exemplu, la $\frac{11}{3}$ , numitorul 3 intră în numărătorul 11 de 3 ori (pentru că $3 \times 3 = 9$ ), iar restul este $11 - 9 = 2$ . Deci $\frac{11}{3}$ înseamnă 3 întregi și încă $\frac{2}{3}$ . Vei studia mai în detaliu această transformare la lecția despre numere mixte.

Care e diferența dintre o fracție subunitară și una supraunitară? Diferența este poziția față de numărul 1. Fracția subunitară este mai mică decât 1 (numărător mai mic decât numitor), iar fracția supraunitară este mai mare decât 1 (numărător mai mare decât numitor). La mijloc, exact pe 1, stă fracția echiunitară (numărător egal cu numitor).