Modulul (valoarea absolută) al unui număr real. Definiție și proprietăți

Imaginează-ți că mergi cu bicicleta 5 kilometri spre est, apoi te întorci și mergi 5 kilometri spre vest, până în punctul de plecare. Ai parcurs, în total, o „depărtare" de 5 kilometri în fiecare direcție, chiar dacă una a fost „înainte" și cealaltă „înapoi". În matematică, ideea de „cât de departe ești de zero, indiferent de semn" se numește modulul unui număr real, cunoscut și ca valoarea absolută. Este o noțiune extrem de folositoare: apare la temperaturi, la datorii și economii, la erori de măsurare și, foarte des, în geometria clasei a VII-a. În această lecție învățăm definiția modulului, proprietățile lui și modul în care rezolvăm ecuații simple de forma $|x|=a$.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi modulul oricărui număr real: pozitiv, negativ sau nul, inclusiv al numerelor iraționale precum $\sqrt{5}$.
• Vei ști ce înseamnă că modulul „șterge" semnul unui număr și de ce $|a|=|-a|$.
• Vei ști să aplici proprietățile de bază ale modulului: $|a|\ge 0$, $|a|=0$ doar când $a=0$, și modulul unui produs.
• Vei ști să rezolvi ecuații de forma $|x|=a$, cu $a\ge 0$, și să recunoști când o astfel de ecuație nu are soluții.
• Vei ști să legi modulul de noțiunile de semn și opus ale unui număr, învățate anterior.

Hai să descoperim împreună

De la o întrebare simplă la o idee mare

Începem cu o întrebare aparent banală: „Cât de mare este numărul $-7$?" Dacă răspunzi „este mic, pentru că este negativ", ai dreptate într-un sens (pe axa numerelor stă la stânga lui zero). Dar dacă întrebarea este „Cât de departe de zero se află $-7$?", răspunsul este $7$. Iar $+7$ este, la rândul lui, tot la $7$ unități depărtare de zero.

Deci $-7$ și $+7$ sunt „egal de departe" de origine. Această depărtare față de zero, măsurată fără a ține cont de semn, este exact ceea ce numim modul.

Definiția modulului

Notăm modulul unui număr real $a$ prin două bare verticale: $|a|$. Citim „modulul lui $a$" sau „valoarea absolută a lui $a$".

Definiție. Pentru orice număr real $a$, modulul său este:

$$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& \text{daca˘ }a\ge 0\\ -a,& \text{daca˘ }a<0\end{array}$$

Să citim cu grijă această definiție „pe cazuri", pentru că este cheia întregii lecții.

• Cazul 1: dacă numărul este pozitiv sau zero ($a\ge 0$), modulul este chiar numărul, nemodificat. De exemplu, $|8|=8$ și $|0|=0$.
• Cazul 2: dacă numărul este negativ ($a<0$), modulul este opusul lui, adică $-a$. Aici e locul unde apar cele mai multe confuzii, așa că insistăm: dacă $a=-3$, atunci $-a=-(-3)=3$. Deci $|-3|=3$, un număr pozitiv.

Observă un lucru esențial: scrierea $-a$ nu înseamnă „un număr negativ". Semnul minus în fața literei $a$ înseamnă „opusul lui $a$". Dacă $a$ este deja negativ, opusul lui este pozitiv. Modulul nu poate ieși niciodată negativ.

O analogie: modulul e ca un „aparat de măsurat depărtarea"

Gândește-te la modul ca la un aparat care primește la intrare un număr (cu semn) și scoate la ieșire doar depărtarea de zero. Aparatul nu-i pasă în ce direcție ai mers; îl interesează doar cât de mult.

• Introduci $+9$ → aparatul scoate $9$.
• Introduci $-9$ → aparatul scoate tot $9$.
• Introduci $0$ → aparatul scoate $0$ (ești chiar în punctul de plecare).

Tocmai de aici vine și cealaltă denumire: valoare absolută — valoarea „în valoare absolută", fără raportare la direcție.

De ce ne trebuie o astfel de noțiune? Pentru că, în multe situații reale, ne interesează mărimea unei cantități, nu direcția ei. Un jucător care ratează o pasă cu $3$ metri „la stânga" a greșit la fel de mult ca unul care ratează cu $3$ metri „la dreapta". Un cont bancar cu $-200$ lei datorie și unul cu $+200$ lei economie reprezintă aceeași sumă de bani, doar cu roluri opuse. În toate aceste cazuri, modulul ne dă exact numărul de care avem nevoie.

Legătura dintre modul, semn și opus

La lecțiile anterioare ai întâlnit semnul unui număr (pozitiv, negativ sau zero) și opusul unui număr (numărul care, adunat cu el, dă zero: opusul lui $4$ este $-4$, opusul lui $-4$ este $4$). Modulul se leagă direct de aceste noțiuni.

O proprietate foarte importantă spune că un număr și opusul lui au același modul:

$$|a|=|-a|$$

De ce? Pentru că $a$ și $-a$ sunt situate simetric față de zero pe axă — la aceeași depărtare, doar în direcții opuse. De pildă:

• $|6|=6$ și $|-6|=6$, deci $|6|=|-6|$. ✓
• $\left|-\frac{2}{5}\right|=\frac{2}{5}$ și $\left|\frac{2}{5}\right|=\frac{2}{5}$, deci sunt egale. ✓

Practic, această proprietate ne spune că putem „arunca" semnul minus dintr-un modul: $|-a|=|a|$. E o unealtă pe care o vei folosi des.

Ca să prinzi bine legătura dintre cele trei noțiuni, iată un tabel comparativ pe câteva numere. Observă cum semnul și opusul depind de număr, dar modulul „netezește" totul spre valori nenegative.

Remarcă un tipar: pe coloana modulului nu apare niciodată un semn minus, oricât de „negativ" ar fi numărul de la care am pornit. Aceasta este esența întregii lecții.

Cum calculăm modulul, pas cu pas

Când ai de calculat un modul, urmează un algoritm simplu în doi pași:

1. Privește semnul numărului din interiorul barelor.
2. Aplică regula potrivită:
   • dacă e pozitiv sau zero → lași numărul așa cum e;
   • dacă e negativ → îi iei opusul (adică îi schimbi semnul în plus).

Să facem câteva:

• $|12|=12$ (numărul e pozitiv, îl lăsăm neschimbat).
• $|-12|=12$ (numărul e negativ, îi luăm opusul: $-(-12)=12$).
• $|0|=0$ (zero e caz special: modulul lui e tot zero).
• $\left|-\frac{7}{3}\right|=\frac{7}{3}$ (fracția e negativă, îi luăm opusul).
• $|-2,8|=2,8$ (numărul zecimal e negativ, îi luăm opusul).

Modulul numerelor iraționale

Definiția funcționează pentru orice număr real, nu doar pentru cele „frumoase". Așa că se aplică și numerelor iraționale, precum $\sqrt{5}$, $\sqrt{3}$ sau $\pi$.

Cheia este să te uiți dacă numărul din interior este pozitiv sau negativ.

• $|\sqrt{5}|$: numărul $\sqrt{5}$ este pozitiv (orice rădăcină pătrată a unui număr pozitiv este pozitivă), deci $|\sqrt{5}|=\sqrt{5}$.
• $|-\sqrt{5}|$: numărul $-\sqrt{5}$ este negativ, deci îi luăm opusul: $|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$.

Observă că nu trebuie să calculezi valoarea aproximativă (deși știi din lecția despre numere iraționale că $\sqrt{5}\approx 2,236$). Modulul lasă rezultatul în formă exactă: $\sqrt{5}$.

Un caz care cere puțină atenție: cât face $|2-\sqrt{5}|$? Aici trebuie să știm mai întâi ce semn are expresia din interior. Comparăm: $\sqrt{5}\approx 2,236$, deci $2-\sqrt{5}\approx 2-2,236=-0,236<0$. Expresia e negativă, așa că îi luăm opusul:

$$|2-\sqrt{5}|=-(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2.$$

Reține ideea: la o diferență sub modul, întâi stabilești care număr e mai mare, apoi decizi semnul.

Ca să fixăm bine tehnica, mai facem un exemplu de acest tip: cât face $|\sqrt{3}-2|$? Comparăm $\sqrt{3}$ cu $2$. Știm că $\sqrt{4}=2$, iar $3<4$, deci $\sqrt{3}<\sqrt{4}=2$. Prin urmare $\sqrt{3}-2<0$, expresia este negativă și îi luăm opusul:

$$|\sqrt{3}-2|=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}.$$

Observă cheia raționamentului: nu am folosit calculatorul, ci am comparat radicalii cu ajutorul unui pătrat perfect apropiat. Este exact tehnica de la lecția despre numere iraționale: pentru a compara $\sqrt{n}$ cu un întreg $k$, compari $n$ cu $k^2$.

Proprietățile de bază ale modulului

Adunăm acum, ordonat, proprietățile pe care le folosim la clasa a VII-a. Le vei recunoaște ușor dacă te gândești mereu la „depărtarea de zero".

Proprietatea 1 — modulul este mereu nenegativ.

$$|a|\ge 0\text{pentru orice numa˘r real }a.$$

O depărtare nu poate fi negativă. Nu există număr al cărui modul să fie, de exemplu, $-3$.

Proprietatea 2 — modulul este zero doar pentru numărul zero.

$$|a|=0⟺a=0.$$

Singurul punct aflat la depărtare $0$ de origine este chiar originea. Dacă $|a|=0$, atunci obligatoriu $a=0$; și invers.

Proprietatea 3 — un număr și opusul lui au același modul.

$$|-a|=|a|.$$

Am justificat-o mai sus prin simetria față de zero.

Proprietatea 4 — modulul unui produs este produsul modulelor.

$$|a\cdot b|=|a|\cdot |b|.$$

Cu alte cuvinte, poți „scoate" modulul pe fiecare factor. Să verificăm pe un exemplu concret cu numere cu semne:

$$|(-3)\cdot 4|=|-12|=12,|-3|\cdot |4|=3\cdot 4=12.$$

Cele două rezultate coincid, deci proprietatea funcționează. Motivul intuitiv: modulul „șterge" oricum semnele, iar mărimile (depărtările) se înmulțesc firesc.

Această proprietate este utilă când ai de calculat produse „urâte" cu multe semne. De exemplu, în loc să înmulțești întâi și apoi să iei modulul, poți lua modulul pe fiecare factor de la început:

$$|(-2)\cdot 5\cdot (-3)|=|-2|\cdot |5|\cdot |-3|=2\cdot 5\cdot 3=30.$$

Scapi astfel de grija semnelor: modulul le elimină pe toate deodată, iar tu înmulțești liniștit numere pozitive.

Proprietatea 5 — relația cu rădăcina pătrată.

Din lecția despre relația $\sqrt{a^2}=|a|$ știi deja o legătură foarte importantă:

$$\sqrt{a^2}=|a|.$$

Nu $\sqrt{a^2}=a$ (asta ar fi greșit pentru numere negative!), ci $\sqrt{a^2}=|a|$. De exemplu, $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$. Este exact modulul care „repară" semnul.

Ecuații simple cu modul: $|x|=a$

Acum folosim tot ce am învățat ca să rezolvăm un tip nou de ecuație, în care necunoscuta $x$ apare sub modul.

Întrebarea cheie este: „Ce numere se află la depărtare $a$ de zero?" Răspunsul depinde de valoarea lui $a$.

Gândește-te iar la aparatul de măsurat depărtarea. Ecuația $|x|=a$ ne întreabă: „Ce numere, băgate în aparat, dau la ieșire exact $a$?" Fiindcă aparatul dă doar valori nenegative, e clar de ce contează atât de mult semnul lui $a$. Dacă cerem o ieșire negativă, aparatul nu are cum să o producă. Dacă cerem o ieșire pozitivă, sunt fix două numere de intrare care o dau (unul de-o parte, unul de cealaltă parte a lui zero). Dacă cerem ieșirea zero, doar zero funcționează.

Regula de rezolvare a ecuației $|x|=a$:

• Dacă $a>0$: există exact două soluții, $x=a$ și $x=-a$ (două puncte simetrice față de zero).
• Dacă $a=0$: există o singură soluție, $x=0$ (doar originea e la depărtare zero).
• Dacă $a<0$: nu există nicio soluție, pentru că modulul nu poate fi niciodată negativ (Proprietatea 1).

Să vedem cum arată fiecare caz.

Exemplu de tip $a>0$: rezolvăm $|x|=6$. Căutăm numerele aflate la $6$ unități de zero. Sunt două: $x=6$ și $x=-6$. Scriem soluția: $x\in \{-6,6\}$.

Exemplu de tip $a=0$: rezolvăm $|x|=0$. Din Proprietatea 2, singura posibilitate este $x=0$. O singură soluție.

Exemplu de tip $a<0$: rezolvăm $|x|=-4$. Aici ne oprim imediat: modulul este mereu $\ge 0$, deci nu poate fi egal cu $-4$. Ecuația nu are soluții; scriem $x\in \varnothing$ (mulțimea vidă).

Reține regula de aur: înainte de a rezolva $|x|=a$, uită-te la semnul lui $a$. Dacă $a$ e negativ, ai terminat deja — nu există soluții.

Merită să observi și legătura cu compararea numerelor, temă pe care o vei aprofunda în lecția Compararea și ordonarea numerelor reale. Dintre două numere negative, cel cu modulul mai mare este de fapt cel mai mic ca număr. De exemplu, $-8$ are modulul $8$, iar $-3$ are modulul $3$; fiindcă $8>3$, numărul $-8$ este mai departe de zero, adică mai la stânga pe axă, deci $-8<-3$. Modulul devine astfel un instrument util pentru a raționa despre poziția numerelor negative.

Un pas mai departe: modul de o expresie

Uneori, în interiorul modulului nu stă doar $x$, ci o expresie ca $x-2$. Ideea rămâne aceeași: dacă $|x-2|=5$, atunci expresia $x-2$ trebuie să fie la depărtare $5$ de zero, deci poate fi $5$ sau $-5$:

$$x-2=5\text{sau}x-2=-5.$$

De aici, $x=7$ sau $x=-3$. Vom relua ideea de „depărtare" mult mai vizual în lecția următoare, Modulul ca distanță pe axa numerelor, unde vei vedea cum orice ecuație cu modul se poate „citi" direct pe axă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — calcul direct de module. Calculează: $|15|$, $|-15|$, $|0|$, $\left|-\frac{9}{4}\right|$ și $|-3,7|$.

Rezolvare. Aplicăm definiția pe fiecare:

• $|15|=15$ (pozitiv, rămâne neschimbat);
• $|-15|=15$ (negativ, îi luăm opusul);
• $|0|=0$;
• $\left|-\frac{9}{4}\right|=\frac{9}{4}$ (fracție negativă → opusul ei);
• $|-3,7|=3,7$.

Exemplul 2 — module de numere iraționale. Calculează: $|\sqrt{7}|$, $|-\sqrt{7}|$ și $|3-\sqrt{7}|$.

Rezolvare.

• $\sqrt{7}$ este pozitiv, deci $|\sqrt{7}|=\sqrt{7}$.
• $-\sqrt{7}$ este negativ, deci $|-\sqrt{7}|=\sqrt{7}$.
• Pentru $|3-\sqrt{7}|$ stabilim semnul: $\sqrt{7}\approx 2,646$, deci $3-\sqrt{7}\approx 0,354>0$. Expresia e pozitivă, așa că modulul o lasă neschimbată: $$|3-\sqrt{7}|=3-\sqrt{7}.$$

Exemplul 3 — verificarea proprietății modulului unui produs. Arată, prin calcul, că $|(-6)\cdot (-2)|=|-6|\cdot |-2|$.

Rezolvare. Calculăm fiecare parte separat.

• Partea stângă: $(-6)\cdot (-2)=12$, deci $|(-6)\cdot (-2)|=|12|=12$.
• Partea dreaptă: $|-6|\cdot |-2|=6\cdot 2=12$.

Cele două rezultate sunt egale ($12=12$), deci proprietatea $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$ se confirmă.

Exemplul 4 — ecuație $|x|=a$ cu $a>0$. Rezolvă ecuația $|x|=11$.

Rezolvare. Deoarece $11>0$, ecuația are exact două soluții, simetrice față de zero: $$x=11\text{sau}x=-11.$$ Soluția: $x\in \{-11,11\}$.

Verificare: $|11|=11$ ✓ și $|-11|=11$ ✓.

Exemplul 5 — ecuație fără soluții și ecuație cu o soluție. Rezolvă: a) $|x|=-2$; b) $3\cdot |x|=0$.

Rezolvare. a) Modulul este mereu $\ge 0$, deci nu poate fi $-2$. Ecuația nu are soluții: $x\in \varnothing$.

b) Împărțim ambii membri la $3$: $|x|=0$. Din Proprietatea 2, $x=0$. O singură soluție: $x=0$.

Exemplul 6 — modul de o expresie liniară. Rezolvă ecuația $|x-4|=3$.

Rezolvare. Expresia $x-4$ trebuie să fie la depărtare $3$ de zero, deci ia una dintre valorile $3$ sau $-3$: $$x-4=3\Rightarrow x=7,$$ $$x-4=-3\Rightarrow x=1.$$ Soluția: $x\in \{1,7\}$.

Verificare: $|7-4|=|3|=3$ ✓ și $|1-4|=|-3|=3$ ✓.

Exemplul 7 — modul, radical și opus într-un singur calcul. Calculează valoarea expresiei $E=|-3|+\sqrt{(-4{)}^2}-|2-\sqrt{9}|$.

Rezolvare. Lucrăm pe bucăți, cu grijă la fiecare simbol:

• $|-3|=3$;
• $\sqrt{(-4{)}^2}=|-4|=4$ (folosim $\sqrt{a^2}=|a|$, nu $\sqrt{a^2}=a$);
• pentru $|2-\sqrt{9}|$ observăm că $\sqrt{9}=3$, deci $2-\sqrt{9}=2-3=-1<0$, iar $|-1|=1$.

Adunăm rezultatele respectând semnele din expresie: $$E=3+4-1=6.$$

Acest exemplu arată cum se combină natural noțiunile de modul, opus și rădăcină pătrată într-un exercițiu de tip test.

Să exersăm

Rezolvă cu atenție, notând pașii. Exercițiile sunt gradate de la ușor la greu.

1. Calculează: $|20|$, $|-20|$, $|0|$.
2. Calculează: $\left|-\frac{5}{8}\right|$, $\left|\frac{5}{8}\right|$, $|-4,1|$.
3. Completează cu $=$, $<$ sau $>$: $|-9|\square 9$ și $|-9|\square |7|$.
4. Adevărat sau fals, cu motivare: „Modulul unui număr negativ este întotdeauna pozitiv."
5. Adevărat sau fals, cu motivare: „Există un număr real $a$ astfel încât $|a|=-1$."
6. Calculează: $|\sqrt{10}|$ și $|-\sqrt{10}|$.
7. Fără calculator, stabilește semnul expresiei $5-\sqrt{10}$ și apoi calculează $|5-\sqrt{10}|$. (Indiciu: compară $5$ cu $\sqrt{10}$.)
8. Fără calculator, calculează $|1-\sqrt{3}|$. (Indiciu: cine e mai mare, $1$ sau $\sqrt{3}$?)
9. Verifică prin calcul dacă $|(-5)\cdot 3|=|-5|\cdot |3|$.
10. Folosind proprietatea modulului unui produs, calculează $|(-2)\cdot (-7)|$ în două moduri.
11. Rezolvă ecuația $|x|=13$.
12. Rezolvă ecuația $|x|=0$.
13. Rezolvă ecuația $|x|=-5$.
14. Rezolvă ecuația $2\cdot |x|=18$.
15. Rezolvă ecuația $|x-3|=6$.
16. Rezolvă ecuația $|x+2|=5$.
17. Găsește toate numerele întregi $x$ pentru care $|x|\le 3$. (Indiciu: care întregi sunt la depărtare cel mult $3$ de zero?)
18. Se știe că $\sqrt{x^2}=8$. Folosind proprietatea $\sqrt{a^2}=|a|$, află toate valorile posibile ale lui $x$.
19. Calculează valoarea expresiei $A=|-6|+|-\sqrt{16}|-|1-\sqrt{25}|$.
20. Folosind proprietatea modulului unui produs, calculează $|(-1)\cdot (-2)\cdot (-3)\cdot (-4)|$.
21. Câte numere întregi $x$ verifică simultan condiția ca $|x|$ să fie număr par și $|x|\le 5$? Enumeră-le.

Răspunsuri și explicații

1. $|20|=20$; $|-20|=20$; $|0|=0$. (Pozitivul rămâne, negativul devine opusul lui, zero e zero.)

2. $\left|-\frac{5}{8}\right|=\frac{5}{8}$; $\left|\frac{5}{8}\right|=\frac{5}{8}$; $|-4,1|=4,1$. (Un număr și opusul lui au același modul.)

3. $|-9|=9$, deci $|-9|=9$ (semnul $=$). Iar $|7|=7$, deci $|-9|>|7|$ pentru că $9>7$.

4. Adevărat. Un număr negativ $a$ înseamnă $a<0$, iar prin definiție $|a|=-a$; opusul unui număr negativ este pozitiv, deci $|a|>0$. De exemplu, $|-4|=4>0$. Atenție la o capcană frecventă: afirmația ar deveni falsă dacă am spune „al oricărui număr", pentru că zero nu e negativ, iar $|0|=0$ nu e pozitiv. Formularea completă: modulul oricărui număr este $\ge 0$, iar pentru numerele nenule (inclusiv toate cele negative) este strict pozitiv.

5. Fals. Nu există așa număr, deoarece $|a|\ge 0$ pentru orice $a$ real; modulul nu poate fi niciodată negativ.

6. $|\sqrt{10}|=\sqrt{10}$ ($\sqrt{10}$ e pozitiv); $|-\sqrt{10}|=\sqrt{10}$ ($-\sqrt{10}$ e negativ, îi luăm opusul).

7. $\sqrt{10}\approx 3,16$, deci $5-\sqrt{10}\approx 1,84>0$. Expresia e pozitivă, deci $|5-\sqrt{10}|=5-\sqrt{10}$.

8. $\sqrt{3}\approx 1,73>1$, deci $1-\sqrt{3}<0$. Expresia e negativă, îi luăm opusul: $|1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=\sqrt{3}-1$.

9. Partea stângă: $(-5)\cdot 3=-15$, deci $|-15|=15$. Partea dreaptă: $|-5|\cdot |3|=5\cdot 3=15$. Egalitatea $15=15$ este adevărată, deci proprietatea se verifică.

10. Modul 1 (întâi produsul): $(-2)\cdot (-7)=14$, deci $|(-2)\cdot (-7)|=|14|=14$. Modul 2 (întâi modulele): $|-2|\cdot |-7|=2\cdot 7=14$. Ambele dau $14$.

11. $13>0$, deci $x\in \{-13,13\}$.

12. $x=0$ (o singură soluție).

13. Nicio soluție: $x\in \varnothing$, deoarece $|x|\ge 0$ nu poate fi $-5$.

14. Împărțim la $2$: $|x|=9$. Deci $x\in \{-9,9\}$.

15. $x-3=6\Rightarrow x=9$; $x-3=-6\Rightarrow x=-3$. Soluția: $x\in \{-3,9\}$. (Verificare: $|9-3|=6$ ✓; $|-3-3|=|-6|=6$ ✓.)

16. $x+2=5\Rightarrow x=3$; $x+2=-5\Rightarrow x=-7$. Soluția: $x\in \{-7,3\}$. (Verificare: $|3+2|=5$ ✓; $|-7+2|=|-5|=5$ ✓.)

17. Numerele întregi la depărtare cel mult $3$ de zero sunt: $x\in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ (șapte valori).

18. Din $\sqrt{x^2}=|x|$, avem $|x|=8$, deci $x=8$ sau $x=-8$. Soluția: $x\in \{-8,8\}$.

19. Calculăm pe bucăți: $|-6|=6$; $|-\sqrt{16}|=\sqrt{16}=4$; iar $1-\sqrt{25}=1-5=-4$, deci $|1-\sqrt{25}|=4$. Atunci $A=6+4-4=6$.

20. Produsul are patru factori negativi. Cu modulul pe fiecare factor: $|-1|\cdot |-2|\cdot |-3|\cdot |-4|=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$. (Verificare: produsul e $24$, pozitiv, deci $|24|=24$.)

21. Numerele întregi cu $|x|\le 5$ sunt de la $-5$ la $5$. Dintre ele, cele cu $|x|$ par sunt cele pentru care $x$ însuși e par: $x\in \{-4,-2,0,2,4\}$. Sunt cinci valori.

De reținut

• Definiția: $|a|=a$ dacă $a\ge 0$ și $|a|=-a$ dacă $a<0$. Modulul măsoară depărtarea de zero.
• Modulul nu e niciodată negativ: $|a|\ge 0$, iar $|a|=0$ doar când $a=0$.
• Semnul dispare: $|-a|=|a|$; un număr și opusul lui au același modul.
• Produs: $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$; și legătura cu radicalul: $\sqrt{a^2}=|a|$.
• Ecuația $|x|=a$: dacă $a>0$ → două soluții ($x=a$ și $x=-a$); dacă $a=0$ → o soluție ($x=0$); dacă $a<0$ → nicio soluție.

Greșeli frecvente

• „$|-a|=-a$, deci modulul e negativ." Greșit. Scrierea $-a$ înseamnă opusul lui $a$. Când $a$ e negativ, opusul lui este pozitiv. Modulul iese mereu $\ge 0$.
• A crede că $\sqrt{a^2}=a$. Corect este $\sqrt{a^2}=|a|$. De exemplu $\sqrt{(-6{)}^2}=6$, nu $-6$.
• A rezolva $|x|=-3$ ca și cum ar avea soluții. Uită-te întâi la semnul membrului drept: dacă e negativ, ecuația nu are soluții.
• A uita a doua soluție la $|x|=a$. Când $a>0$, sunt două numere la aceeași depărtare de zero, nu doar cel pozitiv. Nu scrie doar $x=a$, ci și $x=-a$.

Aplică acasă

1. Termometrul. Notează, timp de o săptămână, temperatura de dimineață. Pentru fiecare zi, calculează $|T|$ (depărtarea față de $0^{\circ }$C). Compară zilele: care a fost „cel mai departe" de zero, indiferent dacă a fost ger sau cald? Vei vedea că modulul răspunde exact la această întrebare.
2. Banii de buzunar. Ține un mic jurnal cu „intrări" (bani primiți, numere pozitive) și „ieșiri" (cheltuieli, numere negative). Pentru fiecare tranzacție scrie modulul, adică mărimea ei fără semn. Care a fost cea mai mare mișcare de bani a săptămânii, ca mărime?
3. Erori de măsurare. Măsoară de trei ori lungimea mesei tale, în centimetri. Calculează diferența dintre fiecare măsurătoare și media lor, apoi ia modulul fiecărei diferențe. Modulul îți spune „cât de mult te-ai abătut", indiferent de direcție — exact așa lucrează oamenii de știință cu erorile.

Pentru părinți și profesori

Modulul este prima „funcție pe cazuri" pe care o întâlnește elevul, așa că merită timp și răbdare. Cel mai eficient sprijin este să reveniți mereu la imaginea axei numerelor: modulul = depărtarea de zero. Dacă elevul „vede" $-7$ și $+7$ ca fiind la aceeași distanță de origine, majoritatea confuziilor dispar.

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

• „Poate un modul să fie negativ? De ce nu?" (Răspuns țintit: nu, e o depărtare, deci $\ge 0$.)
• „Cât face $|-a|$ dacă $a$ e negativ?" (Testează dacă a înțeles că $-a$ înseamnă opus, nu negativ.)
• „De ce $|x|=6$ are două soluții, dar $|x|=0$ are una singură?"
• „De ce $\sqrt{(-5{)}^2}$ nu e $-5$?" (Leagă modulul de lecția despre radicali.)

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: rezolvă corect ecuațiile $|x|=a$ ținând cont de semnul lui $a$ (inclusiv cazul fără soluții), nu confundă $-a$ cu „număr negativ" și stabilește corect semnul unei diferențe ca $2-\sqrt{5}$ înainte de a aplica modulul. Dacă greșește, întoarceți-vă la axa numerelor și la definiția pe cazuri, cu exemple numerice concrete.

Întrebări frecvente

Ce este modulul unui număr real la clasa a 7-a? Modulul (sau valoarea absolută) al unui număr real $a$, notat $|a|$, este depărtarea acelui număr față de zero pe axa numerelor. Prin definiție, $|a|=a$ dacă $a\ge 0$ și $|a|=-a$ dacă $a<0$. Rezultatul este mereu un număr pozitiv sau zero.

Cum se calculează modulul unui număr? Te uiți la semnul numărului din interiorul barelor. Dacă este pozitiv sau zero, îl lași neschimbat; dacă este negativ, îi iei opusul (îi schimbi semnul în plus). De exemplu, $|-8|=8$, iar $|8|=8$.

Poate modulul unui număr să fie negativ? Nu, niciodată. Modulul reprezintă o depărtare, iar o depărtare nu poate fi negativă. De aceea $|a|\ge 0$ pentru orice număr real, iar ecuații precum $|x|=-4$ nu au soluții.

De ce $|a|=|-a|$? Pentru că un număr și opusul lui sunt situate simetric față de zero pe axa numerelor, la aceeași depărtare, doar în direcții opuse. Modulul măsoară doar depărtarea, nu direcția, așa că cele două module sunt egale. De exemplu $|5|=|-5|=5$.

Cum rezolv o ecuație de forma $|x|=a$? Verifici întâi semnul lui $a$. Dacă $a>0$, ecuația are două soluții: $x=a$ și $x=-a$. Dacă $a=0$, are o singură soluție, $x=0$. Dacă $a<0$, nu are nicio soluție, pentru că modulul nu poate fi negativ.

Cât face modulul unui număr irațional, de exemplu $|-\sqrt{5}|$? Se aplică aceeași definiție. Numărul $-\sqrt{5}$ este negativ, deci îi luăm opusul: $|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$. Nu e nevoie să calculezi valoarea aproximativă; rezultatul rămâne în formă exactă, $\sqrt{5}$.

Care e diferența dintre modul și opus? Opusul lui $a$ este numărul $-a$, care poate fi pozitiv sau negativ (opusul lui $3$ e $-3$, opusul lui $-3$ e $3$). Modulul lui $a$ este depărtarea de zero și este mereu $\ge 0$. Ele coincid doar când numărul este pozitiv sau zero.

De ce $\sqrt{a^2}$ este egal cu $|a|$ și nu cu $a$? Pentru că rădăcina pătrată dă întotdeauna un rezultat pozitiv sau zero. Dacă $a$ este negativ, $\sqrt{a^2}$ tot pozitiv trebuie să iasă, iar modulul asigură exact acest lucru. De exemplu $\sqrt{(-6{)}^2}=\sqrt{36}=6=|-6|$. Detalii găsești în lecția Relația $\sqrt{a^2}=|a|$.

Ce proprietăți ale modulului trebuie să știu la clasa a 7-a? Cele mai importante proprietăți ale modulului sunt: $|a|\ge 0$ (modulul e mereu nenegativ), $|a|=0$ doar dacă $a=0$, $|-a|=|a|$ (număr și opus au același modul), $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$ (modulul unui produs) și $\sqrt{a^2}=|a|$ (legătura cu rădăcina pătrată). Pe acestea le folosești în aproape toate exercițiile cu module.

Cum știu câte soluții are o ecuație cu modul? Te uiți la numărul din dreapta egalului. La o ecuație de forma $|x|=a$: dacă $a$ e strict pozitiv, ai două soluții; dacă $a$ e zero, ai o singură soluție; dacă $a$ e negativ, nu ai nicio soluție. Aceeași regulă se aplică și când în interior stă o expresie, ca la $|x-3|=a$.