Aplicații ale funcției liniare în probleme din viața reală

Când comanzi un taxi și vezi pe aparat cum crește suma cu fiecare kilometru, când îți încarci cartela de telefon cu un abonament fix plus un cost pe minut, sau când urmărești cum scade nivelul de baterie al laptopului în timp ce lucrezi, folosești fără să știi o funcție liniară. În toate aceste situații există o pornire (o valoare de start) și o creștere sau o scădere constantă. În lecția de față vei învăța să traduci un enunț din viața reală în formula $f (x) = a x + b$ , să înțelegi ce înseamnă practic panta $a$ și ordonata la origine $b$ și să compari două oferte pentru a decide care este mai avantajoasă. Este exact tipul de problemă care apare tot mai des la Evaluarea Națională, pentru că verifică nu doar calculul, ci și gândirea matematică aplicată.

Ce vei învăța

Vei ști să modelezi un fenomen real printr-o funcție liniară $f (x) = a x + b$ , identificând corect valorile lui $a$ și $b$ .
Vei ști să traduci un enunț (cost, distanță, consum) în formulă și să recunoști „costul fix” și „costul pe unitate”.
Vei ști să interpretezi panta $a$ și ordonata la origine $b$ în context practic (ce reprezintă fiecare).
Vei ști să rezolvi și să interpretezi grafic probleme aplicative, citind informații de pe o dreaptă.
Vei ști să compari două oferte modelate prin funcții liniare și să decizi de la ce valoare devine una mai avantajoasă.

Hai să descoperim împreună

1. De ce funcția liniară descrie atât de multe situații reale

Îți amintești din lecția Funcția liniară f(x) = ax + b: definiție și formă generală că o funcție liniară are forma $f (x) = a x + b,$ unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixe, iar $x$ este variabila. Ceea ce face această funcție atât de utilă în viața de zi cu zi este un lucru simplu: creșterea este constantă. Cu alte cuvinte, ori de câte ori $x$ crește cu $1$ , valoarea $f (x)$ se modifică mereu cu aceeași cantitate, egală cu $a$ .

Gândește-te la un abonament de internet mobil. Plătești o sumă fixă pe lună, indiferent de cât consumi, iar peste ea se adaugă un cost pentru fiecare gigabyte suplimentar. Suma fixă nu depinde de $x$ — ea există chiar dacă nu consumi nimic. Costul pe gigabyte, în schimb, se repetă identic pentru fiecare unitate. Exact această structură — o pornire fixă plus o creștere constantă — este inima funcției liniare.

2. Cei doi „actori” ai formulei: b (pornirea) și a (ritmul)

Într-o problemă reală, cele două numere din formulă au întotdeauna un înțeles concret. Hai să le fixăm bine, pentru că aici se câștigă sau se pierd cele mai multe puncte la examen.

Ordonata la origine $b$ este valoarea funcției atunci când $x = 0$ : $f (0) = a \cdot 0 + b = b .$ În context practic, $b$ este valoarea de pornire, adică ceea ce ai sau ceea ce plătești chiar înainte ca variabila să înceapă să conteze: taxa de pornire a taxiului, abonamentul fix, suma deja economisită, temperatura inițială. Pe grafic, $b$ este punctul în care dreapta taie axa $O y$ , adică punctul $(0, b)$ . Ai studiat acest lucru în Interpretarea geometrică: panta a și ordonata la origine b.

Panta $a$ (numită și coeficient unghiular) arată cât de repede se schimbă mărimea studiată. Concret, $a$ este modificarea lui $f (x)$ atunci când $x$ crește cu o unitate:

dacă $a > 0$ , funcția crește — cu cât $x$ e mai mare, cu atât $f (x)$ e mai mare (costul urcă, distanța crește, economiile se adună);
dacă $a < 0$ , funcția scade — $f (x)$ scade pe măsură ce $x$ crește (bateria se descarcă, rezervorul se golește, datoria se micșorează);
dacă $a = 0$ , valoarea rămâne constantă (nu se mai schimbă), iar graficul este o dreaptă orizontală.

Reține analogia: $b$ îți spune de unde pornești, $a$ îți spune cât de abrupt urci sau cobori.

3. Cum traduci un enunț în formulă — rețeta în 4 pași

Când citești o problemă aplicativă, procedează mereu la fel:

Alege variabila $x$ : ce mărime „curge” sau se acumulează? (numărul de kilometri, de minute, de luni, de kilograme).
Alege mărimea rezultat $f (x)$ : ce vrei să afli? (costul total, distanța rămasă, suma economisită).
Găsește pornirea $b$ : cât este $f$ când $x = 0$ ? Aceasta este partea care există „din start”, independent de $x$ .
Găsește ritmul $a$ : cu cât se schimbă rezultatul pentru fiecare unitate de $x$ ? Dacă rezultatul crește, $a > 0$ ; dacă scade, $a < 0$ .

Apoi scrii pur și simplu $f (x) = a x + b$ înlocuind cele două numere.

Sub-exemplu. O sală de escaladă cere o taxă de intrare de $15$ lei, plus $8$ lei pentru fiecare oră petrecută pe perete. Fie $x$ numărul de ore și $f (x)$ costul total în lei.

Pornirea: chiar dacă stai $0$ ore, plătești taxa de intrare, deci $b = 15$ .
Ritmul: fiecare oră adaugă $8$ lei, deci $a = 8$ .

Formula este: $f (x) = 8 x + 15.$

Verificăm cu bun-simț: pentru $x = 3$ ore obținem $f (3) = 8 \cdot 3 + 15 = 24 + 15 = 39$ lei. Adică taxa de $15$ lei plus $3$ ore a câte $8$ lei ( $24$ lei) — corect.

4. Interpretarea grafică: dreapta care „spune o poveste”

Fiindcă graficul funcției liniare este întotdeauna o dreaptă (vezi Reprezentarea grafică a funcției liniare: graficul este o dreaptă), o problemă aplicativă poate fi „citită” direct de pe grafic:

Punctul de plecare al dreptei, pe axa $O y$ , îți dă $b$ (costul fix, suma inițială).
Înclinarea dreptei îți dă $a$ : dacă urcă spre dreapta, mărimea crește; dacă coboară, scade.
Un punct de pe dreaptă citit ca pereche $(x, f (x))$ îți spune valoarea rezultatului pentru o anumită valoare a variabilei.
Intersecția cu axa $O x$ , adică punctul unde $f (x) = 0$ , are un înțeles special: momentul în care mărimea ajunge la zero (rezervorul s-a golit, bateria s-a descărcat, datoria a fost achitată).

Această „lectură grafică” a fost antrenată în Lecturi grafice și determinarea funcției din condiții date; acum îi dăm un sens practic.

5. Un fenomen care scade: panta negativă

Nu toate mărimile cresc. Imaginează-ți rezervorul unei drujbe de $0, 5$ litri care consumă $0, 02$ litri de amestec pe minut de funcționare. Fie $x$ numărul de minute și $f (x)$ cantitatea de combustibil rămasă, în litri.

Pornirea: la $x = 0$ rezervorul e plin, deci $b = 0, 5$ .
Ritmul: în fiecare minut se pierde $0, 02$ litri, deci $a = - 0, 02$ (negativ, pentru că scade).

$f (x) = - 0, 02 x + 0, 5.$

Când se golește rezervorul? Punem $f (x) = 0$ : $- 0, 02 x + 0, 5 = 0 \Rightarrow 0, 02 x = 0, 5 \Rightarrow x = \frac{0 , 5}{0 , 02} = 25.$ Deci după $25$ de minute rezervorul este gol. Acesta este momentul în care dreapta taie axa $O x$ .

6. Compararea a două oferte — cea mai valoroasă abilitate

Multe decizii din viață se reduc la a compara două funcții liniare. Să presupunem că vrei să închiriezi o trotinetă electrică și ai două aplicații:

Aplicația A: fără taxă de deblocare, dar $1, 20$ lei pe minut. Costul: $f (x) = 1, 2 x$ .
Aplicația B: taxă de deblocare $6$ lei, apoi $0, 80$ lei pe minut. Costul: $g (x) = 0, 8 x + 6$ .

La curse scurte, A pare mai ieftină (nu are taxă). La curse lungi, B devine mai avantajoasă (are minutul mai ieftin). Întrebarea cheie: de la câte minute se schimbă câștigătorul? Punem $f (x) = g (x)$ : $1, 2 x = 0, 8 x + 6.$ Scădem $0, 8 x$ din ambele părți: $0, 4 x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{0 , 4} = 15.$ La exact $15$ minute cele două costuri sunt egale: $f (15) = 1, 2 \cdot 15 = 18$ lei și $g (15) = 0, 8 \cdot 15 + 6 = 12 + 6 = 18$ lei. Grafic, acesta este punctul de intersecție al celor două drepte.

Interpretare: pentru curse mai scurte de $15$ minute, aplicația A e mai ieftină; pentru curse mai lungi de $15$ minute, aplicația B e mai avantajoasă. Această comparație folosește exact ideea de inecuație pe care ai învățat-o la Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor: dacă vrem $g (x) < f (x)$ , rezolvăm $0, 8 x + 6 < 1, 2 x$ , adică $6 < 0, 4 x$ , deci $x > 15$ .

7. Atenție la domeniul realist al problemei

Într-o problemă din viața reală, variabila $x$ nu poate lua orice valoare. Numărul de minute, de kilometri sau de bilete nu poate fi negativ, iar uneori nici prea mare (rezervorul nu poate da mai mult combustibil decât are). De aceea, chiar dacă formula $f (x) = a x + b$ are sens matematic pentru orice $x$ real, în context practic lucrăm doar pe partea care are înțeles: de obicei $x \geq 0$ . La examen este bine să menționezi acest lucru atunci când problema o cere — de pildă „soluția $x = 25$ este acceptabilă pentru că reprezintă un număr pozitiv de minute”.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Modelarea unui cost de livrare

Un magazin online percepe un cost fix de $19$ lei pentru livrare, la care adaugă $3$ lei pentru fiecare kilogram al coletului. Scrie funcția care exprimă costul total al livrării în funcție de masa coletului și calculează costul pentru un colet de $7$ kg.

Rezolvare. Fie $x$ masa coletului în kilograme și $f (x)$ costul total în lei.

Costul fix (există chiar la $x = 0$ ): $b = 19$ .
Costul pe kilogram (ritmul): $a = 3$ .

Funcția este: $f (x) = 3 x + 19.$ Pentru $x = 7$ : $f (7) = 3 \cdot 7 + 19 = 21 + 19 = 40 lei .$ Răspuns: funcția este $f (x) = 3 x + 19$ , iar livrarea unui colet de $7$ kg costă $40$ lei.

Exemplul 2 — Interpretarea pantei și a ordonatei la origine

O funcție care descrie temperatura apei dintr-un ceainic electric este $f (x) = 12 x + 20$ , unde $x$ este timpul în minute, iar $f (x)$ este temperatura în grade Celsius. Interpretează valorile $a = 12$ și $b = 20$ și află după cât timp apa ajunge la $8 0^{\circ} C$ .

Rezolvare.

$b = 20$ înseamnă că la momentul pornirii ( $x = 0$ ) apa avea $2 0^{\circ} C$ (temperatura camerei).
$a = 12$ înseamnă că temperatura crește cu $1 2^{\circ} C$ în fiecare minut.

Pentru a afla când apa are $8 0^{\circ} C$ , rezolvăm $f (x) = 80$ : $12 x + 20 = 80 \Rightarrow 12 x = 60 \Rightarrow x = 5.$ Răspuns: apa pornește de la $2 0^{\circ} C$ , se încălzește cu $1 2^{\circ} C$ /minut și ajunge la $8 0^{\circ} C$ după $5$ minute.

Exemplul 3 — Economii lunare (fenomen crescător)

Ana are deja $150$ de lei în pușculiță și decide să economisească în fiecare lună câte $40$ de lei. Scrie funcția care dă suma economisită după $x$ luni, apoi află după câte luni ajunge la $550$ de lei.

Rezolvare. Fie $x$ numărul de luni și $S (x)$ suma totală, în lei.

Suma de pornire: $b = 150$ .
Adaosul lunar: $a = 40$ .

$S (x) = 40 x + 150.$ Punem condiția $S (x) = 550$ : $40 x + 150 = 550 \Rightarrow 40 x = 400 \Rightarrow x = 10.$ Răspuns: $S (x) = 40 x + 150$ ; Ana ajunge la $550$ de lei după $10$ luni.

Exemplul 4 — Distanța rămasă până la destinație (fenomen descrescător)

Un autocar pleacă dintr-un oraș aflat la $360$ km de destinație și circulă constant cu $90$ km/h. Scrie funcția care exprimă distanța rămasă până la destinație după $x$ ore și află după cât timp ajunge.

Rezolvare. Fie $x$ timpul în ore și $d (x)$ distanța rămasă, în kilometri.

La plecare ( $x = 0$ ) mai are de parcurs toată distanța: $b = 360$ .
În fiecare oră parcurge $90$ km, deci distanța rămasă scade cu $90$ : $a = - 90$ .

$d (x) = - 90 x + 360.$ Autocarul ajunge când distanța rămasă este $0$ : $- 90 x + 360 = 0 \Rightarrow 90 x = 360 \Rightarrow x = 4.$ Răspuns: $d (x) = - 90 x + 360$ ; autocarul ajunge la destinație după $4$ ore.

Exemplul 5 — Compararea a două abonamente (item tip Evaluare Națională)

Pentru o sală de fitness există două oferte. Oferta I: $30$ de lei pe lună abonament, plus $10$ lei pentru fiecare intrare. Oferta II: $90$ de lei pe lună abonament, cu intrări nelimitate ( $0$ lei pe intrare). Scrie funcțiile de cost pentru $x$ intrări pe lună și stabilește de la câte intrări devine mai avantajoasă Oferta II.

Rezolvare. Fie $x$ numărul de intrări într-o lună.

Oferta I: $f (x) = 10 x + 30$ .
Oferta II: $g (x) = 90$ (constantă; nu depinde de numărul de intrări, deci $a = 0$ ).

Aflăm când costurile sunt egale, $f (x) = g (x)$ : $10 x + 30 = 90 \Rightarrow 10 x = 60 \Rightarrow x = 6.$ La $6$ intrări ambele oferte costă $90$ de lei. Verificăm care e mai ieftină în rest: pentru $x > 6$ avem $f (x) = 10 x + 30 > 90$ , deci Oferta II (fixă la $90$ ) devine mai avantajoasă.

Răspuns: $f (x) = 10 x + 30$ și $g (x) = 90$ ; Oferta II este mai avantajoasă începând de la $7$ intrări pe lună (la exact $6$ intrări costurile sunt egale).

Exemplul 6 — Determinarea funcției din două informații

Un instalator percepe o taxă fixă de deplasare plus un tarif orar. Pentru o lucrare de $2$ ore a cerut $170$ de lei, iar pentru una de $5$ ore a cerut $350$ de lei. Scrie funcția de cost $f (x) = a x + b$ și află cât ar costa o lucrare de $8$ ore.

Rezolvare. Notăm cu $x$ numărul de ore și $f (x)$ costul. Din datele problemei: $f (2) = 170 \Rightarrow 2 a + b = 170,$ $f (5) = 350 \Rightarrow 5 a + b = 350.$ Scădem prima relație din a doua ca să eliminăm $b$ : $(5 a + b) - (2 a + b) = 350 - 170 \Rightarrow 3 a = 180 \Rightarrow a = 60.$ Înlocuim în prima relație: $2 \cdot 60 + b = 170 \Rightarrow 120 + b = 170 \Rightarrow b = 50.$ Deci $f (x) = 60 x + 50$ (tarif orar $60$ lei, taxă de deplasare $50$ lei). Pentru $8$ ore: $f (8) = 60 \cdot 8 + 50 = 480 + 50 = 530 lei .$ Răspuns: $f (x) = 60 x + 50$ ; o lucrare de $8$ ore costă $530$ de lei.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, scriind de fiecare dată clar ce reprezintă $x$ , $f (x)$ , $a$ și $b$ .

1. Un taxi percepe o taxă de pornire de $4$ lei și $2, 5$ lei pe kilometru. Scrie funcția de cost $f (x)$ pentru o cursă de $x$ kilometri.

2. Pentru funcția de la exercițiul 1, calculează costul unei curse de $12$ km.

3. O funcție de consum este $f (x) = 6 x + 25$ (lei). Ce reprezintă în context $a = 6$ și $b = 25$ ?

4. Un rezervor conține $50$ de litri de apă și se golește cu $4$ litri pe minut printr-un robinet. Scrie funcția care dă cantitatea rămasă după $x$ minute.

5. Folosind funcția de la exercițiul 4, află după câte minute rezervorul rămâne gol.

6. Un abonament de streaming costă $28$ de lei pe lună, indiferent de câte filme vezi. Scrie funcția de cost pentru $x$ filme vizionate într-o lună. Cât este panta?

7. (Adevărat/Fals cu motivare) „În funcția $f (x) = - 5 x + 40$ care descrie nivelul bateriei (%), bateria crește pe măsură ce trece timpul.” Decide dacă afirmația este adevărată sau falsă și motivează.

8. Maria are $80$ de lei și cheltuiește $12$ lei în fiecare zi. Scrie funcția care dă suma rămasă după $x$ zile și află după câte zile rămâne fără bani.

9. O firmă de curierat oferă: Oferta A — $15$ lei fix + $2$ lei/kg; Oferta B — $5$ lei fix + $4$ lei/kg. Scrie cele două funcții de cost.

10. Pentru ofertele de la exercițiul 9, află pentru ce masă a coletului costurile sunt egale.

11. Folosind exercițiul 9, spune ce ofertă e mai avantajoasă pentru un colet de $3$ kg și care pentru unul de $10$ kg. Justifică prin calcul.

12. Determină funcția liniară $f (x) = a x + b$ știind că $f (1) = 7$ și $f (4) = 19$ .

13. Un bazin de înot se umple cu o pompă. După $2$ ore conține $1400$ de litri, iar după $5$ ore conține $2600$ de litri. Presupunând umplere constantă, scrie funcția și află câtă apă era în bazin la început (la $x = 0$ ).

14. (Item tip Evaluare Națională) Costul producerii a $x$ tricouri într-un atelier este $C (x) = 8 x + 300$ (lei), iar fiecare tricou se vinde cu $20$ de lei, deci venitul este $V (x) = 20 x$ . Află numărul minim de tricouri pentru care venitul acoperă costul (adică $V (x) \geq C (x)$ ).

15. O lumânare are înălțimea de $18$ cm și se consumă cu $1, 5$ cm pe oră. Scrie funcția înălțimii rămase după $x$ ore și află înălțimea după $6$ ore.

16. (Lectură grafică) Graficul unei funcții liniare care exprimă costul (lei) în funcție de numărul de bilete taie axa $O y$ în punctul $(0, 10)$ și trece prin punctul $(4, 30)$ . Determină funcția $f (x) = a x + b$ .

17. Doi frați pornesc pe biciclete din același loc. Andrei pleacă primul și are deja $6$ km avans, apoi merge cu $12$ km/h; Bogdan pleacă din același punct cu $18$ km/h. Scrie funcțiile distanței parcurse de fiecare după $x$ ore (măsurate de când pleacă Bogdan) și află după cât timp îl ajunge Bogdan pe Andrei.

18. (Problemă de sinteză) O firmă de telefonie oferă: Planul Standard — $20$ de lei abonament + $0, 10$ lei/minut; Planul Nelimitat — $45$ de lei, cu minute nelimitate. Scrie funcțiile de cost, află de la câte minute Planul Nelimitat devine mai avantajos și interpretează rezultatul.

Răspunsuri și explicații

1. $f (x) = 2, 5 x + 4$ . Taxa de pornire este $b = 4$ , iar costul pe kilometru este $a = 2, 5$ .

2. $f (12) = 2, 5 \cdot 12 + 4 = 30 + 4 = 34$ lei.

3. $a = 6$ înseamnă că valoarea crește cu $6$ lei pentru fiecare unitate a lui $x$ (costul pe unitate), iar $b = 25$ este costul fix, care există și atunci când $x = 0$ .

4. $f (x) = - 4 x + 50$ . Pornirea este $b = 50$ litri, iar $a = - 4$ (scade cu $4$ litri pe minut, de aceea semnul minus).

5. Punem $f (x) = 0$ : $- 4 x + 50 = 0 \Rightarrow 4 x = 50 \Rightarrow x = 12, 5$ . Rezervorul este gol după $12, 5$ minute.

6. $f (x) = 28$ (funcție constantă, deci $a = 0$ și $b = 28$ ). Costul nu depinde de numărul de filme; panta este $0$ .

7. Fals. Panta este $a = - 5 < 0$ , deci funcția este descrescătoare: nivelul bateriei scade cu $5%$ pe unitate de timp. La $x = 0$ bateria e la $40%$ și tot scade, nu crește.

8. $f (x) = - 12 x + 80$ . Rămâne fără bani când $f (x) = 0$ : $- 12 x + 80 = 0 \Rightarrow 12 x = 80 \Rightarrow x = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6, 67$ zile. Practic, în a $7$ -a zi banii nu îi mai ajung pentru încă o cheltuială completă de $12$ lei (după $6$ zile mai are $80 - 72 = 8$ lei).

9. Oferta A: $f (x) = 2 x + 15$ ; Oferta B: $g (x) = 4 x + 5$ .

10. $f (x) = g (x)$ : $2 x + 15 = 4 x + 5 \Rightarrow 15 - 5 = 4 x - 2 x \Rightarrow 10 = 2 x \Rightarrow x = 5$ kg. La $5$ kg ambele costă $2 \cdot 5 + 15 = 25$ lei.

11. Pentru $3$ kg: $f (3) = 2 \cdot 3 + 15 = 21$ lei, $g (3) = 4 \cdot 3 + 5 = 17$ lei — mai avantajoasă Oferta B. Pentru $10$ kg: $f (10) = 2 \cdot 10 + 15 = 35$ lei, $g (10) = 4 \cdot 10 + 5 = 45$ lei — mai avantajoasă Oferta A. Concluzie: sub $5$ kg convine B, peste $5$ kg convine A.

12. Din $f (1) = 7$ : $a + b = 7$ . Din $f (4) = 19$ : $4 a + b = 19$ . Scădem: $3 a = 12 \Rightarrow a = 4$ ; apoi $b = 7 - 4 = 3$ . Deci $f (x) = 4 x + 3$ .

13. Din $f (2) = 1400$ și $f (5) = 2600$ : $5 a + b - (2 a + b) = 2600 - 1400 \Rightarrow 3 a = 1200 \Rightarrow a = 400$ . Apoi $2 \cdot 400 + b = 1400 \Rightarrow b = 1400 - 800 = 600$ . Funcția este $f (x) = 400 x + 600$ ; la început ( $x = 0$ ) în bazin erau $b = 600$ litri.

14. Rezolvăm $V (x) \geq C (x)$ : $20 x \geq 8 x + 300 \Rightarrow 12 x \geq 300 \Rightarrow x \geq 25$ . Numărul minim este $25$ de tricouri (la $25$ : venit $500$ lei = cost $8 \cdot 25 + 300 = 500$ lei).

15. $f (x) = - 1, 5 x + 18$ . După $6$ ore: $f (6) = - 1, 5 \cdot 6 + 18 = - 9 + 18 = 9$ cm.

16. Taie $O y$ în $(0, 10)$ , deci $b = 10$ . Din $(4, 30)$ : $f (4) = 30 \Rightarrow 4 a + 10 = 30 \Rightarrow 4 a = 20 \Rightarrow a = 5$ . Funcția este $f (x) = 5 x + 10$ .

17. Andrei: $f (x) = 12 x + 6$ (are $6$ km avans, apoi $12$ km/h). Bogdan: $g (x) = 18 x$ . Bogdan îl ajunge când $g (x) = f (x)$ : $18 x = 12 x + 6 \Rightarrow 6 x = 6 \Rightarrow x = 1$ oră. Verificare: la $x = 1$ , ambii sunt la $18$ km.

18. Standard: $f (x) = 0, 1 x + 20$ ; Nelimitat: $g (x) = 45$ . Egalitate: $0, 1 x + 20 = 45 \Rightarrow 0, 1 x = 25 \Rightarrow x = 250$ minute. Pentru $x > 250$ de minute, $f (x) > 45$ , deci Planul Nelimitat devine mai avantajos începând de la $251$ de minute pe lună (la exact $250$ de minute costurile sunt egale, câte $45$ de lei). Interpretare: dacă vorbești mult (peste ~ $4$ ore lunar), abonamentul fix e mai ieftin.

De reținut

O funcție liniară $f (x) = a x + b$ modelează orice fenomen cu o valoare de pornire și o creștere sau scădere constantă.
Ordonata la origine $b = f (0)$ este valoarea de start (cost fix, sumă inițială); pe grafic e punctul $(0, b)$ în care dreapta taie axa $O y$ .
Panta $a$ este ritmul de schimbare pentru fiecare unitate de $x$ : $a > 0$ crește, $a < 0$ scade, $a = 0$ constant.
Momentul în care mărimea ajunge la zero se află rezolvând $f (x) = 0$ (intersecția cu axa $O x$ ).
Pentru a compara două oferte $f (x)$ și $g (x)$ , rezolvi $f (x) = g (x)$ : soluția este „punctul de echilibru”, iar de o parte și de alta a lui una dintre oferte devine mai avantajoasă.

Greșeli frecvente

Confuzia dintre $a$ și $b$ . Mulți elevi pun costul fix ca pantă sau invers. Reține: partea care nu depinde de $x$ este $b$ ; partea care se înmulțește cu $x$ este $a$ .
Uitarea semnului minus la fenomenele care scad. Când o mărime se micșorează (baterie, rezervor, distanță rămasă), panta este negativă. A scrie $f (x) = 4 x + 50$ în loc de $f (x) = - 4 x + 50$ inversează complet povestea.
Răspuns fără interpretare. La compararea ofertelor nu e suficient să afli $x$ din $f (x) = g (x)$ ; trebuie să spui clar care ofertă e mai bună înainte și după acel punct, testând o valoare de fiecare parte.
Ignorarea sensului real al variabilei. Un rezultat ca $x = - 3$ minute sau $x = 6, 67$ zile trebuie interpretat în context (numărul de zile întregi, valoare pozitivă), nu lăsat „gol”.

Aplică acasă

Descoperă funcția taxiului sau a livrării. Alege o aplicație reală de transport sau de livrare de mâncare din orașul tău. Notează taxa fixă și costul pe kilometru (sau pe minut), scrie funcția $f (x) = a x + b$ și calculează cât ar costa trei curse de lungimi diferite. Compară predicția ta cu estimarea din aplicație.
Bugetul tău de o lună. Notează câți bani ai acum și cât cheltuiești în medie pe zi. Scrie funcția sumei rămase $S (x) = - c x + S_{0}$ și calculează după câte zile ai rămâne fără bani dacă nu adaugi nimic. Discută cu părinții cum s-ar schimba panta dacă ai economisi $5$ lei pe zi.
Două oferte, o decizie. Găsește două abonamente reale (telefon, transport, sală, streaming), scrie funcțiile lor de cost și află de la ce nivel de folosire una devine mai avantajoasă. Trasează cele două drepte pe hârtie milimetrică și marchează punctul de intersecție.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este cea care „leagă” matematica de viața reală și, de aceea, este foarte motivantă pentru elevi. Pentru a sprijini copilul, porniți de la situații concrete din casă: factura de curent, abonamentul de telefon, costul unei ieșiri. Cereți-i să identifice, în fiecare caz, partea fixă (ordonata la origine $b$ ) și partea care crește cu folosirea (panta $a$ ) — aceasta este esența modelării.

Câteva întrebări de verificare utile: „Ce reprezintă aici $b$ ?”, „Ce se întâmplă cu costul dacă $x$ crește cu $1$ ?”, „Panta este pozitivă sau negativă și de ce?”, „De la ce valoare devine cealaltă ofertă mai bună?”. Dacă elevul poate explica în cuvinte ce înseamnă $a$ și $b$ într-o problemă nouă, a înțeles cu adevărat; dacă doar înlocuiește numere fără sens, mai are nevoie de exersare pe context.

La Evaluarea Națională, funcția liniară aplicată apare frecvent atât la Subiectul II (probleme cu cost, distanță, comparație de oferte, determinarea funcției din condiții), cât și la itemi care cer interpretarea unui grafic. Punctajul se acordă pas cu pas, deci încurajați redactarea îngrijită: notarea a ceea ce reprezintă $x$ și $f (x)$ , scrierea explicită a formulei, calculul și, foarte important, fraza de interpretare a rezultatului. Recomandăm și recapitularea din lecția Recapitulare: funcția liniară f(x)=ax+b și graficul ei.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama cine este $a$ și cine este $b$ într-o problemă? $b$ este valoarea care există chiar și atunci când $x = 0$ (taxa fixă, suma inițială), iar $a$ este cât se schimbă rezultatul pentru fiecare unitate de $x$ . Un truc: caută în enunț cuvintele „fix”, „de pornire”, „inițial” (acela e $b$ ) și „pe kilometru”, „pe minut”, „pe lună”, „pe bucată” (acela e $a$ ).

Ce înseamnă când panta $a$ este negativă într-o problemă reală? Înseamnă că mărimea studiată scade pe măsură ce $x$ crește: se descarcă bateria, se golește rezervorul, scade distanța rămasă sau suma de bani. Cu cât $∣ a ∣$ este mai mare, cu atât scăderea este mai rapidă.

Cum compar corect două oferte modelate cu funcții liniare? Scrie funcția de cost a fiecărei oferte, apoi rezolvă ecuația $f (x) = g (x)$ pentru a găsi punctul în care costurile sunt egale. Testează apoi o valoare mai mică și una mai mare decât acest punct ca să vezi care ofertă e mai ieftină în fiecare zonă.

De ce spunem că graficul „taie axa $O x$ ” acolo unde $f (x) = 0$ ? Pe axa $O x$ toate punctele au a doua coordonată egală cu $0$ , adică $f (x) = 0$ . În context practic, acest punct arată momentul în care mărimea ajunge la zero: rezervorul e gol, datoria e achitată, bateria e descărcată.

Poate $x$ să fie orice număr într-o problemă din viața reală? Nu întotdeauna. Deși formula $f (x) = a x + b$ are sens matematic pentru orice număr real, în probleme practice $x$ reprezintă de obicei o mărime pozitivă (minute, kilometri, luni), deci lucrăm cu $x \geq 0$ și interpretăm doar valorile care au înțeles.

Cum aflu funcția dacă în problemă am doar două perechi de valori? Scrii cele două condiții sub forma $f (x_{1}) = y_{1}$ și $f (x_{2}) = y_{2}$ , obținând două relații cu $a$ și $b$ . Scazi relațiile pentru a-l elimina pe $b$ și a-l afla pe $a$ , apoi înlocuiești pentru a găsi $b$ (metoda apare în Exemplul 6).

Ce tip de probleme cu funcția liniară pică la Evaluarea Națională? Cele mai frecvente sunt: modelarea unui cost sau consum, determinarea funcției din condiții date, calculul valorii funcției într-un punct, aflarea intersecției cu axele și compararea a două scenarii (oferte, viteze, planuri de abonament). De obicei se cere și interpretarea rezultatului în context, nu doar numărul.

Este funcția constantă $f (x) = 28$ tot o funcție liniară? Da. Este cazul $a = 0$ , deci $f (x) = 0 \cdot x + 28$ . Graficul ei este o dreaptă orizontală, iar în probleme apare când costul nu depinde de folosire (de exemplu, un abonament „nelimitat” la preț fix).