Compararea și ordonarea numerelor reale

De fiecare dată când te uiți la un clasament — la fotbal, la timpii dintr-o cursă de atletism, la prețurile a două telefoane sau la notele dintr-un test — creierul tău face, de fapt, matematică: compară și ordonează numere. La clasa a VII-a lucrezi cu mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$, care conține atât numere „cuminți" (întregi, fracții, zecimale), cât și numere iraționale ciudate ca $\sqrt{2}$ sau $\sqrt{3}$, cu o infinitate de zecimale care nu se repetă. Provocarea acestei lecții este să compari orice două numere reale, chiar și un radical cu o zecimală, și să așezi un întreg șir de numere în ordine, crescător sau descrescător. Vestea bună: nu ai nevoie de calculator. Cu două-trei trucuri simple — încadrarea între numere „frumoase" și ridicarea la pătrat — poți decide cu certitudine cine e mai mic și cine e mai mare.

Ce vei învăța

• Vei ști să compari două numere raționale: fracții, zecimale și numere negative, folosind regula axei și aducerea la același numitor.
• Vei ști să compari un număr rațional cu unul irațional (de exemplu $1,7$ cu $\sqrt{3}$) folosind aproximări și ridicarea la pătrat.
• Vei ști să compari două numere iraționale (de exemplu $2\sqrt{3}$ cu $3\sqrt{2}$) prin aproximare zecimală sau prin ridicarea la pătrat a radicalilor.
• Vei ști să ordonezi crescător și descrescător un șir de numere reale amestecate.
• Vei înțelege regula fundamentală de pe axă: numărul aflat mai la stânga este mai mic.

Hai să descoperim împreună

1. Regula de aur: axa numerelor decide ordinea

Tot ce vei face în această lecție se sprijină pe o singură idee vizuală, pe care ai construit-o în lecția Reprezentarea numerelor reale pe axă prin aproximări:

Pe axa numerelor, dintre două numere, cel aflat mai la stânga este mai mic, iar cel aflat mai la dreapta este mai mare.

Cu alte cuvinte, pe măsură ce mergem spre dreapta (în sensul pozitiv), numerele cresc; pe măsură ce mergem spre stânga, numerele scad.

Din această regulă decurg imediat câteva adevăruri pe care le vei folosi tot timpul:

• Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv, pentru că negativele stau la stânga originii, iar pozitivele la dreapta. De exemplu $-100<0,001$.
• Zero este mai mic decât orice număr pozitiv și mai mare decât orice număr negativ.
• Când comparăm două numere folosim simbolurile: $<$ („mai mic"), $>$ („mai mare"), $\le$ („mai mic sau egal"), $\ge$ („mai mare sau egal") și $=$ („egal"). Vârful ascuțit al semnului arată mereu spre numărul mai mic.

Ideea de bază este deci simplă. Toată dificultatea reală este să aflăm, pentru două numere date, care stă mai la stânga — mai ales când unul dintre ele este un radical pe care nu-l putem scrie exact. Hai să luăm pe rând fiecare situație.

2. Compararea a două numere raționale

Numerele raționale sunt cele care se pot scrie ca fracție $\frac{a}{b}$ cu $a,b$ întregi și $b\ne 0$ (le-ai revăzut în lecția Mulțimea numerelor reale ℝ și incluziunile). Ai comparat astfel de numere încă din clasele anterioare, așa că aici doar sistematizăm.

a) Două numere zecimale. Compari cifră cu cifră, de la stânga la dreapta: mai întâi partea întreagă, apoi zecimile, apoi sutimile etc. Primul loc în care cifrele diferă decide.

Exemplu: comparăm $3,47$ cu $3,5$. Partea întreagă e la fel ($3=3$). Trecem la zecimi: $4$ față de $5$. Cum $4<5$, rezultă $3,47<3,5$. Un truc util: completează cu zerouri ca să aibă tot atâtea zecimale — $3,47$ și $3,50$ — și atunci se vede limpede că $47<50$ (la sutimi).

b) Două fracții. Ai trei metode, alege-o pe cea mai comodă:

1. Același numitor. Aduci fracțiile la același numitor și compari numărătorii. De exemplu $\frac{2}{3}$ și $\frac{3}{4}$: numitor comun $12$, deci $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ și $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$. Cum $8<9$, avem $\frac{2}{3}<\frac{3}{4}$.
2. Produsul „în cruce" (înmulțirea încrucișată). Pentru fracții pozitive $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$, compari produsele $a\cdot d$ și $b\cdot c$: dacă $a\cdot d<b\cdot c$, atunci $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$. La exemplul de sus: $2\cdot 4=8$ și $3\cdot 3=9$; cum $8<9$, iese tot $\frac{2}{3}<\frac{3}{4}$.
3. Transformarea în zecimale. Faci împărțirea și compari zecimalele: $\frac{2}{3}\approx 0,67$, $\frac{3}{4}=0,75$, deci $\frac{2}{3}<\frac{3}{4}$.

c) Numere negative. Aici e capcana clasică. Cu cât un număr negativ are „valoarea" mai mare, cu atât el este mai mic, pentru că stă mai la stânga pe axă. Regula practică:

Dintre două numere negative, este mai mare cel care are modulul mai mic (adică cel mai apropiat de zero).

De exemplu $-2$ și $-5$: cum $|-2|=2<5=|-5|$, rezultă $-2>-5$. Pe axă, $-2$ este mai aproape de origine (mai la dreapta) decât $-5$. Modulul l-ai studiat în Modulul unui număr real. Definiție și proprietăți.

Pentru fracții sau zecimale negative faci la fel: compari mai întâi ca și cum ar fi pozitive (modulele), apoi inversezi semnul comparației. Exemplu: $-\frac{2}{3}$ și $-\frac{3}{5}$. Modulele: $\frac{2}{3}\approx 0,67$ și $\frac{3}{5}=0,6$, deci $\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$. Inversăm pentru negative: $-\frac{2}{3}<-\frac{3}{5}$.

3. Comparăm un număr rațional cu unul irațional

Aici începe partea nouă și interesantă. Un număr irațional ca $\sqrt{3}$ are o infinitate de zecimale care nu se repetă, deci nu-l putem scrie complet. Totuși îl putem compara cu un număr rațional folosind două tehnici echivalente.

Metoda 1 — aproximarea zecimală. Găsim o aproximare cu una-două zecimale a radicalului (așa cum ai învățat în Aproximări prin lipsă și prin adaos ale rădăcinii pătrate) și comparăm zecimalele.

Exemplu: comparăm $1,7$ cu $\sqrt{3}$. Știm că $\sqrt{3}\approx 1,732$. Cum $1,7<1,732$, rezultă $1,7<\sqrt{3}$.

Metoda 2 — ridicarea la pătrat (mai sigură, fără aproximări memorate). Aceasta este metoda „regală", pentru că nu ai nevoie să știi zecimalele pe de rost. Ideea se bazează pe o proprietate importantă:

Pentru două numere pozitive $x$ și $y$, avem $x<y$ dacă și numai dacă $x^2<y^2$.

Cu alte cuvinte, la numere pozitive, ordinea numerelor este aceeași cu ordinea pătratelor lor. Motivul: ridicarea la pătrat „păstrează ordinea" pe numerele pozitive (un număr mai mare, ridicat la pătrat, dă un rezultat mai mare).

Cum folosim asta pentru $1,7$ și $\sqrt{3}$? Amândouă sunt pozitive, deci comparăm pătratele:

$$1,7^2=2,89\text{și}(\sqrt{3}{)}^2=3.$$

Cum $2,89<3$, iar ridicarea la pătrat păstrează ordinea, rezultă $1,7<\sqrt{3}$. Am obținut același răspuns, dar fără să memorăm zecimalele lui $\sqrt{3}$ — am folosit doar că $(\sqrt{3}{)}^2=3$, ceea ce este chiar definiția rădăcinii pătrate.

Atenție — capcana nr. 1 a lecției: ridicarea la pătrat păstrează ordinea doar pentru numere pozitive. Dacă unul dintre numere ar fi negativ, regula se schimbă. De aceea, înainte de a ridica la pătrat, verifică mereu că ambele numere sunt pozitive. Pentru negative, folosește simetria (vezi punctul 5).

Un al doilea exemplu. Comparăm $\sqrt{6}$ cu $2,5$. Ambele pozitive, ridicăm la pătrat: $(\sqrt{6}{)}^2=6$ și $2,5^2=6,25$. Cum $6<6,25$, rezultă $\sqrt{6}<2,5$.

Al treilea exemplu, cu un întreg. Comparăm $\sqrt{10}$ cu $3$. Pătratele: $(\sqrt{10}{)}^2=10$ și $3^2=9$. Cum $10>9$, rezultă $\sqrt{10}>3$. (Are logică: $\sqrt{9}=3$, iar $10>9$ înseamnă $\sqrt{10}>\sqrt{9}=3$.)

4. Comparăm două numere iraționale

Acum cazul cel mai „temut", dar de fapt cel mai frumos: două radicale.

Cazul simplu — radicali „goi". Dacă ai $\sqrt{a}$ și $\sqrt{b}$ cu $a,b\ge 0$, ordinea radicalilor este exact ordinea numerelor de sub radical:

$\sqrt{a}<\sqrt{b}$ dacă și numai dacă $a<b$ (pentru $a,b\ge 0$).

Exemplu: $\sqrt{7}<\sqrt{10}$, pentru că $7<10$. Simplu ca bună ziua — compari numerele de sub radical.

Cazul cu coeficient — trucul introducerii sub radical. Cum comparăm $2\sqrt{3}$ cu $3\sqrt{2}$? Aici avem numere în fața radicalului, așa că nu putem compara direct numerele de sub radical. Avem două căi.

Calea A — ridicăm la pătrat (ambele sunt pozitive):

$$(2\sqrt{3}{)}^2=2^2\cdot (\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12,$$ $$(3\sqrt{2}{)}^2=3^2\cdot (\sqrt{2}{)}^2=9\cdot 2=18.$$

Cum $12<18$ și ambele numere sunt pozitive, rezultă $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$.

Calea B — introducem factorul sub radical. Aceasta este tehnica pe care o vei aprofunda în Introducerea factorilor sub radical, dar ideea o poți folosi deja: $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$ pentru $a\ge 0$. Deci:

$$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot 3}=\sqrt{12},3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}.$$

Acum sunt doi radicali „goi" și comparăm numerele de sub radical: $12<18$, deci $\sqrt{12}<\sqrt{18}$, adică $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$. Observă că cele două căi dau exact aceleași numere ($12$ și $18$) — nu întâmplător, ci pentru că a ridica $a\sqrt{b}$ la pătrat înseamnă chiar $a^{2}b$.

Compararea unui radical cu coeficient cu un întreg. Aceeași idee. Comparăm $5\sqrt{2}$ cu $7$. Ambele pozitive, ridicăm la pătrat:

$$(5\sqrt{2}{)}^2=25\cdot 2=50,7^2=49.$$

Cum $50>49$, rezultă $5\sqrt{2}>7$. Deci, deși $\sqrt{2}\approx 1,41$ și $5\cdot 1,41=7,05$ ar sugera același lucru, metoda pătratelor ne dă certitudinea exactă, fără aproximări.

Metoda aproximării zecimale funcționează și aici, ca verificare: $2\sqrt{3}\approx 2\cdot 1,732=3,464$ și $3\sqrt{2}\approx 3\cdot 1,414=4,242$; într-adevăr $3,464<4,242$. Dar la un test, ridicarea la pătrat e mai rapidă și mai sigură decât înmulțirile lungi cu zecimale.

5. Compararea numerelor negative iraționale

Ce facem cu $-\sqrt{3}$ și $-\sqrt{5}$? Nu ridicăm la pătrat (sunt negative!). Folosim în schimb regula negativelor din secțiunea 2, combinată cu simetria față de origine.

Pași:

1. Comparăm mai întâi valorile pozitive (modulele): $\sqrt{3}<\sqrt{5}$, pentru că $3<5$.
2. Inversăm semnul pentru negative: $-\sqrt{3}>-\sqrt{5}$.

Explicația vizuală: cum $\sqrt{5}>\sqrt{3}$, punctul $-\sqrt{5}$ este mai departe de origine spre stânga decât $-\sqrt{3}$, deci $-\sqrt{5}$ stă mai la stânga, adică este mai mic.

6. Ordonarea unui șir de numere reale

A „ordona" înseamnă a așeza numerele în șir, de la cel mai mic la cel mai mare (ordine crescătoare) sau de la cel mai mare la cel mai mic (ordine descrescătoare).

Strategia recomandată, mai ales când amesteci fracții, zecimale și radicali, este:

1. Adu totul la aceeași „limbă". Cel mai comod e să transformi fiecare număr într-o aproximare zecimală cu suficiente zecimale (de obicei două sau trei). Radicalii îi aproximezi prin încadrare/ridicare la pătrat.
2. Compară zecimalele și așază-le în ordinea cerută.
3. Rescrie șirul cu numerele în forma lor originală, în ordinea găsită. (La test scrii forma originală, nu aproximarea.)

Exemplu complet. Ordonează crescător: $\frac{7}{5}$, $\sqrt{2}$, $1,5$, $\sqrt{3}$.

Transformăm în zecimale:

• $\frac{7}{5}=1,4$;
• $\sqrt{2}\approx 1,41$;
• $1,5=1,50$;
• $\sqrt{3}\approx 1,73$.

Comparăm: $1,40<1,41<1,50<1,73$. Deci ordinea crescătoare este:

$$\frac{7}{5}<\sqrt{2}<1,5<\sqrt{3}.$$

Pentru ordinea descrescătoare doar citești șirul invers: $\sqrt{3}>1,5>\sqrt{2}>\frac{7}{5}$.

Un truc pentru radicali „goi" amestecați cu întregi: transformă întregii în radicali. De pildă, ca să ordonezi $\sqrt{5}$, $2$, $\sqrt{3}$, scrii $2=\sqrt{4}$ și atunci compari sub radical: $3<4<5$, deci $\sqrt{3}<2<\sqrt{5}$. Elegant și fără aproximări.

7. Rezumatul strategiei — un mic „arbore de decizie"

Când trebuie să compari două numere reale $x$ și $y$, întreabă-te pe rând:

• Sunt amândouă raționale? → adu-le la același numitor sau la zecimale și compară.
• Unul rațional, unul irațional? → ridică ambele la pătrat (dacă sunt pozitive) sau aproximează zecimal.
• Amândouă radicale pozitive? → introdu coeficienții sub radical (sau ridică la pătrat) și compară numerele de sub radical.
• Apar numere negative? → compară întâi modulele (pozitivele), apoi inversează semnul comparației.

Cu acest arbore în minte, nu mai există pereche de numere reale pe care să n-o poți compara. Hai să exersăm pe exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Fracții și zecimale raționale. Compară: a) $\frac{5}{6}$ cu $\frac{7}{8}$; b) $-2,35$ cu $-2,4$.

Rezolvare:

• a) Înmulțire în cruce (fracții pozitive): $5\cdot 8=40$ și $6\cdot 7=42$. Cum $40<42$, rezultă $\frac{5}{6}<\frac{7}{8}$.
• b) Amândouă negative. Comparăm modulele: $2,35$ și $2,40$; cum $2,35<2,40$, avem $|-2,35|<|-2,4|$. Inversăm pentru negative: $-2,35>-2,4$. (Pe axă, $-2,35$ este mai aproape de $0$.)

Exemplul 2 — Rațional cu irațional, prin ridicare la pătrat. Compară $2,4$ cu $\sqrt{6}$.

Rezolvare: Ambele pozitive. Ridicăm la pătrat: $2,4^2=5,76$ și $(\sqrt{6}{)}^2=6$. Cum $5,76<6$, rezultă $\boxed{2,4<\sqrt{6}}$. (Verificare: $\sqrt{6}\approx 2,449$.)

Exemplul 3 — Doi radicali cu coeficient. Compară $3\sqrt{2}$ cu $2\sqrt{5}$.

Rezolvare: Introducem factorii sub radical: $$3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18},2\sqrt{5}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{20}.$$ Cum $18<20$, rezultă $\sqrt{18}<\sqrt{20}$, adică $\boxed{3\sqrt{2}<2\sqrt{5}}$. (Verificare prin pătrate: $(3\sqrt{2}{)}^2=18$, $(2\sqrt{5}{)}^2=20$.)

Exemplul 4 — Radical cu coeficient față de un întreg. Compară $4\sqrt{3}$ cu $7$.

Rezolvare: Ambele pozitive. Ridicăm la pătrat: $(4\sqrt{3}{)}^2=16\cdot 3=48$ și $7^2=49$. Cum $48<49$, rezultă $\boxed{4\sqrt{3}<7}$. (Deși $4\sqrt{3}\approx 6,93$ este foarte aproape de $7$, metoda pătratelor tranșează clar.)

Exemplul 5 — Numere negative iraționale. Compară $-\sqrt{7}$ cu $-\sqrt{6}$.

Rezolvare: Comparăm modulele: $\sqrt{7}>\sqrt{6}$ (pentru că $7>6$). Inversăm pentru negative: $\boxed{-\sqrt{7}<-\sqrt{6}}$. (Pe axă, $-\sqrt{7}\approx -2,65$ este mai la stânga decât $-\sqrt{6}\approx -2,45$.)

Exemplul 6 — Ordonare crescătoare a unui șir amestecat. Ordonează crescător: $\sqrt{10}$; $\frac{16}{5}$; $3,1$; $\sqrt{8}$.

Rezolvare: Aducem la zecimale:

• $\sqrt{10}\approx 3,16$ (căci $3,1^2=9,61<10<10,24=3,2^2$);
• $\frac{16}{5}=3,2$;
• $3,1=3,10$;
• $\sqrt{8}\approx 2,83$ (căci $2,8^2=7,84<8<8,41=2,9^2$).

Ordonăm: $2,83<3,10<3,16<3,20$. Deci ordinea crescătoare este: $$\sqrt{8}<3,1<\sqrt{10}<\frac{16}{5}.$$

Exemplul 7 — Ordonare descrescătoare de radicali cu coeficient. Ordonează descrescător: $2\sqrt{3}$; $3\sqrt{2}$; $\sqrt{15}$; $4$.

Rezolvare: Aducem totul la formă de radical „gol" (introducem factorii, iar $4=\sqrt{16}$):

• $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$;
• $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$;
• $\sqrt{15}$ rămâne $\sqrt{15}$;
• $4=\sqrt{16}$.

Comparăm numerele de sub radical: $12<15<16<18$. Ordinea crescătoare a radicalilor: $\sqrt{12}<\sqrt{15}<\sqrt{16}<\sqrt{18}$. Deci, descrescător: $$3\sqrt{2}>4>\sqrt{15}>2\sqrt{3}.$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La comparări, arată justificarea (numitor comun, pătrate sau aproximare), nu doar semnul.

1. Completează cu $<$, $>$ sau $=$: a) $\frac{3}{5}\square \frac{4}{7}$; b) $\frac{9}{12}\square \frac{3}{4}$.

2. Completează cu $<$ sau $>$: a) $2,45\square 2,4$; b) $-3,7\square -3,68$.

3. Compară numerele negative, cu motivare: a) $-\frac{2}{3}\square -\frac{5}{8}$; b) $-1,2\square -\frac{6}{5}$.

4. Compară un rațional cu un irațional, prin ridicare la pătrat: a) $1,4\square \sqrt{2}$; b) $2,3\square \sqrt{5}$; c) $3\square \sqrt{8}$.

5. Compară doi radicali „goi": a) $\sqrt{7}\square \sqrt{10}$; b) $\sqrt{0,5}\square \sqrt{0,4}$.

6. Compară radicali cu coeficient, prin introducere sub radical: a) $2\sqrt{5}\square 3\sqrt{2}$; b) $4\sqrt{2}\square 5$.

7. Compară $3\sqrt{3}$ cu $5$. Care este mai mare?

8. Adevărat sau fals, cu motivare: „$\sqrt{5}<2,3$".

9. Adevărat sau fals, cu motivare: „$-\sqrt{7}>-\sqrt{6}$".

10. Ordonează crescător: $1,5$; $\sqrt{2}$; $\frac{7}{5}$; $\sqrt{3}$.

11. Ordonează descrescător: $\sqrt{10}$; $3,1$; $\frac{16}{5}$; $\sqrt{8}$.

12. Ordonează crescător radicalii: $2\sqrt{3}$; $3\sqrt{2}$; $\sqrt{15}$; $4$.

13. Compară numerele negative iraționale: $-2\sqrt{3}\square -3\sqrt{2}$.

14. Problemă aplicată: două frânghii au lungimile (în metri) $\sqrt{20}$ și $4,5$. Care frânghie este mai lungă? Justifică fără calculator.

15. Justificare: explică de ce, când compari $5\sqrt{2}$ cu $7$, nu ai voie să compari direct $5$ cu $7$ și să tragi concluzia. Ce metodă corectă folosești?

16. Provocare: fără calculator, arată că $2\sqrt{6}<5$. (Indiciu: sunt ambele pozitive — ridică la pătrat.)

17. Așază pe axă, în ordine crescătoare, cele patru numere: $-\sqrt{2}$; $0$; $\frac{3}{4}$; $\sqrt{2}$. Care este cel mai la dreapta?

18. Găsește un număr rațional cuprins între $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$. (Indiciu: aproximează ambii radicali cu două zecimale și alege o zecimală „frumoasă" între ele.)

Răspunsuri și explicații

1. a) În cruce: $3\cdot 7=21$, $5\cdot 4=20$; cum $21>20$, avem $\frac{3}{5}>\frac{4}{7}$. b) $\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ (simplificând cu $3$), deci $\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$.

2. a) Completăm cu zerouri ca să aibă tot atâtea zecimale: $2,45$ față de $2,40$. Partea întreagă e la fel ($2=2$), zecimile la fel ($4=4$), iar la sutimi $5>0$, deci $2,45>2,4$. b) Module: $3,70$ și $3,68$; cum $3,70>3,68$, pentru negative se inversează: $-3,7<-3,68$.

3. a) Module: $\frac{2}{3}\approx 0,667$ și $\frac{5}{8}=0,625$; cum $\frac{2}{3}>\frac{5}{8}$, inversăm: $-\frac{2}{3}<-\frac{5}{8}$. b) $\frac{6}{5}=1,2$, deci $-\frac{6}{5}=-1,2$; prin urmare $-1,2=-\frac{6}{5}$ (sunt egale).

4. a) $1,4^2=1,96<2=(\sqrt{2}{)}^2$, deci $1,4<\sqrt{2}$. b) $2,3^2=5,29>5=(\sqrt{5}{)}^2$, deci $2,3>\sqrt{5}$. c) $3^2=9>8=(\sqrt{8}{)}^2$, deci $3>\sqrt{8}$.

5. a) $7<10\Rightarrow \sqrt{7}<\sqrt{10}$. b) $0,5>0,4\Rightarrow \sqrt{0,5}>\sqrt{0,4}$.

6. a) $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$, $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$; cum $20>18$, avem $2\sqrt{5}>3\sqrt{2}$. b) $4\sqrt{2}=\sqrt{32}$, $5=\sqrt{25}$; cum $32>25$, avem $4\sqrt{2}>5$.

7. $(3\sqrt{3}{)}^2=9\cdot 3=27$ și $5^2=25$; cum $27>25$, rezultă $3\sqrt{3}>5$. Deci $3\sqrt{3}$ este mai mare.

8. Adevărat. $(\sqrt{5}{)}^2=5$ și $2,3^2=5,29$; cum $5<5,29$, avem $\sqrt{5}<2,3$. (Într-adevăr, $\sqrt{5}\approx 2,236$.)

9. Fals. Cum $\sqrt{7}>\sqrt{6}$ (fiindcă $7>6$), pentru negative se inversează: $-\sqrt{7}<-\sqrt{6}$. Afirmația spune contrariul, deci este falsă.

10. Zecimal: $\frac{7}{5}=1,40$; $\sqrt{2}\approx 1,41$; $1,5=1,50$; $\sqrt{3}\approx 1,73$. Ordine crescătoare: $\frac{7}{5}<\sqrt{2}<1,5<\sqrt{3}$.

11. Zecimal: $\sqrt{10}\approx 3,16$; $3,1=3,10$; $\frac{16}{5}=3,20$; $\sqrt{8}\approx 2,83$. Ordine descrescătoare: $\frac{16}{5}>\sqrt{10}>3,1>\sqrt{8}$.

12. Sub radical: $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$, $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$, $\sqrt{15}$, $4=\sqrt{16}$. Cum $12<15<16<18$: ordine crescătoare $2\sqrt{3}<\sqrt{15}<4<3\sqrt{2}$.

13. Module: $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ și $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$; cum $12<18$, avem $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$. Inversăm pentru negative: $-2\sqrt{3}>-3\sqrt{2}$.

14. $\sqrt{20}$ și $4,5$ sunt pozitive; ridicăm la pătrat: $(\sqrt{20}{)}^2=20$ și $4,5^2=20,25$. Cum $20<20,25$, rezultă $\sqrt{20}<4,5$, deci frânghia de $4,5$ m este mai lungă. (Verificare: $\sqrt{20}\approx 4,47$.)

15. Nu ai voie să compari doar coeficienții $5$ și $7$, pentru că $5\sqrt{2}$ conține și factorul $\sqrt{2}>1$, care „mărește" numărul; coeficientul singur nu spune tot. Metoda corectă: ridici ambele numere pozitive la pătrat — $(5\sqrt{2}{)}^2=50$ și $7^2=49$ — și, cum $50>49$, obții $5\sqrt{2}>7$.

16. Ambele pozitive: $(2\sqrt{6}{)}^2=4\cdot 6=24$ și $5^2=25$. Cum $24<25$ și ridicarea la pătrat păstrează ordinea pentru numere pozitive, rezultă $2\sqrt{6}<5$. (Verificare: $2\sqrt{6}\approx 4,90$.)

17. $-\sqrt{2}\approx -1,41$; $0$; $\frac{3}{4}=0,75$; $\sqrt{2}\approx 1,41$. Ordine crescătoare: $-\sqrt{2}<0<\frac{3}{4}<\sqrt{2}$. Cel mai la dreapta (cel mai mare): $\sqrt{2}$.

18. $\sqrt{2}\approx 1,41$ și $\sqrt{3}\approx 1,73$. Un număr rațional între ele este, de exemplu, $1,5$ (adică $\frac{3}{2}$), pentru că $1,41<1,5<1,73$. (Alte răspunsuri valide: $1,6$; $1,45$ etc.)

De reținut

• Regula axei: dintre două numere reale, cel aflat mai la stânga este mai mic. Orice negativ este mai mic decât orice pozitiv.
• Raționale: compari fracțiile prin același numitor sau „în cruce"; zecimalele — cifră cu cifră.
• Rațional cu irațional / doi radicali pozitivi: ridică ambele numere la pătrat — pentru numere pozitive, $x<y\iff x^2<y^2$. La radicali cu coeficient, folosește $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$ și compară numerele de sub radical.
• Numere negative: compară întâi modulele (valorile pozitive), apoi inversează semnul comparației.
• Ordonare: adu totul la aproximări zecimale (sau la radicali „goi"), compară, apoi rescrie șirul în forma originală, crescător sau descrescător.

Greșeli frecvente

• Ridicarea la pătrat la numere negative. Regula $x<y\iff x^2<y^2$ este valabilă doar pentru numere pozitive. La negative, compară modulele și inversează semnul. Nu ridica niciodată direct la pătrat două numere negative pentru a le compara.
• „Numărul negativ cu cifre mai mari este mai mare". Fals! $-5<-2$, deși $5>2$. La negative, cu cât modulul e mai mare, cu atât numărul e mai mic.
• Compararea doar a coeficienților la radicali. $2\sqrt{5}$ față de $3\sqrt{2}$ nu se decide comparând $2$ cu $3$. Introdu factorii sub radical ($\sqrt{20}$ și $\sqrt{18}$) sau ridică la pătrat.
• Compararea „la ochi" a unui radical cu o zecimală apropiată. La $4\sqrt{3}$ față de $7$, aproximarea $6,93$ pare foarte aproape de $7$ și te poate păcăli. Ridică la pătrat ($48$ față de $49$) pentru un răspuns sigur.

Aplică acasă

1. Clasamentul rădăcinilor. Scrie pe o hârtie cinci numere amestecate, de exemplu $\sqrt{5}$, $2,1$, $\frac{11}{5}$, $\sqrt{6}$ și $2$. Ordonează-le crescător folosind ridicarea la pătrat, apoi verifică cu un calculator dacă ordinea ta e corectă. Cronometrează-te: câte secunde îți ia?

2. Duel de comparări în familie. Un părinte scrie două numere reale (unul poate fi radical), tu decizi în cel mai scurt timp care e mai mare, justificând prin pătrate sau prin introducere sub radical. Cine greșește metoda pierde punctul. Jucați „primul la 5 puncte".

3. Prețuri și rădăcini. Alege două produse cu prețuri apropiate (de exemplu $19,90$ lei și $\frac{99}{5}$ lei). Transformă-le în aceeași formă și decide care e mai ieftin. Apoi inventează o comparație „grea": care e mai mare, $\sqrt{400}$ lei sau $19,90$ lei? (Indiciu: $\sqrt{400}=20$.)

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează două competențe-cheie: compararea numerelor reale (inclusiv iraționale) și ordonarea unui șir. Pentru a sprijini elevul:

• Insistați pe „de ce se ridică la pătrat". Multor elevi le rămâne mecanic. Cereți-i să explice că, pentru numere pozitive, un număr mai mare are pătratul mai mare, deci ordinea se păstrează — și că regula nu merge la negative. Aceasta este cea mai frecventă sursă de greșeli.
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „De ce $-\sqrt{7}<-\sqrt{6}$, deși $7>6$?"; „Cum compari $2\sqrt{5}$ cu $3\sqrt{2}$ fără calculator?"; „Ce înseamnă că un număr e mai la stânga pe axă?".
• Semnul unei bune înțelegeri: elevul alege singur metoda potrivită (numitor comun pentru fracții, pătrate pentru radicali, inversare pentru negative), justifică fiecare pas și rescrie corect șirul ordonat în forma originală. Dacă doar „ghicește" din aproximări memorate, reveniți la secțiunea 3 și la metoda pătratelor.
• Legătura cu ce urmează: aceste tehnici pregătesc direct lecțiile despre scoaterea factorilor de sub radical și introducerea factorilor sub radical, unde manipularea radicalilor devine esențială.

Întrebări frecvente

Cum compar un număr rațional cu unul irațional la clasa a 7-a? Cel mai sigur e să ridici ambele numere (pozitive) la pătrat și să compari rezultatele, folosind că pentru numere pozitive ordinea se păstrează la ridicarea la pătrat. De exemplu, pentru $1,7$ și $\sqrt{3}$: $1,7^2=2,89$ și $(\sqrt{3}{)}^2=3$; cum $2,89<3$, rezultă $1,7<\sqrt{3}$. Alternativ, aproximezi radicalul cu două zecimale și compari.

Cum compar două radicale, de exemplu $2\sqrt{3}$ și $3\sqrt{2}$? Introdu coeficientul sub radical folosind $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$: $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ și $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$. Apoi compari numerele de sub radical: cum $12<18$, rezultă $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$. Poți verifica și prin ridicare la pătrat, care dă aceleași numere.

De ce nu pot ridica la pătrat numere negative când le compar? Pentru că ridicarea la pătrat păstrează ordinea doar pentru numere pozitive. La negative, un număr mai mic are modulul mai mare, deci pătratul mai mare — ordinea se inversează. De aceea, la negative, compari mai întâi modulele (valorile pozitive) și apoi inversezi semnul comparației.

Care număr negativ este mai mare, $-3$ sau $-7$? $-3$ este mai mare, pentru că este mai aproape de zero (mai la dreapta pe axă). Regula: dintre două numere negative, este mai mare cel cu modulul mai mic. Deci $-3>-7$, chiar dacă $3<7$.

Cum ordonez crescător un șir de numere reale amestecate? Transformă fiecare număr într-o aproximare zecimală cu două-trei zecimale (radicalii prin încadrare sau ridicare la pătrat), compară zecimalele și așază numerele de la cel mai mic la cel mai mare. La final, rescrie șirul în forma originală, nu în aproximări. Pentru descrescător, citești același șir invers.

Cum găsesc un număr rațional între doi radicali, de exemplu între $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$? Aproximezi ambii radicali: $\sqrt{2}\approx 1,41$ și $\sqrt{3}\approx 1,73$. Apoi alegi o zecimală „frumoasă" între ele, de exemplu $1,5$ (adică $\frac{3}{2}$). Orice zecimală finită sau fracție cuprinsă între cele două aproximări este un răspuns valid.

Este $\sqrt{4}$ un număr irațional pe care trebuie să-l compar prin pătrate? Nu, $\sqrt{4}=2$ este un număr rațional (chiar întreg), pentru că $4$ este pătrat perfect. Îl compari direct ca pe orice întreg. Doar rădăcinile numerelor care nu sunt pătrate perfecte (ca $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$) sunt iraționale și cer metoda pătratelor sau aproximarea.

Ce fac dacă două numere par egale după aproximare? Mărește precizia: adaugă mai multe zecimale sau folosește metoda exactă (ridicarea la pătrat, care nu are erori de rotunjire). De exemplu, $4\sqrt{3}\approx 6,93$ pare aproape de $7$, dar prin pătrate ($48$ față de $49$) vezi clar că $4\sqrt{3}<7$. Metoda exactă tranșează întotdeauna cazurile „la limită".