Cel mai mare divizor comun. Amplificarea, simplificarea și fracții ireductibile

Imaginează-ți că ai scris fracția $\frac{18}{24}$ și colegul tău a scris $\frac{3}{4}$. Vă uitați unul la altul și fiecare crede că are dreptate. Surpriza? Aveți amândoi dreptate — cele două fracții reprezintă exact aceeași cantitate! În această lecție vei descoperi cum putem „îmbrăca" aceeași fracție în haine diferite (prin amplificare) și cum putem aduce orice fracție la cea mai simplă formă posibilă (prin simplificare), folosind cel mai mare divizor comun. La final vei putea simplifica orice fracție rapid și sigur, ca un adevărat matematician de gimnaziu.

Ce vei învăța

• Vei ști să afli cel mai mare divizor comun (cmmdc) a două numere prin enumerarea divizorilor comuni, fără niciun algoritm complicat.
• Vei ști să amplifici o fracție, înmulțind numărătorul și numitorul cu același număr nenul.
• Vei ști să simplifici o fracție, împărțind numărătorul și numitorul cu un divizor comun.
• Vei ști să aduci o fracție la forma ireductibilă, prin simplificări succesive sau dintr-o singură mișcare folosind cmmdc.
• Vei ști să recunoști când o fracție este deja ireductibilă și de ce această formă este atât de utilă.

Hai să descoperim împreună

Un pas înapoi: ce este un divizor comun

Ne pregătim pe baza a ceea ce știi deja. Îți amintești de la lecția despre divizori comuni și cmmdc prin enumerare că un divizor al unui număr este un număr care îl împarte exact, fără rest.

De exemplu, divizorii lui $12$ sunt: $1,2,3,4,6,12$. Toate aceste numere împart pe $12$ fără să rămână nimic.

Un divizor comun a două numere este un număr care îi împarte exact pe amândoi. Iar cel mai mare divizor comun (cmmdc) este, exact cum spune numele, cel mai mare dintre divizorii pe care cele două numere îi au în comun.

Cum aflăm cmmdc prin enumerare — pas cu pas

Reluăm metoda, pentru că o vom folosi mult în această lecție. Ne propunem să găsim cmmdc al numerelor $18$ și $24$.

Pasul 1. Scriem toți divizorii primului număr. Divizorii lui $18$: $1,2,3,6,9,18$.

Pasul 2. Scriem toți divizorii celui de-al doilea număr. Divizorii lui $24$: $1,2,3,4,6,8,12,24$.

Pasul 3. Subliniem numerele care apar în ambele liste (divizorii comuni). Divizori comuni: $1,2,3,6$.

Pasul 4. Alegem cel mai mare dintre ei. Cel mai mare este $6$. Deci scriem: $\text{cmmdc}(18,24)=6$.

Reține notația: scriem prescurtat $\text{cmmdc}(18,24)=6$ și o citim „cel mai mare divizor comun al numerelor 18 și 24 este 6". Vom folosi acest $6$ imediat pentru a simplifica o fracție.

Ideea-cheie: aceeași fracție, forme diferite

Acum vine partea frumoasă. Ai învățat la lecția despre fracții echivalente că două fracții pot arăta diferit, dar reprezenta aceeași cantitate.

Gândește-te la o ciocolată împărțită în pătrățele.

În toate cele trei cazuri ai mâncat exact jumătate de ciocolată: $$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}.$$

Cum trecem de la o formă la alta? Observă cu atenție:

• De la $\frac{1}{2}$ la $\frac{2}{4}$: am înmulțit și sus, și jos, cu $2$.
• De la $\frac{1}{2}$ la $\frac{4}{8}$: am înmulțit și sus, și jos, cu $4$.

Aceasta este amplificarea. Iar drumul invers — de la $\frac{4}{8}$ înapoi la $\frac{1}{2}$ prin împărțire — se numește simplificare. Hai să le luăm pe rând, încet și temeinic.

Amplificarea unei fracții

Definiție. A amplifica o fracție înseamnă a înmulți și numărătorul, și numitorul cu același număr natural nenul. Numărul cu care înmulțim se numește factor de amplificare. Fracția obținută este egală (echivalentă) cu cea inițială.

Scriem amplificarea cu un mic semn deasupra liniei de fracție, indicând factorul. De exemplu, amplificăm $\frac{3}{5}$ cu $4$:

$$\frac{3}{5}\stackrel{(4)}{=}\frac{3\cdot 4}{5\cdot 4}=\frac{12}{20}.$$

Semnul $\stackrel{(4)}{=}$ se citește „amplificat cu 4". Numărătorul $3$ devine $12$, numitorul $5$ devine $20$, iar valoarea fracției nu se schimbă: $\frac{3}{5}$ și $\frac{12}{20}$ reprezintă aceeași cantitate.

De ce funcționează? Pentru că am înmulțit fracția, de fapt, cu $\frac{4}{4}$, adică cu $1$. Iar înmulțirea cu $1$ nu schimbă o valoare. E ca și cum ai tăia fiecare felie în 4 felioare mai mici: ai mai multe bucățele, dar mănânci tot atât.

Atenție la cuvântul „nenul". Factorul de amplificare trebuie să fie diferit de zero. Dacă am înmulți cu $0$, am obține $\frac{0}{0}$, ceea ce nu are sens. De aceea amplificăm doar cu $2,3,4,5,\dots$

La ce folosește amplificarea? Mai târziu, la lecția despre aducerea fracțiilor la un numitor comun, vei amplifica fracțiile ca să le poți aduna sau scădea. Acum e suficient să stăpânești mecanismul.

Simplificarea unei fracții

Simplificarea este operația opusă amplificării. În loc să înmulțim, împărțim.

Definiție. A simplifica o fracție înseamnă a împărți și numărătorul, și numitorul prin același divizor comun al lor. Fracția obținută este egală cu cea inițială, dar are numere mai mici.

Putem simplifica o fracție doar dacă numărătorul și numitorul au un divizor comun mai mare decât $1$. Notăm simplificarea cu factorul scris sub linie:

$$\frac{12}{20}\stackrel{(4)}{=}\frac{12:4}{20:4}=\frac{3}{5}.$$

Aici am împărțit și sus, și jos, cu $4$. Atenție: $4$ trebuie să fie divizor comun, adică să-i împartă exact pe amândoi. Într-adevăr, $12:4=3$ și $20:4=5$, ambele împărțiri sunt fără rest. Rezultatul $\frac{3}{5}$ este o fracție mai „curată", mai ușor de citit și de folosit.

De ce funcționează? Pentru același motiv ca la amplificare: am împărțit fracția cu $\frac{4}{4}=1$. E ca și cum ai lipi câte 4 felioare la loc într-o felie mai mare: ai mai puține bucăți, dar tot atâta tort.

Regula de aur a simplificării: poți împărți numărătorul și numitorul doar printr-un număr care îi împarte exact pe amândoi. Dacă încerci să împarți cu un număr care nu este divizor comun, vei obține resturi și fracția nu mai e egală cu cea de la care ai pornit. Aceasta e cea mai frecventă greșeală — o vom relua la final.

Fracția ireductibilă — forma cea mai simplă

Hai să simplificăm $\frac{18}{24}$ pas cu pas și să vedem unde ne oprim.

Observăm că $18$ și $24$ sunt amândouă pare, deci au divizorul comun $2$: $$\frac{18}{24}\stackrel{(2)}{=}\frac{18:2}{24:2}=\frac{9}{12}.$$

Mai putem? Da: $9$ și $12$ se împart amândouă la $3$: $$\frac{9}{12}\stackrel{(3)}{=}\frac{9:3}{12:3}=\frac{3}{4}.$$

Mai putem simplifica $\frac{3}{4}$? Divizorii lui $3$ sunt $1$ și $3$; divizorii lui $4$ sunt $1,2,4$. Singurul divizor comun este $1$. Nu mai avem cu ce simplifica. Ne-am oprit.

Definiție. O fracție se numește ireductibilă dacă numărătorul și numitorul nu mai au niciun divizor comun mai mare decât $1$ — altfel spus, dacă $\text{cmmdc}(\text{numa˘ra˘tor},\text{numitor})=1$. O fracție ireductibilă nu mai poate fi simplificată.

Așadar $\frac{3}{4}$ este fracția ireductibilă egală cu $\frac{18}{24}$. Iată drumul complet: $$\frac{18}{24}\stackrel{(2)}{=}\frac{9}{12}\stackrel{(3)}{=}\frac{3}{4}.$$

Am ajuns la $\frac{3}{4}$ prin simplificări succesive: am simplificat de mai multe ori, până nu s-a mai putut.

Scurtătura: simplifică dintr-o singură mișcare cu cmmdc

Există un truc elegant care te scutește de mai mulți pași. În loc să simplifici de câteva ori cu numere mici, împarte de la început cu cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului.

La $\frac{18}{24}$ am calculat mai devreme $\text{cmmdc}(18,24)=6$. Hai să simplificăm direct cu $6$: $$\frac{18}{24}\stackrel{(6)}{=}\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}.$$

Același rezultat, dintr-un singur pas! Aceasta este regula de bază a lecției:

Regulă. Pentru a aduce o fracție direct la forma ireductibilă, împarte numărătorul și numitorul la cmmdc-ul lor. De ce iese sigur ireductibilă? Pentru că am scos „tot ce era comun" dintr-o dată — nu a mai rămas niciun divizor comun mai mare decât $1$.

Așadar ai două drumuri, ambele corecte, către aceeași fracție ireductibilă:

1. Simplificări succesive: împarți de mai multe ori cu divizori comuni mici (2, 3, 5...) până nu mai poți. Sigur și ușor.
2. O singură simplificare cu cmmdc: mai rapid, dacă găsești ușor cmmdc.

Alege drumul care ți se pare mai comod — rezultatul e identic.

De ce ne dorim forma ireductibilă

Te-ai putea întreba: dacă $\frac{18}{24}$ și $\frac{3}{4}$ înseamnă același lucru, de ce ne mai obosim să simplificăm? Există trei motive foarte practice.

1. E mai ușor de citit și de imaginat. „Trei sferturi" îți spune imediat cât de plină e cana; „optsprezece din douăzeci și patru" te pune pe gânduri. Numerele mici se „văd" mult mai bine în minte.

2. E forma în care se cere de obicei răspunsul. La gimnaziu, la teze și la concursuri, răspunsul final la o problemă cu fracții se dă, prin convenție, în formă ireductibilă. Un răspuns lăsat ca $\frac{18}{24}$ este corect ca valoare, dar incomplet ca scriere — de aceea profesorii cer „simplifică până la capăt".

3. E un act de identitate al fracției. Două fracții sunt egale dacă și numai dacă au aceeași formă ireductibilă. Așa cum fiecare om are un singur buletin, fiecare valoare de fracție are o singură formă ireductibilă. Aceasta o face instrumentul perfect pentru a compara sau a verifica egalitatea fracțiilor — cum vei vedea în exemple.

Cum recunosc dacă o fracție e deja ireductibilă

E simplu: calculezi cmmdc-ul numărătorului și numitorului. Dacă este $1$, fracția este ireductibilă și nu o mai poți simplifica. Dacă este mai mare decât $1$, mai poți simplifica.

De exemplu, $\frac{7}{10}$: divizorii lui $7$ sunt $1,7$; divizorii lui $10$ sunt $1,2,5,10$. Singurul comun este $1$, deci $\frac{7}{10}$ este ireductibilă. Un caz special util: dacă numărătorul este număr prim și nu împarte numitorul, fracția e automat ireductibilă (vezi lecția despre numere prime și compuse).

Trucuri rapide pentru a găsi un divizor comun

Ca să simplifici repede, e bine să recunoști dintr-o privire un divizor comun. Folosește criteriile de divizibilitate pe care le știi deja:

• Amândouă pare? Atunci $2$ este divizor comun — împarte cu $2$. (De exemplu, $\frac{14}{22}$: amândouă pare → cu $2$ → $\frac{7}{11}$.)
• Amândouă se termină în 0 sau 5? Atunci $5$ este divizor comun — împarte cu $5$. (De exemplu, $\frac{25}{40}$ → cu $5$ → $\frac{5}{8}$.)
• Suma cifrelor fiecăruia se împarte la 3? Atunci $3$ este divizor comun. (De exemplu, la $\frac{27}{45}$: $2+7=9$ și $4+5=9$, ambele multipli de 3 → cu $3$ → $\frac{9}{15}$, apoi iar → $\frac{3}{5}$.)
• Amândouă se termină în 0? Atunci poți simplifica direct cu $10$.

Nu te grăbi să găsești neapărat cmmdc-ul din prima. Dacă simplifici cu un divizor comun mai mic și repeți, ajungi sigur la forma ireductibilă. Răbdarea bate viteza.

Acum că am descoperit împreună toate ideile, hai să le punem în mișcare pe exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Amplificarea unei fracții

Cerință: Amplifică fracția $\frac{2}{7}$ cu $5$.

Rezolvare. Înmulțim și numărătorul, și numitorul cu $5$: $$\frac{2}{7}\stackrel{(5)}{=}\frac{2\cdot 5}{7\cdot 5}=\frac{10}{35}.$$

Raționament povestit: Am tăiat fiecare bucată în 5 felioare. Acum avem de 5 ori mai multe felioare (numitorul $35$) și luăm de 5 ori mai multe (numărătorul $10$), deci cantitatea rămâne aceeași. Răspuns: $\frac{10}{35}$.

Exemplul 2 — Amplificare ca să obținem un numitor dorit

Cerință: Scrie fracția $\frac{3}{4}$ cu numitorul $20$.

Rezolvare. Ne întrebăm: cu cât trebuie înmulțit $4$ ca să obținem $20$? Răspuns: $20:4=5$. Deci factorul de amplificare este $5$. Amplificăm și numărătorul cu același $5$: $$\frac{3}{4}\stackrel{(5)}{=}\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20}.$$

Raționament: Important e să folosim același factor sus și jos. Am aflat factorul uitându-ne la numitor, apoi l-am aplicat și la numărător. Răspuns: $\frac{15}{20}$.

Exemplul 3 — Simplificarea cu un divizor comun găsit din ochi

Cerință: Simplifică fracția $\frac{15}{35}$.

Rezolvare. Observăm că ambele numere se termină în $5$, deci sunt divizibile cu $5$ (criteriul de divizibilitate cu 5). Împărțim sus și jos cu $5$: $$\frac{15}{35}\stackrel{(5)}{=}\frac{15:5}{35:5}=\frac{3}{7}.$$

Verificăm dacă mai putem: divizorii lui $3$ sunt $1,3$; ai lui $7$ sunt $1,7$. Comun: doar $1$. Deci $\frac{3}{7}$ este ireductibilă. Răspuns: $\frac{3}{7}$.

Exemplul 4 — Aducerea la forma ireductibilă prin simplificări succesive

Cerință: Adu fracția $\frac{36}{60}$ la forma ireductibilă, pas cu pas.

Rezolvare. Ambele sunt pare → simplificăm cu $2$: $$\frac{36}{60}\stackrel{(2)}{=}\frac{18}{30}.$$ Tot pare → mai simplificăm cu $2$: $$\frac{18}{30}\stackrel{(2)}{=}\frac{9}{15}.$$ Acum $9$ și $15$ sunt divizibile cu $3$ (suma cifrelor lui 9 este 9, a lui 15 este 6, ambele multipli de 3) → simplificăm cu $3$: $$\frac{9}{15}\stackrel{(3)}{=}\frac{3}{5}.$$ Divizorii lui $3$: $1,3$; ai lui $5$: $1,5$. Comun doar $1$ → STOP. Răspuns: $\frac{3}{5}$.

Exemplul 5 — Aceeași fracție, dar direct cu cmmdc

Cerință: Adu $\frac{36}{60}$ la forma ireductibilă într-un singur pas.

Rezolvare. Aflăm cmmdc prin enumerare. Divizorii lui $36$: $1,2,3,4,6,9,12,18,36$. Divizorii lui $60$: $1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$. Divizori comuni: $1,2,3,4,6,12$. Cel mai mare: $12$. Deci $\text{cmmdc}(36,60)=12$.

Simplificăm direct cu $12$: $$\frac{36}{60}\stackrel{(12)}{=}\frac{36:12}{60:12}=\frac{3}{5}.$$

Observație: Am obținut același $\frac{3}{5}$ ca în Exemplul 4, dar dintr-o singură mișcare. Răspuns: $\frac{3}{5}$.

Exemplul 6 — Recunoaște și demonstrează că o fracție e ireductibilă

Cerință: Este fracția $\frac{14}{45}$ ireductibilă? Justifică.

Rezolvare. Aflăm divizorii fiecărui număr. Divizorii lui $14$: $1,2,7,14$. Divizorii lui $45$: $1,3,5,9,15,45$. Singurul divizor comun este $1$, deci $\text{cmmdc}(14,45)=1$.

Cum cmmdc-ul este $1$, fracția nu se mai poate simplifica — este ireductibilă. Răspuns: Da, $\frac{14}{45}$ este ireductibilă.

Exemplul 7 — Verificăm că două fracții sunt egale

Cerință: Sunt egale fracțiile $\frac{8}{12}$ și $\frac{10}{15}$?

Rezolvare. Aducem fiecare la forma ireductibilă și comparăm. $\frac{8}{12}$: $\text{cmmdc}(8,12)=4$, deci $\frac{8}{12}\stackrel{(4)}{=}\frac{2}{3}$. $\frac{10}{15}$: $\text{cmmdc}(10,15)=5$, deci $\frac{10}{15}\stackrel{(5)}{=}\frac{2}{3}$.

Ambele au aceeași formă ireductibilă $\frac{2}{3}$, deci sunt egale. Răspuns: Da, $\frac{8}{12}=\frac{10}{15}$. (Forma ireductibilă e ca o „carte de identitate" a fracției: dacă două fracții au aceeași formă ireductibilă, sunt egale.)

Exemplul 8 — Numere mari: ambele drumuri către forma ireductibilă

Cerință: Adu fracția $\frac{84}{120}$ la forma ireductibilă, în două moduri.

Rezolvare — drumul 1 (simplificări succesive). Ambele numere sunt pare, deci împărțim cu $2$ de câte ori putem: $$\frac{84}{120}\stackrel{(2)}{=}\frac{42}{60}\stackrel{(2)}{=}\frac{21}{30}.$$ Acum $21$ este impar, deci nu mai merge cu $2$. Verificăm cu $3$: suma cifrelor lui $21$ este $2+1=3$ (multiplu de 3) și a lui $30$ este $3+0=3$ (multiplu de 3), deci amândouă se împart la $3$: $$\frac{21}{30}\stackrel{(3)}{=}\frac{7}{10}.$$ Divizorii lui $7$ sunt $1,7$; ai lui $10$ sunt $1,2,5,10$. Comun doar $1$ → STOP.

Rezolvare — drumul 2 (direct cu cmmdc). Aflăm $\text{cmmdc}(84,120)$ prin enumerare. Divizorii lui $84$: $1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84$. Divizorii lui $120$: $1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120$. Cel mai mare divizor comun este $12$. Simplificăm direct: $$\frac{84}{120}\stackrel{(12)}{=}\frac{84:12}{120:12}=\frac{7}{10}.$$

Observație: Ambele drumuri dau $\frac{7}{10}$. Când numerele sunt mari și nu vezi imediat cmmdc-ul, drumul cu pași mici (cu $2$, apoi $3$) este de multe ori mai sigur și mai rapid decât căutarea tuturor divizorilor. Răspuns: $\frac{7}{10}$.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Începe cu cele ușoare și avansează treptat. La final compară cu cheia de răspunsuri.

1. Amplifică fracția $\frac{1}{3}$ cu $4$.

2. Amplifică fracția $\frac{5}{6}$ cu $3$.

3. Amplifică fracția $\frac{2}{9}$ cu $10$.

4. Completează factorul lipsă: $\frac{3}{8}\stackrel{(?)}{=}\frac{?}{40}$. Cu cât ai amplificat și care e numărătorul nou?

5. Simplifică cu $2$ fracția $\frac{14}{22}$.

6. Simplifică cu $5$ fracția $\frac{25}{40}$.

7. Simplifică cu $3$ fracția $\frac{21}{27}$.

8. Adevărat sau fals? Putem simplifica $\frac{9}{16}$ cu $3$. Justifică.

9. Află $\text{cmmdc}(24,36)$ prin enumerarea divizorilor comuni.

10. Folosind cmmdc-ul de la exercițiul 9, simplifică direct fracția $\frac{24}{36}$ la forma ireductibilă.

11. Adu la forma ireductibilă, prin simplificări succesive: $\frac{48}{72}$.

12. Încercuiește fracțiile care sunt ireductibile: $\frac{4}{9},\frac{6}{8},\frac{7}{12},\frac{10}{15},\frac{11}{20}$.

13. Potrivește fiecare fracție cu forma ei ireductibilă: a) $\frac{12}{18}$ b) $\frac{20}{25}$ c) $\frac{16}{24}$ d) $\frac{30}{42}$ A) $\frac{4}{5}$ B) $\frac{2}{3}$ C) $\frac{5}{7}$ D) $\frac{2}{3}$

14. Sunt egale fracțiile $\frac{18}{30}$ și $\frac{15}{25}$? Adu-le la forma ireductibilă și decide.

15. Scrie fracția $\frac{5}{7}$ cu numitorul $42$ (prin amplificare).

16. (Problemă) Într-o clasă de $28$ de elevi, $21$ au fost la concursul de matematică. Scrie fracția elevilor participanți și adu-o la forma ireductibilă. Ce parte din clasă a participat?

17. (Problemă) Un telefon are bateria încărcată la $\frac{45}{60}$. Simplifică fracția. Câte „sferturi" de baterie reprezintă?

18. (Provocare) Găsește un număr natural $n$ astfel încât fracția $\frac{n}{12}$ să fie ireductibilă, cu $n$ mai mic decât $12$. Dă trei valori posibile.

19. Adevărat sau fals? Dacă amplific o fracție, valoarea ei crește. Justifică.

20. (Problemă) Ana a rezolvat $40$ de exerciții dintr-un total de $64$. Andrei a rezolvat $25$ din $40$. Adu fiecare fracție la forma ireductibilă și spune cine a rezolvat o parte mai mare din temele lui.

21. Adu la forma ireductibilă fracția $\frac{56}{98}$ (numerele sunt mai mari — folosește pași mici sau cmmdc).

22. (Problemă) Un drum are $90$ de km. O mașină a parcurs $54$ de km. Scrie fracția drumului parcurs și adu-o la forma ireductibilă. Ce parte din drum a rămas de parcurs?

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{1}{3}\stackrel{(4)}{=}\frac{1\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{4}{12}$. Înmulțim sus și jos cu 4.

2. $\frac{5}{6}\stackrel{(3)}{=}\frac{15}{18}$. ($5\cdot 3=15$, $6\cdot 3=18$.)

3. $\frac{2}{9}\stackrel{(10)}{=}\frac{20}{90}$. ($2\cdot 10=20$, $9\cdot 10=90$.)

4. Factorul este $5$, fiindcă $8\cdot 5=40$. Numărătorul nou: $3\cdot 5=15$. Deci $\frac{3}{8}\stackrel{(5)}{=}\frac{15}{40}$.

5. $\frac{14}{22}\stackrel{(2)}{=}\frac{7}{11}$. ($14:2=7$, $22:2=11$.) Este și ireductibilă.

6. $\frac{25}{40}\stackrel{(5)}{=}\frac{5}{8}$. ($25:5=5$, $40:5=8$.) Ireductibilă.

7. $\frac{21}{27}\stackrel{(3)}{=}\frac{7}{9}$. ($21:3=7$, $27:3=9$.) Ireductibilă.

8. Fals. $3$ împarte pe $9$ (divizor), dar nu împarte pe $16$ ($16:3$ dă rest). $3$ nu este divizor comun, deci nu putem simplifica cu el. De fapt $\frac{9}{16}$ este chiar ireductibilă.

9. Divizorii lui $24$: $1,2,3,4,6,8,12,24$. Divizorii lui $36$: $1,2,3,4,6,9,12,18,36$. Comuni: $1,2,3,4,6,12$. Cel mai mare: $\text{cmmdc}(24,36)=12$.

10. $\frac{24}{36}\stackrel{(12)}{=}\frac{24:12}{36:12}=\frac{2}{3}$. Ireductibilă.

11. $\frac{48}{72}\stackrel{(2)}{=}\frac{24}{36}\stackrel{(2)}{=}\frac{12}{18}\stackrel{(6)}{=}\frac{2}{3}$ (sau direct cu $\text{cmmdc}(48,72)=24$: $\frac{48}{72}\stackrel{(24)}{=}\frac{2}{3}$). Răspuns: $\frac{2}{3}$.

12. Ireductibile: $\frac{4}{9}$ (cmmdc 1), $\frac{7}{12}$ (cmmdc 1), $\frac{11}{20}$ (cmmdc 1). NU sunt ireductibile: $\frac{6}{8}$ (se simplifică cu 2 → $\frac{3}{4}$) și $\frac{10}{15}$ (se simplifică cu 5 → $\frac{2}{3}$).

13. a) $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$ → B; b) $\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$ → A; c) $\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$ → D; d) $\frac{30}{42}=\frac{5}{7}$ → C. (a și c dau amândouă $\frac{2}{3}$, de aceea sunt și două variante B și D identice ca valoare.)

14. $\frac{18}{30}\stackrel{(6)}{=}\frac{3}{5}$ și $\frac{15}{25}\stackrel{(5)}{=}\frac{3}{5}$. Ambele au forma ireductibilă $\frac{3}{5}$, deci sunt egale.

15. $42:7=6$, deci factorul e $6$: $\frac{5}{7}\stackrel{(6)}{=}\frac{30}{42}$.

16. Fracția participanților: $\frac{21}{28}$. $\text{cmmdc}(21,28)=7$, deci $\frac{21}{28}\stackrel{(7)}{=}\frac{3}{4}$. A participat trei sferturi din clasă.

17. $\frac{45}{60}\stackrel{(15)}{=}\frac{3}{4}$ (cmmdc 15). Bateria este la $\frac{3}{4}$, adică trei sferturi.

18. $\frac{n}{12}$ e ireductibilă când $n$ nu are divizori comuni cu $12$ în afară de $1$. Cum divizorii lui $12$ sunt $1,2,3,4,6,12$, alegem $n$ care nu e divizibil cu $2$ și nici cu $3$. Trei valori posibile: $n=1,5,7$ (sau $11$). De exemplu $\frac{1}{12},\frac{5}{12},\frac{7}{12},\frac{11}{12}$ sunt toate ireductibile.

19. Fals. Amplificarea nu schimbă valoarea fracției; doar scrie aceeași cantitate cu numere mai mari. De exemplu $\frac{1}{2}\stackrel{(3)}{=}\frac{3}{6}$, iar $\frac{3}{6}$ este tot o jumătate. Numerele cresc, valoarea rămâne aceeași.

20. Ana: $\frac{40}{64}$, $\text{cmmdc}(40,64)=8$ → $\frac{40}{64}\stackrel{(8)}{=}\frac{5}{8}$. Andrei: $\frac{25}{40}$, $\text{cmmdc}(25,40)=5$ → $\frac{25}{40}\stackrel{(5)}{=}\frac{5}{8}$. Ambii au rezolvat exact $\frac{5}{8}$ din temele lor, deci au rezolvat aceeași parte — la fel de mult.

21. Cu pași mici: ambele pare → $\frac{56}{98}\stackrel{(2)}{=}\frac{28}{49}$; apoi $28$ și $49$ se împart la $7$ → $\frac{28}{49}\stackrel{(7)}{=}\frac{4}{7}$. (Sau direct cu $\text{cmmdc}(56,98)=14$: $\frac{56}{98}\stackrel{(14)}{=}\frac{4}{7}$.) Răspuns: $\frac{4}{7}$, ireductibilă.

22. Fracția parcursă: $\frac{54}{90}$. $\text{cmmdc}(54,90)=18$, deci $\frac{54}{90}\stackrel{(18)}{=}\frac{3}{5}$. A parcurs trei cincimi din drum, deci a rămas $1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$ din drum, adică două cincimi.

De reținut

• Amplificarea = înmulțesc numărătorul ȘI numitorul cu același număr nenul. Valoarea fracției nu se schimbă.
• Simplificarea = împart numărătorul ȘI numitorul cu același divizor comun al lor. Valoarea nu se schimbă, numerele devin mai mici.
• O fracție este ireductibilă când $\text{cmmdc}(\text{numa˘ra˘tor},\text{numitor})=1$, adică nu mai are ce simplifica.
• Pentru a ajunge direct la forma ireductibilă, împarte cu cmmdc-ul. Sau simplifică succesiv cu numere mici, până nu mai poți — rezultatul e același.
• Două fracții sunt egale dacă au aceeași formă ireductibilă.

Greșeli frecvente

• Simplifici doar sus (sau doar jos). Greșit: $\frac{6}{8}=\frac{3}{8}$. La simplificare împarți și numărătorul, și numitorul cu același număr: $\frac{6}{8}\stackrel{(2)}{=}\frac{3}{4}$. Verifică mereu că ai „atins" ambele numere.
• Simplifici cu un număr care nu e divizor comun. Nu poți simplifica $\frac{9}{16}$ cu $3$, fiindcă $3$ nu împarte exact pe $16$. Înainte de a împărți, întreabă-te: „împarte acest număr ȘI sus, ȘI jos, fără rest?".
• Te oprești prea devreme. După o simplificare, verifică dacă mai poți: $\frac{12}{18}\stackrel{(2)}{=}\frac{6}{9}$ — dar $\frac{6}{9}$ se mai simplifică cu $3$ → $\frac{2}{3}$. Oprește-te doar când cmmdc = 1.
• Confunzi amplificarea cu simplificarea. Amplifici → înmulțești (numere mai mari). Simplifici → împarți (numere mai mici). Ține minte: „a-mplific = mai mult".

Joc acasă

1. Cursa de simplificat (cu cărți de joc). Ia un pachet de cărți. Scoate figurile și folosește cărțile cu numere 2-10. Trageți pe rând câte două cărți: prima e numărătorul, a doua e numitorul. Cine simplifică primul corect fracția la forma ireductibilă (sau spune corect „e deja ireductibilă") câștigă un punct. Primul la 5 puncte câștigă. Verificați-vă reciproc cu enumerarea divizorilor.

2. Ciocolata echivalentă. Ia o tabletă de ciocolată (sau desenează un dreptunghi împărțit în pătrățele). Rupe sau colorează o parte și scrie fracția mâncată. Apoi „taie" mintal fiecare pătrățel în 2 și scrie noua fracție — ai amplificat cu 2! Verifică pe desen că ai mâncat la fel de mult. Repetă amplificând cu 3.

3. Vânătoarea de fracții ireductibile. Timp de o zi, caută prin casă fracții „ascunse": $\frac{2}{4}$ dintr-un suc băut, $\frac{6}{12}$ ore dintr-o jumătate de zi, $\frac{20}{60}$ minute dintr-o oră. Scrie-le pe o listă și adu fiecare la forma ireductibilă. Câte au dat $\frac{1}{2}$? Câte au dat $\frac{1}{3}$?

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă divizibilitatea (cmmdc) de lucrul concret cu fracțiile și este temelia pentru adunarea, scăderea și compararea fracțiilor de mai târziu. Iată cum o puteți sprijini:

• Începeți de la egalitate, nu de la mecanică. Arătați mai întâi, cu o ciocolată sau un desen, că $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}$. Copilul trebuie să „simtă" că forma se schimbă, dar cantitatea nu. Abia apoi introduceți cuvintele amplificare/simplificare.
• Întrebări utile de pus: „Cu cât ai înmulțit jos? Atunci cu cât trebuie să înmulțești și sus?"; „Acest număr împarte ȘI numărătorul, ȘI numitorul fără rest?"; „Mai putem simplifica? De unde știi că ne-am oprit?".
• Verificați înțelegerea cu un test rapid: dați-i $\frac{24}{36}$ și cereți să o aducă la forma ireductibilă pe două căi — succesiv și direct cu cmmdc. Dacă obține $\frac{2}{3}$ pe ambele și știe să explice de ce nu mai merge mai departe, a înțeles.
• Greșeala de urmărit: copiii „simplifică" frecvent cu numere care nu sunt divizori comuni sau ating doar un termen al fracției. Cereți întotdeauna verificarea: „arată-mi împărțirea de sus și pe cea de jos, fără rest".
• Conexiuni: reluați la nevoie divizorii comuni și cmmdc și criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10, care ajută la recunoașterea rapidă a divizorilor comuni.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să simplifici o fracție la clasa a 5-a? A simplifica o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul cu același divizor comun al lor, ca să obții o fracție egală, dar cu numere mai mici. De exemplu, $\frac{6}{8}$ se simplifică cu 2 și devine $\frac{3}{4}$. Valoarea fracției rămâne aceeași, doar scrierea devine mai simplă.

Care e diferența dintre amplificare și simplificare? La amplificare înmulțești numărătorul și numitorul cu același număr (obții numere mai mari), iar la simplificare împarți numărătorul și numitorul cu același divizor comun (obții numere mai mici). Sunt operații opuse, dar amândouă păstrează aceeași valoare a fracției.

Ce este o fracție ireductibilă? O fracție ireductibilă este o fracție care nu mai poate fi simplificată, fiindcă numărătorul și numitorul nu mai au niciun divizor comun mai mare decât 1. Cu alte cuvinte, cel mai mare divizor comun al lor este 1, ca la $\frac{3}{4}$ sau $\frac{7}{10}$.

Cum aduc o fracție la forma ireductibilă cel mai rapid? Cel mai rapid drum este să afli cel mai mare divizor comun (cmmdc) al numărătorului și numitorului și să împarți ambele cu el dintr-o singură mișcare. De exemplu, $\frac{18}{24}$ cu $\text{cmmdc}(18,24)=6$ devine direct $\frac{3}{4}$.

Cum aflu cel mai mare divizor comun a două numere fără algoritm? Scrii toți divizorii fiecărui număr, subliniezi divizorii care apar în ambele liste și alegi cel mai mare dintre ei. De exemplu, pentru 12 și 18, divizorii comuni sunt 1, 2, 3, 6, iar cel mai mare este 6.

De ce nu pot simplifica $\frac{9}{16}$ cu 3? Pentru că 3 împarte exact pe 9, dar nu împarte exact pe 16 (rămâne rest). Poți simplifica doar cu un număr care este divizor comun, adică împarte fără rest ȘI numărătorul, ȘI numitorul. $\frac{9}{16}$ este de fapt deja ireductibilă.

Pot amplifica o fracție cu zero? Nu. Factorul de amplificare trebuie să fie un număr natural nenul (1, 2, 3, ...). Dacă ai înmulți cu zero, ai obține $\frac{0}{0}$, care nu are sens matematic. De obicei amplificăm cu 2, 3, 4 și așa mai departe.

Cum știu dacă două fracții sunt egale? Aduci fiecare fracție la forma ei ireductibilă și le compari. Dacă au aceeași formă ireductibilă, fracțiile sunt egale. De exemplu, $\frac{8}{12}$ și $\frac{10}{15}$ devin amândouă $\frac{2}{3}$, deci sunt egale.

Pot simplifica o fracție cu un număr mai mic decât cmmdc-ul? Da, poți. Dacă alegi orice divizor comun (chiar și unul mai mic decât cmmdc), fracția rămâne egală, doar că nu ajungi direct la forma ireductibilă și mai ai pași de făcut. De exemplu, $\frac{18}{24}$ simplificată cu $2$ dă $\frac{9}{12}$, care se mai poate simplifica. Dacă simplifici cu cmmdc-ul $6$, ajungi din prima la $\frac{3}{4}$. Important e doar ca numărul ales să împartă fără rest și numărătorul, și numitorul.

Orice fracție are o formă ireductibilă? Da. Orice fracție poate fi adusă la o singură formă ireductibilă, simplificând până când cmmdc-ul numărătorului și numitorului devine $1$. Dacă fracția este deja ireductibilă (de exemplu $\frac{3}{4}$), forma ei ireductibilă este chiar ea însăși.