Împărțirea fracțiilor. Inversa (răsturnata) unei fracții

Știi deja să aduni, să scazi și să înmulțești fracții. A mai rămas o singură operație ca să le stăpânești pe toate: împărțirea. Vestea bună e că împărțirea fracțiilor ascunde un truc elegant — nu împărțim chiar nimic, ci transformăm totul într-o înmulțire pe care o știi deja foarte bine. Secretul se numește inversa (răsturnata) unei fracții, iar în această lecție vei descoperi de ce funcționează și cum să o folosești corect de fiecare dată.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii inversa (răsturnata) unei fracții, schimbând numărătorul cu numitorul.
• Vei ști să împarți două fracții înmulțind prima fracție cu inversa celei de-a doua.
• Vei ști să simplifici rezultatul unei împărțiri pentru a obține o fracție ireductibilă.
• Vei ști să împarți o fracție cu un număr natural și un număr natural cu o fracție.
• Vei ști să împarți numere mixte, transformându-le mai întâi în fracții supraunitare.
• Vei ști să rezolvi probleme din viața reală care cer împărțirea fracțiilor.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă, de fapt, „a împărți"?

Înainte de fracții, gândește-te la o împărțire simplă cu numere naturale: $12:3=4$. Ce întreabă, de fapt, această împărțire? Întreabă: „de câte ori se cuprinde 3 în 12?" Răspunsul este 4, fiindcă $3+3+3+3=12$, adică patru grupe de câte 3 încap în 12.

Exact aceeași întrebare o punem și la fracții. Când scriem $\frac{3}{4}:\frac{1}{8}$, întrebăm: „de câte ori se cuprinde optimea $\frac{1}{8}$ în trei sferturi $\frac{3}{4}$?". Vei vedea imediat că răspunsul are perfect sens, ba chiar îl putem desena.

Dacă numărăm pe desen, optimea $\frac{1}{8}$ încape de 6 ori în $\frac{3}{4}$ (pentru că $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$, iar în șase optimi încap șase optimi). Deci $\frac{3}{4}:\frac{1}{8}=6$. Reține acest rezultat — îl vom verifica și prin regulă, ca să te convingi că regula chiar funcționează.

Inversa (răsturnata) unei fracții

Pentru a împărți fracții avem nevoie de un instrument nou. El se numește inversa sau, mai prietenos, răsturnata unei fracții.

Definiție. Inversa (răsturnata) unei fracții $\frac{a}{b}$ (cu $a\ne 0$ și $b\ne 0$) este fracția $\frac{b}{a}$, obținută schimbând între ele numărătorul și numitorul.

Cu alte cuvinte, întoarcem fracția cu susul în jos: ce era sus se duce jos, ce era jos se urcă sus.

Câteva exemple, ca să prinzi mișcarea:

• Inversa lui $\frac{2}{5}$ este $\frac{5}{2}$.
• Inversa lui $\frac{7}{3}$ este $\frac{3}{7}$.
• Inversa lui $\frac{1}{9}$ este $\frac{9}{1}=9$ (un număr natural!).
• Inversa lui $6$ este $\frac{1}{6}$, fiindcă $6=\frac{6}{1}$, iar răsturnata lui $\frac{6}{1}$ este $\frac{1}{6}$.

De ce se numește inversă? Pentru că dacă înmulțești o fracție cu răsturnata ei, obții întotdeauna $1$. Hai să verificăm: $$\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{2}=\frac{2\cdot 5}{5\cdot 2}=\frac{10}{10}=1.$$ La fel, $\frac{7}{3}\cdot \frac{3}{7}=\frac{21}{21}=1$. Două numere al căror produs este $1$ se numesc inverse unul altuia. Această proprietate este inima întregii lecții.

Atenție! Numărul $0$ nu are inversă. Fracția $\frac{0}{b}$ are numărătorul $0$; dacă am încerca să o răsturnăm, am obține $\frac{b}{0}$, iar împărțirea la $0$ nu are sens în matematică. De aceea, în împărțirea fracțiilor, fracția cu care împărțim (a doua) nu poate fi niciodată $0$.

Regula de aur: împărțirea = înmulțire cu inversa

Acum ajungem la regula centrală a lecției. Ea este scurtă, ușor de ținut minte și se aplică mereu la fel:

Regulă. Pentru a împărți două fracții, înmulțim prima fracție cu inversa (răsturnata) celei de-a doua: $$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}.$$

Pe scurt, deviza ta este: „păstrez prima, schimb semnul în înmulțire, răstorn a doua". Mulți elevi o memorează ca „prima rămâne, întoarce și înmulțește".

Hai să verificăm regula pe exemplul desenat mai devreme: $$\frac{3}{4}:\frac{1}{8}=\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{1}=\frac{3\cdot 8}{4\cdot 1}=\frac{24}{4}=6.$$ Exact $6$ — la fel ca pe desen! Regula confirmă ceea ce am numărat cu ochii. Iată cea mai bună dovadă că nu e o vrajă, ci o regulă serioasă.

De ce funcționează „înmulțirea cu inversa"? (justificarea)

Un elev de gimnaziu nu se mulțumește cu „așa se face", ci vrea să înțeleagă de ce. Iată o explicație simplă.

Împărțirea $\frac{3}{4}:\frac{1}{8}$ înseamnă: „cât trebuie să înmulțesc cu $\frac{1}{8}$ ca să obțin $\frac{3}{4}$?". Dacă înmulțesc rezultatul căutat cu $\frac{1}{8}$ și vreau să iasă $\frac{3}{4}$, atunci pot „desface" înmulțirea cu $\frac{1}{8}$ înmulțind cu inversa ei, $\frac{8}{1}$ — pentru că $\frac{1}{8}\cdot \frac{8}{1}=1$, iar înmulțirea cu $1$ nu schimbă nimic. Așa ajungem să înmulțim $\frac{3}{4}$ cu $\frac{8}{1}$. Inversa apare în mod natural tocmai pentru că ea „anulează" împărțitorul.

Nu-ți face griji dacă justificarea ți se pare subtilă la prima citire — important este să reții regula și să o aplici corect. Înțelegerea profundă vine cu exercițiul.

O altă cale de a vedea de ce merge regula este să gândim împărțirea ca o fracție „etajată" (o fracție în care sus și jos stau ele însele fracții). Scriem: $$\frac{3}{4}:\frac{1}{8}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}}.$$ Ca să curățăm etajele, amplificăm și sus, și jos cu $\frac{8}{1}$ (inversa numitorului de jos). Jos, $\frac{1}{8}\cdot \frac{8}{1}=1$, iar sus rămâne $\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{1}$. Astfel fracția etajată devine exact $\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{1}$ — adică tocmai înmulțirea cu inversa. Iată că, oricum am privi-o, ajungem la aceeași regulă.

O comparație utilă cu numerele naturale

Poate te întrebi: la numerele naturale nu „răsturnam" nimic, împărțeam direct. De ce acum apare răsturnarea? În realitate, și la numere naturale înmulțirea cu inversa funcționează — doar că nu o observăm. De exemplu, $\frac{1}{2}$ din $10$ este același lucru cu $10:2$: a împărți la $2$ înseamnă a înmulți cu $\frac{1}{2}$. Așadar regula nu este nouă, ci o extindere firească a ceea ce făceai deja. Fracțiile doar scot la lumină mecanismul ascuns al împărțirii.

Pașii de lucru, pe scurt

Ori de câte ori ai de împărțit două fracții, urmează acești pași:

1. Scrie inversa celei de-a doua fracții (a împărțitorului).
2. Transformă împărțirea în înmulțire cu această inversă.
3. Înmulțește numărător cu numărător și numitor cu numitor (sau, mai bine, simplifică „în cruce" înainte de a înmulți).
4. Simplifică rezultatul până devine o fracție ireductibilă; dacă e cazul, scoate întregii.

Simplificarea: cheia unui rezultat curat

Adesea, după ce transformăm împărțirea în înmulțire, putem simplifica înainte de a calcula produsele. Asta ne ferește de numere mari și de greșeli. Reamintește-ți de la lecția despre înmulțirea fracțiilor și de la simplificare cu cmmdc cum se taie factorii comuni.

De exemplu: $$\frac{5}{12}:\frac{10}{9}=\frac{5}{12}\cdot \frac{9}{10}.$$ Înainte să înmulțim, observăm: $5$ și $10$ se simplifică prin $5$ ($5\to 1$, $10\to 2$); $9$ și $12$ se simplifică prin $3$ ($9\to 3$, $12\to 4$). Rămâne: $$\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{8}.$$ Mult mai ușor decât să înmulțim $5\cdot 9=45$ și $12\cdot 10=120$, apoi să simplificăm $\frac{45}{120}$ (care, de altfel, tot $\frac{3}{8}$ dă, dar cu mult mai mult efort).

Cazuri speciale: fracție și număr natural

Nu de fiecare dată ai două fracții „frumoase". Uneori unul dintre numere este natural. Trucul: orice număr natural $n$ se scrie ca fracția $\frac{n}{1}$.

Fracție împărțită la un număr natural. Exemplu: $\frac{4}{7}:2$. Scriem $2=\frac{2}{1}$ și aplicăm regula: $$\frac{4}{7}:\frac{2}{1}=\frac{4}{7}\cdot \frac{1}{2}=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}.$$ Are sens: dacă împarți patru șeptimi în două părți egale, fiecare parte este două șeptimi.

Număr natural împărțit la o fracție. Exemplu: $6:\frac{2}{3}$. Scriem $6=\frac{6}{1}$: $$\frac{6}{1}:\frac{2}{3}=\frac{6}{1}\cdot \frac{3}{2}=\frac{18}{2}=9.$$ Adică: în $6$ întregi încap $9$ bucăți de câte $\frac{2}{3}$. Observă ceva interesant: împărțind la o fracție subunitară (mai mică decât 1), rezultatul a ieșit mai mare decât numărul de la care am pornit! La fracții, împărțirea nu micșorează mereu — uneori mărește.

Un caz care iese pe loc: fracții cu același numitor

Iată o observație drăguță care îți va plăcea. Dacă cele două fracții au același numitor, împărțirea se reduce, de fapt, la împărțirea numărătorilor. Privește: $$\frac{6}{8}:\frac{2}{8}=\frac{6}{8}\cdot \frac{8}{2}=\frac{6\cdot 8}{8\cdot 2}=\frac{6}{2}=3.$$ Numitorul $8$ s-a simplificat complet și a rămas doar $6:2=3$! Acest lucru se potrivește perfect cu sensul împărțirii: „de câte ori încap două optimi în șase optimi?" — evident de $3$ ori, fiindcă $6:2=3$. Așadar, când vezi același numitor sus și jos, poți să-l „ignori" și să împarți direct numărătorii. Este o scurtătură utilă, dar atenție: ea funcționează doar când numitorii sunt egali. În rest, rămâi la regula sigură „răstoarnă a doua și înmulțește".

Estimează rezultatul înainte de a calcula

Un mic obicei te poate salva de multe greșeli: înainte de a face calculul, ghicește dacă rezultatul va fi mai mare sau mai mic decât deîmpărțitul (numărul de la care pornești). Regula de orientare este simplă și se sprijină pe ce ai învățat deja:

• Dacă împarți la o fracție subunitară (mai mică decât $1$, adică numărător mai mic decât numitor), rezultatul va fi mai mare decât deîmpărțitul. Întrebi „de câte ori încape ceva mic?", iar răspunsul e mare.
• Dacă împarți la o fracție supraunitară (mai mare decât $1$), rezultatul va fi mai mic decât deîmpărțitul.
• Dacă împarți exact la $1$ (de exemplu la $\frac{5}{5}$), rezultatul rămâne egal cu deîmpărțitul.

De pildă, la $\frac{3}{5}:\frac{4}{7}$, împărțitorul $\frac{4}{7}$ este subunitar, deci ne așteptăm la un rezultat mai mare decât $\frac{3}{5}$. Și într-adevăr, am obținut $\frac{21}{20}$, care este puțin peste $1$, deci mai mare decât $\frac{3}{5}$ — estimarea confirmă calculul. Dacă, dimpotrivă, ai obține un număr mai mic, ar fi semnal de alarmă că ai răsturnat fracția greșită sau ai uitat să schimbi semnul. Estimarea nu îți dă răspunsul exact, dar îți spune dacă ești „pe drumul cel bun".

Când apar numere mixte (fracții cu întreg)

Uneori, în loc de o fracție obișnuită, întâlnești un număr mixt, adică un întreg lipit de o fracție, cum ar fi $2\frac{1}{4}$ („doi și un sfert"). Cum împărțim astfel de numere? Regula „răstoarnă a doua" funcționează doar pentru fracții, nu și pentru numere mixte scrise așa. De aceea avem un pas zero: înainte de orice, transformăm fiecare număr mixt într-o fracție supraunitară (numită și fracție improprie).

Reamintește-ți cum se face transformarea: înmulțești întregul cu numitorul, aduni numărătorul și pui totul peste același numitor. De exemplu: $$2\frac{1}{4}=\frac{2\cdot 4+1}{4}=\frac{9}{4},1\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 2+1}{2}=\frac{3}{2}.$$

După ce ambele numere au devenit fracții obișnuite, aplici exact regula pe care o știi deja: răstorni a doua și înmulțești. Iată întreg drumul pentru $2\frac{1}{4}:1\frac{1}{2}$: $$2\frac{1}{4}:1\frac{1}{2}=\frac{9}{4}:\frac{3}{2}=\frac{9}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{9\cdot 2}{4\cdot 3}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}.$$

Greșeala cea mai des întâlnită aici este să încerci să împarți „separat întregii și separat fracțiile". Nu se poate! Mai întâi transformi în fracții supraunitare, abia apoi împarți. Ține minte ordinea: transform numerele mixte → răstorn a doua → înmulțesc → simplific → scot la final întregul, dacă e cazul.

O poveste scurtă ca să nu uiți regula

Imaginează-ți doi prieteni, Andrei și Bianca, care fac un joc pe calculator. Andrei are un baton de energie de $\frac{4}{5}$ și fiecare săritură consumă $\frac{2}{5}$ de baton. Câte sărituri poate face? El întreabă: „de câte ori încape $\frac{2}{5}$ în $\frac{4}{5}$?". Bianca, care a învățat lecția, zice imediat: „răstoarnă a doua și înmulțește!". Andrei calculează $\frac{4}{5}:\frac{2}{5}=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{2}=\frac{20}{10}=2$. Două sărituri. Și, într-adevăr, $\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$ — exact cât avea. Andrei a fost convins: regula nu dă rezultate ciudate, ci tocmai răspunsul pe care îl aștepta bunul-simț.

Ține minte propoziția Biancăi — „răstoarnă a doua și înmulțește" — ca pe un mic cântec. De fiecare dată când vezi semnul de împărțire între două fracții, cântă-l în gând și mâna ta va ști ce să facă.

Acum că ai instrumentele, hai să le punem la treabă pe exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — împărțire de bază a două fracții

Calculează: $\frac{3}{5}:\frac{4}{7}$.

Rezolvare. Păstrez prima fracție, întorc a doua și înmulțesc: $$\frac{3}{5}:\frac{4}{7}=\frac{3}{5}\cdot \frac{7}{4}=\frac{3\cdot 7}{5\cdot 4}=\frac{21}{20}.$$ Numerele $21$ și $20$ nu au divizori comuni (în afară de 1), deci fracția este ireductibilă. Fiind supraunitară, pot scoate întregul: $\frac{21}{20}=1\frac{1}{20}$.

Răspuns: $\frac{21}{20}=1\frac{1}{20}$.

Exemplul 2 — cu simplificare înainte de înmulțire

Calculează: $\frac{8}{9}:\frac{4}{3}$.

Rezolvare. Transform în înmulțire cu inversa: $$\frac{8}{9}:\frac{4}{3}=\frac{8}{9}\cdot \frac{3}{4}.$$ Simplific înainte de a înmulți: $8$ cu $4$ prin $4$ ($8\to 2$, $4\to 1$); $3$ cu $9$ prin $3$ ($3\to 1$, $9\to 3$): $$\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{1}=\frac{2}{3}.$$

Răspuns: $\frac{2}{3}$.

Exemplul 3 — fracție împărțită la un număr natural

Calculează: $\frac{9}{10}:3$.

Rezolvare. Scriu $3=\frac{3}{1}$ și răstorn: $$\frac{9}{10}:\frac{3}{1}=\frac{9}{10}\cdot \frac{1}{3}=\frac{9}{30}.$$ Simplific prin $3$: $\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$. (Aș fi putut simplifica și din timp: $9$ cu $3$ prin $3$, rezultând direct $\frac{3}{10}$.)

Răspuns: $\frac{3}{10}$.

Exemplul 4 — număr natural împărțit la o fracție

Calculează: $8:\frac{2}{5}$.

Rezolvare. Scriu $8=\frac{8}{1}$: $$\frac{8}{1}:\frac{2}{5}=\frac{8}{1}\cdot \frac{5}{2}=\frac{40}{2}=20.$$ Verificare cu sensul împărțirii: de câte ori încape $\frac{2}{5}$ în $8$? În fiecare întreg încap $5:2=2,5$ bucăți, iar în $8$ întregi încap $8\cdot 2,5=20$ bucăți. Corect!

Răspuns: $20$.

Exemplul 5 — împărțirea unor fracții care dau un întreg

Calculează: $\frac{15}{16}:\frac{5}{8}$.

Rezolvare. $$\frac{15}{16}:\frac{5}{8}=\frac{15}{16}\cdot \frac{8}{5}.$$ Simplific: $15$ cu $5$ prin $5$ ($15\to 3$, $5\to 1$); $8$ cu $16$ prin $8$ ($8\to 1$, $16\to 2$): $$\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{1}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}.$$

Răspuns: $\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$.

Exemplul 6 — mică problemă practică

Problemă. Maria are o panglică lungă de $\frac{7}{8}$ de metru. Vrea să o taie în bucăți de câte $\frac{1}{16}$ de metru, pentru fundițe. Câte fundițe poate face?

Rezolvare. Întrebarea „câte bucăți de $\frac{1}{16}$ încap în $\frac{7}{8}$?" este o împărțire: $$\frac{7}{8}:\frac{1}{16}=\frac{7}{8}\cdot \frac{16}{1}=\frac{7\cdot 16}{8}=\frac{112}{8}=14.$$ Sau, simplificând: $16$ cu $8$ prin $8$ dă $\frac{7}{1}\cdot \frac{2}{1}=14$.

Răspuns: Maria poate face 14 fundițe.

Exemplul 7 — expresie cu mai multe operații

Calculează: $\frac{5}{6}:\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$.

Rezolvare. Respectăm ordinea operațiilor: mai întâi împărțirea, apoi adunarea. Reamintește-ți regulile de la ordinea operațiilor.

Pasul 1 — împărțirea: $$\frac{5}{6}:\frac{2}{3}=\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{2}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$$ (simplificat prin 3).

Pasul 2 — adunarea cu $\frac{1}{4}$, aducând la numitor comun $4$: $$\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$$

Răspuns: $\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$.

Exemplul 8 — aflarea unui număr necunoscut

Află numărul $x$: $x:\frac{3}{5}=\frac{10}{9}$.

Rezolvare. Pentru a afla deîmpărțitul, înmulțim câtul cu împărțitorul (mersul invers al împărțirii): $$x=\frac{10}{9}\cdot \frac{3}{5}.$$ Simplific $10$ cu $5$ (prin 5) și $3$ cu $9$ (prin 3): $\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{1}=\frac{2}{3}$.

Verificare: $\frac{2}{3}:\frac{3}{5}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{3}=\frac{10}{9}$. Corect.

Răspuns: $x=\frac{2}{3}$.

Exemplul 9 — împărțirea a două numere mixte

Calculează: $3\frac{1}{3}:\frac{2}{9}$.

Rezolvare. Avem un număr mixt, așa că pasul zero este să-l transformăm în fracție supraunitară: $$3\frac{1}{3}=\frac{3\cdot 3+1}{3}=\frac{10}{3}.$$ Acum împărțim ca de obicei, răsturnând a doua fracție: $$\frac{10}{3}:\frac{2}{9}=\frac{10}{3}\cdot \frac{9}{2}.$$ Simplific înainte de a înmulți: $10$ cu $2$ prin $2$ ($10\to 5$, $2\to 1$); $9$ cu $3$ prin $3$ ($9\to 3$, $3\to 1$): $$\frac{5}{1}\cdot \frac{3}{1}=15.$$

Răspuns: $15$.

Exemplul 10 — problemă cu număr mixt

Problemă. O rețetă de biscuiți folosește $\frac{3}{4}$ dintr-o cană de făină pentru o porție. În cămară ai $4\frac{1}{2}$ căni de făină. Câte porții de biscuiți poți face?

Rezolvare. Întrebarea „de câte ori încape $\frac{3}{4}$ de cană în $4\frac{1}{2}$ căni?" este o împărțire. Transform mai întâi numărul mixt: $$4\frac{1}{2}=\frac{4\cdot 2+1}{2}=\frac{9}{2}.$$ Apoi împart: $$\frac{9}{2}:\frac{3}{4}=\frac{9}{2}\cdot \frac{4}{3}.$$ Simplific: $9$ cu $3$ prin $3$ ($9\to 3$, $3\to 1$); $4$ cu $2$ prin $2$ ($4\to 2$, $2\to 1$): $$\frac{3}{1}\cdot \frac{2}{1}=6.$$

Răspuns: poți face exact 6 porții de biscuiți.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Simplifică ori de câte ori poți și, la fracțiile supraunitare, scoate întregii.

A. Inversa unei fracții — scrie răsturnata fiecărui număr:

1. Inversa lui $\frac{3}{8}$.
2. Inversa lui $\frac{11}{4}$.
3. Inversa lui $7$.
4. Inversa lui $\frac{1}{12}$.

B. Calcul direct — împarte fracțiile:

5. $\frac{2}{3}:\frac{5}{7}$
6. $\frac{4}{9}:\frac{8}{3}$
7. $\frac{5}{6}:\frac{5}{12}$
8. $\frac{7}{10}:\frac{14}{15}$

C. Cu numere naturale:

9. $\frac{6}{7}:3$
10. $10:\frac{5}{4}$
11. $\frac{9}{8}:6$

D. Completează spațiul liber (potrivire):

12. $\frac{2}{5}\cdot \square =1$. Ce fracție lipsește?
13. $\frac{3}{4}:\square =\frac{3}{8}$. Ce împărțitor lipsește?

E. Adevărat sau Fals? Justifică pe scurt.

14. Inversa unei fracții subunitare este o fracție supraunitară.
15. $\frac{1}{2}:\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$.
16. Când împarți un număr la o fracție subunitară, rezultatul este mai mare decât numărul.

F. Probleme:

17. Un robinet umple $\frac{3}{4}$ dintr-un bazin în $\frac{1}{2}$ de oră. Ce parte din bazin umple într-o oră întreagă? (Indicație: împarte cantitatea la timp pentru a afla „pe oră".)
18. Un cofetar are $\frac{9}{2}$ kg de ciocolată și folosește câte $\frac{3}{8}$ kg pentru un tort. Câte torturi poate prepara?

G. Provocări (expresii și necunoscute):

19. Calculează respectând ordinea operațiilor: $\frac{7}{8}:\frac{7}{4}-\frac{1}{6}$.

20. Află numărul $x$ din egalitatea $x:\frac{4}{7}=\frac{7}{2}$.

21. Calculează: $\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\right):\frac{5}{4}$.

H. Numere mixte (transformă întâi în fracții supraunitare):

22. $2\frac{1}{2}:\frac{5}{4}$

23. $3\frac{3}{4}:1\frac{1}{2}$

24. Ana are o frânghie de $7\frac{1}{2}$ metri și o taie în bucăți de câte $\frac{5}{6}$ de metru. Câte bucăți obține?

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{8}{3}$ — schimbi numărătorul cu numitorul.

2. $\frac{4}{11}$ — întorci fracția; rezultă o fracție subunitară.

3. $\frac{1}{7}$ — $7=\frac{7}{1}$, răsturnata este $\frac{1}{7}$.

4. $12$ — răsturnata lui $\frac{1}{12}$ este $\frac{12}{1}=12$.

5. $\frac{2}{3}:\frac{5}{7}=\frac{2}{3}\cdot \frac{7}{5}=\frac{14}{15}$. Ireductibilă.

6. $\frac{4}{9}:\frac{8}{3}=\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}$. Simplific $4$ cu $8$ (prin 4) și $3$ cu $9$ (prin 3): $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$.

7. $\frac{5}{6}:\frac{5}{12}=\frac{5}{6}\cdot \frac{12}{5}$. Simplific $5$ cu $5$ și $12$ cu $6$ (prin 6): $\frac{1}{1}\cdot \frac{2}{1}=2$.

8. $\frac{7}{10}:\frac{14}{15}=\frac{7}{10}\cdot \frac{15}{14}$. Simplific $7$ cu $14$ (prin 7) și $15$ cu $10$ (prin 5): $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$.

9. $\frac{6}{7}:3=\frac{6}{7}\cdot \frac{1}{3}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$ (simplificat prin 3).

10. $10:\frac{5}{4}=\frac{10}{1}\cdot \frac{4}{5}=\frac{40}{5}=8$.

11. $\frac{9}{8}:6=\frac{9}{8}\cdot \frac{1}{6}=\frac{9}{48}=\frac{3}{16}$ (simplificat prin 3).

12. $\frac{5}{2}$ — pentru ca produsul să fie $1$, factorul lipsă este inversa lui $\frac{2}{5}$.

13. $2$ — verificare: $\frac{3}{4}:2=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$. Deci împărțitorul este $2$.

14. Adevărat. O fracție subunitară are numărătorul mai mic decât numitorul; răsturnând-o, numărătorul devine mai mare decât numitorul, deci rezultă o fracție supraunitară (de exemplu, $\frac{2}{5}\to \frac{5}{2}$).

15. Fals. Corect: $\frac{1}{2}:\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{1}=\frac{4}{2}=2$. (Greșeala tipică e să înmulțești direct, fără să răstorni.)

16. Adevărat. Împărțind la un număr mai mic decât $1$, întrebi „de câte ori încape ceva mic într-un întreg", iar răspunsul este mai mare decât numărul de pornire (de exemplu, $5:\frac{1}{2}=10$).

17. Robinetul umple $\frac{3}{4}$ în $\frac{1}{2}$ oră. Pe oră: $\frac{3}{4}:\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$. Deci într-o oră ar umple $\frac{3}{2}$ din bazin, adică un bazin întreg și încă jumătate (presupunând un al doilea bazin la fel).

18. $\frac{9}{2}:\frac{3}{8}=\frac{9}{2}\cdot \frac{8}{3}$. Simplific $9$ cu $3$ (prin 3) și $8$ cu $2$ (prin 2): $\frac{3}{1}\cdot \frac{4}{1}=12$. Cofetarul poate prepara 12 torturi.

19. Întâi împărțirea: $\frac{7}{8}:\frac{7}{4}=\frac{7}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Apoi scăderea, cu numitor comun $6$: $\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

20. $x=\frac{7}{2}\cdot \frac{4}{7}=\frac{4}{2}=2$ (înmulțesc câtul cu împărțitorul; simplific $7$ cu $7$). Verificare: $2:\frac{4}{7}=\frac{2}{1}\cdot \frac{7}{4}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$. Corect.

21. Întâi paranteza, cu numitor comun $6$: $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$. Apoi împărțirea: $\frac{5}{6}:\frac{5}{4}=\frac{5}{6}\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

22. Transform: $2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$. Apoi $\frac{5}{2}:\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\cdot \frac{4}{5}$. Simplific $5$ cu $5$ și $4$ cu $2$ (prin 2): $\frac{1}{1}\cdot \frac{2}{1}=2$.

23. Transform ambele: $3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$ și $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Apoi $\frac{15}{4}:\frac{3}{2}=\frac{15}{4}\cdot \frac{2}{3}$. Simplific $15$ cu $3$ (prin 3) și $2$ cu $4$ (prin 2): $\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{1}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$.

24. Transform: $7\frac{1}{2}=\frac{15}{2}$. „De câte ori încape $\frac{5}{6}$ în $\frac{15}{2}$?" — o împărțire: $\frac{15}{2}:\frac{5}{6}=\frac{15}{2}\cdot \frac{6}{5}$. Simplific $15$ cu $5$ (prin 5) și $6$ cu $2$ (prin 2): $\frac{3}{1}\cdot \frac{3}{1}=9$. Ana obține 9 bucăți.

De reținut

• Inversa (răsturnata) unei fracții $\frac{a}{b}$ este $\frac{b}{a}$: schimbi numărătorul cu numitorul. Produsul unei fracții cu inversa ei este mereu $1$.
• A împărți = a înmulți cu inversa: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$. Prima rămâne, a doua se răstoarnă.
• Numerele naturale se scriu ca $\frac{n}{1}$ înainte de a aplica regula.
• Simplifică factorii comuni înainte de a înmulți — eviți numerele mari și greșelile.
• Numerele mixte se transformă întâi în fracții supraunitare ($2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$), abia apoi împarți.
• Numărul $0$ nu are inversă; nu poți împărți niciodată la $0$.

Greșeli frecvente

• Răstorni prima fracție în loc de a doua. Regula spune clar: rămâne neschimbată prima fracție și se răstoarnă a doua (împărțitorul). Spune-ți de fiecare dată: „prima rămâne, a doua se întoarce".
• Uiți să schimbi „:" în „×". Dacă răstorni a doua fracție dar păstrezi semnul de împărțire, calculul e greșit. Răsturnarea merge mereu împreună cu transformarea în înmulțire.
• Crezi că împărțirea micșorează întotdeauna. La fracții subunitare, împărțirea mărește rezultatul ($6:\frac{1}{2}=12$). Nu te speria de un rezultat mai mare decât numărul de pornire — e normal.
• Nu simplifici rezultatul final. O fracție precum $\frac{6}{4}$ trebuie adusă la forma ireductibilă $\frac{3}{2}$, eventual cu întregul scos: $1\frac{1}{2}$.
• Împarți numere mixte fără să le transformi. Nu poți împărți „separat întregii și separat fracțiile". Transformă mai întâi fiecare număr mixt în fracție supraunitară ($2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$), apoi aplică regula.

Joc acasă

1. Pizza inversată. Ia o foaie și desenează o pizza tăiată în $4$ felii; colorează $3$ (adică $\frac{3}{4}$). Întreabă: „de câte ori încape o jumătate de felie ($\frac{1}{8}$ de pizza) în partea colorată?". Numără pe desen, apoi verifică prin calcul: $\frac{3}{4}:\frac{1}{8}=6$. Te potrivești cu desenul?

2. Cana de măsură. Cu o cană de bucătărie, toarnă $\frac{3}{4}$ litru de apă într-un vas. Apoi golește vasul cu un păhărel care ține $\frac{1}{8}$ de litru și numără de câte ori îl umpli. Compară numărul obținut cu rezultatul calculului $\frac{3}{4}:\frac{1}{8}$.

3. Cartonașe „răstoarnă". Scrie pe câteva cartonașe fracții ($\frac{2}{5}$, $\frac{7}{3}$, $\frac{1}{6}$, $4$). Amestecă-le și, pe rând, spune cât mai repede inversa fiecăreia. Cine greșește, ia cartonașul înapoi — câștigă cel care rămâne fără cartonașe.

4. Bucătarul cu numere mixte. Alege o rețetă reală din bucătărie (de exemplu, una care cere $\frac{3}{4}$ de cană de zahăr pentru o porție). Imaginează-ți că ai $2\frac{1}{4}$ căni de zahăr și află câte porții poți face: transformi $2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$, apoi calculezi $\frac{9}{4}:\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\cdot \frac{4}{3}=3$ porții. Schimbă cantitățile și inventează singur alte întrebări — așa exersezi pasul zero (transformarea numerelor mixte) fără să simți că „înveți".

Pentru părinți și învățători

Această lecție încheie operațiile cu fracții ordinare, așa că este o bună ocazie de a verifica și înmulțirea. Recomandări concrete:

• Începeți de la sens, nu de la regulă. Înainte de „înmulțire cu inversa", puneți întrebarea „de câte ori încape...?" și desenați. Astfel copilul înțelege că împărțirea fracțiilor are un sens concret, nu este un truc memorat orbește.
• Întrebări utile de pus: „Care fracție o răstorni — prima sau a doua?", „De ce produsul unei fracții cu inversa ei dă mereu 1?", „Cum rescrii numărul 5 ca fracție?", „Putem simplifica înainte să înmulțim?".
• Verificați înțelegerea cerând copilului să explice cu voce tare pașii la un exercițiu nou (de exemplu $\frac{5}{6}:\frac{10}{3}$). Dacă verbalizează corect „a doua se răstoarnă, apoi înmulțesc și simplific", a înțeles algoritmul.
• Capcana clasică este răsturnarea fracției greșite. Dacă apare, reveniți la enunț și subliniați împreună care este împărțitorul.
• Numerele mixte cer un pas în plus, deseori uitat: transformarea în fracție supraunitară înainte de împărțire. Verificați acest pas zero ori de câte ori apar întregi lipiți de fracții (de exemplu $3\frac{1}{2}$). Un bun exercițiu de control este să cereți copilului să estimeze întâi dacă rezultatul va fi mai mare sau mai mic decât deîmpărțitul, apoi să verifice prin calcul — astfel prinde din timp eventualele răsturnări greșite.
• Pentru recapitulare, legați lecția de adunarea fracțiilor, scăderea fracțiilor și înmulțirea fracțiilor, iar mai departe de fracție și procent dintr-un număr.

Întrebări frecvente

Cum împart două fracții la clasa a 5-a? Înmulțești prima fracție cu inversa (răsturnata) celei de-a doua. Adică păstrezi prima fracție neschimbată, întorci a doua fracție cu susul în jos și schimbi semnul de împărțire în înmulțire. Apoi înmulțești numărător cu numărător și numitor cu numitor și simplifici.

Ce este inversa (răsturnata) unei fracții? Inversa fracției $\frac{a}{b}$ este fracția $\frac{b}{a}$, obținută schimbând numărătorul cu numitorul. Produsul dintre o fracție și inversa ei este întotdeauna $1$, motiv pentru care se numesc numere inverse.

Are numărul 0 o inversă? Nu. Pentru a răsturna $\frac{0}{b}$ ar trebui să scriem $\frac{b}{0}$, dar împărțirea la $0$ nu are sens. De aceea nu poți împărți niciodată o fracție la $0$.

Cum împart o fracție la un număr natural? Scrii numărul natural ca fracție cu numitorul $1$ (de exemplu $3=\frac{3}{1}$), apoi aplici regula: înmulțești fracția cu inversa lui $\frac{3}{1}$, adică cu $\frac{1}{3}$. Astfel $\frac{6}{7}:3=\frac{6}{7}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{7}$.

De ce împărțirea la o fracție subunitară dă un rezultat mai mare? Pentru că întrebi „de câte ori încape un număr mic într-un întreg", iar răspunsul este mare. De exemplu, $6:\frac{1}{2}=12$, fiindcă jumătatea încape de două ori în fiecare întreg, deci de 12 ori în 6 întregi.

Trebuie să simplific rezultatul împărțirii? Da, rezultatul trebuie adus la forma ireductibilă, iar dacă este o fracție supraunitară, este recomandat să scoți întregii. Cel mai simplu este să simplifici factorii comuni chiar înainte de a înmulți, ca să lucrezi cu numere mici.

Pot să răstorn prima fracție în loc de a doua? Nu, ar fi greșit. Se răstoarnă întotdeauna a doua fracție (împărțitorul), iar prima rămâne neschimbată. O regulă bună de memorat: „prima rămâne, a doua se întoarce și înmulțesc".

Care e diferența dintre înmulțirea și împărțirea fracțiilor? La înmulțire înmulțești direct numărător cu numărător și numitor cu numitor. La împărțire faci un pas în plus: mai întâi răstorni a doua fracție și transformi împărțirea în înmulțire, apoi procedezi exact ca la înmulțire.

Cum verific dacă am împărțit corect două fracții? Înmulțește rezultatul (câtul) cu fracția la care ai împărțit (împărțitorul); dacă obții fracția de la care ai pornit (deîmpărțitul), calculul este corect. De exemplu, dacă $\frac{8}{9}:\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$, verifici: $\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}=\frac{8}{9}$, deci totul este în regulă.

Cum împart numere mixte (cu întreg și fracție)? Mai întâi transformi fiecare număr mixt într-o fracție supraunitară: înmulțești întregul cu numitorul, aduni numărătorul și pui totul peste același numitor (de exemplu $2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$). Apoi împarți cele două fracții ca de obicei, răsturnând a doua și înmulțind. Nu împărți niciodată întregii separat de fracții.

Pot simplifica „în cruce" la împărțire? Da, dar numai după ce ai transformat împărțirea în înmulțire cu inversa. Nu simplifica niciodată în cruce atâta timp cât semnul este încă „:", pentru că la împărțire poziția numerelor nu permite asta — abia după răsturnare regula de simplificare a înmulțirii devine valabilă.