Mulțimea numerelor reale ℝ. Incluziunile ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Până acum, an de an, ai adăugat câte o „cameră" nouă la casa numerelor: în clasa a V-a lucrai cu numere naturale, apoi ai cunoscut numerele întregi negative, apoi fracțiile și numerele raționale. În lecția trecută ai descoperit o categorie complet nouă — numerele iraționale, precum $\sqrt{2}$ sau $\pi$. Acum vine momentul în care punem totul laolaltă, sub un singur acoperiș, și obținem cea mai cuprinzătoare mulțime de numere pe care o studiezi în gimnaziu: mulțimea numerelor reale ℝ. Vei vedea că toate mulțimile de numere pe care le știi se cuibăresc una în alta ca niște păpuși matrioșka, formând lanțul $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$. Această idee stă la baza a tot ce vei calcula anul acesta, de la radicali la coordonate pe axă.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești mulțimea numerelor reale ℝ ca reuniune a numerelor raționale și a celor iraționale.
• Vei ști să încadrezi orice număr dat în submulțimile $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și să găsești cea mai mică submulțime din care face parte.
• Vei ști să scrii și să citești corect incluziunile $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ și să explici ce înseamnă fiecare pas.
• Vei ști să folosești corect simbolurile de apartenență ($\in$, $\notin$) și de incluziune ($\subset$, $\not\subset$).
• Vei ști să distingi un enunț despre un element de un enunț despre o mulțime.

Hai să descoperim împreună

Pasul 1: Reamintim mulțimile pe care le cunoști deja

Înainte de a construi casa cea mare, hai să ne uităm la fiecare „cameră" în parte. O mulțime este o colecție de obiecte bine definite; aici obiectele sunt numere. Iată submulțimile pe care le-ai întâlnit în anii trecuți.

Mulțimea numerelor naturale ℕ. Sunt numerele cu care numeri obiectele: $$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\dots \}$$ Ele încep de la $0$ și cresc din unu în unu, la nesfârșit. Nu au parte fracționară și nu sunt negative. Exemple: $0$, $7$, $128$, $2026$.

Mulțimea numerelor întregi ℤ. Când ai avut nevoie să exprimi temperaturi sub zero, datorii sau coborâri sub nivelul mării, ai adăugat numerele negative: $$\mathbb{Z}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$$ Numerele întregi conțin toate naturalele plus opusele lor. Exemple: $-15$, $-1$, $0$, $9$, $340$.

Mulțimea numerelor raționale ℚ. Un număr rațional este orice număr care se poate scrie ca o fracție $\frac{a}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt numere întregi, iar $b\ne 0$. Aici intră fracțiile obișnuite, numerele zecimale finite și numerele zecimale periodice. $$\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}|a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z},b\ne 0\right\}$$ Exemple: $\frac{3}{4}$, $-\frac{7}{2}$, $0,25$ (adică $\frac{1}{4}$), $1,333\cdots =1,(3)$ (adică $\frac{4}{3}$), dar și $5$ (care e $\frac{5}{1}$).

Pasul 2: Ce lipsește? Numerele iraționale

În lecția precedentă ai văzut că există numere care NU se pot scrie ca fracție de întregi. Ele au o scriere zecimală infinită și neperiodică — cifrele de după virgulă nu se termină niciodată și nu se repetă după un tipar. Acestea sunt numerele iraționale. Exemple clasice:

$$\sqrt{2}=1,41421356\dots \sqrt{3}=1,73205080\dots \pi =3,14159265\dots$$

Aceste numere există cu adevărat: $\sqrt{2}$, de pildă, este lungimea diagonalei unui pătrat cu latura de $1$. Nu e o invenție, e o măsură reală. Totuși, oricât ai încerca, nu poți găsi două numere întregi al căror raport să dea exact $\sqrt{2}$.

Mulțimea numerelor iraționale nu are un simbol standard predat la gimnaziu, dar o putem descrie ca „ceea ce rămâne când scoatem raționalele din reale". Uneori se notează $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ (se citește „ℝ fără ℚ").

Pasul 3: Definiția mulțimii numerelor reale ℝ

Acum putem enunța definiția centrală a lecției.

Definiție. Mulțimea numerelor reale, notată $\mathbb{R}$, este mulțimea formată din toate numerele raționale împreună cu toate numerele iraționale. Cu alte cuvinte, $\mathbb{R}$ este reuniunea dintre mulțimea raționalelor și mulțimea iraționalelor: $$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup (\text{numere iraționale})$$

Un număr real este, așadar, orice număr care se poate reprezenta printr-un punct pe axa numerelor. Iată o imagine utilă: dacă iei o riglă infinită și marchezi absolut fiecare punct de pe ea, fiecărui punct îi corespunde exact un număr real, iar fiecărui număr real îi corespunde exact un punct. De aceea axa numerelor se mai numește și axa reală — ea este „plină", fără nicio gaură.

Reține deosebirea esențială: raționalele lăsau „găuri" pe axă (între ele se strecurau numerele iraționale). Adăugând iraționalele, umplem toate găurile. Mulțimea numerelor reale este completă — acoperă întreaga dreaptă.

Pasul 4: Lanțul de incluziuni ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Iată acum inima lecției. Observă cu atenție cum fiecare mulțime este cuprinsă în următoarea.

Ce înseamnă „incluziune"? Spunem că mulțimea $A$ este inclusă în mulțimea $B$, și scriem $A\subset B$, dacă fiecare element al lui $A$ este și element al lui $B$. Cu alte cuvinte, $A$ este o „parte" din $B$, o submulțime a lui $B$.

Să parcurgem lanțul pas cu pas și să înțelegem fiecare săgeată:

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$ — Orice număr natural este și număr întreg. Într-adevăr, $0,1,2,3,\dots$ apar toate în lista numerelor întregi. Trecerea de la $\mathbb{N}$ la $\mathbb{Z}$ adaugă numerele negative ($-1,-2,-3,\dots$), care nu erau în $\mathbb{N}$. Deci $\mathbb{N}$ e o parte strictă din $\mathbb{Z}$.

$\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ — Orice număr întreg este și rațional, pentru că orice întreg $n$ se poate scrie ca fracție: $n=\frac{n}{1}$. De exemplu, $-5=\frac{-5}{1}$ și $7=\frac{7}{1}$. Trecerea de la $\mathbb{Z}$ la $\mathbb{Q}$ adaugă fracțiile propriu-zise, precum $\frac{3}{4}$ sau $-\frac{2}{5}$, care nu sunt întregi.

$\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ — Orice număr rațional este și real, pentru că raționalele fac parte, prin definiție, din reuniunea care formează $\mathbb{R}$. Trecerea de la $\mathbb{Q}$ la $\mathbb{R}$ adaugă numerele iraționale, precum $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$ sau $\pi$.

Punând totul cap la cap, obținem lanțul de incluziuni:

$$\boxed{\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}}$$

Se citește: „ℕ este inclus în ℤ, care este inclus în ℚ, care este inclus în ℝ".

Analogie utilă. Gândește-te la echipa de fotbal a școlii. Titularii ($\mathbb{N}$) fac parte din lotul echipei ($\mathbb{Z}$). Lotul echipei face parte din toți elevii clubului sportiv ($\mathbb{Q}$). Iar clubul sportiv face parte din toți elevii școlii ($\mathbb{R}$). Un titular este, în același timp, jucător de lot, membru al clubului și elev al școlii — la fel cum $2$ este natural, întreg, rațional și real în același timp.

Pasul 5: Simbolurile ∈, ∉, ⊂ — cui se aplică fiecare

Aici mulți elevi greșesc, așa că fii foarte atent la deosebirea dintre element și mulțime.

Simbolul $\in$ (aparține) leagă un element de o mulțime. Scriem $x\in A$ și citim „$x$ aparține lui $A$". Exemple:

• $5\in \mathbb{N}$ („$5$ aparține numerelor naturale") ✔
• $-3\in \mathbb{Z}$ („$-3$ este un număr întreg") ✔
• $\sqrt{2}\in \mathbb{R}$ („$\sqrt{2}$ este un număr real") ✔

Simbolul $\notin$ (nu aparține) este negația lui $\in$. Exemple:

• $-3\notin \mathbb{N}$ (mulțimea numerelor naturale nu conține numere negative) ✔
• $\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$ ($\frac{1}{2}$ nu e un număr întreg) ✔
• $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ ($\sqrt{2}$ este irațional, deci nu e rațional) ✔

Simbolul $\subset$ (este inclus / este submulțime) leagă o mulțime de o mulțime. Exemple:

• $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$ (mulțimea naturalelor e inclusă în mulțimea întregilor) ✔
• $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ ✔

Regula de aur, ține minte: la stânga lui $\in$ stă un număr; la stânga lui $\subset$ stă o mulțime. De aceea $5\in \mathbb{Z}$ este corect, dar $5\subset \mathbb{Z}$ este greșit (un număr singur nu e o mulțime pusă alături de o mulțime). Invers, $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$ e corect, dar $\mathbb{N}\in \mathbb{Z}$ e greșit (o mulțime întreagă nu este un element al lui $\mathbb{Z}$).

Pasul 6: Cum încadrezi un număr în cea mai mică submulțime

O întrebare tipică la teste sună așa: „Din ce mulțime face parte numărul dat?". Fiindcă un număr poate aparține mai multor mulțimi deodată (de exemplu $7$ e natural, întreg, rațional și real), de obicei ni se cere cea mai mică submulțime care îl conține, adică cea mai „strânsă" categorie.

Folosește acest algoritm de decizie, în ordine:

1. Este un număr natural? (Adică pozitiv sau zero, fără parte zecimală.) Dacă DA → cel mai mic este $\mathbb{N}$.
2. Dacă nu, este un întreg negativ? Dacă DA → cel mai mic este $\mathbb{Z}$.
3. Dacă nu, se poate scrie ca fracție de întregi (zecimal finit sau periodic)? Dacă DA → cel mai mic este $\mathbb{Q}$.
4. Dacă nu (zecimală infinită neperiodică, radical care nu iese exact, $\pi$) → este irațional, deci cel mai mic care îl conține este $\mathbb{R}$ (mai exact e în $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$).

Atenție la capcane! Uneori un număr pare irațional pentru că are un radical, dar de fapt radicalul „iese frumos". De exemplu $\sqrt{9}=3$, care e natural! Sau $\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$, care e rațional. Întotdeauna calculează întâi radicalul înainte de a decide. La fel, $\frac{6}{2}=3$ este natural, nu doar rațional, chiar dacă e scris ca fracție. Simplifică și evaluează înainte de a te pronunța.

Pasul 7: Recunoașterea după scrierea zecimală

De multe ori numărul nu îți este dat ca fracție sau radical, ci direct ca scriere zecimală. Există un criteriu simplu, pe care merită să-l ții minte, pentru a decide dintr-o privire dacă un astfel de număr este rațional sau irațional. Totul depinde de ce se întâmplă cu cifrele de după virgulă.

Cazul 1 — zecimală finită. Dacă scrierea se oprește după un număr limitat de cifre, numărul este rațional. El se poate transforma imediat în fracție de întregi. De exemplu: $$0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4},-3,6=\frac{-36}{10}=\frac{-18}{5}.$$ Ambele sunt în $\mathbb{Q}$ (și, evident, în $\mathbb{R}$).

Cazul 2 — zecimală infinită, dar periodică. Dacă cifrele nu se termină, însă de la un punct încolo se repetă un grup de cifre (perioada), numărul este tot rațional. Perioada se scrie între paranteze. De exemplu: $$0,(3)=0,3333\cdots =\frac{1}{3},0,(6)=0,6666\cdots =\frac{2}{3},1,(27)=1,272727\dots$$ Toate acestea se pot transforma în fracții de întregi, deci aparțin lui $\mathbb{Q}$.

Cazul 3 — zecimală infinită și neperiodică. Dacă cifrele nu se termină niciodată și nu urmează niciun tipar care să se repete, numărul este irațional, deci aparține lui $\mathbb{R}$, dar nu și lui $\mathbb{Q}$. Așa sunt $\sqrt{2}=1,41421356\dots$ sau $\pi =3,14159265\dots$: oricât ai citi în șirul cifrelor, nu vei găsi niciodată o perioadă care să se repete la nesfârșit.

Ține minte pe scurt regula: finit sau periodic $\Rightarrow$ rațional; infinit și neperiodic $\Rightarrow$ irațional. Atenție să nu confunzi „multe cifre" cu „infinit": $3,14$ (doar atât) este finit, deci rațional, chiar dacă seamănă cu începutul lui $\pi$. Numai $\pi$ scris complet, cu punctele de suspensie care spun „continuă la nesfârșit fără tipar", este irațional.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Încadrarea în cea mai mică submulțime. Încadrează fiecare număr în cea mai mică submulțime din $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$: $-8;\frac{3}{4};0;\sqrt{7};12.$

Rezolvare:

• $-8$: e întreg, dar negativ, deci nu e natural. Cel mai mic: $\mathbb{Z}$. Scriem $-8\in \mathbb{Z}$.
• $\frac{3}{4}$: e fracție de întregi, nu e întreg. Cel mai mic: $\mathbb{Q}$. Scriem $\frac{3}{4}\in \mathbb{Q}$.
• $0$: e natural. Cel mai mic: $\mathbb{N}$. Scriem $0\in \mathbb{N}$.
• $\sqrt{7}$: $7$ nu e pătrat perfect, deci $\sqrt{7}=2,6457\dots$ este irațional. Cel mai mic: $\mathbb{R}$. Scriem $\sqrt{7}\in \mathbb{R}$.
• $12$: e natural. Cel mai mic: $\mathbb{N}$. Scriem $12\in \mathbb{N}$.

Exemplul 2 — Capcanele cu radicali și fracții. Stabilește cea mai mică submulțime pentru: $\sqrt{25};\frac{10}{4};\frac{-9}{3};\sqrt{2}.$

Rezolvare:

• $\sqrt{25}=5$ (pentru că $5^2=25$). Este natural! $\sqrt{25}\in \mathbb{N}$.
• $\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2,5$: nu e întreg, e fracție. $\frac{10}{4}\in \mathbb{Q}$.
• $\frac{-9}{3}=-3$: iese un întreg negativ. $\frac{-9}{3}\in \mathbb{Z}$.
• $\sqrt{2}=1,41421\dots$: irațional. $\sqrt{2}\in \mathbb{R}$.

Observă cum primele două arată asemănător (ambele au radical, respectiv fracție), dar rezultatul le duce în camere diferite. Regula: evaluează întâi, decide apoi.

Exemplul 3 — Adevărat sau fals, cu justificare. Decide dacă afirmațiile sunt adevărate (A) sau false (F) și motivează: a) $-4\in \mathbb{N}$; b) $\frac{6}{3}\in \mathbb{Z}$; c) $\pi \in \mathbb{Q}$; d) $\mathbb{Z}\subset \mathbb{R}$.

Rezolvare:

• a) F. Numerele naturale sunt $0,1,2,\dots$; $-4$ este negativ, deci $-4\notin \mathbb{N}$.
• b) A. $\frac{6}{3}=2$, care este întreg, deci $2\in \mathbb{Z}$.
• c) F. $\pi =3,14159\dots$ este irațional (zecimală infinită neperiodică), deci $\pi \notin \mathbb{Q}$.
• d) A. Deoarece $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ și $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, rezultă că $\mathbb{Z}\subset \mathbb{R}$ (orice întreg e și real).

Exemplul 4 — Alege simbolul corect ($\in$, $\notin$ sau $\subset$). Completează spațiile: a) $-7\square \mathbb{Z}$; b) $\mathbb{N}\square \mathbb{Q}$; c) $\sqrt{3}\square \mathbb{Q}$; d) $\frac{1}{5}\square \mathbb{Z}$.

Rezolvare:

• a) $-7\in \mathbb{Z}$ (un număr față de o mulțime → $\in$; și e adevărat, $-7$ e întreg).
• b) $\mathbb{N}\subset \mathbb{Q}$ (o mulțime față de o mulțime → $\subset$; orice natural e rațional).
• c) $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$ ($\sqrt{3}$ e irațional, deci nu aparține raționalelor).
• d) $\frac{1}{5}\notin \mathbb{Z}$ ($0,2$ nu e întreg).

Exemplul 5 — Toate mulțimile din care face parte un număr. Enumeră toate submulțimile din lanțul $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ care conțin numărul $6$, apoi pe cele care conțin $-\frac{2}{7}$.

Rezolvare:

• $6$ este natural. Fiind natural, el este și întreg, și rațional, și real (urcăm pe lanț). Deci $6\in \mathbb{N}$, $6\in \mathbb{Z}$, $6\in \mathbb{Q}$, $6\in \mathbb{R}$ — aparține tuturor celor patru.
• $-\frac{2}{7}$ este o fracție care nu e întreagă și nu e naturală. Este rațională, deci și reală. Aparține doar lui $\mathbb{Q}$ și $\mathbb{R}$: $-\frac{2}{7}\in \mathbb{Q}$, $-\frac{2}{7}\in \mathbb{R}$; dar $-\frac{2}{7}\notin \mathbb{Z}$ și $-\frac{2}{7}\notin \mathbb{N}$.

Reține regula generală: dacă un număr e într-o submulțime, atunci e automat în toate mulțimile mai mari de pe lanț (la dreapta ei).

Exemplul 6 — Construiește o mulțime prin filtrare. Se dă mulțimea $A=\left\{-3;\frac{5}{2};0;\sqrt{16};\sqrt{5};\frac{8}{4}\right\}$. Scrie elementele lui $A$ care sunt: a) naturale; b) întregi; c) raționale dar nu întregi; d) iraționale.

Rezolvare: Întâi evaluăm ce se poate: $\sqrt{16}=4$; $\frac{8}{4}=2$; $\sqrt{5}=2,236\dots$ (irațional).

• a) Naturale: $0;\sqrt{16}(=4);\frac{8}{4}(=2)$.
• b) Întregi: cele naturale de mai sus plus $-3$, adică $-3;0;4;2$.
• c) Raționale dar nu întregi: $\frac{5}{2}$ (adică $2,5$) — singurul.
• d) Iraționale: $\sqrt{5}$ — singurul.

Exemplul 7 — Încadrare după scrierea zecimală. Stabilește cea mai mică submulțime pentru fiecare: $0,75;2,(6);3,101001000\dots \text{(neperiodic)};-4,0.$

Rezolvare:

• $0,75$: zecimală finită, deci rațională; nu e întreagă. $0,75=\frac{3}{4}\in \mathbb{Q}$.
• $2,(6)$: zecimală periodică, deci rațională; $2,(6)=\frac{8}{3}$, nu e întreagă. $2,(6)\in \mathbb{Q}$.
• $3,101001000\dots$ (cifrele nu se repetă după un tipar): zecimală infinită neperiodică, deci irațională. Aparține lui $\mathbb{R}$.
• $-4,0$: partea zecimală e zero, deci numărul este de fapt întregul $-4$. Fiind întreg negativ: $-4\in \mathbb{Z}$.

Reține contrastul dintre al treilea și al patrulea număr: ambele au virgulă, dar unul „se termină" (de fapt e întreg), iar celălalt curge la nesfârșit fără tipar.

Exemplul 8 — Adevărat sau fals despre incluziuni și apartenență. Decide A/F și justifică: a) $\mathbb{N}\subset \mathbb{R}$; b) $\mathbb{R}\subset \mathbb{Q}$; c) $\sqrt{9}\in \mathbb{N}$; d) orice număr irațional aparține lui $\mathbb{Z}$.

Rezolvare:

• a) A. Din lanțul $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ rezultă direct că $\mathbb{N}\subset \mathbb{R}$: orice natural e și real.
• b) F. Incluziunea merge invers: $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, nu $\mathbb{R}\subset \mathbb{Q}$. În $\mathbb{R}$ există numere (cele iraționale, ca $\sqrt{2}$) care nu sunt în $\mathbb{Q}$.
• c) A. $\sqrt{9}=3$ (pentru că $3^2=9$), iar $3$ este natural, deci $\sqrt{9}\in \mathbb{N}$.
• d) F. Numerele iraționale nici măcar nu sunt raționale, cu atât mai puțin întregi. De exemplu $\pi \notin \mathbb{Z}$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. Exercițiile cresc treptat în dificultate.

1. Scrie primele cinci elemente ale mulțimii $\mathbb{N}$.
2. Completează cu $\in$ sau $\notin$: a) $9\square \mathbb{N}$; b) $-2\square \mathbb{N}$; c) $-2\square \mathbb{Z}$; d) $\frac{3}{5}\square \mathbb{Z}$.
3. Adevărat sau fals? a) $0\in \mathbb{N}$; b) $\frac{1}{2}\in \mathbb{Z}$; c) $-100\in \mathbb{Z}$; d) $\sqrt{2}\in \mathbb{R}$.
4. Încadrează în cea mai mică submulțime ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ sau $\mathbb{R}$): $-11;\frac{7}{8};20;\sqrt{10}.$
5. Calculează întâi, apoi încadrează în cea mai mică submulțime: a) $\sqrt{36}$; b) $\frac{12}{4}$; c) $\frac{-15}{5}$; d) $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$.
6. Alege simbolul potrivit ($\in$, $\notin$ sau $\subset$): a) $\mathbb{Z}\square \mathbb{R}$; b) $5\square \mathbb{Q}$; c) $\mathbb{N}\square \mathbb{Z}$; d) $\pi \square \mathbb{Q}$.
7. Scrie complet lanțul de incluziuni al mulțimilor de numere și citește-l în cuvinte.
8. Pentru numărul $-4$, enumeră toate submulțimile dintre $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ cărora le aparține.
9. Se dă $B=\left\{-6;\frac{9}{3};0,5;\sqrt{49};\sqrt{3}\right\}$. Scrie elementele care sunt: a) naturale; b) iraționale.
10. Găsește greșeala din fiecare scriere și corectează-o: a) $7\subset \mathbb{N}$; b) $\mathbb{Q}\in \mathbb{R}$; c) $\sqrt{5}\in \mathbb{Q}$.
11. Justifică de ce afirmația „orice număr întreg este rațional" este adevărată. Dă și un exemplu.
12. Adevărat sau fals, cu motivare: „Există numere reale care nu sunt raționale." Dă un exemplu.
13. Scrie un număr care aparține lui $\mathbb{Q}$, dar nu aparține lui $\mathbb{Z}$. Apoi scrie un număr care aparține lui $\mathbb{R}$, dar nu aparține lui $\mathbb{Q}$.
14. Ordonează crescător după „mărimea" mulțimii (de la cea mai mică submulțime la cea mai mare): $\mathbb{R},\mathbb{N},\mathbb{Q},\mathbb{Z}$.
15. Un elev spune: „$\sqrt{16}$ este irațional pentru că are radical." Explică de ce greșește și încadrează corect numărul.
16. Se consideră numerele $\frac{18}{6};\sqrt{8};-\frac{3}{4};0;\sqrt{81}$. Câte dintre ele sunt naturale? Câte sunt iraționale? Justifică.
17. Completează cu un exemplu propriu de număr pentru fiecare situație: a) natural; b) întreg negativ; c) rațional neîntreg; d) irațional pozitiv.
18. Provocare de raționament: explică în două-trei propoziții de ce, dacă un număr aparține lui $\mathbb{Z}$, el aparține automat și lui $\mathbb{R}$, folosind lanțul de incluziuni.
19. Încadrează în cea mai mică submulțime, după scrierea zecimală: a) $0,8$; b) $0,(45)$; c) $5,202002000\dots$ (neperiodic); d) $-7,0$.
20. Adevărat sau fals, cu motivare: a) $\mathbb{R}\subset \mathbb{Q}$; b) $\sqrt{64}\in \mathbb{N}$; c) $2,(3)\in \mathbb{Q}$; d) $\pi \in \mathbb{Z}$.
21. Se dă $C=\left\{1,5;\sqrt{100};-\frac{8}{2};\sqrt{2};0,(7)\right\}$. Scrie elementele care sunt: a) întregi; b) raționale dar nu întregi; c) iraționale.
22. Provocare: găsește un număr care aparține lui $\mathbb{R}$, dar nu aparține niciuneia dintre $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$. Explică de ce alegerea ta funcționează.

Răspunsuri și explicații

1. $0,1,2,3,4$ (mulțimea $\mathbb{N}$ începe de la $0$).
2. a) $9\in \mathbb{N}$; b) $-2\notin \mathbb{N}$ (naturalele nu sunt negative); c) $-2\in \mathbb{Z}$; d) $\frac{3}{5}\notin \mathbb{Z}$ (nu e întreg).
3. a) A ($0$ este natural); b) F ($\frac{1}{2}=0,5$ nu e întreg); c) A ($-100$ e întreg); d) A ($\sqrt{2}$ e real, fiind irațional).
4. $-11\in \mathbb{Z}$ (întreg negativ); $\frac{7}{8}\in \mathbb{Q}$ (fracție neîntreagă); $20\in \mathbb{N}$ (natural); $\sqrt{10}\in \mathbb{R}$ ($10$ nu e pătrat perfect, deci irațional).
5. a) $\sqrt{36}=6\in \mathbb{N}$; b) $\frac{12}{4}=3\in \mathbb{N}$; c) $\frac{-15}{5}=-3\in \mathbb{Z}$; d) $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{4}=2\in \mathbb{N}$. (În toate, ai evaluat întâi, apoi ai încadrat.)
6. a) $\mathbb{Z}\subset \mathbb{R}$; b) $5\in \mathbb{Q}$; c) $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$; d) $\pi \notin \mathbb{Q}$.
7. $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ — „ℕ este inclus în ℤ, care este inclus în ℚ, care este inclus în ℝ".
8. $-4$ e întreg negativ, deci $-4\in \mathbb{Z}$, $-4\in \mathbb{Q}$, $-4\in \mathbb{R}$; dar $-4\notin \mathbb{N}$. Aparține la trei submulțimi: $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$.
9. Evaluăm: $\frac{9}{3}=3$; $\sqrt{49}=7$; $\sqrt{3}$ irațional; $0,5=\frac{1}{2}$. a) Naturale: $\frac{9}{3}(=3)$ și $\sqrt{49}(=7)$. b) Iraționale: $\sqrt{3}$.
10. a) $7\subset \mathbb{N}$ e greșit ($7$ e element, nu mulțime) → corect $7\in \mathbb{N}$; b) $\mathbb{Q}\in \mathbb{R}$ e greșit ($\mathbb{Q}$ e mulțime) → corect $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$; c) $\sqrt{5}\in \mathbb{Q}$ e greșit ($\sqrt{5}$ e irațional) → corect $\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}$ (sau $\sqrt{5}\in \mathbb{R}$).
11. Orice întreg $n$ se scrie ca fracție de întregi: $n=\frac{n}{1}$, cu numitor $1\ne 0$. Prin definiția raționalelor, deci $n\in \mathbb{Q}$. Exemplu: $-5=\frac{-5}{1}\in \mathbb{Q}$.
12. A (adevărat). Numerele iraționale sunt reale, dar nu raționale. Exemplu: $\sqrt{2}\in \mathbb{R}$, dar $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.
13. Exemple posibile: rațional care nu e întreg — $\frac{2}{3}$ (sau $0,7$); real care NU e rațional, adică irațional — de exemplu $\sqrt{3}$ (sau $\pi$). (Orice alt exemplu corect e valabil.)
14. $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ (de la cea mai mică la cea mai mare).
15. Greșește pentru că nu a calculat radicalul: $\sqrt{16}=4$, deoarece $4^2=16$. Prin urmare $\sqrt{16}=4\in \mathbb{N}$, este natural, nu irațional. Regula: un radical e irațional doar când numărul de sub el nu e pătrat perfect.
16. Evaluăm: $\frac{18}{6}=3$ (natural); $\sqrt{8}=2,828\dots$ (irațional); $-\frac{3}{4}$ (rațional neîntreg); $0$ (natural); $\sqrt{81}=9$ (natural). Naturale: $3$, $0$, $9$ → trei. Iraționale: $\sqrt{8}$ → una.
17. Exemple valabile (pot varia): a) $4$; b) $-9$; c) $\frac{3}{5}$ sau $1,2$; d) $\sqrt{7}$ sau $\pi$.
18. Dacă $n\in \mathbb{Z}$, atunci fiindcă $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$, avem $n\in \mathbb{Q}$; iar fiindcă $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, rezultă $n\in \mathbb{R}$. Pe scurt, incluziunea „transmite" apartenența în sus pe lanț: ce e într-o mulțime mică e automat în toate cele mai mari.
19. a) $0,8$ e finit $\Rightarrow$ rațional; $0,8=\frac{4}{5}\in \mathbb{Q}$. b) $0,(45)$ e periodic $\Rightarrow \in \mathbb{Q}$. c) $5,202002000\dots$ e infinit neperiodic $\Rightarrow$ irațional, $\in \mathbb{R}$. d) $-7,0=-7$, întreg negativ, $\in \mathbb{Z}$.
20. a) F: incluziunea corectă e $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, nu invers. b) A: $\sqrt{64}=8\in \mathbb{N}$. c) A: $2,(3)$ e periodic, deci rațional. d) F: $\pi$ e irațional, deci $\pi \notin \mathbb{Z}$.
21. Evaluăm: $\sqrt{100}=10$; $-\frac{8}{2}=-4$; $\sqrt{2}$ irațional; $0,(7)$ periodic $=\frac{7}{9}$. a) Întregi: $\sqrt{100}(=10)$ și $-\frac{8}{2}(=-4)$. b) Raționale dar nu întregi: $1,5$ și $0,(7)$. c) Iraționale: $\sqrt{2}$.
22. Orice număr irațional funcționează, de exemplu $\sqrt{3}$ (sau $\pi$). El este real (fiind pe axă), dar nu e rațional (nu se scrie ca fracție de întregi), deci nici întreg, nici natural. Pe scurt: e în $\mathbb{R}$, dar în afara lui $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{N}$.

De reținut

• Mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$ este reuniunea numerelor raționale cu numerele iraționale: fiecare punct de pe axă este un număr real, iar axa nu are „găuri".
• Lanțul de incluziuni: \ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\ — fiecare pas adaugă ceva nou: $\mathbb{Z}$ adaugă negativele, $\mathbb{Q}$ adaugă fracțiile, $\mathbb{R}$ adaugă iraționalele.
• $\in$ leagă un element de o mulțime (de exemplu $-3\in \mathbb{Z}$); $\subset$ leagă o mulțime de o mulțime (de exemplu $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$). Nu le confunda!
• Pentru cea mai mică submulțime, evaluează întâi numărul (radical, fracție), abia apoi decide: natural → $\mathbb{N}$, întreg negativ → $\mathbb{Z}$, fracție/zecimal periodic → $\mathbb{Q}$, zecimal infinit neperiodic → $\mathbb{R}$.
• Dacă un număr aparține unei submulțimi, aparține automat tuturor mulțimilor mai mari de pe lanț.

Greșeli frecvente

• Confundarea lui $\in$ cu $\subset$. A scrie $5\subset \mathbb{N}$ sau $\mathbb{N}\in \mathbb{Z}$ este greșit. Ține minte: număr $\in$ mulțime, mulțime $\subset$ mulțime.
• A crede că orice radical e irațional. $\sqrt{25}=5$ e natural, $\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$ e rațional. Calculează radicalul întâi; e irațional doar dacă numărul de sub radical nu e pătrat perfect.
• A uita că $0$ este număr natural. În programa românească $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$, deci $0\in \mathbb{N}$.
• A da cea mai mare mulțime în loc de cea mai mică. Deși $7\in \mathbb{R}$ e adevărat, când se cere „cea mai mică submulțime" răspunsul corect este $\mathbb{N}$, nu $\mathbb{R}$.
• A crede că o zecimală periodică este irațională. $0,(3)$ pare „infinit", dar are un tipar care se repetă, deci este rațional: $0,(3)=\frac{1}{3}$. Doar zecimalele infinite și neperiodice sunt iraționale.
• A inversa sensul incluziunii. Se scrie $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ (mulțimea mai mică la stânga), nu $\mathbb{R}\subset \mathbb{Q}$. Săgeata „deschisă" a simbolului $\subset$ arată mereu spre mulțimea mai mare.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de numere. Timp de o zi, notează 10 numere pe care le întâlnești în viața reală (prețuri, temperaturi, scoruri, distanțe, procente de baterie). Pentru fiecare, scrie cea mai mică submulțime din care face parte ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ sau $\mathbb{R}$) și justifică într-o propoziție.
2. Diagrama matrioșka. Desenează pe o coală patru ovale concentrice etichetate $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ și plasează în locul potrivit numerele: $0$, $-7$, $\frac{5}{2}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{100}$, $-\frac{9}{3}$, $\pi$. Verifică fiecare plasare cu un coleg sau părinte.
3. Detectivul de erori. Roagă un părinte să scrie 5 afirmații cu simbolurile $\in$, $\notin$, $\subset$ (unele corecte, altele greșite intenționat) și găsește-le pe cele greșite, corectându-le. Apoi schimbați rolurile.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează un fir roșu al întregii matematici de gimnaziu: ierarhia mulțimilor de numere. Cel mai frecvent obstacol nu e conceptul în sine, ci distincția dintre element și mulțime — deci dintre simbolurile $\in$ și $\subset$. Sprijiniți elevul cerându-i să citească cu voce tare orice scriere: „cinci aparține lui ℤ" sună firesc, „ℕ este inclus în ℤ" la fel; dacă rostirea sună ciudat („cinci este inclus în ℤ"), probabil simbolul e greșit ales.

Întrebări de verificare utile: „Poți să-mi dai un număr care e în $\mathbb{Q}$ dar nu în $\mathbb{Z}$?", „De ce $\sqrt{36}$ nu e irațional?", „Din ce mulțimi face parte $-2$?". Un elev care a înțeles va evalua radicalii și fracțiile înainte de a încadra numărul și va oferi corect cea mai mică submulțime. Semn clar de stăpânire: știe să explice de ce apartenența „urcă" pe lanț (dacă e întreg, e și rațional, și real), fără să învețe pe de rost.

Întrebări frecvente

Ce este mulțimea numerelor reale la clasa a 7-a? Mulțimea numerelor reale, notată $\mathbb{R}$, cuprinde toate numerele raționale împreună cu toate numerele iraționale. Practic, este mulțimea tuturor numerelor care pot fi reprezentate prin puncte pe axa numerelor, fără nicio excepție.

Care este lanțul incluziunilor ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ? Se citește „ℕ inclus în ℤ, inclus în ℚ, inclus în ℝ". Fiecare mulțime este o parte a celei următoare: naturalele sunt în întregi, întregii în raționale, iar raționalele în reale. Fiecare pas adaugă numere noi (negative, apoi fracții, apoi iraționale).

Care e diferența dintre simbolurile ∈ și ⊂? Simbolul $\in$ („aparține") se pune între un număr și o mulțime, de exemplu $5\in \mathbb{N}$. Simbolul $\subset$ („este inclus") se pune între două mulțimi, de exemplu $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$. Nu poți scrie un număr singur în fața lui $\subset$.

Este 0 număr natural? Da. În programa de matematică din România, mulțimea numerelor naturale este $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$, deci $0\in \mathbb{N}$. Din acest motiv $0$ este, în același timp, natural, întreg, rațional și real.

Cum știu dacă un radical este număr irațional? Calculează întâi ce e sub radical. Dacă numărul este pătrat perfect (ca $9$, $16$, $25$), radicalul iese un număr rațional și nu e irațional: $\sqrt{25}=5$. Dacă nu e pătrat perfect (ca $2$, $3$, $10$), radicalul este irațional, deci un număr real neexprimabil ca fracție.

Un număr poate aparține mai multor mulțimi în același timp? Da. De exemplu $6$ aparține și lui $\mathbb{N}$, și lui $\mathbb{Z}$, și lui $\mathbb{Q}$, și lui $\mathbb{R}$. Când se cere „cea mai mică submulțime", dai însă doar categoria cea mai strânsă, adică $\mathbb{N}$ pentru $6$.

De ce numerele iraționale sunt tot numere reale? Pentru că mulțimea numerelor reale este, prin definiție, reuniunea raționalelor cu iraționalele. Numerele iraționale precum $\sqrt{2}$ sau $\pi$ ocupă puncte reale pe axă, deci fac parte din $\mathbb{R}$, chiar dacă nu se pot scrie ca fracție de întregi.

Este orice zecimală un număr rațional? Nu. O zecimală este rațională doar dacă este finită (ca $0,25$) sau periodică (ca $0,(3)$). Dacă scrierea zecimală este infinită și fără niciun tipar care se repetă (ca $\sqrt{2}=1,4142\dots$), numărul este irațional, deci real, dar nu rațional.

De ce spunem că axa numerelor reale nu are „găuri"? Pentru că fiecărui punct de pe axă îi corespunde exact un număr real și invers. Numerele raționale singure lăsau spații neacoperite (acolo se aflau iraționalele). Adăugând iraționalele, orice punct de pe dreaptă capătă un număr, deci axa devine complet „plină".

Unde folosesc numerele reale mai departe? Le vei folosi imediat la reprezentarea numerelor pe axă prin aproximări, la modulul unui număr real și la operațiile cu radicali. Dacă vrei să recapitulezi baza acestei lecții, revezi numerele iraționale, iar apoi poți continua cu reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor.