Înmulțirea fracțiilor. Puterea unei fracții

Ai învățat deja să aduni și să scazi fracții, iar acolo a trebuit să fii atent la numitorul comun. Vestea bună de astăzi este că înmulțirea fracțiilor este, de fapt, cea mai simplă operație dintre toate: nu mai ai nevoie de numitor comun, nu mai cauți cel mai mic multiplu comun. Înmulțești pur și simplu numărător cu numărător și numitor cu numitor. La final vei descoperi și un mic truc al matematicii: ce înseamnă să ridici o fracție la o putere. Hai să pornim cu pași mărunți și siguri.

Ce vei învăța

• Vei ști să înmulțești două fracții după regula „numărător cu numărător, numitor cu numitor".
• Vei ști să înmulțești trei sau mai multe fracții deodată.
• Vei ști să simplifici înainte de înmulțire, ca să lucrezi cu numere mici și să nu greșești.
• Vei ști să înmulțești o fracție cu un număr natural.
• Vei ști să ridici o fracție la o putere cu exponent număr natural.
• Vei ști să folosești comutativitatea și asociativitatea ca să calculezi mai rapid.

Hai să descoperim împreună

1. O reamintire scurtă: ce este o fracție

O fracție ordinară, de exemplu $\frac{3}{4}$, are un numărător (numărul de sus, aici 3) și un numitor (numărul de jos, aici 4). Numitorul ne spune în câte părți egale am împărțit întregul, iar numărătorul ne spune câte dintre acele părți luăm. Dacă ai uitat aceste denumiri, poți reciti lecția despre fracția ordinară: numărător, numitor, linie de fracție.

2. Ce înseamnă să înmulțești cu o fracție

Înainte de regulă, hai să înțelegem ce se întâmplă când înmulțim. La numerele naturale, „de 3 ori" înseamnă o mărire. La fracții subunitare (mai mici decât 1), înmulțirea înseamnă de obicei o micșorare, pentru că luăm „o parte din ceva".

Gândește-te așa: cuvântul „din" se traduce în matematică prin înmulțire.

• „Jumătate din o pizza" înseamnă $\frac{1}{2}$ de pizza.
• „Jumătate din jumătate de pizza" înseamnă $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$.

Câtă pizza este o jumătate dintr-o jumătate? Dacă tai jumătatea de pizza încă o dată pe din două, obții un sfert.

Hai să mai facem un exemplu de acest tip, ca să se așeze ideea. Cât face „o treime din jumătate"? Iei o jumătate de ciocolată și o împarți în trei părți egale; o astfel de parte este o șesime din ciocolata întreagă. Deci $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$. Și aici regula se confirmă: $1\cdot 1=1$ sus, $3\cdot 2=6$ jos. Vezi cât de des apare cuvântul „din" în viața de zi cu zi? „Un sfert din clasă", „jumătate din bani", „două treimi din drum" — toate sunt înmulțiri de fracții care te așteaptă.

Deci $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Observă: $1\cdot 1=1$ (numărătorii) și $2\cdot 2=4$ (numitorii). De aici vine regula.

3. Regula de aur a înmulțirii fracțiilor

Regulă. Pentru a înmulți două fracții, înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei: $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$ (unde $b\ne 0$ și $d\ne 0$, fiindcă numitorul nu poate fi niciodată zero).

Atât! Nu trebuie numitor comun. Iată un exemplu liniștitor:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}=\frac{8}{15}.$$

Imaginea de mai sus arată de ce merge regula: dreptunghiul are $3\cdot 5=15$ căsuțe egale, iar zona pe care o „luăm" are $2\cdot 4=8$ căsuțe. Frumos, nu?

4. Pașii pe care îi urmezi de fiecare dată

1. Scrie produsul numărătorilor sus și produsul numitorilor jos.
2. Simplifică dacă se poate (vom vedea imediat cum).
3. Calculează numărătorul și numitorul.
4. Verifică dacă fracția obținută este ireductibilă (nu se mai poate simplifica).

5. Înmulțirea unei fracții cu un număr natural

Orice număr natural poate fi scris ca o fracție cu numitorul 1. De exemplu, $7=\frac{7}{1}$. Așa că regula rămâne aceeași:

$$5\cdot \frac{2}{3}=\frac{5}{1}\cdot \frac{2}{3}=\frac{5\cdot 2}{1\cdot 3}=\frac{10}{3}.$$

Pe scurt: numărul natural se înmulțește doar cu numărătorul, iar numitorul rămâne neschimbat. Practic, $5\cdot \frac{2}{3}=\frac{5\cdot 2}{3}=\frac{10}{3}$.

Are sens și intuitiv: $\frac{2}{3}$ luat de $5$ ori înseamnă $\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}$, adică $5$ porții de câte două treimi, deci $\frac{10}{3}$. Înmulțirea cu un număr natural este doar o adunare repetată, exact ca la numerele întregi. Iată și un exemplu cu simplificare: $8\cdot \frac{3}{4}=\frac{8\cdot 3}{4}=\frac{24}{4}=6$. Aici, după înmulțire, fracția devine chiar un număr natural, pentru că numitorul $4$ se cuprinde exact în numărător. Poți simplifica și înainte: $8$ cu $4$ se împart la $4$, deci $\frac{8}{4}=2$, iar $2\cdot 3=6$.

6. Simplificarea înainte de înmulțire — trucul care îți ușurează viața

Imaginează-ți că ai de calculat $\frac{8}{9}\cdot \frac{3}{4}$. Dacă înmulțești orbește, obții $\frac{24}{36}$ și apoi trebuie să simplifici un număr mare. Mai inteligent este să simplifici înainte, „în cruce" sau pe verticală, adică să tai un numărător cu un numitor care au un divizor comun.

• $8$ (sus) și $4$ (jos) se împart amândoi la $4$: $8:4=2$ și $4:4=1$.
• $3$ (sus) și $9$ (jos) se împart amândoi la $3$: $3:3=1$ și $9:3=3$.

$$\frac{8}{9}\cdot \frac{3}{4}=\frac{\stackrel{2}{\cancel{8}}}{\underset{3}{\cancel{9}}}\cdot \frac{\stackrel{1}{\cancel{3}}}{\underset{1}{\cancel{4}}}=\frac{2\cdot 1}{3\cdot 1}=\frac{2}{3}.$$

De ce avem voie să facem asta? Pentru că la înmulțirea fracțiilor toți numărătorii se înmulțesc între ei și toți numitorii între ei. Putem împărți un numărător și un numitor (oricare, nu neapărat de pe aceeași fracție) la același număr, exact ca atunci când simplificăm o singură fracție. Dacă vrei să-ți reîmprospătezi memoria despre simplificare, vezi lecția amplificarea, simplificarea și fracții ireductibile.

Atenție: simplifici doar un numărător cu un numitor (de sus cu de jos). Nu ai voie să simplifici doi numărători între ei sau doi numitori între ei la înmulțire.

O imagine ca să nu uiți niciodată: gândește-te la o linie de fracție lungă, care cuprinde tot produsul. Sus stau toți numărătorii, jos stau toți numitorii, toți „la grămadă". Orice număr de sus se poate simplifica cu orice număr de jos. Asta îți dă o libertate frumoasă: nu contează din care fracție iei numărătorul și din care iei numitorul, atâta timp cât unul e de sus și altul e de jos.

$$\frac{8}{9}\cdot \frac{3}{4}=\frac{8\cdot 3}{9\cdot 4}.$$

Aici poți tăia $8$ cu $4$, dar și $3$ cu $9$, deși ele vin din fracții diferite. De aceea, când ai mai multe fracții, e bine să te uiți la întreaga „grămadă" de sus și la cea de jos și să cauți toate perechile care au divizori comuni. Cu cât simplifici mai mult înainte, cu atât numerele rămase de înmulțit sunt mai mici și mai prietenoase.

Cum găsești ce să simplifici? Te uiți, pe rând, la fiecare numărător și cauți un numitor cu care „are ceva în comun" (un divizor comun mai mare ca 1). De obicei e suficient să verifici cu numerele mici: se împart amândouă la 2? la 3? la 5? Dacă da, le împarți și scrii numerele mai mici deasupra, respectiv dedesubt.

7. Înmulțirea mai multor fracții

Regula se extinde firesc. Pentru trei fracții:

$$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\cdot \frac{e}{f}=\frac{a\cdot c\cdot e}{b\cdot d\cdot f}.$$

Sfatul de aur: simplifică tot ce poți înainte de a face produsele, fiindcă acum ai și mai multe perechi de „tăiat".

Hai să vedem cum arată asta în practică pe $\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{6}{5}$. Privește întreaga „grămadă": sus stau $4,3,6$, iar jos stau $9,8,5$. Caut perechi sus–jos cu divizor comun. Tai $4$ (sus) cu $8$ (jos) la $4$: rămân $1$ și $2$. Tai $3$ (sus) cu $9$ (jos) la $3$: rămân $1$ și $3$. Tai $6$ (sus) cu $2$ (jos, cel rămas de la $8$) la $2$: rămân $3$ și $1$. Acum produsul a devenit $\frac{1\cdot 1\cdot 3}{3\cdot 1\cdot 5}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$. Dacă aș fi înmulțit orbește, aș fi avut de calculat $\frac{72}{360}$ și de simplificat un număr uriaș. Vezi cât de mult muncă îți economisește obiceiul de a tăia perechile înainte? Cu cât sunt mai multe fracții, cu atât trucul devine mai valoros.

8. Proprietățile înmulțirii fracțiilor

Înmulțirea fracțiilor se poartă la fel de frumos ca înmulțirea numerelor naturale, pe care ai studiat-o în lecția înmulțirea numerelor naturale și proprietățile ei.

• Comutativitate: ordinea nu contează. $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot \frac{a}{b}.$$ De exemplu, $\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{7}=\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{35}$.

• Asociativitate: poți grupa cum vrei. $$\left(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\right)\cdot \frac{e}{f}=\frac{a}{b}\cdot \left(\frac{c}{d}\cdot \frac{e}{f}\right).$$

• Element neutru: înmulțirea cu $1$ (adică cu $\frac{1}{1}$) nu schimbă fracția: $\frac{a}{b}\cdot 1=\frac{a}{b}$.

Comutativitatea și asociativitatea îți dau libertatea să rearanjezi fracțiile ca să simplifici cât mai ușor. Le aplici „pe ascuns" de fiecare dată când alegi ce perechi tai întâi.

Un exemplu în care aceste proprietăți îți salvează timpul: $\frac{3}{8}\cdot \frac{5}{7}\cdot \frac{8}{3}$. Dacă observi că $\frac{3}{8}$ și $\frac{8}{3}$ sunt „răsturnate" una față de alta, le poți grupa: $\frac{3}{8}\cdot \frac{8}{3}=1$, iar produsul devine pur și simplu $\frac{5}{7}$. Fără comutativitate și asociativitate nu ai fi avut voie să le muți alături. Vei folosi des acest mic truc.

Mai există o proprietate utilă, distributivitatea înmulțirii față de adunare, pe care o cunoști de la numere naturale: $\frac{a}{b}\cdot \left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+\frac{a}{b}\cdot \frac{e}{f}$. Nu insistăm acum pe ea, dar e bine să știi că funcționează la fel și la fracții.

9. Puterea unei fracții

Îți amintești ce înseamnă o putere? Din lecția puterea cu exponent natural știi că $a^n$ înseamnă „$a$ înmulțit cu el însuși de $n$ ori". Exact același lucru se întâmplă și la fracții: o fracție ridicată la o putere înseamnă acea fracție înmulțită cu ea însăși de atâtea ori cât arată exponentul.

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}.$$

Observă ce s-a întâmplat: și numărătorul, și numitorul s-au ridicat la putere. De aici regula:

Regulă. Pentru a ridica o fracție la o putere cu exponent natural, ridicăm la acea putere atât numărătorul, cât și numitorul: $${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}.$$

Câteva exemple ca să prinzi tiparul:

$${\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{3^2}{5^2}=\frac{9}{25},{\left(\frac{2}{7}\right)}^3=\frac{2^3}{7^3}=\frac{8}{343}.$$

Cazuri speciale utile (la fel ca la numere naturale):

• Orice fracție la puterea $1$ rămâne ea însăși: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^1=\frac{a}{b}$.
• Orice fracție (nenulă) la puterea $0$ este egală cu $1$: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^0=1$.

10. Atenție la paranteză!

Există o diferență importantă între ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ și $\frac{2}{3^2}$.

• ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$ — se ridică tot, și sus, și jos.
• $\frac{2}{3^2}=\frac{2}{9}$ — se ridică doar numitorul.

Paranteza îți spune că întreaga fracție se ridică la putere. Fii mereu atent unde stă exponentul!

11. O observație drăguță: puterile fracțiilor subunitare scad

Ai văzut la numerele naturale că puterile cresc repede: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, tot mai mari. La o fracție subunitară (mai mică decât 1) se întâmplă invers — puterile devin tot mai mici:

$$\frac{1}{2}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^2>{\left(\frac{1}{2}\right)}^3,\text{adica˘}\frac{1}{2}>\frac{1}{4}>\frac{1}{8}.$$

Are sens: de fiecare dată iei „jumătate din ce aveai", deci rezultatul se micșorează. Această idee îți va fi de folos mai târziu, când vei compara fracții și puteri. În schimb, la o fracție supraunitară (mai mare decât 1, de exemplu $\frac{3}{2}$), puterile cresc, exact ca la numerele naturale: $\frac{3}{2},\frac{9}{4},\frac{27}{8},\dots$

12. Verifică dacă rezultatul are sens

Un matematician bun nu doar calculează, ci se și întreabă: „Răspunsul meu pare corect?" La înmulțirea fracțiilor ai câteva controale rapide care te ajută să prinzi greșelile înainte să le predai.

Controlul mărimii. Dacă înmulțești două fracții subunitare (amândouă mai mici decât 1), rezultatul trebuie să iasă mai mic decât fiecare dintre ele. De exemplu, la $\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$, observă că $\frac{8}{15}$ este mai mic și decât $\frac{2}{3}$, și decât $\frac{4}{5}$. Dacă ți-ar fi ieșit un rezultat mai mare decât una dintre fracții, ai ști imediat că ai greșit pe undeva.

Controlul cu 1. Înmulțirea cu o fracție egală cu 1 (de exemplu $\frac{5}{5}$ sau $\frac{7}{7}$) nu schimbă valoarea. Dacă vezi într-un produs o fracție de tipul „același număr sus și jos", o poți înlocui liniștit cu $1$. La fel, dacă într-un lanț de fracții recunoști o pereche „răsturnată" — ca $\frac{3}{8}$ și $\frac{8}{3}$ — știi că produsul lor este $1$ și calculul se scurtează mult.

Controlul ireductibilei. La final, întreabă-te mereu: „Mai pot simplifica?" Dacă numărătorul și numitorul mai au un divizor comun, fracția nu este încă în forma cea mai simplă. Un răspuns dat ca fracție ireductibilă este semnul unui calcul terminat corect.

Aceste trei controale durează câteva secunde, dar îți salvează multe puncte la teze și teme. Obișnuiește-te să le faci automat, ca un pilot care verifică instrumentele înainte de decolare.

13. Recapitulare rapidă a algoritmului

Pune-ți de fiecare dată aceste întrebări:

1. Ce operație am? Dacă e „+" sau „−", caut numitor comun. Dacă e „·" sau putere, înmulțesc direct.
2. Pot simplifica înainte? Caut perechi numărător–numitor.
3. La putere, am paranteză? Dacă da, ridic și sus, și jos.
4. Rezultatul e ireductibil? Dacă nu, simplific.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — înmulțire simplă

Calculează $\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{7}$.

Rezolvare. Înmulțim numărător cu numărător și numitor cu numitor: $$\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{7}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 7}=\frac{15}{28}.$$ Verificăm dacă se mai poate simplifica: $15=3\cdot 5$, iar $28=4\cdot 7=2\cdot 2\cdot 7$. Nu au niciun divizor comun, deci $\frac{15}{28}$ este deja ireductibilă. Răspuns: $\frac{15}{28}$.

Exemplul 2 — cu simplificare înainte

Calculează $\frac{6}{25}\cdot \frac{10}{9}$.

Rezolvare. Înainte de a înmulți, căutăm perechi sus–jos care se simplifică:

• $6$ (sus) și $9$ (jos) se împart la $3$: $6:3=2$, $9:3=3$.
• $10$ (sus) și $25$ (jos) se împart la $5$: $10:5=2$, $25:5=5$.

$$\frac{6}{25}\cdot \frac{10}{9}=\frac{\stackrel{2}{\cancel{6}}}{\underset{5}{\cancel{25}}}\cdot \frac{\stackrel{2}{\cancel{10}}}{\underset{3}{\cancel{9}}}=\frac{2\cdot 2}{5\cdot 3}=\frac{4}{15}.$$ Răspuns: $\frac{4}{15}$. (Dacă am fi înmulțit direct, am fi obținut $\frac{60}{225}$, care se simplifică tot la $\frac{4}{15}$, dar cu efort mai mare.)

Exemplul 3 — fracție înmulțită cu un număr natural

Andrei a alergat $\frac{3}{8}$ dintr-un traseu în fiecare zi, timp de $6$ zile. Ce parte din traseu (sau câte trasee) a alergat în total?

Rezolvare. Scriem numărul natural ca fracție cu numitor $1$: $$6\cdot \frac{3}{8}=\frac{6}{1}\cdot \frac{3}{8}=\frac{6\cdot 3}{1\cdot 8}=\frac{18}{8}.$$ Simplificăm cu $2$: $\frac{18}{8}=\frac{9}{4}$. Scoatem întregii: $\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$. Răspuns: $\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$ trasee, adică a parcurs distanța a două trasee și încă un sfert. (Despre scoaterea întregilor poți reciti în lecția introducerea și scoaterea întregilor dintr-o fracție.)

Exemplul 4 — „fracție din fracție"

Maria are $\frac{4}{5}$ dintr-un tort. Ea oferă $\frac{1}{2}$ din ce are unei prietene. Ce parte din tortul întreg a oferit?

Rezolvare. „$\frac{1}{2}$ din $\frac{4}{5}$" se traduce prin înmulțire: $$\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}=\frac{\stackrel{1}{\cancel{1}}\cdot \stackrel{2}{\cancel{4}}}{\underset{1}{\cancel{2}}\cdot 5}=\frac{1\cdot 2}{1\cdot 5}=\frac{2}{5}.$$ Răspuns: a oferit $\frac{2}{5}$ din tortul întreg.

Exemplul 5 — trei fracții deodată

Calculează $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{10}\cdot \frac{5}{4}$.

Rezolvare. Simplificăm pas cu pas:

• $9$ (sus) și $3$ (jos) la $3$: $9:3=3$, $3:3=1$.
• $5$ (sus) și $10$ (jos) la $5$: $5:5=1$, $10:5=2$.
• Acum avem $\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{4}$. Mai simplificăm $2$ (sus) cu $2$ (jos): $2:2=1$, $2:2=1$.

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{10}\cdot \frac{5}{4}=\frac{1\cdot 3\cdot 1}{1\cdot 1\cdot 4}=\frac{3}{4}.$$ Răspuns: $\frac{3}{4}$.

Exemplul 6 — puterea unei fracții

Calculează ${\left(\frac{2}{5}\right)}^3$ și ${\left(\frac{4}{6}\right)}^2$.

Rezolvare. $${\left(\frac{2}{5}\right)}^3=\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}.$$ La a doua, simplificăm întâi baza: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Apoi ridicăm la putere: $${\left(\frac{4}{6}\right)}^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}.$$ Răspuns: $\frac{8}{125}$ și $\frac{4}{9}$. (Sfat: simplifică baza înainte de a ridica la putere — e mult mai ușor.)

Exemplul 7 — combinație putere + înmulțire

Calculează ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot \frac{8}{3}$.

Rezolvare. Întâi puterea, apoi înmulțirea (ordinea operațiilor — vezi ordinea efectuării operațiilor): $${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4},\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{3}=\frac{1\cdot \stackrel{2}{\cancel{8}}}{\underset{1}{\cancel{4}}\cdot 3}=\frac{2}{3}.$$ Răspuns: $\frac{2}{3}$.

Exemplul 8 — problemă în două etape

Într-o tabără sunt $240$ de copii. Dintre ei, $\frac{3}{4}$ știu să înoate, iar dintre cei care înoată, $\frac{2}{3}$ au și brevet de salvamar junior. Câți copii au brevet?

Rezolvare. „$\frac{2}{3}$ din $\frac{3}{4}$ din $240$" se traduce prin două înmulțiri la rând. Aflăm întâi ce parte din toți copiii au brevet: $$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{\stackrel{1}{\cancel{2}}\cdot \stackrel{1}{\cancel{3}}}{\underset{1}{\cancel{3}}\cdot \underset{2}{\cancel{4}}}=\frac{1}{2}.$$ Deci jumătate dintre copii au brevet. Acum înmulțim cu numărul total: $$\frac{1}{2}\cdot 240=\frac{240}{2}=120.$$ Răspuns: $120$ de copii au brevet. Observă cum „din … din …" devine un lanț de înmulțiri, iar simplificarea înainte (am tăiat $2$ cu $4$ și $3$ cu $3$) ne-a dat direct fracția frumoasă $\frac{1}{2}$.

Să exersăm

1. Calculează: $\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}$.

2. Calculează: $\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{7}$.

3. Calculează: $\frac{5}{8}\cdot \frac{2}{9}$.

4. Înmulțește un număr natural cu o fracție: $4\cdot \frac{3}{10}$.

5. Calculează cu simplificare înainte: $\frac{9}{14}\cdot \frac{7}{6}$.

6. Calculează: $\frac{15}{8}\cdot \frac{4}{5}$.

7. Completează spațiile: $\frac{2}{7}\cdot \frac{\square }{4}=\frac{6}{28}$. Ce număr lipsește?

8. Adevărat sau fals? La înmulțirea fracțiilor avem nevoie de numitor comun.

9. Adevărat sau fals? ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$.

10. Încercuiește varianta corectă: $\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{2}$ este egal cu a) $\frac{7}{5}$ b) $\frac{5}{3}$ c) $\frac{10}{5}$.

11. Calculează puterea: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3$.

12. Calculează: ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2\cdot \frac{4}{25}$.

13. Potrivește fiecare calcul cu rezultatul lui:

• A) $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}$ · · I) $\frac{1}{4}$
• B) $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$ · · II) $\frac{1}{6}$
• C) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ · · III) $\frac{1}{9}$

14. Calculează trei fracții deodată: $\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{3}{2}$.

15. Folosește comutativitatea și asociativitatea ca să calculezi rapid: $\frac{4}{7}\cdot \frac{5}{3}\cdot \frac{7}{4}$.

16. Problemă. Într-o clasă, $\frac{3}{5}$ dintre elevi practică un sport. Dintre aceștia, $\frac{2}{3}$ joacă fotbal. Ce parte din toată clasa joacă fotbal?

17. Problemă. Un bidon are capacitatea de $\frac{9}{4}$ litri. S-a umplut $\frac{2}{3}$ din el. Câți litri de apă sunt în bidon?

18. Problemă mai grea. Calculează: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2$. (Indiciu: poți ridica la putere fiecare fracție, apoi înmulți; sau înmulțești întâi bazele, apoi ridici la pătrat.)

19. Adevărat sau fals? ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}$.

20. Problemă. O grădină are forma unui pătrat cu latura de $\frac{3}{4}$ km. Care este aria grădinii? (Indiciu: aria pătratului = latura la pătrat.)

21. Combinație de puteri. Calculează: ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^3$. (Indiciu: ridică la putere fiecare fracție, apoi simplifică.)

22. Problemă. O rețetă de clătite folosește $\frac{2}{3}$ dintr-o cană de făină pentru o porție. Câtă făină îți trebuie pentru $4$ porții?

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$. Numărător cu numărător, numitor cu numitor; nu se mai simplifică.

2. $\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{7}=\frac{3}{28}$. Ireductibilă.

3. $\frac{5}{8}\cdot \frac{2}{9}=\frac{10}{72}=\frac{5}{36}$. Simplifici cu $2$. (Mai elegant: $2$ sus cu $8$ jos → $\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{9}=\frac{5}{36}$.)

4. $4\cdot \frac{3}{10}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$. Numărul natural înmulțește doar numărătorul; apoi simplifici cu $2$.

5. $\frac{9}{14}\cdot \frac{7}{6}=\frac{3}{4}$. Simplifici $9$ cu $6$ (la $3$) → $\frac{3}{14}\cdot \frac{7}{2}$, apoi $7$ cu $14$ (la $7$) → $\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$.

6. $\frac{15}{8}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{2}$. Simplifici $15$ cu $5$ (la $5$) → $\frac{3}{8}\cdot \frac{4}{1}$, apoi $4$ cu $8$ (la $4$) → $\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{1}=\frac{3}{2}$.

7. Lipsește $3$. Verificare: $\frac{2}{7}\cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{28}$. (Numărătorul $2\cdot \square =6\Rightarrow \square =3$.)

8. Fals. Numitorul comun este necesar la adunare și scădere, nu la înmulțire. La înmulțire înmulțim direct.

9. Adevărat. ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}$.

10. b) $\frac{5}{3}$. Calcul: $\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{2}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$ (simplifici cu $2$).

11. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$.

12. ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2\cdot \frac{4}{25}=\frac{25}{4}\cdot \frac{4}{25}=1$. (Totul se simplifică: $25$ cu $25$ și $4$ cu $4$.)

13. A–II ($\frac{1}{6}$), B–I ($\frac{1}{4}$), C–III ($\frac{1}{9}$).

14. $\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{3}{2}=1$. Simplifici: $8$ cu $4$ (la $4$) → $\frac{3}{1}\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{3}{2}$; apoi $2$ cu $2$ → $\frac{3}{1}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{3}{1}=\frac{9}{9}=1$.

15. $\frac{4}{7}\cdot \frac{5}{3}\cdot \frac{7}{4}=\frac{5}{3}$. Rearanjezi (comutativitate): $\frac{4}{7}\cdot \frac{7}{4}=1$, rămâne $\frac{5}{3}$.

16. $\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{5}$ (simplifici $3$ cu $3$). Deci $\frac{2}{5}$ din clasă joacă fotbal.

17. $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{4}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$ litri. Simplifici $9$ cu $3$ (la $3$) și $2$ cu $4$ (la $2$): $\frac{1}{1}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$. În bidon sunt $1$ litru și jumătate.

18. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{4}{9}\cdot \frac{9}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$. (Sau: $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$, apoi ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ — mai rapid.)

19. Adevărat. O putere cu exponent $3$ înseamnă baza înmulțită cu ea însăși de $3$ ori; aceasta este chiar definiția puterii unei fracții.

20. Aria $={\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$ km². Latura la pătrat înseamnă să ridici fracția la puterea a doua: și sus, și jos.

21. ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{9}{4}\cdot \frac{8}{27}=\frac{2}{3}$. Simplifici $9$ cu $27$ (la $9$) → $\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{3}$, apoi $8$ cu $4$ (la $4$) → $\frac{1}{1}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$.

22. $4\cdot \frac{2}{3}=\frac{4\cdot 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$ căni. Îți trebuie două căni și încă două treimi de făină.

De reținut

• Înmulțirea fracțiilor: numărător cu numărător, numitor cu numitor: $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$. Nu ai nevoie de numitor comun.
• Simplifică înainte de a înmulți: tai un numărător cu un numitor care au divizor comun. Lucrezi cu numere mici și greșești mai puțin.
• Număr natural · fracție: numărul înmulțește doar numărătorul ($n=\frac{n}{1}$).
• Puterea unei fracții: se ridică la putere și numărătorul, și numitorul: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$.
• Înmulțirea fracțiilor este comutativă și asociativă — rearanjează liber ca să simplifici ușor.

Greșeli frecvente

• Cauți numitor comun la înmulțire. Asta e regula de la adunare și scădere. La înmulțire înmulțești direct sus cu sus și jos cu jos. Reține: „comun" doar la „+" și „−".
• Simplifici doi numărători între ei (sau doi numitori). La înmulțire se simplifică doar un numărător cu un numitor (de sus cu de jos), niciodată sus cu sus sau jos cu jos.
• La putere ridici doar numărătorul. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ nu este $\frac{4}{3}$, ci $\frac{4}{9}$. Paranteza arată că toată fracția se ridică la putere, deci și jos.
• Uiți să verifici dacă rezultatul se mai simplifică. Dacă nu ai simplificat înainte, fă-o la final, ca să dai răspunsul ca fracție ireductibilă.

Joc acasă

1. Pătratul de hârtie (puterea unei fracții). Ia o foaie pătrată. Împarte-o cu un creion în $3$ coloane egale și $3$ rânduri egale, deci $9$ pătrățele. Colorează un dreptunghi de $2$ coloane pe $2$ rânduri. Numără pătrățelele colorate: sunt $4$ din $9$. Tocmai ai arătat că ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$! Încearcă apoi cu $4$ coloane și $4$ rânduri și colorează $3\times 3$, pentru ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$.

2. „Din" cu prăjitura (fracție din fracție). Ia o tabletă de ciocolată cu pătrățele (de exemplu $5$ rânduri). Rupe $\frac{4}{5}$ din ea (4 rânduri). Acum dă jumătate din ce ai în mână unui membru al familiei. Numără cât ai dat din tableta întreagă: vei vedea că $\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}=\frac{2}{5}$.

3. Provocarea de un minut. Scrie pe bilețele $6$ fracții simple ($\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{5}{6},\frac{1}{3},\frac{2}{5}$). Trage la sorți câte două și înmulțește-le, simplificând înainte. Cronometrează-te. Câte poți rezolva corect într-un minut?

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce cea mai simplă operație cu fracții, dar tocmai simplitatea ei creează capcane: după săptămâni de „numitor comun" la adunare și scădere, copiii caută reflexiv numitor comun și la înmulțire. Sublinii contrastul: „comun" doar la plus și minus; la înmulțire înmulțim direct.

Întrebări utile de pus copilului:

• „Ce înseamnă cuvântul «din» în matematică?" (Răspuns: înmulțire — $\frac{1}{2}$ din ceva = $\frac{1}{2}\cdot$ acel ceva.)
• „De ce avem voie să simplificăm înainte de a înmulți?" (Pentru că toți numărătorii se înmulțesc între ei și toți numitorii între ei.)
• „Ce ridicăm la putere când avem ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n$ — doar sus, sau și sus și jos?" (Și sus, și jos.)

Cum sprijini eficient: cere-i să simplifice mereu înainte de a face produsele — e cea mai bună apărare împotriva numerelor mari și a erorilor de calcul. Verifică înțelegerea punându-l să explice diferența dintre ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ și $\frac{2}{3^2}$; dacă o explică, a prins ideea parantezei. Pentru elevii rapizi, propune exerciții „construite să dea $1$" (ca 12, 14, 15 de mai sus), unde simplificarea face tot calculul să dispară elegant — îi învață eleganța matematică și încrederea.

Întrebări frecvente

Cum înmulțesc două fracții la clasa a 5-a? Înmulțești numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și pui rezultatul sus, apoi înmulțești numitorii și pui rezultatul jos: $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$. La final simplifici fracția dacă se poate.

Am nevoie de numitor comun ca să înmulțesc fracții? Nu. Numitorul comun este necesar doar la adunarea și scăderea fracțiilor. La înmulțire (și la împărțire) înmulțești direct, fără numitor comun.

Ce înseamnă să simplific înainte de înmulțire? Înseamnă să împarți un numărător și un numitor (de sus și de jos, din oricare fracții) la un divizor comun, înainte de a face produsele. Astfel lucrezi cu numere mici și obții direct fracția ireductibilă, fără simplificări complicate la final.

Cum ridic o fracție la o putere? Ridici la acea putere atât numărătorul, cât și numitorul: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$. De exemplu, ${\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{4}{25}$. Ideal e să simplifici fracția de bază înainte de a o ridica la putere.

Care e diferența dintre ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ și $\frac{2}{3^2}$? La ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ se ridică la putere toată fracția, deci $\frac{4}{9}$. La $\frac{2}{3^2}$ se ridică la putere doar numitorul, deci $\frac{2}{9}$. Paranteza decide ce se ridică la putere.

Cum înmulțesc o fracție cu un număr natural? Scrii numărul natural ca fracție cu numitorul 1 (de exemplu $4=\frac{4}{1}$) și aplici regula obișnuită. Practic, numărul natural se înmulțește doar cu numărătorul, iar numitorul rămâne neschimbat: $4\cdot \frac{3}{10}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$.

Ce înseamnă „o fracție din altă fracție"? Cuvântul „din" se traduce prin înmulțire. „$\frac{2}{3}$ din $\frac{3}{5}$" se calculează ca $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{2}{5}$. Astfel rezolvi multe probleme practice cu părți dintr-un întreg.

De ce rezultatul înmulțirii a două fracții subunitare este mai mic decât fiecare dintre ele? Pentru că iei „o parte dintr-o parte". O jumătate dintr-un sfert este mai mică decât un sfert. Când înmulțești două fracții mai mici decât 1, rezultatul iese mai mic decât amândouă — micșorezi, nu mărești.

Trebuie să simplific neapărat înainte de înmulțire? Nu este obligatoriu, dar este foarte recomandat. Dacă înmulțești fără să simplifici, vei obține numere mari și va trebui oricum să simplifici la final. Simplificarea înainte îți ușurează calculele și reduce riscul de greșeli. Rezultatul corect este același în ambele cazuri.

Cum calculez puterea unei fracții supraunitare, de exemplu ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2$? La fel ca la orice fracție: ridici la putere și numărătorul, și numitorul. Deci ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{5^2}{2^2}=\frac{25}{4}$. La fracțiile supraunitare rezultatul puterii crește, exact ca la numerele naturale.

Care este legătura dintre înmulțirea fracțiilor și aria unui dreptunghi? Aria unui dreptunghi este lungimea înmulțită cu lățimea. Dacă laturile sunt fracții, înmulțești cele două fracții. De exemplu, un dreptunghi cu laturile $\frac{2}{3}$ m și $\frac{4}{5}$ m are aria $\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$ m². De aceea pătratul unei laturi fracționare se calculează ca puterea a doua a acelei fracții.

Cum rezolv o problemă cu „din … din …" (mai multe etape)? O traduci într-un lanț de înmulțiri, în ordinea în care apar cuvintele „din". De exemplu, „$\frac{2}{3}$ din $\frac{3}{4}$ din $240$" devine $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot 240$. Simplifici întâi fracțiile între ele ($\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$), apoi înmulțești cu numărul natural ($\frac{1}{2}\cdot 240=120$). Lucrând în această ordine, eviți numerele mari și ajungi mai repede la răspuns.