Acasă · Clasa a V-a · Lecții · Scăderea fracțiilor (cu același numitor și cu numitori diferiți)

Scăderea fracțiilor (cu același numitor și cu numitori diferiți)

Ai învățat deja să aduni fracții. Vestea bună este că scăderea fracțiilor funcționează după aceleași reguli, doar că, în loc să punem cantitățile laolaltă, luăm o parte din ele. Dacă ai o jumătate de tabletă de ciocolată și mănânci un sfert, cât îți rămâne? Exact genul de întrebare la care vei răspunde corect, repede și sigur până la finalul acestei lecții.

Ce vei învăța

Vei ști să scazi fracții cu același numitor, scăzând numărătorii și păstrând numitorul.
Vei ști să scazi fracții cu numitori diferiți, aducându-le mai întâi la un numitor comun.
Vei ști să simplifici rezultatul unei scăderi, ca să-l scrii ca fracție ireductibilă.
Vei ști să scazi o fracție dintr-un număr natural (de exemplu 2 − 3/7).
Vei ști să rezolvi probleme în care se combină adunarea și scăderea fracțiilor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă, de fapt, să scazi fracții

Gândește-te la o fracție ca la felii dintr-un întreg împărțit în părți egale. Numitorul îți spune în câte părți egale a fost tăiat întregul, iar numărătorul îți spune câte astfel de părți ai.

Când scazi, iei câteva felii din câte ai. Dacă feliile au exact aceeași mărime (adică fracțiile au același numitor), totul e simplu: numeri câte felii rămân.

Iată o poveste scurtă care prinde toată ideea. Imaginează-ți că ai o tavă cu 12 sertare egale, ca o tavă de prăjituri. Sertarul este „unitatea de măsură": de fiecare dată numeri în sertare. Dacă pui 11 prăjituri (11/12 din tavă) și un prieten ia 5 (5/12), îți rămân 11 − 5 = 6 prăjituri, adică 6/12 din tavă, care este tot una cu 1/2. Niciodată nu schimbi mărimea sertarului în timpul socotelii — exact de aceea numitorul rămâne neschimbat. Greutatea apare doar când prăjiturile sunt măsurate în „sertare diferite", adică fracțiile au numitori diferiți; atunci trebuie mai întâi să le aducem la aceeași mărime de sertar. Vom vedea imediat cum.

2. Scăderea fracțiilor cu același numitor

Aceasta este situația cea mai ușoară. Regula sună așa:

Pentru a scădea două fracții cu același numitor, scădem numărătorii și păstrăm numitorul neschimbat.

În scriere matematică:

a/c − b/c = (a − b)/c

De ce păstrăm numitorul? Pentru că numitorul ne arată mărimea unei felii, iar mărimea feliei nu se schimbă când luăm câteva felii din grămadă. Doar numărul de felii scade. Dacă ai 7 felii dintr-o pizza tăiată în 9, și mănânci 4 felii, îți rămân 7 − 4 = 3 felii, fiecare tot a noua parte din pizza. Deci:

7/9 − 4/9 = (7 − 4)/9 = 3/9

Atenție: feliile rămase sunt tot „noimi", nu „optimi" sau altceva. Numitorul nu se scade niciodată. O greșeală foarte des întâlnită este să scrii 7/9 − 4/9 = 3/0 — fals! Sub linie rămâne 9.

Hai să mai facem câteva, ca să intre regula în reflex. Toate au numitorii egali, deci scădem doar numărătorii:

5/7 − 2/7 = (5 − 2)/7 = 3/7
9/10 − 1/10 = (9 − 1)/10 = 8/10 = 4/5 (am simplificat cu 2)
4/5 − 4/5 = 0/5 = 0

Observă că la al doilea exemplu am putut simplifica rezultatul. Vom vorbi imediat despre asta, dar reține ideea de pe acum: după ce ai scăzut, oprește-te o clipă și verifică dacă rezultatul se poate scrie mai simplu.

3. Simplificarea rezultatului

De multe ori, rezultatul scăderii se poate simplifica, adică se poate scrie cu numere mai mici, fără să-i schimbăm valoarea. Asta înseamnă să împărțim și numărătorul, și numitorul cu același număr (cu un divizor comun al lor).

La exemplul de mai sus am obținut 3/9. Observăm că atât 3, cât și 9 se împart la 3:

3/9 = (3 : 3)/(9 : 3) = 1/3

Cum găsești numărul cu care simplifici? Cauți un divizor comun al numărătorului și numitorului — un număr care îi împarte exact pe amândoi. Dacă găsești cel mai mare divizor comun (cmmdc) și împarți cu el dintr-o singură mișcare, ajungi direct la fracția ireductibilă. De exemplu, la 8/12, cmmdc al numerelor 8 și 12 este 4, deci 8/12 = (8 : 4)/(12 : 4) = 2/3. Dacă nu vezi imediat cel mai mare divizor, poți simplifica și „în pași mici", de mai multe ori: 8/12 = 4/6 = 2/3. Rezultatul e același; doar faci mai multe împărțiri.

Așa cum ai învățat în lecția despre amplificarea, simplificarea și fracțiile ireductibile, un rezultat frumos scris este o fracție ireductibilă — o fracție care nu se mai poate simplifica. Profesorii cer aproape mereu forma cea mai simplă, așa că ia-ți obiceiul: după ce ai scăzut, întreabă-te „se poate simplifica?".

4. Când rezultatul este 0

Dacă scazi o fracție din ea însăși, rămâi cu nimic:

5/8 − 5/8 = (5 − 5)/8 = 0/8 = 0

Orice fracție cu numărătorul 0 este egală cu 0. Are sens: dacă ai 5 felii și iei toate cele 5, nu mai rămâne nicio felie.

5. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Acum vine partea interesantă. Ce facem dacă feliile nu au aceeași mărime? De exemplu 5/6 − 1/4. Aici un întreg e tăiat în 6 părți, celălalt în 4 părți — feliile au mărimi diferite, deci nu putem scădea direct numărătorii.

Soluția este aceeași ca la adunare: aducem fracțiile la un numitor comun, ca să avem felii de aceeași mărime, și abia apoi scădem. Pașii sunt:

Găsim un numitor comun. Cel mai bine alegem cel mai mic multiplu comun (cmmmc) al numitorilor. Pentru 6 și 4, multiplii lui 6 sunt 6, 12, 18, 24… iar ai lui 4 sunt 4, 8, 12, 16… Cel mai mic comun este 12.
Amplificăm fiecare fracție ca să aibă numitorul 12.
- 5/6 se amplifică cu 2 (pentru că 6 · 2 = 12): 5/6 = 10/12.
- 1/4 se amplifică cu 3 (pentru că 4 · 3 = 12): 1/4 = 3/12.
Scădem fracțiile devenite cu același numitor: 10/12 − 3/12 = 7/12.
Simplificăm, dacă se poate. Aici 7/12 este deja ireductibilă (7 e prim și nu împarte 12), deci rezultatul final este 7/12.

Pe scurt, tot calculul arată așa:

5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12

Să mai urmărim un exemplu, ca să fixăm pașii. Calculăm 3/4 − 2/5:

Numitor comun: cmmmc al numerelor 4 și 5. Cum 4 și 5 nu au divizori comuni (în afară de 1), cel mai mic multiplu comun este chiar produsul lor: 4 · 5 = 20.
Amplificăm: 3/4 = 15/20 (cu 5) și 2/5 = 8/20 (cu 4).
Scădem: 15/20 − 8/20 = 7/20.
Simplificăm: 7/20 este ireductibilă, deci rămâne așa.

Important de știut: când cei doi numitori nu au niciun divizor comun (în afară de 1), cum sunt 4 și 5, cmmmc este pur și simplu produsul lor. Când unul îl „cuprinde" pe celălalt — de exemplu 4 și 8 — cmmmc este chiar cel mai mare dintre ei (aici 8). Iar când au un divizor comun fără ca unul să-l cuprindă pe celălalt — de exemplu 6 și 8 — cmmmc este mai mic decât produsul (la 6 și 8 este 24, nu 48). Cu cât alegi numitorul comun mai mic, cu atât numerele cu care lucrezi sunt mai mici și calculul mai sigur.

Dacă vrei să-ți reamintești cum se găsește numitorul comun și cum se amplifică, recitește lecțiile Cel mai mic multiplu comun. Aducerea fracțiilor la un numitor comun și Adunarea fracțiilor. Algoritmul de „pregătire" a fracțiilor este identic; diferă doar semnul: minus în loc de plus.

6. Un truc rapid pentru numitorul comun

Dacă nu vezi imediat cmmmc, există o metodă sigură: înmulțește numitorii între ei. Pentru 3/4 − 2/5, un numitor comun sigur este 4 · 5 = 20:

3/4 = 15/20 (amplificat cu 5)
2/5 = 8/20 (amplificat cu 4)
3/4 − 2/5 = 15/20 − 8/20 = 7/20

Atenție: produsul numitorilor merge mereu, dar uneori dă numere mai mari decât e nevoie. La 5/6 − 1/4, produsul ar fi 24, nu 12. Calculul iese corect și cu 24 (20/24 − 6/24 = 14/24 = 7/12), dar trebuie să simplifici mai mult la final. De aceea cmmmc este de preferat: muncești cu numere mai mici.

7. Scăderea unei fracții dintr-un număr natural

Câteodată trebuie să scazi o fracție dintr-un întreg, ca în 2 − 3/7. Secretul este să scrii numărul natural ca fracție cu numitorul de care ai nevoie. Orice număr natural se poate scrie ca fracție: 2 = 2/1, iar 2/1 amplificat cu 7 devine 14/7. Atunci:

2 − 3/7 = 14/7 − 3/7 = 11/7

Iar 11/7 este o fracție supraunitară, pe care o poți scrie și ca număr mixt, scoțând întregii: 11/7 = 1 4/7 (pentru că 11 : 7 = 1 rest 4). Despre asta ai discutat în lecția Introducerea și scoaterea întregilor dintr-o fracție.

Mai facem unul, ca să fie limpede. Calculăm 1 − 3/8. Aici întregul este 1, pe care îl scriem cu numitorul 8: 1 = 8/8. Atunci 1 − 3/8 = 8/8 − 3/8 = 5/8. Imaginează-ți o pizza întreagă tăiată în 8 felii: dacă iei 3 felii, rămân 5, adică 5/8 din pizza. Reține trucul: ca să scrii întregul ca fracție cu numitorul de care ai nevoie, pui acel numitor și la numărător. Așa, 1 = 8/8, 1 = 5/5, 1 = 12/12 — toate sunt egale cu 1.

8. Probleme cu adunarea și scăderea împreună

În viața de zi cu zi, fracțiile apar amestecate: aduni ceva, scazi altceva. Atunci aducem toate fracțiile la același numitor comun și efectuăm operațiile de la stânga la dreapta, respectând semnele. De exemplu:

5/6 − 1/2 + 1/3

Numitor comun pentru 6, 2 și 3 este 6. Amplificăm: 5/6 = 5/6, 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6. Atunci:

5/6 − 3/6 + 2/6 = (5 − 3 + 2)/6 = 4/6 = 2/3

Vezi cum, după ce toate au numitorul 6, lucrăm doar cu numărătorii, exact ca la numerele naturale? Aceeași ordine a operațiilor pe care ai studiat-o la ordinea efectuării operațiilor rămâne valabilă și aici.

Atenție la paranteze: dacă exercițiul are forma 5/6 − (1/2 − 1/3), calculezi mai întâi ce e în paranteză. Cu numitor comun 6: 1/2 − 1/3 = 3/6 − 2/6 = 1/6, apoi 5/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3. Dacă ai ignora paranteza și ai scădea de la stânga la dreapta, ai obține alt rezultat — deci paranteza chiar contează. Regula este simplă: paranteza se rezolvă întotdeauna prima, exact ca la numerele naturale.

9. Cum verifici că ai calculat corect (proba)

Una dintre cele mai folositoare deprinderi în matematică este să-ți verifici singur rezultatul, fără să aștepți corectarea profesorului. La scădere, proba se face exact ca la numerele naturale, pe care le-ai învățat în clasele primare: diferența plus scăzătorul trebuie să-ți dea descăzutul.

Cu alte cuvinte, dacă a − b = d, atunci trebuie să fie adevărat că d + b = a. Hai să verificăm un calcul deja făcut. Am obținut mai sus 5/6 − 1/4 = 7/12. Facem proba adunând la rezultat fracția pe care am scăzut-o:

7/12 + 1/4 = 7/12 + 3/12 = 10/12 = 5/6

Am ajuns înapoi la 5/6, adică la prima fracție. Înseamnă că scăderea a fost corectă. Dacă proba nu dă descăzutul, undeva s-a strecurat o greșeală: fie la aducerea la numitor comun, fie la scăderea numărătorilor, fie la simplificare.

O a doua verificare, mai rapidă, este proba de bun-simț: rezultatul unei scăderi trebuie să fie mai mic decât descăzutul (fracția din care scazi). Dacă scazi ceva dintr-o cantitate și obții un număr mai mare, sigur ai greșit. De pildă, 5/6 − 1/4 trebuie să fie mai mic decât 5/6; iar 7/12 chiar este mai mic decât 5/6 (pentru că 5/6 = 10/12). Bun.

10. Rezumatul algoritmului

Indiferent de problemă, urmează acești pași:

Au același numitor? Dacă da, scade numărătorii și păstrează numitorul.
Au numitori diferiți? Adu-le la un numitor comun (de preferat cmmmc), amplifică, apoi scade.
Întreg minus fracție? Scrie întregul ca fracție cu numitorul potrivit.
Simplifică rezultatul, dacă se poate.
Dacă fracția e supraunitară și ți se cere, scoate întregii (scrie-o ca număr mixt).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Același numitor

Calculează: 11/12 − 5/12.

Numitorii sunt egali (ambii 12), deci scădem direct numărătorii:

11/12 − 5/12 = (11 − 5)/12 = 6/12

Simplificăm: 6 și 12 se împart la 6, deci 6/12 = 1/2.

Răspuns: 1/2.

Exemplul 2 — Numitori diferiți, cmmmc mic

Calculează: 3/4 − 1/8.

Numitorii sunt 4 și 8. Cel mai mic multiplu comun este 8 (pentru că 8 este multiplu al lui 4). Amplificăm doar prima fracție, cu 2:

3/4 = 6/8, iar 1/8 rămâne neschimbată.

6/8 − 1/8 = 5/8

5/8 este ireductibilă (5 e prim și nu împarte 8).

Răspuns: 5/8.

Exemplul 3 — Numitori diferiți, fără factor comun

Calculează: 5/6 − 3/8.

Numitorii sunt 6 și 8. Multiplii lui 6: 6, 12, 18, 24…; multiplii lui 8: 8, 16, 24… Cel mai mic comun este 24.

5/6 = 20/24 (amplificat cu 4)
3/8 = 9/24 (amplificat cu 3)

20/24 − 9/24 = 11/24

11/24 este ireductibilă (11 e prim, nu împarte 24).

Răspuns: 11/24.

Exemplul 4 — Întreg minus fracție

Calculează: 3 − 7/4.

Scriem 3 ca fracție cu numitorul 4: 3 = 12/4. Apoi:

12/4 − 7/4 = 5/4

Fracția este supraunitară; o scriem și ca număr mixt: 5/4 = 1 1/4 (pentru că 5 : 4 = 1 rest 1).

Răspuns: 5/4, adică 1 1/4.

Exemplul 5 — Adunare și scădere combinate

Calculează: 7/10 − 2/5 + 1/2.

Numitor comun pentru 10, 5 și 2 este 10.

7/10 = 7/10
2/5 = 4/10
1/2 = 5/10

7/10 − 4/10 + 5/10 = (7 − 4 + 5)/10 = 8/10 = 4/5

Răspuns: 4/5.

Exemplul 6 — O mică problemă

Problemă: Andrei are de citit o carte. Sâmbătă a citit 2/5 din carte, iar duminică încă 1/4 din carte. Ce parte din carte i-a mai rămas de citit?

Rezolvare. Cartea întreagă înseamnă 1 întreg. Mai întâi aflăm cât a citit în total, apoi scădem din întreg.

Total citit: 2/5 + 1/4. Numitor comun 20: 8/20 + 5/20 = 13/20.

Ce a rămas: 1 − 13/20 = 20/20 − 13/20 = 7/20.

Răspuns: I-au mai rămas de citit 7/20 din carte.

Exemplul 7 — Aflarea unui termen necunoscut

Află numărul x din egalitatea x + 2/9 = 5/6.

Aici x este un termen al adunării. Ca să-l aflăm, folosim mersul invers: scădem din sumă termenul cunoscut.

x = 5/6 − 2/9

Numitor comun pentru 6 și 9: multiplii lui 6 sunt 6, 12, 18…; ai lui 9 sunt 9, 18… deci cmmmc este 18.

5/6 = 15/18 (amplificat cu 3)
2/9 = 4/18 (amplificat cu 2)

x = 15/18 − 4/18 = 11/18

Verificare: 11/18 + 2/9 = 11/18 + 4/18 = 15/18 = 5/6. Corect.

Răspuns: x = 11/18.

Exemplul 8 — Trei fracții, semne amestecate

Calculează: 11/12 − 1/3 − 1/4.

Numitor comun pentru 12, 3 și 4 este 12.

11/12 = 11/12
1/3 = 4/12
1/4 = 3/12

11/12 − 4/12 − 3/12 = (11 − 4 − 3)/12 = 4/12 = 1/3

Răspuns: 1/3.

Exemplul 9 — Numitori cu factor comun (cmmmc mai mic decât produsul)

Calculează: 7/8 − 5/12.

Numitorii sunt 8 și 12. Dacă am înmulți numitorii, am obține 96 — un număr mare și incomod. Mai bine căutăm cel mai mic multiplu comun. Multiplii lui 8 sunt 8, 16, 24…; ai lui 12 sunt 12, 24… Cel mai mic comun este 24, mult mai prietenos decât 96.

7/8 = 21/24 (amplificat cu 3, fiindcă 8 · 3 = 24)
5/12 = 10/24 (amplificat cu 2, fiindcă 12 · 2 = 24)

21/24 − 10/24 = 11/24

Verificăm dacă se simplifică: 11 este număr prim și nu împarte 24, deci 11/24 este ireductibilă.

Răspuns: 11/24. Acest exemplu îți arată de ce merită să cauți cmmmc: lucrezi cu numere de patru ori mai mici decât dacă ai folosi produsul numitorilor.

Exemplul 10 — Problemă cu trei pași

Problemă: O grădină are flori, legume și o parte rămasă liberă. Florile ocupă 2/5 din grădină, iar legumele 1/4 din grădină. Ce parte din grădină a rămas liberă?

Rezolvare. Grădina întreagă înseamnă 1 întreg. Aflăm mai întâi cât ocupă, la un loc, florile și legumele, apoi scădem din întreg.

Total ocupat: 2/5 + 1/4. Numitor comun pentru 5 și 4 este 20: 2/5 = 8/20, 1/4 = 5/20, deci 8/20 + 5/20 = 13/20.

Partea liberă: 1 − 13/20 = 20/20 − 13/20 = 7/20.

Răspuns: A rămas liberă 7/20 din grădină.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Simplifică rezultatul ori de câte ori se poate.

A. Cu același numitor

8/11 − 3/11 = ?
9/10 − 7/10 = ?
15/16 − 7/16 = ?
4/9 − 4/9 = ?
Completează: 7/12 − □/12 = 4/12. Ce număr pui în pătrățel?
Adevărat sau fals? 13/15 − 4/15 = 9/0. Justifică.

B. Cu numitori diferiți

2/3 − 1/6 = ?
3/4 − 2/5 = ?
5/6 − 1/4 = ?
7/10 − 2/5 = ?
5/8 − 1/3 = ?

C. Întreg minus fracție

1 − 5/9 = ?
2 − 7/6 = ? (scrie și ca număr mixt)

D. Combinate și probleme

5/6 − 1/4 − 1/12 = ?
Află numărul necunoscut: x + 1/3 = 5/6.
O sticlă de suc are 7/8 litri. Maria bea 3/8 litri. Câți litri rămân în sticlă?
Într-o zi, un robinet umple 3/4 dintr-un rezervor, apoi se consumă 2/3 din rezervor. Ce parte din rezervor mai rămâne plină?
Potrivește fiecare scădere cu rezultatul corect:
- a) 5/6 − 1/2
- b) 7/8 − 1/4
- c) 2/3 − 1/4 Rezultate: ( I ) 5/8 ( II ) 1/3 ( III ) 5/12

E. Provocări (mai dificile)

11/12 − 1/4 − 1/6 = ?
Află x din x − 1/4 = 3/8.
Un telefon are bateria încărcată 9/10. După un film, nivelul scade la 2/5. Cu ce fracție din baterie s-a descărcat telefonul în timpul filmului?
Bogdan cheltuiește 1/3 din banii de buzunar pe o carte și 1/4 pe un suc. Ce fracție din bani îi mai rămâne?

Răspunsuri și explicații

5/11. Numitor egal: 8 − 3 = 5, numitorul rămâne 11. Ireductibilă.
1/5. 9 − 7 = 2, deci 2/10, apoi simplificat cu 2: 2/10 = 1/5.
1/2. 15 − 7 = 8, deci 8/16, simplificat cu 8: 8/16 = 1/2.
0. 4 − 4 = 0, iar 0/9 = 0. Iei tot, nu rămâne nimic.
3. Trebuie ca 7 − □ = 4, deci □ = 3.
Fals. Numitorul nu se scade niciodată: 13/15 − 4/15 = 9/15, care se simplifică la 3/5. Sub linie rămâne 15.
1/2. Numitor comun 6: 2/3 = 4/6. 4/6 − 1/6 = 3/6 = 1/2.
7/20. Numitor comun 20: 15/20 − 8/20 = 7/20. Ireductibilă.
7/12. Numitor comun 12: 10/12 − 3/12 = 7/12. Ireductibilă.
3/10. Numitor comun 10: 2/5 = 4/10. 7/10 − 4/10 = 3/10. Ireductibilă.
7/24. Numitor comun 24: 5/8 = 15/24, 1/3 = 8/24. 15/24 − 8/24 = 7/24.
4/9. 1 = 9/9. 9/9 − 5/9 = 4/9.
5/6 (nu se poate scoate niciun întreg). Verificare: 2 = 12/6, deci 12/6 − 7/6 = 5/6. Rezultatul 5/6 este o fracție subunitară (mai mică decât 1), așa că nu are parte întreagă de scos; rămâne scris 5/6.
1/2. Numitor comun 12: 5/6 = 10/12, 1/4 = 3/12, 1/12 = 1/12. 10/12 − 3/12 − 1/12 = 6/12 = 1/2.
x = 1/2. Mers invers: x = 5/6 − 1/3. Numitor comun 6: 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.
1/2 litri. 7/8 − 3/8 = 4/8 = 1/2.
1/12 din rezervor. Numitor comun 12: 3/4 = 9/12, 2/3 = 8/12. 9/12 − 8/12 = 1/12.
a–II, b–I, c–III.
- a) 5/6 − 1/2 = 5/6 − 3/6 = 2/6 = 1/3 → ( II )
- b) 7/8 − 1/4 = 7/8 − 2/8 = 5/8 → ( I )
- c) 2/3 − 1/4 = 8/12 − 3/12 = 5/12 → ( III )
1/2. Numitor comun 12: 11/12 − 3/12 − 2/12 = 6/12 = 1/2.
x = 5/8. Mers invers: x = 3/8 + 1/4 = 3/8 + 2/8 = 5/8. Verificare: 5/8 − 1/4 = 5/8 − 2/8 = 3/8.
1/2 din baterie. 9/10 − 2/5 = 9/10 − 4/10 = 5/10 = 1/2.
5/12 din bani. 1 − 1/3 − 1/4 = 12/12 − 4/12 − 3/12 = 5/12.

De reținut

Același numitor: scazi numărătorii, numitorul rămâne neschimbat: a/c − b/c = (a − b)/c.
Numitori diferiți: întâi aduci la numitor comun (de preferat cmmmc), amplifici, apoi scazi numărătorii.
Întreg minus fracție: scrie întregul ca fracție cu numitorul potrivit (2 = 14/7 etc.).
Simplifică mereu rezultatul, ca să-l scrii ca fracție ireductibilă.
Algoritmul de scădere e identic cu cel de adunare; se schimbă doar semnul.

Greșeli frecvente

Scazi și numitorii. 7/9 − 4/9 ≠ 3/0. Numitorul arată mărimea feliei și rămâne neschimbat: rezultatul este 3/9.
Scazi direct numărătorii când numitorii diferă. 5/6 − 1/4 nu este 4/2. Mai întâi aduci la numitor comun (12), abia apoi scazi: 10/12 − 3/12 = 7/12.
Uiți să simplifici. 6/12 este corect, dar forma cerută e cea ireductibilă: 1/2. Verifică mereu dacă numărătorul și numitorul au un divizor comun.
Greșești ordinea la scădere. Spre deosebire de adunare, scăderea nu este comutativă: 3/4 − 1/4 = 2/4, dar 1/4 − 3/4 ar da un rezultat negativ, pe care nu-l studiem acum. Scade mereu numărul mai mic din cel mai mare, în ordinea din enunț.
Scrii greșit întregul ca fracție. La 2 − 3/7 întregul 2 trebuie scris cu același numitor ca fracția din care scazi, adică 2 = 14/7, nu 2/7. Întreabă-te mereu: „cu ce număr înmulțesc întregul ca să obțin numitorul de care am nevoie?" — aici 2 · 7 = 14.
Te oprești fără să faci proba. O scădere se verifică ușor: adună rezultatul cu fracția pe care ai scăzut-o și trebuie să obții fracția de la început. Dacă nu, reia calculul. Un minut de probă te scapă de o greșeală la test.

Joc acasă

1. Ciocolata fracțiilor. Ia o tabletă de ciocolată cu pătrățele (de exemplu 4 rânduri × 6 = 24 pătrățele, sau una de 12). Stabiliți întregul = toată tableta. Cere-i copilului să rupă 3/4 din ea, apoi „să dea înapoi" 1/3. Întreabă: ce fracție din tabletă a rămas în mână? Verificați numărând pătrățelele.

2. Cănile cu apă. Folosește un pahar gradat sau o sticlă marcată cu linii egale. Umple 5/6 din sticlă, apoi toarnă afară 1/2. Câte „șesimi" mai rămân? Confirmați prin marcaje: 5/6 − 3/6 = 2/6 = 1/3.

3. Cursa pe bandă de hârtie. Tăiați o bandă lungă de hârtie și împărțiți-o în 12 părți egale, marcate cu pixul. Un jucător „stă" la 11/12 și se retrage cu fracția scrisă pe un zar improvizat (1/12, 2/12, 1/4, 1/3…). Câștigă cine ajunge primul exact la 0, mereu scriind scăderea corect și simplificând.

Pentru părinți și învățători

Această lecție se sprijină pe două deprinderi anterioare: aducerea fracțiilor la numitor comun și simplificarea. Dacă elevul ezită, întoarceți-vă o pagină la acele lecții — scăderea devine ușoară de îndată ce „pregătirea" fracțiilor e stăpânită.

Cum sprijiniți pas cu pas:

Începeți mereu cu fracții care au același numitor, până când regula „scad numărătorii, păstrez numitorul" devine automată.
Insistați pe întrebarea-cheie: „Au același numitor?". Dacă da, scad direct; dacă nu, mai întâi aduc la numitor comun. Acest reflex previne 90% din greșeli.
Folosiți des reprezentări vizuale (benzi, pătrate, paharul gradat). Vederea feliilor de aceeași mărime explică de ce numitorul comun este obligatoriu.

Întrebări de verificare a înțelegerii:

„De ce nu scădem și numitorii?" (Răspuns așteptat: pentru că numitorul arată mărimea feliei, nu numărul lor.)
„Cum scriu numărul 2 ca fracție cu numitorul 7?" (14/7.)
„Rezultatul 8/12 mai poate fi scris mai simplu?" (Da, 2/3.)

Cele mai dese greșeli și cum le corectați acasă:

Dacă elevul scade și numitorii (7/9 − 4/9 = 3/0), reveniți la imaginea cu felii: numitorul spune cât de mare e o felie, iar mărimea feliei nu se schimbă când iei câteva. Numiți cu voce tare feliile rămase: „trei noimi", nu „trei nimicuri".
Dacă elevul scade direct numărătorii deși numitorii diferă, cereți-i întâi să deseneze cele două fracții pe benzi de aceeași lungime; va vedea singur că feliile au mărimi diferite și că nu pot fi comparate până nu le aducem la aceeași mărime.
Dacă uită să simplifice, transformați-l într-un mic ritual: după fiecare rezultat, întrebați „se poate scrie mai simplu?".

Încheiați fiecare sesiune cu proba: rezultatul plus scăzătorul trebuie să dea descăzutul. Este cel mai bun obicei pe care îl poate căpăta un elev de gimnaziu, fiindcă îl face independent de corectarea altcuiva.

Dacă elevul rezolvă corect câte un exercițiu din fiecare categorie (același numitor, numitori diferiți, întreg minus fracție, problemă), lecția este însușită. Pentru exersare suplimentară, continuați firesc spre înmulțirea fracțiilor.

Întrebări frecvente

Cum scad două fracții cu același numitor în clasa a V-a? Scazi numărătorii între ei și păstrezi numitorul neschimbat. De exemplu, 7/9 − 4/9 = 3/9, care se simplifică la 1/3. Numitorul nu se scade niciodată.

Cum scad fracții cu numitori diferiți? Le aduci mai întâi la un numitor comun (cel mai bine cel mai mic multiplu comun al numitorilor), le amplifici ca să aibă acel numitor, apoi scazi numărătorii. De exemplu, 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12.

Care este regula scăderii fracțiilor? a/c − b/c = (a − b)/c când numitorii sunt egali. Când sunt diferiți, aduci întâi la numitor comun și apoi aplici aceeași regulă. La final, simplifici rezultatul.

Trebuie să simplific rezultatul scăderii? Da, ori de câte ori se poate. Forma corectă și completă a unui rezultat este fracția ireductibilă. De exemplu, 6/12 se scrie 1/2.

Cum scad o fracție dintr-un număr întreg, ca 2 − 3/7? Scrii întregul ca fracție cu același numitor: 2 = 14/7. Apoi 14/7 − 3/7 = 11/7, care poate fi scris și ca număr mixt 1 4/7.

Scăderea fracțiilor este la fel cu adunarea? Algoritmul de pregătire (numitor comun, amplificare, simplificare) este identic. Diferă doar operația dintre numărători: scădere în loc de adunare. Atenție însă, scăderea nu este comutativă: ordinea fracțiilor contează.

De ce nu se scade și numitorul? Pentru că numitorul arată în câte părți egale a fost împărțit întregul, adică mărimea unei felii. Când iei câteva felii, mărimea lor rămâne aceeași; doar numărul de felii (numărătorul) scade.

Ce fac dacă numitorii nu au un multiplu comun mic și evident? Poți folosi mereu produsul numitorilor ca numitor comun sigur. De exemplu, pentru 3/4 − 2/5, iei 4 · 5 = 20. Calculul iese corect; doar simplifică la final dacă e nevoie.